第三章练习题及参考答案

第三章 恒定电流的电场和磁场 练习题及答案
1、一铜棒的横截面积为,mm 80202
⨯长为2m ，两端的电位差为50V 。

已知铜的电导率为
S/m 107.57⨯=σ。

求（1）电阻（2）电流（3）电流密度（4）棒内的电场强度（5）所消
耗的功率
解：（1）铜棒电阻Ω⨯=⨯⨯⨯=⋅=
-571019.210
7.508.002.02
1R S l σ （2）铜棒内电流A R U I 35
3
1028.21019.21050⨯=⨯⨯==-- （3）铜棒内电流密度263
/1043.108.002.01028.2m A S I J ⨯=⨯⨯==
（4）棒内的电场强度m V J
E /1050.210
7.51043.127
6
-⨯=⨯⨯==σ （5）所消耗的功率W R I P 2
2
1014.1⨯==
2、电缆的芯线是半径为cm a 5.0=的铜线，外面包一层同轴的绝缘层，绝缘层的外半径为
cm b 2=，电阻率m ⋅Ω⨯=12101ρ。

绝缘层外又用铅层保护起来。

（1）求长度m L 1000=的这种电缆沿径向的电阻 （2）求当芯线与铅层的电位差为V 100时的径向电流
解：（1）距离电缆轴线处的电阻为rL dr
S dr dR πρ
ρ
2==
则长度的电缆沿径向的电阻可积分求得 Ω⨯===⎰81021.2ln 22a
b
L rL dr R b a πρπρ
（2）据欧姆定律可求得径向电流 A R
U
I 71052.4-⨯==
3、已知半径为R 的环形导线，载有电流为I ，如图所示。

求其中心的磁感应强度的大小。

解：由毕奥--萨伐尔定律可得回路在中心点的磁场大小为
R I
d R
IR R
R
l Id B L
244020
2
03
0μθπμπμπ
==⨯=
⎰
⎰
磁场方向为垂直纸面向外。

4、某回路由两个半径分别为R 和r 的半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。

求中心点O 处的磁感应强度→
B 。

解：由环形载流导线中心磁感应强度的公式可得两个半环形载流导线在中心点的磁场为：
r
I
e
B R I
e
B 221ˆ221ˆ0201μμϕϕ==
两段直导线对中心点的磁场无贡献。

则中心点O 处的磁感应强度为
r
R I e B B B )
11(41ˆ021+=+=μϕ
5、设半径为a 的无限长圆柱内均匀地流动着强度为I 的电流，设柱外为自由空间，求
（1） 柱内离轴心r 任一点处的磁场强度； （2） 柱外离轴心r 任一点处的磁感应强度。

解：（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r 任一点处的磁场强度大小处处相等，方
向为沿柱面切向ϕe
ˆ，由安培环路定律： I a r rH l d H c
222πππϕ==⋅⎰ a r < 整理可得柱内离轴心r 任一点处的磁场强度
I a
r
e
ˆH 2
2πϕ=
a r < （2）柱外离轴心r 任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向ϕe
ˆ，由安培环路定律：
I rB l d B c
02μπϕ==⋅⎰
a r >
整理可得柱内离轴心r 任一点处的磁感应强度
r
I
e
ˆB πμϕ20= a r > 6、设真空中无限长直导线电流为I ，沿z 轴放置，如图1所示。

求
（1）空间各处的磁感应强度B
（2）画出其磁力线，并标出其方向。

解：（1）由电流的柱对称性可知，柱内离轴心r 任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为
沿柱面切向ϕe
ˆ，由安培环路定律：
I rH l d H c
==⋅⎰ϕπ2
得： r
I e
H πϕ2ˆ=
于是空间各处的磁感应强度为：
r
I
e
H B πμμϕ2ˆ00==
(2) 磁力线如图2所示
方向：与导线电流方向成右手螺旋。

7、无限长同轴电缆内导体半径为a ，外导体的内、外半径分别为b 和c 。

电缆中有恒定电流流
过（内导体上电流为I 、外导体上电流为反方向的I ），设内、外导体间为空气，如图所示。

（1）求b r a <<处的磁场强度 （2）求c r >处的磁场强度。

解：（1）由电流的对称性可知，柱内离轴心r 任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿
柱面切向ϕe
ˆ，由安培环路定律： I rH l d H c
==⋅⎰ϕπ2
b r a <<
可得同轴内外导体间离轴心r 任一点处的磁场强度
r
I
e H πϕ2ˆ= b r a << （2）c r >区域同样利用安培环路定律 此时环路内总的电流为零，即
02=-==⋅⎰I I rH l d H c
ϕπ
c r > 处的磁场强度为
0=H
8、已知钢在某种磁饱和情况下磁导率012000μμ=，当钢中的磁感应强度
T 105.021-⨯=B
、 751=θ时，此时磁力线由钢进入自由空间一侧后，如图3所示。

求（1）2B 与法线的夹角2θ（2）磁感应强度2B
的大小
解：（1）由
2
1
21tan tan μμθθ= 得
11
2
2tan tan θμμθ=
则 10702.=θ （2）边界上电流为零，由边界条件
2211cos cos θθB B = 得 2
11
2cos cos θθB B = 则 T 1012902
2-⨯=.B
9、半径为a 的无限长直导线，载有电流I ，求导体内、外的磁感应强度。

解：建立圆柱坐标系，让其z 轴与已知圆柱的轴线重合。

由对称性可知，磁场与柱坐标系的
z 和φ无关，只是r 的函数，且只有φ分量。

取以圆柱轴线上任一点为圆心，以为半径的圆
周为积分路径，由安培环路定律得：
⎰⎰∙===∙S
L
S d J I B r l d B
002μμπ
由已知可得导体内的电流分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧〉≤=)
(ˆ2a r a r e
a
I J z （）
π
可计算得空间各区域积分回路中包围的电流分别对应为：I
I I a
r I ==222
1;
因此可求得导体内、外的磁感应强度分别为：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧〉≤=)
(2ˆ)
(2ˆ020a r r
I e a r a Ir
e B πμπμφφ
10、设无限长直导线与矩形回路共面，（如图所示），求 （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；
（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。

解：（1）建立如图坐标系。

通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为y e ˆ方向。

在xoz 平面上离直导线距离为x 处的磁感应强度可由下式求出：
⎰=⋅c
I l d B 0μ
即： x
I
e
ˆB y πμ20=
（2）通过矩形回路中的磁通量
b d d
Ia dxdz x I S d B b
d d x /a /a z S
+=-
=⋅=⎰⎰⎰⎰+=-=ln 2202
2
0πμπμψ
11、无限长直线电流I 垂直于磁导率分别为21μμ和的两种磁介质的交界面，如图所示。

（1） 写出两磁介质的交界面上磁感应强度满足的方程 （2） 求两种媒质中的磁感应强度21B B 和。

解：（1）磁感应强度的法向分量连续 n n B B 21=
根据磁场强度的切向分量连续，即 t t H H 21=
因而，有
2
21
1μμt
t
B B =
（2）由电流在区域1和区域2中所产生的磁场均为ϕe
ˆ，也即是分界面的切向分量，再根据磁场强度的切向分量连续，可知区域1和区域2中的磁场强度相等。

由安培定律
I l d H C
=⋅⎰
得 r
I H π2=
因而区域1和区域2中的磁感应强度分别为
1B
2B
1μ 2μ
r
I
e
B πμϕ2ˆ11= r
I
e
B πμϕ2ˆ22=
另外，还包括课件中的例题3-7、3-8、3-9，课后习题3-3、3-4、3-9、3-11、3-19
图2。