2015广州中考高分突破数学教师课件第25节 点、线、圆与圆的位置关系

4. （2013广东）如图，⊙O是Rt△ABC的 外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA， AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线 于点E． （1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的长； （3）求证：BE是⊙O的切线．
解析： （1）根据 BD=BA 得出∠BDA=∠BAD，再由∠ BCA=∠BDA 即可得出结论； （2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可 求出 DE 的长度． （3）连接 OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出 OB∥ DE，继而判断 OB⊥DE，可得出结论． 答案： （1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD， ∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理） ，∴∠BCA=∠BAD． （2）解：∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED= ∠CBA=90°， ∴△BED∽△CBA， ∴ = ，即 = ，解得：DE= ．
（2）解：连接 AO、OD； ∵O 是△ABC 的内心，∴OA 平分∠BAC， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，D 是切点， ∴OD⊥BC； 又∵AC=AB， ∴A、O、D 三点共线，即 AD⊥BC， ∵CD、CE 是⊙O 的切线，∴CD=CE=2 ， 在 Rt△ACD 中，由∠C=30°，CD=2 ，得 AC= =4．
考点2 切线的判定与性质（★★★） 母题集训 1. （2011广东）如图，AB与⊙O相切于点 B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC， 若∠A=40°，则∠C= ．
解析：如图：连接OB， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠OBA=90°， ∵∠A=40°， ∴∠AOB=50°， ∵OB=OC， ∴∠C=∠OBC， ∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C， ∴∠C=25°． 答案：25°．
（2）解：①如答图②所示，连接 OE，OD，则有 CD=DE=OD=OE， ∴△ODE 为等边三角形，∠1=∠2=∠3=60°； ∵OD=CD，∴∠4=∠5， ∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°， ∴∠EOC=∠2+∠4=90°， 因此△EOC 是含 30 度角的直角三角形， △AOE 是等腰直角三角形． 在 Rt△EOC 中，CE=2OA=4，OC=4cos30°= ， 在等腰直角三角形 AOE 中，AE= OA= ， ∴△ACE 的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC） = +4+（2+ ）=6+ + ．
解析： （1）关键是利用勾股定理的逆定理，判定△OCD 为直角三角形，如答图①所示； （2）①如答图②所示，关键是判定△EOC 是含 30 度角 的直角三角形，从而解直角三角形求出△ACE 的周长； ②符合题意的梯形有 2 个，答图③展示了其中一种情 形． 在求 AE•ED 值的时候， 巧妙地利用了相似三角形， 简单得出了结论，避免了复杂的运算． 答案： （1）证明：连接 OD，如答图①所示． 由题意可知，CD=OD=OA= AB=2，OC= ， ∴OD2+CD2=OC2 由勾股定理的逆定理可知，△OCD 为 直角三角形，则 OD⊥CD， 又∵点 D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线．
解析：∵ PA 切⊙ O 于 A 点， ∴ OA⊥ PA， 在 Rt△ OPA 中， OP=5 ， OA=3 ， 答案： 4．
3.（2014•哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径， AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D， 连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是 （ ） A．30° B．25° C．切 线上，这点与切点之间的线段的长叫做这 点到圆的切线长． (2)定理：过圆外一点可以引圆的两条 切线，它们的 切线长 相等，这一点和 圆心的连线 平分 两条切线的夹角．
5.圆与圆的位置关系 两圆的位置关系有五种：相离、外切、 相交、内切、内含，设 R、r(R>r)为两圆的 半径，d 为圆心距，则： (1)两圆相离 d>R＋r； (2)两圆 外切 d＝R＋r； (3) 两圆相交 R － r<d<R＋ r； (4) 两 圆内切 d ＝ R－ r； (5)两圆内含 d<R －r.
（3）证明：连结 OB，OD，
在△ABO 和△DBO 中，∵ ∴△ABO≌△DBO， ∴∠DBO=∠ABO， ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC， ∴∠DBO=∠BDC， ∴OB∥ED， ∵BE⊥ED， ∴EB⊥BO， ∴OB⊥BE， ∴BE 是⊙O 的切线．
，
中考预测 5. 如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为 切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则 ∠BAC= 度．
解析：（ 1）由切线的性质得∠ 1+∠ 2=90°；由同角的 余角相等得到∠ C= ∠ 2 ．由圆周角定理知∠ BED= ∠ 2 ， 故∠ BED=∠ C； （ 2 ） 连 接 BD ． 由 直 径 直 径对 的 圆 周 角 是 直 角 得 ∠ ADB=90°，由勾股定理求得 由△ OAC∽△ BDA 得 OA： BD=AC： DA， 从而求得 AC 的值． 答案： （ 1） 证明： ∵ AC 是⊙ O 的切线， AB 是⊙ O 直径， ∴ AB⊥ AC．则∠ 1+∠ 2=90°， 又∵ OC⊥ AD，∴∠ 1+∠ C=90°， ∴∠ C=∠ 2，而∠ BED=∠ 2 ∴∠ BED=∠ C；
解析：∵AC是⊙O的切线， ∴∠OAC=90°， ∵∠C=40°， ∴∠AOC=50°， ∵OB=OD， ∴∠ABD=∠BDO， ∵∠ABD+∠BDO=∠AOC， ∴∠ABD=25°， 答案：B．
4. 如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A 点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么 当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成 为⊙O的切线． 解析：∵△AOB中，
第25节 点、线、圆与圆的 位置关系
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考纲要求 1.会判断点与圆的位置关系. 2.会判断直线与圆的位置关系. 3.会判断圆与圆的位置关系． 4. 理解切线的概念；掌握切线与过切点的半径之间 的关系． 5. 能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点 画圆的切线． 年份 题型 分 近 五 年 广 州 高频考点分析 值 市考试内容 未考 在近五年广州市中 考，本节考查的重 点是切线的判定与 2013 解 答 14 切 线 的 判 定 性质和圆与圆的位 题 和性质 置关系，命题难度 2014 选 择 3 圆 与 圆 的 位 较大，题型以选择 题 置关系 题、解答题为主.
2. （2007广州）如图，在△ABC中， AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别 切于D、E、F． （1）求证：BF=CE； （2）若∠C=30°，CE=2 ，求AC．
解析： （1） 根据切线长定理得到 AF=AE， 再结合 AB=AC， 得到 BF=CE； （2）结合（1）的结论和切线长定理，得到 D 是 BC 的 中点，从而得到 A，O，D 三点共线．根据等腰三角形 的三线合一得到直角三角形 ACD． 根据切线长定理得到 CD=CE，则根据锐角三角函数即可求得 AC 的长． 答案： （1）证明：∵AE，AF 是⊙O 的切线； ∴AE=AF， 又∵AC=AB，∴AC﹣AE=AB﹣AF， ∴CE=BF，即 BF=CE．
★考点突破★ 考点1 点、线与圆的位置关系（★） 母题集训 1.已知圆的半径为6.5cm，如果一条直线和 圆心的距离为6.5cm，那么这条直线和这 个圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．外切 D．外离 解析：因为直线和圆心的距离为6.5cm， 圆的半径也为6.5cm， 所以这条直线和这个圆的位置关系是相 切． 答案：B．
OA=OB， ∠AOB=120°， ∴∠OAB=30°， ∴当∠CAB的度数等于 60°时，OA⊥AC，AC 才能成为⊙O的切线． 答案：30
5.（2014•兰州）两圆的半径分别为2cm， 3cm，圆心距为2cm，则这两个圆的位置 关系是（ ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 解析：∵两个圆的半径分别是3cm 和2cm，圆心距为2cm， 又∵3+2=5，3-2=1，1＜2＜5， ∴这两个圆的位置关系是相交． 答案B．
★课前预习★ 1.（2014•白银）已知⊙O的半径是6cm， 点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直 线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析：设圆的半径为r，点O到直线l的距 离为d， ∵d=5，r=6，∴d＜r， ∴直线l与圆相交．答案A．
2. （2014•湘潭）如图，⊙O的半径为3， P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O 于A点，则PA= ．
2. 在平面内，⊙O的半径为3cm，点P到圆 心O的距离为7cm，则点P与⊙O的位置关 系是 ．
解析：∵⊙O的半径为3cm，点P到圆心 O的距离为7cm， ∴d＞r， ∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外． 答案：P在⊙O外．
考点归纳：本考点近些年广州市中考均未 考查，但本考点是初中数学的重要内容， 因此有必要掌握.本考点一般出题考查难度 不大，为基础题，解答的关键是掌握点、 直线与圆的关系. 要确定一个点与圆的位置 关系，就要计算该点到圆心的距离，并与 圆的半径比较；确定直线与圆的位置关系， 需要计算圆心到直线的距离，并与圆的半 径进行比较.
3. （2013广州）已知AB是⊙O的直径，AB=4， 点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运 动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA． （1）当OC= 时（如图），求证：CD是⊙O 的切线； （2）当OC＞ 时，CD所在直线于⊙O相交， 设另一交点为E，连接AE． ①当D为CE中点时，求△ACE的周长； ②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若 存在，请说明梯形个数并求此 时AE•ED的值；若不存在， 请说明理由．
6.三角形的内心和外心. （1）三角形的内心：与三角形各边都相切 的圆叫三角形的内切圆．内切圆的圆心叫 三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三 角形． 注意：一个三角形有且只有一个内切 角平分线 圆， 圆心是三角形 的交点， 它到三角形各边的距离相等． (2)三角形的外心： 经过三角形各顶点的圆