(江苏专版)19版高考数学一轮复习第十三章立体几何13.1平面的基本性质讲义
江苏省2019年年高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).。
高考江苏数学大一轮精准复习课件平面及其基本性质
观的图形来帮助理解和解决数学问题。
利用图形进行推理
02
在解题过程中，可以通过画出相关的图形来帮助理解和推理，
如画出两平面的交线、画出过某点的直线等。
结合代数方法进行求解
03
在利用图形进行推理的同时，可以结合代数方法进行求解，如
利用向量的运算、利用方程的求解等。
06
高考中平面及其基本性质的备考建议
建议一：熟练掌握平面的基本性质
加强平面与直线交点的求 解
掌握求解平面与直线交点的方法和步骤，能 够运用相关定理和性质进行求解和分析。
建议三：注重数形结合思想在解题中的应用
强化数形结合意识
在解题过程中，注重将数与形结合起来，通过图形的直观性来辅助理解和分析题目，提 高解题的效率和准确性。
熟练掌握数形结合的方法
了解数形结合的基本方法和技巧，如利用图形的性质、构造图形、利用向量的几何意义 等，能够灵活运用这些方法来解决实际问题。
直线在平面内
如果一条直线上的所有点都位 于平面上，则该直线属于该平 面。
直线在平面外
如果一条直线上至少有一个点 不属于该平面，则该直线不属 于该平面。
05
高考中平面及其基本性质的解题技巧
技巧一：利用平面的基本性质解题
掌握平面的基本性质
了解并掌握平面的基本性质，如平面的无限延展性、平面内任意 两点确定一条直线等。
03
平面的性质与应用
平面的平行性质
01
02
03
平行公理
过直线外一点，有且仅有 一条直线与已知直线平行 。
平行线的性质
两条平行线被第三条直线 所截，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补。
平行面的性质
两个平行平面被第三个平 面所截，截得的两条交线 平行。
(江苏专版)高考数学一轮复习 第十三章 立体几何 13.3 垂直的判定与性质讲义-人教版高三全册数学
§13.3 垂直的判定与性质考纲解读考点内容解读 要求五年高考统计常考题型 预测热度2013 2014 2015 2016 20171.线面垂直的判定与性质1.线面垂直的证明2.线面垂直的性质应用B16题14分解答题 ★★★2.面面垂直的判定与性质1.面面垂直的证明2.面面垂直的性质应用B15题14分 解答题 ★★★分析解读 空间垂直问题是某某高考的热点内容,主要考查线面垂直和面面垂直的判定与性质运用,复习时要认真掌握解决垂直问题常用的方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.五年高考考点一 线面垂直的判定与性质1.(2016某某理,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则以下说法正确的是.①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n. 答案 ③2.(2015某某,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,已知AC⊥BC,BC=CC 1,设AB 1的中点为D,B 1C∩BC 1=E. 求证:(1)DE∥平面AA 1C 1C; (2)BC 1⊥AB1.证明 (1)由题意知,E 为B 1C 的中点, 又D 为AB 1的中点,因此DE∥AC. 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C,AC ⊂平面AA 1C 1C, 所以DE∥平面AA 1C 1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.3.(2015某某,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.解析(1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=·AB·AC·sin 60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=·S△ABC·PA=.(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连结BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,从而NC=AC-AN=.由MN∥PA,得==.4.(2015某某,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)设BC=x,则在直角△ABC中,AB==,从而S△ABC=AB·BC=x.由EF∥BC知,==,得△AFE∽△ABC,故==,即S△AFE=S△ABC.由AD=AE,S△AFD=S△AFE=·S△ABC=S△ABC=x,从而四边形DFBC的面积为S DFBC=S△ABC-S△AFD=x-x=x.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE===2.体积V P-DFBC=·S DFBC·PE=·x·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3,所以,BC=3或BC=3.5.(2014某某,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点. 求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥B C1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连结AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.教师用书专用(6—8)6.(2014某某,19,12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.解析(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC.因此AC=DC.又G为AD的中点,所以CG⊥AD.同理BG⊥AD,因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O,由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,所以V D-BCG=V G-BCD=·S△DBC·h=×BD·BC·sin 120°·=.7.(2014某某,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析(1)证明:如图,连结OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1,又因为BM=,且∠OBM=,所以在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cos=.设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.连结AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.由于MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,得a=或a=-(舍去),即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.所以V P-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.8.(2013某某,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.(1)证明:PC⊥BD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.解析(1)证明:连结AC,交BD于O点,连结PO.因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC.因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点,所以V P-BCE=V C-PEB=V C-PAB=V B-APC.由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.因为∠BAD=60°,所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC,故S△APC=PO·AC=3.由(1)知,BO⊥面APC,因此V P-BCE=V B-APC=×·BO·S△APC=.考点二面面垂直的判定与性质1.(2017某某,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.2.(2017某某文,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD 为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明本题考查线面平行与面面垂直.(1)取B1D1的中点O1,连结CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.教师用书专用(3)3.(2016,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.(2分)又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(4分)(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.(6分)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.(7分)又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:(10分)取PB中点F,连结EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.(13分)又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.(14分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一线面垂直的判定与性质1.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.答案 22.(苏教必2,一,2,变式)如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有个直角三角形.答案 43.(2018某某海安高级中学高三阶段考试)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,在平面ABC中,AB=2,BC=4,M为BC的中点,过A1,B1,M三点的平面交AC于点N.(1)求证:N为AC的中点;(2)求证:AC⊥平面A1B1MN.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面ABC∥平面A1B1C1,∵平面A1B1M∩平面ABC=MN,平面A1B1M∩平面A1B1C1=A1B1,所以MN∥A1B1.因为AB∥A1B1,所以MN∥AB,所以=.因为M为BC的中点,所以N为AC的中点.(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,所以在三角形A1AN中,AN=1,AA1=2,由余弦定理得A1N=,故A1A2=AN2+A1N2,所以∠A1NA=90°,即A1N⊥AC.在三角形ABC中,AC=2,AB=2,BC=4,所以BC2=AB2+AC2,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC.又MN∥AB,所以AC⊥MN.因为MN∩A1N=N,MN⊂面A1B1MN,A1N⊂面A1B1MN,所以AC⊥平面A1B1MN.4.(2017某某某某期末调研,16)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EA⊥EB,点M,N分别是AE,CD的中点.求证:(1)直线MN∥平面EBC;(2)直线EA⊥平面EBC.证明(1)取BE的中点F,连结CF,MF,因为M是AE的中点,所以MF∥AB,MF=AB,又N是矩形ABCD的边CD的中点,所以NC∥AB,NC=AB,所以MF NC,所以四边形MNCF是平行四边形,所以MN∥CF,又MN⊄平面EBC,CF⊂平面EBC,所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中,BC⊥AB,因为平面EAB⊥平面ABCD,平面ABCD∩平面EAB=AB,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面EAB,又EA⊂平面EAB,所以BC⊥EA,又EA⊥EB,BC∩EB=B,EB,BC⊂平面EBC,所以EA⊥平面EBC.5.(2017苏锡常镇四市教学情况调研(一),16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥CB.证明(1)连结BC1,因为OE∥平面BCC1B1,且OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1.因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,所以O是AC1的中点,所以E是AB的中点.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,又AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C,A1B⊂面A1BC,所以AC1⊥面A1BC,因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.考点二面面垂直的判定与性质6.(2018某某某某中学高三阶段测试)如图,在几何体中,四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD的交点为O,四边形DCEF为梯形,EF∥CD,FB=FD.(1)若CD=2EF,求证:OE∥平面ADF;(2)求证:平面ACF⊥平面ABCD.证明(1)取AD的中点G,连结OG,FG,∵对角线AC与BD的交点为O,∴OG∥CD,OG=CD.∵EF∥CD,CD=2EF,∴OG∥EF,OG=EF,∴四边形OGFE为平行四边形,∴OE∥FG.∵FG⊂平面ADF,OE⊄平面ADF,∴OE∥平面ADF.(2)连结OF.∵四边形ABCD为菱形,∴OC⊥BD,∵FB=FD,O是BD的中点,∴OF⊥BD.又∵OF∩OC=O,∴BD⊥平面ACF.∵BD⊂平面ABCD,∴平面ACF⊥平面ABCD.7.(2017某某某某辅仁中学质检,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点.(1)求证:BD⊥OE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.证明(1)因为平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,BD⊥AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,又因为OE⊂平面PAC,所以BD⊥OE.(2)因为AB∥CD,AB=2CD,AC与BD交于O,所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2,又因为AE=2EP,所以CO∶OA=PE∶EA,所以EO∥PC,又因为PC⊂平面PBC,EO⊄平面PBC,所以EO∥平面PBC.8.(2017某某某某,某某一模,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,又DE⊂底面ABC,所以CC1⊥DE.又BC⊥AC,DE∥BC,所以DE⊥AC,又CC1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.9.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起,记折起后A的位置为点P,且使平面PBD⊥平面BCD.求证:(1)CD⊥平面PBD.(2)平面PBC⊥平面PDC.证明(1)∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,又∵AD∥BC,∴∠DBC=45°,又∠DCB=45°,∴∠BDC=90°,即BD⊥DC.∵平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP.又BP⊥PD,PD∩CD=D,∴BP⊥平面PDC.又BP⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDC.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(苏教必2,一,2,变式)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是.①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.答案③二、解答题(共15分)2.(2017某某某某、某某、某某三模,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AP=AD,M,N分别为棱PD,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAB;(2)AM⊥平面PCD.证明(1)因为M,N分别为棱PD,PC的中点,所以MN∥DC,又因为底面ABCD是矩形,所以AB∥DC,所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为AP=AD,M为PD的中点,所以AM⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.因为CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,所以AM⊥平面PCD.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 证明线面垂直的方法1.(2017某某某某师X大学附属中学调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EBD;(2)求证:PB⊥平面EFD.证明(1)连结BE,BD,AC,设AC交BD于G,连结EG,则G为AC的中点,在△PAC中,E为PC的中点,G为AC的中点,故PA∥EG,又EG⊂面BED,PA⊄面BED,所以PA∥平面EBD.(2)∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BC.∵BC⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD⊂面PCD,∴BC⊥面PCD,又DE⊂面PCD,∴BC⊥DE,∵PD=CD,E为PC的中点,∴DE⊥PC,又BC∩PC=C,BC,PC⊂面PBC,∴DE⊥面PBC,又PB⊂面PBC,∴DE⊥PB,又∵PB⊥EF,EF∩DE=E,EF,DE⊂面EFD,∴PB⊥平面EFD.方法2 证明面面垂直的方法2.(2017某某某某期中,17)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证: (1)BD1∥平面EAC;(2)平面EAC⊥平面AB1C.证明(1)连结BD交AC于O,连结EO.易知O为BD的中点,因为E为DD1的中点,所以EO∥BD1. 又BD1⊄平面EAC,EO⊂平面EAC,所以BD1∥平面EAC.(2)易知AC⊥BD,DD1⊥平面ABCD,所以DD1⊥AC,因为BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1,所以AC⊥BD1,同理可证AB1⊥BD1,又AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,因为EO∥BD1,所以EO⊥平面AB1C,又EO⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面AB1C.。
江苏省2019年年高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
投影
立体几何平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
三、建构数学
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).
实验2：
αβ=且
l
P
可以帮助我们解决哪些几何问题？
）判断两个平面是否相交；（2）判定点是否在直线上，证明点共线问题。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第13章 空间向量与立体几何13.1空间向量及其运算教学案 苏教版
本节所涉及到的高考题是理科生必做题，要求考生能类比平面向量的概念和运算，认识空间向量的概念和运算．对于空间任何三个不共面的向量都可作为空间向量的一组基底，只要基底确定，就可用基向量表示空间其他向量．在空间中，若存在三条两两互相垂直的直线，则可将空间向量进行正交分解，从而用坐标表示它们．充分掌握空间向量的共线与共面以及数量积的运算是解决有关空间问题的基础．
2．共线、共面向量定理及空间向量基本定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是__________________．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得__________________．
1．已知G是△ABC的重心，O是空间与G不重合的任意一点，若 ＋ ＋ ＝λ ，求λ的值．
2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的 长；若不存在，说明理由．
3．平面图形ABB1A1C1C如图(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝ ，A1B1＝A1C1＝ .现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图(2)所示的空间图形．
请做针对训练1
二、空间向量的数量积
【例2】(安徽高考)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点，
(1)证明：BD⊥EC1；
2019版高考数学一轮复习课件： 第十三章 立体几何 13.1 平面的基本性质课件
第十三章 立体几何
§13.1 平面的基本性质
知识清单
拓展延伸
1.公理1用来证明“点在面内”或“线在面内”. 2.公理2用来确定两个平面的交线,尤其是画截面图或补体时用到,证明 “三点共线”“三线共点”. 3.公理3及推论用来证明两个平面重合,确定一个平面或证明“点线共面”.
方法技巧
都经过该点.而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两 个平面的公共点.
例1 如图,已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1, C1D1的中点,证明:EF,HG,DC三线共点.
证明 连结C1B,HE,GF,由题意知HC1������ EB,
∴四边形HC1BE是平行四边形,
例2 三个平面两两相交得到三条交线,证明若其中有两条相交于一点,
则第三条也经过此点.
证明 已知:如图,设平面α,β,γ满足α∩β=a,β∩γ=b,γ∩=c,且a∩b=A.求 证:A∈c.
证明:∵a∩b=A,∴A∈a,A∈b. 又∵α∩β=a,β∩γ=b,∴a⊂α,b⊂γ.∴A∈α,A∈γ. ∴点A在α与γ的交线上,即A∈c.
方法 证明点共线、线共点等的方法
1.证明多点共线的方法 (1)首先找出两个平面的交线,然后证明若干点都是这两个平面的公共 点,根据公理2,可推知这些点都在交线上,即若干点共线. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另外一些点都在这条直线上. 2.证明多线共点的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点,再证明其他直线
∴HE������ C1B.
又C1G=GC,CF=BF,
1 C1B, ∴GF∥C1B,且GF= 2
1 ∴GF∥HE,且GF= HE, 2
(江苏专)高考数学一轮复习第十三章立体几何13.1平面的基本性质讲义
§13.1 平面的基本性质命题探究考纲解读考点内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 平面的基本性质 空间点、线、面关系判断 A填空题 ★☆☆分析解读 平面的基本性质是立体几何的基础,高考很少单独考查,但只有充分认识平面的基本性质,才能为学好后面的平行与垂直打下坚实的基础.五年高考考点 平面的基本性质1.(2015福建改编,7,5分)若l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的 条件.答案 必要而不充分2.(2013安徽理改编,3,5分)在下列命题中,不是．．公理的是 (填序号). ①平行于同一个平面的两个平面相互平行②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 ④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 ①三年模拟A 组 2016—2018年模拟·基础题组考点 平面的基本性质 1.(2017江苏宿迁中学月考)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是BD 1的中点,直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M,给出下列四个结论:①A 1、M 、O 三点共线;②M、O 、A 1、A 四点共面;③A、O 、C 、M 四点共面; ④B 、B 1、O 、M 四点共面.其中正确结论的序号是 .答案①②③2.(苏教必2,一,2,变式)下列命题中,正确的个数为.①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.答案 23.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点.证明(1)如图,连结EF、CD1、A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥BA1,EF=BA1.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E、C、D1、F四点共面.(2)易知EF=C D.∵EF∥CD1,∴CE与D1F必相交,设交点为P,如图所示.则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面AB CD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)解答题(共15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1、H、O三点共线.证明连结BD、B1D1,OD1,如图.则BD∩AC=O,∵BB1 DD1,∴四边形BB1D1D为平行四边形,又H∈B1D,B1D⊂平面BB1D1D,∴H∈平面BB1D1D,∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,H∈平面ACD1,∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线.C组2016—2018年模拟·方法题组方法证明点共线、线共点等的方法如图,在空间四边形ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.求证:(1)E,F,H,G四点共面;(2)EF,GH,BD交于一点.证明(1)连结GE,FH,因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC,GE=AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以FH∥AC,FH=AC.从而FH∥GE,FH≠GE.所以四边形EFHG是一个梯形,故E,F,H,G四点共面.(2)因为四边形EFHG是一个梯形,且FH∥GE,所以直线EF与GH相交.设交点为O,则O∈GH,O∈EF.因为GH⊂平面ABD,EF⊂平面BCD,所以O∈平面ABD,O∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点.。
高中数学苏教版必修第二册第十三章《平面的基本性质》示范公开课教学课件
（2）若平面与直线有两个公共点呢？
不一定在
在
两点确定一条直线
（3）为什么两个公共点可以？
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
作用：①判定线面之间的关系； ②判断点是否在平面内等等.
下列条件能否确定一个平面？
∴点O在平面内
又点O，C，D在平面内
∴平面,相交于O，C，D所在直线（基本事实3）
故O，C，D三点共线
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
以下图的长方体为例，你能说明下列点、直线和平面的位置关系吗？
（1）点，与直线是什么位置关系？（2）点，与平面是什么位置关系？（3）直线与直线是什么位置关系？（4）直线、直线平面是什么位置关系？
点在直线上，点不在直线上；点在平面内，点不在平面内；直线与直线相交于点；直线在平面内、直线不在平面内．
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？
解：（1），. (如图①)（2），，，，.(如图②)（3）.(如图③)
已知：，，，．求证：直线，，共面．
因为直线与点可以确定平面，所以只需证明，，都在平面内．
证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）．因为，所以．又，所以（基本事实2）．同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面．
如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线．
符号表示
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
2019版高考数学一轮复习讲义 第十三章 立体几何 13.1 平面的基本性质讲义
§平面的基本性质命题探究考纲解读分析解读平面的基本性质是立体几何的基础,高考很少单独考查,但只有充分认识平面的基本性质,才能为学好后面的平行与垂直打下坚实的基础.五年高考考点平面的基本性质.(福建改编分)若是两条不同的直线垂直于平面α,则“⊥”是“∥α”的条件.答案必要而不充分.(安徽理改编分)在下列命题中,不是．．公理的是(填序号).①平行于同一个平面的两个平面相互平行②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案①三年模拟组—年模拟·基础题组考点平面的基本性质.(江苏宿迁中学月考)在正方体中是的中点,直线交平面于点,给出下列四个结论:①、、三点共线;②、、、四点共面;③、、、四点共面;④、、、四点共面.其中正确结论的序号是.答案①②③.(苏教必,一,变式)下列命题中,正确的个数为.①梯形可以确定一个平面;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.答案.(苏教必,一,变式)如图所示,正方体中、分别是和的中点.求证:()、、、四点共面;()、、三线共点.证明()如图,连结、、.∵、分别是、的中点,∴∥.又∥,∴∥,∴、、、四点共面.()易知.∵∥,∴与必相交,设交点为,如图所示.则由∈⊂平面,得∈平面.同理∈平面.又平面∩平面,∴∈直线.∴、、三线共点.组—年模拟·提升题组(满分分时间分钟)解答题(共分)如图,在正方体中为正方形的中心为直线与平面的交点.求证、、三点共线.证明连结、,如图.则∩,∵��,。
13.2.1平面的基本性质-(新教材)苏教版(2019)高中数学必修第二册课件
合
作
课
探
∴a，b，l 共面．
究
时 分
层
释
同理，a，c，l 共面，即 c 也在 a，l 确定的平面内．
作
疑
业
难
故 a，b，c，l 共面．
返 首 页
·
25
·
情
法二：∵a∥b，
课
景
堂
导 学
∴过 a，b 确定平面 α，又∵A∈a，B∈b，
小 结
·
探 新
∴AB⊂α，即 l⊂α.
提 素
知
养
又∵b∥c，∴过 b，c 确定平面 β，
导
小
学
∴D1F 与 CE 相交于点 P.
结
·
探
提
新
又 D1F⊂平面 A1D1DA，
素
知
养
CE⊂平面 ABCD．
合
作 探
∴P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点．
课 时
究 释
又平面 A1D1DA∩平面 ABCD＝DA，
分 层 作
疑 难
根据基本事实，可得 P∈DA，
业
即 CE，D1F，DA 相交于一点．
·
情
课
景
堂
导 学
法一：∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α.
小 结
·
探 新
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
提 素
知
养
合
又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证 C∈α.
作
课
探
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.
究
时 分
层
释 疑
∴直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
高中数学第1章立体几何初步1.2.1平面的基本性质课件1苏教版必修2
公路、平静的海面、教室的黑板都给我们以 平面的形象．
你还能从生活中举出类似平面的物体吗？
几何里所说的“平面” 就是从这样的一些物体中 抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
常把希腊字母α、β、γ等写在代表平面的平行四边形的一个角
上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶
点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名
称．
D
C
A
B
记作：平面
平面 ABCD 平面 AC 或平面 BD
如果直线 l 与平面 有两个公共点， 直线 l 是否在平面 内？
温度计中的玻璃管被两个卡 子固定在刻度盘上，可以看到， 玻璃管就落在了刻度盘上．
公理1 如果一条直线上有两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
P
作用：
① 判断两个平面相交的根据；
② 判断点在直线上．
视察长方体，你能发现长方体的两个相交平面 有没有公共直线吗？
这条公共直线 BC 叫做这两个
D
C 平面ABCD 和平面 BBCC 的交线．
A
B
另一方面，相邻两个平面有一个
公共点，如平面 ABCD 和平面
D
BBCC 有一个公共点 B ，经过点
C
1. 由点A，O，C可以确定一个平面；
错误
2.由A，C1，B1确定的平面是 ADC1B1 ；
正确
3.由 A，C1，B1确定的平面与由A，D，C1
面是同一个平面．
确定的平
正确
C
B
D
O
A
C1 D1
B1 A1
公理1 如果一条直线上有两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个 平面． 推论1 经过一条直线和直线外的一点，
高一数学苏教版课件：平面基本性质
l2 b, ⇒ P∈b,
∴ P a∩b,
l
a
l1
P
l2
则点 P 应在 a 和 b 的交线上,
(如图)
∴ 点 P 一定在直线 l 上.
合作探究
问题10：生活中经常看到用三角架支撑照相机．或自行车的撑脚等等……，
你知道它们为什么用三个支撑点吗？
B
A
C
数学建构
公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
合作探究
问题9：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只
相交于一点B ？为什么？
a
B
数学建构
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些
公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
符号语言
∈
⟹ ∩ = 且 ∈ .
∈
文字语言
b
图形语言
l
∈
横边画成邻边的 2 倍.
平面也可用其他平面图
形, 如用三角形、梯形
等来表示平面.
数学建构
3. 平面的表示：
一般用希腊字母 a、b、g 等表示。也可用表示平面的平面图形的
顶点字母表示（如下面的图形）。
D
a
b
平面a
E
A
C
B
平面BCF
平面b
F
合作探究
辨析：下列图形中的平面α与平面β是否为同一平面？
β
α
α
面α内且平行于直线 m.
α ∩ β=m，a⊂ ， //m.
β
a
m
合作探究
问题8：如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l
(江苏专版)19版高考数学一轮复习第十三章立体几何13.2平行的判定与性质讲义
§13.2 平行的判定与性质考纲解读分析解读 空间平行问题是江苏高考的热点内容,主要考查线面平行,偶考面面平行及平行的性质,复习时要抓住解决平行问题常用的基本方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.五年高考考点一 线面平行的判定与性质1.(2015安徽改编,5,5分)已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 . (1)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行; (2)若m,n 平行于同一平面,则m 与n 平行;(3)若α,β,则在α内与β平行的直线;(4)若m,n ,则m 与n 垂直于同一平面.答案 (4)2.(2014辽宁改编,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是 .①若m∥α,n∥α,则m∥n; ②若m⊥α,n ⊂α,则m⊥n; ③若m⊥α,m⊥n,则n∥α; ④若m∥α,m⊥n,则n⊥α. 答案 ②3.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别为AB,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D⊥A 1F,A 1C 1⊥A 1B 1.求证:(1)直线DE∥平面A 1C 1F; (2)平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.证明 (1)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,A 1C 1∥A C. 在△ABC 中,因为D,E 分别为AB,BC 的中点, 所以DE∥AC,于是DE∥A 1C 1.又因为DE ⊄平面A 1C 1F,A 1C 1⊂平面A 1C 1F, 所以直线DE∥平面A 1C 1F.(2)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,A 1A⊥平面A 1B 1C 1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.4.(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.证明(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF.连结DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以D E⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF,因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I.连结GI,HI.在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB.在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.5.(2015山东,18,12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.证明(1)证法一:连结DG,CD,设CD∩GF=M,连结MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以H M∥BD,又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥E F,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)连结HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE,又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩G H=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.6.(2014江苏,16,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)证明:因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.7.(2014北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解析(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB,又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB中点G,连结EG,FG.因为G,E,F分别是AB,A1C1,BC的中点,所以EC1=A1C1,FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB==.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×××1×2=.教师用书专用(8—13)8.(2016四川,17,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.解析(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:连结CM.因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥AM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明:连结BM,由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,因为AD∥BC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,所以P A⊥平面ABCD.从而PA⊥BD.因为AD∥BC,BC=AD,所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又B D⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.9.(2016课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.解析(1)证明:由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连结AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.(3分)又AD∥BC,故TN AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.(9分)取BC的中点E,连结AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积V N-BCM=·S△BCM·=.(12分)10.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.解析(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以AD∥BC.又因为AD⊂平面PDA,BC⊄平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点,记为E,连结PE,因为PD=PC,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PE⊥BC.因为四边形ABCD为长方形,所以BC⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以BC⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)连结AC.由(2)知,BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=AD·PD=×3×4=6.在Rt△PDE中,PE===.S△ADC=AD·DC=×3×6=9.由(2)知,PE⊥平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.设点C到平面PDA的距离为d,由V C-PDA=V P-ADC,即d·S△PDA=PE·S△ADC,亦即×6d=××9,得d=.故点C到平面PDA的距离为.11.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.解析(1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.(2)连结AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连结OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH=GK,所以PO∥GK,所以GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.再由PO∥GK得GK=PO,且G是PB的中点,所以GH=BC=4.由已知可得OB=4,PO===6,所以GK=3.易得EF=BC=8,故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.12.(2014四川,18,12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.解析(1)证明:因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线 ,所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC,所以AA1⊥B C.又AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC⊥平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M,连结A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知可知O为AC1的中点.连结MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,所以MD AC,OE AC,因此MD OE.连结OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC,MO⊂平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC,即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.13.(2014山东,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥B C,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP∥平面BEF;(2)求证:BE⊥平面PAC.证明(1)设AC∩BE=O,连结OF,EC.由于E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在△PAC中,可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.考点二面面平行的判定与性质1.(2013安徽理,15,5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为答案①②③⑤2.(2013江苏,16,14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.证明(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC,因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.教师用书专用(3)3.(2013陕西,18,12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1=.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.解析(1)证明:由题设知,BB1DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1B1C1BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B=B,∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高.又∵AO=AC=1,AA1=,∴A1O==1.又∵S△ABD=××=1,∴=S△ABD×A1O=1.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一线面平行的判定与性质1.(苏教必2,一,2,变式)下列命题中正确的是.①若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面;②若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行;③平行于同一条直线的两个平面平行;④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.答案④2.(2016江苏扬州中学综合练习,8)设α,β为互不重合的平面,m,n是互不重合的直线,给出下列四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n;④若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β.其中正确命题的序号为.答案④3.(2016江苏镇江一模,7)设b,c表示两条直线,α,β表示两个平面,现给出下列命题:①若b⊂α,c∥α,则b∥c;②若b⊂α,b∥c,则c∥α;③若c∥α,α⊥β,则c⊥β;④若c∥α,c⊥β,则α⊥β.其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号)答案④4.(2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在三棱锥S-ABC中,SA=SC,AB⊥AC,D为BC的中点,E为AC上一点,且DE∥平面SAB,求证:(1)直线AB∥平面SDE;(2)平面ABC⊥平面SDE.证明(1)因为DE∥平面SAB,DE⊂平面ABC,平面SAB∩平面ABC=AB,所以DE∥AB,因为DE⊂平面SDE,AB⊄平面SDE,所以AB∥平面S DE.(2)因为D为BC的中点,DE∥AB,所以E为AC的中点,又因为SA=SC,所以SE⊥AC,又AB⊥AC,DE∥AB,所以DE⊥AC.又DE,SE⊂平面SDE,DE∩SE=E,所以AC⊥平面SDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SDE.5.(2017江苏镇江一模,16)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=EC=AA1.(1)求证:AC1∥平面BDE;(2)求证:A1E⊥平面BDE.证明(1)连结AC交BD于点O,连结OE.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为正方形,∴点O为AC的中点,∵AA1=CC1,EC=AA1,∴EC=CC1,即点E为CC1的中点,∴在△CAC1中,AC1∥OE.又因为OE⊂平面BDE,AC1⊄平面BDE,所以AC1∥平面BDE.(2)连结B1E.设AB=a,则在△BB1E中,BE=B1E=a,BB1=2a,所以BE2+B1E2=B,所以B1E⊥BE.由ABCD-A1B1C1D1为长方体,得A1B1⊥平面BB1C1C,∵BE⊂平面BB1C1C,所以A1B1⊥BE.又B1E∩A1B1=B1,B1E⊂平面A1B1E,A1B1⊂平面A1B1E,∴BE⊥平面A1B1E.又因为A1E⊂平面A1B1E,所以A1E⊥BE.同理,A1E⊥DE.又因为BE⊂平面BDE,DE⊂平面BDE,BE∩DE=E,所以A1E⊥平面BDE.6.(2017江苏南京高淳质检,16)如图,四棱锥P-ABCD中,O为菱形ABCD对角线的交点,M为棱PD的中点,MA=MC.(1)求证:PB∥平面AMC;(2)求证:平面PBD⊥平面AMC.证明(1)连结OM,因为O为菱形ABCD对角线的交点,所以O为BD的中点,又M为棱PD的中点,所以OM∥PB,又OM⊂平面AMC,PB⊄平面AMC,所以PB∥平面AMC.(2)在菱形ABCD中,AC⊥BD,且O为AC的中点,又MA=MC,故AC⊥OM,而OM∩BD=O,OM,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD,又AC⊂平面AMC,所以平面PBD⊥平面AMC.7.(2017南京、盐城二模,16)如图,四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.(1)求证:CD⊥AP;(2)若CD⊥PD,求证:CD∥平面PAB.证明(1)因为AD⊥平面PAB,AP⊂平面PAB,所以AD⊥AP.又因为AP⊥AB,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD,所以CD⊥AP.(2)因为CD⊥AP,CD⊥PD,且PD∩AP=P,PD⊂平面PAD,AP⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.①因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,所以AB⊥AD.又因为AP⊥AB,且AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.②由①②得C D∥AB,因为CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.考点二面面平行的判定与性质8.(苏教必2,一,2,变式)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点,求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图,连结SB,∵E、G分别是BC、SC的中点,∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连结SD,∵F、G分别是DC、SC的中点,∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,∴FG∥平面BDD1B1,又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,∴平面EFG∥平面BDD1B1.9.(苏教必2,一,2,变式)如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图,连结AE,与DF交于点O,连结MO,易知,O为AE的中点,因为M为AB的中点,所以MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.又M为AB中点,N为AD中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共10分)1.平面α∥平面β,点A,C∈α,B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是.①AB∥CD;②AD∥CB;③AB与CD相交;④A,B,C,D四点共面.答案④2.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为.答案 1二、解答题(共30分)3.(2017苏锡常镇四市教学情况调研(二),16)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,AC=BC,∠ACD=90°.(1)求证:AB⊥平面EDC;(2)若P为FG上任意一点,证明:EP∥平面BCD.证明(1)因为平面ABC⊥平面ACD,∠ACD=90°,平面ABC∩平面ACD=AC,CD⊂平面ACD,所以CD⊥平面ABC,又AB⊂平面ABC,所以CD⊥AB,因为AC=BC,E为AB的中点,所以CE⊥AB,又CE∩CD=C,CD⊂平面EDC,CE⊂平面EDC,所以AB⊥平面EDC.(2)连结EF,EG,EP,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,又BD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,所以EF∥平面BCD,同理可证EG∥平面BCD,又EF∩EG=E,EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG,所以平面EFG∥平面BCD,又P为FG上任一点,所以EP⊂平面EFG,所以EP∥平面BCD.4.(2017江苏淮阴中学第一学期期末)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是正方形,正三角形BCE的边长为2,DE=2,F为线段CD的中点,G为线段AE的中点.(1)求证:GF∥平面BCE;(2)求证:平面ABCD⊥平面BCE.证明(1)取BE的中点H,连结GH,CH,所以GH为△A BE的中位线,所以GH∥AB,且GH=AB,易知CF∥AB,且CF=AB,所以HG CF,所以四边形GHCF为平行四边形,所以GF∥HC,因为HC⊂平面BCE,GF⊄平面BCE,所以GF∥平面BCE.(2)由题意知DC=EC=2,ED=2,所以DC2+EC2=ED2,所以DC⊥E C,又因为四边形ABCD是正方形,所以DC⊥BC,又EC,BC⊂平面BCE,EC∩BC=C,所以DC⊥平面BCE,又因为DC⊂平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面BCE.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 证明直线与平面平行的常用方法1.如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径,C是圆O上的点,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连结OG并延长交AC于M,连结QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC.由O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.2.如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,AE=AF=4,现将△AEF沿线段EF折起到△A'EF 位置,使得A'C=2.(1)求五棱锥A'-BCDFE的体积;(2)在线段A'C上是否存在一点M,使得BM∥平面A'EF?若存在,求A'M的长;若不存在,请说明理由.解析(1)连结AC,与EF交于点H,连结A'H.∵四边形ABCD是正方形,AE=AF=4,∴H是EF的中点,且EF⊥AH,EF⊥CH,从而有A'H⊥EF,又A'H∩CH=H,∴EF⊥平面A'HC,∵EF⊂平面ABCD,∴平面A'HC⊥平面ABCD,过点A'作A'O垂直HC交HC于点O,∵平面A'HC∩平面ABCD=CH,∴A'O⊥平面ABCD,因为正方形ABCD的边长为6,AE=AF=4,故A'H=2,CH=4,所以cos ∠A'HC===.所以HO=A'H·cos ∠A'HC=,∴A'O=,所以五棱锥A'-BCDFE的体积V=××=.(2)线段A'C上存在点M,使得BM∥平面A'EF,此时A'M=.理由如下:连结OM,BD,BM,DM,易知BD过O点.因为A'M==A'C,HO=HC,所以OM∥A'H,又OM⊄平面A'EF,A'H⊂平面A'EF,所以OM∥平面A'EF,易知BD∥EF,因为BD⊄平面A'EF,EF⊂平面A'EF,所以BD∥平面A'EF,又BD∩OM=O,所以平面MBD∥平面A'EF,因为BM⊂平面MBD,所以BM∥平面A'EF.方法2 平行的性质及应用3.在三棱锥P-SBC中,A,D分别为边SB,SC的中点,AB=2,BC=4,CD=2.平面PSB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:PA⊥CD;(2)若平面PAD∩平面PBC=l,求证:l∥BC.证明(1)因为A、D分别为SB,SC的中点,且AB=2,CD=2,所以AD∥BC,且SB=4,SC=4,又因为BC=4,且42+42=(4)2,所以SB⊥BC,所以AD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以AD⊥PA.同理,可证明AB⊥PA,而AB,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD,因为CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.(2)因为AD∥BC,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD,又BC⊂平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,所以l∥BC.。
高中数学平面的基本性质苏教必修
2．点、线、面位置关系的符号表示
位置关系
符号表示
点 P 在直线 AB 上
P∈AB
点 M 在平面 AC 上
M∈平面 AC
直线 AB 与直线 BC 交于点 B AB∩BC＝B
直线 AB 在平面 AC 内 AB⊂平面 AC
同理，点 P 不在直线 AB 上，记作 P∉AB；点 M 不在平面 AC 上，记作 M∉平面 AC；直线 AB 不在平面 AC 内，记作 AB⊄ 平面 AC.
(2)若 a、b、c、d 四直线无三条直线共点，设 a∩b＝A，a∩c ＝B，b∩c＝C，d∩a＝D，d∩b＝E，d∩c＝F，且相交直线 a、 b 确定的平面为 α，图像如图所示．
∵B∈a，a⊂α，∴B∈α，同理 C∈α. ∴BC⊂α，即 c⊂α，同理 d⊂α.∴a、b、c、d 共面于 α. 综合(1)(2)可知，a、b、c、d 四线共面．
试一试：在立体几何中如何直接应用平面几何中的有关定 理解题或证题．
提示 将有关元素化归到一个平面内，才可以用平面几何 中有关定理解题或证题．如果不能化归到一个平面内，则平面 几何中有关定理或不成立，或成立但也不能直接应用，必须先 给出证明再使用．
名师点睛 1．证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内． 2．证明空间的若干个点和若干条直线都在同一平面内的问 题称作共面问题，共面问题的证明，一般先确定平面，然后再 证明元素在这个确定的平面内，确定平面时，确定平面的元素 必须满足公理 3 或其三个推论的条件，证明元素在平面内，常 依据公理 1 或用反证法或用平面重合的方法．
如图： ∵a∥b，∴a、b 确定平面 α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l 上有两点 A、B 在 α 内． 即直线 l⊂a，∴a、b、l 共面． 同理，a、c、l 共面，即 c 也在 a、l 确定的平面内． 故 a、b、c、l 共面．
新教材高中数学第13章立体几何初步13-213-2-1平面的基本性质课件苏教版必修第二册
基本事实，理解三个基本事实的地位与作 逻辑推理素养．
用．(重点、难点)
NO.1
情境导学·探新知
知识点1 知识点2
一望无尽的草原、平静的湖面给我们以平面的形象，它们的共同 特征主要有哪些？你能想象数学中“平面”的描述吗？生活中用两 个合页和一把锁就可以将一扇门固定，为什么？木匠师傅将一把直尺 置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，你能从数学的角 度加以解释么？
法二：∵a∥b， ∴过 a，b 确定平面 α， 又∵A∈a，B∈b， ∴AB⊂α，即 l⊂α． 又∵b∥c，
第13章 立体几何初步
13.2 基本图形位置关系 13.2.1 平面的基本性质
学习任务
核心素养
1．了解平面的概念、画法，会用图形与字母 1．通过对空间点、线、
表示平面．(重点) 面位置关系的学习，培
2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、 养直观想象素养．
平面之间的位置关系．(易错点) 2．借助于三个基本事
类型 2 点线共面问题 【例 2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证 明：这四条直线共面． [证明] 如图．
法一：∵a∥b， ∴a，b 确定平面 α． 又∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l 上有两点 A，B 在 α 内，即直线 l⊂α． ∴a，b，l 共面． 同理，a，c，l 共面，即 c 也在 a，l 确定的平面内． 故 a，b，c，l 共面．
用符号表示为： AB∈ ∈αα⇒AB⊂α．
③基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线．
用符号表示为： __PP__∈∈____βα____⇒_α__∩__β_＝__l _且__P_∈__l____．
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§13.1平面的基本性质
命题探究
考纲解读
要求
2
分析解读平面的基本性质是立体几何的基础,高考很少单独考查,但只有充分认识平面的基本性质,才能为学好后面的平行与垂直打下坚实的基础.
五年高考
考点平面的基本性质
1.(2015福建改编,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的条件.
答案必要而不充分
2.(2013安徽理改编,3,5分)在下列命题中,不是
．．公理的是(填序号).
①平行于同一个平面的两个平面相互平行
②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
③如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
④如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
答案①
三年模拟
A组2016—2018年模拟·基础题组
考点平面的基本性质
1.(2017江苏宿迁中学月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,给出下列四个结论:
①A1、M、O三点共线;
②M、O、A1、A四点共面;
③A、O、C、M四点共面;
④B、B1、O、M四点共面.
其中正确结论的序号是.
答案①②③
2.(苏教必2,一,2,变式)下列命题中,正确的个数为.
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
答案 2
3.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
证明(1)如图,连结EF、CD1、A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点,∴EF∥BA1,EF=BA1.
又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E、C、D1、F四点共面.
(2)易知EF=C D.
∵EF∥CD1,
∴CE与D1F必相交,
设交点为P,如图所示.
则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面AB CD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.
B组2016—2018年模拟·提升题组
(满分:20分时间:10分钟)
解答题(共15分)
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证:D1、H、O三点共线.
证明连结BD、B1D1,OD1,如图.
则BD∩AC=O,
∵BB1DD1,
∴四边形BB1D1D为平行四边形,
又H∈B1D,B1D⊂平面BB1D1D,
∴H∈平面BB1D1D,
∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,H∈平面ACD1,∴H∈OD1.
即D1、H、O三点共线.
C组2016—2018年模拟·方法题组
方法证明点共线、线共点等的方法
如图,在空间四边形ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3.
求证:(1)E,F,H,G四点共面;
(2)EF,GH,BD交于一点.
证明(1)连结GE,FH,因为E,G分别为BC,AB的中点,所以GE∥AC,GE=AC.又因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以
FH∥AC,FH=AC.从而FH∥GE,FH≠GE.所以四边形EFHG是一个梯形,故E,F,H,G四点共面.
(2)因为四边形EFHG是一个梯形,且FH∥GE,所以直线EF与GH相交.设交点为O,则O∈GH,O∈EF.因为GH⊂平面ABD,EF⊂平面BCD,所以O∈平面ABD,O∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD.所以
EF,GH,BD交于一点.。