高一数学第四章(第6课时)任意角的三角函数(2)

课 题：4.3 任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r2．比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切 记作： yx =αcot比值x r叫做α的正割 记作： xr =αsec 比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数. 3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：r y =αsin R y r=αcsc {}Z k k ∈≠,|παα r x =αcos R x r =αsec ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα yx=αcot {}Z k k ∈≠,|παα 4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.(2)OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin ”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关. (5)比值只与角的大小有关. 二、讲解新课：1. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0 第二象限：0,0.><y x∴sin α>0,cos α<0,tan α<0,cot α<0,sec α<0,csc α>0 第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0 第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0 记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正ααcot tan 为正 ααsec cos 为正2. 终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和-330°都30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即 sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30° 诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．三、讲解范例：例1(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48° 而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan )235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例2 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ证明：必要性：∵θ∴⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ充分性：∵sin θ＜0，∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上 ∵tan θ＞0，∴θ是第一或第三象限角. ∵sin θ＜0，tan θ＞0都成立. ∴θ为第三象限角. 例3 求下列三角函数的值(1)sin1480°10′ (2)49cosπ （3）)611tan(π-. 解:(1)sin1480°10′＝sin （40°10′＋4×360°）＝S in40°10′＝0.6451 (2) 224cos )24cos(49cos==+=ππππ(3).336tan )26tan()611tan(==-=-ππππ 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)． =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°=21212323⨯+⨯-1=0 四、课堂练习：1.确定下列各式的符号 (1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号. 解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角. ∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.(2)∵,2523ππ<<∴5是第四象限的角 ∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0. 2. .x 取什么值时,xxx tan cos sin +有意义?分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R ，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠)Z (20tan k k x x ππ解得: ⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠∈≠)Z (2)Z (k k x k k x πππ 即:)Z (2∈≠k kx π 所以,当⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠∈)Z (2k k x x x π时，x x x tan cos sin +有意义. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（B ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能 4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B ） A ：sin α+cos α<0 B ：tan α-sin α<0 C ：cos α-cot α<0 D ：cot αcsc α<0 5．已知θ是第三象限角且02cos<ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角 又∵02cos <ϑ则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 6．已知1212sin <⎪⎭⎫⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？解： 由1212sin <⎪⎭⎫⎝⎛ϑ∴sin2θ>0∴2k π<2θ<2k π+π )(Z k ∈ ∴k π<θ<k π+2π ∴θ为第一或第三象限角五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础. 六、课后作业：1. 确定下列三角函数值符号：2.化简ααααα222222sin 1cos 1cos sin cot tan -+--a .解法一：(定义法)设点P (x ,y )是角α终边上的一点，且|OP |=r,则将sin α=ry ,cos α=r x,tanα=x y ,cot α=yx代入得： 原式=222222)()()()()()(y r x r rx r y y xx y -+-- 22222222244)()()(y x x y r x y y x r x y 2-+--= α222cos 22==x r 解法二：(化弦法)原式=αααααααααα22222222cos sin cos sin cos sin )sin cos ()cos sin (-+-- ααααααααα222222222cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin =-++= 解法三：(换元法)设cos 2α=a ,则sin 2α=1-a ,tan 2α=aa-1,代入得 原式)1(21)21)(1()1(111)1(1122a a a a a a a a a a a a a aa a --+----=--+-----α2cos 22)1(21)1(1==--+-=a a a a a a 评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.七、板书设计（略） 八、课后记：已知sin 3α+cos 3α=1,求下列各式的值：(1)sin α+cos α；(2)sin 4α+cos 4α分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sin α+cos α的方程，然后求解.(1)解法一：∵(sin α+cos α)3=sin 3α+3sin 2αcos α+3sin αcos 2α+cos 3α=(sin 3α+cos 3α)+3(1-cos 2α)cos α+3(1-sin 2α)sin α=1+3cos α-3cos 3α+3sin α-3sin 3α=1+3(sin α+cos α)-3(sin 3α+cos 3α) =3(sin α+cos α)-2.∴(sin α+cos α)3-3(sin α+cos α)+2=0.令sin α+cos α=t ,则t 3-3t +2=0⇒(t -1)2(t +2)=0. ∴t =1或t =-2即sin α+cos α=1或sin α+cos α=-2(舍去).解法二：∵sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α-sin αcos α+cos 2α)=(sin α+cos α)(1-sin αcos α).∴(sin α+cos α)(1-sin αcos α)=1.注意到sin αcos α可用sin α+cos α表示，并令sin α+cos α=t ,则sin αcos α=212-t ,故上式化为t (1-212-t )=1⇒t 3-3t +2=0.(下同解法一).(2)解：∵sin α+cos α=1，∴(sin α+cos α)2=1⇒sin αcos α=0. 故sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2-2sin 2αcos 2α=1-2sin 2αcos 2α=1. 评注：对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.。