数学人教版九年级上册动点与三角形面积的最值的探究
人教版九年级数学上册中考《动点问题》
F
E
改 一变类为三角a厘形米？/（秒，按经角的过
(P)
(P)
D (Q)
3大秒小后分，类P、）Q分别到达E、
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， (F) C 综上:当a=2或6或12时,
试求a的值.
△BEF与△APQ相似
开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C
开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别从点A、
C同时出发,当其中一个圆心到达D点时,另一圆也随之停止
运动.设运动时间为t（秒）. （2）如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值时
,⊙P和⊙Q相外切?
20
D
QC
4
A
B
P
当t=4秒、20秒、28秒时20，⊙P和⊙Q相外切
A
的等边三角形，质点P从点A沿AB—BD作
匀速运动，质点Q从点D同时出发沿DC— 3a Q
CB—BA作匀速运动.源自3a（12）如果质问点题（P、1Q）运中 B F
的 动质的点速度P、分Q分别是别同4厘时米沿/
原 秒、路5返厘回米，/秒质点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QAP的Q速 是度哪 3a
防风暴指挥中心发现在O处的热带风暴中心正以100 千米/时的速度沿北偏东30°的OC方向运动，风暴中 心周围200千米内要受影响，现知在O处正北方向320 千米有一城市A，你能否帮指挥中心预测一下：A市 受影响吗？若受影响，受影响的时间为多长 ？
A
C
O
中考专题之——
动态问题探究（一）
例１如图，边长为10cm的正方形ABCD,有一点P 从A出发沿A→B→C→D作匀速运动。求△ADP面 积y与点P移动的距离x之间的函数关系式。
人教版数学九年级上册几何面积的最值问题PPT精品课件
,顶
点坐标是
.
引入：构建二次函数模型，解决最值类应用题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位： m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小
球最高？小球运动中的最大高度是多少？
当t
b 2a
2
30 （
5）
3，
h/m 40
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩 形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？
x 问题1 变式2与变式1有什么不同？
x 60-2x
问题2 我们如何设自变量和应变量？
问题3 等量关系是什么？函数关系式是什么？
人教版数学九年级上册课件：22.3.1- 几何面 积的最 值问题
处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希
望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及
何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
知
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
识 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
要 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值
点
必须在自变量的取值范围内.
60-2x
问题2 我们如何设自变量和应变量？
问题3 等量关系是什么？函数关系式是什么？
人教版数学九年级上册课件：22.3.1- 几何面 积的最 值问题
人教版数学九年级上册课件：22.3.1- 几何面 积的最 值问题
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积
初中数学压轴题讲解：动点,面积与最值问题
典例精讲
● 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的 中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为______．
解题技巧：将军饮马的第一种情况
典例精讲
●如图所示,已知A( 1 ,y1),B(2,y2)为反比例函数 y 1 图象上的两点,动
点
P(x
,
1
2
x
典例精讲
● 如图为反比例函数
y1 x
在第一象限的图象,点A为此图象上的一动点,过点
A分别作AB⊥x轴和AC⊥y轴,垂足分别为B,C.则四边形OBAC周长的最小值为
()
典例精讲
● 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1−a,0),C(1+a,0)(a>0),点 P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90∘,则a的最 大值是()
典例精讲 （2）Q Rt△ABM ∽Rt△MCN ，
AB BM ， 4 x ， MC CN 4 x CN
CN x2 4x 4
压轴题研究1——面积最值（动点）
y
S梯形ABCN
1
2
x2 4x 4
4g4
（0<x<4）
1 x2 2x 8 1 (x 2)2 10
2
2
当 x 2 时， y 取最大值，最大值为 10．
动点与最值问题
将军饮马： 将军饮马三种情况，两定一动，两动一定，双定双动
另有PPT讲解
三边关系： 两边之和大于第三边，两边只差小于第三边
动点最值问题解析
三点共线
配方法： 纯代数的最值问题用配方，利用二次函数的性质
几何问题，一般以面积周长有关
数学人教版九年级上册二次函数的应用——面积最值问题
二次函数的应用——面积最值问题教学设计一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
2、课时安排：教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。
3.学情及学法分析对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
二、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
动点与三角形面积的最值的探究
我来试一试
如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上
的两个动点，且AE⊥EF．则BE= 最小，是 . , △ADF 的面积
5
解： 设BE=x， 则EC＝4-x，∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°, ∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE=∠FEC, ∴Rt△ABE∽Rt△ECF， ∴ AB BE ，即 4 = x
例：
如图，已知边长为4的正 方形ABCD，P是 BC边上
一动(与 B、C不重合)，连接AP，PE⊥AP∠BCD 的外角平分线于E， 设BP=x, △PCE面积为 y，则
当 x=
时，y的最小值是
。
【方法指导】对于几何图形中动点问题
求点运动过程中图形（通常是三角形）面积最值问题的解决方法
一般是利用勾股定理或相似三角形的性质-x
FC
练习：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，
点A、B的坐标分别为（4，0）、 （4，4），动点M、N分别
从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿 OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC， 交AC于点P，连接 MP，当两动点运动了t秒时,记△MPA的面 积S，则S与t的函数关系式 .(0<t<4 )
数关系式
具体做法： 第一步 依据图形的面积公式在具体图形中确定关键线段
第二步 用含有相同字母的代数式把关键线段表示出来。通常其中一条 线段用线段的和差关系就可以表示出来，另一条用相似三角形对应边的比 相等，再变一下形即可确定。 第三步 把所列的代数式代入公式（函数关系式），用函数的性质， 基本上就可以解决问题
中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
数学人教版九年级上册二次函数最值问题
二次函数（专题二）：最值和特殊几何图形存在性问题一．二次函数中几何图形最值问题（线段长度和与差、三角形或四边形的周长和面积等）例1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.练习.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为x＝1，B（3，0），C（0，-3）。
（1）求抛物线的解析式。
（2）在对称轴上是否存在一点P，使得点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若线段MN的中点到x轴的距离刚好等于的MN长的一半，求此这条直线的解析式。
二．二次函数中特殊几何图形问题（直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形等）例1.已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。
练习.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．例2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．（1）求抛物线的解析式．（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．练习.已知抛物线y=x 2－2x+a （a＜0）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线y=0.5x－a 分别与x 轴，y 轴相交于B 、C 两点，并且与直线AM 相交于点N.(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则M (,),N (,)；(2)如图，将△NAC 沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.三．二次函数的图像和性质的综合运用例1.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D，交y 轴于C.（1）求该抛物线的解析式。
初三数学动点与面积的最大值问题
课 题 动点与面积的最大值问题学情分析教学目标与考点分析 理解与掌握面积最大值的解题思路。
教学重点 难点 面积最大值的求法。
教学方法合作、探究式。
教学过程（一）、回顾 右图中，计算：(1)图①△DBC 的面积为 (2)图②△PAE 的面积为yxP(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图 yxP(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图 yxP(-2,4)E(2,3)A(-4,0)备用图yxP(-2,4)E(2,3)A(-4,0)图②图 ①D(1,6)OB(1,2)C(3,1)x（二）、例题讲解已知：如图，某抛物线的顶点为E(2,3),且经过点A（-4,0），其对称轴与x轴交与点F．（1）该抛物线关系式为；（2）若点P是该抛物线上位于A、E之间的一动点，连接PA、PE，求△PA E面积的最大值；（3）若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接PA、PE，设所得△PA E的面积为S，①求当S=10时点P的坐标；②存在个相应的P点，使得S=2 ？FO x Ax=2CEyFO xAx=2CEy在例题（3）中，S 取何值时，相应的P 点有且只有1个？请说明理由。
三、变通练习 1、如图是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M （1，-4）（1）求出图象与x 轴的交点A 、B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使 △P AB 的面积是△MAB 面积的45，若存在，请求 出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，已知二次函数y=423412++-x x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ．(1)点A 的坐标为_______ ，点C 的坐标为_______ ； (2)点P 为抛物线上位于O 、C 间的一个动点，当P 点运动到何位置时，以P 、A 、O 、C 为顶点的四边形面积最大？ 最大面积为多少？AMBOyx(本题分) 关键字：平行直线斜率相等一个交点点到线的距离公式。
初中数学--初三重难点突破：三角形中的最值问题(模型)
初中数学--初三重难点突破：三角形中的
最值问题(模型)
引言
三角形作为初中数学的一大重点，其最值问题在研究中也是难
点之一。
不仅需要掌握其基本概念与判定方法，还需要理解如何应
用到实际模型中。
相关知识点回顾
1. 根据勾股定理，直角三角形最大面积对应于斜边与直角边相等；
2. 根据正弦定理，三角形中最大的角对应最长的边；
3. 根据余弦定理，三角形中最短边对应最大角的余弦值最小。
常用模型
1. 边长一定，求最大面积
在已知三角形两边长度相等的情况下，如何使得三角形的面积
最大？根据勾股定理，我们可得到结论：等腰直角三角形面积最大。
2. 周长一定，求最大面积
当三角形周长一定时，如何使得三角形的面积最大？由于周长一定，我们可以根据海伦公式列出面积公式：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\dfrac{a+b+c}{2}$。
由于面积与$p$有关，因此当$p$最大时，$S$也最大。
根据数学知识，容易得到结论：三角形为等边三角形时面积最大。
3. 已知一边及其对应的角，求另外两边的长度使其周长最小/最大
在已知一边及其对应角的情况下，如何使得三角形的周长最小/最大？根据三边不等式我们可以得到一个结论：当另外两边的长度相等时，周长最小/最大。
因此，当已知一边及其对应角时，我们可以通过正弦定理来求出另外两边的长度，进而求解周长的最小/最大值。
总结
三角形最值问题是初中数学中的难点之一，但只要掌握了基本的概念、判定方法和应用，就能轻松解决各种模型题。
希望本文能对大家在学习三角形最值问题时提供一定的参考和帮助。
人教版九年级上册第22章 面积最值问题(16页)
随堂练习
1．已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角
三角形的最大面积为（ B ）
A．25 c确定
2.在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足
够长），用24 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园
2
800 m2.
你认为上述解答过程有问题吗？若有问题，请说明理由，
并给出正确的解答过程．
探究新知
正确解答：
解：设矩形场地的面积为S m2，平行于墙的一边BC的长为x m．
1
1
由题意，得S＝ 2 x·(80－x)＝－ 2 (x－40)2＋800，
∵ 墙长30m
∴ 0<x≤30
∴当x<40时，S随x的增大而增大
∴ 当x=30时， S有最大值＝750，
1
∴ (80－x)=25
2
∴当所围成的矩形场地ABCD的长为30 m，宽为25 m时，其面积最大，最大面积为
750 m2.
归纳总结
二次函数解决几何面积最值问题的步骤
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须
是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以借助函数图象解决这个问题.
探究新知
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运
动时间 t(单位：s)之间的关系式是h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间
是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
h/m
矩形面积=长×宽
s
邻边长为(30-l)m
2023年人教版九年级上册数学第二十二章二次函数 方法技巧专题二次函数中与动点相关的最值问题
-3-
【方法技巧专题】 二次函数中与动点相关的最值问题
类型2 与周长有关的最值问题
(1)根据轴对称的性质找出最短路径；(2)利用函数 的图象和性质求出最短路径的长．
-6-
【方法技巧专题】 二次函数中与动点相关的最值问题
如图2，在平面直角坐标系中，三角形的两个顶点A， B在直线上(定点)，另一个顶点C在抛物线上移动 (动点)，则S△ABC＝12CD·OA．
-7-
【方法技巧专题】 二次函数中与动点相关的最值问题
3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－6mx＋5与 y轴的交点为A，与x轴的正半轴分别交于点B(b，0)， 点C(c，0)． (1)当b＝1时，求抛物线的解析式． (2)当b＝1时，如图，E(t，0)是线段 BC上的一个动点，过点E作平行于y 轴的直线l交抛物线于点P，求 △APC面积的最大值．
-8-
【方法技巧专题】 二次函数中与动点相关的最值问题
解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－6x＋5．
(2)S△APC＝12(－t2＋5t)×5＝－52
t－
5 2
2 ＋ 1825．
∵－52 ＜0，∴当t＝52时，S△APC有最大值1825．点相关的最值问题
2．如图，抛物线y＝x2－bx＋3交x轴于点C(1，0)，点B， 交y轴于点A，对称轴是直线x＝2．已知P是抛物线对称轴 上的一个动点，是否存在点P，使△PAC的周长最小?若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：连接PA，PC，PB．易知PB＝PC， ∴当A，P，B三点共线时，△PAC的周长最 小为AC＋AB．易知点P的坐标为(2，1)．
数学人教版九年级上册动点与三角形面积的最值的探究
数关系式
具体做法： 第一步 依据图形的面积公式在具体图形中确定关键线段
第二步 用含有相同字母的代数式把关键线段表示出来。通常其中一条 线段用线段的和差关系就可以表示出来，另一条用相似三角形对应边的比 相等，再变一下形即可确定。 第三步 把所列的代数式代入公式（函数关系式），用函数的性质， 基本上就可以解决问题
【方法指导】对于几何图形中动点问题
求点运动过程中图形（通常是三角形）面积最值问题的解决方法
一般是利用勾股定理或相似三角形的性质建立等量关系，求得函
数关系式
具体做法： 第一步 依据图形的面积公式在具体图形中确定关键线段
第二步 用含有相同字母的代数式把关键线段表示出来。通常其中一条 线段用线段的和差关系就可以表示出来，另一条用相似三角形对应边的比 相等，再变一下形即可确定。 第三步 把所列的代数式代入公式（函数关系式），用函数的性质， 基本上就可以解决问题
动点与三角形面积的最
值的探究
几何图形中动点问题的有关计算
（ 2012年考查3次，2013年考查8次，2014年考查12
次）
对于几何图形中动点问题的有关计算，近三年广西 中考一般会涉及以下三种类型：
①求点运动过程中图形（通常是三角形）面积最值问题 ②求点运动过程中图形周长或线段长度最值问题 ③利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题.
如图在平面直角坐标系中四边形oabc为正方形点ab的坐标分别为4044动点mn分别从点ob同时出发以每秒1个单位的速度运动其中点m沿oa向终点a运动点n沿bc向终点c运动过点n作npbc交ac于点p连接mp当两动点运动了t秒时记mpa的面积s则s与t的函数关系式方法指导对于几何图形中动点问题求点运动过程中图形通常是三角形面积最值问题的解决方法一般是利用勾股定理或相似三角形的性质建立等量关系求得函数关系式具体做法
人教版九年级上册第22章 课时1 面积最值问题2(24页)
h/m
40
h= 30t - 5t 2
20
O 12 34 56
t/s
探究新知
问题1 二次函数 y ax2 bx c 的最值由什么决定？
y
x b
2a
y 最大值
x b 2a
O
x
最小值
O
x
二次函数 y ax2 bx c 的最值由a及自变量的取值范围决定.
探究新知
问题2 当自变量x为全体实数时，二次函数 y ax2 bx c
22.3 实际问题与二次函数 课时1 面积最值问题
学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
知识回顾
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. (1)y=x2－4x－5； (配方法) (2)y=－x2－3x＋4.(公式法)
归纳总结
基本思路
审
审清题意，理解问题
设
应用二次函数 列
解决实际问题
的基本思路 解 检
用函数解析式表示它们之间列的关系 (建立数学模型)
检验结果，得出符合实际意义的结论
答
探究新知
变式 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.
(1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各
x
x
为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
的最值是多少？
当a＞0时，有
y最小值
4ac
b
2
，此时
4a
x b 2a
.
当a＜0时，有
y最大值
4ac b2 4a
，此时
x
人教版九年级数学上册《二次函数与实际问题(1)面积最值问题》教学设计
分析解题思路时重点关注： 的方法， 训 练 三
1.学生如何想到用函数思想 交 流 想 类 语 言
解决问题？（不同学生提供不 法。
间的相
6
同的方案，体现从特殊到一般
互转
的思考过程以及在这一过程中
化，帮
蕴含的变量关系）
助学生
读懂题
矩形的 矩 形 矩 形 的
长
的宽 面积
1
19 19
2
18 36
意，建 立函数 模型。 表格中的 对应关系
蕴含的能力和素养：通过本课的学习，学生对二次函数的图 像和性质有了进一步的认识和理解，也为学生以后进一步学习应 用二次函数的知识解决其他类型的实际问题打下基础，培养和提 高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题的意识和能力； 以及在阅读数学问题时注意三种数学语言（文字语言、符号语言、 图形语言）的相互转化，综合使用，发展数学的符号意识，提高 对数学问题的阅读理解能力。 学生情况：
知识和能力：学生已经掌握二次函数的相关基础知识，通过 对函数图象的学习已建立初步的数（函数解析式）形（抛物线） 结合的意识。
方法和思维：学生对实际应用题的阅读理解还有较大困难和 畏难情绪，在建立函数模型解决实际问题的意识和能力方面还很 不足。因此，在设计本节课时特别注意设计核心问题来唤醒学生 的函数意识、模型意识；通过阅读教学培养数学语言的转化，实 现对数学实际问题的理解。 教学方式：
3
17 51
指向函数
4
16 64
思想
5
15 75
6
14 84
…… …… ……
本题中自
变量与因
变量是什 2.函数关系式（二次函数模型）
么？ 确定的依据是什么？（矩形面
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B B E 4 x ∴ A ， 即 = E C F C
4 x F C
练习：如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，
点A、B的坐标分别为（4，0）、 （4，4），动点M、N分别
从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿 OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC， 交AC于点P，连接 MP，当两动点运动了t秒时,记△MPA的面 积S，则S与t的函数关系式 .(0<t<4 )
【方法指导】对于几何图形中动点问题
求点运动过程中图形（通常是三角形）面积最值问题的解决方法
一般是利用勾股定理或相似三角形的性质建立等量关系，求得函
数关系式
具体做法： 第一步 依据图形的面积公式在具体图形中确定关键线段
第二步 用含有相同字母的代数式把关键线段表示出来。通常其中一条 线段用线段的和差关系就可以表示出来，另一条用相似三角形对应边的比 相等，再变一下形即可确定。 第三步 把所列的代数式代入公式（函数关系式），用函数的性质， 基本上就可以解决问题
动点与三角形面积的最
值的探究
几何图形中动点问题的有关计算
（ 2012年考查3次，2013年考查8次，2014年考查12
次）
对于几何图形中动点问题的有关计算，近三年广西 中考一般会涉及以下三种类型：
①求点运动过程中图形（通常是三角形）面积最值问题 ②求点运动过程中图形周长或线段长度最值问题 ③利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题.
例：
如图，已知边长为4的正 方形ABCD，P是 BC边上
一动(与 B、C不重合)，连接AP，PE⊥AP∠BCD 的外角平分线于E， 设BP=x, △PCE面积为 y，则
当 x=
时，y的最小值是
。
【方法指导】对于几何图形中动点问题
求点运动过程中图形（通常是三角形）面积最值问题的解决方法
一般是利用勾股定理或相似三角形的性质建立等量关系，求得函
我来试一试
如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上
的两个动点，且AE⊥EF．则BE= 最小，是 . , △ADF 的面积
5
解： 设BE=x， 则EC＝4-x，∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°, ∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE=∠FEC, ∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
作业：
• 联赛试卷第六题（见投影）
数关系式
具体做法： 第一步 依据图形的面积式把关键线段表示出来。通常其中一条 线段用线段的和差关系就可以表示出来，另一条用相似三角形对应边的比 相等，再变一下形即可确定。 第三步 把所列的代数式代入公式（函数关系式），用函数的性质， 基本上就可以解决问题