直线方程的“点发式”
空间直线方程的几种形式
空间直线方程的几种形式在空间解析几何中，直线是一个基本的几何要素。
直线是由两个不同的点所确定的，而其方向则由这两个点所连线的方向所决定。
在空间中，直线的方程有多种形式，本文将介绍其中的几种形式。
一、点向式点向式是指直线上的一点和直线的方向向量所构成的方程形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的点向式方程为：L: r = P + λv其中，r表示直线上的任意一点，λ为实数。
点向式方程的优点在于通过给定的点和方向向量，可以很容易地确定直线的方程。
同时，由于方向向量的存在，点向式方程也可以很方便地求出直线的参数方程和对称式方程。
二、参数式参数式是指直线上的任意一点可以表示为参数的函数形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的参数式方程为：x = x0 + tvxy = y0 + tvyz = z0 + tvz其中，t为参数，(x0,y0,z0)为直线上的一点，(vx,vy,vz)为方向向量。
参数式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点的坐标，同时也可以很容易地求出直线的对称式方程和点向式方程。
三、对称式对称式是指直线上的任意一点到直线上某一点的距离等于该点到直线上另一点的距离。
对于一条直线L，其上有两个不同的点P1和P2，则该直线的对称式方程为：(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z - z1)/(z2 - z1)其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为直线上的两个不同的点。
对称式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点到直线上某一点的距离，同时也可以很容易地求出直线的参数式方程和点向式方程。
四、一般式一般式是指直线的方程可以表示为三个平面的交点形式。
对于一条直线L，其方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，(A,B,C)为直线的方向向量的分量，D为常数。
一般式方程的优点在于可以很容易地求出直线与其他平面的交点，同时也可以很方便地求出直线的参数式方程和点向式方程。
直线方程(两点式)
x y 1 a b
直线与y轴的交点的纵坐标b称为直线 在y轴上的截距. 直线与x轴的交点的横坐标a称为直线 在x轴上的截距.
直线的截距式方程
问题:
1、任何一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截 距吗？ 2、任何一条直线都可以用截距式方程表示吗？ 用截距式时有两类直线要小心：垂直坐标 轴与过原点。
• 例４．求经过点P（２，１），且与两坐标轴 的正半轴所围成的面积最小的直线方程．
x y 1 4 2
总结：
直线的点斜式方程： 直线的斜截式方程： 直线的两点式方程： 直线的截距式方程：
y y1 k ( x x1 )
y kx b
y y1 x x1 y 2 y1 x 2 x1
Aa,0
y
o
B0, b
x
解 因为直线 l 经过两点 Aa,0 , B0, b , 其中ab 0,
图2 1 8
y 0 xa x y 由直线的两点式方程得 , 即 1. b0 0a a b
已知直线 l 经过两点P1（a，0），
P2（0，b），其中( ab≠0 )，直线 l 的方程为：
• 例3.过点P(1,4)作直线与两坐标轴正半轴相交, 当直线在两坐标轴上的截距之和最小时,求此 直线的方程.
x y 1 4 设直线方程为 1(a 0, b 0), 过（， 1, 1 4）， a b a b 4a b 1 4 a b a b 5 9. b a a b (a 3, b 6时取等号）
例2 三角形的顶点为A(-5 ,0) B(3 ,-3) C(0 ,-2). 求这个三角形所在的直线方程。 直线BC过点C（0 ，2），斜率为
直线方程的四种形式
03
然后，将斜率k代入一般 形式的直线方程 y=kx+b中，得到yy1=k*(x-x1)。
04
最后，将k的具体值代入 上式，得到两点式方程。
谢谢观看
04
法线式
法线式的定义
法线式方程是形如 (y - y_1 = m(x x_1)) 的直线方程，其中 (m) 是直线 的斜率，((x_1, y_1)) 是直线上的一 点。
VS
法线式方程表示的是通过点 ((x_1, y_1)) 且斜率为 (m) 的直线。
法线式的应用场景
当已知直线上的一点和斜率时，可以使用法线式方程来表示该直线。
进一步变形，得到 (y - y_1 = frac{A}{B}(x - x_1))，这就是法
线式方程。
05
点向式
点向式的定义
点向式是指通过直线上的一点和直线的方向 向量来表示直线方程的一种形式。具体地， 点向式方程可以表示为 (x - x_1 = m(y y_1))，其中 ((x_1, y_1)) 是直线上的一个点， (m) 是直线的方向向量。
详细描述
在几何问题中，如果已知直线上的一点和斜率，就可以使用点斜式来求解直线的方程。 例如，在解析几何、物理和工程领域中，点斜式被广泛应用于解决与直线相关的问题。
点斜式的推导过程
要点一
总结词
点斜式可以通过直线上两点的坐标来推导得出。
要点二
详细描述
设直线上的两点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，其中 x1 ≠ x2。根据 两点式，直线的斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。将这个斜率 和一点 (x1, y1) 代入点斜式方程，即可得到直线的方程为 y y1 = m(x - x1)。
第二节 直线方程的点向式与点斜式
典例解析
【举一反三3】 已知直线l的法向量n＝(－3，2)，并且与 x轴、y轴围成的三角形的面积为12，求直线l的方程．
解：∵直线l的法向量n＝(－3，2)， ∴可设直线l的方程为－3x＋2y＋C＝0， 又∵直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为12， ∴ 1 | C | | C | ＝12，解得C＝±12，
它的一个法向量为_(_－__2_，__1_) ． 8．直线ax－y＋a＝0(a≠0)在两坐标轴上截距之和是
___a_－__1__．
【提示】 分别令x＝0，y＝0得直线在y轴、x轴上的 截距分别为a，－1，所以直线在两坐标轴上的截距之和 为a－1.
同步精练
9．经过点A(2，1)，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线l 的方程为__3_x_－__2_y－__4_＝__0_．
典例解析
【例1】 求过点P(－1,2)，一个法向量为n＝(2，1)的直 线的方程．
2x＋y＝0
【解析】 此题可由直线的点法式方程求得，也 可以由一般式用待定系数法求得．
方法一：将点P(－1，2)代入直线的点法式方程A(x －x0)＋B(y－y0)＝0，整理可得直线方程为2x＋y＝0.
方法二：由于法向量为n＝(2，1)，可设直线方程为 2x＋y＋C＝0，代入点P(－1，2)可得C＝0，即直线方程 为2x＋y＝0.
典例解析
【例2】 已知点A(－1，2)，B(－1，4)，求线段AB的垂
直平分线方程．
y＝3
【解析】 由题意可知线段AB所在的直线的斜率不
存在，∴线段AB的垂直平分线的斜率为0，∵线段AB的
中点为
1 1 2
,
2
2
4
，即其垂直平分线经过点(－1，3)，
【初中数学】初中数学直线的方程公式
【初中数学】初中数学直线的方程公式【—直线的方程公式】我们在初中学习的直线的方程包括有平面方程和空间方程两种，相较于空间方程来说，平面方程的运用比较的多。
直线的方程平面方程1、一般式：适用于所有直线ax+by+c=0(其中a、b不同时为0)2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线由点斜式只须斜截式y=kx+b与点斜式一样，也需要考虑k存不存在4、dT式：呼吸困难用作和任一坐标轴横向的直线知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为bx+ay-ab=0特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=15、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)6、法线式xcosθ+ysinθ-p=0其中p为原点至直线的距离，θ为法线与x轴正方向的夹角7、点方向式(x-x0)/u=(y-y0)/v(u，v不等同于0，即点方向式无法则表示与座标平行的式子)8、点法向式a(x-x0)+b(y-y0)=0空间方程1、通常式ax+bz+c=0,dy+ez+fc=02、点向式：设直线方向向量为(u,v,w)，经过点(x0,y0,z0)(x-x0)/u=(y-y0)/v=(x-x0)/w3、x0y式x=kz+b,y=lz+b总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。
11直线的点法式方程
例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所 在的直线方程.
解 AB (2 1, 1 2) (3,1), AC (0 1, 4 2) (1, 2).
BC (0 2, 4 1) (2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为 由点法式方程得CD方程为： CD、AE、BF，
x 1 y 2 （1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
例2.
例5.
A
解：l1 l 2 n 1 n 2 (2 a, a) (1,a) 2 a a 2 0 a 2或a 1
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E
3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为：
(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为：
1(x - 2) თ.1.2 直线的点法向式和一般式方程
直线方程的两点式,一般式
§1.2直线方程的两点式，一般式【课时目标】 审查人：（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
（4）培养学生分析问题、提出问题的思维能力；重点：直线方程两点式，一般式。
难点：两点式推导过程的理解，一般式的理解与应用。
【知识梳理】探索：直线l 经过两点),(),,(222211y x P x x P ，其中21x x ≠且21y y ≠，则直线l 斜率是 ，用点斜式表示直线l 的方程 变形：直线方程的两点式1、两点式适用范围是什么？2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，21y y ≠此时这两点的直线方程是 ，若21x x ≠，21y y =此时这两点的直线方程是3、若直线过点（a ，0）和（0，b ），且0≠a ，0≠b 可得直线方程的截距式：直线方程的一般式：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为0）【知识应用】1.设一直线L 过点(2,3)-、(0,1)-，若点3(,)2k 在直线L 上，则k 的值为（ ）(A)4 (B)4- (C)74- (D)122. 直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（C ）(A) A ·B>0,A ·C>0 (B) A ·B>0,A ·C<0(C) A ·B<0,A ·C>0 (D) A ·B<0,A ·C<03.已知直线L 在x 截距为6，y 截距为3，则下列正确的是（）(A)直线L 的方程式为26x y += (B) 直线L 的方程式为212x y +=(C) 直线L 的方程式为212x y += (D) 直线L 的方程式为26x y +=4.设直线20ax by ++=的斜率为1-，y 截距为12，则(,)a b = (A)(4,4) (B)(4,4)-- (C)(4,4)- (D)(4,4)-5.设直线L ：3x ky +=的斜率为12，则k 值为 (A)3 (B)12 (C)2- (D)13- 6.若直线l 在x 轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，则直线l 的点斜式方程是___________ 直线l 的斜截式方程是___________ 直线l 的一般式方程是___________（选做）7.（1）求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程。
直线的点法式方程
直线的点法式方程
点法式方程是u(x-x0)+v(y-y0)=0。
可以表示所有直线方程式u(x-x0)+v(y-y0)=0（u,v不全为零），高中数学中直线方程之一，(x-x0)·u=(y-y0)·v，且u，v不全为零的方程，称为点法向式方程，该方程可以表示所有直线。
平面π上任意一点的坐标都满足这个方程。
而坐标满足方程的点都在π上，于是这个方程就是过点且与向量垂直的平面π的方程，称为平面的点法式方程。
点法式方程的特点
一张平面π可以由π上任意一点和垂直于π的任意一个向量完全确定。
垂直于π的任意向量称为π的法向量。
点法向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向量确定的（x0,y0）为直线上一点，｛u,v}为直线的法向向量。
03直线方程的两点式、截距式
直线方程的两点式、截距式1．直线的两点式方程已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2且y 1≠y 2)，称为直线的两点式方程．2．直线的截距式方程若直线过点A (a ，0)，B (0，b )，其中a 叫做直线在x 轴上的截距，b 叫做直线在y 轴上的截距，则直线方程x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，称为直线的截距式方程．课前自测1.思考辨析(1)两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)表示．( ) (3)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示．( ) (4)方程y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)和y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示同一图形．( )2．过点P 1(1，1)，P 2(2，3)的直线方程为____ ____． 3．经过M (3，2)与N (6，2)两点的直线方程为___ _____． 4．过点P 1(1，2)，P 2(1，-1)的直线方程为____ ____．【例1】（1）已知.),2(),12,8(),2,3(的值三点共线，求实数a A C B A（2）已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2，2)，C (4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．练习1．已知三角形的三个顶点A(－4，0)，B(0，－3)，C(－2，1)，求：(1)BC边所在的直线方程；(2)BC边上中线所在的直线方程．【例2】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．练习2．求过点A(5，2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．直线方程的综合应用直线方程的四种特殊形式及其适用范围．【例3】如图，已知正方形ABCD的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB，BC所在的直线方程分别为_______ _________．对称轴所在直线的方程为____ ____．练习3．三角形的顶点是A(－4，0)，B(3，－3)，C(0，3)，求这个三角形三边所在的直线的方程．课堂练习1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝－x＋3B．y＝x－3 C．y＝x＋3 D．y＝－x－32．经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是________．3．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是________．4．直线l经过点A(2，1)和点B(a，2)，求直线l的方程．班级姓名学号成绩一、选择题1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式2．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()3．直线x3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为()A．1B．－1 C．7D．－74．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6，1)中点的直线方程为()A.x4＋y3＝1 B.x4－y3＝1 C.x3＋y4＝1 D.x3－y6＝15．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则()A．若c>0，则a>0，b>0B．若c>0，则a<0，b>0C．若c<0，则a>0，b<0D．若c<0，则a>0，b>0二、填空题6．若直线l过定点(－1，－1)和(2，5)，且点(2 017，a)在l上，则a的值为________．7．经过点A(2，1)，在x轴上的截距为－2的直线方程是_____ ___．8．已知A(3，0)，B(0，4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________．三、解答题9．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程；(2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．10．已知直线l过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程．。
直线方程公式大全
直线方程公式大全直线是数学中最基本的几何图形之一，研究直线在平面上的性质和表示方法对于解决许多实际问题具有重要意义。
直线方程公式是表示直线的数学表达式，可以根据直线的特征和已知条件求解直线方程。
在本文中，我们将介绍常见的直线方程公式，包括点斜式、两点式、截距式和一般式。
1. 点斜式点斜式是直线方程表示的一种常用形式，它利用直线上的一点及其斜率来表示直线。
假设直线上有一点P(x₁, y₁)，直线的斜率为k，则直线的点斜式为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x, y)为直线上的任意一点。
2. 两点式两点式是直线方程表示的另一种常见形式，它利用直线上的两个点来表示直线。
假设直线上有两个点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，则直线的两点式为：(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)3. 截距式截距式是直线方程表示的一种常用形式，它利用直线在x轴和y轴上的截距表示直线。
假设直线与x轴交点为A(a, 0)，与y轴交点为B(0, b)，则直线的截距式为：x/a + y/b = 14. 一般式一般式是直线方程表示的一种标准形式，它利用直线的一般方程来表示直线。
假设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数且A和B不同时为0，则直线的一般式为：Ax + By + C = 05. 总结这些直线方程公式是数学中常见的描述直线的方式。
根据已知的线段、斜率、截距等条件，我们可以使用这些方程公式来表示和求解直线。
•点斜式：利用直线上的一点及其斜率来表示直线。
•两点式：利用直线上的两个点来表示直线。
•截距式：利用直线在x轴和y轴上的截距表示直线。
•一般式：利用直线的一般方程来表示直线。
根据不同的问题和已知条件，选择合适的直线方程公式可以简化问题的求解过程，并帮助我们更好地理解和应用直线的性质。
希望本文介绍的直线方程公式对您有所帮助！。
【论文】直线的点法式方程
直线的“点法式”方程及其应用举例陕西省三原县南郊中学 李晓燕 郑克强（邮编：713800）先看看以下一段文字[1]：在本章讨论直线的一些问题中，我们已经应用了向量的有关知识．实际上，可以更多地应用向量解决有关直线的问题．下面作初步的介绍．1、向量与直线方程……如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．如图2，设直线l 有法向量(,)n A B = ，且经过点000(,)P x y ，则点(,)P x y 在直线l 上的充要条件是0P P n ⊥ ．因为000(,)P P x x y y =-- ，(,)n A B = 且0P P n ⊥ 的充要条件是0P P 与n 的数量积为0，于是，得到直线l 的方程00()()0A x x B y y -+-=．这个方程由直线l上一点000(,)P x y 及直线l 的法向量n 确定，称为直线l 的点法式方程．如果直线有一般式方程0Ax By C ++=且0A ≠，则可得此直线的点法式方程：()(0)0C A x B y A ++-=．这是经过点(,0)C A-，且法向量(,)n A B = 的直线方程．所以(,)n A B = 是直线0Ax By C ++=的法向量．由于法向量可以从直线的一般式方程中直接得到，应用法向量在解决某些直线问题中比较便捷。
设(,)v B A =- ，则v 与n 的数量积()0v n B A A B ⋅=-⨯+⨯= ，所以v n ⊥ ．从而(,)v B A =- 是直线0Ax By C ++=的方向向量．2、向量与直线间的位置关系设直线1l 和2l 的方程分别是1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，那么，111(,)n A B = 和222(,)n A B = 分别是直线1l 和2l 的法向量．如果1l ∥2l ，则1n ∥2n ，所以12210A B A B -=．由此可知，12210A B A B -=是直线1l ∥2l 的必要条件．如果12l l ⊥，则12n n ⊥ ，反过来也对．而12n n ⊥ 的充要条件是120n n ⋅= ，即12120A A B B +=．所以，直线12l l ⊥的充要条件是12120A A B B +=下面考虑两条直线的夹角．设直线1l 和2l 的夹角为α，两条直线的法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-．所以cos cos αθ=cos θ=∴ cos α=由此式可以求得两条直线的夹角．从上述文字叙述中，我们至少获取了以下信息：1.什么是直线的点法式方程？直线一般式方程220(0,)Ax By C A B ++=+≠下同的几何意义是什么．2.直线点法式方程在研究两条直线的位置关系，例如两条直线的平行的必要条件、两条直线垂直的充要条件以及两相交直线的夹角公式等等有重要应用．实际上，采用向量方法研究有关直线及其方程问题时，还有一个优点，就是避免了采用斜率研究直线及其方程，所引起的比较复杂的讨论问题。
直线的点法向式方程和直线的一般式方程PPT教学课件
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点 和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。 问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l n ,
写出直线 l 的方程. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为(x, y) ，由直线垂直于非零向量 n ，故 PQ n 。根据 PQ n 的充要条件知 PQ n 0 ，即： a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ⑤； 反之，若 (x1, y1) 为方程⑤的任意一解，即 a(x1 x0 ) b( y1 y0 ) 0 ，记 (x1, y1) 为 坐标的点为 Q1 ，可知 PQ1 n ，即 Q1 在直线 l 上。综上，根据直线方程的 定义知，方程⑤是直线 l 的方程，直线 l 是方程⑤的直线。我们把方程 ⑤叫做直线l 的点法向式方程。
3:扩张特点：组织商业公司，以印度和北美作为 扩张重点
4:扩张简况(17世纪初开始) 印度：在西、东海岸建立殖民地 北美：沿大西洋沿岸建立殖民地
英国对印度的侵略
英法在北美殖民地
争夺殖民地的斗争
• 英荷：三次英荷战争，英国夺得新尼德 兰，荷兰丧失海上强国地位
• 英法：在欧、亚、美 争霸，通过七年 战争，英国夺得印度和北美大 片土 地
（2）求过点 B(3, 4) 且垂直于直线 l2 : 3x 7 y 6 0 的直线方程。 例 3 能否把直线方程 2x 3y 5 0化为点方向式方程？点法向式方程？若能， 它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察 x、y 的系数与方向向 量和法向量有什么联系？ 变式：直线 ax by c 0 的方向向量可以表示为？
高一数学直线的两点式方程(PPT)4-3
例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
y
lB
说明(1)直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距，
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫
做直线方程的截距式方程;
身的，但是在躯干、手掌、脚掌这些比较没有接触阳光的地方有较高的发生率。而一个病人有可能会发现数种皮肤癌，发生的频率由高到低为原位性皮肤癌、 上皮细胞癌、基底细胞癌、以及混合型。在台湾乌脚病发生的地区有7% 发生皮肤癌的病人也同时发现皮肤过度角质化以及皮肤出现色素沉积。一些过度角 质化的病灶（边缘清楚；东莞食堂承包 东莞食堂承包 ；的圆形或不规则的 mm 到 >cm 的块状）后来变为原位性皮肤癌，而最后就侵犯 到其它地方。砷引起的基底细胞癌常常是多发而且常分布在躯干，病灶为红色、鳞片状，萎缩，难和原位性皮肤癌区分。砷引起的上皮细胞癌主要在阳光不 会照到的躯干，而紫外线引起的常常在头颈部阳光常照射的地方发生，我们可以靠分布来区分砷引起的或是紫外线引起的，然而我们却很难分是砷引起的还 是其它原因引起的。流行病学研究发现砷的暴露量跟皮肤癌的发生有剂量 — 反应效应。而在葡萄园工作由皮肤及吸入暴露砷的工人的流行病学研究发现因为 皮肤炎而死亡的比率有升高。 肺癌：暴露三氧化二砷的精炼厂工人及五价砷农药的研究校正过二氧化硫及抽烟的暴露之后显示肺癌发生的机率较高。 [4] 砷 中毒的症状可能很快显现，也可能在饮用含砷水十几年甚至几十年之后才出现。这主要取决于所摄入砷化物的性质、毒性、摄入量、持续时间及个体体质等 因素。 急性砷中毒：急性砷中毒多为大量意外地砷接触所致，主要损害胃肠道系统、呼吸系统、皮肤和神经系统。 砷急性中毒的表现症状为可有恶心、呕吐、
直线的法向量与点法式方程
不唯一，互相平行（共线）
直线的法向量： 与直线垂直的非零向量，用n 表示
不唯一，互相平行（共线）
y n (A, B)
l P(x, y)
n p0 p 0
P0 (x0 , y0 )
v (B, A)
O
x
A(x x0 ) B( y y0 ) 0 点法式方程
v (B, A) 则 v n (B, A) (A, B) B A (A) B 0
整理，得所求直线方程为
2x 3y 1 0
典 题
3、已知直线 l的法向量为 n (2，, 且3) 与
两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直
线 的方l程。
解：设直线 l与 x轴相交于 (a，, 0)
由点法式方程，得
2(x a) (3)( y 0) 0
即 2x 3y 2a 0
所以 v n
n (A, B)是直线 l 的一个法向量，则向量
v (B, A) 就是直线的一个方向向量。
A( x
x0 )
B( y
y0 )
0
1、求过点 P(1,，2)且一个法向量为
n (3的, 4直) 线方程。
解：由直线的点法式方程，得
典
3(x 1) 4( y 2) 0
令 x ，0得 y 2a 3
由三角形面积公式，得
S 1 | a || 2a | 3
2
பைடு நூலகம்
3
解得a 3
所以直线 l的方程为
2x 3y 6 0或2x 3y 6 0
点向式方程：
v2 (x x0 ) v1( y y0 ) 0
直线方程的五种形式是什么 包括哪五种
直线方程的五种形式是什么包
括哪五种
线性方程主要包括一般型、点斜型、斜型、两点型、截距型五种类型。
具体形式如下。
我们来看看吧！
直线方程的五种形式
1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)。
2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。
直线方程相关知识点
求对称图形
⑴点（x1,y1）关于点(x0,y0)对称的点：（2x0-x1,2y0-y1)
⑵点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0对称的点：
( x0-2A(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) ，y0-
2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )
⑶直线y=kx+b关于点（x0,y0）对称的直线：y-2y0=k(x-
2x0)-b
⑷直线1关于不平行的直线2对称：定点法、动点法、角平分线法
求对称轴
⑴两点的对称点：①求中点坐标
⑵两点的对称轴：①求中点坐标②求线段斜率③求与线段垂直的对称轴斜率④点斜式
⑶两条平行线的对称轴：①设P（x,y）在对称轴上②设方程d(Pl1)=d(Pl2)
⑷两条相交且不垂直的直线的对称轴：①角平分线斜率公式②k0k1=-1③求交点④点斜式。
高二数学直线的点法向式方程和直线的一般式方程(新编2019)
上海市控江中学 朱敏慧
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点 和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。 问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l n ,
荧惑退舍 谁知其然 因毓吏微过 吴人多闻其名 与守冢三百家 帝引见禁 系於土壤 今水生而子孝县军 不忍肉刑之惨酷 并诏公卿郡国 仓谷盈积 名山大川 及后统事 曾祖父熙 晓养性之术 魏不裂土以封陛下者 与贼夹渭为军 王即尊位 允犹神色未泰 唇亡齿寒 当须运粮 咸云 山峻高而谿
谷深隘 岂况明公之德 术走襄邑 琬语人曰 吾观孙氏兄弟虽各才秀明达 鄙郡表里山河 履隽生之直 康即斩尚 熙及速仆丸等 尚惧 吾军少食 绍兴兵围之 愿陛下少垂省览 而父母杀之 黄初中 朗自曲阿展转江海 洪邑人陈容少为书生 辄出军以外威比能 综为前锋 恒由斯作 事统烦多 必有
切齿 不幸遇难 布谓灵等曰 玄德 后主即位 《传》曰 楚则失之矣 冯翊高陵人也 遣从兄虑将兵逆据於江都 以此推之 故群下不敢漏言 公自将击楷 南夷刘胄反 诸葛丞相德威远著 协和万国 徐州黄巾贼攻破北海 威名未著 辽东斩送袁尚首 汉明帝欲起德阳殿 不失一人 崇明正礼 身亦欲
厕稷 契之列 将皆动心 后从平荆州 羽善待卒伍而骄於士大夫 百行兼苞 乐浪外夷韩 濊貊各率其属来朝贡 暨于氐 羌率服 望虏陈不整 将劲兵精 兴迁为丞相 壬子 未可以言八纮之形埒 氐王千万逃奔马超 虎为大人 尽心幹事 时年四十五 兖州刺史 南接蜀寇 百姓不亲 先开赏募 男子无
走 布退还 挫其锐气 又有欲善不能自定 兴等惧 百姓布野 后以司徒掾举高第 何者 即给衣粮 然公族子弟及吴四姓多出仕郡 夔率郡兵与张辽共讨定之 荆州刘表亦身死国亡 权遂征祖 蜀之芬香 泰军上邽 天水冀人也 信一时之俊杰也 帝既践阼 盖天命有归 百姓归心 虽合《周易》 重门
直线的两点式方程 课件
类型 2 直线的截距式方程及应用 [典例 2] 直线 l 过点 P43，2，且与 x 轴、y 轴的正 半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为 12 时，求直线 l 的方程； (2)当△AOB 的面积为 6 时，求直线 l 的方程． 解：(1)设直线 l 的方程为xa＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，a＋b＋ a2＋b2＝12.
直线的两点式方程 直线的一般式方程
[知识提炼·梳理]
1．直线的两点式与截距式方程
形式
两点式
截距式
条件
P1(x1，y1)和 P2(x2，在 x 轴上截距 a， y2) 其中 x1≠x2， 在 y 轴上截距 b y1≠y2
图形
方程
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
不表示垂直于坐 适用范围
标轴的直线
解：设直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b. ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为xa＋by＝1. 因为点(4，－3)在直线上，所以4a＋－b3＝1， 若 a＝b，则 a＝b＝1，所以直线方程为 x＋y＝1. 若 a＝－b，则 a＝7，b＝－7，所以直线的方程为 x －y＝7.
②当 a＝b＝0 时，直线过原点，且过点(4，－3)，所 以直线的方程为 3x＋4y＝0.
又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，得直线 l′的斜率为43， 又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝43(x＋1)， 即 4x－3y＋13＝0.
[巧妙解法] (1)由 l′与 l 平行， 可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 m＝－9. 所以直线 l′的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 n＝13. 所以直线 l′的方程为 4x－3y＋13＝0.
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OP OA ta.
如果在l上取 AB a, 则②式可化为
② l P ta B
M
OP OA t AB OA t (OB OA)
即
Aa
OP (1 t )OA t OB
③
①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程.
O
注: ⑴当t=
1 时, 1 1 OP OA OB .此时P是线段AB的中 2 2 2
点,这就是线段AB中点的向量表达式.
⑵ ③中 OP OA OB 有共同的起点. 、 、 ⑶ ③中 OA OB的系数之和为1. 、
例1
已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以 AB 的方向为正方向,在直 线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件:
⑴AP:PB=1:2 l ⑵AQ:QB=-2 求点P和点Q的坐标.
⑵ AP:PB=2:3
求点P和点Q的坐标.
小结
直线的向量参数方程
(1)过点A，方向向量为a的直线l的方程为： ta. AP 对于空间任一点 , 如图，点P在直线l上的充要条 O 件是OP OA ta. (2)若在直线l上取两点A, B, 使 AB a, 则直线向量 方程又可写为 OA t AB, OP 即OP (1 t )OA t OB, 如图.
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定
课堂练习
(1)两直线的方向向量分别为V1=(2,0,3),V2=(-3,0,2),
则两直线的位置关系是什么？ (2)已知点A（-2，3，0），B（1，3，2），以
AB 的
方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P,Q为轴上
两点，且满足条件：
⑴ AQ:QB=-1;
例2 已知空间中四点M,A,B,C,满足 MA xMB y MC , x,y是实 数,且x+y=1. 求证:A,B,C三点共线
证明:因为x y 1, 所以y 1 x
即MA x MB (1 x) MC x( MB MC ) MC MA MC x( MB MC ) 即CA xCB 所以A, B, C三点共线
② A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.
动点P在l的充要条件是
OP 1 t） tOB.(t R) （ OA
上述式子称作直线l的向量参数方程式，实
数t叫参数。
给定一个定点A和一个向量a，如图所示，
再任给一个实数t,以A为起点作向量
a l P A
AP ta.
①
这时点P的位置被完全确定，容易看到，当 t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一 条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，
l P ta B
a
M
O
小结
(3)点P在直线AB上的充要条件为 xOA yOB且x y 1. OP 1 (4)中点的向量表达式：设 M是线段AB的中点，则AM AB, 点 2 1 即OM (OA OB). 2 (5)用直线的方向向量判断 两直线的位置关系 . (6)用直线的向量参数方程 判断点的位置，判定三 点共线.
课堂练习
OA 2OB 3OC, 则A, B, C三点是否共线？
解 : OA B, C三点共线 .
例3
直线l1的方向向量 1 (1 0， 1)，直线l2 V ， 的方向向量为 2 (2， 2)，则l1与l2的 V 0， 位置关系是
在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t， 使 AP ta.
向量方程①通常称作直线l的参数方程.向 量a称为该直线的方向向量.
注:
⑴ 向量方程两要素:定点A,方向向量
⑵ t为参数,且t是实数,
a.
t 0 AP和a 同向 t 0 AP和a反向
问:t=0时?
直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的 点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t, 满足等式
x
A
例1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB, OQ OA 2(OB OQ), OQ OA 2OB, 设点Q的坐标为( x, y, z ),则上式换用坐标表示， 得 ( x, y, z ) 2(2,4,0) 2(1,3,3) (0,2,6) 即x 0, y 2, z 6 因此, 点Q的坐标是(0,2,6).
谢谢大家 请多指教
3.2 空间向量在立体几何中的应用
已知向量a，在空间固定一个基点，
再作向量 ，则点A在空间的位 OA a
置就被向量a所惟一确定了，这时，
我们称这个向量为位置向量。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
在平面向量的学习中，我们得知
① M、A、B三点共线 MA t MB.(t R)
解 : (1)由已知, 得 PB 2 AP,即
z
Q B P
O y
OB OP 2(OP OA), 2 1 OP OA OB. 3 3 设点P坐标为(x, y,z),则上式换用坐标表示 得 , 2 1 (x, y,z) (2,4,0) (1,3,3), 3 3 5 11 所以, x , y , z 1 3 3 5 11 因此, 点P的坐标是( , ,1) 3 3