高中数学必修2.5.1
人教版高中数学(2019)选择性必修一第二章2.5.1直线和圆的位置关系
将月亮看作成一个圆， 海天交线看作一条直线，通 过月出的过程，你能感受到 直线与圆的位置关系吗？
直线与圆有两个（公共点）交点时， 叫做直线与圆相交； 直线叫做圆的割线
直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线与圆相切； 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点
直线与圆没有公共点时， 叫做直线与圆相离；
代入直线方程，得两交点的坐标为 A2,3；B 2 3，0
求两点间的距离： AB 2 3 - 2 2 3 - 02 2 3
直线与圆的 位置关系
相交 相切 相离
两个交点 d<r ∆>0 一个 交 点 d=r ∆ =0 没有交点 d>r ∆ <0
弦长
AB 2 r2 d 2
AB xB xA 2 yB yA 2
3x y 2 3 3 0
①
x2 y2 4x 2y 1 0 ②
第二步：消元，消y，①式改写为 y 3x 2 3 3代入②式中；
化简得： x2 3 4 x 2 3 4 0
第三步：计算∆；
2
3 4 41 2 3 4 3 0
所以，直线与圆相交
解一元二次方程，得 x1 2；x2 2 3
点与圆的位置关系
(设|MA|=d，圆半径为r)
d=r 点在圆上
d<r 点在圆内
d>r 点在圆外
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
点到圆心的距离与半径 圆心到直线的距离与半径
探究：类比点与圆的位置关系，可得出直线与圆的位置关系 用d和r的大小关系来判断——几何法
回顾点到直线的距离公式： 点P(x0, y0)到直线l：Ax By C 0的
距离公式 d Ax0 By0 C A2 B2
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册2.5.1 直线与圆的位置关系 精品教学课件
【对点训练】❸ 设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可 用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表 示，则从村庄外围到小路的最短距离是_7_2__2－__2___．
[解析] 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线 x－y＋ 2＝0 的距离减去圆的半径 2，
即 |122＋＋3＋－21|2－2＝722－2．
易错警示
忽视隐含条件
典例 5 已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若
过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是
C
()
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－2,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[错解] 选A．由题意知点P(1，－1)必须在圆的外部，则12＋ (－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2．答案：A
题型三
直线与圆相交
典例 3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0 截得的弦长．
[分析] 解法一求出直线与圆的交点坐标，解法二利用弦长公 式，解法三利用几何法作出直角三角形，三种解法都可求得 弦长．
[解析] 解法一：由3x2x＋＋yy2－－62＝y－0，4＝0，得交点 A(1,3)，B(2,0)，
当 Δ＜0，即－43＜m＜0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
方法 2：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)， 半径 r＝2．圆心(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离 d＝|2m－11＋－mm2－1|＝ |m1＋－m2|2．
当 d＜2，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个 公共点，
题型探究
高中数学人教A版 选择性必修第一册 直线与圆的位置关系 课件
5、已知过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程；
【解析】圆心 C(0, 2) ，半径 r 5 .所以弦心距 d 52 42 3 ，
(2)SPACB 2S PAC PA r 2PA
2 PC2 4 4 7.
12.(1)已知实数 x，y 满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则
x2＋y2 的最大值为__________．
【解析】x2＋y2＝[ （x－0）2＋（y－0）2]2， 它表示(0，0)和(x，y)两点间距离的平方， 最大距离为 3 2＋ 6， 则 x2＋y2 的最大值为(3 2＋ 6)2＝24＋12 3.
7、已知圆 C：x2＋(y－2)2＝5，直线 l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2)若直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，
①当弦长|AB|最大时，求 m 的值； ②当弦长|AB|最小时，求 m 的值. 【分析】(1)直线 l：m(x－1)－y＋1＝0，过定点 P(1，1)， P 在圆 C 内，所以直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
设直线 l 的方程为 y 3 k(x 3) ，即 kx y 3k 3 0 ，
根据点到直线的距离公式， d | 3k 1| ， 1 k2
因此， | 3k 1| 3 ，即 | 3k 1| 3 1 k2 ，解得 k 4 ，
1 k2
3
直线方程为： 4x 3y 21 0 ，
经检验， x 3 0 适合题意， 所以，所求直线方程为： 4x 3y 21 0 或 x 3 0 .
(1) 2 b 2 2 (2) 2 b 2或b 2 2
2.5.1直线与圆的位置关系-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
学习目标
(1).理解直线与圆的位置关系; (2).掌握直线与圆的位置关系的几何判定; (3).利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
问题1：直线与圆有哪些位置关系？
图形
位置 交点个数
相交 2个
相切 1个
相离 0个
问题2：怎样判断直线与圆的位置关系？ 4
例1、如图，已知直线l : 3x y 6 0 和圆C：x2 y2 2 y 4 0 ， 如何判断直线l与圆C 的位置关系。
直线与圆相离
直线与圆相切 直线与圆相交
练习2：已知直线l：x y b 0和圆C：x2 y2 4, 当实数b取何值时，直线与圆相交？相切？相离？
-2 2 b 2 2; b 2 2; b 2 2或b -2 2
二、直线与圆相切问题：
例2：直线4x 3y 35 0 与圆心在原点的圆C 相切， 求圆C 的方程。
（2）当直线斜率存在时，
设直线方程为y 2 k(x 4),即kx y 2 4k 0， 由题意得：圆心C(3,1) ，半径r=1 ，
d | 3k 1 4k 2 | = | k 3 | =1,即k 2 6k 9 k 2 1,k 3
k2 1
k2 1
2
切线方程为y 2 3 (x 4),即3x 2 y 8 0. 2
港口
.
O
轮船
16
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴， 建立如图所示的直角坐标系， （其中，取１０km为单位长度） 这样，受台风影响的圆形区域所对应 的圆Ｏ方程为x2 y2 9 轮船航线所在直线l 的方程为
4x 7 y 28 0 ， 问题归结为圆Ｏ与直线l 有无公共点的问题。
.y 港口 O
解：设圆C 的方程为x2 y2 r 2
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.5.1 直线与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系课标解读课标要求素养要求1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.1.数学抽象——能够抽象出直线与圆的位置关系.2.逻辑推理——能够通过推理判断直线与圆的位置关系.3.数学建模——能够利用直线和圆的方程解决实际问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有①两个公共点；（2）直线与圆相切，只有②一个公共点；（3）直线与圆相离，③没有公共点.自主思考1.在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采.这个过程中，若将月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，则月亮上升的过程中体现了直线与圆的几种位置关系？提示三种，相交、相切和相离.2.观察下图，图中直线l与圆是什么位置关系？有几个交点，切点与圆心的连线与l有什么位置关系？提示题图中的直线l与圆相切.有且仅有一个交点，切点与圆心的连线与l垂直.名师点睛1.直线Ax+By+C=0与圆(x−a)2+(y−b)2=r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d=√A2+B2d<r d=rd>r代数法：直线与圆的方程联立，消元得到一元二次方程及判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<02.圆的弦长的求法（1）几何法，设直线的方程为y=kx+m，圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，圆的半径为r，弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）为d，弦长为L，则(L2)2=r2−d2；（2）代数法，设直线的方程为y=kx+m，圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，联立直线与圆的方程得{y=kx+m,(x−a)2+(y−b)2=r2,消去y 得到一个关于x的一元二次方程，从而可求出x1+x2，x1x2，根据弦长公式|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2，即可得出结果.互动探究·关键能力探究点一直线与圆位置关系的判断精讲精练例（2021黑龙江绥化青冈一中高二开学考）已知两条平行直线4x−2y+7=0，2x−y+ 1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x−2y+m=0(m＞0)的距离的一半. （1）求m的值；（2）判断直线l与圆C：x2+(y−2)2=15的位置关系.解析：思路分析（1）根据两条平行直线的距离与点到直线的距离的关系，求出m的值.（2）先求出圆心到直线的距离d，再比较d、r的大小，即可求解.答案：（1）将2x−y+1=0化为4x−2y+2=0，∴两条平行直线的距离为√42+(−2)2=√52.又原点O到直线l：x−2y+m=0(m＞0)的距离为√5，由题意得√5=√5，∴m=±5，又m＞0,∴m=5.（2）易知圆C：x2+(y−2)2=15的圆心为C(0,2)，半径r=√55，∴圆心C到直线l的距离d=√5=√55，∵d=r，∴直线l与圆C相切.变式若本例改为直线l：x−2y+m=0与圆C：x2+(y−2)2=15相交，求m的取值范围.答案：由题意知√12+(−2)2√5，解得3＜m＜5.解题感悟判断直线与圆的位置关系的两种方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断；（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 迁移应用（2020浙江嘉兴七校高二期中）已知圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心的坐标为(-2,1)，且过点(0,3).（1）求D,E,F的值；（2）判断直线x−y−2=0与圆C的位置关系.答案：（1）由x2+y2+Dx+Ey+F=0得(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2−4F4.∵圆心的坐标为(-2,1)，∴D=4,E=−2，又∵圆C过点(0,3),∴F=−3.（2）由（1）知，圆C的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=8，则半径r=2√2，∴圆心到直线x−y−2=0的距离d=√2=5√22＞2√2，∴直线与圆C相离.探究点二切线与弦长问题精讲精练类型1 求弦长例1已知直线l：x−y+m=0与圆C：(x+2)2+(y−2)2=2.（1）若直线l经过圆心C，求实数m的值；（2）当m=3时，判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长. 答案：（1）由圆C：(x+2)2+(y−2)2=2得圆心C的坐标为(-2,2)，半径为√2，若直线l经过圆心C，则−2−2+m=0，解得m=4.（2）当m=3时，直线l的方程为x−y+3=0，∴圆心C(−2,2)到直线l的距离d=√1+1=√2√2，∴直线l与圆C相交.此时弦长为2×√(√2)2−(√2)2=√6.解题感悟求弦长的方法：（1）交点法：将直线方程与圆的方程联立，交点的坐标易求的，用两点间的距离公式求解；交点的坐标不易求的，用弦长公式求解.（2）由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，用勾股定理求解.类型2 求切线方程例2过点A(−1,4)作圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线l，求切线l的方程.解析：思路分析设出切线l的方程（注意讨论斜率是否存在），利用点到切线l的距离等于圆的半径建立方程求解.答案：∵(−1−2)2+(4−3)2=10＞1，∴点A在圆外.当切线l的斜率不存在时，切线l的方程是x=−1，不满足题意；当切线l的斜率存在时，设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y−4=k(x+1)，即kx−y+4+k=0，∴圆心(2,3)到切线l的距离为√k2+1=1，解得k=0或k=−34.综上，切线l的方程为y=4或3x+4y−13=0.解题感悟（1）过圆上一点(x0,y0)的切线方程只有1个，先求切点与圆心连线的斜率，再由垂直关系求得切线的斜率，利用点斜式可求得切线方程；（2）过圆外一点(x0,y0)的切线方程有2个，设切线方程为y−y0=k(x−x0)，由圆心到切线的距离等于圆的半径建立方程求出k的值，即可求得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x=x0（注意在上面解法中不包括斜率不存在的情况）.迁移应用1.已知直线mx−y+2=0与圆x2+y2=1相切，则m=.答案：±√3解析：已知圆的圆心为O(0,0)，半径r=1，则O到已知直线的距离d=√m2+1.由已知得d=r，即√m2+1=1，解得m=±√3.2.已知直线l：√3x−y+1=0，圆C：x2+y2+4x−2y+1=0.（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C相交，求出弦长；否则，求出圆C上的点到直线l的最短距离.答案：（1）圆C的方程为x2+y2+4x−2y+1=0，即(x+2)2+(y−1)2=4.∴圆心为(-2,1)，半径r=2，故圆心到直线l的距离d=√3−1+1|√3+1=√3＜r，∴直线l与圆C相交.（2）易知弦长为2√r2−d2=2×√4−3=2.探究点三直线与圆的位置关系的应用精讲精练例一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，船速为10 km/h.通过建立适当的平面直角坐标系，计算这艘外籍轮船能被海监船监测到的时长.答案：建立如图所示的平面直角坐标系，圆O：x2+y2=676，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以直线l AB的方程为x 40+y30=1，即3x+4y−120=0，因为O到l AB的距离|OO′|=√32+42=24 km，所以|MN|=2√|MO|2−|OO′|2=20 km，所以该轮船被监测的时间为2010=2 h.解题感悟用直线与圆的方程解决实际问题的四个步骤：（1）认真审题，明确题意.（2）建立适当的平面直角坐标系，在实际问题中建立直线与圆的方程.（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解.（4）用代数结果解释实际问题.迁移应用（2021山东日照高二期中）台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险地区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h答案：B评价检测·素养提升课堂检测1.直线3x+4y−5=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.无法判断答案：B2.直线y=kx被圆x2+y2=2截得的弦长等于( )A.4B.2C.2√2D.√2答案：C3.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|=12 m，拱高|CD|=4 m，则拱桥的直径为 .答案：13 m4.过点(1,-7)，且与圆x2+y2=25相切的切线方程是.答案：4x−3y−25=0或3x+4y+25=0素养演练数学运算、逻辑推理——利用直线与圆解决面积问题（2021北京一零一中学高二期中）已知圆M ：x 2+(y −2)2=1 ，Q 是x 轴上的动点，QA,QB 分别与圆M 相切于A ，B 两点. （1）若Q(1,0) ，求切线方程； （2）求四边形QAMB 面积的最小值； （3）若|AB|=2413，求直线MQ 的方程.答案：（1）圆M ：x 2+(y −2)2=1 的圆心为(0,2)，半径为1，当过Q 的切线的斜率不存在时，切线方程为x =1 ，与圆相切，符合题意； 当过Q 的切线的斜率存在时，设切线方程为y =k(x −1) ，即kx −y −k =0 ， ∴ 圆心(0,2)到切线的距离d =√k 2+1=1 ，解得k =−34，∴ 切线方程为3x +4y −3=0 .综上，切线方程为x =1 或3x +4y −3=0 .（2）由题意得四边形QAMB 的面积S =2S △MAQ =2×12×1×√|MQ|2−1=√|MQ|2−1 ， ∴ 当MQ ⊥x 轴时，|MQ| 取得最小值，为2， ∴ 四边形QAMB 面积的最小值为√22−1=√3 . （3）由题意得圆心M 到弦AB 的距离为√1−(1213)2=513 ，设|MQ|=x ，x ＞0 ，则|QA|2=x 2−1 ， 又AB ⊥MQ,∴(x −513)2+(1213)2=x 2−1 ，解得x =135， ∴Q(√695,0) 或Q(−√695,0) ，∴ 直线MQ 的方程为y =−10√6969x +2 或y =10√6969x +2 .素养探究：（1）利用点到直线的距离等于圆的半径（注意讨论切线的斜率是否存在），建立方程求切线方程，渗透了数学运算的素养.（2）将条件转化为S =√|MQ|2−1 ，求出|MQ| 的最小值即可得解，渗透了逻辑推理、数学运算的素养.（3）设|MQ|=x,x ＞0 ，由切线长定理及勾股定理可得(x −513)2+(1213)2=x 2−1 ，渗透了逻辑推理的素养. 迁移应用已知圆M 过C(1,−1),D(−1,1) 两点，且圆心M 在x +y −2=0 上. （1）求圆M 的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.答案：（1）设圆M的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r＞0)，根据题意得{(1−a)2+(−1−b)2=r2, (−1−a)2+(1−b)2=r2,a+b−2=0 ⇒{a=1,b=1,r=2,故圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=4.（2）如图，连接PM，易知四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM，即S=12(|AM||PA|+|BM||PB|)，又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，易知|PA|=√|PM|2−4，即S=2√|PM|2−4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，故|PM|的最小值即为点M到直线3x+4y+8=0的距离，所以|PM|min=|3+4+8|5=3，故四边形PAMB面积的最小值为2√|PM|2−4=2√5.课时评价作业基础达标练1.（2020吉林学业水平考试）已知直线l：y=x+1和圆C：x2+y2=1，则直线l和圆C的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案：A2.已知直线l：x−y+1=0与圆C：x2+y2−4x−2y+1=0交于A、B两点，则|AB|= ( )A.2B.2√2C.4D.4√2答案：B3.已知直线l：y=k(x+√3)和圆C：x2+(y−1)2=1，若直线l与圆C相切，则k= ( )A.0B.√3C.√33或0D.√3或0答案：D4.已知圆C：(x−a)2+(y−2)2=4(a＞0)和直线l：x−y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2√3时，a等于( )A.√2B.2−√2C.√2−1D.√2+1答案：C5.（2021黑龙江哈尔滨师大附中高二期中）当过点(1,2)的直线被圆x2+y2=9截得的弦长最短时，直线的方程是( )A.x+2y−5=0B.2x−y=0C.2x−y+3=0D.x+2y=0答案：A6.若直线x+my=2+m与圆x2+y2−2x−2y+1=0相交，则实数m的取值范围为( )A.(−∞,+∞)B.(−∞,0)C.(0,+∞)D.(−∞,0)∪(0,+∞)答案：D7.（2021福建厦门外国语学校高二期中）若直线l：x=my+√2与曲线C：y=√1−x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，实数m的值为( ) A.0B.±√3C.-1D.−√3答案：D解析：曲线y=√1−x2表示圆心为原点，半径为1的圆的上半圆弧，若直线l与曲线C相交于A，B两点，则直线l的斜率1m≤0⇒m＜0，则点O到l的距离d=√2√1+m2，又S△AOB=12|AB|⋅d=12×2√1−d2×d≤1−d2+d22=12，当且仅当1−d2=d2，即d2=12时，S△AOB取得最大值，所以d2=21+m2=12，解得m=−√3或m=√3（舍去）.8.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=2和点P(x0,0)，若圆C上存在两点A，B使得∠APB=π3，则实数x0的取值范围是( )A.[−3,1]B.[−1,3]C.[−2,3]D.[−2,4]答案：B解析：由题意得圆C的圆心为C(1,2)，半径r=√2，如图所示，由图可知，当PA和PB与圆C相切时，∠APB最大，若要使圆C上存在两点A，B使得∠APB=π3，则∠APC≥π6，∴|PC|≤√2sinπ6=2√2，即√(x0−1)2+(0−2)2≤2√2，解得−1≤x0≤3.9.（2021江西南昌第十中学高二期中）点P(x,y)是直线kx+y+3=0上一动点，PA,PB是圆C：x2+y2−4y+3=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为.答案：±2解析：易知圆C的圆心为C(0,2)，半径为1，因为PA,PB是圆C的两条切线，A，B是切点，所以S四边形PACB=2S△PAC=|PA|⋅|AC|=|PA|=√|PC|2−|AC|2=√|PC|2−1，当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，而|PC|的最小值即点C到直线kx+y+3=0的距离d=√k2+1，所以√d2−1=2⇒k2=4⇒k=±2.素养提升练10.（多选题）（2021山东肥城高二期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知A(−4,2)，B(2,2)，点P满足|PA||PB|=2，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是( )A.圆C的方程是(x−4)2+(y−2)2=16B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为π3C.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±√155D.在直线y=2上存在异于A，B的两点D，E，使得|PD||PE|=2答案：A; B; D解析：设点P(x,y)，因为A(−4,2)，B(2,2)，点P满足|PA||PB|=2，所以√(x+4)2+(y−2)2√(x−2)2+(y−2)2=2，化简得x2+y2−8x−4y+4=0，即(x−4)2+(y−2)2=16，故A中说法正确；设两条切线的夹角为α，易知|AC|=8，圆C的半径r=4，所以sinα2=r|AC|=12，则α2=π6，解得α=π3，故B中说法正确；易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y−2=k(x+4)，即kx−y+4k+2=0，因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，所以圆心(4,2)到直线的距离d=√k2+1=2，解得k=±√1515，故C中说法错误；假设存在异于A，B的两点D(m,2)，E(n,2)，则√(x−m)2+(y−2)2√(x−n)2+(y−2)2=2，化简得x2+y2+2m−8n3x−4y+4n2−m2+123=0，因为点P的轨迹方程为x2+y2−8x−4y+4=0，所以{2m−8n3=−8,4n2−m2+123=4,解得{m=12,n=6 或{m=−4,n=2 （舍去），故存在D(12,2),E(6,2)，所以D中说法正确.11.（2021四川江油一中高二期中）若圆C：x2+y2+2x−4y+3=0关于直线2ax+by+ 6=0对称，由点(a,b)向该圆引切线，则切线长的最小值为( )A.2B.4C.6D.8答案：B解析：由题意得圆C的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=2，所以圆心为(-1,2)，半径为√2，因为圆C关于直线2ax+by+6=0对称，所以圆心位于该直线上，所以−2a+2b+6=0，即点(a,b)在直线l：−x+y+3=0上，设D(a,b)，过点D作圆C的切线，切点为E，则|DE|=√|CD|2−r2=√|CD|2−2，要使|DE|最小，则只需|CD|最小，所以|CD|的最小值即过点C作直线l：−x+y+3=0的垂线，此时|CD|=√2=3√2,|CE|=r=√2，所以|DE|=√|CD|2−|CE|2=4.12.（多选题）过O(0,0)作圆C：(x−4)2+(y−4)2=4的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是( )A.|AB|=√14B.|OA|=4√7C.直线AB的方程为x+y=7D.cos∠AOB=47答案：A; C解析：如图所示，连接OC交直线AB于D，连接AC,BC，在Rt△OAC中，|AC|=2,|OC|=4√2，则|AO|=2√7，sin∠AOC=|AC||OC|=√24=sin∠AOD=|AD||AO|=2√7，∴|AD|=√142,∴|AB|=2|AD|=√14，故A中说法正确，B中说法错误. 易知AB⊥OC，k OC=1，∴k AB=−1，∴|OD|=√|AO|2−|AD|2=7√22，设直线AB的方程为y=−x+b(b＞0)，即x+y−b=0，∴|OD|=√2=7√22，∴b=7（负值舍去），故y=−x+7，∴C中说法正确.∵sin∠AOC=√24,∴cos∠AOB=1−2×(√24)2=34，∴D中说法错误.13.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，用坐标法求线段DE的最短距离.答案：以O为坐标原点，OB,OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2+y2=1，B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8+y8=1，即x+y=8.当点D 是与直线BC 平行的直线（距BC 较近的一条）和圆O 相切所成的切点时，|DE| 为最短距离，此时|DE| 的最小值为√21=(4√2−1)km .创新拓展练14.（2021江西南昌第二中学高二期中）已知圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25 ，直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0(m ∈R) .（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度及此时l 的方程.命题分析 本题考查了直线与圆的位置关系，用几何法求弦长.答题要领 （1）确定直线l 过定点P ，且定点P 在圆内，则易得直线l 与圆C 相交.（2）当PC ⊥l 时，弦长最短，由此可计算出最短弦长和直线l 的方程.详细解析 （1）将直线l 的方程变形为m(2x +y −7)+x +y −4=0 ，由{2x +y −7=0,x +y −4=0,解得{x =3,y =1,所以直线l 恒过定点P(3,1) . ∵(3−1)2+(1−2)2＜25 ，∴ 点P 在圆内，∴ 无论m 取何值，直线l 与圆C 都相交.（2）设圆心C 到直线l 的距离为d ，直线l 被圆截得的弦长为L ，如图所示，当直线PC 与直线l 不垂直时，d ＜|PC| ；当PC ⊥l 时，d =|PC| ，所以d ≤|PC| ，即当PC ⊥l 时，d 取得最大值，d max =|PC|=√(3−1)2+(1−2)2=√5 . 易知直线PC 的斜率k PC =1−23−1=−12 ，又PC ⊥l ， 所以直线l 的斜率k =−1k PC =2 ，此时直线l 的方程为y −1=2(x −3) ，即2x −y −5=0 .直线l 被圆截得的弦长的最小值L min =2×√25−(√5)2=4√5 .解题感悟 利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程，解析几何的有关知识并结合图形分析.。
人教a版高中数学必修5配套课件：2.5.1等比数列的前、n项和
【变式与拓展】
1．(2013 年新课标Ⅰ)设首项为 1，公比为23的等比数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则( D ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
2．5 等比数列的前 n 项和
2．5.1 等比数列的前 n 项和
【学习目标】 1．掌握等比数列{ an}前 n 项和公式． 2．通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相 减法以及分类讨论的思想方法．
等比数列{ an}的前 n 项和
等比数列前 n 项和公式为___S_n＝__a_1_1_1－_－_q_q_n___ (q≠1)，
解：由题意，得
若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，a3＝2. 若 q≠1，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6. 解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时a3＝8.
综上所述，a3＝2，q＝1或a3＝8，q＝－2.
[方法·规律·小结] 1．用等比数列前 n 项和公式，应注意公比 q 是否等于 1. 2．用错位相减法不仅能推导等比数列求和公式，还可以在 其他特定类型的数列求和中应用．
在解决等差、等比数列的综合题时，重点在 于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及 前 n 项和公式是解决问题的关键．
【变式与拓展】 3．已知在等比数列{an}中，a1＝13，q＝13. (1)Sn 为数列{an}前 n 项的和，证明：Sn＝1－2an；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
题型 2}的各项均为正数，其前 n 项中，数 值最大的一项是 54，若该数列的前 n 项之和为 Sn，且 Sn＝80， S2n＝6560，求： (1)前 100 项之和 S100； (2)通项公式 an.
高中数学选择性必修一《2.5.1 第一课时 直线与圆的位置关系》课件
题型一 直线与圆位置关系的判断 [学透用活]
[典例 1] 求实数 m 的取值范围，使直线 x－my＋3＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
[解] 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线 x－my＋3＝0 的距离为 d＝ m62＋1，圆
)
A．0 或 2
B．2
C． 2
D．无解
解析：由圆心(0,0)到直线
x＋y＋m＝0
的距离为半径得|m|＝ 2
m，解得 m＝2.
答案：B
4．直线 y＝2x＋3 被圆 x2＋y2－6x－8y＝0 所截得方 程 可 化 为 (x － 3)2 ＋ (y － 4)2 ＝ 25. 故 圆 心 为 (3,4)，半径 r＝5.又直线方程为 2x－y＋3＝0，所以圆心到 直线的距离为 d＝|2×34－＋41＋3|＝ 5，所以弦长为 2 r2－d2 ＝2× 25－5＝4 5.
2．[变条件]若将本例中条件“与直线 y＝x＋2 平行”换为“过 点 P(5,1)”其他条件不变，结论又如何呢？
解：设所求切线方程为 y－1＝k(x－5)， 即 kx－y－5k＋1＝0. 由|2k－3k－2＋5k1＋1|＝2 2.得 k＝－6±2 10. 故所求切线方程为(－6＋2 10)x－y＋31－10 10＝0 或(－6 －2 10)x－y＋31＋10 10＝0.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝4 和直线 l：kx－y－4k＋3＝0，
(1)求证：不论 k 取何值，直线和圆总相交； (2)求当 k 取何值时，圆被直线 l 截得弦最短，并求最短弦长 的值.
2.5.1《等比数列的前n项和》说课稿
《等比数列前n项和》说课稿且末一中仇怀英本节课选自人民教育出版社2010版高中数学必修5第2章第5节第一课时．一、教材分析1、本节在教材中的地位和作用要上好一节课，就必须钻研教材．只有明确了本节内容在我们高中数学学习中的地位和作用，才能更好地指导我们的教学．等比数列前n项和是前面学习数列、等比数列的深化、延伸、扩展，又是函数、方程思想的特殊体现，等比数列前n项和公式的推导方法又将为以后方程和不等式等的学习打下基础．不难看出，这节内容学习的重要地位和作用．2、目标分析根据教学大纲的要求以及结合本节教材内容的地位、作用、特点等，考虑高一年级学生的认知水平，我确定了如下的三维目标：（1）知识目标：了解等比数列前n项和公式的推导过程；理解方程组法求解S的n思想；掌握等比数列前n项和S的表达式．n（2）能力目标：培养学生的创新能力、发现问题及解决问题的能力和抽象、概括的能力．（3）情感目标：培养学生的观察能力，使学生对数列的学习产生浓厚的兴趣，让他们主动融入学习．3、教学重点与难点为了实现以上三维目标，我确定本节课的重点和难点如下：重点：等比数列前n项和公式推导及应用．难点：等比数列前n项和公式推导方法的探究．二、教法和学法分析建构主义学习理论认为，学习是学习者主动建构新知识的过程，在教学中，老师不仅要传授知识给学生，还要成为他们学习活动的促进者、指导者；学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者、引导者．根据新课程标准理念，我设计了如下的教学法：教法：讲解法发现教学法讲练结合法学法：自主式学习合作式学习探究式学习三、教学过程根据教学内容的特点，我将本节课分为以下几个环节： 1 复习思考1）等比数列的定义．2）等比数列{}n a 的通项公式11-⋅=n n q a a ． 设计意图：复习旧知；为新知的讲解打下基础． 2 引例由成语“聚沙成塔”引出等比数列求前n 项和的问题．设计意图：设置引例的目的是引出课题，结合实例，培养学生对数学学习的兴趣和信心． 3、展示新知难点突破： n S 推导方法的探究． 为突破此难点，我采取了以下做法：1) 小组为单位，讨论探究．体现新课标理念，培养学生的合作精神． 2) 大胆猜测，探寻公式．培养学生仔细观察，积极思维及动手的能力． 3) 应用逻辑推理证明公式．进行推理论证，培养学生严谨的治学态度． 具体做法如下：首先，引导学生认识到：等差数列求n S 的根本思想是方程组思想，根本方法是消元法．消去的是132,,-n a a a ，解出的未知元是n S其次，学生小组讨论探究推导n S 的方法，即怎么构造方程组；小组成果展示，教师点评．设计意图：1) 使学生掌握看清事物本质的能力．2) 培养学生的概括能力．3) 学会类比思想．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，⎩⎨⎧++++=++++=-n n nnn n qa a a a qS a a a a S 32121 做差有：)1(11≠--=q qqa a S n n注意： )1(1==q na S n引导学生继续化简公式，可得到)1(1)1(1≠--=q qq a S n n设计意图：在讲解n S 推导过程时，我选择用板书上、下排列，并使用彩色粉笔，让学生能直观的感觉到求解n S 的过程就是解方程组的过程：消去的是132,,-n a a a ，解出的未知元是n S ． 公式剖析:在选用公式q q a a S n n --=11和qq a S n n --=1)1(1求等比数列前n 项和时应注意：1．方程的思想：知三求一. 2．公式的选取：依已知条件而定．设计目的：使学生熟练公式，会运用公式．例1 数列{}n a 为等比数列．首项为1，第n 项为28，公比为2．求前n 项和．例2 (情景2） 数列{}n a 为等比数列．首项为1，公比为21．求前n 项和． 变式训练：1．求等比数列1，2，4，．．．，从第5项到第10项的和． 2．已知等比数列{}n a 中，若 30,102010==S S ，求30S 4 练习练习１ 等比数列{}n a 中，前6项之和为50，公比为2，求首项．练习２ 等比数列{}n a 中，第2，5项分别为20，50，求第2项到5项的和． 例题和练习题的设计原则：1) 基础性; 2) 灵活性; 3) 思想性; 4) 难度的递进性． 设计目的：1 使学生能熟练运用公式，实现教学目标．掌握重点.2 将陈述性知识转化为程序性知识． 5 总结提炼（自我反思）１）引导学生归纳小结本节课所学内容．２）类比的思想，方程(组)的思想．设计意图：培养学生总结反思的良好习惯6 作业布置知识的掌握需要由浅到深，由易到难．作业布置主要根据由简到难的原则，先让学生学会熟悉选用公式，再进一步到公式的变形应用，巩固知识．1 复习2 必做题：习题2.5：1，2．．选做题：习题2.5：6．3 思考：等比数列{}n a的前n项和S n的最值怎么求？4 预习下节内容设计意图：培养学生的思维能力，拓展其知识面，加深学生对所学知识的深入理解，提高应变能力；正确的预习方式是提高学习效率的重要手段；老师应该帮助学生养成良好的预习习惯．五、板书设计板书设计的好坏直接影响这节课的效果．我的板书设计如下：差数列的前n项和等比数列的前n项和公式推导例１例１变式训练练习１练习１小结作业复习引入设计意图：板书层次分明，能让学生一目了然，助于理解知识．六、教学评价总之，本节课是在建构主义等先进教学理论指导下来设计的，相信通过本节课的学习，绝大部分学生能正确选取、运用等比数列前n项和的两个公式来解决相关问题．。
2020版人教A版高中数学必修四导练课件：2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的
错解二:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c.同 理由b·c=c·a得到a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形. 错解三:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,而b≠0,所以a=c.同理可得a=b.所以 a=b=c,故三角形ABC是等边三角形. 纠错:以上三种解法都犯了推理不严谨的错误.解法一中,只有在a,b同向共线时,才有 a·b=|a||b|成立;解法二错在“即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c”,这里由(ac)·b=0只能得出(a-c)⊥b,而不能得到a=c;解法三错在“a·b=b·c,而b≠0,所以 a=c”,向量具有方向,不能像数量那样,在进行计算时可以约分. 正解:因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知a+b+c=0,所以 b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就 是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以
[备用例 2] 已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(10,k),且 A,B,C 三点共
线,当 k<0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为
.
解析:因为 AB = OB - OA =(4-k,-7), BC = OC - OB =(6,k-5),且 AB ∥ BC , 所以(4-k)(k-5)+6×7=0,
第十二页，编辑于星期日：一点 十四分。
P( 2 λ, 2 λ),E(1, 2 λ),F( 2 λ,0),
2
2
2
【高中数学】直线和圆的位置关系说课课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
学情分析
新知应用，深化理解
教学目标
教学重难点
教学过程
深化 理解 逐步突破，总结出两种方法优劣
学目标
教学重难点
教学过程
教材分析
学情分析
课后作业，巩固提高
教学目标
1、书上未讲的例题自己做一遍 2、书上93页课后习题1、2、3
教学重难点
教学过程
➢ 能力层面：数学建模能力，分析概括能力。 ➢ 认知障碍：对于把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍
然似懂非懂，因此，应不断强化。
教材分析
学情分析
教学目标
教学重难点
教学过程
（1）理解直线与圆的位置的种类；会用代数法和几何法探讨直线与圆的位置关系，并引导得出结论 会利用结论判断直线与圆的位置关系结合；代数法和几何法探索直线和圆相交时的弦长问题以及坐标 问题，并根据此理解几何法和代数法在解决不同问题的优劣.
（2）从实际问题出发,抽象出直线与圆的位置关系，并会利用直线与圆的位置关系解决相关问题,通过 观察图形，明确数与形的统一性和关联性，感受用数学的意识，体验建模思想；通过全程参与知识的 建构过程，进一步体会“数形结合”、“等价转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法.
（3）通过将生活问题数学化，激发同学的兴趣；将数学问题代数化这一过程,让学生感受数学来源于 生活,并体会数学在实际生活中的有用价值 ；在整个学习过程中培养学生积极探索、发现新知、总结 规律的能力.
教学过程
教材分析
学情分析
创设情境，引入新课
教学目标
教学重难点
教学过程
问题：一艘轮船在沿直线返回港口
的途中，接到气象台的台风预报：
台风中心位于轮船正西80km处，受 影响的范围是半径长为30km的圆形 区域.已知港口位于台风中心的正 北40km处。如果轮船不改变航线， 那么它是否会受到台风影响？
人教版高中数学选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系
人A数学选择性必修1
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∵直线 l 与圆 C 相切， ∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，解得 k＝152. ∴直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0. 若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求． 综上，直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
D.0，π3
人A数学选择性必修1
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解析：由题知，直线 l 斜率一定存在，设直线 l 方程为 y＋1＝k(x＋ 3)，
即 kx－y＋ 3k－1＝0，
圆心到直线 l 的距离 d＝|
3k－1| k2＋1 .
∵直线与圆有公共点，
∴d≤r，即| 3kk2＋－11|≤1，
解得 0≤k≤ 3，即 0≤tan α≤ 3，
人A数学选择性必修1
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4．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＋2ay＋a2－2＝0有公共点，则实 数a的取值范围是__[_－__3_,1_]___．
解析：圆 C：x2＋y2＋2ay＋a2－2＝0，即圆 C：x2＋(y＋a)2＝2.根据题 意，圆心 C(0，－a)到直线 x－y＋1＝0 的距离 d＝|0＋a2＋1|≤ 2，故|a ＋1|≤2，所以 a∈[－3,1]． 故实数 a 的取值范围为[－3,1]．
A．相交Bຫໍສະໝຸດ 相切C．相离D．无法确定
解析：圆心(0,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离d＝1，∴d＝r，∴相
切．
人A数学选择性必修1
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2．过点 P(－ 3，－1)的直线 l 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则直线 l 的倾
斜角的取值范围是( D )
高中数学新教材选择性必修第一册第二章《2.5直线与圆的综合》全部课件
反思与感悟
解析答案
解 方法一 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，
所以直线l的斜率存在，
设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.
如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，
|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半， 在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝12|AB|＝12×4 5＝2 5.
(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可 能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法 (1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定 理可求出弦长，这是常用解法. (2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用 根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点 间的距离公式求解，此法是通法.
＝ 1＋1· 12＋4·72
＝ 30.
解析答案
方法三 (几何法)
由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心
O(0,0)到直线
l
的距离是
|－1| d＝ 2 ＝
22，
则有|AB|＝2 r2－d2＝2 8－21＝ 30.
答案 30
(2) 圆心为C(2 ，－1) ，截直线 y＝x－1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 __(_x－__2_)_2_＋__(y_＋__1_)_2_＝__4______. 解析 设圆的半径为r，由条件，得
解析答案
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.
解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)， 又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短， ∵kOP＝－2， ∴kl＝12， ∴直线 l：y－2＝12(x＋1)， 即x－2y＋5＝0. 设直线l与圆交于A、B两点， |AB|＝2 r2－|OP|2＝2 8－5＝2 3. ∴直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0，弦长为 2 3.
高中数学选择性必修一(人教版)《2.5.1 第二课时 直线与圆位置关系的应用》课件
题型三 与圆有关的最值问题 [学透用活]
[典例 3] 已知实数 x, y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求xy的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆．
(1)xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设xy＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此 时|2kk2－＋01|＝ 3，解得k＝± 3(如图1)． 所以xy的最大值为 3，最小值为－ 3.
即 S＝2 PM 2－4.
因此要求 S 的最小值，只需求 PM 的最小值即可， 即在直线 3x＋4y＋8＝0 上找一点 P，使得 PM 的值最小． 所以(PM)min＝|3＋45＋8|＝3， 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 2 PM2－4＝2 5.
谢 谢观看
(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y
＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时
|2－0＋b|＝ 2
3，解得 b＝－2± 6(如图 2)．
所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
[方法技巧] 与圆有关的最值问题的常见解法
(1)形如 μ＝xy－－ba形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最 值问题．
[方法技巧] 解决直线与圆的实际应用题的关键
利用直线与圆的有关知识解决实际问题的关键是把它转化 为数学问题，通过建立平面直角坐标系求圆的方程，进而使问 题得以解决．
题型二 用坐标法证明问题 [学透用活]
[典例 2] 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且 AB⊥CD，E 为垂足．利用坐 标法证明 E 是 CD 的中点．
2.5.1 椭圆的标准方程 第1课时(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
| PF1 | | PF2 | 2a (2a 2c 0)
y P
x F1 O F2
y
P F2 x O F1
方程
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a b 0)
焦点
F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c)
a,b,c之间的关系
a2=b2+c2
(x 4)2 y2 (x 4)2 y2 8 x
②
5
学习目标
新课讲授
课堂总结
化简并检验：
①+②整理得： (x 4)2 y2 5 4 x ，
③
5
将方程③平方，再整理得：
x2 y2 1
④
25 9
当x=0时，由①可知 2 42 y2 10，即y2=9 ，此时方程④也成立.
学习目标
2
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题： 1.动点P的轨迹为椭圆需要满足什么条件？ 2.椭圆的标准方程如何表示？
整理得
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2c x ⑥
a
学习目标
新课讲授
课堂总结
化简并检验：
⑤+⑥整理得： (x c)2 y2 a c x ， ⑦
a
将方程⑦平方，再整理得：
a2 c2 a2
x2
y2
a2
c2
⑧
当x=0时，由⑤可知 2 c2 y2 2a ，即 y2 a2 c2，此时方程⑧也成立.
椭圆上的点的特征：任意一点到椭圆的两个 焦点的距离之和都等于“绳长”.
问题1：通过刚才作椭圆的方法验证了椭圆定义中的P点一定存在而且有无数 多个，那么，在数学上能不能证明这一点呢？
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第二章 平面解析几何 2.5.1 椭圆的标准方程
,即△PF
.
1F2 的面积是
2
2
2
规律方法
1.椭圆上一点P(不与焦点共线)与椭圆的两个焦点F1,F2构成的
△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭
圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.
2.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-
1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是( D )
x2
A.36
y2
+ 35 =1
y2
B.36
x2
+ 35 =1
x2
C.36 +y2=1
x2
D.
36
y2
+ =1
35
y2
或
36
+
x2
=1
35
2.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( C )
A.(± 5,0)
B.(0,± 5)
5
C.(± ,0)
6
D. ±
5
,0
14
.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
椭圆定义的理解
【例1】 如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的
内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解 设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离
之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第2章 平面解析几何 2.5.1 椭圆的标准方程
故|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|PF1|2+|PF2|2|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=102-3|PF1||PF2|=52,所以
|PF1|·|PF2|=25.所以△ =
1
2
1
|PF1||PF2|sin
2
1
3
故设椭圆的标准方程为
2
2
+
2
=1(a>b>0).
2
∵椭圆经过点 A(- 15,0),B(0, 5),
15
5
∴ 2 =1, 2 =1,∴a2=15,b2=5.
2
故椭圆的标准方程为15
+
2
=1.
5
将例 2(2)变为:求经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)的椭圆的标准方程.
解:设椭圆的标准方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n),
3.下列说法正确的是(
)
A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是
椭圆
B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是
椭圆
C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离
(2)经过点 A(- 15,0),B(0, 5).
解:(1)由题意可知,椭圆的焦点在 x 轴上,故设椭圆的标准方程为
2
2
+
2
=1(a>b>0).
2
人教版(B版2019课标)高中数学选择性必修一2.5.1椭圆的标准方程 学案
椭圆的标准方程【学习目标】1．通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养．2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．【学习重难点】1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．（重点）2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．（重点）3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．（难点）【学习过程】一、新知初探1．椭圆的定义（1）定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆．（2）相关概念：两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．2（a＞b＞0）（a＞b＞0）二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（ ）（2）椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是（±3,0）．（ ）（3）y 2a 2＋x 2b 2＝1（a ≠b ）表示焦点在y 轴上的椭圆．（ ）2．以下方程表示椭圆的是（ ）A ．x 2＋y 2＝1B ．2x 2＋3y 2＝6C ．x 2－y 2＝1D ．2x 2－3y 2＝63．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点（0,2）的椭圆的标准方程是（ ）A ．x 25＋y 24＝1B ．x 23＋y 24＝1C ．x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1D ．x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝14．椭圆x 29＋y 24＝1的左、右焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝_________．三、合作探究类型1：求椭圆的标准方程【例1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．（1）两个焦点坐标分别是（0,5）、（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26．（2）经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上． （3）过（－3,2）且与x 29＋y 24＝1有相同的焦点．类型2：椭圆的定义及其应用【例2】设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．类型3：与椭圆有关的轨迹问题【例3】如图，圆C ：（x ＋1）2＋y 2＝25及点A （1,0），Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，求点M 的轨迹方程．【学习小结】1.平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ⎩⎨⎧ 2a ＞|F 1F 2|，轨迹为椭圆2a ＝|F 1F 2|，线段F 1F 22a ＜|F 1F 2|，不存在．2.求椭圆的方程，可以利用定义求出参数a ，b ，c 其中的两个量；也可以用待定系数法构造三者之间的关系，但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．3.当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），因为它包括焦点在x 轴上（m ＜n ）或焦点在y 轴上（m ＞n ）两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．【精炼反馈】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．到两定点F 1（－2,0）和F 2（2,0）的距离之和为4的点的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．圆D ．以上都不对3．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为_________．4．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长是_________．5．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a >b >0）的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程是_________．。
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规律技巧 : 在比较Sn与125的大小时,由于n未知, 4 x 可能无从下手, 应考虑指数函数y = ( ) , 5 x > 0, y < 1而求解.
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变式训练3 : 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行 生态环境建设, 并以此发展旅游业, 根据计划, 本年度投入 1 800万元,以后每年投入将比上年减少 , 5 本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对 旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比 1 上年增加 . 4
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变式训练1:在等比数列 变式训练 在等比数列{an}中, 在等比数列 中 (1)已知 已知q=2,S4=1,求S8; 已知 求 (2)a3=-12,S3=-9, 求公比 求公比q.
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a1 (1 − q 4 ) a1 (1 − 24 ) 解 : (1) S4 = = = 15a1 = 1, 1− q 1− 2 1 ∴ a1 = , 15 1 (1 − 28) 8 a1 (1 − q ) 15 ∴ S8 = = = 17. 1− q 1− 2
年内(本年度为第一年 总投入为a 设n年内 本年度为第一年 总投入为 n万元 旅游业总收入 年内 本年度为第一年)总投入为 万元,旅游业总收入 万元,写出 写出a 的表达式. 为bn万元 写出 n,bn的表达式
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2.错位相减法 错位相减法 (1)课本上推导等比数列前 项和的方法 即错位相减法 解决 课本上推导等比数列前n项和的方法 即错位相减法,解决 课本上推导等比数列前 项和的方法,即错位相减法 的主要求和问题是:由等差数列与等比数列的对应项乘积 的主要求和问题是 由等差数列与等比数列的对应项乘积 构成的新数列求和问题,解此类问题仍需注意公比 是否为 构成的新数列求和问题 解此类问题仍需注意公比q是否为 解此类问题仍需注意公比 1. (2)有些数列求和可先用分组､拆项等方法,转化成每组均可用 有些数列求和可先用分组､拆项等方法 转化成每组均可用 有些数列求和可先用分组 公式或错位相减法求和的形式求解. 公式或错位相减法求和的形式求解
等比数列的前n项和 §2.5 等比数列的前 项和 等比数列的前n项和 第一课时 等比数列的前 项和
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自学导引
(学生用书 47) 学生用书P 学生用书
1.理解并掌握等比数列前 项和公式及其推导过程. 理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程 理解并掌握等比数列前 项和公式及其推导过程 2.能够应用前 项和公式解决等比数列有关问题 能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题 能够应用前 项和公式解决等比数列有关问题.
时,Sn=____________=____________.当q=1 当 na1 时,S =____________.
n
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名师讲解
(学生用书 47) 学生用书P 学生用书
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1.前n项和公式及应用 前 项和公式及应用 (1)在等比数列中的五个量 n,n,a1,q,an中,由前 项和公式结 在等比数列中的五个量S 由前n项和公式结 在等比数列中的五个量 由前 合通项公式,知道三个量便可求其余的两个量 同时还可利 合通项公式 知道三个量便可求其余的两个量,同时还可利 知道三个量便可求其余的两个量 用前n项和公式解与之有关的实际问题 用前 项和公式解与之有关的实际问题. 项和公式解与之有关的实际问题 (2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用 在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用, 在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用 同时要注意在使用等比数列前n项和公式时 务必考虑公比 同时要注意在使用等比数列前 项和公式时,务必考虑公比 项和公式时 q是否等于 从而选择恰当的公式求解 特别是公比是字母 是否等于1,从而选择恰当的公式求解 是否等于 从而选择恰当的公式求解,特别是公比是字母 要讨论. 时,要讨论 要讨论
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1 1 1 1 ( 2 )由(1) 知 − 1 = ⋅ n−1 = n , an 2 2 2 1 1 n n 即 = n + 1,∴ = n + n. an 2 an 2 n 1 2 3 设Tn = + 2 + 3 + L + n ① 2 2 2 2 1 1 2 n −1 n 则 Tn = 2 + 3 + L + n + n +1 ② 2 2 2 2 2
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1 2 3 n 变式训练2 : 求和Sn = + 2 + 3 + L + n . a a a a 解 : 分a = 1和a ≠ 1两种情况. n(n + 1) . 当a = 1时,Sn = 1 + 2 + 3 +…+ n = 2 n 1 2 3 1 当a ≠ 1时,Sn = + 2 + 3 +…+ n , 上式两边同乘以 , a a a a a 1 1 2 n −1 n 得 Sn = 2 + 3 +…+ n + n +1 , a a a a a 1 1 1 1 n 两式相减, 得(1 − )Sn = + 2 +… + n − n +1 , a a a a a a (a n − 1) − n(a − 1) 即Sn = . n 2 a (a − 1)
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2an 1 1 1 规律技巧 : (1)由a n +1 = 变形为 − 1 = − 1 an + 1 an +1 2 an 是关键的一步, 这直接影响到问题的解决.
( 2 ) 对于由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的
新数列求前n项和, 可用 错位相减法 .
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规律技巧:在等比数列 的五个基本量a 规律技巧 在等比数列{an}的五个基本量 1,q,an,n,Sn中,a1与q 在等比数列 的五个基本量 是最基本的元素,在条件与结论间的联系不明显时 均可以 是最基本的元素 在条件与结论间的联系不明显时,均可以 在条件与结论间的联系不明显时 列方程组求解. 列方程组求解
第14页 共 50 页
(2)由a 3 = −12,S3 = −9, 得 a1q2 = −12① ② 1 + q + q2 3 , 得 = , 2 2 q 4 a1 (1 + q + q ) = −9② ① 即q 2 + 4q + 4 = 0,∴ q = −2.
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题型二 错位相减法求数列的和
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解 : 用a n 表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意, 4 得a n +1 = a n ,因此, 5 4 数列{a n } 是首项a1 = 25, 公比q = 的等比数列. 5 热气球在前n分钟内上升的总高度 Sn = a1 + a 2 +…+ a n + …+ 4 n 25[1 − ( ) ] a1 (1 − q n ) 5 = = 4 1− q 1− 5 4 = 125 × [1 − ( ) n ] < 125. 5 这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 答:这个热气球上升的高度不可能超过 这个热气球上升的高度不可能超过
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解 :由已知S6 ≠ 2S3 , 则q ≠ 1. 7 63 又S3 = , S6 = , 2 2 a1 (1 − q 3 ) 7 = ,① 2 1− q ∴ a1 (1 − q 6 ) 63 = ,② 1− q 2 ② ÷ ①得1 + q 3 = 9,∴ q = 2. 1 将q = 2代入①, 可得a1 = , 2 ∴ a n = a1q n −1 = 2n − 2 .
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n(n + 1) , a = 1, 2 综上, 得Sn = a (a n − 1) − n(a − 1) , a ≠ 1. n 2 a (a − 1)
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等比数列前n项和公式的应用 题型三 等比数列前 项和公式的应用 例3:一个热气球在第一分钟上升了 m的高度 在以后的每 一个热气球在第一分钟上升了25 的高度,在以后的每 一个热气球在第一分钟上升了 的高度 一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 一分钟里 它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%.这个热气球上升的高度能超过 这个热气球上升的高度能超过125 m吗? 这个热气球上升的高度能超过 吗 分析:通过仔细审题 抓住“在以后每一分钟里 它上升的高度 分析 通过仔细审题,抓住 在以后每一分钟里,它上升的高度 通过仔细审题 抓住“ 都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题眼”,从 ”这一“题眼” 从 都是它在前一分钟里上升高度的 而构造出等比数列模型——热气球在每分钟里上升的高度 而构造出等比数列模型——热气球在每分钟里上升的高度 —— 组成一个等比数列,于是热气球上升的总高度便是该等比 组成一个等比数列 于是热气球上升的总高度便是该等比 数列的前n项和 利用公式即可. 数列的前 项和,利用公式即可 项和 利用公式即可
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典例剖析
(学生用书 47) 学生用书P 学生用书
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题型一基本运算 7 63 例1: 在等比数列{a n }中,S3 = , S6 = , 求a n . 2 2
分析:本题已知等比数列的前 项和前 项的和,求通 分析 本题已知等比数列的前3项和前 项的和 求通 本题已知等比数列的前 项和前6项的和 可利用等比数列前n项和公式 列方程组求解. 项an,可利用等比数列前 项和公式 列方程组求解 可利用等比数列前 项和公式,列方程组求解