第二章 晶体点阵

2.2.2 空间点阵的阵点直线方向指数 空间阵点的矢径可以表示为 Tpqr = pa + qb + rc a,b,c代表空间点阵的基矢。p,q,r 为阵点【(p,q,r)】 在a,b,c三坐标轴上的分量，为有理数。使p:q:r = u:v:w,且u,v,w为互质的整数，那么【uvw】就是阵 点直线的方向指数。 阵点直线方向指数的求法： （1）把直线平移至通过坐标原点，任取直线上一 个阵点的坐标p,q,r，再将其互质化为u,v,w，即求得 阵点直线的方向指数【uvw】。 （2）在阵点直线上任取两点的坐标【 p1q1r1 】 和 【 p2q2r2 】，使(p1 - p2):( q1 - q2):(r1 - r2)化为互质
这个定律是法国科学家HAÜY在无限劈裂方解石成 10155角的多面体启示下发现的。当时还不能 证明此定律。所以叫有理指数定律—经验的总结。
后来随着晶体学的点阵结构理论所证明。证明方法： 把相较于一点的三个晶棱作为坐 3 标轴，以初基单胞的棱长为坐标 3 的标度。把一个晶面放到此坐标 1 1 系，这个晶面在坐标轴上的截距 1 3 倒数之比可以简化为一互质的整 数连比。 2.3.2 阵点平面指数 阵点平面指数(hkl)首先由米勒引用，以后称为 米勒指数。 有了有理指数定律，当晶体选取适当的坐标轴 后，就可以标定阵点平面或晶面指数。
步骤为：
(1)选择不同阵点平面的三个坐标轴X,Y,Z，相应的 轴单位分别为a,b,c，使欲求指数的阵点平面与三个 坐标轴相交。
(2)测量阵点平面与坐标轴的交点到原点距离，即 求的pa,qb,rc，p,q,r称为轴系数。 (3)取阵点平面在三个坐标轴的轴系数的倒数，并 乘以适当因子，使其换算到三个互质证书连比。即 可求得该阵点平面指数(hkl)
b a g
c
b
y
有 和
对正方空间点阵的方向指数，在三个指数的正负号 和位置的变换中，只限制w必须出现在最后。因而 和w重复； 有 和w重复。 最后得到16个等效方向。用<uvw>正方表示。对于方 向指数中有两个为0时，减少为4个等效方向。 即 对于<111>正方类型，只有8个等效方向。
对于六方和三方空间点阵，可 以选择4轴坐标系，四个指数为 [uviw]，一次对应轴a、b、d、c. 轴a、b、d在同一平面内，c垂 直于此面。 u:v:i:w比值为
参考书目： 1.近代晶体学基础（上） 2.现代晶体化学 3.物质结构基础
第二章 晶体点阵
晶体是由原子或分子在空间按一定规律周期重复排 列构成的固体物质。晶体内部周期性排列的结构， 使晶体具有以下共性： 1.均匀性：晶体内部各个部分的宏观性质相同。注 意：玻璃体内各个部分的宏观性质也是相同的，与 晶体有什么不同？ 2.各向异性：晶体中不同方向具有不同的物性。光 电磁等。 3.自发地形成规则多面体：晶体生长过程中自发地 形成晶面，晶面相交成为晶棱，晶棱相交形成顶点。 晶体在理想状态下应生长成凸多面体。
的是平面矩形点阵。 因此有
故有
并以<uvw> 代表着四 个等效方向。
单斜
a b c = b = 90 g 90
b.正方空间点阵 正方形平面点阵的阵点对阵点堆 砌而成，保有4次轴，但是层间距不等于正方形边 长。初基正方空间点阵单胞如图： z 对正方形平面点阵，有
即在此指数中正、负号都是 可变的。但是，在保证垂直 于正方形平面点阵的平面点 x 阵为矩形的情况下，只有 a = b c = b = g = 90 v(或u)和w正、负号是可变。
空间点阵可以画出无限多个阵点直线族，每个 阵点直线族的阵点直线均互相平行，重复周期相同。 阵点直线在晶体结构中为晶列，在外形上表现为晶 棱。 空间点阵也可以画出无限多阵点平面族，每个 平面均平行。阵点平面在晶格结构中成为网面，在 外形上表现为晶面。有两个重要特征： （1）空间方向。阵点平面的法线方向代表该阵点 平面族的方向； （2）阵点平面族中的平面间距相等。
2.2方向指数 2.2.1平面点阵的阵点直线方向指数
图中平面点阵中，A方向的 终点不在阵点上，OA不是 平面点阵的平移矢量。延 长止于阵点R，这时OR变 为真的平移矢量（径）。 即T = a + 3b。T平移矢量 方向指数为【13】.如果分向相反，平移矢量为， 这时T = -a - 3b，T的方向指数为【13】。对平面 点阵阵点直线可以表示为 Tpq = pa + qb
Z Y
r q
求出pa,qb和rc,然后求
O
p
X
1 1 1 : : A h : k :l p q r
立方初基单胞的一些重要阵点平面
阵点平面指数(hkl) 注意四点：
(1) (hkl) h : k : l
h : k : l (h k l )
: : 0 : k : l (0kl)
满足此条件的一组点称为点阵（Lattice）。 点阵中的每个几何点叫阵点。阵点的选择是任意的， 只要代表结构基元就可以。阵点所代表的具体内容 称为晶体的结构基元（structural motif）。 2.1 图案与点阵 2.1.1 一维图案与直线点阵 一维对称图案的结构基元周期性地排列在一个方 向上。 将一维对称图案中每个结构基元等同位置抽象成一 个几何点，形成一个直线点阵。
2.3有理指数定律和阵点平面指数 Z 结晶多面体上的两个晶面Q1， Y C2 B2 Q2在X，Y，Z三个坐标轴上 B1 Q2 C1 Q1 的截距分别为OA1和OA2， O X OB1和OB2，OC1和 A1
A2
OC2，其对应二者的比值连比可以简化为三个互 质的整数连比：
OA1 OB1 OC1 : : h : k : l (hk l) OA2 OB2 OC 2
的三个数，即得方向指数。 对于【uvw】应该注意如下两点： (1) (2) 在晶体结构及其对称图形中，一组相互平行的 阵点直线的方向指数相同，都可以用【uvw】
空间点阵等效阵点直线的数目与其点阵的对称性 有关。对称性越高其等效阵点直线的数目越多。 a.单斜空间点阵 若平行四边形点阵均匀的堆积过 程是上一层点阵直接的在下一层阵点之上，这样的 堆积可形成单斜空间点阵，保有二次轴。 在平行四边形点阵中每个阵点都是对称中心，因 此有【u v 】= 【u v 】，但是垂直于平行四边形
1.初基单胞以每个阵点为原点，做周期性重复时， 完全覆盖所有点阵面积； 2.不管所选的基矢如何，初基单胞的面积相等； 3.初基单胞只包含一个阵点，非初基单胞包含两个 或以上阵点。 平面点阵任何阵点的矢径可表示为：
平面点阵只有5种排列方式：
|a||b| 90
|a||b| = 90 |a|=|b| 90
NaCl晶体中， 同类原子最 小重复距离 为5.628Å。 换一个重复 距离标度就 可以表示 LiCl或KCl 晶体结构， 但是空间点 阵形式完全 一致。
5.628Å
5.628Å
C c A O a b B
与前面一样，选择4个相邻的阵点O,A,B,C，得到3 个方向的基矢
用这3个基矢可以画出一个体积最小的平行六面体。 每个顶点为一个阵点，这个阵点为八个相同的平行 六面体所共有。因此对每个这样的平行六面体而言， 只包含一个阵点。这种平行六面体叫初基单胞。在 三个方向上做周期性重复，就得到整个空间点阵。 任选一个阵点做原点，其他任何阵点的矢径可 表示为
(2)当阵点平面与坐标轴X轴平行时，在X轴上有a， 这时 1 1 1
(hkl)
q r
当然还可以得到
(h0l )
(hk0)
(00l )
(0k 0)
(h00)
(3)属于同一阵点平面簇平面指数相同(hkl).
(4)晶体外形的晶面的平面指数称为晶面指数或米 勒指数。对于原点异侧的平行晶面用不同的晶面指 数表示。规定
平面点阵可以分 解为一系列平行 的点阵直线，每 组平行的点阵直 线间距(di)是等同 的。也可以划分 为无限多个连接 的平行四边形， 阵点周围的几何环境都是相同的。
非初基 单胞
任选一个阵点作为原点O，连接相邻两个阵点做 向量对，有两种情况：由初基矢量对围成的平行四 边形叫初基单胞，否则为非初基单胞。 初基单胞性质：
在一般情况下，矩形点阵的阵点直线的等效方向 指数可表示为
C.正方形点阵 存在两组互为正交的对称面（12） （12）及四次对称轴。 图中阵点直线（12）通 过对称面反映或对称面 反映和四次轴旋转操作， 可产生8个等效方向。
一般情况下，正方形点阵的阵点直线等效方向指 数可以写为
d. 六方形点阵 存在一个六次旋转轴和六个对称面。 图中的阵点直线方向A（13），通过六次旋转轴和 六个对称面的反映，可以得到等效方向。
凸多面体的晶面数F，晶棱数E和顶点数V之间的关 系符合公式： F + V =E + 2 4.有明确的熔点 5.对称性—最重要 6.对X射线衍射—测量的基础 X-射线已经揭示了晶体内部的结构基元（motif） 总是按照一定的周期排列，并形成固定的三维空间 图案。对晶体结构基元周期性排列的描述是将每个 结构基元看成抽象的几何点，这样把晶体结构抽象 成一组无线多个周期性排列的点-点阵。 定义：点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可 得一向量，将各个点按此向量平别为点R的坐标。 a 同时，还规定了x1+x2+x3=0。 这样就可以得到通过坐标原点的任一阵点直线方向 指数。 同样可以证明任意 [uviw]前3个指数之和为0， 即 u+v+i=0
写出图中OA,OB,OC, OD, OE,OF的矢径和这些阵点 直线的方向指数。 a/3 2a/3 确定图中空间点阵的 点阵直线OA,OB和OC 方向指数。B点平分基 矢径a。 证明六方和三方空间点阵 的四个指数[uviw]前3个之和为0， 即u+v+i=0
|a|=|b| = 90
|a|=|b| 90