福建省福州市2013年高考数学二轮复习专题训练二：导数及其应用

福州2013年高考数学二轮复习专题训练：导数及其应用
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．
11lim 10
-+→x x
x 的值是( )
A ．不存在
B ．0
C ．2
D ．10
【答案】D 2．
2
||2
x e dx
-⎰
的值等于( )
A ．22e e --
B ． 22e
C ． 222e -
D ． 22
2e e -+-
【答案】C
3．已知
2
()3'(1)f x x xf =+，则'(1)f 为( ) A ．-2 B ．-1
C ．0
D ．1
【答案】B
4．若函数2
()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1,1)x y ∆∆++，则y
x ∆∆=( )
A ． 4
B ．4x x ∆+
C ． 42x x ∆+
D ． 2
4()x x ∆∆+
【答案】C
5．已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足
PB
PA 2=， 则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A ．π
B ．8π
C ．4π
D ．9π
【答案】C
6．某汽车的路程函数是3221
2(10m/s )
2s t gt g =-=，则当2t s =时，汽车的加速度是( ) A ．14m/s 2
B ．4m/s 2
C ．10m/s 2
D ．2
4m /s -
【答案】A
7．已知点P 在曲线sin y x =上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ B ．3,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ． 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ． 3[,)4ππ
【答案】C
8．曲线x y ln =上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( ) A ．e B ． e C ．e2 D ．2 【答案】A
9．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是( )
A ． 1
B ． 13
C ． 12
D ． 2
3
【答案】B
10．曲线
2
y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则( ) A ． a=1,b=1 B ． a=-1,b=1 C ． a=1,b=-1 D ． a=-1,b=-1
【答案】A
11．由直线
,,0
3
3
x x y π
π
=-
=
=与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )
A ． 21
B ．1
C ．23
D ．3
【答案】D
12．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，其导函数f ’(x)在(a ，b)内的图像如右图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内极小值点的个数有(
)
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．曲线
3
3y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 【答案】210x y -+= 14．已知0t ＞，若0
(22)3
t
x dx -=⎰
，则t =____________
【答案】3 15
．计算：1-=
⎰
____________．
【答案】2π
16．直线2,y e y =轴以及曲线x
y e =围成的图形的面积为 。

【答案】12
+e
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设函数
3
()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； (Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 【答案】（Ⅰ）
()'233f x x a
=-,
∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，
∴()()()'
203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
=-+==⎪⎩⎪⎩⎩
(Ⅱ）∵
()()()
'230f x x a a =-≠,
当0a <时，()'0f x >，函数()f x 在
(),-∞+∞上单调递增， 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时，由
(
)'0f x x =⇒=
当
(,x ∈-∞时，()'
0f x >，函数()f x 单调递增，
当(x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，
当)x ∈+∞时，()'
0f x >，函数()f x 单调递增，
∴此时x =()f x
的极大值点，x =()f x 的极小值点.
18．设函数
()()
2
()2ln 11f x x x =---．
(Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； (II ）若关于x 的方程()230
f x x x a +--=在区间
[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）函数
()
f x 的定义域为
()1,+∞，
∵
()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-
⎢⎥--⎣⎦， ∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为
()1,2， 故函数
()
f x 的单调递增区间为
()1,2．
(2）方法1：∵()()
2
()2ln 11f x x x =---，
∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．
令
()()
12ln 1g x x a x =++--，
∵
23()111x g x x x -'=-
=
--，且1x >，
由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．
∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，
故2
()30f x x x a +--=在区间
[]2,4内恰有两个相异实根 (2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪
⇔<⎨⎪≥⎩
即
30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪
+-<⎨⎪+-≥⎩
解得：2ln 352ln 24a -≤<-．
综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--．
方法2：∵()()
2
()2ln 11f x x x =---，
∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．
即
()2ln 11
a x x =---，
令
()()2ln 11h x x x =---， ∵
23()111x h x x x -'=
-=--，且1x >，
由()03,()03h x x h x x '
'
><<<>得1得．
∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减． ∵()23
h =-，
()32ln 24
h =-，
()42ln35
h =-，
又
()()
24h h <，
故
2
()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<． 即2ln 352ln 24a -≤<-．
综上所述，a 的取值范围是
[)2ln35,2ln 24--．
19．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm .上口宽6cm , 水以20 cm3/s 的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，求水升高的瞬时变化率
.
【答案】解法一：设时刻t s 时，杯中水的体积为Vcm3,水面半径为r cm, 水深为h cm.
则3
264331h h r V ππ==
])()(3)(3[643
])[(64332233h h h h h h h h V ∆+∆+∆=-∆+=
∆ππ ]))(())((3)(3[64322h t h
h t h h t h h t V ∆∆∆+∆∆∆+∆∆=∆∆π
记水升高的瞬时变化率为t h '（即当t ∆无限趋近于0时，t h
∆∆无限趋近于t h '）
从而有
t h h '∙⨯=
2364320，当h=4时，解得)/(83.2980
s cm h t ≈='π
答：当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为)/(980
s cm π。

解法二：仿解法一，可得3264331h h r V ππ==，即3
643
20h t π=
])()(33[64
203)(642032
233h h h h h h h h h t ∆+∆+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-∆+⨯=∆∆ππ
当h ∆无限趋近于0时，h t ∆∆无限趋近于642092⨯h π,即t h ∆∆无限趋近于2
964
20h π⨯ 当h=4时,水升高的瞬时变化率是s cm /980
π.
解法三：水面高为4 cm 时，可求得水面半径为cm
23
，设水面高度增加h ∆时，水的体积增加V ∆，从而
)
(232
h V ∆∙⎪⎭⎫
⎝⎛≈∆π,(用圆柱近似增加的水体积) ,
故⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆≈∆∆t h t V 49π
.当t ∆无限趋近于0时得t h '∙=4920π
即
)/(980
s cm h t π=
'
答：当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为)
/(980
s cm π。

解法四：设t 时刻时注入杯中的水的高度为 h ,杯中水面为圆形，其圆半径为r
如图被子的轴截面为等腰三角形ABC,AO1O 为底边BC 上的高，O1,O 分别为DE ，BC 中点，
容易求证E AO 1∆∽AOB ∆，那么h
r h r 838
3=⇒= t 时刻时杯中水的容积为V=3
2
2643833131h h h h r πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
又因为V=20t,
则t
h 206433
=π 即333204t h ∙=π 3
2
3313204-⨯='t
h t π
当h=4 时，设t=t1,
由三角形形似的238
43=
⇒=r r ， 那么12
2042331t =⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛π2031π
=⇒t
ππππππ98032034320320342033132043
231
3
23
1=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯='-
=t t h
答:当水高为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为π980
cm/s.
20．设
()ln a
f x x x x =
+，
32
()3g x x x =--． (1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率； (2）如果存在
12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；
(3）如果对任意的1
,[,2]
2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）当2a =时，
2()ln f x x x x =
+，22
'()ln 1f x x x =-++，(1)2f =，'(1)1f =-，
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+； (2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立 等价于：
12max [()()]g x g x M -≥，
考察3
2
()3g x x x =--，
22
'()323()
3g x x x x x =-=-，
由上表可知：min max 285
()(),()(2)1
327g x g g x g ==-==， 12max max min 112
[()()]()()27g x g x g x g x -=-=
，
所以满足条件的最大整数4M =；
(3）当1
[,2]
2x ∈时，()ln 1a f x x x x =+≥恒成立
等价于2
ln a x x x ≥-恒成立，
记
2
()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =。

记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]
2x ∈，
'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1
[,2]
2上递减，
当
1[,1)
2x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <， 即函数2
()ln h x x x x =-在区间1
[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减，
所以
max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥。

21．已知函数f （x ）=（x2+ax-2a-3）·e3-x (a ∈R ）
(1）讨论f （x ）的单调性；
(2）设g （x ）=（a2+25
4）ex (a>0），若存在x1，x2∈[0，4]使得|f （x1）-g （x2）|<1成立，求a 的取值范
围．
【答案】⑴()()x
e a x a x x
f ----+-='32]332[，令()0>'x f ，
即
()23[233]0,
x x a x a e --+--->所以
()()22310
x a x a +--+<
所以0)1)(3(<++-a x x
31,4>---<∴a a 时当，此时()x f 在()3,∞-上为减函数，在()1,3--a 上为增函数，在()+∞--,1a 上
为减函数；
当4-=a 时，()0≤'x f ，此时()x f 在()+∞∞-,上为减函数；
当4->a 时，此时()x f 在()1,--∞-a 上为减函数，在()3,1--a 上为增函数，在()+∞,3上为减函数． ⑵ 当0>a 时，01<--a ，则()x f 在[]3,0上为增函数，在[]4,3上为减函数
又
()()()()()63,01324,03201
3+=>+=<+-=-a f e a f e a f
∴()x f 在[]4,0上的值域为()]6,32[3
++-a e a
又
()225()4x g x a e =+
在[]4,0上为增函数，其值域为2242525[,()]44a a e ++
()4
223425425632,0e a a a e a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+
≤+<+-∴>
()()1
21<-x g x f 等价于1)()(12<-x f x g
∴存在[]4,0,21∈x x 使得()()121<-x g x f 成立，只须1)()(max min <-x f x g 23
21164252<<-⇒<--+
∴a a a ，又0>a
∴a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛
23,
0．
22．某企业有一条价值为m 万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的价值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y 万元与投入的改造费用x 万元之间的关系满足：①y 与2
)(x x m -成正比；②当
2
m
x =
时，23
m y =
，③a x m x ≤-≤)(40，其中a 为常数，且[]2,0∈a .
(1）设)(x f y =，求出)(x f 的表达式; (2）求产值y 的最大值，并求出此时x 的值.
【答案】（1）y 与（m －x ）x 成正比， ∴y ＝f (x)=k (m －x)x2
又2m
x =
时，
23m y = ∴4)2(2
2
3m m m k m ⋅
-= ∴k ＝4 ∴y ＝f (x)＝4(m －x)x2
由
a
m x
≤-≤
)
1(40得
a am x 4140+≤
≤
∴2
)(4)(x x m x f -=
a am x 41410+≤
≤
(2）∵2
)(4)(x x m x f -=
a am x 41410+≤
≤
∴)32(4)(/x m x x f -=令0)(/
=x f
得m x 32
x 02
1==
(i ）若m a am 32414≥+ 即2
21
≤≤a 当)32,0(m x ∈时，0)(/
>x f ∴)(x f 在[0，32
m]上单调递增
当)414,32(a am m x +∈时，0)(/
<x f 由)(x f 在[
a am
m 414,
32+]上单调递减 ∴当
m x 32=
，3max 2716
)32()(m m f x f ==
(i i ）若a am 414+<m 32 即21
0≤
≤a 时 当∈x (0, a am
414+)时，0)(/
>x f ∴)(x f 在[0，a am
414+]上单调递增 ∴
33
2max
)41(64)414()(a m a a am f x f +=
+=
综合（i ）（i i ）可知
当
210≤≤x 时，产值y 的最大值为3
32)41(64a m a +，此时投入的技术改造费用为a am
414+； 当221≤≤a 时，产值y 的最大值为32716m ，此时投入的技术改造费用为m 32；。