完整版矩形与菱形性质及判定练习题含答案

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九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习含答案解析

《1.2 矩形的性质与判定》一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．44．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．125．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.27．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED 的面积（）A．2 B．4 C．4 D．810．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．15．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．16．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 度．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．三、解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．23．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．24．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．25．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q 两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．26．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．《1.2 矩形的性质与判定》参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案．注意矩形与菱形都是平行四边形．【解答】解：∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．【点评】此题考查了矩形与菱形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【考点】矩形的判定与性质．【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．4【考点】矩形的性质．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答．【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OA=AC=2．故选A．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD ，可得BC=AD ，又∵BE=BC ﹣EC ，∴BE=AD ﹣DF ，故（D ）正确；故选B ．【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于30°，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．6．如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB 、BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.2【考点】矩形的性质．【分析】首先连接OP ，由矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD 的面积，然后由S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA •PE+OD •PF 求得答案．【解答】解：连接OP ，∵矩形的两条边AB 、BC 的长分别为6和8，∴S 矩形ABCD =AB •BC=48，OA=OC ，OB=OD ，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S △ACD =S 矩形ABCD =24，∴S △AOD =S △ACD =12，∵S △AOD =S △AOP +S △DOP =OA •PE+OD •PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF ）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】矩形的性质；平行线的性质．【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED 的面积（）A．2 B．4 C．4 D．8【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．【解答】解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2，DE=2，∴OE=2，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，=OE•DC=×2×2=2．则S菱形ODEC故选A【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵AB=AH，∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=67.5°=∠AED，∴OE=OH，∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DHO=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD===3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 22.5 度．【考点】矩形的性质．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB=AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．【解答】解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．15．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= 2 ．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，∵角线AC与BD相交于点O，AO=1，∴AO=CO=BO=DO=1，∴BD=2．故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．16．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，∴∠EB′C=90°，∵BC=3BE，∴EC=2BE=2B′E，∴∠ACB=30°，在Rt△ABC中，AC=2AB，∴AB=AC=×2=，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 15 度．【考点】矩形的性质．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【解答】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB===5，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=AB•CM=BC•AC，∴CM的最小值==，∴线段DE的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．三、解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【考点】矩形的性质；作图—基本作图．【专题】矩形菱形正方形．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的全等；矩形菱形正方形．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF=CD．【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．【考点】矩形的性质．【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．23．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．24．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME（ASA），∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，（8﹣x）2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．25．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q 两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．26．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质．【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；（2）AC=BD．理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．。

矩形菱形的性质与判定(附加答案)

矩形菱形的性质与判定（附加答案）一．解答题（共30小题） 1．（2012•娄底）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点．（1）求证：△MBA ≌△NDC ；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．2．（2010•泰州）如图，四边形ABCD 是矩形，∠EDC=∠CAB ，∠DEC=90°．（1）求证：AC ∥DE ；（2）过点B 作BF ⊥AC 于点F ，连接EF ，试判别四边形BCEF 的形状，并说明理由．3．（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若∠BOC=120°，AB=4cm ，求四边形ABCD 的面积．4．（2010•常州）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．5．（2008•南京）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE=CF ，AF=DE ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．6．（2010•崇左）如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 上的点，且AE=BF=CG=DH ．（1）求证：四边形EFGH 是矩形；（2）若E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，且DG ⊥AC ，OF=2cm ，求矩形ABCD 的面积．7．如图所示，BD ，BE 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线．AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E ，D 为垂足，求证：四边形AEBD 是矩形．8．如图，O 为△ABC 内一点，把AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接形成四边形DEFG ．（1）四边形DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG 是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．9．如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE=CG ，AH=CF ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如果AB=AD ，且AH=AE ，求证：四边形EFGH 是矩形．10．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAD ，F 为BA 延长线上的一点，AE 平分∠FAC ，DE ∥AB 交AE 于E ．（1）求证：AE ∥BC（2）求证：四边形AECD 是矩形；（3）BC=6cm ，，求AB 的长．11．（2012•西藏）如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F ．求证：AE=AF ．12．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC 的长；（2）求证：AM=DF+ME ．13．（2012•嘉兴）如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE ．（1）求证：BD=EC ；（2）若∠E=50°，求∠BAO 的大小．14．（2012•温州）如图，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．将△ABC 沿射线BC 方向平移10cm ，得到△DEF ，A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，连接AD ．求证：四边形ACFD 是菱形．15．（2012•聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．16．（2012•恩施州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．17．（2011•宁波）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．18．（2011•临沂）如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．19．（2011•济宁）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．20．（2011•恩施州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．21．（2011•常州）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．22．（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．23．（2010•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D为AC的中点，以BD为折痕，将△BCD折叠，使得C点到达C1点的位置，连接AC1．求证：四边形ABDC1是菱形．24．（2010•徐州）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．25．（2010•温州）如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．26．（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_________．27．（2002•广西）如图所示，DE是▱ABCD的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F．（1）求证：四边形AEFD是菱形；（2）如果∠A=60°，AD=5，求菱形AEFD的面积．28．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，求证：OE⊥DC．29．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，若AB=5，AC=8，BD=6．（1）求证：AC⊥BD．（2）求证：平行四边形ABCD是菱形．（3）四边形ABCD的面积．30．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG．（1）求证：四边形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，在△MAB和△NDC中，∵，∴△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是菱形．理由如下：连接AN，易证：△ABN≌△BAM，∴AN=BM，∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，∵P、Q分别是BM、DN 的中点，∴PM=NQ，∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，∴△MQD≌△NPB．∴四边形MPNQ是平行四边形，∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，∴MP=BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∵∠EDC=∠CAB ，∴∠EDC=∠ACD，∴AC∥DE；（2）解：四边形BCEF是平行四边形．理由如下：∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，∴∠DEC=∠AFB=90°，DC=AB在△CDE和△BAF中，，∴△CDE≌△BAF（AAS），∴CE=BF，DE=AF（全等三角形的对应边相等），∵AC∥DE，即DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，∵CE=BF，∴四边形BCEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．3．（1）证明：∵∠1=∠2，∴BO=CO，即2BO=2CO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=OD，∴AC=2CO，BD=2BO，∴AC=BD ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：在△BOC 中，∵∠BOC=120°， ∴∠1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°， ∴在Rt △ABC 中，AC=2AB=2×4=8（cm ）， ∴BC=（cm ）． ∴四边形ABCD 的面积=4．证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BC ，AB=DE ，AE=BD ． ∵D 为BC 中点， ∴CD=BD ． ∴CD ∥AE ，CD=AE ． ∴四边形ADCE 是平行四边形． ∵AB=AC ，D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ，即∠ADC=90°， ∴平行四边形ADCE 是矩形．5．证明：（1）∵BE=CF ，BF=BE+EF ，CE=CF+EF ， ∴BF=CE ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC ．在△ABF 和△DCE 中，∵AB=DC ，BF=CE ，AF=DE ， ∴△ABF ≌△DCE ．（2）∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠B=∠C ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ． ∴∠B+∠C=180°． ∴∠B=∠C=90°． ∴四边形ABCD 是矩形．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA=0B=OC=OD ， ∵AE=BF=CG=DH ， ∴AO ﹣AE=OB ﹣BF=CO ﹣CG=DO ﹣DH ，即：OE=OF=OG=OH ， ∴四边形EFGH 是矩形；（2）解：∵G 是OC 的中点， ∴GO=GC ， ∵DG ⊥AC ， ∴∠DGO=∠DGC=90°，又∵DG=DG ， ∴△DGC ≌△DGO ， ∴CD=OD ， ∵F 是BO 中点，OF=2cm ， ∴BO=4cm ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴DO=BO=4cm ， ∴DC=4cm ，DB=8cm ， ∴CB==4， ∴矩形ABCD 的面积=4×4=16cm 2．7．证明：∵BD ，BE 分别是∠ABC ，∠ABP 的平分线， ∴∠ABD+∠ABE=（∠ABC+∠ABP ）=90°．即∠EBD=90°．又∵AE ⊥BE ，AD ⊥BD ， ∴∠AEB=∠ADB=90°， ∴四边形AEBD 是矩形．8．解：（1）四边形DEFG 是平行四边形．理由如下： ∵D 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵四边形DEFG是矩形，∴DE⊥EF，∴OA⊥EF，∴OA⊥BC，即O点在BC边的高上且A和垂足除外．9．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．（2分）∴EH=GF．（1分）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）∴GH=EF．（1分）∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°﹣α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．（1分）∴∠DHG=∠DGH=．（1分）∴∠EHG=180°﹣∠DHG﹣∠AHE=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）解法二：连接BD，AC．∵AH=AE，AD=AB，∴，∴HE∥BD，（1分）同理可证，GH∥AC，（1分）∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，（1分）∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．（1分）又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．（1分）10．解：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AE平分∠FAC，∴∠EAD=90°，∴AE∥BC；（2）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是矩形；（3）∵BC=6cm，∴CD=3cm ， ∵，∴AD=4， ∴AB=AC==5，∴AB 的长是5cm ．11．证明：方法一：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD ，∠ABC=∠ADC ， ∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠ADC ，即∠ABE=∠ADF ， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴∠AEB=∠AFD=90°，在△ABE 和△ADF 中，，∴△ABE ≌△ADF （AAS ）， ∴AE=AF ．方法二：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC=CD ， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ， ∴菱形ABCD 的面积=BC •AE=CD •AF ， ∴AE=AF ． 12．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ， ∴∠1=∠ACD ， ∵∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2， ∴MC=MD ， ∵ME ⊥CD ， ∴CD=2CE ， ∵CE=1， ∴CD=2， ∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF=CF=BC ，∴CF=CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ， ∴∠ACB=∠ACD ，在△CEM 和△CFM 中， ∵，∴△CEM ≌△CFM （SAS ），∴ME=MF ，延长AB 交DF 的延长线于点G ， ∵AB ∥CD ， ∴∠G=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠G ， ∴AM=MG ，在△CDF 和△BGF 中， ∵，∴△CDF ≌△BGF （AAS ）， ∴GF=DF ，由图形可知，GM=GF+MF ， ∴AM=DF+ME ．13．（1）证明：∵菱形ABCD ， ∴AB=CD ，AB ∥CD ，又∵BE=AB ，∴BE=CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°．14．证明：由平移变换的性质得：CF=AD=10cm，DF=AC，∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC===10，∴AC=DF=AD=CF=10cm，∴四边形ACFD是菱形．15．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．16．证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC，∴AE=AF，∴平行四边形AEDF是菱形．17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=AB，DF=CD．∴BE=DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴DE=BE，∵四边形DFBE是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．18．证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠DAC=∠FAC，∵∠B+∠BCA=∠FAC，∴∠B=∠FAC，∴∠B=∠FAD，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；（2）∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB（AAS），∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形20证明：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，∴∠AFC=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∵∠ACF+∠PCA=90°，∴∠PCA=∠CAF，∴PC∥AQ，同理：AP∥QC，∴四边形APCQ是平行四边形．∵AF∥CP，AE∥CQ，∴∠EPC=∠PAF=∠FQC，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴CE=BE=CB（等腰三角三线合一），∵AF是CD边上的中线，∴CF=CD，∵CB=DC，∴CE=CF，∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°，∴∠PCE=∠QCF，∴△PEC≌△QFC（AAS），∴PC=QC，∴四边形APCQ是菱形．．21．证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=AB，DE=AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD （ASA ），∴BE=BC，∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）22．（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠FEA=∠CAE ，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA．在△AEC和△EAF中，∵∴△AEC≌△EAF（AAS），∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=AB，∵DE垂直平分BC，∴∠BDE=90°∴∠BDE=∠ACB∴ED∥AC又∵BD=DC∴DE是△ABC的中位线，∴E是AB的中点，∴BE=CE=AE，又∵AE=CE，∴AE=CE=AB，又∵AC=AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．23．证明：∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠C=30°∴BA=AC．又∵BD是斜边AC的中线，∴BD=AD=AC=CD．∴BD=AB=CD，∴∠C=∠DBC=30°，∵将△BCD沿BD折叠得△BC1D，∴△CBD≌△C1BD，∴CD=DC1，∴AB=BD=DC1，∴∠C1BA=∠BC1D=30°，∴BA∥DC1，DC1=AB，∴四边形ABDC1为平行四边形，又∵AB=BD，∴平行四边形ABDC1为菱形．24．证明：（1）∵CE∥BF，∴∠ECD=∠FBD，∠DEC=∠DFB；又∵D是BC的中点，即BD=DC，∴△BDF≌△EDC；（AAS）（2）∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；又∵BD=DC，∴AD⊥BC（三线合一），由（1）知：△BDF≌△EDC，则DE=DF，DB=DC；∴四边形BFCE是菱形（对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形）．25．证明：（1）在▱ABCD 中，BC∥AF ，∴∠1=∠F，∵BE=BP，∴∠E=∠1，∴∠E=∠F；（2）∵BD∥EF，∴∠2=∠E，∠3=∠F，∵∠E=∠F，∴∠2=∠3，∴AB=AD，∴▱ABCD是菱形．26．（1）证明：∵矩形ABCD，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OD，∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∴四边形AODE是菱形．（2）解：∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴平行四边形AODE是矩形．故答案为：矩形．27．（1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形DAEF是平行四边形．∵∠2=∠AED，∠1=∠2，∴∠AED=∠1．∴AD=AE．∴四边形AEFD是菱形．（2）解：∵∠A=60°，∴△AED为等边三角形．∴DE=5，连接AF 与DE相交于O，则EO=．∴OA==．∴AF=5．∴S菱形AEFD=AF•DE=．28．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵ABCD是矩形，∴OC=OD．∴四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD．29．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC，BO=BD，∵AC=8，BD=6，∴AO=4，BO=3，∵32+42=52，∴AO2+BO2=AB2，∴∠AOB=90°，（2）∵CA⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）四边形ABCD的面积为：AC•BD=×8×6=24．30．（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，∴∠CFD=90°．∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°．在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，∴Rt△AEC≌Rt△DFC．∴CE=CF．∴DE=AF．而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，∴Rt△AFG≌Rt△DEG．∴GF=GE；（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，∴CE=AC=CD，∴CE=ED ．∴BC=BD=1．又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，∴BE=BC=BD=，在直角三角形ABC中，∠A=30°，则AB=2BC=2．则AE=AB﹣BE=，∵Rt△AEC≌Rt△DFC，∴DF=AE=．。

矩形菱形的性质及判定专项练习

矩形，菱形的性质及判定专项练习）在下列命题中，真命题是（ 1. Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形面积为24cm, 那么这个菱形的周长为______________, 已知菱形的两条对角线长为2.10cm和A_______________. B那度角, 的长方形纸条叠放在一起3.将两张长10cm宽3cm, 使之成60M________________. 么重叠部分的面积的最大值为NO那么两条对角线长度之和为40, 80, 周长为4.一个菱形面积为__________. DC___________. 那么这个特殊四边形是得到一个菱形. 5.顺次连接一个特殊四边形的中点,：BE=1，BC，CE⊥BDOE：，6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点OOF⊥AD BD 的长。

OF=4，求∠ADB的度数和3，EOBC F，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。

是MBC的中点，且MA⊥MD如图所示，矩形7.ABCD中，，，如图，若AB=2重合，得折痕，再折叠使折叠矩形纸片8.ABCD，先折出折痕BDAD边与对角线BDDG 。

BC=1，求AG DCEBAG，，FEABCD如图，9.已知：平行四边形的四个内角的平分线分别相交于点G，EFGH，求证：四边形是矩形。

H页6 共页1 第，矩上一点，，且上一点，10.如图，在矩形中，是是cm2EF?CE,DE?CEABCD?EFEABADF与的长．形的周长为，求CF16cmABCDAE平移后的三角形，其平移的方（1），画出△AOB如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，11.外还有哪（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长。

一种特殊的平行四边形？并给出证明。

CEF°，求∠CD和上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15ABCD12.如图所示，已知菱形中，E、F分别在BC 的度数。

矩形菱形测试题及答案

矩形菱形测试题及答案一、选择题1. 下列哪个图形是矩形？A. 四边形B. 菱形C. 平行四边形D. 矩形答案：D2. 菱形的对角线具有什么性质？A. 相等B. 平行C. 垂直D. 垂直且平分答案：D3. 如果一个平行四边形的对角线互相垂直，则该平行四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形答案：B二、填空题4. 矩形的四个角都是_________。

答案：直角5. 菱形的四条边都_________。

答案：相等6. 如果一个平行四边形的一组对边相等，则该平行四边形是_________。

答案：矩形三、判断题7. 矩形的对角线相等。

（）答案：正确8. 菱形的对角线不一定垂直。

（）答案：错误9. 平行四边形的对角线互相平分。

（）答案：正确四、简答题10. 请简述矩形和菱形的共同点。

答案：矩形和菱形都是平行四边形，它们的对边都相等且平行。

11. 矩形和菱形的区别是什么？答案：矩形的四个角都是直角，而菱形的角不一定是直角；矩形的对角线相等且互相平分，而菱形的对角线垂直且互相平分。

五、计算题12. 已知一个矩形的长为10厘米，宽为5厘米，求其面积。

答案：矩形的面积 = 长× 宽 = 10厘米× 5厘米 = 50平方厘米。

13. 若菱形的一条对角线长为8厘米，另一条对角线长为6厘米，求菱形的面积。

答案：菱形的面积= 1/2 × 对角线1 × 对角线2 = 1/2 × 8厘米× 6厘米 = 24平方厘米。

六、解答题14. 如何证明一个四边形是矩形？答案：要证明一个四边形是矩形，需要证明以下条件之一：- 四边形的对角线相等且互相平分。

- 四边形的四个角都是直角。

- 四边形的对边相等且平行。

15. 证明菱形的对角线互相垂直。

答案：设菱形ABCD，对角线AC和BD相交于O点。

由于菱形的对边相等，所以AB=BC，AD=DC。

根据平行四边形的性质，OA=OC且OB=OD。

4.3~4.4矩形,菱形的性质及判定练习

4.3~4.4矩形，菱形的性质及判定练习1．菱形、矩形的有关概念矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.温馨提醒：（1）矩形、菱形具有平行四边形的一切性质；（2）依据矩形的性质，得出直角三角形具有的性质斜边上的中线等于斜边的一半；（3）矩形、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；3．菱形、矩形的判定矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形.②有三个角是直角的四边形是矩形.③对角线相等的平行四边形是矩形.菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；温馨提示：（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再找一个角为直角或对角线相等。

很多同学容易忽视这个问题。

（2）在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。

（3）两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件；对角线相互垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件。

5．面积、角度、线段等计算问题S 菱形＝12l l ·l 2(l 1、l 2为菱形对角线长) 连对角线，矩形、菱形就可得到特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形），因此，解矩形、菱形问题时，要注意特殊三角形性质的运用。

利用全等三角形解决问题。

跟踪训练：一、填空题：1.矩形的定义：____________________________的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的所有性质；矩形的四个角______________；矩形的对角线______________；矩形是轴对称图形，它的对称轴是______________。

人教版八年级下册数学 18.2矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选(含答案)

矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选矩形的性质和判定1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的和为15，则短边的长是________。

2．如图32-3-1，设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，则二者的大小关系是：S1____S2。

3．如果矩形一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm两部分，那么矩形的周长为_______。

4．现有一张长为40cm, 宽为20 cm的长方形纸片（如图32-3-2所示），要从中剪出长为18 cm，宽为12 cm的长方形纸片，则最多能剪出___张。

5．矩形的一条较短边的长为5 c m，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于_____ cm。

6．如图32-3-3，在矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE=____度。

7．下列说法中正确的是( )A．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形。

B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形。

C．对角线互相垂直的平行四边开是矩形。

D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。

8．四边形ABCD的对角线相交于O，在下列条件中，不能说明它为矩形的是（）A．AB=CD,AD=BC, BAD=90°B．AO=CO，BO=DO，AC=BDC．∠BAD=∠ABC=90°, ∠BAD+∠ADC=180°D．∠BAD=∠BCD, ∠ABC+∠ADC=180°★菱形的性质和判定9．己知菱形的锐角是60°，边长是20 cm，则较长对角线是_____。

10．菱形两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，它的高为______。

11．菱形的一个内角是120°，平分这个内角的一条对角钱长为13 cm，则菱形的周长是____。

12．菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是_____。

（完整版）矩形与菱形性质及判定练习题含答案

（完整版）矩形与菱形性质及判定练习题含答案oDABCE矩形与菱形性质及其判定⼀、精⼼选⼀选（每⼩题3分，共30分）1．已知⼀矩形的周长是24cm ，相邻两边之⽐是1:2，那么这个矩形的⾯积是…………（） A ．24cm 2B ．32cm 2C ．48cm 2D ．128cm 22．矩形具有⽽⼀般的平⾏四边形不具有的特征是…………………………………（）A ．对⾓线相等B ．对边相等C ．对⾓相等D ．对⾓线互相平分3．下列图形既是轴对称图形，⼜是中⼼对称图形的是……………………………………（） A ．矩形B ．直⾓三⾓形C ．等腰三⾓形D ．平⾏四边形4．下列条件中，不能判定四边形ABCD 是菱形的是………………………………………（） A ．□ ABCD 中，AB =BCB ．□ ABCD 中，AC ⊥BD C ．□ ABCD 中，AC =BDD ．□ ABCD 中，AC 平分∠BAD5．若直⾓三⾓形中两直⾓边的长分别为12和5，则斜边上的中线是……………………（） A ．13B ．6C ．6.5D ．6.5或66．菱形和矩形都具有的性质是 ……………………………………………………………（） A ．对⾓线相等B ．对⾓线互相平分C ．对⾓线平分⼀组对⾓D ．对⾓线互相垂直7．已知：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC,∠ADE=21∠CDE,那么∠BDC 等于…………（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°8．已知菱形的边长和⼀条对⾓线的长均为2cm ，则菱形的⾯积为………………………（）A ．23cmB ．24cmC ．23cmD ．223cm9．菱形相邻两⾓的⽐为1:2，那么菱形的对⾓线与边长的⽐为…………………………（） A ．1:2:3B ．1:2:1C ．1:3:2D ．1:3:110．将矩形纸⽚ABCD 按如图所⽰的⽅式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1 处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（） A ．3B ．2C ．3D ．32⼆、专⼼填⼀填（每⼩题3分，共30分）11．若矩形的⼀条⾓平分线分⼀边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为． 12．如图，四边形ABCD 是平⾏四边形，使它成为矩形的条件可以是．CB AD13．若矩形短边长4cm ，两对⾓线的夹⾓为60度，则对⾓线长是 cm．14．如图，在菱形ABCD 中,∠BAD =80度，AB 的垂直平分线交对⾓线AC 于点F ，E 为垂⾜，连接DF ，则∠CDF 的度数为．（第12题图）（第14题图）（第16题图）（第17题图） 15．顺次连结对⾓线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是．16．如图，⼀斜坡AB 的中点为D ，BC =1，CD =1.5，则斜坡的坡长． 17．如图，在扇形中，∠AOB =90度，OA=5，C 是弧AB 上⼀点，且CD ⊥OB ，CE ⊥OA ，垂⾜分别为点D 、E ，则DE = ．18．菱形OABC 在平⾯直⾓坐标系中的位置如图所⽰，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为．19．如图，⼀活动菱形⾐架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉⼦间的距离16cm AB BC ==，则1=∠度．（第18题图）（第19题图）（第20题图） 20．如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的⾯积是 cm 2．三、耐⼼做⼀做（本题有5⼩题，共40分）21．（本题6分）已知：如图所⽰，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ．xyO C B A1 ABCA DCB F E22．（本题8分）如图，ABCD是菱形，对⾓线AC与BD相交于O，306ACD BD∠==°，．（1）求证：△ABD是正三⾓形；（2）求AC的长（结果可保留根号）．23．（本题8分）如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于⼀点O，AE平分∠BAD, 若∠EAO=15°,求∠BOE的度数．24．（本题8分）⼯⼈师傅做铝合⾦窗框分下⾯三个步骤进⾏：（1）先截出两对符合规格的铝合⾦窗料（如图①），使AB=CD，EF=GH；（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是．（3）将直⾓尺靠紧窗框的⼀个⾓（如图③），调整窗框的边框，当直⾓尺的两条直⾓边与窗框⽆缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是．①ODBAoCD25．（本题10分）已知，⼀张矩形纸⽚ABCD 的边长分别为9cm 和3cm ，把顶点A 和C 叠合在⼀起，得折痕EF （如图）．（1）猜想四边形AECF 是什么四边形，并证明你的猜想．（2）求折痕EF 的长．26、在如图所⽰的图形中，所有的四边形都是正⽅形，所有的三⾓形都是直⾓三⾓形，其中最⼤的正⽅形的边长为7cm ，则正⽅形A 、B 、C 、D 的⾯积和是多少？27、（2010肇庆）如图，ABCD 是正⽅形．G 是 BC 上的⼀点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ．（1）求证：ABF DAE △≌△；（2）求证：DE EF FB =+．28. （2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AD 于点M ，交CD 的延长线于点F . （1）求证：AM =DM ；（2）若DF =2，求菱形ABCD 的周长．第21题图A BCDEFMADE F CGB⼀、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A A C C B C D D C⼆、填空题11、22cm或26m12、AC=BD或∠ABC=90度（或其他三个⾓也可以）13、814、60度 15、矩形 16、1：22 17、5 18、（2+1，1）19、120度20、2三、解答题21、略22、（1）略 2）AC=63 23、75度解：⽅法1：设AB=1，∵AE平分∠BAD，∠EAO=15°，∴∠BAE=∠AEB=45°、∠ACB=30°，∴∠OBC=30°，∴∠AOB=60°，∴△OAB为等边三⾓形，∴OA=1，AE= ，AC=2，∴，∵∠OAE=∠EAC，∴△AOE∽△AEC，∴∠AEO=∠ACE=30°，⼜∵∠AEB=∠ACE+∠EAC=45°，∴∠BEO=75°，∠OBE=30°，∴∠BEO=75°．⽅法2：：∵ABCD为矩形，∴∠BAD=90°∵ABCD相交于O点，∴AO=CO=BO=DO∵AE平分∠BAD交BC于E点∴∠BAE=∠EAD=45°∵∠EAC=15°∴∠BA0=60°∵AO=BO∴∠ABO=60°∵∠BAO+∠ABO+∠AOB=180°∴∠AOB=60°∴△AOB为等边三⾓形即AB=OA=BO⼜∵∠ABC=90°∠EAB=45°∠ABC+∠EAB+∠BEA=180∴∠BEA=45°∴△ABE为等腰直⾓三⾓形∴BE=BA ∵BE=BA⽽BA=BO∴BE=BO即△OBE为等腰三⾓形∵∠ABC=90°∠ABO=60°∴∠OBE=30°∴∠BOE=∠BEO=（180-30）÷2=75°．故∠BOE的度数75°．24、（2）平⾏四边形，两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形。

矩形、菱形的性质定理和判定定理及其证明习题精选

3、若矩形的一个角的平分线分一边为考点：矩形的性质。
4cm 和 3cm 的两部分，则矩形的周长为
22 或 20 cm．
分析：本题需分两种情况解答．即矩形的一个角的平分线分一边为当矩形的一个角的平分线分一边为
4cm 和 3cm，或者矩形的角平分分一边为 3cm 和 4cm． 4cm 和 3cm 时，矩形的周长为 2×（ 3+4） +2×4=22cm；
则这条对角线和一组邻边组成等边三角形，可得边长为 8cm，则菱形周长为 32cm．
故答案为 32．点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用．
10 、菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是考点：菱形的性质。专题：计算题。
32°，则菱形较小的内角是 58° ．
分析：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是角线垂直平分且为角平分线确．
故选 D．
点评：本题考查的是矩形判定定理，考生同时也要注意平行四边形的判定以及性质，难度一般．
17、四边形 ABCD的对角线相交于点 O，下列条件不能判定它是矩形的是（
）
A、 AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°
B、 AO=CO， BO=DO， AC=BD
C、∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
2
即为对角线的长．
解答：解：
∵四边形 ABCD是矩形，
∴OA=OB， ∵∠AOB=6°0 ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA=AB=5cm， ∴AC=2OA=10cm，故答案为 10．点评：主要考查矩形的性质；用到的知识点为：矩形的对角线互相平分且相等． 6、（ 1999?河南）已知：如图，在矩形 ABCD中， CE⊥BD，E 为垂足，∠DCE：∠ECB=3：1，则∠ACE= 45

矩形菱形练习题及答案

矩形【2 】.菱形常识考点：懂得并控制矩形的剖断与性质,并能应用所学常识解决有关问题. 精典例题：【例1】如图,已知矩形ABCD 中,对角线AC.BD 订交于点O,AE ⊥BD,垂足为E,∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1,求∠EAC 的度数.剖析：本题充分应用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的根本图形进行求解. 解略,答案450.例1图E ODC BA例2图FE DCB A例3图【例2】如图,已知菱形ABCD 的边长为3,延伸AB 到点E,使BE ＝2AB,贯穿连接EC 并延伸交AD 的延伸线于点F,求AF 的长.剖析：本题应用菱形的性质,联合平行线分线段成比例的性质定理,可使问题得解. 解略,答案AF ＝4.5.【例3】如图,在矩形ABCD 中,M 是BC 上的一动点,DE ⊥AM,垂足为E,3AB ＝2BC,并且AB.BC 的长是方程02)2(2=+--k x k x 的两根.（1）求k 的值;（2）当点M 分开点B 若干时,△ADE 的面积是△DEM 面积的3倍？请解释来由. 剖析：用韦达定理树立线段AB.AC 与一元二次方程系数的关系,求出k . 略解：（1）由韦达定理可得AB ＋BC ＝2-k ,AB ·BC ＝k 2,又由BC ＝23AB 可消去AB,得出一个关于k 的一元二次方程0123732=+-k k ,解得1k ＝12,2k ＝31,因AB ＋BC ＝2-k ＞0,∴k ＞2,故2k ＝31应舍去. （2）当k ＝12时,AB ＋BC ＝10,AB ·BC ＝k 2＝24,因为AB ＜BC,所以AB ＝4,BC ＝6,由DEM AED S S ∆∆=3可得AE ＝3EM ＝43AM.易证△AED ∽△MBA 得MB AE ＝AMAD ,设AE ＝a 3,AM ＝a 4,则MB ＝22a ,而AB 2＋BM 2＝AM 2,故2421644a a =+,解得2a ＝2,MB ＝22a ＝4.即当MB ＝4时,DEM AED S S ∆∆=3.评注：本题将几何问题从“形”向“数”转化,这类分解题既有几何证实中的剖析和推理,又有代数式的灵巧变换.盘算,其解题进程层次较多,步骤较庞杂,书写进程也要增强练习.摸索与创新：【问题一】如图,四边形ABCD 中,AB ＝6,BC ＝35-,CD ＝6,且∠ABC ＝1350,∠BCD ＝1200,你知道AD 的长吗？剖析：这个四边形是一个不规矩四边形,应将它补割为规矩四边形才便于求解. 略解：作AE ⊥CB 的延伸线于E,DF ⊥BC 的延伸线于F,再作AG ⊥DF 于G ∵∠ABC ＝1350,∴∠ABE ＝450 ∴△ABE 是等腰直角三角形又∵AB ＝6,∴AE ＝BE ＝3 ∵∠BCD ＝1200,∴∠FCD ＝600 ∴△DCF 是含300的直角三角形 ∵CD ＝6,CF ＝3,DF ＝33 ∴EF ＝3)35(3+-+＝8 由作图知四边形AGFE 是矩形 ∴AG ＝EF ＝8,FG ＝AE ＝3从而DG ＝DF －FG ＝32 在△ADG 中,∠AGD ＝900∴AD ＝22DG AG +＝1264+＝76＝192【问题二】把矩形ABCD 沿BD 折叠至如上图所示的情况,请你猜想四边形ABDE 是什问题一图GD问题二图么图形,并证实你的猜想.剖析与结论：本题依据题设并联合图形猜想该四边形是等腰梯形,应用对称及全等三角形的有关常识易证.跟踪练习：一.填空题：1.若矩形的对称中间到双方的距离差为4,周长为56,则这个矩形的面积为.2.已知菱形的锐角是600,边长是20cm,则较短的对角线长是cm.3.如图,矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若AE ⊥BD 于E,且OE ∶OD ＝1∶2,AE ＝3cm,则DE ＝cm.4.如图,P 是矩形ABCD 内一点,PA ＝3,PD ＝4,PC ＝5,则PB ＝.5.如图,在菱形ABCD 中,∠B ＝∠EAF ＝600,∠BAE ＝200,则∠CEF ＝.第3题图E O DC BA第4题图543P D CBA 第5题图FEBA二.选择题：6.在矩形ABCD 的各边AB.BC.CD.DA 上分离取点E.F.G.H,使EFGH 为矩形,则如许的矩形（）A.仅能作一个B.可以作四个C.一般情况下不可作D.可以作无限多个7.如图,在矩形ABCD 中,AB ＝4cm,AD ＝12cm,P 点在AD 边上以每秒1 cm 的速度从A 向D 活动,点Q 在BC 边上,以每秒4 cm 的速度从C 点动身,在CB 间往返活动,二点同时动身,待P 点到达D 点为止,在这段时光内,线段PQ 有（）次平行于AB. A.1 B.2 C.3 D.4••第7题图QPDCB第8题图GFE DCBA8.如图,已知矩形纸片ABCD 中,AD ＝9cm,AB ＝3cm,将其折叠,使点D 与点B 重合,那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分离是（） A.4cm.10cm B.5cm.10cmC.4cm.32cmD.5cm.32cm9.给出下面四个命题：①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有一个角是直角且对角线互相等分的四边形是矩形;④菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍.个中准确的命题有（） A.①②B.③④C.③D.①②③④10.平行四边形四个内角的等分线,假如能围成一个四边形,那么这个四边形必定是（） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形三.解答题：11.如图,在矩形ABCD 中,F 是BC 边上一点,AF 的延伸线交DC 的延伸线于点G,DE ⊥AG 于E,且DE ＝DC,依据上述前提,请在图中找出一对全等三角形,并证实你的结论.第11题图GFEDCBA第12题图 EBA第13题图C12.如图,在△ABC 中,∠ACB ＝900,CD 是AB 边上的高,∠BAC 的等分线AE 交CD 于F,EG ⊥AB 于G,求证：四边形GECF 是菱形.13.如图,以△ABC的三边为边在BC的统一侧分离作三个等边三角形,即△ABD.△BCE.△ACF.请答复下列问题（不请求证实）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC知足什么前提时,四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC知足什么前提时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失？跟踪练习参考答案一.填空题：3;5.2001.180;2.20cm;3.3;4.2提醒：4题过点P作矩形任一边的垂线,应用勾股定理求解;5题贯穿连接AC,证△ABE≌△ACF得AE＝AF,从而△AEF是等边三角形.二.DDBBA三.解答题：11.可证△DEA≌△ABF12.略证：AE等分∠BAC,且EG⊥AB,EC⊥AC,故EG＝EC,易得∠AEC＝∠CEF,∵CF ＝EC,EG＝CF,又因EG⊥AB,CD⊥AB,故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形,又因EG＝FG,故GECF是菱形.13.（1）平行四边形;（2）∠BAC＝1500;（3）当∠BAC＝600时,以A.D.E.F为极点的四边形不消失.。

菱形、矩形判定性质练习题

菱形性质与判定练习题1. 已知菱形ABCD中, 对角线AC与BD交于点O, ∠BAD=120°, AC=4, 则该菱形的面积是（）A.16B.16C.8D.82．菱形的周长为4, 一个内角为60°, 则较短的对角线长为（）A. 2B.C. 1D.3．菱形的周长为8cm, 高为1cm, 则该菱形两邻角度数比为（）A. 3: 1B. 4: 1C. 5: 1D. 6: 14．如图, 菱形ABCD中, AB=15, ∠ADC=120°, 则B.D两点之间的距离为（）A. 15B.C. 7.5D.5.如图, 菱形ABCD的周长是16, ∠A=60°, 则对角线BD的长度为（）A. 2B.C. 4D.6. 已知菱形的两条对角线长分别为2cm, 3cm, 则它的面积是_________cm2.7. 如图, 菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, 且AC=8, BD=6, 过点O作OH丄AB, 垂足为H, 则点0到边AB的距离OH=_________.8．如图, 菱形ABCD的边长是2cm, E是AB的中点, 且DE丄AB, 则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图9. 如图, 在菱形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点O, AB=13, AC=10, 过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E, 则△BDE的周长为_________.10. 如图, 已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°, 对角线AC.BD相交于点O, 点E在AB上且BE=BO, 则∠BEO= _________度.11．如图, 活动菱形衣架的边长均为16cm, 若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm, 则∠1=度．10题图13题14题图15题图12. 已知菱形的一个内角为60°, 一条对角线的长为, 则另一条对角线的长为_________.13. 如图, 两个全等菱形的边长为1米, 一机器人由A点开始按A—B—C—D—E—F—C—G—A的顺序沿菱形的边循环运动, 行走2009米停下, 则这个微型机器人停在_____点.14. 如图, P为菱形ABCD的对角线上一点, PE⊥AB于点E, PF⊥AD于点F, PF=3cm, 则P点到AB的距离是____ cm.15. 已知: 菱形ABCD中, ∠B=60°, AB=4, 则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______.16. 已知菱形的周长为40cm, 两条对角线之比为3: 4, 则菱形的面积为_________cm2.17. 已知菱形的周长是52cm, 一条对角线长是24cm, 则它的面积是_________cm2.18．如图, 菱形ABCD的对角线的长分别为2和5, P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）, 且PE∥BC交AB 于E, PF∥CD交AD于F, 则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图19. 如图: 菱形ABCD中, AB=2, ∠B=120°, E是AB的中点, P是对角线AC上的一个动点, 则PE+PB的最小值是_________.20. 如图: 点E、F分别是菱形ABCD的边BC.CD上的点, 且∠EAF=∠D=60°, ∠FAD=45°, 则∠CFE=度. 21．如图所示, 在菱形ABCD中, ∠ABC=60°, DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE= BE．22. 如图, 在菱形ABCD中, ∠A=60°, AB=4, O为对角线BD的中点, 过O点作OE⊥AB, 垂足为E.（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长.23. 如图, 四边形ABCD是菱形, BE⊥AD.BF⊥CD, 垂足分别为E、F.（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8, BD=6时, 求BE的长．24. 如图, 在菱形ABCD中, P是AB上的一个动点（不与A.B重合）, 连接DP交对角线AC于E连接BE.（1）证明: ∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°, 试问P点运动到什么位置时, △ADP的面积等于菱形ABCD面积的, 为什么？25. 如图所示, 在矩形ABCD中, AB=4cm, BC=8cm、点P从点D出发向点A运动, 同时点Q从点B出发向点C运动, 点P、Q的速度都是1cm/s.（1）在运动过程中, 四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能, 那么经过多少秒后, 四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积.矩形的性质与判定【知识要点:】1. 矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。

初二数学菱形、矩形复习题(含答案)

初二数学菱形、矩形复习题矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：判定：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为____________2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 等于________3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是_______________4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为________________5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_________________7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有________________8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G 分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= ．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足（关系）时，四边形EFGH为矩形．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于．20．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 时，四边形APQD也为矩形．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC 的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．26．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF 是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ 是菱形．27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD．28．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB 于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．29．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P （点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？30．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC 于F，连接EF．（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．31．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？32．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．36．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC 的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN 是平行四边形．37．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．参考答案矩形：定义：有一个是直角的平行四边形是矩形性质：判定：菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为__________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，BC=AD，OA=OC=OB=OD，AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO，．∵矩形ABCD的周长为20cm，∴BC+DC=10cm，∵EF⊥AC，∴CE=CF，在△ODE和△OBF中，，∴△ODE≌△OBF（ASA），∴DE=BF，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm．2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 等于______【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3﹣x．∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；∴△AEP∽△ABC，故=①；同理可得△BFP∽△DAB，故=②．①+②得=，∴PE+PF=．方法二：（面积法）如图，作BM⊥AC于M，则BM==，∵S△AOB=S△AOP+S△POB，∴•AO•BM=•AO•PE+•OB•PF，∵OA=OB，∴PE+PF=BM=．3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是______________【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=8，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°，∴∠ODC=∠OCD=67.5°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，∴∠COD=45°，∴OE=DE，∵OE2+DE2=OD2，∴2DE2=OD2=16，∴DE=2．4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为_____________【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF∴S△EFG=S△ABG=15；同理：S△EFH=S△DCH=20∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________【解答】解：菱形的面积为：×6×8=24．6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为___________【解答】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，∵周长为16，∴边长AB=4，∴菱形的对角线AC=4，BD=2×4sin60°=4，∴面积=AC•BD=×4×4=8．7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有___________【解答】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积=AC×BD．∵E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是10 ．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AO=BO，∵AC、BD的夹角是60°，∴△ABO是等边三角形，∴AO=AB=5，∴对角线AC=2AO=2×5=10．故答案为：10．9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=AP，由勾股定理知BC==5，∵S△ABC=AB•AC=BC•AP，∴AP==，∴AM=AP=．10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G 分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为1：1 ．【解答】解：连接HF，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠D=90°∵H、F分别为AD、BC边的中点，∴DH=CF，DH∥CF，∵∠D=90°，∴四边形HFCD是矩形，∴△HFG的面积是CD×DH=S矩形HFCD，即S△HFG=S△DHG+S△CFG，同理S△HEF=S△BEF+S△AEH，∴图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1：1，故答案为：1：1．11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．【解答】解：连接FH、EG；∵AF=CG=2，AE=CH=4﹣1=3，∠A=∠C=90°，∴△AEF≌△CHG，S△AEF=S△CHG=3；同理可证：△FHD≌△GEB，S△FHD=S△GEB=1.5；∴FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；且S平行四边形=S矩形﹣2S△AEF﹣2S△FHD=11；过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；则S△EFP+S△GHP=EF（PM+PN）=EF•MN=S▱EFHG=．故答案为：．12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，∴AG=DG，∴∠ADG=∠DAG，∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，∵∠AED=2∠CED，∴∠AED=∠AGE，∴AE=AG=4，在Rt△ABE中，AB===．故答案为：．13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1+；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为1+．【解答】解：取AB的中点M，连OM，PM，在Rt△ABO中，OM==1，在等边三角形ABP中，PM=，无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，∵O到AB的最大值是AB=1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理得：PM==，∴OP=1+，将△AOP的PA边长改为，另两边长度不变，∵22+22=，∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM==，∴此时OP=OM+PM=1+．故答案为：1+，1+．14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为4．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为PE+PB的最小值，∵ABC=120°，∴∠BCD=60°，∴△BCD是等边三角形，∵E是BC的中点，∴DE⊥BC，CE=BC=×8=4，∴DE===4．故答案为：4．15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= 5 ．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，即BG=5．故答案是：5．16．下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为①③④（注：把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．故答案为：①③④．17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足AB=AD （关系）时，四边形EFGH为矩形．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF=45°．又∵EH⊥EF，FG⊥EF∴∠GFB=∠HED=45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH=FG，∴ED=FB又∵AE=AF，∴AD=AB．故答案是：AD=AB．18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是18．【解答】解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=6，∴DF=BC=3，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=3，∴tan30°=，即AD=3，∴CD=AD=3，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=18．故答案为：18．19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于 2.4 ．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，连接CD，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形EDFC是矩形，∴EF=CD，∠EDF=90°，∵点Q是EF的中点，∴DQ=EF=CD，当CD最小时，则DQ最小，根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，∴DQ=EF=CD=×=2.4，故答案为：2.4．20．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 4 时，四边形APQD也为矩形．【解答】解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20﹣t，解得t=4（s）．故答案是：4．21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形CDGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG=CD=AB，①正确；∵AB∥CE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG=AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，∴S四边形ODGF=S△ABF；不正确；正确的是①④．故答案为：①④．22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，即DF=．24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC 的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．（1）求证：AF=DC；（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，又∵E为AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=DC；（2）解：当AD=CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下：由（1）得：AF=DC且AF∥DC，∴四边形AFDC是平行四边形，又∵AD=CF，∴四边形AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BCE，F分别为AB，CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE=AB=AD，而∠DAB=60°∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB∴四边形AGBD是平行四边形由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∴∠ADE=∠DEA=60°，∠EDB=∠DBE=30°故∠ADB=90°∴平行四边形AGBD是矩形．26．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF 是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ 是菱形．【解答】证明：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，∴∠AFC=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∵∠ACF+∠PCA=90°，∴∠PCA=∠CAF，∴PC∥AQ，同理：AP∥QC，∴四边形APCQ是平行四边形．∵AF∥CP，AE∥CQ，∴∠EPC=∠PAF=∠FQC，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴CE=BE=CB（等腰三角三线合一），∵AF是CD边上的中线，∴CF=CD，∵CB=DC，∴CE=CF，∵PC⊥CD，QC⊥BC，∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°，∴∠PCE=∠QCF，∴△PEC≌△QFC（AAS），∴PC=QC，∴四边形APCQ是菱形．27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD．【解答】证明：连接EF，如图所示：∵FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，∴△ACE的面积=△AEF的面积+△CEF的面积=AE•FH+CE•FG，∵AE=CE，∴△ACE的面积=CE（FH+FG），又∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△ACE的面积=CE•AD，∴FH+FG=AD．28．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB 于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明∵AC=9 AB=12 BC=15，∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，∴AC2+AB2=BC2，∴∠A=90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP=∠AHP=90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∴GH=AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12=15•AP．∴AP=．29．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P （点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD=∠EPA，∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠EPA，∴EA=EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：P为EF中点，即AP=AD时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBQ．30．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC 于F，连接EF．（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，∴∠ADF=∠GFC=90°，∴AE∥GF，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG，∴AG=FG，∵∠FBG+∠BED=90°，∵∠BED=∠AEG，∴∠FBG+∠AEG=90°，∵∠ABG+∠AGE=90°，∵∠ABG=∠FBG，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴AE=FG，∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE=AG∴四边形AEFG是菱形．（2）解：∵四边形AEFG是菱形，∴AE=AG，∵BE=EG，∠BAG=90°，∴AE=BE=EG，∴△AEG是等边三角形，∴∠AGE=60°，在RT△ABG中，∵∠ABG=30°，∴AB=AG，∵∠C=30°，∴BC=2AB，∴BE=GE，EF∥AC，EM∥BC，∴BF=FC，CM=GM，在RT△AEM中，∵∠AME=∠C=30°，∠GEM+∠GME=60°，∴∠GEM=∠GME=30°，∴EG=AG=GM=CM，∵EM∥FC，EF∥CM，∴四边形EFCM是平行四边形，∴AB=BF=CF=EM=CM，∴是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．31．阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1= S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 1 个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 3 个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．∵L1﹣L2=2（a﹣b）而a﹣b＞0，ab﹣s＞0，ab＞0∴L1﹣L2＞0，∴L1＞L2，同理可得L2＞L3∴以AB为边长的矩形周长最小．32．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，∵点E、F分别为AB、AD的中点，∴BE=AB，DF=AD，∴BE=DF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴CE=CF；（2）证明：延长BA与CF，交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，∴∠G=∠FCD，∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，∴AG=AB，∵△BCE≌△DCF，∴∠ECB=∠DCF，∵∠CHB=2∠ECB，∴∠CHB=2∠G，∵∠CHB=∠G+∠HCG，∴∠G=∠HCG，∴GH=CH，∴CH=AH+AG=AH+AB．33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD=∠AFB，∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD，∴∠EFD=∠BCD．34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．【解答】解：（1）四边形DHBG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，∴∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB．在△DAB和△DEB中，，∴△DAB≌△DEB（SAS），∴∠ABD=∠EBD．∵AB∥CD，DF∥BE，∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB=∠EBD，∴∠HDB=∠HBD，∴DH=BH，∴▱DHBG是菱形．（2）由（1），设DH=BH=x，则AH=8﹣x，在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，即BH=5，∴菱形DHBG的面积为HB•AD=5×4=20．35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．36．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC 的延长线上．（1）求证：四边形BEDF是矩形；（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN 是平行四边形．【解答】证明：（1）∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，∵DE⊥AB．BF⊥DC，∴∠E=90°，∠F=90°，∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，∴四边形BEDF是矩形；（2）∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，∴∠NBF+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，∴∠ADC=∠BCF，∴∠NBF=∠MDE，∵M、N分别为AD、BC的中点，∴BN=DM，在△BNF与△DME中∴△BNF≌△DME（SAS），∴EM=FN，同理可得：EN=MF，∴四边形EMFN是平行四边形．37．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．【解答】证明：（1）如图2中，∵AM=ME．AD=DB，∴DM∥BE，∴∠GDN+∠DNE=180°，∵∠GDN=∠AEB，∴∠AEB+∠DNE=180°，∴AE∥DN，∴四边形DMEN是平行四边形，∵DM=BE，EM=AE，AE=BE，∴DM=EM，∴四边形DMEN是菱形．（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．由（1）可知四边形EMDF是菱形，∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，∴∠GDN=∠AEB，∴∠MDF=∠GDN，∴∠MDG=∠FDN，∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME，∠GMD=∠EMD+∠CME，、在Rt△ACE中，∵AM=ME，∴CM=ME，∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，∴∠DMG=∠DFN，∴△DMG≌△DFN，∴DG=DN．。

矩形、菱形、正方形的性质及判定专题训练

矩形、菱形、正方形的性质及判定专题训练【第一部分矩形】1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角互补D 、对角线平分2、直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边上的中线长是（）A 、26B 、13C 、8.5D 、6.53、矩形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，AB=5cm BC cm 12,=，则△ABO 的周长为等于。

4、已知矩形的周长为40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差为8cm ，则较大的边长为。

5、如图所示，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠。

使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于。

6、如图所示，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F ，若23AB BC ==，，则图中阴影部分的面积为．（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）7、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB =2∠BOC ，若对角线AC =6cm ，则矩形的周长= ，面积= 。

8、已知：如图，点O 是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD ，∠AOD=120°，则∠AEO= 。

9、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE AC ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F 。

求证：BE=CF 。

10、如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO=FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．11、如图，E 为□ABCD 外一点，且AE ⊥CE 于点E ，BE ⊥DE 于点E ，求证：四边形ABCD 为矩形12、如图，已知矩形ABCD 和点P ，（1）当点P 在图1中的位置时，求证：S △PBC =S △PAC +S △PCD（2）当点P 分别在图2、图3中的位置时，S △PBC 、S △PAC 、S PCD 又有怎样的数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明．图1 图2 图3【第二部分菱形】1、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（）A ．AC=2OEB ．BC=2OEC ．AD=OED ．OB=OE2、如图，在菱形ABCD 中，不一定成立的（）A 、四边形ABCD 是平行四边形B 、AC ⊥BD C 、△ABD 是等边三角形D 、∠CAB ＝∠CAD（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠BAD =120°，则AC= ；BD= ；面积= 。

2024年中考数学二轮复习模块专练—矩形和菱形(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—矩形和菱形（含答案）一、矩形1．矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质；（2）矩形的特殊性质：四个角都是直角，对角线相等，矩形是轴对称图形；2．矩形的判定（1）直接判定：三个角是直角的四边形是矩形；（2）在平行四边形的基础上判定有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；二、菱形1．菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形的特殊性质：四条边都相等，对角线垂直，每条对角线平分一组对角，菱形的面积等于对角线乘积的一半，菱形是轴对称图形；2．菱形的判定（1）直接判定：四条边相等的四边形是菱形；（2）在平行四边形的基础上判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：1．理解矩形和菱形的概念；试卷第2页，共12页2．探索并证明矩形和菱形的性质定理和判定定理；3．理解矩形和菱形之间的关系；【例1】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）1．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，60ABD ∠=︒，AE BD ⊥，垂足为点E ，F 是OC 的中点，连接EF，若EF =，则矩形ABCD 的周长是（）A．B．4+C．8D．8【变1】（2022·四川巴中·统考中考真题）2．如图，▱ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，延长EC 至点G ，使CG =CE ，连接DG 、DE 、FG．(1)求证：△ABE ≌△FCE ；(2)若AD =2AB ，求证：四边形DEFG是矩形．【例1】（2023·山东聊城·统考中考真题）3．如图，在ABCD Y 中，BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E ，交BC 于点O ，连接BE ，CE ，过点C 作CF BE ∥，交EO 的延长线于点F ，连接BF ．若8AD =，5CE =，则四边形BFCE 的面积为．.【变1】（2023·内蒙古·统考中考真题）4．如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．(1)如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．【例1】（2023·湖北随州·统考中考真题）5．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若32BC DC ==,，求四边形OCED 的面积．试卷第4页，共12页【变1】（2023·黑龙江·统考中考真题）6．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB 的边OC 在x 轴上，60AOC ∠=︒，OC 的长是一元二次方程24120x x --=的根，过点C 作x 轴的垂线，交对角线OB 于点D ，直线AD 分别交x 轴和y 轴于点F 和点E ，动点M 从点O 以每秒1个单位长度的速度沿OD 向终点D 运动，动点N 从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE 向终点E 运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．(1)求直线AD 的解析式．(2)连接MN ，求MDN △的面积S 与运动时间t 的函数关系式．(3)点N 在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q ．使得以A ，C ，N ，Q 为项点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．一、选择题（2023·湖北襄阳·统考中考真题）7．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，下列结论一定正确的是（）A ．AC 平分BAD ∠B ．AB BC =C ．AC BD =D ．AC BD ⊥（2023·湖南·统考中考真题）8．如图，菱形ABCD 中，连接AC BD ，，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒（2023·河北·统考中考真题）9．如图，直线12l l ∥，菱形ABCD 和等边EFG 在1l ，2l 之间，点A ，F 分别在1l ，2l 上，点B ，D ，E ，G 在同一直线上：若50α∠=︒，146ADE ∠=︒，则β∠=（）A ．42︒B ．43︒C ．44︒D ．45︒（2023·四川德阳·统考中考真题）10．如图，ABCD Y 的面积为12，6AC BD ==，AC 与BD 交于点O ．分别过点C ，D 作BD ，AC 的平行线相交于点F ，点G 是CD 的中点，点P 是四边形OCFD 边上的动点，则PG 的最小值是（）A ．1B ．32C ．32D ．3（2023·浙江绍兴·统考中考真题）】11．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上，动点F 在线段OD 上，点,E F 同时从点O 出发，分别向终点,B D 运动，且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E ；点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在试卷第6页，共12页整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形12．如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，4AB =，B C =，垂直于BC 的直线MN 从AB 出发，沿BC当直线MN 与CD 重合时停止运动，运动过程中MN 分别交矩形的对角线,AC BD 于点E ，F ，以EF 为边在MN 左侧作正方形EFGH ，设正方形EFGH 与AOB 重叠部分的面积为S ，直线MN 的运动时间为t s ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（）A．B．C．D ．二、填空题（2023·四川内江·统考中考真题）13．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 为BC 边上的一个动点，EF AC ⊥，EG BD ⊥，垂足分别为点F ，G ，则EF EG +=．（2023·山东滨州·统考中考真题）14．如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点,E F 分别是线段,OB OA 上的点．若,5,1,3AE BF AB AF BE ====，则BF 的长为．（2023·甘肃武威·统考中考真题）15．如图，菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，BE AB ⊥，DF CD ⊥，垂足分别为B ，D ，若6cm AB =，则EF =cm ．（2023·山东济南·统考中考真题）16．如图，将菱形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使点D 落在射线CA 上的点E 处，试卷第8页，共12页折痕CP 交AD 于点P ．若30ABC ∠=︒，2AP =，则PE 的长等于．三、解答题（2023·湖南怀化·统考中考真题）17．如图，矩形ABCD 中，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F．(1)证明：BOF DOE ≌△△；(2)连接BE 、DF ，证明：四边形EBFD 是菱形．（2023·山东青岛·统考中考真题）18．如图，在ABCD Y 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，DCB ∠的平分线交AD 于点F ，点G ，H 分别是AE 和CF的中点．(1)求证：ABE CDF △≌△；(2)连接EF ．若EF AF =，请判断四边形GEHF 的形状，并证明你的结论．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）19．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为线段CD 的中点，连接AC ，AE ，延长AE ，BC 交于点F ，连接DF ，90ACF ∠=︒．(1)求证：四边形ACFD 是矩形；(2)若13CD =，5CF =，求四边形ABCE 的面积．（2023·贵州·统考中考真题）20．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，延长CB 至D ，使得BD CB =，过点A ，D 分别作AE BD ，DE BA ∥，AE 与DE 相交于点E．下面是两位同学的对话：小星：由题目的已知条件，若连接BE ，则可证明BE CD ⊥．小红：由题目的已知条件，若连接CE ，则可证明CE DE =．(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；(2)连接AD ，若23CB AD AC ==，求AC 的长．（2023·湖南湘西·统考中考真题）21．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BM DN ，且分别交对角线AC 于点M ，N ，连接,MD BN ．试卷第10页，共12页(1)求证：DMN BNM ∠=∠；(2)若BAC DAC ∠=∠．求证：四边形BMDN 是菱形．（2023·四川广安·统考中考真题）22．如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2023·山东烟台·统考中考真题）23．【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD 进行如下操作：①分别以点,B C 为圆心，以大于12BC 的长度为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交BC 于点O ，连接AO ；②将ABO 沿AO 翻折，点B 的对应点落在点P 处，作射线AP 交CD 于点Q ．【问题提出】在矩形ABCD 中，53AD AB ==，，求线段CQ 的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ 的长；方案二：将ABO 绕点O 旋转180︒至RCO △处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．请你任选其中一种方案求线段CQ 的长．（2023·湖北恩施·统考中考真题）24．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，将矩形ABCD 沿BE 所在的直线折叠，C D ，的对应点分别为C '，D ¢，连接AD '交BC '于点F ．(1)若70DED '∠=︒，求DAD '∠的度数；''的形状，并说明理由．(2)连接EF，试判断四边形C D EF试卷第12页，共12页参考答案：1．D【分析】根据矩形的性质得出OA OB =，即可求证ABO 为等边三角形，进而得出点E 为OB中点，根据中位线定理得出2BC EF ==易得30CBD ∠=︒，求出tan 4CD BC BCD =⋅∠=，即可得出矩形的周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OB =，∵60ABD ∠=︒，∴ABO 为等边三角形，∵AE BD ⊥，∴点E 为OB 中点，∵F 是OC 的中点，若EF =，∴2BC EF ==∵60ABD ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，∴tan 43CD BC BCA =⋅∠=⨯=，∴矩形ABCD 的周长()()2248BC CD =+==，故选：D ．【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤．2．(1)见解析答案第2页，共42页【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB =∠CFE ，利用AAS 即可判定△ABE ≌△FCE ；（2）先证明四边形DEFG 是平行四边形，【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，再证明DF =EG ，即可证明四边形DEFG 是矩形．∴AB CD ，∴∠EAB =∠CFE ，又∵E 为BC 的中点，∴EC =EB ，∴在△ABE 和△FCE 中，EAB CFE BEA CEF EC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FCE (AAS)；（2）证明：∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，∴DC =CF ，又∵CE =CG ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵E 为BC 的中点，CE =CG ，又∵AD =BC =EG =2AB ，DF =CD +CF =2CD =2AB ，∴DF =EG ，∴平行四边形DEFG 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE ≌△FCE 是解题的关键．3．24【分析】根据平行线的性质可得BEO CFO ∠=∠，根据垂直平分线的性质可得BO CO =，90BOE COF ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定和性质可得BE CF =，OE OF =，根据平行四边形的判定和菱形的判定可推得四边形BFCE 为菱形，根据勾股定理求得3OE =，根据菱形的性质即可求得四边形BFCE 的面积．【详解】∵CF BE ∥，∴BEO CFO ∠=∠，∵BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E ，∴BO CO =，90BOE COF ∠=∠=︒，∴BOE COF ≌，∴BE CF =，OE OF =，∴四边形BFCE 为平行四边形，又∵OE OF =，BO CO =，90BOE COF ∠=∠=︒，∴平行四边形BFCE 为菱形，∵8AD =，∴8BC =，答案第4页，共42页∴142OC BC ==，在Rt EOC △中，3OE ===，故菱形BFCE 的面积为111282324222BC EF BC EO ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：24．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．4．(1)点Q 在线段PC 的垂直平分线上(2)①证明见解析，②=PQ 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；（2）①根据菱形的性质得出AB BC CD DA ===，再由各角之间的关系得出30BAP ABD CBD ∠=∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接QC ．利用等边三角形的判定和性质得出2,3AE a AP a ==，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图，点Q 在线段PC 的垂直平分线上．理由如下：连接QC ．∵四边形ABCD 是菱形，对角线,AC BD 相交于点O ，,BD AC OA OC⊥=∴QA QC ∴=．QA QP = ，QC QP ∴=，∴点Q 在线段PC 的垂直平分线上．（2）①证明：如图，∵四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，ABD ADB ∴∠=∠，CBD CDB ∠=∠，BD AC ⊥ ，ADO CDO ∴∠=∠，ABD CBD ADO ∴∠=∠=∠．BAP ADB ∠=∠ ，BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠．AE BE ∴=，90APB ∠=︒ ，90BAP ABP ∴∠+∠=︒，30BAP ABD CBD ∴∠=∠=∠=︒．在Rt BPE △中，90,30EPB PBE ∠=︒∠=︒ ，12EP BE ∴=．AE BE = ．12EP AE ∴=，2AE EP ∴=；答案第6页，共42页②如图，连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒ ，∴ABC 是等边三角形．∵90APB ∠=︒，∴BP CP EP a ==，，2,3AE a AP a∴==在Rt APB 中，90APB ∠=︒，tan AP ABP BP ∠=，BP ∴=．CP BP ∴==AO CO = ，,AOE COQ OE OQ ∠=∠=，AOE COQ ∴△≌△，2,AE CQ a EAO QCO ∴==∠=∠．AE CQ ∴∥，90APB ∠=︒ ，90QCP ∴∠=︒．在Rt PCQ △中，90QCP ∠=︒，由勾股定理得222PQ PC CQ =+，2222)(2)7PQ a a ∴=+=PQ ∴=．【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．5．(1)见解析(2)3【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC OD =，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；（2）根据矩形的性质求得OCD 的面积，然后结合菱形的性质求解．【详解】（1）解：∵ DE AC CE BD ∥,∥，∴四边形OCED 是平行四边形，又∵矩形ABCD 中，OC OD =，∴平行四边形OCED 是菱形；（2）解：矩形ABCD 的面积为326BC DC ⋅=⨯=，∴OCD 的面积为13642⨯=，∴菱形OCED 的面积为3232⨯=．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判答案第8页，共42页定方法，正确推理论证是解题关键．6．(1)y x =+(2)2290292t t t S t t -+≤≤⎪=⎨⎪-+-≤⎪⎩；(3)存在，点Q的坐标是3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或(．【分析】（1）过点A 作AH OC ⊥于H ，解方程可得6OC =，然后解直角三角形求出CD 、OH 和AH 的长，得到点A 、D 的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；（2）首先证明EOD △是等边三角形，求出DO DF ==，然后分情况讨论：①当点N 在DF 上，即0t ≤≤过点N 作NP OB ⊥于P ，②当点N 在DE 上，即t <≤过点N 作NT OB ⊥于T ，分别解直角三角形求出NP 和NT ，再利用三角形面积公式列式即可；（3）分情况讨论：①当AN 是直角边时，则CN EF ⊥，过点N 作NK CF ⊥于K ，首先求出CN ，然后解直角三角形求出CK 和NK ，再利用平移的性质得出点Q 的坐标；②当AN 是对角线时，则90ACN ∠=︒，过点N 作NL CF ⊥于L ，证明∠=∠NCF NFC ，可得3CL FL ==，然后解直角三角形求出NL ，再利用平移的性质得出点Q 的坐标．【详解】（1）解：解方程24120x x --=得：16x =，22x =-，∴6OC =，∵四边形AOCB 是菱形，60AOC ∠=︒，∴6OA OC ==，1302BOC AOC ∠=∠=︒，∴tan 3063CD OC =⋅︒=⨯∴(6,D ，过点A 作AH OC ⊥于H ，∵60AOH ∠=︒，∴132OH OA ==，sin 606AH OA =⋅︒=⨯，∴(A ，设直线AD 的解析式为()0y kx b k =+≠，代入(A，(6,D得：36k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AD的解析式为y x =+（2）解：由（1）知在Rt COD中，CD =30DOC ∠=︒，∴2OD CD ==90903060EOD DOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵直线3y x =-+y 轴交于点E ，∴OE =，∴OE OD =，∴EOD △是等边三角形，∴60OED EDO BDF ∠=∠=∠=︒，ED OD ==∴30OFE DOF ∠=︒=∠，∴DO DF ==答案第10页，共42页①当点N 在DF上，即0t ≤≤由题意得：DM OD OM t =-=，2DN t =，过点N 作NP OB ⊥于P ，则()sin sin 604262NP DN PDN DN t =⋅∠=⋅︒=⨯=-，∴()()21169222S DM NP t t t =⋅=-=-+；②当点N 在DE上，即t <≤时，由题意得：DM OD OM t =-=，2DN t =-过点N 作NT OB ⊥于T ，则(sin sin 60246NT DN NDT DN t =⋅∠=⋅︒=-⨯，∴()21169222S DM NT t t t =⋅=--=-+-综上，22909t t S t t -+≤≤=⎨⎪+-≤⎪⎩；（3）解：存在，分情况讨论：①如图，当AN 是直角边时，则CN EF ⊥，过点N 作NK CF ⊥于K ，∵30NFC ∠=︒，OE =，∴60NCK ∠=︒，12OF ==，∴1266CF =-=，∴132CN CF ==，∴13cos 60322CK CN =⋅︒=⨯=，sin 60322NK CN =⋅︒=⨯=，∴将点N 向左平移32个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，∴将点A 向左平移32Q ，∵(A ，∴3,22Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；②如图，当AN 是对角线时，则90ACN ∠=︒，过点N 作NL CF ⊥于L ，∵OA OC =，60AOC ∠=︒，∴AOC 是等边三角形，∴60ACO ∠=︒，∴180609030NCF NFC ∠=︒-︒-︒=︒=∠，∴132CL FL CF ===，∴tan 303NL CL =⋅︒=，∴将点C 向右平移3N ，∴将点A 向右平移3Q ，∵(A，∴(6,Q；∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是32⎛⎝⎭或(．【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，含30︒直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．7．C【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可．【详解】解：由矩形ABCD的对角线相交于点O，根据矩形的对角线相等，可得AC BD=．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质．8．C【分析】根据菱形的性质可得,BD AC AB CD⊥∥，则1,290ACD ACD∠=∠∠+∠=︒，进而即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形答案第12页，共42页∴,BD AC AB CD ⊥∥，∴1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒，∵120∠=︒，∴2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．9．C【分析】如图，由平角的定义求得18034ADB ADE Ð=°-Ð=°，由外角定理求得，16AHD ADB αÐ=Ð-Ð=°，根据平行性质，得16GIF AHD Ð=Ð=°，进而求得44EGF GIF βÐ=Ð-Ð=°．【详解】如图，∵146ADE ∠=︒∴18034ADB ADE Ð=°-Ð=°∵ADB AHDαÐ=Ð+Ð∴503416AHD ADB αÐ=Ð-Ð=°-°=°∵12l l ∥∴16GIF AHD Ð=Ð=°∵EGF GIFβÐ=Ð+Ð∴601644EGF GIF βÐ=Ð-Ð=°-°=°故选：C ．答案第14页，共42页【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．10．A【分析】先证明OC OD =，四边形OCFD 是菱形，如图，连接OF ，GP ，而点G 是CD 的中点，可得G 为菱形对角线的交点，OF CD ⊥，当GP CF ⊥时，GP 最小，再利用等面积法求解最小值即可．【详解】解：∵ABCD Y ，6AC BD ==，∴ABCD Y 是矩形，∴OC OD =，∵OC DF ∥，DO CF ∥，∴四边形OCFD 是菱形，如图，连接OF ，GP ，而点G 是CD的中点，∴G 为菱形对角线的交点，OF CD ⊥，∴当GP CF ⊥时，GP 最小，∵ABCD Y 即矩形ABCD 的面积为12，6AC BD ==，∴3OC OD ==，11234OCD S =⨯= ，∴26OCD OCFD S S == 菱形，∴13642CGF S =⨯= ，由菱形的性质可得：3CF =，∴13322GP ⨯⨯=，∴1GP =，即GP 的最小值为1．故选A【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．11．A【分析】根据题意，先证四边形1212E E F F 是平行四边形，再判断特殊位置（,,E F O 三点重合时，,E F 分别为,OD OB 的中点时，当,F E 分别与,D B 重合时）四边形1212E E F F 的形状，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，90BAD ABC ∠=∠=︒，∴60BDC ABD ∠=∠=︒，906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒，∵OE OF =、OB OD =，∴DF EB =，∵对称，∴21DF DF BF BF ==，，21,BE BE DE DE ==，∴1221E F E F =，∵对称，∴260F DC CDF ∠=∠=︒，130EDA E DA ∠=∠=︒，答案第16页，共42页∴160E DB ∠=︒，同理160F BD ∠=︒，∴11DE BF ∥，∴1221E F E F ∥，∴四边形1212E E F F 是平行四边形；如图所示，当,,E F O 三点重合时，DO BO =，∴1212DE DF AE AE ===，即1212E E E F =，∴四边形1212E E F F 是菱形，如图所示，当,E F 分别为,OD OB 的中点时，设4DB =，则21DF DF ==，13DE DE ==，在Rt △ABD中，2,AB AD ==连接AE ，AO ，∵602ABO BO AB ，∠=︒==，∴ABO 是等边三角形，∵E 为OB 中点，∴AE OB ⊥，1BE =，∴AE ==根据对称性可得1AE AE ==∴2221112,9,3AD DE AE ===，∴22211AD AE DE =+，∴1DE A 是直角三角形，且190E ∠=︒，∴四边形1212E E F F 是矩形，当,F E 分别与,D B 重合时，11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形，∴在整个过程中，四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选A ．答案第18页，共42页【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．B【分析】求出MN 在O 点左侧时的两段图象，即可得出结论．【详解】解：当MN 在O 点左侧，即：2t <时：①当正方形EFGH 的边GH 在AOB的外部时，重叠部分为矩形，如图：设,HE FG 分别交AB 于点,I K ，∵垂直于BC 的直线MN 从AB 出发，沿BC∴IE FK ==，∵在矩形ABCD 中，4AB =，B C =∴8AC ==，∴4OA OB AB ===，∴ABO 为等边三角形，∴60OAB OBA ∠=∠=︒，∴tan 60AI BK IE t ==÷︒=，∴42IK t =-，∴()242S IK IE t =⋅=-=-+，图象为开口向下的一段抛物线；②当正方形EFGH 的边GH 在AOB 的内部时，与AOB 重叠部分即为正方形EFGH ，如图：由①可知：42EF IK t ==-，∴()242S t =-，图象是一段开口向上的抛物线；当MN 过点O 时，即2t =时，,E F 重合，此时，0S =；综上：满足题意的只有B 选项，故选B ．【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．13．6013##8413【分析】连接OE ，根据矩形的性质得到12BC AD ==，AO CO BO DO ===，90ABC ∠=︒，根据勾股定理得到13AC ==，求得132OB OC ==，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OE ，四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，12BC AD ==，AO CO BO DO ===，答案第20页，共42页5AB = ，12BC =，13AC ∴==，132OB OC ∴==，111115121522222BOC BOE COE ABC S S S OB EG OC EF S ∴=+=⨯⋅+⋅==⨯⨯⨯= ，∴113113113()15222222EG EF EG EF ⨯+⨯=⨯+=，6013EG EF ∴+=，故答案为：6013．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14【分析】过点,A B 分别作,BD AC 的垂线，垂足分别为,N M ，等面积法证明AM BN =，进而证明Rt Rt AME BNF ≌，Rt Rt AMB BNA ≌，根据全等三角形的性质得出ME FN =，BM AN =，根据已知条件求得1EM =，进而勾股定理求得,AM AE ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点,A B 分别作,BD AC 的垂线，垂足分别为,N M，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵11,22ABC ABD S AB BC S AB AD =⨯=⨯ ，∴=ABC ABD S S ，∴1122AC BN BD AM ⨯=⨯，∴AM BN =，∵BF AE =，∴Rt Rt AME BNF≌∴ME FN=设ME FN =x=在Rt ,Rt AMB BNA 中，AB BA AM BN=⎧⎨=⎩∴Rt Rt AMB BNA≌∴BM AN =，∴BE ME AF FN-=+∴31x x-=+解得：1x =∴2BM AN ==在Rt ABM 中，AM ===在Rt AME △中，AE ===∴BF AE =．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．15．【分析】根据菱形的性质，含30︒直角三角形的性质，及三角函数即可得出结果．【详解】解：在菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，答案第22页，共42页160,302DAB DCB BAC DAC DCF DAB ∴∠=∠=︒∠=∠=∠=∠=︒，DF CD ⊥Q ，90DFC ∴∠=︒，9060DFC DCF ∴∠=︒-∠=︒，在Rt CDF △中，12DF CF =，603030,ADF DFC DAF ∠=∠-∠=︒-︒=︒Q ,FAD ADF ∴∠=∠11,23AF DF CF AC ∴===同理，13CE AC =，13EF AC AF CE AC ∴=--=，12EF AE ∴=，在Rt ABE △中，cos 30AB AE ===︒12EF AE ∴==故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，含30︒直角三角形的性质，及三角函数等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．16【分析】过点A 作AQ PE ⊥于点Q ，根据菱形性质可得75DAC ∠=︒，根据折叠所得30E D ∠=∠=︒，结合三角形的外角定理得出45QAP ∠=︒，最后根据cos 45PQ AP =⋅︒=tan 30AQ EQ ==︒【详解】解：过点A 作AQ PE ⊥于点Q ，∵四边形ABCD 为菱形，30ABC ∠=︒，∴AB BC CD AC ===，30ABC D ∠=∠=︒，∴()118030752DAC ∠=︒-︒=︒，∵CPE △由CPD △沿CP 折叠所得，∴30E D ∠=∠=︒，∴753045EPA ∠=︒-︒=︒，∵AQ PE ⊥，2AP =，∴cos 45PQ AP =⋅︒=AQ PQ ==，∴tan 30AQ EQ ==︒∴PE EQ PQ =+=．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．17．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34∠=∠∠=∠，根据O 是BD 的中点，可得BO DO =，即可证明()AAS BOF DOE ≌△△；（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF =，进而可得四边形EBFD 是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．答案第24页，共42页【详解】（1）证明：如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12,34∠=∠∠=∠，∵O 是BD 的中点，∴BO DO =，在BOF 与DOE 中1234BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS BOF DOE ≌△△；（2）∵BOF DOE≌△△∴ED BF =，又∵ED BF∥∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF BD⊥∴四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．18．(1)见解析(2)矩形，证明见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD BC ∥，AB CD =，BAD DCB ∠=∠，B D ∠=∠，证出DAE AEB ∠=∠，DFC BCF ∠=∠，由ASA 证明BAE DCF ≌△△，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出AE CF =，AEB DFC =∠∠，证出AE CF ∥，由已知得出GE FH ∥，GE FH =，即可证出四边形FGEH 是平行四边形．【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD =，BAD DCB ∠=∠，B D ∠=∠，∴DAE AEB ∠=∠，DFC BCF ∠=∠，∵BAD ∠和DCB ∠的平分线AE 、CF 分别交BC 、AD 于点E 、F ，∴12BAE DAE BAD ∠=∠=∠，12BCF DCF DCB ∠=∠=∠，∴BAE DCF ∠=∠，在BAE 和DCF 中，B D AB CD BAE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BAE DCF ≌ ．（2）证明：∵BAE DCF ≌△△，∴AE CF =，AEB DFC =∠∠，∴AEB BCF ∠=∠，∴AE CF ∥，∵点G 、H 分别为AE 、CF 的中点，∴GE FH ∥，GE FH =，答案第26页，共42页∴四边形FGEH 是平行四边形∵EF AF =，G 为AE 的中点，∴GF AE ⊥，∴四边形FGEH 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．19．(1)证明，见解析(2)45【分析】（1）根据平行四边形的性质，得AD BC ∥，根据平行线的性质，得DAF AFC ∠=∠，ADC DCF ∠=∠；再根据E 为线段CD 的中点，全等三角形的判定，则ADE FCE ≅△△，根据矩形的判定，即可；（2）过点E 作EG AC ⊥于点G ，根据勾股定理，求出DF 的长，再根据四边形ABCE 的面积等于ABC AEC S S + ，即可．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴DAF AFC ∠=∠，ADC DCF ∠=∠，∵E 为线段CD 的中点，∴DE CE =，∴ADE FCE ≅△△，∴AE EF =，∴四边形ACFD 是平行四边形，∵90ACF ∠=︒，∴平行四边形ACFD 是矩形．（2）过点E 作EG AC ⊥于点G ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∵四边形ACFD 是矩形，∴AD CF =，∴5AD BC CF ===，∵13CD =，∴12DF ==，∴四边形ABCE 的面积等于ABC AEC S S + ，∵111253022ABC S AC BC =⨯⨯=⨯⨯= ，12ACE S AC GE =⨯⨯ ，∵点E 是对角线的中心，∴1522GE AD ==，∴1151215222ACE S AC GE =⨯⨯=⨯⨯= ，∴平行四边形ABCD 的面积为：301545+=．【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．答案第28页，共42页20．(1)见解析(2)【分析】（1）选择小星的说法，先证四边形AEDB 是平行四边形，推出AE BD =，再证明四边形AEBC 是矩形，即可得出BE CD ⊥；选择小红的说法，根据四边形AEBC 是矩形，可得CE AB =，根据四边形AEDB 是平行四边形，可得DE AB =，即可证明CE DE =；（2）根据BD CB =，23CB AC =可得43CD AC =，再用勾股定理解Rt ACD △即可．【详解】（1）证明：①选择小星的说法，证明如下：如图，连接BE，AE BD ，DE BA ∥，∴四边形AEDB 是平行四边形，∴AE BD =，BD CB =，∴AE CB =，又 AE BD ，点D 在CB 的延长线上，∴AE CB ∥，∴四边形AEBC 是平行四边形，又 90C ∠=︒，∴四边形AEBC 是矩形，∴BE CD ⊥；②选择小红的说法，证明如下：如图，连接CE ，BE ，由①可知四边形AEBC 是矩形，∴CE AB =，四边形AEDB 是平行四边形，∴DE AB =，∴CE DE =．（2）解：如图，连接AD ，BD CB =，23CB AC =，∴243CD CB AC AC ==，∴43CD AC =，在Rt ACD △中，222AD CD AC =+，∴(22243AC AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得AC =答案第30页，共42页即AC的长为【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接BD ，交AC 于点O ，证明BOM DON ≌△△，推出四边形BMDN 为平行四边形，得到BN DM ，即可得证；（2）先证明四边形ABCD 是菱形，得到AC BD ⊥，进而得到MN BD ⊥，即可得证．【详解】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∵BM DN ，∴MBO NDO ∠=∠，又BOM DON ∠=∠，∴BOM DON ≌△△，∴BM DN =，∴四边形BMDN 为平行四边形，∴BN DM ，∴DMN BNM ∠=∠；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD ∥，∴BCA DAC ∠=∠，∵BAC DAC ∠=∠，∴BAC BCA ∠=∠，∴AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴MN BD ⊥，∴平行四边形BMDN 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．22．(1)223y x x =+-(2)ABCN S 四边形最大值为758，此时302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)()01Q -，或()01Q -或(01Q --，【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出2b =，再把()10B ,代入二次函数解析式中进行求解即可；（2）先求出()30A -，，()03C -，，则4AB =，3OC =，求出直线AC 的解析式为3y x =--，设()0P m ，，则()3M m m --，，()223N m m m +-，，则23MN m m =--；再由ABC ACN ABCN S S S =+△△四边形得到23375228ABCN S m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭四边形，故当32m =-时，ABCN S 四边形最大，答案第32页，共42页最大值为758，此时点P 的坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，MC 为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．【详解】（1）解：∵二次函数2y x bx c =++的对称轴为直线=1x -，∴12b -=-，∴2b =，∵二次函数经过点()10B ,，∴210b c ++=，即120c ++=，∴3c =-，∴二次函数解析式为223y x x =+-；（2）解：∵二次函数经过点()10B ,，且对称轴为直线=1x -，∴()30A -，，∴4AB =，∵二次函数223y x x =+-与y 轴交于点C ，∴()03C -，，∴3OC =；设直线AC 的解析式为y kx b '=+，∴303k b b ''-+=⎧⎨=-⎩，∴13k b =-⎧⎨=-'⎩，∴直线AC 的解析式为3y x =--，设()0P m ，，则()3M m m --，，()223N m m m +-，，∴()223233MN m m m m m =---+-=--；∵1143622ABC S AB OC =⋅=⨯⨯= ，∴ABC ACNABCN S S S =+△△四边形ABC AMN CMNS S S =++△△△11622AP MN OP MN =⋅+⋅+()213362m m =⨯--+23375228m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∵302-<，∴当32m =-时，ABCN S 四边形最大，最大值为758，∴此时点P 的坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）解：设()0P m ，，则()3M m m --，，()223N m m m +-，，∵PM x ⊥轴，∴PM y ∥轴，即MN CQ ∥，∴MN CQ 、是以M 、N C Q 、、为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当MC 为对角线时，∵3OA OC ==，。

矩形和菱形试题及答案

矩形和菱形试题及答案一、选择题1. 矩形的对角线相等，这个说法是正确的吗？A. 正确B. 错误答案：A2. 菱形的对角线互相垂直，这个说法是正确的吗？A. 正确B. 错误答案：A3. 一个四边形是矩形，那么它的对边一定相等，这个说法是正确的吗？A. 正确B. 错误答案：A4. 一个四边形是菱形，那么它的对角线一定相等，这个说法是正确的吗？A. 正确B. 错误答案：B二、填空题1. 矩形的四个角都是_________。

答案：直角2. 菱形的四条边都_________。

答案：相等3. 如果一个矩形的长为10厘米，宽为6厘米，那么它的对角线长度为_________厘米。

答案：√(10²+6²) = √(100+36) = √136 ≈ 11.664. 如果一个菱形的对角线长度分别为8厘米和6厘米，那么它的边长为_________厘米。

答案：√((8/2)²+(6/2)²) = √(4²+3²) = √(16+9) = √25 = 5三、解答题1. 已知一个矩形的长为12厘米，宽为8厘米，求它的对角线长度。

解：根据勾股定理，对角线长度为√(12²+8²) = √(144+64) =√208 ≈ 14.42厘米。

2. 已知一个菱形的对角线长度分别为10厘米和6厘米，求它的边长。

解：设菱形的边长为a，根据勾股定理，对角线一半的长度分别为5厘米和3厘米，所以有：(5² + 3²) = a²25 + 9 = a²34 = a²a = √34 ≈ 5.83厘米。

四、判断题1. 矩形的对角线互相平分，这个说法是正确的吗？答案：正确2. 菱形的对角线互相平分，这个说法是正确的吗？答案：正确3. 矩形的对角线不一定相等，这个说法是正确的吗？答案：正确4. 菱形的对角线一定相等，这个说法是正确的吗？答案：错误。

(完整版)菱形性质经典练习题(详细答案)

菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定(含答案)

2024成都中考数学复习专题矩形、菱形、正方形的性质与判定基础题1.(2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝C D.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是()A.AB∥CDB.AD＝BCC.∠A＝∠BD.∠A＝∠D2.(2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是()A.(3，－3)B.(－3，3)C.(3，3)D.(－3，－3)第2题图3.(2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是()A.互相平分B.互相垂直C.互相平分且相等D.互相垂直且相等4.(2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()第4题图A.1B.2C.3D.45.(2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()A.四边形ABCD 由矩形变为平行四边形B.对角线BD 的长度减小C.四边形ABCD 的面积不变D.四边形ABCD 的周长不变第5题图6.如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，EF ＝2，BD ＝8，则该菱形的面积为()第6题图A.12B.16C.20D.327.(2023杭州)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .若∠AOB ＝60°，则AB BC＝()A.12 B.3－12 C.32 D.33第7题图8.(2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD ＝α，∠CBE ＝β，则β＝()第8题图A.45°＋12αB.45°＋32αC.90°－12α D.90°－32α9.(2023河北)如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝()A.43B.83C.12D.16第9题图10.[新考法—条件开放](2023齐齐哈尔)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形．第10题图11.(2023怀化)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3.则点P到直线AB的距离为________．第11题图12.(2023绍兴)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是________．第12题图13.(2023河南)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为________．14.[新考法—条件开放](2023十堰)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，12AC，12长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；(2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？第14题图15.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，连接AE，CF，EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G.(1)判断四边形EGFH的形状，并说明理由；(2)若AE＝5，tan∠DAE＝2，EG＝2GF，求AG的长．第15题图拔高题16.(2022青羊区模拟)我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α，β，将菱形的“接近度”定义为|α－β|，于是|α－β|越小，菱形越接近正方形．第16题图①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为________；②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．课时2基础题1.(2023湘潭)如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A.20°B.60°C.70°D.80°第1题图2.如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC 中点，则EF的长为()第2题图A.3B.4C.5D.63.如图所示，将一张矩形纸片沿虚线对折两次，当剪刀与纸片的夹角∠ABC＝45°时，已知AB＝4cm，则剪下来图形的周长为()第3题图A.4cmB.42cmC.16cmD.162cm4.(2022青岛改编)如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为________．第4题图5.[新考法—数学文化](2023内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝________.第5题图6.(2023天津)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，EA＝ED＝5.2第6题图(1)△ADE的面积为________；(2)若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为________．7.(2023内江)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.(1)求证：FA＝BD；(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．第7题图8.(2023兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；(2)当CD＝4时，求EG的长．第8题图拔高题9.(2023绍兴改编)如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E 在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2.当E，F，O三点重合时，当点E，F分别为OB，OD的中点时，当E，F分别运动到B，D两点时，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是()第9题图A.菱形→平行四边形→矩形B.菱形→矩形→菱形C.平行四边形→矩形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形10.(2023武侯区二诊节选)如图①，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n>1)，点P是AD边上一动点(点P不与点A重合)，点E是AB边的中点，连接PE，将矩形ABCD沿直线PE进行翻折，其顶点A翻折后的对应点为O，连接PO并延长，交BC边于点F(点F不与点C重合)，过点F作∠PFC的平分线FG，交矩形ABCD的边于点G.(1)求证：PE∥FG；(2)如图②，在点P运动过程中，若E，O，G三点在同一条直线上时，点G与点D刚好重合，求n的值．图①图②第10题图参考答案与解析1.C2.C 【解析】∵正方形的边长为3，∴DC ＝BC ＝3，DC 与BC 分别垂直于y 轴和x 轴．∵点C 在第一象限，∴点C 的坐标为(3，3).3.D 【解析】如解图，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则EH ∥DB ∥GF ，HG ∥AC ∥EF ，EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴四边形EFGH 为平行四边形．要使其为正方形，即EF ⊥FG ，FE ＝FG ，则AC ⊥BD ，AC ＝BD ，即对角线一定互相垂直且相等．第3题解图4.B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形，当CD ＝CE ＝4时，▱ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.5.C 【解析】将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向左扭动框架，∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确，∵向左扭动框架，∴BD 的长度减小，故B 正确；∵平行四边形ABCD 的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD 的面积变小，故C 错误；∵平行四边形ABCD 的四条边长度不变，∴四边形ABCD 的周长不变，故D 正确．6.B 【解析】如解图，连接AC ，∵点E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2EF ＝4.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×4×8＝16.第6题解图7.D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∠ABC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB .∵∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°，∴AB BC ＝tan ∠ACB ＝tan 30°＝33.8.D 【解析】∵四边形ABCD 和四边形BGHF 是完全相同的菱形，∴∠DBE ＝∠BAD ＝α，AB ＝AD ，∠ABD ＝∠CBD ＝∠CBE ＋∠DBE ＝β＋α.∴∠ADB ＝∠ABD ＝β＋α.∵∠BAD ＋∠ADB ＋∠ABD ＝180°，∴α＋β＋α＋β＋α＝180°，∴β＝90°－32α.9.B 【解析】∵S 正方形AMEF ＝16，∴AM ＝4.∵M 是斜边BC 的中点，∴AM 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴BC ＝2AM ＝8.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2＝43，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×4×43＝83.10.AD ∥BC (答案不唯一)【解析】当AD ∥BC ，AD ＝BC 时，四边形ABCD 为平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形．11.3【解析】如解图，过点P 作PF ⊥AB 于点F ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝∠BAC .∵PE ⊥AD ，PF ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠AFP .∵AP ＝AP ，∴△AEP ≌△AFP (AAS)，∴PE ＝PF .∵PE ＝3，∴点P 到直线AB 的距离为PF ＝3.第11题解图12.10°或80°【解析】如解图，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交直线AD 于点E 和E ′.在菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BAC ，∵∠DAB ＝40°，∴∠DAC ＝20°.∵AC ＝AE ，∴∠AEC ＝(180°－20°)÷2＝80°.∵AE ′＝AC ，∴∠AE ′C ＝∠ACE ′＝10°.综上所述，∠AEC 的度数是10°或80°.第12题解图13.2或2＋1【解析】分两种情况，①当∠DNM ＝90°时，如解图①，则MN ∥AB ，∴ANBM＝AD BD.∵M 是BD 的中点，∴BD ＝2BM ，∴AD ＝2AN ＝2；②当∠DMN ＝90°时，如解图②，连接BN ，∵M 是BD 的中点，∠DMN ＝90°，∴BN ＝DN ＝AB 2＋AN 2＝12＋12＝2，∴AD ＝2＋1.综上所述，AD 的长为2或2＋1.图①图②第13题解图14.解：(1)四边形BPCO 为平行四边形．理由如下：由作法得，BP ＝12AC ，CP ＝12BD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OC ＝12AC ，OB ＝12BD,∴OC ＝BP ，OB ＝CP,∴四边形BPCO 为平行四边形．(2)当▱ABCD 的对角线垂直且相等时，四边形BPCO 为正方形．理由：∵AC ⊥BD ，∴四边形BPCO 为矩形，∵AC ＝BD ，∴OB ＝OC ，∴四边形BPCO 为正方形．15.解：(1)四边形EGFH 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵BE ＝DF ，∴AD －DF ＝BC －BE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠AEH ＋∠FHE ＝180°.∵EH ⊥CF ，FG ⊥AE ，∴∠FGE ＝∠FHE ＝∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形；(2)∵FG ⊥AE ，∴∠AGF ＝90°.在Rt △AGF 中，tan ∠DAE ＝GF AG ＝2，∴GF ＝2AG .∵EG ＝2GF ，∴EG ＝4AG .∵AE ＝AG ＋EG ＝5，∴AG ＝1，即AG 的长为1.16.20°；0°【解析】①∵菱形相邻两个内角的度数和为180°，∴α＋β＝180°，即80°＋β＝180，解得β＝100°，∴该菱形的“接近度”为|α－β|＝|80°－100°|＝20°；②∵当α＝β＝90°时，菱形是正方形，∴|α－β|＝0°时，菱形是正方形．课时21.C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴∠DCA ＝∠1＝20°，∴∠2＝90°－∠DCA ＝70°.2.C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝DC ，BE ＝DE ，∵∠DBC ＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD ＝BD ＝10.∵点F 为BC 中点，∴EF ＝12CD ＝5.3.D 【解析】由折叠可知，剪下的图形两条对角线互相垂直且平分，此时图形为菱形，∵∠ABC ＝45°，∴剪下的图形有一个角为90°，∴有一个角为90°的菱形是正方形，∵AB ＝4cm ，根据勾股定理得BC ＝42cm ，故剪下来图形的周长为4×42＝162cm.4.6【解析】∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝22.∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝22，AO ＝2，5.6013【解析】如解图，连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12.在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2＝13.∴AC ＝BD ＝13.∵AC 与BD 交于点O ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ＝132.∵S △BCO ＝14S 四边形ABCD ＝14×12×5＝15，∴S △BCO ＝S △BEO ＋S △CEO ＝12BO ·EG ＋12CO ·EF ＝12×132(EG ＋EF )＝15，∴EF ＋EG ＝15×413＝6013.第5题解图6.(1)3【解析】(1)如解图，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，∵△ADE 是等腰三角形，EA ＝ED ＝52，AD ＝3，∴AM ＝12AD ＝32，∴EM ＝AE 2－AM 2＝（52）2－（32）2＝2，∴S △ADE ＝12AD ·EM ＝12×3×2＝3.(2)13【解析】如解图，延长EM 交AG 于点N ，∵∠BAD ＝∠AME ＝90°，∴AB ∥NE ，∴∠ABF ＝∠FEN ，∠BAF ＝∠ENF .又∵点F 为BE 中点，∴BF ＝EF ，∴△AFB ≌△NFE ，∴EN ＝BA ＝3.由(1)知，EM ＝2，∴NM ＝1.∵∠NMD ＝∠ADC ＝90°，且M 为AD 中点，∴NM ∥GD ，∴NM 为△AGD 的中位线，∴GD ＝2NM ＝2，∴AG ＝AD 2＋GD 2＝13.第6题解图7.证明：(1)∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .又∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AFE 和△DCE 中，∵AFE ＝∠DCE ，AEF ＝∠DEC ，＝DE ，∴△AFE≌△DCE，∴AF＝DC.又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD；(2)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵D是BC的中点，∴∠ADB＝90°，由(1)知FA＝BD，又∵FA∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形．又∵∠ADB＝90°，∴四边形ADBF是矩形．8.解：(1)四边形OCDE为菱形，理由如下：∵CE是线段OD的垂直平分线，∴OF＝DF，OC＝DC.∵CD∥OE，∴∠EOF＝∠CDF.∵∠EFO＝∠CFD，∴△OFE≌△DFC，∴OE＝CD，∴四边形OCDE是平行四边形．又∵OC＝CD，∴四边形OCDE是菱形；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OC＝OA，由(1)可知，OC＝DC，∴OC＝DO＝CD，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO ＝∠CDO ＝60°，∴∠FDG ＝90°－60°＝30°.∵四边形OCDE 是菱形，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∠CGD ＝90°－∠DCE ＝60°，∴∠EDG ＝30°，∴DG ＝EG .∵CD ＝4，∴tan ∠DCG ＝DG CD ＝DG 4，∴DG ＝4·tan 30°＝4×33＝433，∴EG ＝433.9.B 【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∠ABD ＝60°，∴∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠CBD ＝30°.∵OE ＝OF ，O 为对角线BD 的中点，∴DF ＝EB .由对称的性质得DF ＝DF 2，BF ＝BF 1，BE ＝BE 2，DE ＝DE 1，∠F 2DC ＝∠CDF ＝60°，∠EDA ＝∠E 1DA ＝30°，∠F 1BC ＝∠FBC ＝30°，∴E 1F 2＝E 2F 1，∠E 1DB ＝60°，∠F 1BD ＝60°，∴DE 1∥BF 1，∴E 1F 2∥E 2F 1，∴四边形E 1E 2F 1F 2是平行四边形，如解图①，当E ，F ，O 三点重合时，DO ＝BO ，∴DE 1＝DF 2＝AE 1＝AE 2，即E 1E 2＝E 1F 2，∴四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，如解图②，当E ，F 分别为OB ，OD 的中点时，设DB ＝4，则DF 2＝DF ＝1，DE 1＝DE ＝3，在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝23，连接AE ，易得AE ＝32AB ＝3，根据对称性可得AE 1＝AE ＝3，∵AD 2＝12，DE 21＝9，AE 21＝3，即AD 2＝AE 21＋DE 21，∴△DE 1A 是直角三角形，且∠E 1＝90°，∴四边形E 1E 2F 1F 2是矩形；如解图③，当F ，E 分别与D ，B 重合时，△BE 1D ，△BDF 1都是等边三角形，则四边形E 1E 2F 1F 2是菱形，∴在这三个位置时，四边形E 1E 2F 1F 2形状的变化依次是菱形→矩形→菱形．图①图②图③第9题解图10.(1)证明：由翻折知，∠APE＝∠OPE，∵FG平分∠PFC，∴∠PFG＝∠CFG.∵AD∥BC，∴∠APF＝∠CFP，∴∠EPF＝∠PFG，∴PE∥FG；(2)解：由翻折知，EA＝EO，∠EOP＝90°.∵E，O，D三点在同一条直线上，∴∠DOF＝∠EOF＝∠C＝90°.又∵DF＝DF，∠OFG＝∠CFG，∴△DOF≌△DCF(AAS)，∴DO＝DC＝AB.∵E是AB的中点，∴设EA＝EB＝EO＝a，∴OD＝CD＝AB＝2a，∴DE＝OE＋OD＝3a.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，∴AD＝（3a）2－a2＝22a.∵AD＝nAB，∴22a＝2na，∴n＝2.。