空间中“线线平行”的常用证明方法
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法线线平行是几何学中的基本概念之一，它在几何证明中起着重要的作用。
在几何学中，我们经常需要证明两条线是否平行，这就需要运用一些特定的证明方法来完成。
本文将介绍几种线线平行的证明方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来介绍平行线的定义。
在平面几何中，如果两条直线在同一平面内，且它们不相交，那么这两条直线就被称为平行线。
平行线之间的距离始终相等，且它们永远不会相交。
而证明两条线线平行的方法，主要包括以下几种：1. 同位角相等法。
同位角相等法是证明线线平行的常用方法之一。
当一条直线被一对平行线所截断时，同位角相等的性质可以被用来证明这两条直线是平行的。
在证明过程中，我们需要利用同位角的定义，即两条直线被一条横截线所截断，形成的内部角和外部角互为补角。
通过证明同位角相等，可以得出这两条直线是平行的结论。
2. 对顶角相等法。
对顶角相等法也是证明线线平行的常用方法之一。
当一条横截线穿过两条平行线时，它所形成的对顶角是相等的。
通过证明对顶角相等，可以得出这两条直线是平行的结论。
3. 轴心角相等法。
轴心角相等法是在圆的几何中常用的证明方法。
当两条直线被同一个圆所截断时，它们所形成的轴心角相等。
通过证明轴心角相等，可以得出这两条直线是平行的结论。
4. 平行线的性质法。
平行线的性质法是通过利用平行线的性质来证明线线平行的方法。
例如，平行线被一条横截线所截断，所形成的对应角相等；平行线被一条横截线所截断，所形成的内部角和外部角互为补角等。
通过利用这些性质，可以得出线线平行的结论。
在实际的几何证明中，我们经常需要灵活运用这些方法，根据具体的几何图形和问题来选择合适的证明方法。
在进行证明时，需要注意清晰地列出已知条件和待证结论，逐步运用几何知识和证明方法进行推导，最终得出结论。
总之，线线平行的证明方法是几何学中的重要内容，它在几何证明和问题求解中起着重要作用。
通过掌握不同的证明方法，可以帮助我们更好地理解和运用线线平行的概念，提高几何证明的能力和水平。
空间向量中证明线线平行的公式
空间向量中证明线线平行的公式
在空间向量中，我们经常需要判断两条线是否平行。
判断两条
线是否平行的一种方法是使用向量的方法。
下面我们将介绍如何使
用向量来证明两条线是否平行的公式。
假设有两条线，分别用参数方程表示为:
L1: r1 = a + λv.
L2: r2 = b + μw.
其中a和b是两条线上的已知点，v和w是两条线的方向向量，λ和μ是参数。
要证明L1和L2平行，我们可以使用以下方法：
1. 首先，我们可以计算两条线的方向向量v和w。
2. 然后，我们可以计算v和w的向量积（叉乘）v × w。
3. 最后，我们可以判断v × w是否为零向量。
如果v × w为零向量，那么根据向量积的性质，我们可以得出结论，两条线平行。
证明过程如下：
v × w = 0。
⇒ |v × w| = 0。
⇒ |v| |w| sinθ = 0。
其中θ为v和w之间的夹角。
根据向量积的性质，v × w = 0 当且仅当v与w共线或其中一个为零向量。
因此，如果v × w = 0，则L1和L2平行。
通过这种方法，我们可以使用向量来证明两条线是否平行的公式。
这种方法简单直观，适用于空间向量中线线平行的判断。
希望这篇文章能对你有所帮助。
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法
证明线线平行的方法有很多，以下列举几种常用的证明方法。
方法一：使用平行线的性质和判定定理。
1.笛卡尔定理：任意两条平行线在任何一点的等角对应线互相平行。
2.内角和定理：如果一条直线与两条直线分别成锐角和钝角，那么这两条直线平行。
3.外角定理：如果两条平行线被一条横穿线截断，那么截断线和被截线所构成的两组内外角互补。
以上定理中的推导过程可以使用数学归纳法证明。
方法二：使用等距变换。
等距变换是指通过平移、旋转或镜像等操作，使得图形在平面内发生变换但是其大小和形状保持不变。
如果一条直线通过等距变换后仍然是一条直线，那么这两条直线是平行的。
这个方法的证明过程主要是通过等距变换的性质和定义进行推导。
方法三：使用向量的理论。
向量法是指通过向量的线性组合、向量的平行关系和向量的数量积等性质来证明线线平行。
具体证明中，可以利用向量的线性组合使两个向量的方向相同，从而得出平行的结论。
方法四：使用代数法。
可以通过方程组的解得到平行线的证明。
如果两条直线的方程组有唯一解且斜率相同，那么这两条直线是平行的。
通过证明方程组有唯一解且斜率相同，可以得出线线平行的结论。
以上是几种常用的证明线线平行的方法，不同的方法可以根据具体的证明问题进行选择和应用。
在实际的推导过程中，根据具体问题的要求选择合适的证明方法，运用适当的数学理论和性质进行推导，最终得出线线平行的结论。
空间几何的基本定理和证明
空间几何的基本定理和证明空间几何是研究空间中点、线、面和体之间的位置、形态、大小、相对位置等性质的数学分支。
在空间几何中，有一些基本定理是我们必须要了解和掌握的。
本文将介绍几个常见的空间几何基本定理，并给出相应的证明。
一、平行线定理：平行线是位于同一平面内且不相交的两条直线。
在空间几何中，平行线间的关系有着重要的应用。
平行线定理如下：定理1：如果两条直线与第三条直线相交，且与第三条直线分别平行，则这两条直线互相平行。
证明：设直线l和m与直线n相交，且l与n平行，m与n平行。
我们需证明直线l与m平行。
根据平行线的定义，我们可以得到以下两组对应角相等关系：∠1 = ∠2，∠1 = ∠3；∠4 = ∠5，∠4 = ∠6。
现在我们来证明∠2 = ∠3 = ∠5 = ∠6，这样就证明了直线l与m平行。
根据同位角定理，我们可以得到：∠2 + ∠4 = 180°，∠3 + ∠6 = 180°。
将上述两个等式相加并整理得：∠2 + ∠4 + ∠3 + ∠6 = 360°。
由于∠2 = ∠3，∠4 = ∠5，∠5 = ∠6，代入上式我们可以得到：2∠2 + 2∠5 = 360°。
化简得：∠2 + ∠5 = 180°。
根据同位角的定义，∠2 + ∠5是直线l与m的内错角。
据直线外角定理，直线l与m的内错角相等，即∠2 + ∠5 = 180°。
因此，我们证明了直线l与m平行。
二、垂直定理：在空间几何中，垂直是指两个直线或线段相交时，交点的四个周围角都是直角（90°）。
垂直定理如下：定理2：直线和平面垂直的等价条件是直线上的任意一条直线垂直于平面。
证明：我们设直线l与平面P相交于点A，我们需要证明l上的任意一条直线垂直于平面P。
取直线l上任意一点B，连接OB。
构造平面Q，使得平面Q 过直线l且垂直于平面P。
则由垂直平面的性质得知，直线l就在平面Q内。
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
谈谈证明线面平行问题常用的几种方法
证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。
证明线线平行的方法
证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。
证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。
3.垂直与同一直线的两个平面平行。
4.利用向量法证明。
证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。
证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。
2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
5.1来证。
6.证明面面垂直的方法：1.定义：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角。
2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。
12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是(A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 故选D. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥；（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD ，所以设AD=a,则AB=2a,又因为BAD=∠60°,所以在ABD ∆中,由余弦定理得：2222(2)22cos 603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以BD=3a ,所以222AD BD AB +=,故BD ⊥AD,又因为1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD,又因为1AD D D D ⋂=, 所以BD ⊥平面11ADD A ,故1AA BD ⊥.(2)连结AC,设AC ⋂BD=0, 连结1A O ,由底面ABCD 是平行四边形得:O 是AC 的中点,由四棱台1111ABCD A B C D -知:平面ABCD ∥平面1111A B C D ,因为这两个平面同时都和平面11ACA C 相交,交线分别为AC 、11A C ，故11AC AC ，又因为AB=2a,BC=a, ABC=120∠，所以可由余弦定理计算得，又因为A 1B 1=2a, B 1C 1=2a , 111A B C =120∠，所以可由余弦定理计算得A 1C 1=2a ，所以A 1C 1∥OC 且A 1C 1=OC ，故四边形OCC 1A 1是平行四边形，所以CC 1∥A 1O ，又CC 1⊄平面A 1BD ，A 1O ⊂平面A 1BD ，所以11CC A BD ∥平面.20.（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【解析】（Ⅰ）由题意知1232,6,18a a a ===,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅.（Ⅱ）因为(1)ln n n n b a a =+-=123n -⋅+1(1)ln 23n --⋅, 所以12n n S b b b =+++=1212()(ln ln ln )n n a a a a a a +++-++=2(13)13n ---12ln n a a a =31n --121ln(21333)n n -⋅⨯⨯⨯⨯= 31n --(1)2ln(23)n n n -⋅,所以2n S =231n --2(21)22ln(23)n n n -⋅=91n --22ln 2(2)ln 3n n n --.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).（1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值.16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900.（1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29.10、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________16、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线E F ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD20、设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式 1. F E A D如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ 3cm ． 答案：62. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．答案：23. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．答案：24. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．A B C E F D （第7题）（1） 求证：tan 3tan B A =；（2） 若cos C =求A 的值． 解：（1）∵3AB AC BA BC = ∴3AB AC cos A BA BC cos B = ∴3AC cos A BC cos B = 由正弦定理得：AC BC sin B sin A =∴3sin B cos A sin A cos B =∴3tan B tan A =（2）∵cos C =0C π<<∴5sinC = ∴2tanC = ∴()2tan A B +=-又∵3tan B tan A =∴23421113tan A tan B tan A tan A tan A tan Atan B tan A tan B tan A++-===--- ∴1tan A =或13- ∵3tan B tan A =∴A ，B 必为锐角，否则A ，B 同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾 ∴0tan A >∴1tan A =∴4A π=5. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2） 直线1//A F 平面ADE ．证明：（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 ∴1CC ABC ⊥平面∵AD ABC ⊂平面∴1CC AD ⊥∵AD DE ⊥，且1DE CC E = ∴11AD BCC B ⊥平面∵AD ABC ⊂平面∴11ADE BCC B ⊥平面平面（2）∵11AD BCC B ⊥平面， 11BC BCC B ⊂平面∴AD BC ⊥∵直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC = ∴AB AC =∴D 是BC 的中点∵F 是11B C 的中点 ∴1DFAA ，且1DF AA =∴四边形1AA FD 是平行四边形 ∴1A FAD∵1D F A A E ⊄平面，1D F A A E ⊂平面 ∴1//A F 平面ADE 6. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122n n n n n a n a b *+=∈+N ．（1） 设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2） 设12nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 解： （1）∵()22222221221211n n n n*n n n n n n n n n nnn n a b a b bb b a b b n N a a b a a a ++⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-=-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝++⎭+ （2）∵0n a >，0n b >∴()()22222n n n n n n a b a b a b +≤+<+∴12212n n n n na ab +<=≤+∵{}n a 是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为q ，则0q >①当1q >时， ∵0n a >∴数列{}n a是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得1n a +> ②当01q <<时 ∵0n a >∴数列{}n a 是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得11n a +< 由①②得：1q = ∴()1*n a a n N =∈∵11n a +<=≤得：1a =，且11a <≤∴1n b =∵*11n n n n b b n N a +==∈， ∴数列{}n b是公比为1a 的等比数列∵11a <≤∴11a ≥ ①当11a >时 数列{}n b是单调递增的数列，这与1n b =矛盾 ②11=时数列{}n b 是常数数列，符合题意∴1a∴n b∴1b =1.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ .解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =2.3. 设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析： 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=4.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：ABC1ADE F1B1C2252552667123123115521155223 (1),.222222011522360022n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴-><<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12 15.（本小题满分14分）已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<. (1) 若2a b -=，求证：a b ⊥；(2) 设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值.解：(1)()()cos ,sin ,cos ,sin ,0a b ααβββαπ==<<<2a b -= 22a b ∴-=2222a b ab ∴+-= 1122a b +-⋅= 0a b ⋅= a b ∴⊥ (2)()()()0,1,cos cos ,sin sin 0,1cos cos 0sin sin 1c a b cαβαβαβαβ=+=∴++=∴+=∴+=①②22+①②得：()2+2cos 1αβ-= ()1cos 2αβ-=-0023βαπαβππαβ<<<∴<-<∴-=又cos cos 05,66αβαβπππαβ+=∴+=∴==16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.求证：(1) 平面EFG //平面ABC ; (2) BC SA ⊥. 解：(1),E G 分别是侧棱,SA SC 的中点EG AC ∴∥AC 在平面ABC 中，EG 在平面外EG ∴∥平面ABC,AS AB AF SB =⊥F ∴为SB 中点 EF AB ∴∥AB 在平面ABC 中，EF 在平面外EF ∴∥平面ABCEF 与EG 相交于E,EF EG 在平面EFG 中 ∴ 平面EFG //平面ABC(2)平面SAB ⊥平面SBCSB 为交线AF 在SAB 中，AF SB ⊥AF ∴⊥平面SBC AF BC ∴⊥BC AB ⊥AF 与AB 相交于A ,AF AB 在平面SAB 中 BC ∴⊥平面SAB BC SA ∴⊥ 19. （本小题满分16分）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.(1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =. 解：（1）()()10n a a n d d =+-≠22n n nS na d -=+ 0c =时，nn S b n=112244122342S b a S db a S d b a ====+==+124,,b b b 成等比2142b b b ∴=222222222322202n nk k nk kd d a a a d ad d d aS n a S n k a n S n k a S n S ⎛⎫⎛⎫∴⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴=≠∴=∴===∴=（2）由已知23222222n n nS n a n d n db nc n c+-==++n b 是等差数列∴设n b kn b =+（k,b 为常数）∴有()()32222220k d n b d a n ckn bc -++-++=对任意n N +∈恒成立202202020k d b d a ck bc -=⎧⎪+-=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩0d ≠k c ∴≠∴=此时222dka d b=-=命题得证3.。
证明线线平行的六种方法
证明线线平行的六种方法
线线平行是几何学中的基本概念之一，可以通过多种方法来证明线线平行，本文将介绍六种常用的证明方法。
方法一：同位角定理法
同位角定理指的是：如果两条直线被一条截线分成两对同位角相等的角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的同位角相等即可。
方法二：平行线性质法
如果一条直线与两条平行直线相交，那么它所对应的两个内角互为补角。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的内角互为补角即可。
方法三：转折法
转折法是通过反证法来证明线线平行的方法。
假设两条直线不平行，那么它们一定会相交，那么在相交点处一定存在一对同位角不相等的角，这与同位角定理相矛盾，因此假设不成立，两条直线必须平行。
方法四：等夹角法
如果两条直线被一条截线分成一对相等的内角，则这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们被一条截线分成的内角相等即可。
方法五：延长线法
如果两条直线的一对相邻内角互为补角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需找到这两条直线上的相邻内角，将它们延长成一条直线，然后证明这条直线与另一条直线是垂直的即可。
方法六：反向证明法
反向证明法是证明两条直线不平行的方法，只需证明这两条直线的内角不互为补角即可。
因为如果两条直线不平行，它们在相交处的内角一定不互为补角。
通过同位角定理法、平行线性质法、转折法、等夹角法、延长线法、反向证明法这六种方法，我们可以轻松地证明线线平行的问题。
对于几何学的学习来说，掌握这些方法是非常重要的。
立体几何中有关平行、垂直常用的判定方法
有关平行、垂直问题常见判定方法一、 线线平行的判定1、 公理4：平行于同一直线的另两直线互相平行. a ∥b ，b ∥c ==> a ∥c2、 三角形中位线平行于底边；平行四边形对边平行；棱柱侧棱互相平行．3、 线面平行的性质：一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，该直线与交线平行．a ∥α，a ⊂β，αβ=b ==> a ∥bβαba4、 面面平行的性质：两个平面平行，同时与第三个平面相交，所得的两条交线互相平行． α∥β,γα=a ,γβ=b ==> a ∥bγβαb a5、 平行于同一平面的两直线互相平行．a ⊥α，b ⊥α ==> a ∥bαba二、 线面平行的判定1、 线面平行的判定定理：若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此c b a平面平行．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ==> a ∥ααba2、 若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行．α∥β，a ⊂α ==> a ∥βαβa3、 α⊥β，a ⊥β，a ⊄α ==> a ∥αβαa4、 a ⊥b ，b ⊥α，a ⊄α ==> a ∥ααab三、 面面平行的判定1、 面面平行的判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．a ⊂α，b ⊂α，a b =O ,a ∥β,b ∥β ==> α∥βO αβa b αβa2、 垂直于同一直线的两个平面互相平行．a ⊥α，a ⊥β ==> α∥β (见上图)3、 平行于同一平面的两个平面互相平行．α∥γ，β∥γ ==> α∥βαγβ4、 柱体的上下底面互相平行四、 线线垂直1、线线垂直的定义：a 与b 所成的角为直角．2、线面垂直的定义：若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任一直线都垂直． a ⊥α，b ⊂α ==> a ⊥bαab3、a ⊥α，b ∥α ==> a ⊥bαab4、三垂直定理及其逆定理l ⊥α( H 为垂足)，a ⊂α，HM 是斜线PM 在平面α内的射影三垂线定理（垂影则垂斜）：a ⊥HM ==> a ⊥PM三垂线定理的逆定理（垂斜则垂影）：a ⊥PM ==> a ⊥HMlM H Pαa5、a ⊥α，b ⊥β，α⊥β ==> a ⊥bβαab五、线面垂直的判定1、线面垂直的判定定理：若一直线和平面内的两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． a ⊂α，b ⊂α,a b =O , l ⊥a ,l ⊥b ==> l ⊥αlO αa b2、a∥b，a⊥α ==> b⊥ααb a3、直棱柱的侧棱与底面垂直4、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，也垂直于另一个平面α∥β，a⊥α ==> a⊥βαβa5、面面垂直性质：两平面垂直，一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．α⊥β，αβ=l，a⊂α，a⊥l ==> a⊥βlβαa5、 两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也与第三个平面垂直．αβ=l ，α⊥γ,β⊥γ ==> l ⊥γl γβα六、面面垂直的判定1、定义:两平面相交所成二面角为直二面角.2、判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.a ⊥β，a ⊂α ==> α⊥βl βαa2、a ∥α，a ⊥β ==> α⊥ββαa。
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法在几何学中，线线平行是一个重要的概念，它在解决几何问题时经常被应用。
那么，如何证明两条线是平行的呢？下面我们将介绍几种常见的证明方法。
1. 同位角相等法则。
同位角相等法则是证明线线平行的常用方法之一。
当一条直线被一对平行线所截断时，同位角相等的性质可以帮助我们证明这两条线是平行的。
具体来说，如果两条直线被一条截线所截断，且同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
2. 交叉线法则。
交叉线法则是另一种常见的证明线线平行的方法。
当一条直线被两条平行线所截断时，交叉线法则可以帮助我们证明这条直线与其中一条平行线平行于另一条平行线。
具体来说，如果一条直线与一对平行线所形成的内错角相等，那么这条直线与其中一条平行线平行于另一条平行线。
3. 垂直线法则。
垂直线法则是在证明线线平行时也经常被使用的方法之一。
当两条直线被一条横截线所截断时，垂直线法则可以帮助我们证明这两条直线是平行的。
具体来说，如果一对内错角的补角相等，那么这两条直线就是平行的。
4. 转角相等法则。
转角相等法则也是证明线线平行的常用方法之一。
当一条直线被两条平行线所截断时，转角相等法则可以帮助我们证明这条直线与其中一条平行线平行于另一条平行线。
具体来说，如果一对同旁内角相等，那么这条直线与其中一条平行线平行于另一条平行线。
通过以上几种常见的证明方法，我们可以准确地判断两条直线是否平行。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明，从而解决几何问题。
总之，线线平行的证明方法是几何学中重要的内容，掌握了这些方法，可以帮助我们更好地理解几何知识，提高解题能力。
希望本文介绍的内容对您有所帮助，谢谢阅读！。
证平行线的方法
证平行线的方法证明两条直线平行是几何学中常见的问题。
这里将介绍10种证明直线平行的方法，并提供详细描述。
方法一：使用平行线定理平行线定理是证明两条直线平行的最常用方法之一。
该定理表明：如果两条直线在平面上被一条直线所截，使得同侧内角和小于180度，则这两条直线将平行。
详细步骤：1. 画出图形，标出被截直线和两条直线。
2. 根据角度关系计算同侧内角和。
3. 如果同侧内角和小于180度，则这两条直线平行。
方法二：使用垂直线段的特性两条直线垂直时，它们是平行的直线之一。
我们可以使用两条垂直线段的特性来证明两条直线平行。
详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和两条垂直线段。
2. 如果两条垂直线段长度相等，则这两条直线平行。
方法三：使用相似三角形的特性相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。
我们可以使用相似三角形的特性来证明两条直线平行。
详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和相似三角形。
2. 如果这两条直线分别与相似三角形的两个平行边相交，则它们平行。
方法四：使用平移变换平移变换是一种几何变换，可以将图形平移或移动。
如果两条直线平移后仍平行，则它们是平行线。
详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和它们的中垂线。
2. 对图形进行平移变换，将其中一条直线平移至另一条直线的位置。
3. 如果两条直线在平移过程中一直保持平行，则它们是平行线。
方法五：使用对顶角的特性对顶角是指两条直线交叉形成的相对角。
如果这些角度相等，则这两条直线是平行线。
详细步骤：1. 画出图形，标出两条直线和它们之间的交点。
2. 计算对顶角。
3. 如果对顶角相等，则这两条直线是平行线。
方法六：使用欧几里德公理欧几里德公理是几何学中的三个基本公理之一，其中一个公理表明：如果一条直线被另一条直线截断，并且同侧内角和小于180度，则两条直线之间没有交点。
详细步骤：1. 画出图形，标出被截直线和两条直线。
2. 根据欧几里德公理，如果同侧内角和小于180度，则这两条直线之间没有交点，因此是平行线。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
证明线线平行的方法-精品文档
E D
30
G
B
A
C
F
棱柱
1、特殊四棱柱及它们之间的关系
棱柱
底面是 四边形
四棱柱
平行六面体
侧棱与底 面垂直
底面是平 侧棱与底 行四边形 面垂直
直四棱柱
底面是 正方形
直平行六面体 底面是平
行四边形 底面是矩形
长方体
底面是正方形
正四棱柱
侧面是正方形
正方体
二、棱柱的性质
1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
5、定义法—— 直线与平面内任一直线垂直
证明面面垂直的方法 （1）面面垂直的判定定理—— 一平面经过了另一平面的一条垂线
2、定义法—— 二面角为900
角
1、两异面直线所成角 方法：平移法——
π 0, 2
直接平移法、中位线平移法、补形平移法
步骤：作、证、求 作——作其中一异面直线的平行线 证——平行 并交待某角即为两异面直线所成角或补角
3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
三、长方体的性质
性质1、长方体的一条对角线长的平方等于 一个顶点上的三条棱的长的平方和。 性质2、长方体的一条对角线与一个顶点上 的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则有cos2α+cos2β+cos2γ=1 性质3、长方体的一条对角线与各个面所 成的角分别为为α、β、γ，
求——把角放到三角形中去解
2、线面角——主要指斜线与平面所成角 0 , π 2 1）作—— 先在直线上取斜足以外的一点作平面的垂线 后连垂足与斜足得射影 2）证——证直线与平面垂直，
并交待射影与某角是直线与平面所成角
证明两条直线平行的六种方法
证明两条直线平行的六种方法1 斜率法斜率法是最常用的证明两条直线平行的方法，即如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的，否则不是平行的。
斜率的计算方法为$斜率=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，其中$y_2$和$y_1$分别代表两条直线上两点的纵坐标，$x_2$和$x_1$代表两条直线上两点的横坐标。
从上式可以看出，如果$斜率_1=斜率_2$，则此时两条直线平行。
2 线性方程法如果两条直线对应的线性方程相同，则它们是平行的。
根据直线的线性方程可以得出$y=kx+b$，其中$k$表示斜率，$b$为常数。
如果$k_1=k_2$，则此时两条线是平行的。
3 向量法如果两条直线对应的向量齐平，则它们是平行的。
证明两条直线平行则可以将它们对应的向量做点积，如果此时点积为零，则它们是平行的。
4 极坐标法极坐标法是指若两条直线的极角相同，则它们是平行的。
根据极坐标可以得出$x=rsin\theta$，$y=rcos\theta$，其中$\theta$表示极角，$r$为极径，$\theta_1=\theta_2$ 则此时两条线是平行的。
5 比例法该方法是指两条直线由同一点遍及的时候，它们的另外两个坐标点的坐标的比例相等，其中的比例为$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，三点式为$(x_1,y_1) \ \ (x_2,y_2) \ \ (x_3,y_3)$，当$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}$，则它们是平行的。
6 水平角法水平角法是指当两条直线对应的水平角大小零度时，它们是平行的。
用平面直角坐标系表示，两条线分别由点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$和$(x_3,y_3)，(x_4,y_4)$分别经过，水平角就等于$\angle{P}_3P_1P_2$与$\angle{P}_4P_1P_2$的夹角，若$\angle{P}_3P_1P_2=\angle{P}_4P_1P_2=0°$，则它们是平行的。
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法线线平行是几何学中的一个重要概念，它在直线和平面几何中有着广泛的应用。
在几何证明中，证明线线平行是一个常见的问题，本文将介绍几种常用的证明方法。
首先，我们来看一种常见的证明方法——使用等角定理。
等角定理指出，如果两条直线被一条直线交叉，而又分别与这条直线所成的相同对顶角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们与一条直线EF的交点，然后通过观察它们所成的角是否相等来判断它们是否平行。
其次，还有一种证明方法是使用平行线的性质。
平行线有一个重要的性质，即平行线上的对应角相等。
这个性质可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们之间的一组对应角，然后通过观察这些对应角是否相等来判断它们是否平行。
另外，还有一种证明方法是使用平行线的转角定理。
平行线的转角定理指出，如果两条直线被一条直线交叉，而且它们的转角相等，则这两条直线是平行的。
这个定理同样可以被用来证明线线平行的问题。
例如，如果我们需要证明AB线与CD线平行，我们可以找到它们与一条直线EF的交点，然后通过观察它们的转角是否相等来判断它们是否平行。
除了以上提到的方法，还有许多其他方法可以用来证明线线平行的问题，如使用同位角定理、使用平行线的性质等。
在实际的几何证明中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
总之，线线平行的证明方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
通过掌握这些证明方法，我们可以更加灵活地解决几何问题，提高解题的效率和准确性。
希望本文介绍的内容能够对大家有所帮助。
空间直线平行的判定定理
空间直线平行的判定定理空间直线平行的判定定理引言在空间几何中，直线是一种基本的几何对象。
而直线的平行是一个重要的概念，它在许多问题中都有着重要的应用。
因此，研究如何判定空间直线是否平行，是空间几何中重要的一部分。
定义在空间几何中，两条直线如果在同一平面内且不相交，则这两条直线互相平行。
定理有以下三种方法可以判定空间直线是否平行：方法一：向量法向量法是判定两条空间直线是否平行最常用的方法之一。
具体步骤如下：1. 求出两条直线上任意两点构成的向量；2. 判断这两个向量是否共线；3. 如果这两个向量共线，则这两条直线平行；否则不平行。
方法二：斜率法斜率法是判定两条空间直线是否平行另外一种常用的方法。
具体步骤如下：1. 对于每一条直线，求出其在某个坐标系下的方程；2. 求出每一条直线在该坐标系下的斜率；3. 如果两条直线斜率相等，则这两条直线平行；否则不平行。
方法三：距离法距离法是判定两条空间直线是否平行的另外一种方法。
具体步骤如下：1. 求出两条直线上任意一点的坐标；2. 求出这两个点之间的距离；3. 如果这两个点之间的距离为0，则这两条直线平行；否则不平行。
应用空间直线的平行在许多问题中都有着重要的应用。
例如，在建筑设计中，需要对建筑物进行测量和设计，而在测量和设计过程中需要考虑到空间直线的平行关系。
再如，在工程制图中，需要将三维物体投影到二维纸面上，而在投影过程中也需要考虑空间直线的平行关系。
结论通过向量法、斜率法和距离法可以判定空间直线是否平行。
在实际问题中，可以根据具体情况选择不同的方法进行判定。
空间直线的平行关系在许多问题中都有着重要的应用，在实际问题中需要注意其合理性和准确性。
证明线线平行的方法
证明线线平行的方法证明线线平行的方法内错角相等同位角相等同旁内角互补A平行B，B平行C，则A平行C平行四边形(那一类如菱形，矩形等)对边平行证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c 由同位角相等，两直线平行，可推出：内错角相等，两直线平行。
同旁内角互补，两直线平行。
因为 a‖b,a‖c, 所以 b‖c (平行公理的推论)2“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc(1)根据定义。
证明线线平行的方法
证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。
证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。
3.垂直与同一直线的两个平面平行。
4.利用向量法证明。
证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。
证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。
2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。
4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
5.向量法。
就是用向量乘积为零则两向量垂直来证线线垂直，再用方法1来证。