2014届高三数学(人教A版)一轮复习练习曲：限时规范特训第3章三角函数、解三角形第7讲 Word版含解析]

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2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练第3章三角函数、解三角形第2课时 Word版含解析]

一、选择题1．(2013·济南调研)已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＝( ) A ．－35 B.35C ．±35D ．以上都不对解析：选A.∵cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 2．已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为( )A ．±15B ．－15C.15 D ．－75解析：选 B.tan(α－7π)＝tan α＝－34，∴α∈(π2，π)，sin α＝35，cos α＝－45，∴sin α＋cos α＝－15.故选B.3．(2013·福州检测)1－2sin (π＋2)cos (π＋2)等于( ) A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±(sin2－cos2) D ．sin2＋cos2 解析：选A.原式＝1－2(－sin2)(－cos2) ＝1－2sin2cos2＝|sin2－cos2|，∵sin2＞0，cos2＜0，∴原式＝sin2－cos2.4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A.23 2 B ．－23 2 C.13 D ．－13解析：选D.cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 5．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝( ) A.65 B.95 C.43 D.53 解析：选B.∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.故选B.二、填空题6．(2013·聊城质检)sin(－210°)＝________.解析：sin(－210°)＝sin30°＝12.答案：127．(2013·德州质检)cos 9π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－7π6＋sin21π的值为________．解析：原式＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4－tan ⎝⎛⎭⎫π＋π6＋0 ＝cos π4－tan π6＝22－33＝32－236.答案：32－2368．(2011·高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝__________. 解析：∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴()2cos α2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 答案：－55三、解答题9．(2013·东营质检)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin (3π2－α)－sin (－α)的值．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.10．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫－α＋32πcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin αcos α(－sin α)sin α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15，又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.一、选择题1．(2013·济南调研)若cos(2π－α)＝53且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin(π－α)＝( ) A ．－53 B ．－23C ．－13D ．±23解析：选B.cos(2π－α)＝cos α＝53，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫532＝－23.∴sin(π－α)＝sin α＝－23.2．(2013·抚顺质检)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1} C ．{2，－2} D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C.当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.二、填空题3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为________．解析：sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32. 答案：324．(2011·高考重庆卷)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________．解析：由题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝⎛⎭⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.答案：－142三、解答题5．是否存在α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β), 3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在α、β使得等式同时成立，即有⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos (π2－β)， ①3cos (－α)＝－2cos (π＋β)， ②由诱导公式可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ③3cos α＝2cos β. ④③2＋④2得sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝12.又∵α∈(－π2，π2)，∴α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知符合．将α＝－π4代入④得cos β＝32.又β∈(0，π)，∴β＝π6，代入③可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义4.3三角函数的图象与性质

第3讲三角函数的图象与性质【2014年高考会这样考】1．考查三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性．2．考查三角函数的图象在研究三角函数性质中的应用．对应学生56考点梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).一点提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．两种方法求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决．考点自测1．(2011·新课标全国)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )． A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析先将f (x )化为单一函数形式： f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4.由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .由0<2x <π，得0<x <π2时，f (x )单调递减，故选A. 答案 A2．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )．A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解析因为f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝ 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．答案 B3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )．A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称解析由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋π3＝sin π＝0. 答案 B4．(2013·郑州模拟)已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，那么( )． A ．0<ω≤32 B ．0<ω≤2 C ．0<ω≤247 D ．ω≥2解析由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4且ω>0，得ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ3，ωπ4.又y ＝sin x 是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2，－ωπ3≥－π2，解得0<ω≤32.答案 A5．(2012·全国)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为2，又0≤x ＜2π，故当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，y 取得最大值．答案 5π6对应学生57考向一与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】►(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．(2)函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最大值为________，最小值为________．[审题视点] (1)求使sin x ≥cos x 的x 的集合即可；(2)先化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再由x 的范围求解．解析 (1)sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. (2)f (x )＝2cos x sin x －2cos 2x ＋1＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)2 －1(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【训练1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值为________，最大值为________．解析(1)由题意知：tan x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π，k ∈Z，又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ，故函数的定义域为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2sin 2x －sin x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12时，y max ＝2. 答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z (2)78 2考向二三角函数的单调性【例2】►(2012·北京)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．[审题视点] 求原函数的定义域，只要使得原函数式有意义即可；先化简原函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求周期及单调区间．解 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }，因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．【训练2】求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)将2x ＋π6看做一个整体，根据y ＝cos x 的单调递增区间列不等式求解．函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .故y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )．(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，∴由π2＋2k π≤x 2－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3，k ∈Z . 故y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋5π3，4k π＋11π3(k ∈Z )．考向三三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】►(1)若0＜α＜π2，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．(2)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________.[审题视点] (1)只需令π4＋α＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)应满足3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .解析 (1)要使g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋α为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，α＝k π＋π4，k ∈Z ，∵0<α<π2，∴α＝π4.(2)由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，即3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，∴k ＝0，故φ＝π4. 答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)，(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2 (x ∈R )，下面结论错误的是( )． A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.答案 C对应学生58规范解答6——如何解决三角函数的值域(或最值)问题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对三角函数的值域(或最值)的考查特别青睐，主要考查y ＝A sin(ωx ＋φ)形式的三角函数在R 上或给定的闭区间[a ，b ]上的值域(或最值)，往往作为某一种答题的其中一问，题目难度不大．【真题探究】► (本小题满分12分)(2012·湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．[教你审题] 一审准确化成形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式；二审充分利用对称轴x ＝π；三审确定λ的值．[规范解答] (1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ.(3分)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.(5分)所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分)(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.(9分)由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，(11分)故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．(12分)[阅卷老师手记] (1)将所给函数变换到f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式时由于变换公式和变换方法不熟造成失分．(2)有的考生混淆了对称轴与对称中心，导致失分．第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：根据题设条件求出y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 中有关的参数．第三步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin(ωx ＋φ)的取值范围．第四步：求出所求函数的值域(或最值)．【试一试】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.对应学生255A 级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32C ．2D ．3解析由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )．A ．0B.π6C.π4D.π3解析据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 B3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 答案 A4．(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析由f (x )＝sin(2x ＋φ)，且f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝±1. ∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π6(k ∈Z )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ＝k π＋π6(k ∈Z )，k 为奇数．∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋k π＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴由2m π＋π2≤2x ＋π6≤2m π＋3π2(m ∈Z )，得m π＋π6≤x ≤m π＋2π3(m ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤m π＋π6，m π＋2π3(m ∈Z )．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.答案 326．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，且在这个区间上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝34. 答案 34三、解答题(共25分) 7．(12分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知：定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }． (2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．(13分)(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域．解 (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.B 级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·新课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C.取ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 答案 A2．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )．A.π4B.π3C.π2 D.3π4解析由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·徐州模拟)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，224．(2012·西安模拟)下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件； ②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形； ④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4. 其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确． ②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误． ③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2， ∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14，∴f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z. 6．(13分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，又∵a >0，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 综上，g (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )；递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。

2014年高考人教A版数学(理)一轮针对训练第3章三角函数、解三角形第4课时 Word版含解析]

一、选择题1．(教材习题改编)下列各式的值为14的是( ) A ．2cos 2π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan22.5°1－tan 222.5°D ．sin15°cos15° 解析：选D.2cos 2π12－1＝cos π6＝32；1－2sin 275°＝cos150°＝－32；2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1；sin15°cos15°＝12sin30°＝14. 2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( ) A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B.cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19. 3．(2011·高考辽宁卷)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：选A.sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 4．(2012·高考山东卷)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45C.74D.34解析：选D.因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34，选D. 5．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( ) A.35 B.45C ．±35D ．±45解析：选C.∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝1825. ∴cos θ2＝±35. 二、填空题6．(预测题)已知sin α＝35且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝ ________.解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝35×12＋⎝⎛⎭⎫－45×32＝3－4310. 答案：3－43107．(2013·烟台质检)已知6sin x ＋2cos x ＝1m，则m 的取值范围是________．解析：6sin x ＋2cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∴－22≤1m ≤22，解得m ≤－24或m ≥24. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－24∪⎣⎡⎭⎫24，＋∞ 8．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α＝________. 解析：cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α－cos α)＝－22，则cos α＋sin α＝12. 答案：12三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值；(2)设α∈(0，π)，f ⎝⎛⎭⎫α2＝22，求sin α的值．解：(1)∵f (x )＝sin2x ＋cos2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin π2＋cos π2＝1. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝sin α＋cos α＝22.∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝±32. sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4 ＝12×22－⎝⎛⎭⎫±32×22＝2∓64. ∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.故sin α＝2＋64. 10．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2. (1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式|f (x )－m |＜2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos2x ＝1＋sin2x －3cos2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，又∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即2≤1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤3. ∴f (x )max ＝3，f (x )min ＝2.(2)∵|f (x )－m |＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤π2. ∴m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2，∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)．一、选择题1．(2012·高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.43解析：选B.∵sin α＋cos αsin α－cos α＝12，∴2sin α＋2cos α＝sin α－cos α，整理得sin α＝－3cos α，即sin αcos α＝－3＝tan α，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34.故选B. 2．若cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－34，则sin2x 的值为( ) A.24 B ．－18C ．－24 D.18解析：选D.sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－342－1＝18. 二、填空题3．设α是第二象限的角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α2＝________. 解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限后半段，又sin α2＜cos α2. ∴α2为第三象限的角．∴cos α2＜0. ∵tan α＝－43，∴cos α＝－35， ∴cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55. 答案：－554．在△ABC 中，已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝35，则cos2A 的值为________．解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝cos π4cos A －sin π4sin A ＝22(cos A －sin A )＝35， ∴cos A －sin A ＝325＞0.① ∴0＜A ＜π4，∴0＜2A ＜π2. 由①两边平方得1－sin2A ＝1825， ∴sin2A ＝725. ∴cos2A ＝1－sin 22A ＝2425. 答案：2425三、解答题5．(2011·高考天津卷)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小．解：(1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，所以x ≠π8＋k π2，k ∈Z . 所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }， f (x )的最小正周期为π2. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以α＝π12.。

2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.3三角函数图象和性质课件新人教A版

a， c 的大小关系是 b，
(
)
A．a<b<c C．b<a<c
B．c<a<b D．b<c<a
解析： (1)作出 y＝|tan x|的图象，观察图象可知， y＝|tan x|
π 的增区间是kπ，kπ＋2 ，k∈Z. π (2)f(x)＝sin x＋ 3cos x＝2sin x＋3 ，因为函数
3 答案：5 π＋2kπ，k∈Z 4
1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y
＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调
区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：
π π (1)y＝sinωx－4 ；(2)y＝sin4 －ωx.
1 cos x－的定义域为________． 2 (2)函数 y＝sin2x＋sin x－1 的值域为
(
)
A．[－1,1]
5 C.－4，1
5 B.－4，－1 5 D.－1，4
sin x>0， [自主解答] (1)要使函数有意义必须有 1 cos x－2≥0， sin x>0，即 1 cos x≥2， 2kπ<x<π＋2kπ，解得 π (k∈Z)， π －3＋2kπ≤x≤3＋2kπ
π ＋kπ，0 2
y＝tan x 奇函数
kπ ，0 2 (k∈Z)
(kπ，0)
∈Z)
(k∈Z)
函数对称轴方程周期
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
π x＝＋kπ 2 (k∈Z) x＝kπ (k∈Z)

河南省高三数学一轮复习试题选编3 三角函数新人教A版

河南省2014届高三理科数学一轮复习试题选编3：三角函数一、选择题1 ．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题）已知sin 71()63πα+=,则sin 7(2)6απ-= （）A ．79 B ． 79-C ．19D ． 19-【答案】A 2 ．（河南省郑州市智林学校2013届高三4月模拟考试数学试题（理））已知θ是三角形的一个内角,且sin θ、cos θ是关于x 的方程2x 2+px-1=0的两根,则θ等于（）A ．4πB ．3π C ．34π D ．56π 【答案】C 3 ．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）若平面直角坐标系中两点,M N 满足条件:,M N ①分别在函数(),()f x g x 的图像上;②M,N 关于(1,0)对称,则称点对(,)M N 是一个“相望点对”(说明:(,)M N 和(,)N M 是同一个“相望点对”),函数12s i n (24)1y y x x x π==-≤≤-与的图像中“相望点对”的个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B4 ．（河南省新县高级中学2013届高三第三轮适应性考试数学（理）试题）函数()()2cos 0y x ωϕω=+>且,2πϕ<在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,且函数值从2-增大到2,那么函数图像与y 轴交点的纵坐标为（）A ．1B ．2C ．3D 【答案】（） A ．5 理）试题）已知函数（）A D 6 ．（河南省洛阳市2013届高三期上学期末考试数学（理）试题）若,则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C7 ．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十四次调考数学（理）试题）在∆ABC 中,,,A B C ∠∠∠所对的边分别为a, b,c,已知B ∠=3π,则∆ABC 的面积为（）A ．B ．2C ．2D 【答案】B8 ．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图像关于直线x=32π对称,它的周期是π,则（）A ．)(x f 的图象过点(0,21) B ．)(x f 在[32,12ππ]上是减函数C ．)(x f 的图像一个对称中心是(0,125π) D ．)(x f 的最大值是4 【答案】C 9 ．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十三次调考数学（理）试题）在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C的对边,若22a b ＋=20142c ,则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅＋的值为（）A ．0B ．1C ．2013D ．2014【答案】C ．10．（河南省郑州市盛同学校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设函数3f (x )|sin(x )|(x R )π=+∈,则f (x ) （）A ．在区间[π-,2π-]上是减函数B ．在区间[23π,76π]上是增函数 C ．在区间[8π,4π]上是增函数 D ．在区间[3π,56π]上是减函数1112．（河南省洛阳市2013届高三二练考试数学（理）试题）已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称,且()012f π=,则ω的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 13．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）将函数)32sin()(π+=x x f 的图象向右平移4π个单位后得到的函数)(x g y =的图象,则)(x g 的单调递增区间为（）A ．)](32,62[Z k k k ∈+-ππππB ．)](652,32[Z k k k ∈++ππππ C ．)](3,6[Z k k k ∈+-ππππD ．)](65,6[Z k k k ∈++ππππ 【答案】C14．（河南省信阳高中2013届高三4月模拟考试（一）数学理试题）已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><,其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=,则（）A ．()f x 的最小正周期为2π,且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π,且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π,且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π,且在(0,)2π上为单调递减函数【答案】C15．（河南省2013届高三新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题）已知△ABC 中,C=45°,则sin 2A=sin 2B（）A ．14 B ．12C ．2D ．34【答案】B16．（河南省郑州市在区间6,3[ππ-AC ．3D ．226+17．（河南省洛阳市2013届高三期上学期末考试数学（理）试题）将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向右平移4π个单位,若所得函数的最小正周期为π,且在(,)2ππ上单调递减,则ϕ的值可以为（）A ．-πB ．2πC ．0D ．π【答案】C 18．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）函数()(sin cos )(sin cos )f x x x x x =+-是（）A ．奇函数且在[0,]2π上单调递增 B ．奇函数且在[,]2ππ上单调递增 C ．偶函数且在[0,]2π上单调递增D ．偶函数且在[,]2ππ上单调递增【答案】C19．（河南省2013届高三新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题）若1sin cos (0,)2αααπ+=∈,则tan α=B ．CD ．【答案】D20．（2012年新课标理）已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是()A 15[,]24 ()B 13[,]24()C 1(0,]2 ()D (0,2]【答案】选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意排除()()B C另:()22πωππω-≤⇔≤,3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂ 得:315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤ 21．（2011年高考（新课标理））设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++(ω>0,||ϕ<2π)的最小正周期为π,且()f x -=()f x ,则()f x（）A ．在(0,2π)单调递减 B ．在(4π,34π)单调递减 C ．在(0,2π)单调递增D ．在(4π,34π)单调递增【答案】【命题意图】本题和与差的正余弦公式、三角函数性质,是中档题.【解析】∵()f x +)4x πωϕ+,由题意知2πω=π且+4πϕ=2k ππ+,解得ω=2,ϕ=4k ππ+,又∵||ϕ<2π,∴ϕ=4π,∴()f x +)2x π2x ,当x ∈(0,2π)时,2x ∈(0,π),故()f x 在(0,2π)单调递减,故选（）A ．22．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知{}1234,,,|(6)sin12x x x x x R x x π+⎧⎫⊆∈-=⎨⎬⎩⎭,则1234x x x x +++的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B 23．（河南省郑州市智林学校2013届高三4月模拟考试数学试题（理））已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示,则()f x 的解析式是（）A ．()sin(3)()3f x x x R π=+∈ B ．()sin(2)()6f x x x R π=+∈C ．()sin()()3f x x x R π=+∈D ．()sin(2)()3f x x x R π=+∈【答案】B 24．（河南省2013届高三新课程高考适应性考试（一）数学（理）试题）已知a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足(a-c)·(b 一c)=0,则|c|的最大值是（）A ．1B ．2C ．2D 【答案】D25．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）若实数11ea dx x=⎰.则函数()sin cos f x a x x =+的图像的一条对称轴方程为（）A ．x=0B ．34x π=-C ．4π-D ．54x π=-【答案】B 二、填空题 26．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）若ABC ∆为锐角三角形,,,A B C 的对边分别为,,a b c ,sin()4B c π+=,则sin sin B C 的取值范围是____________________.【答案】2(24+ 27．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）在ABC∆中,边,,a b c 所对的角分别是,,,A B C 已知():():()4:5:6b c c a a b +++=,若8b c +=,则ABC ∆的面积是____【答案】431528．（2011年高考（新课标理））在ABC ∆中,060B =,AC =则2AB BC +的最大值为___________.【答案】【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角公式、三角函数最值问题,是有难度的题目.【解析】由正弦定理sin sin sin AC BC ABB A C==得, AB =sin sin AC C B =2sin C ,BC =sin sin AC A B=2sin A ,∴2AB BC +=2sin C +4sin A =02sin(120)4sin A A -+5cos A A +=)A ϕ+(tan ϕ=,000120)A <<,故2AB BC +的最大值为29．（河南省洛阳市2013届高三期上学期末考试数学（理）试题）在△ABC 中,内角A,B,C 所对边长分别为a,b,c,若,c-b=1,cos A=,则△ABC 的面积是_____________.【答案】230．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）在△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,三边a 、b 、c 成等差数列,且B=4π,则cosA--cosC 的值为_________.【答案】31．（2013课标2卷高考数学（理））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.【答案】5-由θ为第二象限,且1tan()042πθ+=>,所以角θ的终边落在直线y x =-的左侧,sin cos 0θθ+<,由1sin cos 1tan()42cos sin 2πθθθθθ++=⇒=-,设sin cos x θθ+=,则cos sin 2x θθ-=,故有225x =,即sin cos θθ+=. 32．（2013课标1卷高考数学（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】【解析】∵()f x =sin 2cos x x -)x x令cos ϕ,sin ϕ=,则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+, 当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈,即x =2,2k k z ππϕ+-∈时,()f x 取最大值,此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈,∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=. 33．（河南省信阳高中2013届高三4月模拟考试（一）数学理试题）已知ΔABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若a = 1,2cos C + c = 2b ,则ΔABC 的周长的取值范围是_________. 【答案】(]3,2 34．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）△ABC 中,222sin sin 2sin A B C +=,则∠C 最大值为___________; 【答案】060 35．（河南省六市2013届高中毕业班第一次联合考试数学（理）试题）在△ABC 中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC 有两解,则BC 边长度的取值范围为____________. 【答案】(2,4) 36．（2010年高考（全国新课标理））在ABC ∆中,D 为边BC 上一点,BD=12DC,ABC ∠=120°,AD=2,若ADC ∆的面积为3则BAC ∠=_________. 【答案】060解析：设BD a =，则2DC a =，由已知条件有011sin 22sin 603122ADC S AD DC ADC a a ∆=⋅⋅∠=⨯⨯==-=，再由余弦定理分别得到226,24AB AC ==-1cos 2BAC ∠=，所以060BAC ∠=．三、解答题 37．（河南省郑州市第四中学2013届高三第十三次调考数学（理）试题）已知函数f(x)=cos(2x-3π)+sin 2x-cos 2x. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;(Ⅱ)设函数g(x)=[f(x)] 2+f(x),求g(x)的值域. 【答案】2π11sin 2.624x ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时,()g x 取得最小值14-,当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,()g x 取得最大值2,所以()g x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.38．（河南省洛阳市2013届高三二练考试数学（理）试题）(本题满分 12 分)已知函数()sin()sin() 1.33f x x x x ππ=++-+(1)若 [0,]2x π∈ 求()f x 的值域;(2) △ ABC 中,角 A , B , c 的对边为 a , b ,c,若()1,1,2f B b c π+===求a 的值.【答案】39．（2012年新课标理）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C b c --=(1)求A (2)若2a =,ABC ∆的面积为3;求,b c【答案】(1)由正弦定理得:cos sin 0sin cos sinsin sin a C Cb c A C A C B C --=⇔=+ sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=(2)1sin 42S bc A bc ==⇔=2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 解得:2b c ==40．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,点(a,b)在直线4xcos B C y B cos cos =-上.(1)B cos 求的值;(2)若23,3==⋅b ,求a 和c. 【答案】41．（河南省新县高级中学2013届高三第三轮适应性考试数学（理）试题）设R ∈λ,)2(cos )cos sin (cos )(2x x x x x f -+-=πλ满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)求函数)(x f 的单调递增区间;(2)设ABC ∆三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且c a c cb a bc a -=-+-+2222222,求)(x f 在 (]B ,0上的值域. 【答案】(2)c a cc b a b c a -=-+-+2222222,由余弦定理可变形为c a c C ab B ac -=2cos 2cos 2,由正弦定理为 21cos =B 3π=⇒B]3,0(π∈x 2626πππ≤-<-⇒x ]2,1()(-∈⇒x f42．（河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测数学（理）试题）如图所示,一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50 公里/小时的速度勻速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点O 点的距离为5公里,距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度勻速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?【答案】解:作MI 垂直公路所在直线于点I ,则3=MI ,54cos 4,5=∠∴=∴=MOI OI OM ――――2分设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时,追上汽车的时间为t 小时由余弦定理:()()545052505222⨯⨯⨯-+=t t vt ――――6分 900900)81(25250040025222≥+-=+-=⇒t t t v -――――8分 ∴当81=t 时,v 的最小值为30,∴其行驶距离为415830==vt 公里――――11分故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了415公里. ――――12分 43．（河南省郑州市盛同学校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）在ΔABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ,且1a =,c =3cos 4C =. (1)求sin A 的值; (2)求ΔABC 的面积. 【答案】44．（2013课标1卷高考数学（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA【答案】【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74;(Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=,∴tan α,∴tan PBA ∠45．（2013课标2卷高考数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.【答案】解析:本题考查正、余弦定理的应用,解题过程如下:(1)因为 a=bcosC+csinB 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB因为sinC>0,所以有 cosB=sinB 从而有 B=45 º (2)由余弦定理可知:2222cos452b a c ac ac =+-︒≥所以有 )22(2+≤ac ,当且仅当c a =取等号1222)22(221sin 21+=⋅+⋅≤=B ac S 故面△ABC 面积的最大值为12+. 46．（河南省焦作市2013届高三第二次模拟考试数学理试题）已知m =(sin ωx+cos ωcos ωx),n =(cos ωx-sin ωx,2sin ωx),函数f(x)=m ·n ,其中ω>0,若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于2π.(1)求ω的取值范围;(2)△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,当ω最大时,f(A)=1, 求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)n m x f⋅=)(x x x x ωωωωcos sin 32sin cos 22+-= 62sin(2πω+=x ),∴>，0ω 函数)(x f 的周期ωπωπ==22T ,由题意可得22π≥T ,即22πωπ≥,解得10≤<ω. (2)由(1)可知)62sin(2)(π+=x x f ,1)(=A f ,21)62sin(=+∴πA .因为π<<A 0,所以πππ613626<+<A ,故3,6562πππ==+A A .由余弦定理知bc a c b A 2cos 222-+=,∴bca cb 221222-+=,322=-+bc c b ,,3,222≤∴≥+bc bc c b (当且仅当""b a =时“=”号成立)故433sin 21≤=∆A bc ABC S .即ABC S ∆的最大值为433.47．（河南省十所名校2013届高三第三次联考数学（理）试题）已知函数f(x)=cos(2x-3π)+sin 2x-cos 2x. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;(Ⅱ)设函数g(x)=[f(x)]2+f(x),求g(x)的值域. 【答案】解:(Ⅰ)13()cos 2 2cos 222f x x x x =+- πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∴()f x 的最小正周期为π,由ππ2π,,62x k k -=+∈Z 得ππ=,,23k x k +∈Z ∴函数图象的对称轴方程为ππ=,.23k x k +∈Z (Ⅱ)[]22ππ()()()sin 2sin 266g x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2π11sin 2.624x ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时,()g x 取得最小值14-, 当πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,()g x 取得最大值2, 所以()g x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 48．（河南省开封市2013届高三第二次质量检测数学（理）试题）已知函数21()cos 3sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π (I)求ω值及f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,已知31,2,()2A a b f ===,求角C 的大小. 【答案】49．（河南省郑州四中2013届高三第六次调考数学（理）试题）已知函数(1) 求函数)(x f 的最小正周期;【答案】解:(1)()cos 2cos 22sin cos 66f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6sin 2sin 6cos 2cos ππx x -=+6sin 2sin 6cos 2cos ππx x +x x cos sin 2+ x 2cos 232⨯=x 2sin + x 2cos 3=x 2sin +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 212cos 232 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x 2sin 3cos 2cos 3sin 2ππ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx ∴()f x 的最小正周期为ππ==22T (2)由(1)知()x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin 2πx , 由33ππ≤≤-x ,得πππ≤+≤-323x , ∴当232ππ=+x ,即12π=x 时, ()f x 取得最大值2; 当332ππ-=+x ,即3π-=x 时, ()f x 取得最小值3-50．（河南省六市2013届高中毕业班第一次联合考试数学（理）试题）已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π=在一个周期上的一系列对应值如表:(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f(A)=-12(A 为锐角),求△ABC 的面积. 【答案】51．（河南省焦作市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且c=2bsinC.(1)求B 的大小;(2)求sinA+cosC 的取值范围.【答案】。

山东省青岛理工大学附中2014年高考数学一轮复习《三角函数》精品训练新人教A版

青岛理工大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习：三角函数本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若3sin ,,052a πα⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则5cos 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A ．BC ．D 【答案】C2．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ． m 250B ． m 350C ．m 225D ．m 2225 【答案】A3．角θ的终边与单位圆交于点(P ，则cos()πθ-的值为( )A ．B ．CD 【答案】C4．下列四个命题中，正确的是( )A ．第一象限的角必是锐角B ．锐角必是第一象限的角C ．终边相同的角必相等D ．第二象限的角必大于第一象限的角【答案】B5．已知α∈(2π-，0)，55)23sin(=--πα，则()απ--sin =( ) A ． 55 B ． 552 C ．55- D ． 552- 【答案】D6．下列关系式中正确的是( )A ．000sin10cos10sin160<<B ．000sin160sin10cos10<<C ．000sin10sin160cos10<<D ．000sin160cos10sin10<<【答案】C7，则a =( )A ．1 BC ．2D ．3【答案】B8．计算 43cos 13sin 13cos 43sin -的值等于( )A ．12 BC ．D【答案】A9．若已知tan10°=a ，求tan110°的值，那么在以下四个值 ①a a a a a 211333132--+-+；③；②④2a 12-中，正确的是( )A ．①和③B ．①和④C ．②和③D ．②和④【答案】C10．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点( )A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A11．设角35,6απ=-则)(cos )sin(sin 1)cos(2)cos()sin(22απαπααπαπαπ++-+++--+的值等于( )A ．21-B ．－23C ．23D ．21【答案】D12．下列各命题正确的是( )A ．终边相同的角一定相等．B ．第一象限角都是锐角．C ．锐角都是第一象限角．D ．小于90度的角都是锐角．【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．cos 480的值为____________ 【答案】12- 14．已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的面积为_____________．【答案】1003π㎝2 15．54sinlg 2lg 7cos lg 63ππ⋅-++= __ 【答案】016．函数()cos 2x f x x π=，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++= ．【答案】1006三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c，且(2)cos cos b A C -=． (Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ）若54cos ,1==B a ，求ABC ∆的面积．【答案】（1）∵(2)cos cos b A C =，∴(2sin )cos cos B C A A C =．即2sin cos cos cos B A A C C A =．∴2sin cos )B A A C =+．则2sin cos B A B =，∴cos A =，因为0A π<<则6A π=． (2）4cos sin 5=B B 由得，35=又1cos sin 2A A ==，143sin 255=sin(A+B)=C ∴⨯由sin sin a b A B =得，65b =1sin 2ABC S ab C ∆∴== 18．在△ABC中，0120,,ABC A c b a S =>==c b ,。

2014届高考数学一轮复习第3章《三角函数、解三角形》(第3课时)知识过关检测理新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第3章《三角函数、解三角形》（第3课时）（新人教A 版）一、选择题1．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210B.7210 C ．－210D.210解析：选A.由于α是第三象限角且cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22(－45－35)＝－7102.2．(2013·青岛质检)cos42°cos78°＋sin42°cos168°等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32 解析：选A.cos42°cos78°＋sin42°cos168° ＝cos42°cos78°－sin42°sin78°＝cos120°＝－12.3．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4 解析：选A.由题意得，tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－3，即tan(A ＋B )＝－3，又tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，∴C ＝π3.4．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( )A.225 B ．－225C.425D ．－425解析：选 A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A. 5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12 B.12C ．－13 D.2327解析：选D.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 二、填空题6．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos π3cos α－sin π3sin α＋sin π6cos α＋cos π6sin α＝12cos α－32sin α＋12cos α＋32sin α＝cos α. 答案：cos α7．tan20°＋t an40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40° ＝tan60°－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40° ＝ 3. 答案： 38．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：∵cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，∴cos αcos π3－sin αsin π3＝sin αcos π3－cos αsin π3，∴tan α＝1. 答案：1 三、解答题9．求值：(1)2cos10°－sin20°sin70°；(2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．解：(1)原式＝－－sin20°sin70°＝3cos20°＋sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝ 3.(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3.10．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，得－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，知cos(α－β)＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.一、选择题1．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 解析：选B.tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B ＝ 3.解得tan A tan B ＝13，故选B.2．(2013·潍坊调研)设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．cos(α＋β)>cos αcos β C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β) 解析：选C.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0，故sin(α＋β)>sin(α－β)．二、填空题3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴3π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β－π2 ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝5665，即sin(α＋β)＝5665.答案：56654．(2013·大连质检)已知：0°＜α＜90°，0°＜α＋β＜90°，3sin β＝sin(2α＋β)，则tan β的最大值是________．解析：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，化简得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α，∴tan β＝tan(α＋β－α)＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝tan α1＋2tan 2α＝11tan α＋2tan α，∵1tan α＋2tan α≥22， ∴tan β的最大值为122＝24. 答案：24三、解答题5．(2013·东营质检)已知a ＝(sin ωx ，－2cos ωx )，b ＝(2cos ωx ，3cos ωx )(ω＞0)，设函数f (x )＝a ·b ＋3，且函数f (x )图象上相邻两条对称轴之间的距离是π2.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (A )＝－1，其中A 是△ABC 的内角，求A 的值；(3)若f (α)＝－65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin2α的值．解：(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx －23cos 2ωx ＋ 3＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin(2ωx －π3)，由条件知函数f (x )的周期为π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)由(1)知，f (A )＝2sin(2A －π3)＝－1，∴sin(2A －π3)＝－12，∵A 是△ABC 的内角，∴0＜A ＜π，∴－π3＜2A －π3＜5π3，∴2A －π3＝－π6或7π6，∴A ＝π12或3π4.(3)由f (α)＝－65，知2sin(2α－π3)＝－65，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－35， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＜0，∴2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝45， sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3sin π3 ＝－35×12＋45×32＝43－310.。

2014届高考数学复习一轮课件第3单元-三角函数、解三角形-数学(文科)-人教A版-通用

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第三单元三角函数、解三角形
第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式第18讲三角函数的图象与性质
固
基础
(1) 已知 sin α ≥0 ，cosα ≥0 ，则 α 是第一象限角．( )
(2)角 α 终边上点 P 的坐标为－12， 23，那么 sinα ＝
23，cosα ＝－21；同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)，那么 sinα ＝y0，cosα ＝x0.( )
础一象限或第四象限，或 y 轴，或 x 轴的非负半轴上．故 α 终
边在第一象限，或 x 轴的非负半轴上，或 y 轴的非负半轴上．
(2)点 P－12， 23在单位圆上，所以 sinα ＝ 23，cosα ＝
－12；而 Q(x0，y0)不一定在单位圆上，所以 sinα ＝y0，cos
α ＝x0 不一定成立．
OA·MP＝21sinα .，扇形 OAP 的面积＝12l·OA＝12α ，△OAT
的面积＝12OA·AT＝12tanα .∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT，即21sin
α <21α <12tanα ，∴sinα <α <tanα . (2)令 MP＝sinα ，OM＝cosα ， ∵MP＋OM＞OP＝1， ∴sinα ＋cosα >1.
则角α 的终边在( )
A．第一象限

精品高三人教A版数学一轮复习练习：第三章三角函数、解三角形第5节(1)

第三章第5节[基础训练组]1．(导学号14577326)(理科)(2017·南平市一模)cos 10°sin 70°－cos 80°sin 20°＝( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32解析：B [cos 10°sin 70°－cos 80°sin 20°＝sin 80°cos 20°－cos 80°sin 20°＝sin (80°－20°)＝sin 60°＝32.故选B.] 1．(导学号14577327)(文科)(2017·唐山市调研)sin 47°cos 17°＋cos 47°cos(90°＋17°)＝( )A ．－12B.32C.22D.12解析：D [sin 47°cos 17°＋cos 47°cos (90°＋17°)＝sin 47°cos 17°＋cos 47°(－sin 17°)＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12，故选D.]2．(导学号14577328)已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4 B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析：A [由于α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010. 所以cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.]3．(导学号14577329)已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan θ2等于( )A ．2 B.12 C.12或不存在 D ．不存在解析：C [当1＋cos θ＝0时，tan θ2不存在．当1＋cos θ≠0时，tan θ2＝sinθ2cos θ2＝sin θ2·cos θ2cos θ2·cos θ2＝2sin θ2·cos θ22cos θ2·cos θ2＝sin θ1＋cos θ＝12.]4．(导学号14577330)已知函数f (x )＝1＋cos 2x 4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －a sin x2cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2的最大值为2，则常数a 的值为( )A.15 B ．－15 C ．±15D ．±10解析：C [因为f (x )＝2cos 2 x 4cos x ＋12a sin x ＝12(cos x ＋a sin x )＝1＋a 22cos(x －φ)(其中tan φ＝a )，所以1＋a 22＝2，解得a ＝±15.]5．(导学号14577331)(2018·白山市三模)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＋cos α＝22，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( )A ．－ 3 B. 3 C ．－ 2D. 2解析：A [∵sin α＋cos α＝22，∴(sin α＋cos α)2＝12，化简得，sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝12，∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴1＋2sin αcos α＝12，2sin αcos α＝－12，∴(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1＋12＝32， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，2sin αcos α＝－12，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝62， ∴cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(cos α＋sin α)＝－6222＝－3，故选A.]6．(导学号14577332)(2017·佛山市一模)已知0＜x ＜π2，且sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－210，则sin x ＋cos x ＝ ________ . 解析：0＜x ＜π2，且sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－210，可得－π4＜2x －π4＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1－⎝⎛⎭⎫－2102＝7210，即有sin 2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π4 ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫－210＋7210＝35，所以sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ＝1＋35＝2105. 答案：21057．(导学号14577333)(2018·广元市三模)已知α、β均为锐角，且cos (α＋β)＝sin (α－β)，则tan α＝ __________ .解析：∵cos (α＋β)＝sin (α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos β(sin α－cos α)＋sin β(sin α－cos α)＝0， ∴(sin α－cos α)(cos β＋sin β)＝0. ∵α、β均为锐角，∴cos β＋sin β＞0， ∴sin α－cos α＝0，∴tan α＝1. 答案：18．(导学号14577334)3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ ________ . 解析：原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.答案：－4 39．(导学号14577335)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65， f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos (α＋β)的值．解：(1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，得⎩⎨⎧2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎨⎧sin α＝35cos β＝817.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385. 10．(导学号14577336)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解：(1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6，∵T ＝2π2ω＝4π，∴ω＝14，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，令－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－4π3＋4k π≤x ≤2π3＋4k π，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z )； (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 2sin A cos B ＝sin (B ＋C )＝sin A ， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3∵f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫12A ＋π6，0<A <2π3，∴π6<A 2＋π6<π2 ∴f (A )∈⎝⎛⎭⎫12，1.[能力提升组]11．(导学号14577337)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：A [由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin (B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.]12．(导学号14577338)(2018·湘西州二模)若x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π12，则f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin 2x的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：A [由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π12，可得tan x ∈⎣⎡⎦⎤1，tan 5π12 再根据tan 5π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝tan π6＋tanπ41－tan π6·tanπ4＝2＋3，故tan x ∈[1,2＋3]。

优化探究高三一轮人教A理科数学复习第3章三角函数及解三角形课时作业(8份)37

A 组考点基础演练一、选择题1．(2014年高考江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A.19 B.13 C ．1D.72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝⎛⎭⎫32a 2－a 2a 2＝72. 答案：D2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.答案：A3．(2015年忻州联考)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2＋c 2－b 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 3解析：由余弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，再由BC →·BA →＝12，可得ac cos B ＝12，∴tan B ＝2－32×12＝2－ 3.答案：D4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由正弦定理可得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C ·sin C ，即sin(A ＋B )＝sin C ·sin C ，因为sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C ＝1，则C ＝90°，∵S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知可得，12bc sinA ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，则B ＝45°，故选C.答案：C5．(2014年高考江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析：∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：C 二、填空题6．(2014年高考福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．解析：由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°，即(3)2＝AB 2＋22－2AB ×2×cos 60°，解得AB ＝1.答案：17．(2014年高考湖北卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，可得B ＝π3或23π. 答案：π3或23π8．(2014年高考北京卷)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.解析：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝1＋4－1＝4，∴c ＝2；cos C ＝14，则sin C ＝154，由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin CC ＝158. 答案：2158三、解答题9．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解析：(1)由题意及余弦定理，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ② 由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60° ＝2 3.10．(2014年高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．解析：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝223，因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以cos A ＝±1－sin 2A ＝± 1－⎝⎛⎭⎫2232＝±13①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×13＝8，所以a ＝2 2②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.B 组高考题型专练1．已知△ABC 的面积为32， AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( ) A ．3＋ 3 B ．3 3 C ．2＋ 3D.332解析：由题知12AB ·BC ·sin B ＝32，则AB ·BC ＝2，由余弦定理可得3＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3＝AB 2＋BC 2－2，所以AB 2＋BC 2＝5，则(AB ＋BC )2＝AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＝9，所以AB ＋BC ＝3，则△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CA ＝3＋3，故选A.答案：A2．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上均有可能解析：由题意可知c >a ，c >b ，即C 角最大，所以a 3＋b 3＝a ·a 2＋b ·b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.由余弦定理的推论cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，∴0<C <π2，故△ABC 为锐角三角形．答案：A3．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 的边长为________．解析：由S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，即1534＝12×3AC sin 120°，得AC ＝5，由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝9＋25＋15＝49，得BC ＝7.答案：74．(2015年云南联考)在△ABC 中，BC ＝25，AC ＝2，△ABC 的面积为4，则AB 的长为________．解析：由已知S △ABC ＝12BC ·AC sin C ＝4，∴sin C ＝255，cos C ＝±55，在△ABC 中，有AB ＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos C .当cos C ＝55时，AB ＝4；当cos C ＝－55时，AB ＝4 2. 答案：4或4 25．(2015年甘肃诊断)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．解析：(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0，即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ， ∴cos B ＝－12.∵0°≤B ≤180°， ∴B ＝120°.(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号．∴(a ＋c )2≤4，∴a ＋c ≤2，又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2)．。

优化探究高三一轮人教A理科数学复习第3章三角函数及解

A 组考点基础演练一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π12个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π12个单位解析：∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，故只需把该函数的图象向右平移π12个单位便可得到函数y ＝sin 2x 的图象．答案：D2．已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的最小正周期为2，且f ⎝⎛⎭⎫16＝1，则函数y ＝f (x )的图象向左平移13个单位后所得图象的函数解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋13 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx －13 解析：由题可知2πω＝2，则ω＝π，又f ⎝⎛⎭⎫16＝A sin π6＝1，则A ＝2，所以f (x )＝2sin πx ，将f (x )的图象向左移π3个单位后得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的图象，故选A. 答案：A3．(2014年高考福建卷)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称解析：由题知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，其图象关于⎝⎛⎭⎫－π2，0对称．答案：D4．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8 B.π4C.3π8D.3π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，向右平移φ个单位，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π4关于y 轴对称，则－2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝－π8－k π2，k ∈Z ，φ的最小正值为38π.答案：C5．(2014年高考辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增解析：平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－π＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π，增区间：－π2＋2k π≤2x －23x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋2k π≤x ≤712π＋2k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤712π，故选B. 答案：B 二、填空题6．把函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3个单位后，得到函数f (x )的图象，则函数f (x )的解析式为________．解析：把函数y ＝sin 2x 的图象向右平移3个单位后得到f (x )＝sin 2(x －3)＝sin(2x －6)的图象．答案：f (x )＝sin(2x －6)7．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________．解析：将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6个单位后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ的图象，因为该函数是奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3. 答案：π38.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (2)＝________.解析：由三角函数的图象可得34T ＝3－1＝2，所以最小正周期T ＝83＝2πω，解得ω＝3π4.又f (1)＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4x －π4＋2k π，k ∈Z ，则f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22. 答案：－22三、解答题9．设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到．求y ＝g (x )的单调增区间．解析：(1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －5π4＋2. 由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z)解得23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z)．故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤23k π＋π4，23k π＋7π12(k ∈Z)． 10．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数h (x )的图象，再将函数h (x )的图象向右平移π3个单位后得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的解析式，并求g (x )在[0，π]上的值域．解析：(1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z.∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)．B 组高考题型专练1．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2b 1 b 2＝a 1b 2－a 2b 1，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin 2x 1 cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为( )A.π6B.π3 C.5π6D.2π3解析：由行列式的定义知f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6向左平移t 个单位后，得到的图象对应函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t ＋π6.因为该函数为奇函数，所以2t ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z.得t ＝π6＋k π2，k ∈Z ，可知t 的最小值为π6，故选A.答案：A2．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3，∴T ＝2π2＝π. 又图象关于x ＝0对称，∴φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，∴在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．答案：B3．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ 的图象，而y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ＝－cos(2x ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π2，由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝56π＋2k π，k ∈Z.又－π≤φ<π，∴φ＝56π.答案：56π4．(2015年西安联考)若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为________．解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4向右平移π6个单位长度后得到函数解析式为y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤ωx －ωπ6＋π4，显然当π4－πω6＝π6＋k π，k ∈Z 时，两图象重合，此时ω＝12－6k ，k ∈Z.∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为12.答案：125．已知函数f (x )＝23sin x cos x －(cos 2x －sin 2x )，x ∈R.(1)试说明函数f (x )的图象是由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的；(2)若函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12(x ∈R)，试写出函数g (x )的单调区间．解析：(1)∵f (x )＝23sin x cos x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(x ∈R)， ∴函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象按如下方式变换得到：①将函数y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象； ②将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ③将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 (x ∈R)的图象．(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(x ∈R)，则g (x )＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2|sin 2x |(x ∈R)，所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z)；单调递减区间是⎝⎛⎦⎤k π2＋π4，k π2＋π2(k ∈Z)．。

【教育专用】高三人教A版数学一轮复习练习：第三章三角函数、解三角形第6节(1)

第三章第6节[基础训练组]1．(导学号14577342)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63解析：D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63.] 2．(导学号14577343)(2018·上饶市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，3cos A －cos (B ＋C )＝1，a ＝15，B ＝π4，则b 等于( )A. 10 B ．3 C ．2 2D. 5解析：C [△ABC 中，由3cos A －cos (B ＋C )＝3cos A ＋cos A ＝4cos A ＝1，得cos A ＝14，∴sin A ＝1－cos 2 A ＝154.再由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ，即15154＝b22，解得 b ＝2 2.故选C.]3．(导学号14577344)(2016·高考新课标全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( ) A.310 B.1010C.55D.31010解析：D [∵在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，∴AB ＝23BC .由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos B ＝ 29BC 2＋BC 2－23BC 2＝53BC ，所以12BC ·13BC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23BC ·53BC ·sin A ，∴sin A ＝31010，故选D.]4．(导学号14577345)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：C [由正弦定理，得sin B ＝2sin C cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，即sin A cos C －cos A sin C ＝0，所以sin (A －C )＝0，A ＝C ，同理可得A ＝B ，所以三角形为等边三角形．故选C.]5．(导学号14577346)(理科)如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为( )A.32B.532C.562D ．5 6解析：C [在△ADC 中，∵AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，∴cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝－12，∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝5，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理AB sin ∠ADB ＝AD sin B，得AB ＝562.]5．(导学号14577347)(文科)(2018·乌鲁木齐市二诊)在△ABC 中，BC ＝1且cos A ＝－1010，B ＝π4，则BC 边上的高等于( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：C [∵cos A ＝－1010，B ＝π4， ∴sin A ＝1－cos 2 A ＝31010，sin C ＝sin (A ＋B )＝55. 由AB sin C ＝BC sin A ，BC ＝1，可得AB ＝23， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝16.设BC 边上的高为h ，S △ABC ＝12BC ·h ＝16，∴h ＝13.故选C.]6．(导学号14577348)有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos 2⎝⎛⎭⎫A ＋C 2＝(2－1)cosB ，c ＝ ________ ，求角A .(答案提示：A ＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A ＋C )＝(2－1)cos B ，所以1－cos B ＝(2－1)cos B ，解得cos B ＝22，所以B ＝45°，又A ＝60°，所以C ＝75°.根据正弦定理，得3sin 60°＝csin 75°，解得c ＝6＋22.故应填6＋22. 答案：6＋227．(导学号14577349)(2018·焦作市二模)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 _______________ .解析：由正弦定理得a ＋2b ＝2c ，得c ＝12(a ＋2b )．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－14(a ＋2b )22ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab＝34a 2＋12b 22ab －24≥2·32a ·22b 2ab －24＝6－24，当且仅当32a ＝22b 时，取等号，故6－24≤cos C ＜1，故cos C 的最小值是6－24. 答案：6－248．(导学号14577350)(理科)(2018·新乡市二模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝19，且a cos B ＋b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为 ________ .解析：∵a cos B ＋b cos A ＝2，∴a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×c 2＋b 2－a 22bc ＝2，∴c ＝2，∴4＝a 2＋b 2－2ab ×19≥2ab －2ab ×19＝169ab ，∴ab ≤94(当且仅当a ＝b ＝32时等号成立)．由cos C ＝19，得sin C ＝459，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×94×459＝52，故△ABC 的面积最大值为52.答案：528．(导学号14577351)(文科)(2018·莆田市一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a －b ＋c c ＝b a ＋b －c，若a ＝2，则△ABC 面积的最大值为 __________ .解析：∵a －b ＋c c ＝b a ＋b －c ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵a ＝2，∴由余弦定理得4＝b 2＋c 2－bc ，∴4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，当且仅当b ＝c 等号成立，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c 等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案： 39．(导学号14577352)(2018·漳州市二模)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝1，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，∴∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝(23)2＋1－2×23×1×cos 30°＝7，∴P A ＝7. (2)设∠PBA ＝α，由已知得∠PCB ＝α，PB ＝2sin α.在△PBA 中，由正弦定理得23sin 150°＝2sin αsin (30°－α)，化简得 3 cos α＝4sin α，∴tan α＝34，∴tan ∠PBA ＝34. 10．(导学号14577353)(理科)(2017·高考全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin (A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)依题得：sin B ＝8sin 2B 2＝8(1－cos B )2＝4(1－cos B )．∵sin 2 B ＋cos 2B ＝1， ∴16(1－cos B )2＋cos 2B ＝1， ∴(17cos B －15)(cos B －1)＝0， ∴cos B ＝1517.(2)由(1)可知sin B ＝817.∵S △ABC ＝2，∴12ac ·sin B ＝2，∴12ac ·817＝2，∴ac ＝172， ∵cos B ＝1517，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝1517，∴a 2＋c 2－b 2＝15， ∴(a ＋c )2－2ac －b 2＝15， ∴36－17－b 2＝15，∴b ＝2.10．(导学号14577354)(文科)(2018·桂林市、北海市、崇左市一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，且满足c ⎝⎛⎭⎫a cos B －12b ＝a 2－b 2. (1)求角A ；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解：(1)∵c (a cos B －12b )＝a 2－b 2，∴由余弦定理可得，a 2＋c 2－b 2－bc ＝2a 2－2b 2，∴a 2＝c 2＋b 2－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1， ∴sin B ＋sin C 的最大值为 3.[能力提升组]11．(导学号14577355)(理科)(2018·合肥市二模)锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5,6]B ．(3,5)C ．(3,6]D ．[5,6]解析：A [∵(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又A 为锐角，∴A ＝π3.∵a ＝3，∴由正弦定理得b sin B ＝c sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝332＝2， ∴b 2＋c 2＝(2sin B )2＋⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B 2＝3＋2sin 2B ＋3sin 2B ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. ∵B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴2B －π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6∈⎝⎛⎦⎤12，1， ∴b 2＋c 2＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6∈(5,6]．故选A.] 11．(导学号14577356)(文科)(2018·淮北市一模)在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝43，则△ABC的周长为( )A ．43＋83sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 B ．43＋8sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3C ．43＋83cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π6D ．43＋8cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 解析：A [∵∠A ＝π3，BC ＝43，∴由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ＝4332＝8，∴△ABC 的周长＝BC ＋AB ＋AC ＝43＋8sin C ＋8sin B ＝43＋8sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＋8sin B ＝43＋8⎝⎛⎭⎫32cos B ＋32sin B＝43＋83sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.故选A.] 12．(导学号14577357)(2018·海口市模拟)如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：C [在△ABC 中，∵DE ⊥AB ，DE ＝22， ∴AD ＝22sin A ，∴BD ＝AD ＝22sin A.∵AD ＝BD ，∴A ＝∠ABD ，∴∠BDC ＝A ＋∠ABD ＝2A . 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin C ＝BCsin ∠BDC，即22sin A 32＝4sin 2A，整理得cos A ＝64.故选C.]13．(导学号14577358)如图，一栋建筑物的高为(30－103)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为 ________ m.解析：如图，在Rt △ABM 中，AM ＝ABsin ∠AMB＝30－103sin 15°＝30－103sin (45°－30°)＝30－1036－24＝20 6 (m)．又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°.在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°，解得MC ＝403(m)．在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60 (m)，故通信塔CD 的高为60 (m)．答案：6014．(导学号14577359)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx －23cos 2ωx ＋3(ω＞0)，且y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角C 为锐角，且f (C )＝3，c ＝3，sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解：(1) f (x )＝2sin ωx cos ωx －23cos 2ωx ＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －3(2cos 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. ∵y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴函数y ＝f (x )的周期为π，∴2π2ω＝π，解得ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12， k ∈Z .(2)∵角C 为锐角，且f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C －π3＝3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2C －π3＝32，∴2C －π3＝π3或2π3，解得C ＝π3，或C ＝π2(舍去)．又∵c ＝3，sin B ＝2sin A ，∴由正弦定理可得b ＝2a . 由余弦定理可得32＝a 2＋(2a )2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，b ＝23，∴△ABC 的面积S ＝12×3×23×32＝332.。

高三人教A版数学一轮复习练习：第三章三角函数、解三角形第2节(1)

第三章第2节[基础训练组]1．(导学号14577282)(2018·中卫市二模)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，tan x ＝－43，则sin (x ＋π)等于( )A.35 B ．－35C ．－45D.45解析：D [∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，tan x ＝－43，∴sin x ＝－45， ∴sin(x ＋π)＝－sin x ＝45.故选D.]2．(导学号14577283)(2018·榆林市一模)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin(π＋α)＝－35，则tan α＝( )A ．－34B.43C.34D ．－43解析：A [∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin(π＋α)＝－sin α＝－35，即sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，故选A.]3．(导学号14577284)(2018·郑州市模拟) 1－2sin (π＋2)cos (π－2)等于( ) A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2)D ．cos 2－sin 2解析：A [1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.]4．(导学号14577285)若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153B ．－153C.53 D ．－53解析：A [∵0<A <π，∴0<2A <2π.又∵sin 2A ＝23，即2sin A cos A ＝23，∴0<A <π2.∴(sin A ＋cos A )2＝53，∴sin A ＋cos A ＝153.]5．(导学号14577286)(2018·佛山市一测)已知sin θ＋cos θ＝2105，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4( ) A.12 B ．2 C ．±12D ．±2解析：D [∵sin θ＋cos θ＝2105，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝255. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝± 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±55， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2.]6．(导学号14577287)已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为 ________ .解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－α2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：2557．(导学号14577288)已知sin x ＝m －3m ＋5，cos x ＝4－2m m ＋5，且x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan x ＝ ________ .解析：由sin 2x ＋cos 2x ＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，得m ＝0或m ＝8.又x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴sin x <0，cos x >0，∴当m ＝0时，sin x ＝－35，cos x ＝45，此时tan x ＝－34；当m ＝8时，sinx ＝513，cos x ＝－1213(舍去)，综上知：tan x ＝－34.答案：－348．(导学号14577289)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是 ________ .解析：cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 答案：09．(导学号14577290)求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°· (－sin 1 050°)＋tan 945°＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．(导学号14577291)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解析：∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. (1)当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.(2)当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.[能力提升组]11．(导学号14577292)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：C [当k ＝2n (n ∈Z )时， A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝2；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋π＋α)sin α＋cos (2n π＋π＋α)cos α＝－2.故A 的值构成的集合为{－2,2}．]12．(导学号14577293)(2018·宁波市模拟)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，其中θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则下列结论正确的是( )A ．3≤m ≤9B ．3≤m <5C ．m ＝0或m ＝8D ．m ＝8解析：D [因为θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以sin θ＝m －3m ＋5≥0 ①，cos θ＝4－2m m ＋5≤0 ②，且⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，整理得m 2－6m ＋9＋16－16m ＋4m 2(m ＋5)2＝1，即5m 2－22m ＋25＝m 2＋10m ＋25，即4m (m －8)＝0，解得m ＝0或m ＝8，又m ＝0不满足①②两式，m ＝8满足①②两式，故m ＝8.]13．(导学号14577294)已知sin α＝12＋cos α，且α∈(0，π2)，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________ .解析：由题意得sin α－cos α＝12，又(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，即(sin α＋cos α)2＋⎝⎛⎭⎫122＝2，故(sin α＋cos α)2＝74；又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，因此有sin α＋cos α＝72，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142.答案：－14214．(导学号14577295)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根． (1)求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值； (2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．解析：由题意知原方程根的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2－2a －1＝0，∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.(1)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ＝－sin θ－cos θ＝2－1. (2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－sin θcos θ－cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.。

[配套k12学习]高三人教A版数学一轮复习练习：第三章三角函数、解三角形第6节(1)

【精品】高三人教A版数学一轮复习练习：第三章三角函数、解三角形第3节(1)

第三章第3节[基础训练组]1．(导学号14577296)(理科)(2017·泉州市一模)函数f (x )＝ln|x |＋|sin x |(－π≤x ≤π且x ≠0)的图象大致是( )解析：D [函数f (x )＝ln |x |＋|sin x |(－π≤x ≤π且x ≠0)是偶函数，排除选项A.当x ＞0时，f (x )＝ln x ＋sin x ，可得f ′(x )＝1x ＋cos x ，令1x ＋cos x ＝0，作出函数y ＝1x 与y ＝－cos x图象，如图，由图可知这两个函数有一个交点，也就是函数f (x )有一个极值点，排除选项B.又f (π)＝ln π＞1，排除选项C.故选D.]1．(导学号14577297)(文科)(2017·高考全国Ⅰ卷)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：C [由题意知，函数y ＝sin 2x1－cos x 为奇函数，故排除B ；当x ＝π时，y ＝0，排除D ；当x ＝1时，y ＝sin 21－cos 2＞0，排除A.故选C.]2．(导学号14577298)(2018·广州市模拟)已知sin φ＝35，且φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．－35B ．－45C.35D.45解析：B [根据函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得T 2＝πω＝π2，∴ω＝2.由sin φ＝35，且φ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可得 cos φ＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝cos φ＝－45，故选B.] 3．(导学号14577299)(2018·邵阳市三模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)下的最小正周期为π，则函数的图象( )A ．关于直线x ＝13π12对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称 C ．关于直线x ＝－7π12对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称解析：A [∵2π2ω＝π，解得ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，由2x ＋π3＝k π＋π2可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝2时，函数一条对称轴为x ＝13π12，故选A.]4．(导学号14577300)(2018·济宁市三模)若函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π2)的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－17π12，－2π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A. 2 B.22 C.62D.24解析：C [∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝±1，∴φ＝k π＋π3，k ∈Z . 又∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－17π12，－2π3，2x ＋π3∈⎝⎛⎭⎫－5π2，－π，区间内有唯一对称轴x ＝－11π12. ∵x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－17π12，－2π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)， ∴x 1，x 2关于x ＝－11π12对称，即x 1＋x 2＝－116π，∴f (x 1＋x 2)＝62.故选C.] 5．(导学号14577301)(2018·莆田市一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cos ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )，则下列结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称C ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称 D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，5π12上是增函数解析：C [f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由周期公式可得：T ＝2π2＝π，故A 正确；由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋5π12，k ＝－1时，x ＝－π12，故B 正确；由2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6，k ＝－1时，x ＝－π3，故⎝⎛⎭⎫－π6，0，故C 错误；由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，可解得函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，故明显D 正确；故选C.]6．(导学号14577302)不等式3＋2cos x ≥0的解集是 ________ . 解析：由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z7．(导学号14577303)(2018·淮北市一模)函数f (x )＝2sin x ＋2cos x －sin 2x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π3的值域是 _______________ . 解析：令t ＝sin x ＋cos x ，则t 2＝1＋2sin x cos x ，即sin 2x ＝t 2－1，所以y ＝f (t )＝2t －(t 2－1)＋1＝－t 2＋2t ＋2＝－(t －1)2＋3. 又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，且x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π3， ∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－22≤t ≤2；∴当t ＝1时，f (t )取得最大值3； t ＝－22时，f (t )取得最小值32－2， ∴函数y ＝f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤32－2，3. 答案：⎣⎡⎦⎤32－2，38．(导学号14577304)函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点⎝⎛⎭⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为 ________ . 解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2,2×⎝⎛⎭⎫－3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π＋3π4，又0＜φ＜π， ∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 9．(导学号14577305)(2018·乐山市一诊)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，都有f (x )≤c ，求实数c 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝cos 2⎝⎛⎭⎫－π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)∵f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－12(1－cos 2x ) ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos 2x ＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋32cos 2x ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )取得最大值32.所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (x )≤c 等价于32≤c . 故当∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≤c 时，c 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞.10．(导学号14577306)已知函数f (x )＝cos x ·(2 3 sin x －cos x )＋a sin 2x 的一个零点是π12.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)令x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4，求此时f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝cos x (23sin x －cos x )＋a sin 2x ＝23sin x cos x －cos 2x ＋a sin 2x ，＝3sin 2x －cos 2x ＋a sin 2x ，∵一个零点是π12，∴ 3 sin π6－cos 2π12＋a sin 2π12＝0，求得a ＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， f (x )的最小正周期为π，(2)x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3， ∴f (x )的最大值为3，最小值－2.[能力提升组]11．(导学号14577307)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)相邻两个对称中心的距离为π2，以下哪个区间是函数f (x )的单调增区间( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，0 B.⎣⎡⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤π12，π2D.⎣⎡⎦⎤π2，5π6解析：A [∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)相邻两个对称中心的距离为π2， ∴12·2πω＝π2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z .函数f (x )为增函数．当k ＝0时，x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π12，且⎣⎡⎦⎤－π3，0⊆⎣⎡⎦⎤－5π12，π12， ∴区间⎣⎡⎦⎤－π3，0是函数f (x )的单调增区间．故选A.] 12．(导学号14577308)(理科)(2018·泸州市二诊)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上各点沿x 轴向右平移π6个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫7π12，0B.⎝⎛⎭⎫π6，0 C.⎝⎛⎭⎫5π8，0D.⎝⎛⎭⎫2π3，－3 解析：A [将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上各点沿x 轴向右平移π6个单位长度，可得函数y ＝3sin[2(x －π6)＋π6]＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象．由2x －π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2＋π12，故所得函数图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π12，0，k ∈Z .令k ＝1可得一个对称中心为⎝⎛⎭⎫7π12，0.故选A.] 12．(导学号14577309)(文科)(2018·宜春市二模)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)(|φ|＜π2)的图象的对称中心完全相同，则φ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：D [若f (x )与g (x )的对称中心相同，则函数的周期相同即2πω＝2π2，则ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由2x ＋π6＝k π，k ∈Z 即x ＝k π2－π12，k ∈Z 即f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，即g (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，则g ⎝⎛⎭⎫k π2－π12＝cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫k π2－π12＋φ ＝cos ⎝⎛⎭⎫k π－π6＋φ＝±cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0，即φ－π6＝k π＋π2，则φ＝k π＋2π3，k ∈Z .当k ＝－1，φ＝－π＋2π3＝－π3，故选D.]13．(导学号14577310)已知函数y ＝A cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A >0)在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为 ________ .解析：由y ＝A cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ知，函数的周期T ＝2ππ2＝4，设M (x 0,0)，则P (x 0＋3，A )，Q (x 0＋1，－A )，又∠PMQ ＝90°，故k PM ·k QM ＝A 3·－A1＝－1，解得A 2＝3，又A >0，故A ＝ 3.答案： 314．(导学号14577312)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π6)＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2 ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a .又f (x )最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，即a ＝－1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期为T ＝π，故2ω＝2πT ＝2，ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z . 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3. 故函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.。

高三人教A版数学一轮复习练习：第三章三角函数、解三角形第4节(1)

第三章第4节[基础训练组]1．(导学号14577313)(2018·潍坊市一模)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6的图象向左平移π4个单位，再向上平移3个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π4－3 B ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4＋3 C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π12＋3 D ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π12－3解析：B [将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6的图象向左平移π4个单位，再向上平移3个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4＋3.故选B.] 2．(导学号14577314)(2018·怀化市二模)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12单位B ．向右平移π12单位C ．向左平移π3单位D ．向右平移π3单位解析：B [因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数 y ＝sin 4x 的图象向右平移π12单位．故选B.]3．(导学号14577315)(2018·雅安市三诊)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，函数f (x )的图象如图所示，则f (2016π)的值为( )A. 2 B ．－ 2 C. 3D ．－ 3解析：A [由函数的图象可得A ＝2，T ＝2πω＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π，解得ω＝12. 又图象经过⎝⎛⎭⎫π2，0，0＝2sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ，0＜φ＜π， φ＝3π4，故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4，所以f (2 016π)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12×2 016π＋3π4＝ 2.故选A.] 4．(导学号14577316)(2018·合肥市三校联考)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：D [根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移π3个单位的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－ωπ3与f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象关于x 轴对称则有sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－ωπ3，解方程可得，ω＝6k ＋3，k ∈Z ，故当k ＝0时ω的最小值为3.故选D.] 5．(导学号14577317)(2018·郑州市二测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，为奇函数 C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解析：B [由题意得，g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－2sin 2x .对于选项A ：最大值为1正确，而g ⎝⎛⎭⎫π2＝0，不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；选项B ：当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；选项C ：当x ∈⎝⎛⎭⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－34π，π4，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C 错误；选项D ：周期T ＝2π2＝π，g ⎝⎛⎭⎫38π＝－22，故不关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称，故D 错误．] 6．(导学号14577318)(2016·高考新课标全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x － 3 cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移 ______ 个单位长度得到．解析：∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， f (x )＝2sin x ，∴f (x －φ)＝2sin (x －φ)(φ＞0)，依题意可得2sin(x －φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴－φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∴φ＝－2k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，正数φmin ＝π3.答案：π37．(导学号14577319)(2018·兰州市实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝ __________ .解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω⇒ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴取k ＝0，φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 38．(导学号14577320)(2018·葫芦岛市一模)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，把f (x )的图象按向量v ＝(m,0)(m ＞0)平移后，所得图象恰好为函数y ＝f ′(x )，则m 的最小值为___________ .解析：图象按向量v ＝(m,0)(m ＞0)平移后，得到函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －m ＋π4；函数y ＝f ′(x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋3π4. 因为两个函数的图象相同，所以－m ＋π4＝3π4＋2k π，k ∈Z ，所以m 的最小值为3π2.答案：3π29．(导学号14577321)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象； (2)求y ＝f (x )的解析式．解：(1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4，则π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2，由于函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x .又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，π4－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2.10．(导学号14577322)设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．法二：将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． [能力提升组]11．(导学号14577323)(2018·张家口市模拟)定义一种运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1·a 4－a 2·a 3，那么函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移k (k ＞0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则k的最小值应为( )A.2π3B.5π6C.π3D.π4解析：A [由新定义可得，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x＝ 3 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. 图象向左平移k 个单位后，所得函数解析式为 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k －π6. ∵所得图象关于y 轴对称，∴k －π6＝n π＋π2，即k ＝n π＋2π3，n ∈Z .∵k ＞0，∴k 的最小值应为2π3.故选A.]12．(2018·海口市模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且其图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称解析：A [由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，可得2πω＝π，求得ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)，其图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )＝sin 2x 的图象，所以有sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋φ＝sin 2x ，故可取φ＝π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，求得x ＝k π2＋π12，故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，求得x ＝k π2－π6，故函数f (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，k ∈Z ，故选A.]13．(导学号14577324)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 ______ .解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π1814．(导学号14577325)(2018·潍坊市一模)已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4·cos ωx 在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0,2)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象．若α为锐角．g (α)＝43－2，求cos α.解：(1)化简可得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4·cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎫22sin ωx －22cos ωx cos ωx＝22sin ωx cos ωx －22cos 2ωx ＝2sin 2ωx －2cos2ωx － 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4－2， ∵函数f (x )在x ＝π4处取得最值，∴2ω×π4－π4＝k π＋π2，解得ω＝2k ＋32，k ∈Z ，又∵ω∈(0,2)，∴ω＝32，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4－2，∴最小正周期T ＝2π3； (2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π36－π4－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6－2的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )＝2sin⎝⎛⎭⎫x －π6－2的图象．∵α为锐角，g (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6－2＝43－2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝23， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝53， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝32cos ⎝⎛⎭⎫α－π6－12sin ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝32×53－12×23＝15－26.。

高考数学一轮复习第3章《三角函数、解三角形》(第6课时)知识过关检测理新人教A版(1)

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第3章《三角函数、解三角形》（第6课时）（新人教A 版）一、选择题1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )解析：选A.令x ＝0得y ＝sin(－π3)＝－32，排除B ，D.由f (－π3)＝0，f (π6)＝0，排除C ，故选A.2.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(O B →－OA →)·OB →＝( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4解析：选D.由题意知A (2,0)，B (3,1)，所以(OB →－OA →)·OB →＝(1,1)·(3,1)＝4，故选D.3．(2013·济南质检)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A.y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0＜θ＜π，则y ＝2cos ωx ，θ＝π2，所以y＝2cos ωx ，y ∈[－2,2]．故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.所以2πω＝π，所以ω＝2，故选A.4．若将某函数的图象向右平移π2以后，所得到的图象的函数式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则原来的函数表达式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4解析：选A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析：选D.当a ＝0时，f (x )＝1，图象即为C ；当0＜a ＜1时，函数f (x )的最大值为1＋a ＜2，且最小正周期为T ＝2πa＞2π，图象即为A ；当a ＞1时，函数f (x )的最大值为a＋1＞2，且最小正周期为T ＝2πa＜2π，图象即为B.故选D.二、填空题6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由图可知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π3＝4π3，则ω＝2πT ＝32.答案：327．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋28．(2013·福州质检)在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.解析：首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－12，所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π9＋φ＝12，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.答案：12sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6三、解答题9．(2012·高考陕西卷)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2，∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.10．(2013·西安调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解：(1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故函数f (x )的值域为[－1,2]．一、选择题1．(2012·高考浙江卷)把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A.变换后的三角函数为y ＝cos(x ＋1)，结合四个选项可得A 选项正确． 2．(2011·高考课标全国卷)设函数f ()x ＝sin ()ωx ＋φ＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f ()－x ＝f ()x ，则( ) A ．f ()x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f ()x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析：选A.∵f ()x ＝sin ()ωx ＋φ＋cos ()ωx ＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，又∵f ()x 的最小正周期为π，∴ω＝2.∴f ()x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4. 由f ()x ＝f ()－x 知f ()x 是偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2()k ∈Z .又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f ()x ＝2cos 2x .由0<2x <π知0<x <π2时，f ()x 单调递减．故选A.二、填空题3．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，则函数解析式为________．解析：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋n ＝4－A ＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2n ＝2.又∵T ＝π2，∴ω＝2πT ＝2ππ2＝4，∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.又∵x ＝π3为其图象的一条对称轴．∴4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝k π－5π6(k ∈Z )．又∵0<φ<π2，令k ＝1，得φ＝π6，∴y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.答案：y ＝2sin(4x ＋π6)＋24．(2013·阜新调研)给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22； ③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β. 其中所有真命题的序号是________．解析：对于①，令x ＝－5π12，则2x ＋π3＝－5π6＋π3＝－π2，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0为f (x )的对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin 390°＝12<sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②.答案：①② 三、解答题5．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12. (1)求φ 的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)．又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，变为g (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3.∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.。

2014届高考数学一轮知识点各个击破第三章第六节简单的三角恒等变换追踪训练文新人教A版

第三章第六节简单的三角恒等变换一、选择题1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知sin α＝55，则cos4α的值是() A.425B ．－725C.1225D ．－1825 3．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是()A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为() A.35B.45C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( )A. 1－a 2B ．－ 1－a2C. 1＋a 2D ．－ 1＋a26．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2二、填空题 7．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________. 8．sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝－3，则tan 2B ＝________. 9．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________. 三、解答题10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )11．求3tan 10°＋14cos 210°－2sin 10°的值．12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值；(2)求函数f (x )的零点的集合．详解答案：1．解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0.cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角．答案：C 2．解析：∵sin α＝55，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝35. ∴cos 4α＝2cos 22α－1＝2×(35)2－1＝－725. 答案：B 3．解析： 1－cos α－π2＝ 1－cos π－α2＝ 1＋cos α2＝|cos α2|， ∵－2π<α<－3π2，∴－π<α2<－3π4， ∴cos α2<0，∴|cos α2|＝－cos α2. 答案：D4．解析：∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角． ∴cos θ2的值有两个．由sin (π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425， ∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35. 答案：C5．解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a 2. 答案：D6．解析：∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35. ∴tan α＝34. 由tan α＝34＝2tan α21－tan 2α2，得tan α2＝13或tan α2＝－3. 又∵π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ，∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z. 当k ＝2n (n ∈Z)时，π2＋2n π<α2<3π4＋2n π，α2在第二象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，α2在第四象限．∴tan α2＝－3.∴1＋tan α21－tan α2＝1－31－－3＝－12. 答案：A7．解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38. 答案：388．解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B ＝2sin B cos B 2cos 2B＝tan B ＝－3. ∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34. 答案：349．解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限的角，∴cos α2<0. ∵tan α＝－43， ∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－55 10．解：原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )] ＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π6－π4＋x ) ＝22cos(x －π12)． 11．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10° ＝2sin 40°sin 20°cos 20°＝2sin 40°12sin 40°＝4. 12．解：(1)因为f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x )＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值1.(2)法一：由(1)及f (x )＝0得sin(2x ＋π6)＝12，所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z. 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}．法二：由f (x )＝0得23sin x cos x ＝2sin 2x ，于是sin x ＝0或3cos x ＝sin x 即tan x ＝ 3.由sin x ＝0可知x ＝k π；由tan x ＝3可知x ＝k π＋π3. 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}．。