九年级数学下册2二次函数导学案(无答案)(新版)北师大版

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广东省佛山市顺德区文田中学九年级数学下册 2.2 二次函数y=x2的图象与性质导学案(无答案) 北师大版

2.2二次函数y=x 2的图象与性质导学案【学习目标】1．能利用描点法作出函数2x y =的图象；２.能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质；３．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同．【学习重点】认识和理解二次函数2x y =的性质【学习难点】能比较2x y =与2x y -=的图象异同．【课前自学】１．温顾：一次函数的一般表达式___________________,图象是：______________________ 正比例函数的一般表达式：___________________,图象是：______________________ 反比例函数的一般表达式：___________________,图象是：______________________ ２.知新：○1二次函数的一般形式为 (其中a ，b ，c 是常数且a ≠0) ○2当b=0,c=0时，上式变为；○3当a=______时，上式变为2x y =。

３.作图：○1画函数图象的一般步骤是列表，，． ○2作函数2x y =的图象．请大家按上面的步骤作出2x y =的图象． (1)列表：(2)在直角坐标系（表一）中描点：(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数2x y =的图象．（表一）（表二）４. 二次函数2x y =的图象是________. 【新课学习】探究一：认识和理解二次函数2x y =的性质１、议一议：对于二次函数2x y =的图象（1）图象的形状是，开口方向（“向上”还是“向下”）（2）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 (3) 在y 轴的左侧，从左往右看，x 的值，y 的值在y 轴的右侧，从左往右看，x 的值，y 的值 (4)图象有点（“最高点”还是“最低点”）最高点（最低点）的坐标是函数有值（“最大值”还是“最小值”），最值是。

2、总结2x y =的图象与性质．探究二：认识和理解二次函数2x y -=的图象性质1、二次函数2x y -=的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象．（在表二中作图） 2、总结2x y -=的图象与性质．探究三：函数2x y =与2x y -=的图象的相同点，不同点与联系。

九年级数学下册 2_2 二次函数图象与性质(2)导学案(无答案)(新版)北师大版

二次函数的图象和性质(2)学习目标1．经历探索二次函数y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．学习重点:二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质，结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．学习过程一、自主学习：（一）、复习：二次函数y=x 2与y=-x 2的性质：（二）、问题引入：你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？刹车距离与什么因素有关？有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：晴天时：211001v s =；雨天时：22501v s =，请在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像：动手操作、探究：在同一平面内画出函数y1=2x2、y2=2x2+1与y3=2x2-1的图象。

比较它们的图象，你可以得到什么结论？二、归纳总结0)+c(a 三、解析与交流例1、已知抛物线y=（m ＋1）xmm +2开口向下，求m 的值．例2、抛物线y=3x 2-2可由抛物线y=3x 2向_______平移________个单位长度得到，它的顶点坐标是________，对称轴是________，开口方向是________. 四、课堂测试1．当m= 时，y =（m －1）xmm +2－3m 是关于x 的二次函数．2．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）xmm 2＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y 随x 的增大而；在对称轴右侧，y 随x 的增大而．3．抛物线y=3x 2与直线y=kx ＋3的交点为（2，b ），则k= ，b= ． 4．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（）5．求符合下列条件的抛物线y=ax 2的表达式：（1）y=ax 2经过（1，2）；（2）y=ax 2与y=21x 2的开口大小相等，开口方向相反；（3）y=ax 2与直线y=21x ＋3交于点（2，m ）．。

九年级数学下册第2章二次函数讲学稿(无答案) 北师大版

第二章二次函数第1节二次函数所描述的关系本节内容：二次函数的定义列函数关系式（重点）一般地，形如的二次函数。

的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 例如：的二次函数。

等等都是x x y x x y x x y 13,2,32222+-=+=--= 在理解二次函数的定义时，应注意以下几点：（1）任何一个二次函数的关系式都可以化成)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的形式，因此，把)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式，其中c bx ax 、、2分别是二次项、一次项和常数项。

（2）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，y x 、是变量，c b a 、、是常量。

自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，要特别注意a 必须是不等于0的实数。

因为当a =0时，c bx ax y ++=2就是c bx y +=，若0≠b ，则c bx y +=是一次函数；若0=b ，则c y =，就是一个常数函数。

（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程。

■例1下列函数中，y 是x 的二次函数的是（）A ．012=++y x B.2)1()1)(1(---+=x x x y C.242x y ++= D.022=-+y x函数关系式其实是一个等式，左边字母表示的量随右边的字母变化而变化，所以左边的字母（因为右边的的字母变化它才变化）叫因变量，右边的字母是自己不断的变化，所以叫自变量。

（1）在实际问题中，要表示两个变量间的关系，需找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，再按要求化成用含一个变量的式子表示另一个变量的形式。

（2）用尝试求值的方法解决实际问题，可以列出表格，依次对自变量取值，求出它们对应的函数值，然后取得符合题意的值。

2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案

新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。

1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。

2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。

3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。

二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。

请根据本节课所学知识解答。

1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。

4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。

北师大版九年级下册 2.2 二次函数的图像和性质导学案

人因梦想而伟大，因学习而改变，因行动而成功！班级九年级组别数学姓名课题 2.2二次函数的图像与性质主备课时 1 学习目标1.能够利用描点法画函数y=x2的图像，能认识和理解二次函数y=x2的性质.2.猜想并能做出y= -x2的图像，能比较它与y=x2的图像的异同.教学重点：作出函数y=±x2的图像，并根据图像认识和理解二次函数y=±x2的性质.教学难点：由y=x2的图像及性质对比学习y= -x2的图像及性质，并能比较出它们的异同点.☆我有自信，我要参与！自学案修订园【自学内容】画函数图像的主要步骤是：☆思维碰撞，精彩闪现！探究案修订园一、研讨问题11.做函数y=x2的图像（1）列表格：xy=x2（2）在直角坐标系中描点.（3）用光滑的曲线连接各点，便得到函数图像研讨问题2议一议对于二次函数y=x2的图像，（1）你能描述图像的形状吗？与同伴进行交流：（2）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当x<0时，随着值的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点研讨问题3、y=x2的图像的性质二次函数y=x2的图象是一条，它的开口，且关于对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的，它是图象的 .增减性二、合作探究（1）y= -x2二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象. 它与二次函数y=x2的图象有什么关系？（2）设正方形的边长为α，面积为β，试画出α随β的变化而变化图像.三、总结发现我们观察函数y=x2与y= -x2的图像，并对图像的性质从系统的研究，现在我们再来比较一下，它们的图像的异同点联系：它们的图像关于x轴对称随堂练习：大展身手：☆互比互赛，展现风采！检测案选项依次ABCD1学后反思家庭作业A层：本节检测卷+新课堂B层：本节检测卷+新课堂第一、二题C层：本节检测卷家长签字：组长签字：教师签字：。

九年级数学下册2_2二次函数的图象与性质导学案4(无答案)(新版)北师大版

第二节二次函数的图象（4）【学习目标】1．探究二次函数一般式的图像的对称轴和顶点坐标公式。

2．体会转化思想在解决问题中的作用。

【学习重点】运用二次函数一般式的图像的对称轴和顶点坐标公式解决问题。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾二次函数()2132+-=x y 的图像的开口向_____，对称轴______，顶点坐标为______。

当x____时，y 随x 的增大而增大；当x____时，y 随x 的增大而减小。

当x____时，函数y 取最___值是_____；它可以看作是由抛物线23x y =向___平移______个单位，再向____平移______个单位。

二、自主学习看书P39—p40后，解答下列问题：1、将函数5632+-=x x y 转化为上一节课的知识——顶点式()k h x a y +-=2。

5632+-=x x y提取二次项系数： 23(___)5y x =-+ 配方： 23(2_______)5y x x =-++整理： 23(1)_____5y x =-+化简： ()231_____y x =-解：根据顶点式得函数5632+-=x x y 对称轴是直线______;顶点坐标为_______。

因此，将抛物线23x y =的图象向右平移_____个单位，再向上平移_____个单位就能得到该函数的图象。

实践练习：你能用配方法确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标吗？()1312212+-=x x y ()59322++-=x x y ()()()x x y -+=212332、求二次函数y=ax ²+bx+c 的对称轴和顶点坐标。

解：提取二次项系数：________________________配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方____________________________整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项_____________________________化简:去掉中括号_________________________________模块二合作探究探究1、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

九年级数学下册 2 二次函数导学案(新版)北师大版

第二章二次函数【学习目标】1．引导学生对全章的知识梳理，掌握二次函数图像的性质，会用待定系数法求函数表达式，并能运用与之有关的数学知识来解决问题。

2．通过本节课的复习，让学生进一步加深二次函数的运用和理解，更深层次体会数形结合及建模的数学思想；学会从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，发展应用意识。

3．通过将二次函数的有关知识灵活运用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣。

【学习重点】二次函数图像的性质以及待定系数法求表达式。

【学习过程】一、本章知识归类整理1、函数的三种表示方：、、。

2、二次函数表达式的三种形式（1）. 一般式：（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；（2）. 顶点式：（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）. 交点式：（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化1、函数图像的性质——抛物线抛物线对称轴顶点坐标开口方向 2ax y =k ax y +=2()2h x a y -=()k h x a y +-=2c bx ax y ++=2（1）开口方向——二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．当0a >时，抛物线开口_____,a 的值越大，开口_____,反之a 的值越小,开口_____；当0a <时，抛物线开口_____,a 的值越小,开口_____,反之a 的值越大，开口_____．总结：a 决定了抛物线开口的和，a 的正负决定开口，a 的大小决定开口的。

Ia|越大开口就越 ,|a|越小开口就越。

（2）抛物线是图形，对称轴为直线。

九年级数学下册 2.4 二次函数的应用导学案2(无答案)(

第四节二次函数的应用（2）【学习目标】体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．【学习重点】应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、二次函数()1432-+-=x y 的对称轴是，顶点坐标是。

当x= 时，函数有最值，是。

2、二次函数9822+-=x x y 的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最值，是。

3、每件利润=______－进价；_________=每件利润×销售数量=总售价－________二、自主学习看书P48—p49后，解答下列问题：7、某商店经营T 恤衫,已知成批购进时进价是2元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段时间内,售价是12元时,销售量是400件,而售价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？解法（1）：若设销售价为x 元(x ≤12元),总利润为y 元，那么每件的利润可为: 元;销售数量为 : 件;总利润可表示为: 元;当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.解法（2）：若设销售单价降低x 元(x ≥0元), 总利润为y 元，那么每件的利润为: 元;销售数量可表示为 : 件;总利润可表示为: 元;当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.实践练习:某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.问：增种多少棵橙子树产量最大？最大产量是多少？解：归纳：“最大利润”和 “最高产量”解决问题的基本思路：1）理解问题;2）分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3）用数学的方式表示出它们之间的关系; 4）运用数学求解;5）检验结果的合理性.【我的疑惑】模块二合作探究探究1、已知二次函数23122y x x =-+-，（1）求二次函数的最值．（2）当-1≤x ≤1时，求函数的最值。

北师大版初中数学九年级下册2.1 二次函数导学案(原创无答案)

课题1 二次函数基础知识1. 一般地，如果，那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．其中，为二次项系数，为一次项系数，为常数项，2.二次函数的一般形式是，3.二次函数的特殊形式有、、 .基础训练一、选择题1.若函数31++=-mx x y m 是二次函数，则m 的值是( )A －3B 3C －3或3D 22.下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）模型的是（）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系3.下列函数中,不是二次函数的是( )x 2 B.y=2(x-1)2+4; C.y=12(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x 24.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )A.y=πx 2-4B.y=π(2-x)2C.y=-(x 2+4)D.y=-πx 2+16π二、填空题7.用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．能力训练1.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A．xy+x2=2 B．x2﹣2y+2=0C．y=D．y2﹣x=02.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y 是x的函数，函数关系式是（）A．y=x+1 B．y=x-1C．y=x2-x+1 D．y=x2-x-13.已知函数y=（m+2）x m2−2是二次函数，则m等于（）A．±2 B．2 C．-2 D．±14.某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（）A．y=20（1-x）2 B．y=20+2xC．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x二、填空题5.在边长为6的正方形中间挖去一个边长为x（0＜x＜6）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式为．6.用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.三、解答题7、在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若∠ABC=60°，AB=43厘米．设△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；。

北师大版9年级下第二章二次函数基础导学案(无答案)

二次函数基础一、二次函数的性质【重难点】（1）抛物线y=a （x-h ）²+k 的顶点坐标是（h ，k ），对称轴是直线x=h.抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标是(-a b 2,ab ac 442-),对称轴是直线x=-a b 2. （2）当a>0时,若x<-a b 2(即对称轴的左侧),y 随x 的增大而减小;若x>-a b 2(即对称轴的右侧),y 随x 的增大而增大;函数y 当x=-ab 2时,有最小值. 当a<0时,若x<-a b 2(即对称轴的左侧),y 随x 的增大而增大;若x>-ab 2(即对称轴的右侧),y 随x 的增大而减小.函数y 当x=-ab 2时,有最大值. (3) 当△=b 2-4ac>0时,抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴有两个交点;当△=b 2-4ac=0时,抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴有一个交点;当△=b 2-4ac<0时,抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴无交点.【随堂练习】1、抛物线ｙ＝(ｘ－1)2+２的对称轴是_______，顶点坐标是_______．2、抛物线ｙ＝ｘ2+２ｘ－３的对称轴是_______，顶点坐标是_______．3、已知(2,5),(4,5)是抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)上的两点,那么它的对称轴方程是 .4、当m= 时，抛物线72)13(22---+=m x m x y 的对称轴为y 轴。

5、若抛物线k x x y ++-=42的顶点的纵坐标为3，则k 的值为。

6、函数)32(x x y -=，当x 为时，函数的最大值是；7、二次函数x x y 2212+-=，当x 时， 0<y ;且y 随x 的增大而减小； 8、抛物线23x y -=的对称轴是，顶点是，开口，在对称轴左边，y 随x 的增大而，当x= 时，23x y -=取得最值是。

2020年北师大版九年级数学下册《二次函数的图像与性质2》导学案

新北师大版九年级数学下册《二次函数的图像与性质2》导学案环节一知识连接（本节课关联知识点复习巩固）二次函数2x y 的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________二次函数2-x y 的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________ 环节二教材精读（归纳出本节课需要掌握的知识点）在同一直角坐标系中，画出函数222x 2y x 21y x y ，，的图象．● 归纳：抛物线y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_______0,开口_____顶点坐标都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）． ● 归纳：开口大小由_________决定.x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝12x 2……x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2……在同一直角坐标系中,画出二次函数y＝x2＋1,y＝x2－1的图象.x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2＋1 ……y＝x2－1 ……归纳1：可以发现,把抛物线y＝x2向______平移______个单位,就得到抛物线y＝x2＋1;把抛物线y＝x2向_______平移______个单位,就得到抛物线y＝x2－1.归纳2：开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋1课堂练习：1、抛物线y＝2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;2、抛物线y＝2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.3、因此,把抛物线y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位,就得到抛物线_______________;4、把抛物线y＝ax2向下平移k(k＞0)个单位,就得到抛物线_______________.。

北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案

2.1 二次函数学习目标1、能够表示简单变量之间的二次函数关系2、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.一、【学前提示】提示1：函数定义:在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.提示2：一次函数形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数，且a≠0.一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线.提示3：正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数，且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线.提示4：反比例函数形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像为双曲线.如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.当K＞0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数当K＜0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数提示5：二次函数的定义：形如cbxaxy++=2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数.二、【方法点拨】点拨1：本节的重点是：表示简单变量之间的二次函数关系.点拨2：本节的难点是利用尝试求值的方法解决实际问题.点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意：（1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．本金：存入银行的钱叫做本金.利息：取款时银行多付的钱叫做利息. 利率：；利息与本金的百分比叫做利率.利息计算公式利息＝本金×利率×时间三、【思路拓展】步骤1：迁移导入：1. 已知函数y m x m =-+-()3328是一次函数，求其解析式. 分析：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0.如本例中应保证m -≠30解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨⎩∴=±≠⎧⎨⎩m m 33 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 步骤2：本节课知识巩固1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意：关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 所以答案是A.2.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠0分析：一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意：关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是D.3．下列函数中，不是二次函数的是（） A ．y=2x 2＋2x B ．y=－x 2+x 3+1C ．y=－x 2+x1+1 D ．y=3－x(2－x) 分析：选项C 中含有x1,所以C 不是二次函数.答案是：C师生互动共解难题一、【实例讲解】例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式. （4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？分析：一定要分析好题意，根据实际情况，当果园的种的橙子树多的时候，每颗的产量也相应的减少.设果园共有（100+x ）棵树，这时表示出每棵树能结多少个橙子，然后算出总的产量从而得到解析式；第四个问题由下表可以得到从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．解：（1）变量有果园里面的橙子树的棵数，和果园的总产量. （2）果园共有（100+x ）棵树，平均每棵树结（600-5x ）个橙子（3）因此果园橙子的总产量：Y=(100+x)(600-5x)=-5x ²+100x+60000 （4）从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大例2 (1)对于二次函数y=x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）：如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n; 如果是仅有x ＜m ，则能确定y 、n 的大小吗？(2)、对于二次函数y=-x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）：如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n;分析：根据函数y=x 2的增减性：当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.所以答案是：(1) y > n ， y < n; (2) y < n ，y > n ，二、【学会总结】总结1：总结2：二次函数y=ax 2的性质1.抛物线y=ax 2的顶点是原点,对称轴是y 轴.2.当a>0时，抛物线y=ax 2在x 轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax 2在x 轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.积累运用学会创新1.下列不是二次函数的是（）当x=0时,最大值为0.当x=0时,最小值为0最值在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.增减性向下向上开口方向在x 轴的下方( 除顶点外) 在x 轴的上方(除顶点外) 位置 y 轴y 轴对称轴（0，0）（0，0）顶点坐标 y= -x 2y=x 2抛物线A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52 xD ．y=（x ＋1）（x －2）2.函数y=（m 2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m 的值是（）A ．m= -3或1B ．m=+1或-1C ．m= -3D ．m=33、.若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______.4.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当b =0，c ≠0时，函数表达式为______；当b ≠0，c =0时，函数表达式为______；当b =c =0时，函数表达式为______.5.在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______.6.小立存入银行人民币500元，年利率为x %，两年到期，本息和为y 元(不含利息税)，y 与x 之间的函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.7．下列函数不属二次函数的是A.y =(x －1)(x +2)B.y =21(x +1)2C.y =2(x +3)2－2x 2D.y =1－3x 2拓展尝新突破自我8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？9．如图，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.10.正方形的边长为1 cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加y cm 2.(1)请写出y 与x 之间的关系表达式;(2)当正方形边长分别增加1 cm ，3 cm ，2 cm 时，正方形的面积增加多少？参考答案积累运用学会创新1、分析：因为选项C中含有5所以C不是二次函数；故答案是C.2x，2、分析：由题意得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m=-3或1故，本题答案是C.3、分析：由题意得k2－4≠0，所以答案是k≠2，k≠-24、y=ax2+c y=ax2+bx y=ax25、大正方形的面积为36，剪掉的部分是x2所以y=36 -x2 (x<6)6、分析：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是500元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：y=500（1+x）2=500x2+1000 x+500.所以本题答案是：y=500x2+1000 x+500 、561.87、分析：选项C经过化简以后不含有二次项了，所以答案是C.拓展尝新突破自我8、分析：要是一次函数则使二次项系数等于零，一项系数不能等于零，要使函数是二次函数，则使二次项系数不能等于零就行了.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.9.分析：可以用割补法，草坪的面积可以看成个长方形，这个长方形的长是(80－x)m，,宽是(60－x)m;所以本题的答案是：解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).10、解：(1)y=(x+1)2－1,∴y=x2+2x.(2)当x=1时，y=3;当x=3时，y=3+23当x=2时，y=8.。

初中数学北师大九年级下册(2023年新编) 二次函数二次函数导学案

二次函数学习目标1.通过看例题会总结二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.学习重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.学习过程一、自主学习：由实际问题探索二次函数关系某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．二.归纳总结1.二次函数的定义:_____________________________________.2.形如c bx ax y ++=2(c b a ,,为常数的)函数当a ____________时是二次函数.当a ____________,b __________时是一次函数.当a ____________,b __________,c __________时是正比例函数.三、解析与交流例1. 函数()12222-++=-x x m y m 是二次函数，则=m ．例2. 下列函数中是二次函数的有（） ①x x y 1+=；②()2132+-=x y ；③()2223x x y -+=；④x xy +=21．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3.正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．例 4.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．四、交流展示1.谈谈自己判断二次函数的方法.2.如何表示简单变量之间的二次函数五、课堂检测：1.．当m 时，()222--=m x m y 是二次函数．2．下列不是二次函数的是（）A ． 432+=x yB ．231x y -= C ．52-=x yD ．()()21-+=x x y3．函数()n mx x n m y ++-=2是二次函数的条件是（）A ．n m 、为常数，且0≠mB ．n m 、为常数，且nm ≠ C ．n m 、为常数，且0≠n D ．n m 、可以为任何常数4．半径为3的圆，如果半径增加x 2，则面积S 与x 之间的函数表达式为（）A ．()232+=x S πB ．x S +=π9C ．91242++=x x S πD ．ππ91242++=x x S5．已知：如图，在Rt △ABC 中，.8,4,90==︒=∠AC BC C 点D 在斜边AB 上，分别作BC DF AC DE ⊥⊥,，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设y DF x DE ==,．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE = ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．。