2015广州中考高分突破数学教师课件第24节 圆的基本性质

解析： ∵ OA=OB， ∠ OBA=50°， ∴∠ OAB=∠ OBA=50°， ∴∠ AOB=180°-50°×2=80°， ∴∠ C= ∠ AOB=40°． 答案： B．
5. （ 2014•贵港）如图， AB 是⊙ O 的直 径， ∠ COD=34°，则∠ AEO 的 度数是（ ） A． 51° B． 56° C． 68° D． 78°
解析： （ 1）由 AB 为⊙ O 的直径，易证得 AC⊥ BD， 又由 DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证 得 AD=AB，即可得：∠ B=∠ D； （ 2） 首先设 BC=x， 则 AC=x-2， 由在 Rt△ ABC 中， 2 2 2 2 2 2 AC +BC =AB ，可得方程：（ x-2 ） +x =4 ，解此 方程即可求得 CB 的长，继而求得 CE 的长． 答案：（ 1）证明：∵ AB 为⊙ O 的直径， ∴∠ ACB=90°，∴ AC⊥ BC， 又∵ DC=CB，∴ AD=AB， ∴∠ B=∠ D；
考点2 圆心角和圆周角（★★） 母题集训 1. （2012广东）如图，A、B、C是⊙O上 的三个点，∠ABC=25°，则∠AOC的度 数是 ．
解析：∵圆心角∠AOC 与圆周角∠ABC 都对 ∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=25°， 则∠AOC=50°． 答案：50.
，
2. （2009 广州）如图，在⊙O 中，∠ACB= ∠BDC=60°，AC=2 cm． （1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长．
（ 2）解：设 BC=x，则 AC=x-2， 在 Rt△ ABC 中， AC2+BC2=AB2， ∴（ x-2） 2+x2=42， 解得： x1=1+ ， x2=1- （舍去）， ∵∠ B=∠ E，∠ B=∠ D， ∴∠ D=∠ E， ∴ CD=CE， ∵ CD=CB， ∴ CE=CB=1+ ．
解析： （1） 求出 BD， 根据勾股定理求出 OD 即可； （2）过点 O 作 AB 的垂直平分线，与 AB 交于点 F， 与弧 AB 交于点 M， 求出 AF， 得出 AB 长度， 根据垂径定理得出 D、E 分别是 BC、AC 中点， 根据三角形中位线求出即可． 答案：解： （1）∵OD⊥BC， ∴ ∴ ， ．
解析： ∵线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 丄 AB， ∴ = ， ∵∠CAB=20°， ∴∠BOD=40°， ∴∠AOD=140°． 答案：C．
3. （2014•重庆）如图，△ABC的顶点A、 B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°， 则∠AOC的大小是（ ） A．30° B．45° C．60° D．70°
注意：轴对称性是圆的又一条基本性质， 垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性 总结出来的．它们是证明线段相等、角相 等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的 重要依据，遇弦作弦心距是圆中常用的辅 助线．
3．与圆有关的角及其性质 (1)圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的 角叫做圆心角． 圆周角： 顶点在圆上且角的两边和圆相交的 角叫做圆周角． 弦切角：顶点在圆上，角的一边和圆相交， 另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2 ）圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的 一半 ．
高频考点分析 在近五年广州市 中考，本节内容 命题难度中等， 考查的重点是垂 径定理的运用.题 型以填空题为主.
★中考导航★ 1.圆的有关概念及性质 (1)圆： 平面上到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形叫做圆，圆既是轴对称 图形也是中心对称图形． (2)圆具有对称性和旋转不变性. (3)不共线的三点确定一个圆． (4)圆上各点到圆心的距离都等于半径． (5)圆上任意两点间的部分叫做弧， 大于半圆 周的弧称为优弧， 小于半圆周的弧称为劣弧．
第24节 圆的基本性质
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考 纲 要 1.理解圆及其有关概念． 求 2.理解弧、弦、圆心角的关系． 3.掌握圆周角与圆心角的关系． 4.掌握直径所对圆周角的特征． 考点 年份 题型 分 近五年广州市考 值 试内容 1. 垂 径 2013 填 空 3 垂径定理 定理 题 2.圆心角 未考 和圆周 角
所以⊙O 的周长=2π×2=4πcm．
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接 OB、OC，若OB=BC，则∠BAC的度数 是 ．
解析：∵ OA=OB=BC， ∴∠ BOC=60°，
1 ∴∠ BAC= 2 ∠ BOC=30°．
Hale Waihona Puke 答案： 30°．4. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上， 延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与 ⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．
解析： （1）由圆周角定理得，∠A=∠D=60°； （2）由三角形内角和得∠ABC=60，°所以△ABC 是等边三角 形， 作 OE⊥AC， 连接 OA， 由垂径定理得， AE=CE= AC= cm，再由余弦的概念求得半径 OA 的长，由圆的周长公式求 得周长． 答案： 解： （1） ∠BAC=∠BDC=60（ ° 同弧所对的圆周角相等） ； （2）∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=60°， ∴△ABC 是等边三角形， 作 OE⊥AC 于点 E，连接 OA，则 OA 平分∠BAC， ∴∠OAE=30°， ∴OA= =2cm，
中考预测 4.如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂 足为 M，下列结论不成立的是（ ） A． CM=DM C．∠ ACD=∠ ADC B． D． OM=MD
解析：∵ AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂足为 M， ∴ M 为 CD 的中点，即 CM=DM，选项 A 成立； B 为 的中点，即 ，选项 B 成立； 在△ ACM 和△ ADM 中， ∴△ ACM≌△ ADM（ SAS）， ∴∠ ACD=∠ ADC，选项 C 成立； 而 OM 与 MD 不一定相等，选项 D 不成立． 答案： D
解析：∵∠ ABC= ∠ AOC， 而∠ ABC+∠ AOC=90°， ∴ ∠ AOC+∠ AOC=90°， ∴∠ AOC=60°． 答案 C．
4. （2014•山西）如图，⊙O是△ABC的外 接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则 ∠C的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．80°
(6)连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过 圆心的弦叫做直径． (7)弧、弦、圆心角的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的 相等， 所对的 弦 相等， 所对 弧 的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两 个 圆心角 ，两条弧， 两条弦 中有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量也 分别相等．
答案：D．
2. （2013 广州） 如图， 在平面直角坐标系中， 点 O 为坐标原点， 点 P 在第一象限， ⊙P 与 x 轴交于 O，A 两点，点 A 的坐标为（6，0） ， ⊙P 的半径为 ， 则点 P 的坐标为 ．
解析：过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，连接 OP， ∵A（6，0） ，PD⊥OA，∴OD= OA=3， 在 Rt△OPD 中， ∵OP= ，OD=3， ∴PD= = =2， ∴P（3，2） ．
答案： （3，2） ．
3. （2007广东）如图，已知⊙O的直径 AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交 AD于点F，若CF⊥AD，AB=2，求CD 的长．
解析：⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，则 CD=2CE； 在直角△OED 中， 易证∠ODC=30 度， 就可以求出 DE 的长，进而求出 CD 的长． 答案：解：在△AOF 和△COE 中， ∠AFO=∠CEO=90°， ∠AOF=∠COE，所以∠A=∠C， 连接 OD，则∠A=∠ODA，∠C=∠ODC， 所以∠A=∠ODA=∠ODC， 因为∠A+∠ODA+∠ODC=90°，所以∠ODC=30°， 所以 DE=OD×cos30°= ，CD=2DE= ．
（2）存在，DE 是不变的，理由是：如图，连接 AB， 过点 O 作 AB 的垂直平分线， 与 AB 交于点 F， 与弧 AB 交于点 M， 则 OM 平分∠AOB 与弧 AB， ∴∠AOF=60°， 在 Rt△AOF 中，∵ ， ∴ ，∴AB=2AF=6， 由垂径定理可知，点 D、E 分别是 BC 和 CA 的中 点， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴ ．
A． AD=DB C． OD=1 B． D．AB=
解析：连接 OA，OB．∵OD⊥AB， ∴由垂径定理和圆周角定理知， OD 是 AB 的 中垂线，有 AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠ C=60°． ∴AD=AOsin60°= ，OD=OAsin∠ AOD=OAsin60°=1．∴AB=2 ． ∴A、B、C 均正确，D 错误．
2.垂径定理 定理：垂直于弦的
平分
直径
平分弦，并且
弦所对的两条弧． 推论 1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂 直于弦，并且 弦所对的两条弧 平分 (2)弦的垂直平分线经过 平分 弦所对的两条弧．
平分 圆心
，并且
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直 弦，并且 平分 弦所对的另一条弧． 弧 推论 2： 圆的两条平行弦所夹的 相 等．
考点归纳：本考点曾在2007、2013年广州 市中考考查，为次高频考点.考查难度中等， 为中等难度题，解答的关键是理解垂径定理. 圆中常作的辅助线：（1）作半径，利用同 圆的半径相等：(2)作弦心距，利用垂径定理 进行计算或推理或利用圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系进行证明：（3）作半径和 弦心距，构造直角三角形进行计算；（4） 连直径，构造直径所对的圆周角——直角； （5）构造同弧或等弧所对的圆周角；（6） 遇到三角形外心，常连接外心与三角形各顶 点.
解析：∵ ∠ COD=34°， ∴∠ BOC=∠ EOD=∠ COD=34°， ∴∠ AOE=180°-∠ EOD-∠ COD-∠ BOC=78 °． 又∵ OA=OE， ∴∠ AEO=∠ AOE， ∴∠ AEO= ×（ 180°-78°） =51°． 答案： A．