江苏省盐城市高三上学期期中考试数学试题(有答案)(精选)

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【数学】江苏省盐城市2021届高三上学期期中考试数学试卷+含答案

12
3
值为 1 ；③函数 f (x) 的一条对称轴为 x＝这三个条件中任选一个补充在下面的问题
2
12
中，并完成解答．
已知函数 f (x) 满足
，在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
若 a＜b， f (A) f (B) ．试问：这样的锐角△ABC 是否存在，若存在，求角 C；若不存在，
（2）若 x (0， )， f (x) ＞0 恒成立，求 m 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
设 f (x) sin(x ) ，其中为正整数，，当＝0 时，函数 f (x) 在[ ，
2
5
]单调递增且在[ ， ]不单调．
5
33
（1）求正整数的值；
（2）在①函数 f (x) 向右平移个单位得到奇函数；②函数 f (x) 在[0， ]上的最小
．
43
2
14．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线，若 b＝4c＝
4
且
AB
AD
2
AB
，则
cosA＝
；中线 AD 的长为
．
15．若an 是单调递增的等差数列，且 aan 4an ，则数列an 的前 10 项和为
．
16．若函数 f (x) 1 x2 b ln x ax 在(1，2)上存在两个极值点，则 b(3a＋b＋9)的取值范围 2
A．376
B．382
C．749
D．766
8．设 x，y (0， )，若 sin(sinx)＝cos(cosy)，则 cos(sinx)与 sin(cosy)的大小关系为
A．＝

江苏省盐城市2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案

盐城市2024届高三年级第一学期期中考试数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{P x y==，{Q y y==，则P Q = （）A.∅B.[)0,+∞ C.[)1,−+∞ D.[)1,+∞2.若复数z 满足2zz =，则z 为（）A.1B.C.2D.43.数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，某炮兵从地平面A 处发射一枚炮弹至地平面的另一处B ，假设炮弹的初始速度为0v ，发射方向与地平面所成角为02παα<<，根据物理知识可知，在不计空气阻力的情况下，弹飞行过程中的水平距离()0cos x v t α=，竖直距离()201sin 2y v t gt α−，其中t 为炮弹的飞行时间，g 为重力加速度，对于给定的初始速度0v ，要使炮弹落地点的水平距离AB 最大，则发射角α应为（）A.6πB.4πC.3πD.512π5.若函数()()sin 06f x x πωω=+>在0,3π上单调，则ω的取值范围是（）A. ()1,+∞B. [)1,+∞C. ()0,1D. (]0,16.在各项为正数的无穷等差数列{}n a 中，公差0d ≠，若数列11n n a a +的前n 项和为n S ，则（）A. 2212n n nS a +=B. 2212n n n S a +>C. 2212n n nS a +<D.以上均不对A.7.若0x >，1y >，则341y x x y +−的最小值为（） A.1D.12B.4C.88.已知114422a −=−，1ln 22b =，1c =− ） A. b c a >>B. b a c >>C. a b c >>D. c b a >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在复数范围内，方程210x x ++=的两根记为1x ，2x ，则（） A. 121x x +=B. 121x x =C. 12x x −=D. 12x10.在ABC △中，4AB AC AB AC +=−= ，4AB CB ⋅=则（）A. 3B π=B. 2A π=C. AC =D. ABC △的面积为11.已知数列{}n a 满足12nn n a a k −+=，*n ∈N ，2n ≥，则（） A.当0k =且10a ≠时，{}n a 是等比数列 B.当1k =时，13n a−是等比数列C.当2k =−时，()2n n a−是等差数列D.当3k =−且13a =−时，()33n na− −是等比数列 12.在ABC △中，若()*A nB n =∈N ，则（）A.对任意的2n ≥，都有sin sin A n B <B.对任意的2n ≥，都有tan tan A n B <C.存在n ，使sin sin A n B >成立D.存在n ，使tan tan A n B >成立第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若不等式22x x a −≤对任意[]0,3a ∈都成立，则实数x 的取值范围为____________.14.在ABC △中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA BC ⋅的值为_____________.15.若函数()()32,f x x ax bx a b =++∈R 有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，1322x x x +=，则a b +的最大值为__________.16.若ABC △内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称点P 为ABC △的勃罗卡点，α为ABC △的勃罗卡角.在等腰ABC △中，AB AC =，若勃罗卡点P 满足PBPC PA PB==，则ABC ∠与勃罗卡角α的正切值分别为__________、___________（第1空2分，第2空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10分）已知奇函数()f x 偶函数()g x 满足()()e x f x g x +=. （1）求()g x 的最小值；（2）求函数()()()f x h xg x =的值域. 18.（12分）已知正项递增等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且391S =，1381a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n a 的个位数为n b ，求数列{}n n a b 的前2n 项和2n T . 19.（12分）若函数()2sin 3f x x πω=+在()0,π上恰有两个零点，其中*ω∈N . （1）求ω的值；（2）若()65f x =，求sin 12x π−的值.20.（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足c =()2cos cos 0a c B b C ++=.（1）若4A π=，求ABC △的面积；（2）若点D 满足2AD DC = ，BCD △的面积是，求sin sin ABDCBD∠∠的值. 21.（12分）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”{}n a 的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且{}n a 满足11,2,1,21,n n n a n n k a a n n k −−+= =+−+ 其中*k ∈N . （1）求2k a （用k 表示）；（2）设数列{}n b 满足：2,2,21,21,n n n a n k b a n k = =+=− 其中*k ∈N ，n T 是{}n b 的前n 项的积，求证：2ln n T n n ≤−，*n ∈N .22.（12分）已知()()e 1x f x x =−. （1）求函数()()e e g x f x x =+−的最大值；（2）设()()12f x f x t ==，12x x ≠，求证：1221etx x t +<−−.参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】D 【解析】{}11Px x x =≤−≥或，{}0Q y y =≥，[)1,P Q =+∞ ，选D. 2. 【答案】B【解析】2zz =，则2z z =，∴z = B.3. 【答案】A【解析】12a =，则{}n a 一定是单调增数列，充分{}n a 是单调增数列，则1a 不一定是2，不必要，选A.4. 【答案】B【解析】()201sin 02B y v t gt α=−=，∴0sin 12v t gα=， ()22000sin cos sin 2cos 12B v v x v tg g αααα===，当22πα=，即4πα=时，AB 取最大值，选B.5. 【答案】D 【解析】03x π<<，则6636x ππππωω<+<+，()f x 在0,3π单调，则362πππω+≤，∴01ω<≤，选D.6. 【答案】B 【解析】111111n n n n a a d a a ++=− ，2121121121111122nn n n nd n S d a a d a a a a +++ =−== {}n a 为各项为正数的无穷等差数列，0d >，2110n a a +>>，221121n n a a a ++>，221212122n n n n nS a a a ++=>，选B.7. 【答案】C【解析】341y x t x y +=−，则()24440y tx y x tx −+++=， 0≥△，∴()()244160tx x tx +−+≥，()24416tx x −≥，244tx x −≥，448t x x≥+≥，选C. 8. 【答案】C【解析】112223222222a −−+−−，2213122c a ==<，∴. c a <. 在B ，C 中选，比较a ，b 大小1x >时ln x <，则111244ln 222−<−，即b a <，选C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 【答案】BC【解析】121x x +=−，121x x =，A 错，B 对.()()221212124143x x x x x x −=+−=−=−，12x x −=C 对12x x −，D 错，选BC.10. 【答案】ABC【解析】222222AB AB AC AC AB AB AC AC ++=−⋅+ ，∴0AB AC ⋅= ，2A π=，B 对2cos 4AB CB BA BC B BA ⋅===，2BA =，4BC =，AC =，A 对，C对，ABC S =△，D 错选ABC.11. 【答案】ACD【解析】对于A ，120n n a a −+=，12n n a a −=−，10a ≠，∴12nn a a −=−，∴{}n a 为等比数列，A 对. 对于B ，121n n a a −+=，∴121n n a a −=−+，1112122333n n n a a a −−−=−+=−−， 1103a −=时13n a−不是等比数列，B 错.对于C ，()122nn n a a −+=−，则()()12122nn nna a −+=−−，则()()11122nn nn a a −−−=−−， ∴()2n n a −是以1为公差的等差数列，C 对. 对于D ，()123nn n a a −+=−，则()()12133nn nna a −+=−−，则()()12133nn nna a−=−+−− ()()()()111123223233333333nn n n nn n n a a a a −−−− −=−−=−−=− −−−−()113332033a −−=−=−≠−−，∴()33n na− −是以23为公比的等比数列，D 对，选ACD. 12. 【答案】AD【解析】方法一：当3A B =时，3n =，取12B π=，则4A π=，tan 1A=，tan 2B=(3tan 32B =−，则tan 3tan A B >，B 错，D 对.000A B C πππ<< << << ，∴000nB B B nB ππππ<<<<<−−< ，∴01B n π<<+， ()sin sin f x nx n x =−，01x n π<<+，()()cos cos cos cos 0f x n nx n x n nx x ′=−=−<，()f x 在()0,π ，∴()()00f x f <=，∴sin sin nB n B <，∴sin sin A n B <，A 对，C 错选AD.方法二：对于A ，由01nB B B n ππ+<⇒<<+，∴01n B nB n ππ<<<<+，构造()sin xf x x=，易如()f x 在()0,π上， ∴()()sin sin sin sin nB Bf nB f B nB n B nB B<⇒<⇒<，即sin sin A n B <，A 正确，C 错对于B ，取2n =，2A π<且2A π→，4B π→，∴tan A →+∞，tan tan A n B >，B 错，D 正确.选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】[]0,2【解析】22a x x ≥−对[]0,3a ∀∈都成立，则202x x ≥−，∴02x ≤≤.14. 【答案】-8【解析】2229169822AB AC BC BA AC AB AC AB AC AB AC +−+−⋅=−⋅=−⋅=−=−⋅ .15. 【答案】18【解析】()()20f x x x ax b =++=有三个根，其中有一个根为0，又123x x x <<满足1322x x x +=，则20x =，∴1320x x +=，1x ，3x 是2y x ax b =++的两根，则13x x a +=−，13x x b =，∴3a x =，232b x =−， 22333311112221688a b x x x x +=−+=−−++≤.16.【解析】设PA x =，则PB =，3PC x =，令AB AC y ==则22232cos x x y xy α=+−，22296cos x x y xy α=+−，则222222cos 086cos 0x y xy x y xy αα −+−= +−= ，∴2222636cos 086cos 0x y xy x y xy αα −+−= +−=∴221420x y −=，∴y =.cos α=. sin α=，tan α=cos PAC ∠sin PAC ∠tan PAC ∠−.()55tan tan 145BAC PAC α∠=+∠===. 23BAC π∠=，6ABC π∠=，tan ABC ∠四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 【解析】（1）∵()()e x f x g x +=①，∴()()()()e e x x f x g x f x g x −−−+−=⇒−+=②， ∴()()e e 2e e 2x xx x f x g x −− −= + =，()1g x ≥，()min 1g x =. （2）∴()222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x xh x −−−−===−+++ ∵2e11x+>，∴2202e 1x <<+，∴()11h x −<<，即()h x 的值域为()1,1−. 18. 【解析】（1）∵等比数列{}n a 正项递增，设{}n a 公比为q ，1q >， ∴12391a a a ++=，且213281a a a ==，29a =，∴1382a a +=， ∴29982982909q q q q q+=⇒−+=⇒=. （2）19n n a −=，211n b −=，29n b =∴222122212122999829n n n n n n n a b a b −−−−−+=+⋅=⋅，∴()()2821814181118140n nn T −==−−. 19. 【解析】（1）∵0x π<<，∴333x πππωωπ<+<+，∵()f x 在()0,π上恰有两个零点， ∴5823333ππωππω<+≤⇒<≤， ∵*ω∈N ，∴2ω=. （2）()62sin 235f x x π=+=，∴3sin 235x π+=，233cos 212sin sin 6512512x x x πππ−=⇒−−=⇒−=20. 【解析】（1）∵()()2cos cos 02sin sin cos sin cos 0a c B b C A C B B C ++=⇒++=， ∴()2sin cos sin 02sin cos sin 0A B B C A B A ++=⇒+=，1cos 2B =−，23B π=. ∵4A π=，∴12C π=，∴2sin sin c aa C A=⇒⇒=，∴1262ABC S =⋅⋅=+△（2）∵BCD S =△，2AD DC =，∴ABC S =△∴1122a a ⋅⇒=.在ABD △和CBD △中分别由正弦定理sin sin 1sin sin 2ADAB ABD CD BC CBD = ∠∠⇒ = ∠∠①②sin 1sin sin 2sin ABD BC ABDCBD AB CBD∠∠⇒⋅==⇒=∠∠②①. 21. 【解析】（1）2221222222242k k k k a a k a k k a k ++=++=+++=++22242k k a a k +⇒−=+，∴224264222kk k a a a a a a a a −=+−+−+⋅⋅⋅+−2426104222k k k k ⋅=+++⋅⋅⋅+−==. （2）由（1）知222k a k =，()22212222212222k k a a k k k k k −−=+−=−+−=−，2k ≥ 而10a =也满足上式，∴22122k a k k −=−，∴221,21,2n n n a n n = − 为偶数为奇数， ∴22,2,21n n n k b n n k == =− ，∴2n b n =，∴()212n T n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅()ln 2ln1ln 2ln n T n =++⋅⋅⋅+，而ln 1n n ≤−（当且仅当1n =时取“=”） ()()2012ln1ln 2ln 222n n n n +−++⋅⋅⋅+≤⋅=−，*n ∈N ， ∴2ln n T n n ≤−，*n ∈N ，证毕!22. 【解析】（1）()()1e e e x g x x x =−+−，()()e 1e e e e x x x g x x x ′=+−+=−，当1x <时，()0g x ′>，()g x ；当1x >时，()0g x ′<，()g x ∴()()max 10g x g ==.（2）()()e 1e e x x x f x x x ′=−−=−， ()f x 在(),0−∞上；()0,+∞上，()()max 01f f x ==，由()()12120f x f x t x x ==⇒<<（这里不妨设12x x <），()0,1t ∈ 且由（1）知()e e 0f x x +−≤恒成立，∴()222e 0e e 0f x ex t x +−≤⇒+−≤，∴21e t x ≤− 要证：1221et x x t +<−−，只需证122x t <−，而1x ，()22,0t −∈−∞且()f x 在(),0−∞上⇔证：122f x f t <−，即证：()22e 32t t t −<−即证()22e 321t t t−−>，()0,1t ∈ 令()()22e 32t t g t t −−=，()()2222e 4630t t t g t t −−+−′=<， ∴()g t 在()0,1上，∴()()11g t g >=，证毕!。

江苏省盐城中学数学高三上期中经典测试卷(含答案解析)

一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（） A ．49B ．50C ．99D ．1002．设实数x ，y 满足22413x xy y x y ++=+-，则代数式2413xy y x y ++-（）A ．有最小值631B ．有最小值413C ．有最大值1D ．有最大值20213．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为（） A ．10 kmBkmC．D．7．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值318．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．37B ．34 C ．32或372D ．34或37210．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524311．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（） A ．34B ．56C ．78D ．2312．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形13．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（）A ．2B ．92C ．143D ．514．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d15．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（）． A ．1B ．6C ．7D ．6或7二、填空题16．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．17．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=，则14m n+的最小值为__________．19．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 20．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 21．不等式211x x --<的解集是． 22．设a ＞0,b ＞0．若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是．23．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 24．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________． 25．若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+，则数列前n 项和为______. 三、解答题26．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △的面积为3，求b ，c ．27．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？28．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132nS n n （）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．29．已知n S 是数列{}n a 的前n 项之和，*111,2,n n a S na n N +==∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设211(1)n n n n a b a a ++=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和n T ，若112019n T +<，求正整数n 的最小值．30．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．A 8．A 9．C 10．A 11．A 12．D14．B15．B二、填空题16．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取17．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故19．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两20．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得21．【解析】【分析】【详解】由条件可得22．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用23．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an﹣1）+（a24．【解析】【分析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形25．【解析】【分析】观察得到再利用裂项相消法计算前项和得到答案【详解】观察知故数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式裂项相消求和意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．B解析：B 【解析】【分析】先利用条件把413x y +-进行等量代换，再利用换元法，结合二次函数区间最值求解. 【详解】设y t x=，则222222221114113xy y xy y x x xy y x xy y t t x y ++==-=-+++++++-， ()222222441(1)01313x tx t x x tx t t x t x ++=+-⇒++-++=， 10(3)(31)033t t t ∆≥⇒--≤⇒≤≤. 221314121,13,1,911313t t t t ⎡⎤⎡⎤++∈-∈⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，2min 441313xy y x y ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭，2max 1241313xy y x y ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪+-⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题主要考查最值问题，利用条件进行等量代换是求解的关键，注意齐次分式的处理方法，侧重考查数学运算的核心素养.3．B解析：B 【解析】【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=尺。

2019-2020学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={y|y =x 2−1,x ∈R}，B ={y|y =x 2+1,x ∈R}，则A ∩B =______．2. 角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(−1,2)，则tanθ=______．3. “x <5”是“x <1”的__________________________条件4. 设向量a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(2,3)，若向量λa ⃗ +b ⃗ 与向量c ⃗ =(−3,−3)共线，则λ=______．5. 函数y =lg(1−1x )+√2x −3的定义域是______ ．6. 若f(x)为奇函数，当x <0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(2)= ______ ．7. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=−20，若S n 的最小值仅为S 6，则公差d 的取值范围是______．8. 若sin(π2+α)=35，则cos2α= ___________． 9. 已知f (x )=sin (x +7π4)+cos (x −3π4)(x ∈R)，则f(x)的最小值为________．10. 已知函数f(x)={x 2−2x ⋯x <0−x 2−2x ⋯x ≥0，若f(3−a 2)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________． 11. 在等比数列{a n }中，若a 2=9，a 5=243，则数列{a n }的前4项和为________． 12. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 在△ABC 中，已知AB =2，，若BC =3，AC 的长为________；若点D 为AC 中点，且BD =√172，sin A 的值为________．14. 已知函数f(x)=sinx −2x −a ，若f(x)在[0,π]上的最大值为−1，则实数a 的值是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m ，使得f(x)图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．16. 已知命题p:∀x ∈[−12,1]，不等式m −x 2>0恒成立；q ：方程x 2m 2+y 24=1表示焦点在x 轴上的椭圆．(1)若¬p为假命题，求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．17.如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m.公路两侧铺设水管的给用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米−α，矩形区域内铺设水管的总费用为2万元，设∠EFB=π2W．(1)求W关于α的函数关系式；(2)求W的最小值及相应的角α．18.已知向量m→=(sinA,sinB)，n→=(cosB,cosA)，m→.n→=sin2C，其中A、B、C为ΔABC的内角，所对的边分别是a，b，c．(1)求角C的大小；(2)若2c=a+b，且CA→.(AB→−AC→)=18，求AB的长．)2．19.各项均为正数的数列{a n}中，前n项和S n=(a n+12(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数m，k，使得a m，a m+5，a k成等比数列？若存在，求出m和k的值，若不存在，请说明理由．−1在点(2,f(2))处的切线方程．20.求函数f(x)=lnx+x+2x-------- 答案与解析 --------1.答案：{y|y≥1}解析：【分析】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【解答】解：∵集合A={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，B={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1}，∴A∩B={y|y≥1}．故答案为{y|y≥1}．2.答案：−2解析：解：∵角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为(−1,2)，=−2，∴x=−1，y=2，则tanθ=yx故答案为：−2．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，的应用，属于基础题．3.答案：必要不充分解析：【分析】本题考查必要条件，充分条件，充要条件的判断，由x<1可得x<5，反之不成立，即可判断出．【解答】解：由x<1可得x<5，反之不成立，∴x<5是x<1的必要不充分条件．故答案为必要不充分．4.答案：−1解析：【分析】本题考查向量共线的坐标形式的充要条件，属基础题．a ⃗ //b ⃗ ⇔x 1y 2−x 2y 1=0，先求出向量λa ⃗ +b ⃗ 的坐标，然后根据向量共线的坐标形式的充要条件：a ⃗ //b ⃗ ⇔x 1y 2−x 2y 1=0建立等式，解之即可．【解答】解：λa ⃗ +b ⃗ =(2+λ,3+2λ)c ⃗ =(−3,−3) ∵若向量λa ⃗ +b⃗ 与向量c ⃗ =(−3,−3)共线， ∴−3×(2+λ)−3×(3+2λ)=0解得：λ=−1 故答案为−1．5.答案：[log 23,+∞)解析：解：要使函数有意义，则{1−1x >02x −3≥0，即{x <0或x >1x ≥log 23， ∴x ≥log 23，即函数的定义域为[log 23,+∞)，故答案为：[log 23,+∞)根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．6.答案：−2解析：解：f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，当x <0时，f(x)=log 2(2−x)，则f(−2)=log 2(2+2)=2，则f(2)=−f(−2)=−2．故答案为：−2．f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，由已知得到f(−2)，再由f(2)=−f(−2)，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，注意运用定义和已知的解析式，考查运算能力，属于基础题．7.答案：(103,4)解析：解：S n=−20n+n(n−1)2d=d2n2−(20+d2)n，∵S n的最小值仅为S6，则d2>0，5.5<20+d2d<6.5，解得：103<d<4．∴公差d的取值范围是(103,4)．故答案为：(103,4)．利用等差数列的求和公式、二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：−725解析：【分析】本题考查了三角函数的诱导公式以及余弦二倍角公式应用，属于基础题．根据诱导公式求cosα，再由二倍角公式即可求解．【解答】解：由，得cos2α=2cos2α−1=1825−1=−725．故答案为−725．9.答案：−2解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式的应用以及正弦函数的图象和性质，利用两角和与差的三角函数公式化简函数式得到f(x)=√2sinx，再根据正弦函数的性质即可求出答案，属于基础题．【解答】解：f(x)=sinxcos7π4+cosxsin7π4+cosxcos3π4+sinxsin3π4=√22sinx−√22cosx−√22cosx+√22sinx，当时，f(x)取最小值−2．故答案为−2．10.答案：(−3,1)解析：【分析】本题主要考查分段函数的单调性、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法．判断函数的单调性，再解不等式．【解答】解：当x ≥0时，f (x )=−x 2−2x 是减函数，最小值为0，当x <0时，f (x )=x 2−2x 是减函数，且f (x )>0，所以f (x )在R 上是减函数，所以f(3−a 2)<f(2a)等价于3−a 2>2a ，解得−3<a <1，所以不等式的解集是(−3,1)．故答案为(−3,1)．11.答案：120解析：【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．属于基础题．直接应用等比数列的通项公式和求和公式不难求解．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ,则q 3=a5a 2=27，∴q =3，∴a 1=a 2q=3，∴S 4=a 1(1−q 4)1−q=3×(1−34)1−3=120，故答案为120．12.答案：−4解析：【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4 【分析】由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

江苏省盐城市高三上学期期中数学试卷解析版doc

2016-2017学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案及试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．函数y=2sin（πx+）的最小正周期是 2 ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（πx+）的最小正周期是=2，故答案为：2．2．设向量=（2，﹣6），=（﹣1，m），若∥，则实数m= 3 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理，列出方程求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣6），=（﹣1，m），若∥，可得2m=6，解得m=3．故答案为：3．3．命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题（选填“真”或“假”）．【考点】命题的真假判断及应用；二次函数的性质．【分析】举出正例x0=﹣1，可判断命题的真假．【解答】解：x2+2x+1=0的△=0，故存在∃x0=﹣1∈R，使x02+2x0+1≤0成立，即命题p：∃x0∈R，x02+2x0+1≤0是真命题，故答案为：真．4．已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B={1，4} ．【考点】交集及其运算．【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A及B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，故答案为：{1，4}，5．已知函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点（1，4）．【考点】指数函数的图象变换．【分析】由指数函数恒过定点（0，1），再结合函数的图象平移得答案．【解答】解：∵y=a x恒过定点（0，1），而函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象是把y=a x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，∴函数f（x）=a x﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点（1，4）．故答案为：（1，4）．6．在等比数列{a n}中，已知a1+a2=1，a3+a4=2，则a9+a10= 16 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由{a n}是等比数列，可得a1+a2，a3+a4，…，a9+a10构成等比数列，再由等比数列的通项公式求解．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1+a2=1，a3+a4=2，可得a9+a10=（a1+a2）×24=1×24=16．故答案为：16．7．若函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，3] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）求导：f'（x）=x2+2x﹣a；函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增即导函数f'（x）在[1，2]上恒有f'（x）≥0；【解答】解：对f（x）求导：f'（x）=x2+2x﹣a；函数f（x）=x3+x2﹣ax+3a在区间[1，2]上单调递增即导函数f'（x）在[1，2]上恒有f'（x）≥0；f'（x）为一元二次函数，其对称轴为：x=﹣1，开口朝上，故f'（x）在[1，2]上为单调递增函数；故只需满足：f'（1）≥0 解得：a≤3；故答案为：（﹣∞，3]．8．已知sinα=，且α为钝角，则cos= ．【考点】半角的三角函数．【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos=，又由α是钝角，可得的范围，由此可得cos的符号为正，即可得答案．【解答】解：∵由α是钝角，即90°＜α＜180°，则45°＜＜90°，∴cosα＜0，cos＞0，∴cosα=﹣=﹣，∴cos===．故答案为：．9．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角等于．【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到三边之比，然后设出三角形的三边长，利用大边对大角找出最大角，根据余弦定理表示出最大角的余弦值，把三边长代入即可求出余弦值，由三角形内角的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出最大角的度数．【解答】解：由sinA：sinB：sinC=3：5：7，根据正弦定理==得：a：b：c=3：5：7，设a=3k，b=5k，c=7k，显然C为最大角，根据余弦定理得：cosC===﹣，由C∈（0，π），得到C=．故答案为：10．已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=e x+x2，则曲线y=f （x）在x=1处的切线斜率为﹣2 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设x＞0，则﹣x＜0，运用已知解析式和奇函数的定义，可得x＞0的解析式，求得导数，代入x=1，计算即可得到所求切线的斜率．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=e﹣x+x2，由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣e﹣x﹣x2，x＞0．导数为f′（x）=e﹣x﹣2x，则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为﹣2．故答案为：﹣2．11．若函数f（x）=在区间（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】反比例函数y=的在区间（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减，要使x＜a在区间（﹣∞，a）上单调递减，那么：a≤0．在（a，+∞）上单调递增，则函数y=|x+1|的单调增区间必须在（a，+∞）内，则a+1≥0，即可求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，根据反比例函数的性质可知，在区间（﹣∞，0）上单调递减，要使函数f（x）在区间（﹣∞，a）上单调递减，则：a≤0．那么：函数f（x）=|x+1|在（a，+∞）上单调递增，那么：a+1≥0，解得：a≥﹣1．故得实数a的取值范围是[﹣1，0]．故答案为：[﹣1，0]．12．在数列{a n}中，a1=﹣2101，且当2≤n≤100时，a n+2a102﹣n=3×2n恒成立，则数列{a n}的前100项和S100= ﹣4 ．【考点】数列的求和．【分析】当2≤n≤100时，a n+2a102﹣n=3×2n恒成立，可得：a2+2a100=3×22，a3+2a99=3×23，…，a100+2a2=3×2100，累加可得数列{a n}的前100项和．【解答】解：∵当2≤n≤100时，a n+2a102﹣n=3×2n恒成立，∴a2+2a100=3×22，a3+2a99=3×23，…，a100+2a2=3×2100，∴（a2+2a100）+（a3+2a99）+…+（a100+2a2）=3（a2+a3+…+a100）=3（22+23+…+2100）==3．∴a2+a3+…+a100=2101﹣4，又a1=﹣2101，∴S100=a1+a2+a3+…+a100=﹣4．故答案为：﹣4．13．在△ABC中，已知AC=4，C=，B∈（，），点D在边BC上，且AD=BD=3，则•= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件画出图形，容易判断出∠BDA为锐角，而在△ACD 中，根据正弦定理可求出sin∠ADC的值，进而得出cos∠BDA的值，而，，这样带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：如图，AD=BD；∴∠DAB=∠B；∵；∴；在△ACD中，AC=4，AD=3，C=，由正弦定理得：；即；∴；∴；∴===6．故答案为：6．14．设函数f（x）=kx2﹣kx，g（x）=，若使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，则实数a的值为 2 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据题意：g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），所以二次函数图象过（1，0），即k=1，可得函数f（x）=x2﹣x，当0＜x＜1时，要使f（x）对一切正实数x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：由题意：函数f（x）=，g（x）=，当g（x）=lnx（x≥1），图象过（1，0），使得不等式f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立的实数k存在且唯一，即kx2﹣kx﹣lnx≥0，令m（x）=kx2﹣kx﹣lnx≥0则m′（x）=2kx﹣k﹣≥0．实数k存在且唯一，当x=1时，解得k=1．即k=1．可得函数f（x）=x2﹣x．当0＜x＜1时，要使f（x）≥g（x）对一切正实数x恒成立，即x2﹣x≥﹣x3+（a+1）x2﹣ax．令h（x）=x2﹣ax+a﹣1≥0，∵对一切正实数x恒成立且唯一，∴△=a2﹣4（a﹣1）=0，解得：a=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足＜0．（1）若a=1，且p∨q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件及充要条件的判断．【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，q，若p∨q 为真，则p，q至少有1个为真，即可得出；（2）根据p是q的必要不充分条件，即可得出．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．…q为真时等价于（x﹣2）（x﹣3）＜0，得2＜x＜3，…即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜3．若p∨q为真，则实数x的取值范围是1＜x＜3．…（2）p是q的必要不充分条件，等价于q⇒p且p推不出q，设A={x|a＜x＜3a}，B={x|2＜x＜3}，则B⇐A；…则，所以实数a的取值范围是1≤a≤2．…16．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）设θ为锐角，且f（θ）=﹣，求f（θ﹣）的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由图象可得A，最小正周期T，利用周期公式可求ω，由，得，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ的值（2）由已知可求，由，结合，可得范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（2θ+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由图象，得，…∵最小正周期，∴，…∴，由，得，k∈Z，∴，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴．…（2）由，得，∵，∴，又∵，∴，∴，…∴==．…17．如图，在四边形ABCD中，||=4，•=12，E为AC的中点．（1）若cos∠ABC=，求△ABC的面积S△ABC；（2）若=2，求•的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）容易求出sin∠ABC=，并且可求出的值，根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积；（2）可以E为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并可得到A（﹣2，0），C（2，0），并设D（x，y），根据条件可求得E点坐标，从而求出的坐标，进行数量积的坐标运算即可求得x2+y2=4，这样便可求出的值．【解答】解：（1）∵，∠ABC∈（0，π）；∴；∵=；∴；∴=；（2）以E为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系：则A（﹣2，0），C（2，0），设D（x，y）；由，可得B（﹣2x，﹣2y）；则=12；∴x2+y2=4；∴．18．如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．（1）请确定入口F的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；（2）因为，该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．转化为求其最小值．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，而EG⊥AF，故EG的斜率为，则EG的方程为，令x=0，得；令y=0，得；由，得，∴，即入口F的选址需满足BF的长度范围是（单位：km）．（2）因为，故该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．设，则，令f'（a）=0，得或（舍），a，f'（a），f（a）的情况如下表：1a2﹣（2﹣，）f'（a）﹣0+f（a）减极小增故当，即入口F 满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大．19．设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出f（）=ln ﹣，代入直线y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae 求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x ﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），构造函数g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，得到，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）==3，∴x=，则f（）=ln﹣，∴ln﹣=，得ln=0，即a=﹣2；（2）f′（x）=，当a≤时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得（舍）；当＜a＜1时，若x∈[1，]，f′（x）＞0，x∈[]，f′（x）＜0，故f（x）在[1，e2]上先增后减，故，f（1）=﹣a，f（e2）=2﹣ae2，即当时，，得（舍）；当时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a=；当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a=（舍）；综上，a=；（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）⇔ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），令g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t⇒2（x2﹣x﹣t）=0，即⇒，作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=﹣或0＜t＜2．20．若数列{a n}中的项都满足a2n﹣1=a2n＜a2n+1（n∈N*），则称{a n}为“阶梯数列”．（1）设数列{b n}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），求b2016；（2）设数列{c n}是“阶梯数列”，其前n项和为S n，求证：{S n}中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{d n}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），记数列{}的前n项和为T n，问是否存在实数t，使得（t﹣T n）（t+）＜0对任意的n∈N*恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【分析】（1）设数列{b n}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），b2016=b2015，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由数列{c n}是“阶梯数列”，可得c2n﹣1=c2n．即可得出S2n﹣1﹣S2n ﹣2=S2n﹣S2n﹣1，即可证明{S n}中存在连续三项成等差数列．假设{S n}中存在连续四项成等差数．S n+1﹣S n=S n+2﹣S n+1=S n+3﹣S n+2，可得a n+1=a n+2=a n+3，得出矛盾．（3）设数列{d n}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），利用等差数列的通项公式可得：d2n﹣1=2n﹣1=d2n．==．n=2k（k∈N*）时，T n=T2k=++…+=2，利用“裂项求和”及其数列的单调性可得T n∈，由（t﹣T n）（t+）＜0，可得＜t＜T n．n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=T2k﹣=T2k﹣，同理可得．【解答】（1）解：设数列{b n}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），∴数列{b2n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为9．∴b2016=b2015=b2×1008﹣1=1×91008﹣1=91007=32014．（2）证明：∵数列{c n}是“阶梯数列”，∴c2n﹣1=c2n．∴S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，因此{S n}中存在连续三项成等差数列．假设{S n}中存在连续四项成等差数．∴S n+1﹣S n=S n+2﹣S n+1=S n+3﹣S n+2，∴a n+1=a n+2=a n+3，n=2k﹣1时，a2k=a2k+1=a2k+2，及数列{c n}是“阶梯数列”矛盾；同理n=2k时，也得出矛盾．（3）解：设数列{d n}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），∴数列{d2n﹣1}是等差数列，公差为2，首项为1．∴d2n﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1=d2n．===．n=2k（k∈N*）时，T n=T2k=++…+=2=2××=1﹣=1﹣=．∴T n∈，∈．∴（t﹣T n）（t+）＜0，∴＜t＜T n，解得﹣1≤t．①n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=T2k﹣=T2k﹣=1﹣﹣（12k﹣1﹣12k+1）=1﹣∈，∴∈[﹣3，﹣1）．∴（t﹣T n）（t+）＜0，∴＜t＜T n，∴﹣1≤t．②．由①②可得：实数t的取值范围是﹣1≤t．2016年12月3日。

江苏省盐城市高三上学期期中考试数学试题含答案

盐城市2014届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合{}1,0,1,2A =-, {}2|10B x x =->，则A B =I ▲ .2．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是 ▲ ．3．函数2cos y x =的最小正周期为 ▲ ．4．设函数2()(2)1f x x a x =+--在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的最小值为 ▲ .5．设向量(1,),(3,4)a x b ==-r r ，若//a b r r ，则实数x 的值为 ▲ .6．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则10a = ▲ .7．设函数()f x 是周期为5的奇函数，当02x <≤时，()23x f x =-，则(2013)f= ▲ .8．设命题:p 4>x ；命题082:2≥--x x q ，那么p 是q 的 ▲ 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．9．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 ▲ .10．在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为 ▲ .11．在数列{}n a 中，11a =，2(1)2n n n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = ▲ .12．在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则tan tan A B= ▲ .13．在数列{}n a 中，10a =，111111n n a a +-=--，设11n n a b n +-=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S = ▲ .14. 设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. (本小题满分14分)已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中角ϕ的终边经过点(1,3)P ，且0ϕπ<<.（1）求ϕ的值；（2）求()f x 在[0,]π上的单调减区间．16. (本小题满分14分)设集合{}21A x x =-<<-，|lg,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当a =1时，求集合B ；（2）当A B B =U 时，求a 的取值范围．17. (本小题满分14分) 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m =u r ，(cos ,sin )n A A =-r，记()f A m n =⋅u r r .（2）若m u r 与n r 的夹角为3π，3C π=，6c =，求b 的值．18. (本小题满分16分)某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述．．．．．．．函数()y f x =所具有的性质；（2）若()f x =m n x+，试确定,m n 的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（3）若()f x =(0,1)x a b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取值范围．19. (本小题满分16分)若函数()(ln )f x x x a =-（a 为实常数）.（1）当0a =时，求函数)(x f 在1x =处的切线方程；（2）设()|()|g x f x =.①求函数()g x 的单调区间； ②若函数1()()h x g x =的定义域为2[1,]e ，求函数()h x 的最小值()m a .20. (本小题满分16分)设数列{}n a 的各项均为正实数，2log n n b a =，若数列{}n b 满足20b =，12log n n b b p +=+，其中p 为正常数，且1p ≠.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当n M >时，1473216n a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>恒成立？若存在，求出使结论成立的p 的取值范围和相应的M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若2p =，设数列{}n c 对任意的*n N ∈，都有12132n n n c b c b c b --+++⋅⋅⋅1n c b +2n =-成立，问数列{}n c 是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由.。

江苏省盐城市2020-2021学年高三上学期期中数学试题(解析版)

盐城市2021届高三年级第一学期期中考试数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)1. 命题“(0,1)x ∃∈，20x x -<”的否定是（） A. (0,1)x ∃∉，20x x -≥ B. (0,1)x ∃∈，20x x -≥ C. (0,1)x ∀∉，20x x -< D. (0,1)x ∀∈，20x x -≥【答案】D 【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】解：命题为特称命题，则命题“(0,1)x ∃∈，20x x -<”的否定(0,1)x ∀∈，20x x -≥，故选：D.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.2. 已知集合(){}ln 1A x y x ==-，集合1,22xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（）A. ∅B. [)1,4C. ()1,4D. ()4,+∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，然后直接求解A B 即可【详解】集合(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>，集合{}1,2042xB y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，A B =()1,4故选：C3. 已知向量a ，b 满足a b =，且a ，b 的夹角为3π，则b 与a b -的夹角为（） A.3π B.2π C.34π D.23π 【答案】D 【解析】【分析】先设abk ，再求a b ⋅，进而可求()a b b -⋅，再求()2a b-，即可求a b -，利用()cos a b b a b bθ-⋅=-⋅，结合[]0,θπ∈，即可求解. 【详解】设ab k ，(0)k >2cos 32k a b a b π⋅=⨯⨯=， ()22222222a ba b a b k k k -=+-⋅=-=，a b k ∴-=()2222·22k k a b b a b b k -=⋅-=-=-，设向量a b -与b 的夹角为θ，()222cos 21k a b b a b bk θ--⋅===--⋅，因为[]0,θπ∈，所以23πθ=，所以a b -与b 的夹角为23π. 故选：D4. 在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（） A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】【分析】由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为12的等比数列，设两鼠n 天可相逢，求两数列的前n 项和加起来大于或等于33的最小的正整数n 即可. 【详解】设两鼠n 天可相逢，由题意知：大鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为2的等比数列，大鼠n 天打洞尺寸为122112nn -=--，小鼠每天打洞的尺寸是首项为1，公比为12的等比数列，小鼠n 天打洞尺寸为1111221212n n --=--，两鼠n 天打洞尺寸之和为：11112122122n nn n ---+-=-+，令1121332nn --+≥，经验证：5n =时，1121332nn --+≥不成立；6n =时，1121332n n --+≥成立；所以两鼠6日可相逢，故选：B【点睛】方法点睛：数列实际应用中常见的模型：（1）等差模型：如果增加或减少的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第n 项n a 与第1n +项1n a +的递推关系，还是前n 项和n S 与前1n +和1n S +之间的递推关系. 5. 函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解；【详解】解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ；()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变.经科学测定，14C 的半衰期为5730(设14C 的原始量为1，经过x 年后，14C 的含量()xf x a =，即()157302f =).现有一古物，测得共14C 为原始量的79.37%，则该古物距今约多少年？（）(0.7937≈，0.9998≈) A. 1910 B. 3581C. 9168D. 17190【答案】A 【解析】【分析】由1(5730)2f =可得a =，令()0.7937f x =，得log 0.7937a x =，利用换底公式结合对数的运算性质即可求出x 的值．【详解】解：设14C 的原始量为1，经过x 年后，14C 的含量()x f x a =，由题意可知：1(5730)2f =，即573012a =，∴a = 令()0.7937f x =，得：0.7937x a =，110.7937573032log 0.7937191011357302a lglg x lga lg ∴=====，∴该古物距今约1910年．故选：A【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，主要是换底公式的应用log log log c a c bb a=()01a a >≠且且()01c c >≠且．7. 已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（）A. 376B. 382C. 749D. 766【答案】C 【解析】【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题8. 设(),0,x y π∈，若()()sin sin cos cos x y =，则()cos sin x 与()sin cos y 的大小关系为（） A. = B. >C. <D. 以上均不对【答案】A 【解析】【分析】设sin x α=，cos y β=，利用正弦、余弦函数的值域，结合题目条件得(]0,1α∈，()1,1β∈-，再利用诱导公式，结合题目条件得sin sin 2παβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质得2παβ=-，或2παβ=+，再分类讨论，分别计算可得；【详解】解：设sin x α=，cos y β= 因为(),0,x y π∈所以(]0,1α∈，()1,1β∈- 又因为()()sin sin cos cos x y = 所以sin cos sin 2παββ⎛⎫==-⎪⎝⎭而1,1222πππβ⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭ 所以2παβ=-，或22ππαπββ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭ 所以①当2παβ=-时，()cos sin cos cos sin 2x παββ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭()sin cos sin y β=，所以()()cos sin sin cos x y =②当2παβ=+时，()cos sin cos cos sin 2x παββ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭()sin cos sin y β=，因此：①当()1,0β∈-时，sin sin ββ->，所以()()cos sin sin cos x y > ②当0β=时，sin sin 0ββ-==，所以()()cos sin sin cos x y =③当()0,1β∈时，sin sin ββ-<，所以()()cos sin sin cos x y < 故选：D二､多选题：(本大题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.)9. 设函数()5xf x =，()()2g x ax x a R =-∈，若()15f g =⎡⎤⎣⎦，则a =（）A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】BD 【解析】【分析】代入解析式即可求解.【详解】由()5xf x =，()()2g x ax x a R =-∈，()()11155a f g f a -=-==⎡⎤⎣⎦，可得11a -=，解得0a =或2a =. 故选：BD 10. 函数()()2122ln 2f x ax a x x =-++单调递增的必要不充分条件有（） A. 2a ≥ B. 2a =C. 1a ≥D. 2a >【答案】AC 【解析】【分析】求导，把问题转化为()2220ax a x -++≥在区间()0,∞+恒成立，a 分三种情况讨论即可得出结论。

2021-2022学年江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.集合M=[−1,1]，N={x|x2−2x≤0}，则M∪N=()A. [−1,1]B. [0,1]C. [−1,2]D. [−1,0]2.设f(x)=x+9x(x∈R)，则“x>0”是“f(x)>6”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3.若复数z=a+bi(a,b∈R)满足z⋅z−=z2，则()A. a=0，b≠0B. a≠0，b=0C. a=0D. b=04.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n4，则a6的值为()A. 220B. 224C. 21024D. 240965.下列向量一定与向量a⃗|a⃗ |−b⃗|b⃗|垂直的是()A. a⃗|a⃗ |+b⃗|b⃗|B. a⃗|b⃗|−b⃗|a⃗ |C. a⃗+b⃗D. a⃗−b⃗6.已知sin(2θ−π6)=−13，θ∈(0,π2)，则sin(θ+π6)=()A. √63B. √33C. √23D. 137.若函数y=sin2x与y=sin(2x+φ)在(0,π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0,2π)，则φ的取值范围是()A. [π,2π)B. [π2,π] C. (π,2π) D. [π2,π)8.函数f(x)=lnx−m(x−1)x+1的零点最多有()个A. 4B. 3C. 2D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列数列一定是等比数列的有()A. a1+a2，a2+a3，a3+a4，…B. a1+a3，a3+a5，a5+a7，…C. S2，S4−S2，S6−S4，…D. S3，S6−S3，S9−S6，…10. 如图，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，点P 是圆O 上第一象限内的动点，将点P 绕原点O 逆时针旋转π3至点Q ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值可能为( )A. −1B. −√32C. −√22D. −1211. 已知函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ，下列说法正确的有( )A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最小正周期为2πC. 函数f(x)的值域为(1,2]D. 函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π212. 若正实数x ，y 满足lny −lnx >y −x >siny −sinx ，则下列不等式可能成立的有( )A. 0<x <1<yB. y >x >1C. 0<y <x <1D. 0<x <y <1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x ，则g(2)+g(−2)=______． 14. 试写出一个先减后增的数列{a n }的通项公式：a n =______．15. 若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设p =12(a +b +c)，则该三角形的面积S =√p(p −a)(p −b)(p −c)，这就是著名的“秦九韶−海伦公式”，若△ABC 的周长为8，AB =2，则该三角形面积的最大值为______．16. 函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程为______.由导数的几何意义可知，当x无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1.于是，当x 无限接近于+∞时，(1+2x )x 的值无限接近于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象Γ与y 轴交点的纵坐标为√32，Γ在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[0,π2]上的值域．18.已知数列{a n}是首项为1−2i(i为虚数单位)的等差数列，a1，√5，a3成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设{a n}的前n项和为S n，求|S10|.19.在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，AC=AD=√10，CD=2．(1)求sin∠BAC的值；(2)求边AB的长．20.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1={2n+1(a n+1),n=2k−1,k∈N∗a n2n+1,n=2k,k∈N∗．(1)求证：a2n+1−a2n−1=2；(2)设b n=a2n−1+a2n，求{b n}的前n项和S n．2n21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=cosB，b=cosA．(1)求证：存在△ABC，使得c=1；(2)求△ABC面积S的最大值．22.设函数f(x)=e x−x2+mln(x+2)−2．(1)求证：当m=0时，f(x)>0在x∈(2,+∞)上总成立；(2)求证：不论m为何值，函数f(x)总存在零点．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合M=[−1,1]，N={x|x2−2x≤0}=[0,2]，∴M∪N=[−1,2]．故选：C．求出集合N，由此能求出M∪N．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：x>0，则f(x)=x+9x ≥2√x⋅9x=6，当且仅当x=3时取等号．∴“x>0”是“f(x)>6”的必要不充分条件，故选：B．利用基本不等式、简易逻辑的判定方法即可判断出结论．本题考查了基本不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵z=a+bi，∴z−=a−bi，z2=(a+bi)2=a2−b2+2abi，∴z⋅z−=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，∵z⋅z−=z2，∴{2b2=02ab=0，解得b=0，a∈R．故选：D．根据已知条件，结合复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，即可求解．本题主要考查复数的乘法法则，以及复数的相等性准则，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n 4，则a 2=24，a 3=a 24=216， a 4=a 34=264，a 5=a 44=2256，a 6=a 54=21024，故选：C ．利用数列的递推关系式，依次求解数列的项即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵a⃗ |a ⃗ |和b⃗ |b ⃗ | 都是单位向量，(a ⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b⃗ | )⋅(a ⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b⃗ | )=(a⃗ |a ⃗ |)2−(b⃗ |b ⃗ |)2=1−1=0，故与向量a⃗ |a ⃗ |−b ⃗ |b⃗ |垂直的是a⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b⃗ |，而其它向量与向量a⃗ |a ⃗ |−b⃗ |b⃗ |的乘积不等于零，故选：A ．由题意利用两个向量垂直的性质，单位向量的定义和性质，得出结论．本题主要两个向量垂直的性质，单位向量的定义和性质，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵0<θ<π2，∴−π6<2θ−π6<5π6，又∵sin(2θ−π6)=−13<0， ∴−π6<2θ−π6<0，∴0<θ<π12，∴π6<θ+π6<π4， ∴cos(2θ−π6)=2√23， sin2(θ+π6)=sin(2θ+π3)=sin(2θ−π6+π2)=cos(2θ−π6)=2√23，即2sin(θ+π6)⋅cos(θ+π6)=2√23，sin(θ+π6)⋅√1−sin2(θ+π6)=√23，解得：sin(θ+π6)=√33，故选：B．根据θ的范围和已知条件，找出2θ−π6的范围，再求出cos(2θ−π6)值，再求解sin(θ+π6)的值．本题考查了三角函数之间的关系及整体思想，计算较复杂属于中档题．7.【答案】A【解析】解：∵函数y=sin2x与y=sin(2x+φ)在(0,π4)上的图象没有交点，其中φ∈(0,2π)，由2x∈(0,π2)，可得sin2x∈(0,1)，∴2x+φ∈(φ,π2+φ)，sin(2x+φ)∈[−1,0]，∴π+2kπ≤φ≤2kπ+2π，k∈Z．结合φ∈(0,2π)，令k=0，求得π≤φ≤2π．综上，π≤φ<2π，故选：A．由题意利用正弦函数的图象、正弦函数的定义域和值域，求得φ的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由f(x)=lnx−m(x−1)x+1，∴x∈(0,+∞)，f′(x)=x2+(2−2m)x+1x(x+1)2，令g(x)=x2+(2−2m)x+1，①则m≤1时，因为x∈(0,+∞)，g(x)=x2+(2−2m)x+1>0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，又∵f(1)=0，∴f(x)在R上有且只有一个零点，②当m∈(1,2]时，Δ=4m2−8m=4m(m−2)≤0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，又∵f(1)=0，∴f(x)在R上有且只有一个零点，③当m>2时，x2+(2−2m)x+1=0有两个正根，x1=m−1−√m2−2m，x2=m−1+√m2−2m，由x1x2=1，∴0<x1<1，x2>1，当0<x<x1时，g(x)>0，f(x)>0，f′(x)单调递增，当x1<x<x2，g(x)<0，f(x)>0，f′(x)单调递减，当x>x2时，g(x)>0，f(x)>0，f′(x)单调递增，∵1∈(x1,x2)，f(1)=0，∴f(x)在(x1,x2)上有一个零点，且f(x1)>0，f(x2)<0，又∵e m>1，0<e−m<1，且f(e m)=m−m(e m−1)e m+1=2me m+1>0，f(e−m)=−m−m(e−m−1)e−m+1=−2me−m+1<0，∴f(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上各有一个零点，综上所述：当m<2时，f(x)有且只有1个零点，当m>2时，f(x)有3个零点．∴f(x)最多有3个零点．故选：B．由题意对函数求导，建立新的函数，再讨论m的范围，得零点个数．本题考查函数的零点与方程的关系，属于难题．9.【答案】BD【解析】解：若等比数列{a n}的公比q=−1，则a1+a2=0，所以此时a1+a2，a2+a3，a3+a4，…不能构成等比数列，选项A错误；同理可得q=−1时，S2=0，选项C错误；而a1+a3，a3+a5，a5+a7，…是以q2为公比的等比数列，S3，S6−S3，S9−S6，…也是以q2为公比的等比数列，其首项均不等于0，所以选项BD正确．故选：BD．考虑{a n}公比为−1的情况，对选项进行逐项判断即可．本题考查等比数列的性质，解题的关键在于考虑{a n}公比为−1的情况，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，OA =OP =OQ =1，∠POQ =π3，设∠AOP =θ(0<θ<π2)，则∠AOQ =θ+π3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos(θ+π3)−1×1×cosθ=cos(θ+π3)−cosθ=cosθcos π3−sinθsin π3−cosθ=−12cosθ−√32sinθ=−sin(θ+π6)，∵0<θ<π2，∴π6<θ+π6<2π3，∴sin(θ+π6)∈(12,1]，即−sin(θ+π6)∈[−1,−12), ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )∈[−1,−12)， ∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值可能为−1，−√32，−√22，故选：ABC ．设∠AOP =θ(0<θ<π2)，则∠AOQ =θ+π3，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12cosθ−√32sinθ=−sin(θ+π6)，结合θ的范围求出−sin(θ+π6)的范围，从而判断出正确选项．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了考查了两角和的正弦函数和余弦函数，同时考查了向量数量积的运算，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：函数f(x)=√1+cosx +√1−cosx ，所以f(x)≥0，则[f(x)]2=1+cosx +1−cosx +2√(1+cosx)(1−cosx)=2+2|sinx|>0，所以f(x)=√2+2|sinx|，对于A ，因为f(x)的定义域为R ，关于原点对称，又f(−x)=√2+2|sin(−x)|=√2+2|sinx|=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故选项A 正确；对于B ，因为函数y =|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)=√2+2|sinx|的最小正周期为π，故选项B错误；对于C，因为−1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，所以2≤2+2|sinx|≤4，故√2≤√2+2|sinx|≤2，所以函数f(x)的值域为[√2,2]，故选项C错误；对于D，因为函数f(x)的最小值正周期为π，又函数f(x)的对称轴方程为x=kπ2,k∈Z，故函数f(x)图象的相邻的两条对称轴之间的距离为π2，故选项D正确．故选：AD．先将函数f(x)的解析式进行化简变形，利用偶函数的定义，即可判断选项A，利用三角函数的周期性，即可判断选项B，利用正弦函数的有界性，即可判断选项C，由周期性以及正弦函数的对称性，求出对称轴方程，即可判断选项D．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的周期性、对称性、奇偶性以及值域的求解，涉及了三角函数图象与性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：x>0，y>0，lny−lnx>y−x>siny−sinx，∴lny−y>lnx−x，①且y−siny>x−sinx②．令f(x)=lnx−x(x>0)，g(x)=x−sinx(x>0)，则f′(x)=1x −1=1−xx，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴当0<x<y<1，或1<y<x时①成立，故D正确，C错误，B错误，A可能正确，也可能错误；③又∀x∈(0,+∞)，g′(x)=1−cosx≥0恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴当y >x >0时，②成立，故D 正确，A 正确；④ 综合③④，得以上不等式可能成立的有AD ，故选：AD ．由已知得lny −y >lnx −x ，且y −siny >x −sinx ，分别构造函数f(x)=lnx −x(x >0)，g(x)=x −sinx(x >0)，求导，研究两个函数的单调情况即可作出正确选择．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，考查构造法的应用及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】174【解析】解：奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x ，所以f(−x)+g(−x)=g(x)−f(x)=(12)x ，联立得，g(x)=2x +(12)x2，则g(2)+g(−2)=174．故答案为：174．结合奇函数与偶函数定义及已知等式可求g(x)，进而可求g(2)+g(−2)．本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，属于基础题．14.【答案】n 2−4n(答案不唯一)【解析】解：根据题意，若数列{a n }先减后增，结合二次函数的性质分析，数列的通项公式可以为a n =n 2−4n ；故答案为：n 2−4n(答案不唯一)．由数列的函数特性，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查数列的函数特性以及数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：因为△ABC 的周长为8，c =2，p =12(a +b +c)=4，a +b =6，所以三角形的面积S =√4(4−a)(4−b)(4−2)=√8ab −64，又6=a +b ≥2√ab ，可得ab ≤9，当且仅当a =b =3时等号成立，所以三角形的面积S =√8ab −64≤√8×9−64=2√2，当且仅当a =b =3时等号成立，故该三角形面积的最大值为2√2．故答案为：2√2．由题意可求S =√8ab −64，利用基本不等式可求ab ≤9，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】y =x e 2【解析】解：由f(x)=ln(1+x)，得f′(x)=11+x ，则f′(0)=1，又f(0)=0，∴函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程为y =x ；当x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1，而(1+2x )x =[(1+2x )x 2]2=[e x 2ln(1+2x )]2=e2(ln(1+2x )2x)，当x 无限接近于+∞时，2x 无限接近于0，则ln(1+2x)2x无限接近于1，∴当x 无限接近于+∞时，(1+2x )x 的值无限接近于e 2．故答案为：y =x ；e 2．求出函数f(x)=ln(1+x)的导函数，可得f′(0)=1，再由f(0)=0，利用直线方程的斜截式可得函数f(x)=ln(1+x)在x =0处的切线方程；把(1+2x )x 变形，结合x 无限接近于0时，ln(1+x)x的值无限接近于1得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意知f(0)=√32，即sinφ=√32， ∵0<φ<π2，∴φ=π3，此时f(x)=sin(ωx +π3)，∵Γ在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π12．∴由五点对应法得π12ω+π3=π2，∴π12ω=π6，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x+π3).(2)当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，∴2x+π3∈[π3,4π3]，则当2x+π3=4π3时，f(x)取得最小值此时f(x)=sin4π3=−√32，当2x+π3=π2时，f(x)取得最大值此时f(x)=sinπ2=1，即函数的值域为[−√32,1]．【解析】(1)根据条件求出ω和φ的值即可．(2)求出角的范围，利用三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的有界性是解决本题的关键，是中档题．18.【答案】解：(1)设等差数列公差为d，因为a1，√5，a3成等比数列，所以a1a3=5，所以(1−2i)(1+2d−2i)=5，若d为实数，则{2d−3=5−4i−4id=0，无解；若d为虚数，则{2d−4i=0−3−4id=5，解得d=2i，所以a n=1−2i+(n−1)×2i=1+2(n−2)i，即a n=1+2(n−2)i；(2)|S10|=|a1+(a2+a10)×92|=|1−2i+1+1+(10−2)2i2×9|=|10+70i|=√102+702=50√2．【解析】(1)设公差为d，由条件可得(1−2i)(1+2d−2i)=5，分d为实数和d为虚数两种情况求解；(2)由(1)数列每一项均为复数，所以所求为复数的模，化简S10=10+70i，代入模长公式计算．本题考查了等差等比的综合运算，复数的运算，属于综合题．19.【答案】解：(1)设∠DAC=α，△ADC中，由余弦定理得，cosα=10+10−42×√10×√10=45，所以sinα=35，所以sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2×45×35=2425；(2)过A作AE⊥CD，垂足为E，设AB=x，由角平分线性质得，ABAC =BDCD，所以x√10=BD2，所以BD=√105x，Rt△ACE中，CE=1，AC=√10，AE=3，Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，即x2=9+(1+√105x)2，整理得，3x2−2√10x−50=0，解得AB=x=5√103．【解析】(1)由已知结合余弦定理先求cos∠DAC，然后结合同角平方关系及二倍角正弦公式可求；(2)设AB=x，结合角平分线性质先表示BD，然后结合勾股定理可求AB．本题主要考查了余弦定理，同角平方关系，二倍角公式，还考查了角平分线性质，属于中档题．20.【答案】证明：(1)由题设有a2k=22k(a2k−1+1)，a2k+1=a2k22k+1，故a2k22k=a2k−1+1，所以a2k+1=a2k−1+1+1，即a2n+1−a2n−1=2，解：(2)由(1)可得{a2n−1}为等差数列且首项为a1=1，公差为2，故a2n−1=1+(n−1)×2=2n−1，故a2k=22k(a2k−1)=2k×22k=k⋅22k+1，故b n=2n−1+n×22n−12n=2n−1+4n，故S n=n(1+2n−1)2+4(1−4n)1−4=n2+4n+1−43．【解析】(1)由题设有a2k=22k(a2k−1+1)，a2k+1=a2k22k+1，化简后可得所需证明的递推关系，(2)利用(1)的结果可得b n=2n−1+4n，利用分组求和法可求S n．本题考查数列的递推公式，及数列的求和公式，考查学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)证明：因为a=cosB，b=cosA，由正弦定理可得，asinA =bsinB，所以cosBsinA =cosAsinB，则sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，在△ABC中，因为A，B∈(0,π)，且A+B<π，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，当A+B=π2时，C=π2，所以c2=cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，则c=1，故存在△ABC，使得c=1；(2)解：①当A+B=π2时，S△ABC=12cosAcosB=12sinAcosA=14sin2A≤14，所以△ABC面积的最大值为14；②当A=B时，S△ABC=12cos2Asin(π−2A)=12cos2Asin2A=sinAcos3A，故S△ABC2=sin2Acos6A=(1−cos2A)cos6A，令x=cos2A，则x∈(0,1)，所以S△ABC2=f(x)=(1−x)x3，则f′(x)=−x3+3(1−x)x2=x2(3−4x)，令f′(x)=0，解得x=34，当0<x <34时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，当34<x <1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以当x =34时，f(x)取得最大值f(34)=3343，即当cos 2A =34，即A =π6时，△ABC 的面积取得最大值3√316．因为3√316>14，故△ABC 面积S 的最大值为3√316．【解析】(1)利用正弦定理结合已知条件，得到cosB sinA =cosAsinB ，利用三角恒等变换得到sin2A =sin2B ，从而得到A =B 或A +B =π2，当A +B =π2时，即可求得c =1，从而证明结论；(2)当A +B =π2时，求出△ABC 的面积的最大值，当A =B 时，表示出△ABC 的面积，令x =cos 2A ，则x ∈(0,1)，构造函数f(x)=(1−x)x 3，利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，比较即可得到答案．本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数最值的应用，解三角的应用，正弦定理以及三角形面积公式的运用，三角恒等变换的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)当m =0时，f(x)=e x −x 2−2，f′(x)=e x −2x ， f″(x)=e x −2，当x ∈(2,+∞)时，f″(x)=e x −2>0恒成立，即f′(x)单增，又f′(2)=e 2−4>0，则f′(x)>f′(2)>0恒成立，即f(x)单增，又f(2)=e 2−6>0，则f(x)>f(2)>0．(2)由题知，f(−l)=e −1−3<0，当m ≥0时，f(2)=e 2−6+mln4>0恒成立，由零点存在定理知，函数f(x)总存在零点；当m <0时，f′(x)=e x −2x +mx+2，f″(x)=e x−2−m(x+2)2，>0，则f′(x)在[1,+∞)上单增，易知，f″(x)单增，且f″(1)=e−2−m9根据f′(x)的解析式，存在x1∈[x0,+∞)，使f′(x)>0，f(x)单增，根据f(x)的解析式，存在x1→+∞，使f(x1)>0，由零点存在定理知，函数f(x)总存在零点．【解析】(1)当m=0时，f(x)=e x−x2−2，二次求导，根据导数正负情况判断原函数的单调性，从而证得结论；(2)由题知，f(−1)=e−1−3<0，只需证明无论m为何值，函数f(x)总能取到正值，由零点存在定理即可证得结论．本题考查零点存在性定理，导数的综合应用，属于难题．。

2020-2021学年盐城市高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年盐城市高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.给出下列四个命题：①若样本数据x 1，x 2，..x 10的方差为16，则数据2x 1−1，2x 2−1，…2x 10−1的方差为64； ②“平面向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为锐角，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0”的逆命题为真命题；③命题“∀x ∈(−∞,0)，均有e x >x +1”的否定是“∃x 0∈(−∞,0)，使得e x 0≤x 0+1”； ④a =−1是直线x −ay +1=0与直线x +a 2y −1=0平行的必要不充分条件．其中正确的命题个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42.已知集合A ={y|y =−x 2+3,x ∈R},B ={x|y =√x +3}，则A ∩B =( )A. {(0,3)，(1,2)}B. (−3,−3)C. [−3,3]D. {y|y ≤3}3.已知O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则∠C 的值为( )A. π4B. π2C. π6D. π124.已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 42=4，且a 4+a 3=6，则S 5=( )A. 31B. 32C. 30D. 295.函数f(x)=lnx 的图象与函数g(x)=x 2−4x +4的图象的交点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 36.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=11−3t +241+t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A. 4+25ln5B.252+24ln6C.352+24ln6D.352+48ln67.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2S 2=S 3+S 4，a 1=2，则a 2=( )A. 2B. −4C. 2或−4D. 48.若a =sin2π7，b =tan 5π7，c =cos 5π7，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设函数f(x)=|cosx +a|+|cos2x +b|，a ，b ∈R ，则( )A. f(x)的最小正周期可能为π2 B. f(x)为偶函数C. 当a =b =0时，f(x)的最小值为√22D. 存a ，b 使f(x)在(0,π2)上单调递增10. 设x ∈R ，则x <−3的一个必要条件是( )A. x <−2B. x <−1C. x >−4D. x <−511. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是( )A. 若△ABC 为锐角三角形且A >B ，则sinA >cosBB. 若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形C. 若A >B ，则sinA >sinBD. 若a =8，c =10，B =60°，则符合条件的△ABC 有两个12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且1e a 3+1+1e a 2019+1≤1，则( )A. 当数列{a n }为等差数列时，S 2021≥0B. 当数列{a n }为等差数列时，S 2021≤0C. 当数列{a n }为等比数列时，T 2021>0D. 当数列{a n }为等比数列时，T 2021<0三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 已知sinα+cosα=12，则cos4α= ．14. 在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2=5，a 4+a 5=23，则该数列的前10项的和S 10= ______ ． 15. 已知函数在处有极值为10，则四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知O 为△ABC 的外心，AB =6，AC =10，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，且2x +6y =3；当x =0时，cos∠BAC = ；当x ≠0时，cos∠BAC = ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：)满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．(1)求的值及的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．18.已知向量a⃗=(2sin(x+π12),cos(x−π12))，b⃗ =(cos(x+π12),2sin(x−π12))，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −2cos2x；(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，当x∈[0,π2]时，求y=g(x)的最大值和最小值．19.已知函数f(x)=a x−2x(a>1)．(1)当a=e时，求证：f(x)−lnx+2x>2；(2)讨论函数f(x)的零点个数．20.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2B−sin2A=sin2C−sinAsinC．(1)求角B的大小；(2)若△ABC的周长为9，且b=4，求△ABC的面积．21.已知公差为d的等差数列{a n}和公比q<0的等比数列{b n}，a1=b1=1，a2+b2=1，a3+b3=4．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)令C n=2 a n+a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．22.已知函数f(x)=a(x2−1)−lnx(1)若y=f(x)在x=2处取得极小值，求a的值；(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围；(3)求证：当n≥2且n∈N∗时，1ln2+1ln3+⋯+1lnn>3n2−n−22n2+2n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：对于①，由方差的性质得：数据2x 1+1，2x 2+1，…，2x 8+1的方差为：S 2=22×16=64，故正确．对于②，逆命题为：面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角为锐角，是假命题；对于③，命题“∀x ∈(−∞,0)，均有e x >x +1”的否定是“∃x 0∈(−∞,0)，使得e x 0≤x 0+1”，正确；对于④，当a =−1时直线x −ay +1=0与直线x +a 2y −1=0平行，故是假命题．故选：B ．①根据方差的性质、定义进行判断，②根据逆命题以及向量数量积的定义进行判断， ③根据全称命题的否定是特称命题进行判断， ④根据直线平行的判定方法关系进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大．2.答案：C解析：解：由y =−x 2+3≤3得，则集合A ={y|y ≤3}=(−∞,3]，由x +3≥0得x ≥−3，则集合B =[−3,+∞)，所以A ∩B =[−3,3]，故选：C ．由二次函数的性质求出集合A ，由偶次根号下被开方数大于等于零求出集合B ，由交集的运算求出A ∩B ．本题考查交集及其运算，以及二次函数的性质，函数的定义域，属于基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，如图，O 为△ABC 的外接圆的圆心，设|OA|=|OB|=|OC|=t ，∠AOB =θ，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−√5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即t 2+4t 2+2t 2cosθ=5t 2，则有cosθ=0，又由0≤θ≤π，则有θ=π2，。

江苏省盐城市高三上学期期中考试数学试题(有答案)

盐城市高三年级第一学期期中考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ． 2．设向量(2,6)a =-，(1,)b m =-，若//a b ，则实数m = ▲ ．3．命题2000:,210p x R x x ∃∈++≤是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．已知集合{}1,2,3,4A =，{}|32,B y y x x A ==-∈，则AB = ▲ ．5．函数()13x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象所经过的定点为 ▲ ． 6．在等比数列{}n a 中，已知121a a +=，342a a +=，则910a a += ▲ ． 7．若函数321()33f x x x ax a =+-+在区间[1,2]上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ． 8α为钝角，则cos 2α= ▲ ． 9．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的大小为 ▲ ． 10．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2xf x e x =+，则曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为 ▲ ．11．若函数1,,()|1|,x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在区间(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，10112a =-，且当2100n ≤≤时，102232nn n a a -+=⨯恒成立，则数列{}n a 的前100项和100S = ▲ ．13．在ABC ∆中，已知4AC =，4C π=，(,)42B ππ∈，点D 在边BC 上，且3AD BD ==，则AB AD ⋅= ▲ ． 14. 设函数()2fx k x k x =-，()()32ln , 1,1,01,x x g x x a x ax x ≥⎧⎪=⎨-++-<<⎪⎩，若使得不等式()()f x g x ≥ 对一切正实数恒成立的实数存在且唯一，则实数的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设p ：实数满足22430x ax a -+<，其中0a >；：实数满足302x x -<-. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数的取值范围；（2）若p 是的必要不充分条件，求实数的取值范围.16．（本小题满分14分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（1）求,,ωϕA 的值；（2）设为锐角，且()f θ=，求()6πθf -的值.17．（本小题满分14分）如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅=，E 为AC 的中点. （1）若12cos 13ABC ∠=，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若2BE ED =，求DA DC ⋅的值.第17题图18．（本小题满分16分）如图所示，有一块矩形空地ABCD ，AB m ，BC =m ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口，其中入口F 在边BC 上（不包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，且满足点,A F 恰好关于直线EG 对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. （1）请确定入口F 的选址范围；（2）设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，商业区的环境舒适度指数为21S S ，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？19．（本小题满分16分）第18题图ABCD EF G设函数()ln f x x ax =-()a R ∈.（1）若直线31y x =-是函数()f x 图象的一条切线，求实数的值；（2）若函数()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最大值为1ae -（为自然对数的底数），求实数的值；（3）若关于的方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）若数列{}n a 中的项都满足21221n n n a a a -+=<（*n N ∈），则称{}n a 为“阶梯数列”.（1）设数列{}n b 是“阶梯数列”，且11b =，21219n n b b +-=（*n N ∈），求2016b ；（2）设数列{}n c 是“阶梯数列”，其前项和为n S ，求证：{}n S 中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{}n d 是“阶梯数列”，且11d =，21212n n d d +-=+（*n N ∈），记数列21n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T . 问是否存在实数，使得()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对任意的n N *∈恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.高三年级第一学期期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．2 2. 3 3. 真 4. {}1,4 5. ()1,4 6. 16 7. 3a ≤ 8. 13 9. 120︒ 10. 12e- 11. [1,0]- 12.4- 13. 6 14. 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15．解：（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<, 又0a >,所以3a x a <<,当1a =时,1<3x <,即p 为真时实数的取值范围是13x <<. …………………2分等价于(2)(3)0x x --<，得23x <<, …………………4分即为真时实数的取值范围是23x <<.若p q ∨为真，则实数的取值范围是13x <<. …………………7分（2）p 是的必要不充分条件，等价于⇒p 且p⇒/,设{|3}A x a x a =<<, {|23}B x x =<<, 则B A; …………………10分则02,33,233a a a a <≤⎧⎪≥⎨⎪==⎩与不同时取等号，所以实数的取值范围是12a ≤≤. ………………14分16．解：（1）由图像，得A = (2)分最小正周期473126πππT ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，22Tπω∴==， ……………4分())ϕf x x ∴=+，由712f π⎛⎫=⎪⎝⎭722122ππϕπk ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈， 523πϕπk ∴=-+，k Z ∈，0ϕπ<<，3πϕ∴=. ……………7分（2）由())3f πθθ=+=3sin(2)35πθ+=-， (0,)2πθ∈，42,333πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又sin(2)03πθ+<，所以42,33ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，4cos(2)35πθ∴+==-， (10)分()2(2)633πππθθθf ⎡⎤∴-==+-⎢⎥⎣⎦sin(2)cos cos(2)sin 3333ππππθθ⎤=+-+⎥⎦31412525210⎫-=-⨯+⨯=⎪⎪⎭. ……………14分17．解：（1）12cos 13ABC ∠=，()0,ABC π∠∈，5sin 13ABC ∴∠==， ……………2分1212cos ,13BA BC BA BC ABC BA BC ⋅==⋅∠=⋅ 13,BA BC ∴⋅= ……………4分1155sin 1322132ABC S BA BC ABC ∆∴=⋅∠=⨯⨯=. ……………7分（2）以E 为原点，AC 所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，第17题图则A (－2,0)，C (2,0)，设D (),x y ，由2BE ED =，可得(2,2)B x y --，则2212(22,2)(22,2)444,BA BC x y x y x y ⋅==-⋅+=-+224,x y ∴+= ……………11分∴()()222,2,40DA DC x y x y x y ⋅=---⋅--=+-=. ……………14分18．解：（1）以A 为原点，AB 所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()0,0A ，设()2,2F a （024a <<），则AF 的中点为()1,a ，斜率为，而EG AF ⊥，故EG 的斜率为1a-，则EG 的方程为()11y a x a-=--，令0x =，得1G y a a=+； ……………2分令0y =，得21E x a =+； ……………4分由04020<<4G E y x BF BF <≤⎧⎪<≤⎨⎪⎩，得220102a a a ⎧≤≤+⎪<≤⎨⎪<<⎩，21a ∴≤≤，即入口F 的选址需满足BF的长度范围是[42]-（单位：m ）. ……………6分（2）因为()23111212AEG S S AE AG a a a a a a∆⎛⎫==⋅=++=++ ⎪⎝⎭，故该商业区的环境舒适度指数121111811ABCD ABCD S S S S S S S S -==-=-， ……………9分所以要使21S S 最大，只需1S 最小.设()3112,[2S f a a a a a==++∈ ……………10分则()()())()2224222222111311132132a aa a a f a a a a a a -++-++-'=+-===，令()0f a '=，得a =a =（舍）， ……………12分()(),,a f a f a '的情况如下表：故当. ……16分19．解：（1）()ln f x ax x =-+，()1f x a x'∴=-, 设切点横坐标为0x ，则000013,ln 31,a x ax x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩………………2分消去，得0ln 0x =，故01x =，得 2.a =- ………………4分（2）()22111,1,1,f x a x e x e x'=-≤≤≤≤ ①当21a e≤时，()0f x '≥在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()()22max 21f x f e ae ae ==-=-，得2211a e e e =>-,舍去; ………………5分②当1a ≥时，()0f x '≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，则()()max 11f x f a ae ==-=-，得111a e =<-,舍去; ………………6分③当211a e <<时，由()201f x x e '⎧>⎪⎨≤≤⎪⎩，得11x a ≤<；由()201f x x e'⎧<⎪⎨≤≤⎪⎩，得21x e a <≤，故()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在21,e a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()max 11ln 1f x f a ae a ⎛⎫==--=-⎪⎝⎭，得2l n 0a e a --=, ………………8分设()212ln ,,1g a ae a a e ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,则()211,,1g a e a a e ⎛⎫'=-∈ ⎪⎝⎭当211,a e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()10g a e a '=-<,()g a 单调递减，当1,1a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()10g a e a'=->,()g a 单调递增，故()min 10g a g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭,2ln 0ae a ∴--=的解为1a e=. 综上①②③，1a e=. …………………10分（3）方程()()22ln 23ln x x t x x t x t --+--=-可化为()()()()2211ln 2323ln 22x x t x x t x t x t --+--=-+-，令()1ln 2h x x x =+，故原方程可化为()()223h x x t h x t --=-， …………………12分由（2）可知()h x 在()0,+∞上单调递增，故2230x x t x tx t ⎧--=-⎨->⎩有且仅有唯一实数根，即方程20x x t --=（※）在(),t +∞上有且仅有唯一实数根， …………………13分①当410t ∆=+=，即14t =-时，方程（※）的实数根为1124x =>-，满足题意； ②当0∆>，即14t >-时，方程（※）有两个不等实数根，记为12,,x x 不妨设12,,x t x t ≤> Ⅰ）若1,x t =2,x t >代入方程（※）得220t t -=，得0t =或2t =，当0t =时方程（※）的两根为0,1，符合题意；当2t =时方程（※）的两根为2,1-，不合题意，舍去；Ⅱ）若12,,x t x t <>设()2x x x t ϕ=--，则()0t ϕ<，得02t <<；综合①②，实数的取值范围为02t ≤<或14t =-. …………………16分20．解：（1）21219n n b b +-=，11b =，{}21n b -∴是以11b =为首项为公比的等比数列，12221193n n n b b ---∴=⨯=，201420153b ∴=，∵数列{}n b 是“阶梯数列”，∴201420162015==3b b . …………………3分（2）由数列{}n c 是“阶梯数列”得212n n c c -=，故2122221n n n n S S S S ----=-,∴{}n S 中存在连续三项()22212,,2n n n S S S n --≥成等差数列； ……………5分（注：给出具体三项也可）假设{}n S 中存在连续四项123,,,,k k k k S S S S +++成等差数列，则12132k k k k k k S S S S S S +++++-=-=-，即123k k k c c c +++==，当*21,k m m N =-∈时, 22122m m m c c c ++==，① 当*2,k m m N =∈时, 212223m m m c c c +++==，②由数列{}n c 是“阶梯数列”得221m m c c +<2223m m c c ++=<，③①②与③都矛盾，故假设不成立，即{}n S 中不存在连续四项成等差数列. …………………8分（3）∵21212n n d d +-=+,11d =,{}21n d -∴是以11d =为首项为公差的等差数列， ()2111221n d d n n -∴=+-⨯=-，又数列{}n d 是“阶梯数列”，故21221n n d d n -==-， ()()2222121111111212122121k k k k d d d d k k k k +-+⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭, …………………10分①当()*2n k k N =∈时,2132435462121222111111n k k k k k T T d d d d d d d d d d d d -++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭133521211112k k d d d d d d -+⎛⎫=+++⎪⎝⎭11111111221,1213352121213k k k ⎛⎫⎡⎫=⨯-+-++-=-∈ ⎪⎪⎢-++⎝⎭⎣⎭,13,12n T ⎡⎫∴-∈--⎪⎢⎣⎭, 又()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立, 213t ∴-≤<. …………………13分②当()*21n k k N =-∈时,2122222221211111122121n k k k k k k k k T T T T T d d d d k k -+-+⎛⎫==-=-=-- ⎪-+⎝⎭1111,142423k k ⎡⎫=--∈⎪⎢-+⎣⎭,[)13,1n T ∴-∈--,又()10n n t T t T ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，1n n t T T ∴-<<恒成立, 113t ∴-≤<. …………………15分综上①②, 存在满足条件的实数，其取值范围是11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. …………………16分注：()()22, 2,,21421, 21,,2121n k n k k N k T k k n k k N k k ⎧=∈*⎪+⎪=⎨--⎪=-∈*-+⎪⎩也可写成()2,11,2nn n T n n n n ⎧⎪+⎪=⎨+-⎪+⎪⎩n 为正偶数， n 为正奇数.。

2023-2024学年江苏省盐城市高三上学期期中数学试题

2023-2024学年江苏省盐城市高三上学期期中数学试题1. 已知集合P ={x ∣y =√x 2−1}，Q ={y ∣y =√x 2−1}，则P ∩Q =（）A ． ∅B ． [0,+∞)C ． [−1,+∞)D ． [1,+∞)2. 若复数z 满足zz̅=2，则|z|为（）A ．1B ． √2C ．2D ．43. 数列{a n }满足a n+1=a n 2，n ∈N ∗，则“a 1=2”是“{a n }为单调递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 如图，某炮兵从地平面A 处发射一枚炮弹至地平面的另一处B ，假设炮弹的初始速度为ν0，发射方向与地平面所成角为α(0<α<π2)，根据物理知识可知，在不计空气阻力的情况下，弹飞行过程中的水平距离x =(ν0cosa)t ，竖直距离y =(ν0sinα)t −12gt 2，其中t 为炮弹的飞行时间，g 为重力加速度，对于给定的初始速度ν0，要使炮弹落地点的水平距离AB 最大，则发射角α应为（）A ． π6B ． π4C ． π3D ． 5π125. 若函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)在(0,π3)上单调，则ω的取值范围是（）A ． (1,+∞)B ． [1,+∞)C ． (0,1)D ． (0,1]6. 在各项为正数的无穷等差数列{a n }中，公差d ≠0，若数列{1an a n+1}的前n 项和为S n ，则（）A ． S 2n =2na n+12B ． S 2n >2na n+12C ． S 2n <2na n+12D ．以上均不对A.7. 若x >0，y >1，则4yx +x 3y−1的最小值为（）A ．1B ．4C ．8D ．128. 已知a =214−2−14，b =12ln2，c =1−√22，则（）A ． b >c >aB ． b >a >cC ． a >b >cD ． c >b >a9. 在复数范围内，方程x 2+x +1=0的两根记为x 1，x 2，则（）A ． x 1+x 2=1B ． x 1x 2=1C ． |x 1−x 2|=√3D ． x 1−x 2=±√310. 在ΔABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则（） A ． B =π3 B ． A =π2C ． AC =2√3D ． ΔABC 的面积为 4√311. 已知数列{a n }满足a n +2a n−1=k n ，n ∈N ∗，n ≥2，则（）A ．当 k =0 且 a 1≠0 时， {a n } 是等比数列B ．当 k =1 时， {a n −13} 是等比数列C ．当 k =−2 时， {a n(−2)n } 是等差数列D ．当 k =−3 且 a 1=−3 时， {a n(−3)n −3} 是等比数列 12. 在ΔABC 中，若A =nB(n ∈N ∗)，则（）A ．对任意的 n ≥2 ，都有 sinA <nsinB B ．对任意的 n ≥2 ，都有 tanA <ntanBC ．存在 n ，使 sinA >nsinB 成立D ．存在 n ，使 tanA >ntanB 成立13. 若不等式x 2−2x ≤a 对任意a ∈[0,3]都成立，则实数x 的取值范围为_______.14. 在ΔABC 中，已知AB =3，AC =4，BC =3，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为________. 15. 若函数f(x)=x 3+ax 2+bx(a,b ∈R)有三个零点x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2<x 3，x 1+2x 3=x 2，则a +b 的最大值为_______.16. 若ΔABC 内一点P 满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =a ，则称点P 为ΔABC 的勃罗卡点，α为ΔABC 的勃罗卡角.在等腰ΔABC 中，AB =AC ，若勃罗卡点P 满足PB PA =PCPB =√3，则∠ABC 与勃罗卡角α的正切值分别为__________、___________ 17. 已知奇函数f(x)偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=e x .(1)求g(x)的最小值； (2)求函数ℎ(x)=f(x)g(x)的值域.18. 已知正项递增等比数列{a n }的前n 项和是S n ，且S 3=91，a 1a 3=81.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记a n 的个位数为b n ，求数列{a n b n }的前2n 项和T 2n .19. 若函数f(x)=2sin(ωx +π3)在(0,π)上恰有两个零点，其中ω∈N ∗.(1)求ω的值；(2)若f(x)=65，求|sin(x −π12)|的值.20. 在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足c =2√2，(2a +c)cosB +bcosC =0.(1)若A =π4，求ΔABC 的面积；(2)若点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ΔBCD 的面积是2√6，求sin∠ABD sin∠CBD 的值.21.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”{a n}的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且{a n}满足a n={a n−1+n,n=2k,a n−1+n−1,n=2k+1,其中k∈N∗.(1)求a2k（用k表示）；(2)设数列{b n}满足：b n={2a n,n=2k,2a n+1,n=2k−1,其中k∈N∗，T n是{b n}的前n项的积，求证：lnT n≤n2−n，n∈N∗.22.已知f(x)=e x(1−x).(1)求函数g(x)=f(x)+ex−e的最大值；(2)设f(x1)=f(x2)=t，x1≠x2，求证：x1+x2<2t−te−1.。

盐城市2022-2023学年高三上学期期中数学试题含解析

盐城市2023届高三年级第一学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．1.设复数1i z =-，则2z =（）A. B.4C.D.22.已知集合{}{}2230,32A x x x B x x =-->=-<，则A B = （）A.(3,5)B.(1,3)C.(1,1)-D.,1(),)1(-∞-⋃+∞3.在ABC 中，“cos cos A B >”是“A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数(ln ()e exxx f x -+=+的图象大致是（）A.B.C.D.5.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram ）发现了“正方形筛子”如下图，则其第10行第11列的数为（）47101316712172227101724313813223140491627384960⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A.220B.241C.262D.2646.设α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sin tan cos βαβ-=，则（）A.π22αβ+=B.π22βα-=C.π22αβ-=D.π22αβ+=7.函数22()sin 2cos 2xf x x =+，则()f x 在下列区间上为单调递增函数的是（）A.ππ,33⎛⎫-⎪⎝⎭ B.π,03⎛⎫-⎪⎝⎭C.π0,3⎛⎫⎪⎝⎭D.π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭8.已知点()()2cos15,2sin15,2cos75,2sin 75A B ︒︒︒︒，及圆224x y +=上的两个动点C 、D ，且||2CD =，则CA CB DA DB ⋅+⋅的最大值是（）A.6B.12C.24D.32二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．9.对于任意复数12z z 、，下列说法中正确的有（）A.若11z z =，则1z R ∈B.若120z z ->，则12z z >C.()221212z z z z +=+ D.若11z =，则111z R z +∈10.某企业决定对某产品分两次提价，现有三种提价方案：①第一次提价%p ，第二次提价%q ；②第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q+．其中0p q >>，比较上述三种方案，下列说法中正确的有（）A.方案①提价比方案②多B.方案②提价比方案③多C .方案②提价比方案①多D.方案①提价比方案③多11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,n n S a n n N *=+∈，则（）A.{}2n a -是等比数列B.{}n a 是单调数列C.{}212n n a a --是单调数列D.{}n S 是单调递增数列12.对于函数()f x ，若在区间I 上存在0x ，使得()00f x x =，则称()f x 是区间I 上的“Φ函数”．下列函数中，是区间I 上的“Φ函数”的有（）A.1()e ,(0,)x f x I -==+∞B.()ln(1),(1,)f x x I =+=-+∞C.()sin ,(0,)f x x I ==+∞ D.()lg(sin ),(2,)f x x I ππ==--第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．请把答案写在答题纸的指定位置上．13.ABC 中，2BD DC =，若AD xAB y AC =+ ，则x y -=___________．14.半径为2的球的内接圆柱的侧面积的最大值是___________．15.若圆22:()4E x y m +-=与函数2y x=的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则m =___________．16.ABC 中，sin(2)2sin A B B +=，则2tan tan tan A C B++的最小值为___________．四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．17.已知O为坐标原点，(cos ,sin )OA OB αα==．（1）若3πα=，求||OA OB + ；（2）若0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求OA OB ⋅的取值范围．18.首项为4的等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，其中546S S S 、、成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2212211log log n n n b a a -+=⋅，求1001i i b =∑．19.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,,2cos (cos cos )0a b c A b C c B a ++=．（1）求角A 的大小；（2）若a =，ABC 的面积是ABC 的周长．20.设函数21()3ln ,2af x x x a R x=+-∈．（1）若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得1x =是()f x 的极值点？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由．21.数列{}n a 中，112,21,N n n a a a n n *+=+=+∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2212,N na n nb a n *-=⋅∈，求{}n b 的前n 项和．22.设函数()e ln(),R x f x x a a =-+∈．（1）当0a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积；（2）当(,)x a ∈-+∞时，()f x a ≥恒成立，求a 的最大值．盐城市2023届高三年级第一学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．1.设复数1i z =-，则2z =（）A.B.4C.D.2【答案】D 【解析】【分析】先求2z 再求模长可得答案.【详解】()221i 112i 2=-=--=z .故选：D ．2.已知集合{}{}2230,32A x x xB x x =-->=-<，则A B = （）A.(3,5) B.(1,3)C.(1,1)- D.,1(),)1(-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的方法、解绝对值不等式的公式法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{22303A x x x x x =-->=>或}1x <-，{}15B x x =<<所以{}35A B x x ⋂=<<，故选：A3.在ABC 中，“cos cos A B >”是“A B <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先考虑充分性，再考虑必要性利用函数的单调性可得解.【详解】当cos cos A B >，因为cos y x =在(0,π)内单调递减，所以A B <，所以“cos cos A B >”是“A B <”的充分条件；当A B <时，因为cos y x =在(0,π)内单调递减，所以cos cos A B >，所以“cos cos A B >”是“A B <”的必要条件.故选：C.4.函数(ln ()e e x xx f x -+=+的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值求得正确答案.【详解】0x x x x +>+=+≥，所以()f x 的定义域为R ，()(ln ln e e e e x xx xx x x f x --⎡⎤-++-+⎣⎦-==++(()lne ex xxf x-⎛⎫+==-=-+，所以()f x是奇函数，图象关于原点对称，排除BD选项.()(1ln110e ef-=>+，排除C选项，所以A选项正确.故选：A5.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”如下图，则其第10行第11列的数为（）47101316712172227101724313813223140491627384960⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A.220B.241C.262D.264【答案】B【解析】【分析】观察可得第一列成等差数列，然后再观察每一行的特点，即可得到第10行第11列的数.【详解】第一列的数字为4,7,10,13,16,K可得为等差数列，公差3d=，则()()1143131na a n d n n=+-=+-=+则第10行的第一个数字为10310131a=⨯+=然后第一行的数字是加3递增，第二行的数字是加5递增，第三行的数字是加7递增，⋯则第N行的是加()321N+-递增，则第10行是加()3210121+-=递增所以第10行第11列的数为()3121111241+-=故选:B6.设α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1sintancosβαβ-=，则（）A.π22αβ+= B.π22βα-= C.π22αβ-= D.π22αβ+=【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换可得出πtan tan42βα⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用正切函数的单调性可得出合适的选项.【详解】因为α、π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos0β>，且ππ424β<-<，22222cos sinsin cos2sin cos1sin222222tancos cos sincos sin cos sin222222βββββββαβββββββ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭===⎛⎫⎛⎫--+⎪⎪⎝⎭⎝⎭πcossin 1tan tan tan π22242tan π42cos sin 1tan 1tan tan 22242βββββββββ---⎛⎫====- ⎪⎝⎭+++，所以，π42βα=-，可得π22αβ+=.故选：A.7.函数22()sin 2cos 2x f x x =+，则()f x 在下列区间上为单调递增函数的是（）A.ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B.π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π2π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】先将函数化简，然后换元令cos x t =，结合复合函数的单调性对选项逐一判断即可得到结果.【详解】222()sin 1cos 1cos 1cos cos cos 2f x x x x x x x =++=-++=-++令2cos ,2x t y t t ==-++，122b t a =-=，所以在区间11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减cos t x =在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，无单调性，A 错误．cos t x =在π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭递增，则1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()f x 在π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭递减，B 错误.cos t x =在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭递增，C 正确．cos t x =在π2π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，12t ⎛∈- ⎝，∴()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭递减，D 错误.故选:C.8.已知点()()2cos15,2sin15,2cos75,2sin 75A B ︒︒︒︒，及圆224x y +=上的两个动点C 、D ，且||2CD =，则CA CB DA DB ⋅+⋅的最大值是（）A.6B.12C.24D.32【答案】C 【解析】【分析】求出,A B 两点坐标，设()()1122,,,C x y D x y ，计算CA CB DA DB ⋅+⋅，由弦CD 的中点在以原点为圆心3为半径的圆上，求得圆方程，然后用三角换元法化为三角函数式，利用和与差的正弦公式化简后可得最大值．【详解】1cos15cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 3022224︒=︒-︒=︒︒+︒︒=⨯+⨯=，1sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 3022224︒=︒-︒=︒︒-︒︒=⨯-⨯=，sin 75cos154︒=︒=，cos 75sin154︒=︒=，,,,2222A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122A B x x =⨯=，同理1A B y y =，A B x x +=，A B y y +=设()()1122,,,C x y D x y ，()()()()11112222,,,,A A B B A A B B CA CB DA DB x x y y x x y y x x y y x x y y ⋅+⋅=----+----()()()()()()()()11112222A B A B A B A B x x x x y y y y x x x x y y y y =--+--+--+--()()()1124A B A B A B A B A B A B A B x x x x x y y y y y x x x x x y y =-++-+++-++()()()()()212124228A B A B A B A B A B y y y x x y y x x x x y y y y -++=+-++-+++))121212x x y y =+-++，2CD =，则CD=，中点的轨迹方程为223x y +=，CD 中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭在223x y +=上，∴()()22121212x x y y +++=，令1212,x x y y θθ+=+=（[0,2)θπ∈），12cos sin )1222CA CB DA DB θθθθ⋅+⋅=--+=-++ 12sin()12244πθ=-++≤，54πθ=时等号成立，故选：C ．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，解题关键是确定CD 中点在圆上，这样可用元法把C D x x +与C D y y +用一个变量表示，把与之有关的问题转化为三角函数问题求解．本题才学生运算求解能力要求较高，属于难题．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.9.对于任意复数12z z 、，下列说法中正确的有（）A.若11z z =，则1z R∈ B.若120z z ->，则12z z >C.()221212z z z z +=+ D.若11z =，则111z R z +∈【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的概念和复数的模以及复数的运算逐项排除.【详解】设1i ,R ,z a b a b =+∈11z z =，即i i ab a b =+-，∴0b =，1z a =∈R ，故A 对；121234i,24i,0z z z z =+=+->但1z 与2z 无大小，故B 错；12i z z +=时2212i 1,1z z =-+=，故C 错；11z =，∴221a b +=，1111ii i 2i 1a b z a b a b a z a b -+=++=++=∈+R ，故D 对，故选：AD ．10.某企业决定对某产品分两次提价，现有三种提价方案：①第一次提价%p ，第二次提价%q ；②第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q+；．其中0p q >>，比较上述三种方案，下列说法中正确的有（）A.方案①提价比方案②多B.方案②提价比方案③多C.方案②提价比方案①多D.方案①提价比方案③多【答案】BCD 【解析】【分析】分别用,p q 表示三个方案提价后的价格，结合p q +>，作差比较即可判断.【详解】不妨设原价为1，方案1：两次提价后变为1(1%)(1%)p q a ⋅++=，方案2：两次提价后变为211%2p q b +⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭，方案3：两次提价后变为21(1c ⋅+=，由于20p q +-=>，即p q +>，10000(100)(100)10000100()a p q p q pq=++=+++22()1000010010000100()1000024p q p q b p q a ++⎛⎫=+=+++> ⎪⎝⎭，A 错，C 对．2p q+>，则b c >，B 对．210000(1001000010000c pq a =+=++<，D 对，选BCD ．11.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,n S a n n N *=+∈，则（）A.{}2n a -是等比数列B.{}n a 是单调数列C.{}212n n a a --是单调数列D.{}n S 是单调递增数列【答案】ACD 【解析】【分析】根据递推公式求出数列的通项公式，然后逐项检验即可求解.【详解】当1n=时，1136a a =+，∴13a =，2n ≥时，111111122(1)23333n n n n n n n a S S a n n a a ---⎡⎤=-=+-+-=-+⎢⎥⎣⎦，∴121233n n a a -=-+，∴1132n n a a -=-+，()21111112,21022n n n a a a a ---=-+=---=≠，∴{}2n a -是以12-为公比的等比数列，A 对，{}n a 无单调性，B 错，1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴1222222111112,22242222n n n nn n a a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+=+⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2121221112222222n n nn a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2212162nn n a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭是单调递减数列，C 对，11202n n a -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，则{}n S 是单递增数列，D 对，故选：ACD ．12.对于函数()f x ，若在区间I 上存在0x ，使得()00f x x =，则称()f x 是区间I 上的“Φ函数”．下列函数中，是区间I 上的“Φ函数”的有（）A.1()e ,(0,)x f x I -==+∞ B.()ln(1),(1,)f x x I =+=-+∞C.()sin ,(0,)f x x I ==+∞ D.()lg(sin ),(2,)f x x I ππ==--【答案】ABD 【解析】【分析】根据“Φ函数”的定义，对于ABC ，举例判断，对于D ，转化为两个函数图像有交点，作出图像判断.【详解】对于A ，1x =时，1e x x -=，A 对．对于B ，0x =时，ln(1)x x +=，B 对．对于C ，sin x x =有且仅有一个零点0，0(0,)∉+∞，C 错．对于D ，lg(sin)10sin x x x x =⇔=，分别作出10x y =与sin y x =在(2,)ππ--的图像有交点，即()f x x =有解，D 对，故选：ABD ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．请把答案写在答题纸的指定位置上．13.ABC 中，2BD DC = ，若AD xAB y AC =+ ，则x y -=___________．【答案】13-【解析】【分析】由平面向量的三点共线定理求得x 、y 的值，代入计算即可.【详解】2BD DC = ，2AD AB AC AD∴-=- 1233AD AB AC ∴=+ ，即12,33x y ==．13x y ∴-=-.故答案为：13-.14.半径为2的球的内接圆柱的侧面积的最大值是___________．【答案】8π【解析】【分析】根据球和圆柱的几何性质，结合基本不等式、圆柱侧面积公式进行求解即可.【详解】设圆柱底面半径为r ，高为h ，则224(222h h r r rh =+≥⋅=，当且仅当12r h =取等号，即4rh ≤，2π8πS rh =≤．故答案为：8π15.若圆22:()4E x y m +-=与函数2y x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则m =___________．【答案】0【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合圆的切线性质进行求解即可.【详解】设()0022200222,,,,1EP P x y y k x x x =-=--=-'，∴0200221m x x x -=-，∴30022x m x -=-，显然002y x =，且222200002()4()4x y m x m x +-=⇒+-=，∴6262620000000404416042241046x x x x x x x x +-=⇒-++-=⇒=+，22224222000000042002)(28)(2)2(2)(02)[(1)74])0((0x x x x x x x x x -++=⇒⇒-++-+-+⇒==20020x x ⇒-=⇒=400402x m x -==．故答案为：0【点睛】关键点睛：利用添项进行因式分解求解方程的实根是解题的关键.16.ABC 中，sin(2)2sin A B B +=，则2tan tan tan A C B++的最小值为___________．【答案】2【解析】【分析】先将题干条件利用正弦的和差角公式展开化简，得到tan 3tan CA =-，代入正切的和角公式展开中，将tanB 也用tan A 表示，最后代入原式，讨论tan A 的正负，当tan A 为正时，利用基本不等式求得原式的最小值.【详解】sin()2sin()A B A A B A ++=+-[]sin()cos cos()sin 2sin()cos cos()sin A B A A B A A B A A B A +++=+-+sin()cos 3cos()sin A B A A B A⇒+=+tan()3tan tan 3tan A B A C A⇒+=⇒=-且2tan tan 2tan tan tan()1tan tan 13tan A C A B A C A C A+=-+=-=-+∴原式213tan 1 2tan tan tan tan A A A A A+=-+=+若A 为钝角，则A B +为钝角，∴tan()tan 3tan A B A A +>>与条件矛盾，舍故A 为锐角，∴tan 0A >，1tan 2tan A A +≥，当且仅当tan 1,4A A π==时取“=”故答案为：2四、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．17.已知O为坐标原点，(cos ,sin )OA OB αα== ．（1）若3πα=，求||OA OB + ；（2）若0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求OA OB ⋅ 的取值范围．【答案】（1）3（2）[1,2]【解析】【分析】（1）利用3πα=，求出OA OB + ，利用向量的模长公式，即可求解.（2）利用cos 2sin 6OA OB πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ，再根据0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，即可求出OA OB ⋅ 的取值范围.【小问1详解】3πα=时，1,22OB ⎛= ⎝⎭，∴3,22OA OB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴||3OA OB +== 【小问2详解】cos 2sin 6OA OB πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭ ∵02πα≤≤，∴2663πππα≤+≤，∴∴OA OB ⋅ 的取值范围为[1,2]．18.首项为4的等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，其中546S S S 、、成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2212211log log n n n b a a -+=⋅，求1001i i b =∑．【答案】（1）11(1)2n n n a -+=-⋅；（2）25101.【解析】【分析】（1）根据等差中项及数列和的意义化简可得公比，由等比数列通项公式求解即可；（2）裂项相消法求出数列的和即可.【小问1详解】∵546,,S S S 成等差数列，∴564546420S S S S S S S +=⇒-+-=6556502a a a a a ⇒++=⇒=-，∴等比数列{}n a 公比2q =-，∴1114(2)(1)2n n n n a --+=⋅-=-⋅【小问2详解】221221log 2,log 22n n a n a n -+==+ ，∴11114(1)41n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴100111111111251142231001014101101i i b =⎛⎫⎛⎫∑=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .19.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,,2cos (cos cos )0a b c A b C c B a ++=．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC的面积是ABC 的周长．【答案】（1）23π（2）7【解析】【分析】（1）根据2cos (sin cos cos sin )sin 0A B C B C A ++=，化简得到2cos sin sin 0A A A +=求解；（2）在ABC 中，由余弦定理得2212372b c bc ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，再结合ABC 的面积是.【小问1详解】解：因为2cos (sin cos cos sin )sin 0A B C B C A ++=，所以2cos sin()sin 0A B C A ++=，在ABC 中，A B C π++=，∴sin()sin B C A +=，∴2cos sin sin 0A A A +=，则1cos 2A =-因为()0,A π∈，所以23A π=.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理得2212372b c bc ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，又ABC 的面积是所以122bc ⋅=()237b c bc +-=，则7b c +=，∴ABC 周长为7a b c ++=+20.设函数21()3ln ,2a f x x x a R x =+-∈．（1）若函数()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得1x =是()f x 的极值点？若存在，求出a ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(,2]-∞-（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由()f x 是增函数等价转化为()0f x '≥恒成立，通过参变分离，求新函数的最值，得到参数a 的取值范围；（2）先假设1x =是()f x 的极值点，由必要性条件求出a 的值，再代回验证，发现不能使1x =是极值点成立，故判断为不存在.【小问1详解】23()a f x x x x =--'，∵()f x 是增函数，∴23()0a f x x x x=--≥'对0x ∀>恒成立，∴()3min 3a x x ≤-令32()3,()33g x x x g x x '=-=-令()01g x x '=⇒=且当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴min ()(1)2g x g ==-，∴2a ≤-即a 的取值范围为(,2]-∞-．【小问2详解】若1x =是()f x 的极值点，则必有(1)1302f a a =--=⇒=-'（必要性）当2a =-时，322222332(1)(2)()0x x x x f x x x x x x-+-+=+-='=≥∴()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值点，故假设不成立即不存在这样的a ．21.数列{}n a 中，112,21,N n n a a a n n *+=+=+∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2212,N n a n n b a n *-=⋅∈，求{}n b 的前n 项和．【答案】（1）()()**1,21,N 1,2,N n n n k k a n n k k ⎧+=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩；（2）1(31)449n n n S +-+=.【解析】【分析】（1）已知等式121++=+nn a a n ，再写一次（用1n +替换n ）后，两式相减可得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，分别求出通项公式后可得；（2）用错位相减法求和．【小问1详解】由121++=+n n a a n ①2123n n a a n ++⇒+=+②，②-①22n n a a +⇒-=，∴{}n a 的奇数项与偶数项各自成等差数列，由11223a a a =⇒+=，∴21a =，∴2112(1)2n a a n n -=+-=，∴1n a n =+，n 为奇数，212(1)21n a n n =+-=-，∴1n a n =-，n 为偶数．∴()()**1,21,N 1,2,N n n n k k a n n k k ⎧+=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩.【小问2详解】21224n n n b n n -=⋅=⋅，设{}n b 前n 项和为n S ，∴1231142434(1)44n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ①，231141424(2)4(1)44n n n n S n n n -+=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ②，①－②()21141434444414n n n n n S n n ++-⇒-=+++-⋅=-⋅- ，1(31)449n n n S +-+=．22.设函数()e ln(),R x f x x a a =-+∈．（1）当0a=时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积；（2）当(,)x a ∈-+∞时，()f x a ≥恒成立，求a 的最大值．【答案】（1）(e 1)1y x =-+，12e 2-（2）1【解析】【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程，从而得到切线方程与两坐标轴的交点坐标，求出围成的三角形的面积；（2）利用同构得到ln()e e ln()x x a x x a ++≥++，构造()e x g x x =+，得到()(ln())g x g x a ≥+，由单调性得到e x a x ≤-，构造()e x h x x =-，(,)x a ∈-+∞，分0a ->与0a -<两种情况，利用导函数得到()e x h x x =-，(,)x a ∈-+∞的单调性，从而求出a 的最大值.【小问1详解】0a =时，()e ln x f x x =-，()1e x f x x '=-，切点()1,e ，∴(1)1e k f '==-，切线方程为(e 1)(1)e (e 1)1y x x =--+=-+令01x y =⇒=，令101ey x =⇒=-，∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为11112e 12e 2S =⨯⨯=--．【小问2详解】由e ln()x x a a-+≥ln()e ln()e ln()x x a x x a x a x a +⇒+≥+++=++令()e x g x x =+，显然()g x 在R 上单调递增，且由()(ln())g x g x a ≥+ln()e x x x a x a ⇒≥+⇒+≤，所以e x a x ≤-，只需()min e x a x ≤-令()e x h x x =-，(,)x a ∈-+∞，则()e 1x h x '=-，若0a -≥，即0a ≤时，()e 10x h x ='-≥恒成立，故()e x h x x =-在(,)x a ∈-+∞上单调递增，此时()()01e 0h x h >==，所以1a≤，与0a ≤取交集后得到0a ≤；若0a-<，即0a >时，当0x >时，()e 10x h x '=->，故()e xh x x =-单调递增，当0a x -<<时，()e 10x h x '=-<，故()e xh x x =-单调递减，故()e x h x x =-在0x =处取得极小值，也是最小值，故()()n 0mi 10e 0=h x h -==，故01a <≤，综上：a 的最大值为l ．【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题难点是e ln()x x a a -+≥变形得到ln()e ln()e ln()x x a x x a x a x a ++≥+++=++，从而构造()e x g x x =+进行求解.。

江苏省盐城市高三(上)期中数学试卷

高三（上）期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x2−1=0}，B=[0,+∞)，则A∩B=______．2.已知角α的始边为x轴的正半轴，点P(1,22)是其终边上一点，则cosα的值为______．3.“x>1”是“x>2”的______条件．4.若向量a=(l,m)，b=(3,2)，a//b，则实数m的值为______．5.函数y=−1+log2x的定义域为______．6.若函数y=f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=log2(1+x)，则f(−7)的值为______．7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=S5，且公差d≠0，则a1d的值为______⋅8.若sin(π+α)=−45，则cos2α的值为______．9.若函数f(x)=sinx−3cosx的图象关于直线x=a对称，则|a|的最小值是______．10.若函数f(x)=ax2+2x+1−a,x<0ex,x≥0在(−1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______．11.若数列{an}满足a1=a2=1，a3=2，则数列{an⋅an+1}是等比数列，则数列{an}的前19项和的值为______．12.如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，AD=23AB，AE=13AC，DM=ME，BN=NC，若MN⊥BC，则cos A的值为______．13.在△ABC中，AC=1，AB=2，D为BC的中点，∠CAD=2∠BAD，则BC的长为______．14.设函数f(x)=|2x3−3x2−a|，若对任意的实数a，总存在x0∈[0,2]，使得f(x0)≥m，则实数m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象经过点(0,3)，且相邻的两个零点差的绝对值为6．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将函数f(x)的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象，当x∈[−1,5]时，求g(x)的值域．16.设p：“∀x∈R，sinx≤a+2n”；q：“f(x)=x2−x−a在区间[−1,1]上有零点．”(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数a的取值范围．17.如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB=200米，BC=100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．18.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D为△ABC内一点，满足BD=CD=2，且AB⋅AC+5DB⋅DC=0．(1)求sin∠ABCsin∠BCD的值；(2)求边BC的长．19.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn．(1)求P1，P2，P3；(2)若Pn≥2019，求n的最小值；(3)是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列，若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．20.设函数f(x)=ex(x−1)−x−a，a为常数．(1)当a=0时，求函数f(x)的图象在点P(0,f(0))处的切线方程；(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2；①当a∈Z时，求a的最小值；②当a=1时，求x1+x2的值．答案和解析1.【答案】{1}【解析】解：∵集合A={x|x2−1=0}={−1,1}，B=[0,+∞)，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．先求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】13【解析】解：∵角α的始边为x轴的正半轴，点P(1,22)是其终边上一点，则cosα=11+8=13，故答案为：13．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】必要不充分【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，属于基础题．由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案．【解答】解：若“x>1”，则“x>2”不成立，反之，“x>2”时“x>1”，成立，故答案为：必要不充分．4.【答案】23【解析】解：向量a=(l,m)，b=(3,2)，当a//b时，1×2−3m=0，解得m=23．故答案为：23．根据平面向量共线的坐标表示，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．5.【答案】[2,+∞)【解析】解：要使函数有意义，则−1+log2x≥0得log2x≥1得x≥2，即函数的定义域为[2,+∞)，故答案为：[2,+∞)．根据函数成立的条件进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数函数的性质是解决本题的关键．6.【答案】−3【解析】解：∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)=log2(1+x)，∴f(−7)=−f(7)=−log28=−3．故答案为：−3．根据f(x)为奇函数即可得出f(−7)=−f(7)，而根据x>0时，f(x)的解析式即可求出f(7)，从而得出f(−7)的值．考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．7.【答案】−72【解析】解：由S3=S5，且公差d≠0，∴3a1+3d=5a1+5×42d，可得：2a1+7d=0．则a1d=−72．故答案为：−72．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】−725【解析】【分析】本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力，是基础题．利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可．【解答】解：sin(π+α)=−45，可得sinα=45，cos2α=1−2sin2α=1−2×1625=−725．故答案为−725．9.【答案】π6【解析】解：∵函数f(x)=sinx−3cosx=2(12sinx−32cosx)=2sin(x−π3)的图象关于直线x=a对称，则a−π3=kπ+π2，即a=kπ+5π6，k∈Z．令k=−1，可得|a|的最小值是π6，故答案为：π6．由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得|a|的最小值．本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．10.【答案】[0,1]【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax2+2x+1−a,x<0ex,x≥0在(−1,+∞)上是增函数，当a=0时，f(x)=2x+1,x<0ex,x≥0，满足在(−1,+∞)上是增函数，a<0时，不满足题意；当a>0时，必有a>0−22a≤−11−a≤1，解可得：0<a≤1；故a的取值范围为0≤a≤1；故答案为：[0,1]．根据题意，由函数单调性的定义分析a的范围，可得不等式组，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．11.【答案】1534【解析】【分析】本题考查等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于中档题．由已知可得anan+1an−1an=q化简可得an+1an−1=q，然后结合a1=a2=1，a3=2，可求q，结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：数列{an⋅an+1}是等比数列，∴anan+1an−1an=q即an+1an−1=q，∵a1=a2=1，a3=2，∴q=a3a1=2，则数列{an}的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列，且奇数项分别为1，2，4，8…偶数项分别为1，2，4，8…前19项和的(1+2+4++…+28)+(1+2+4+…+29)=1−291−2+1−2101−2=29+210−2=1534故答案为：153412.【答案】66【解析】解：连接DN、EN，∵DM=ME，则M是线段DE中点，∴2NM=ND+NE，∵BN=NC，AD=23AB，∴ND=NB+BD=CB2+BA3，同理NE=NC+CE=BC2+2CA3，∴2NM=ND+NE=BA3+2CA3，由CB=CA+AB=CA−BA，∴2MN⋅CB=(BA3+2CA3)⋅(CA−BA)=2CA23−BA23−BA⋅CA3=2CA23−BA23−BA⋅CAcosA3，∵若MN⊥BC，AB=3，AC=2，∴2×223−323−3×2cosA3=0，∴cosA=66．故答案为：66．连接DN、EN，∵DM=ME，则M是线段DE中点，∴2NM=ND+NE=BA3+2CA3，∵若MN⊥BC得2MN⋅CB=(BA3+2CA3)⋅(CA−BA)=2CA23−BA23−BA⋅CAcosA3=0，代入已知数据即可求出cos A．本题考查了平面向量的有关概念，平面向量基本定理，平面向量共线定理，数量积公式，向量垂直等知识，属于中档题．13.【答案】5【解析】【分析】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．在△ABD中和在△ADC中，利用正弦定理分别求出sin∠ADB和sin∠ADC，再结合条件求出∠BAC，最后在△ABC中，利用余弦定理求出BC．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理，有BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，∴sin∠ADB=2sin∠BADBD，在△ADC中，由正弦定理，有ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，∴sin∠ADC=sin∠CADDC．∵D为BC的中点，∠CAD=2∠BAD，∴2sin∠BAD=sin2∠BAD=2sin∠BADcos∠BAD，∴cos∠BAD=22，∴∠BAD=π4，∠CAD=π2，∴∠BAC=3π4，∴由余弦定理，有BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos∠BAC=2+1−22⋅(−22)=5，∴BC=5．故答案为：5．14.【答案】(−∞,52]【解析】解：设f(x)的最大值是M(a)，令g(x)=2x3−3x2−a，则g′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，故g(x)在[0,1)递减，在(1,2]递增，故g(x)min=g(1)=−1−a，而g(0)=−a<g(2)=4−a，故g(x)∈[−1−a,4−a]，由−1−a+4−a2=0，解得：a=32，①a≥32时，M(a)=|−1−a|=1+a，②a<32时，M(a)=|4−a|=4−a，故M(a)=1+a,a≥324−a,a<32，故M(a)min=52，故m≤52，故答案为：(−∞,52].令g(x)=2x3−3x2−a，根据函数的单调性求出g(x)的范围，通过讨论a的范围求出f(x)的最大值M(a)，从而求出M(a)的最小值，求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．15.【答案】解：(1)∵f(x)相邻的两个零点差的绝对值为6，记f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的周期为T，则T2=6，又T=2πω，∴ω=π6，∴f(x)=2sin(π6x+φ)(0<φ<π2)；∵f(x)的图象经过点(0,3)，∴f(0)=2sinφ=3(0<φ<π2)，∴φ=π3，∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(π6x+π3)．(2)∵将函数f(x)的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象，由(1)得，f(x)=2sin(π6x+π3)，∴函数g(x)的解析式为g(x)=2sin[π6(x−3)+π3]=2sin(π6x−π6)；当x∈[−1,5]时，π6x−π6∈[−π3,2π3]，则2sin(π6x−π6)∈[−3,2]．综上，当x∈[−1,5]时，g(x)的值域为[−3,2]．【解析】(1)求出函数的周期，求解ω，利用函数经过的点，求解φ，然后得到函数的解析式．(2)利用函数的图象的平移变换推出函数的解析式，求解相位的范围，然后求解函数的最值．本题考查三角函数的图象的变换，函数的周期性以及函数的最值的求法，是基本知识的考查，是基础题．16.【答案】解：(1)∵p为真命题，则2+a≥(sinx)max，∴a≥−1；(2)∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，若q为真命题，则a=x2−x在x∈[−1,1]在有解，又y=x2−x，x∈[−1,1]的值域为[−14,2]，∴−14≤a≤2．①p真q假，a≥−1a<−14或a>2，则a>2或−1≤a<−14．②p假q真，a<−1−14≤a≤2，则a∈⌀．综上，实数a的取值范围是[−1,−14)∪(2,+∞)．【解析】(1)由p为真命题，可得2+a≥(sinx)max，进而得出a的范围．(2)根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p，q一真一假，若q为真命题，则a=x2−x在x∈[−1,1]在有解，利用二次函数的单调性可得y=x2−x，x∈[−1,1]的值域．分类讨论即可得出．本题考查了不等式的解法、函数的单调性、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．17.【答案】解：解法一：设∠ADE=θ(θ∈(0,π2))，过E作EH⊥AD于H，∵EF垂直平分AD，∴DH=12BC=50(米)，∴DE=50cosθ(米)，EH=50tanθ(米)，又∵EF的中点是矩形ABCD的中心，∴EF=200−2EH=200−100tanθ(米)，记这5条路总长度为f(θ)(米)，则f(θ)=4⋅50cosθ+200−100tanθ(θ∈(0,π2))，即f(θ)=200+100⋅2−sinθcosθ(θ∈(0,π2))，∴f′(θ)=100⋅(2−sinθ)′cosθ−(2−sinθ)(cosθ)′cos2θ，化简得f′(θ)=100⋅2sinθ−1cos2θ，由f′(θ)=0，可得θ=π6，列表如下：θ(0,π6)π6(π6,π2)f′(θ)−0+f(θ)↘200+1003↗由上表可知，当θ=π6时，f(θ)取最小值f(π6)=200+100⋅2−1232=200+1003(米)．答：5条道路的总长度的最小值为200+1003(米)．解法二：过E作EH⊥AD于H，设EH=x(米)(0<x<100)．因EF垂直平分AD，故AH=12BC=50(米)，又∵EF的中点是矩形ABCD的中心，∴EF=200−2x(米)；在Rt△AEH中，AE=2500+x2(米)，由对称性可得，AE=DE=CF=BF=2500+x2(米)；记这5条路总长度为f(x)(米)，∴f(x)=42500+x2+200−2x,(0<x<100)，∴f′(x)=4x−22500+x22500+x2=2(2x−2500+x2)2500+x2，令f′(x)=0，解得x=5033(负值舍)．列表如下：由上表可知，当x=5033时，f(x)取最小值200+1003，答：5条道路的总长度的最小值为200+1003米．【解析】解法一：设∠ADE=θ(θ∈(0,π2))，过E作EH⊥AD于H，由题意可得：DH=12BC，DE=50cosθ，EH=50tanθ.根据EF的中点是矩形ABCD的中心，可得EF=200−2EH，记这5条路总长度为f(θ)(米)，可得f(θ).利用导数研究函数的单调性即可得出．解法二：过E作EH⊥AD于H，设EH=x(米)(0<x<100).由EF垂直平分AD，可得DH=12BC，根据EF的中点是矩形ABCD的中心，可得EF=200−2x.在Rt△AEH中，AE=2500+x2，由对称性可得，AE=DE=CF=BF=2500+x2；记这5条路总长度为f(x)(米)，利用导数研究函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、解三角形、三角函数求值、勾股定理、矩形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．18.【答案】解：(1)设BC=a，AC=b，AB=c，由AB⋅AC+5DB⋅DC=0，得5⋅4cosA+5⋅2⋅2cosD=0，即cosA=−cosD，又A，D为三角形的内角，所以sinA=sinD；在△ABC中，由asinA=bsin∠ABC，得asinA=4sin∠ABC；同理asinD=2sin∠BCD，所以4sin∠ABC=2sin∠BCD，∴sin∠ABCsin∠BCD=2；(2)在△ABC中，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=52+42−a22⋅5⋅4=41−a240，同理cosD=8−a28，由(1)可得41−a240=−8−a28，解得BC=a=362．【解析】(1)根据平面向量的数量积和正弦定理，即可求得sin∠ABCsin∠BCD的值；(2)利用余弦定理写出cos A、cos C的表达式，再结合(1)求得BC的值．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，是中档题．19.【答案】解：(1)因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1=3+2=5；经第2次拓展后的项数P2=5+4=9；经第3次拓展后的项数P3=9+8=17．(2)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn−1，所以Pn+1=Pn+(Pn−1)=2Pn−1，所以Pn+1−1=2Pn−2=2(Pn−1)，由(1)知P1−1=4，所以Pn−1=4⋅2n−1=2n+1，∴Pn=2n+1+1，由Pn=2n+1+1≥2019，即2n+1≥2018，解得n≥10，所以n的最小值为10．(3)设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c，所以Sn=a+a1+a2+a3+…+am+c，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以Sn+1=a+(a+a1)+a1+(a1+a2)+a2+(a2+a3)+…+am+(am+c)+c，即Sn+1=2a+3a1+3a2+…+3am+2c，所以Sn+1=3Sn−(a+c)，得S1=2a+3b+2c，S2=5a+15b+5c，S3=14a+45b+14c，因为数列{Sn}为等比数列，所以S2S1=S3S2，可得a+c=0，则S1=2a+3b+2c=3b，由S1≠0得b≠0，反之，当a+c=0且b≠0时，Sn+1=3Sn，Sn≠0，Sn+1Sn=3，所以数列{Sn}为等比数列，综上，a，b，c满足的条件为a+c=0且b≠0．【解析】(1)利用新定义，因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1；经第2次拓展后的项数P2；经第3次拓展后的项数P3．(2)因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn−1，得到递推关系式Pn+1=Pn+(Pn−1)=2Pn−1，求出通项公式，利用Pn≥2019，求n的最小值；(3)设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c，Sn=a+a1+a2+a3+…+am+c，Sn+1=2a+3a1+3a2+…+3am+2c，得到Sn+1=3Sn−(a+c)，利用数列{Sn}为等比数列，转化求解公比，得到a，b，c满足的条件为a+c=0且b≠0．本题考查数列的应用，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．20.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=ex(x−1)−x，∴f′(x)=xex−1，∴k=f′(0)=−1，∵f(0)=−1，∴函数f(x)的图象在点P(0,f(0))处的切线方程为y+1=−(x−0)，即x+y+1=0；(2)①∵f(x)=ex(x−1)−x−a，∴f′(x)=xex−1，∵f′(1)=e−1>0，f′(0)=−1<0，∴存在x0∈(0,1)使得f′(x0)=0，即x0ex0−1=0，当x∈(−∞,x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,x0)单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(x0)=ex0(x0−1)−x0−a=1−a−1x0−x0，∵函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，∴f(x)min<0，∴1−a−1x0−x0<0，∴a>1−(1x0+x0)，∵y=1x+x在(0,1)上单调递减，∴y>2，即1x0+x0>2，1−(1x0+x0)<1−2=−1，∴a≥−1，∴当a∈Z时，a的最小值为−1．②当a=1时，f(x)=ex(x−1)−x−1，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，可得x1，x2为f(x)=0的两根，由f(x)=0，即ex(x−1)−x−1=0，可得ex=x+1x−1>0，即有x>1或x<−1，若m为f(x)=0的一个根，即有em=m+1m−1，则e−m=1em=m−1m+1，可得−m也满足ex=x+1x−1，可得x1+x2=0．【解析】(1)求得f(x)=ex(x−1)−x的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；(2)①求得f(x)的导数，由函数的零点存在定理可得存在x0∈(0,1)使得f′(x0)=0，即x0ex0−1=0，求得f(x)的单调性、极值和最值，由最小值小于0，结合参数分离，以及基本不等式可得a的最小值；②当a=1时，令f(x)=0，可得ex=x+1x−1，推出m为该式的根，−m也是该式方程的根，即可得到所求和．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和转化思想、函数的零点问题，考查化简运算能力，属于难题．。