北师大中考数学总复习《一元二次方程及其应用》课件
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数学北师大版九年级上册一元二次方程解法复习PPT课件
1
+a
1
+b
标杆题4：
例 分解因式解方程：
(1) x2－３x = 0 (2) 2 x2+13x －7= 0
解题过程 解题过程
(1) x2－３x = 0
解: 把方程左边分解因式,得
x (x－ ３ ) = 0 ∴ x = 0 或x3
(2) 2 x2+13x －7= 0
假如配方法解方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
吗?
w 1.化1:把二次项系数化为1;
w 2.移项:把常数项移到方程的右边; w 3.配方:方程两边都加上一次项系数 绝对值一半的平方;
w 4.变形:方程左分解因式,右 边合并同类;
w 5.开方:根据平方根意义,方 程两边开平方;
w 6.求解:解一元一次方程; w 7.定解:写出原方程的解.
3. 公式法
w 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
w上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. w用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0
标杆题3：
w1.化1:把二次项系数化为1; w2.移项:把常数项移到方程的右边; w3.配方:方程两边都加上一次项系数 绝对值一半的平方;
x2-4x=5 x2-4x+4=9
w4.变形:方程左分解因式,右 边合并同类;
w5.开方:根据平方根意义,方程 两边开平方; w6.求解:解一元一次方程;
;
w7.定解:写出原方程的解.
一元二次方程的解法
北师大版九年级上册 2.6 一元二次方程的应用 课件(共21张PPT)
练习：课本53页练习2、3、4
二、利用一元二次方程解决增降率问题
平均增长率公式为b＝__a(1＋x)n__，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率， n为增长次数．平均降低率公式为b＝__a(1－x)n__，其中a为起始量，b为终止量， x为平均降低率，n为降低次数．
例1、目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389 元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确 的是( B ) A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438 C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
一元二次方程的应用
本讲为一元二次方程的应用，约需2-3课时。主要内容为： 一、列一元二次方程解应用题的方法和步骤 二、利用一元二次方程解决增降率问题 三、利用一元二次方程解决几何问题 四、利用一元二次方程解决利润问题 五、设计了不同类型的检测题，既有和语文学科的结合， 也有与当前疫情有关的题目。
通过已经学过的一元一次方程和二元一次方程组我 们知道，方程是解决实际应用问题的重要方法，利 用一元二次方程怎样解决实际应用问题呢？
(2)设小路宽为 y m，依题意得：(16－y)(12－y)＝12×16×12，解得：y1＝4，y2＝24(不合 题意，舍去)．故小路的宽为 4 m
4、市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间 都赛一场)，计划安排 28 场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
解：设要邀请 x 支球队参加比赛，由题意，得21x(x－1)＝28，解得：x1＝8，x2＝－7(舍 去)．答：应邀请 8 支球队参加比赛．
列：列代数式表示题中的量，找等量关系，根据等 量关系列方程；
北师大版九年级数学上册《应用一元二次方程》一元二次方程PPT课件
第六页，共二十页。
•
（６）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD
的面积为64cm？
第七页，共二十页。
三、小结：
• 1、列一元二次方程解应用题的步骤。
1254（1+y)2=3089
解这个方程，得
≈56.9%
(不合题意，舍去）
56.9%＞ 52.8%
答： 2001年12月31日至2003年12月31日上网计算机总台数的年平均增长率较大。
第十四页，共二十页。
列方程解应用题的步骤有:
审 即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要 求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。
设 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用未知数 字母的代数式表示其他相关量。
列 根据等量关系列出方程 解 解方程并检验根的准确性及是否符合实际意义并作答。
第十五页，共二十页。
练一练:
某单位为节省经费,在两个月内将开支从每 月1600元降到900元,求这个单位平均每月降低
的百分率是多少?
第十六页，共二十页。
表示2002年的台数吗?
机总台数
(万台)
3200
(2)已知2002年的台 数是多少?
(3)据此,你能列出方 程吗?
2400
1600
. 800 350
0 2000年
.892
2000年
.
1254
2001年
. .3089
2083 年份
2002年 2003年
892(1+x)2=2083
•
（６）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD
的面积为64cm？
第七页，共二十页。
三、小结：
• 1、列一元二次方程解应用题的步骤。
1254（1+y)2=3089
解这个方程，得
≈56.9%
(不合题意，舍去）
56.9%＞ 52.8%
答： 2001年12月31日至2003年12月31日上网计算机总台数的年平均增长率较大。
第十四页，共二十页。
列方程解应用题的步骤有:
审 即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要 求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。
设 设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用未知数 字母的代数式表示其他相关量。
列 根据等量关系列出方程 解 解方程并检验根的准确性及是否符合实际意义并作答。
第十五页，共二十页。
练一练:
某单位为节省经费,在两个月内将开支从每 月1600元降到900元,求这个单位平均每月降低
的百分率是多少?
第十六页，共二十页。
表示2002年的台数吗?
机总台数
(万台)
3200
(2)已知2002年的台 数是多少?
(3)据此,你能列出方 程吗?
2400
1600
. 800 350
0 2000年
.892
2000年
.
1254
2001年
. .3089
2083 年份
2002年 2003年
892(1+x)2=2083
第2章 一元二次方程 北师大版九年级上册数学复习课(共23张PPT)
合作探究
一元二次方程的定义
1.下列方程中一元二次方程的个数是( B
)
①2x－3＝x2＋2x－3；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－2)
2
＝(x＋1) ；④x＋ ＝1；⑤(x＋1)(x＋2)＝2x2－3.
A.1
B.2
C.3
D.4
合作探究
2.(1)将方程3x2＝5x＋2化为一元二次方程的一般形式为
减20元，但最低不能低于每台440元.乙公司一律按原售价的75%
促销.某单位需购买一批图形计算器.
(1)若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花
费较少？
(2)若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数
量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
合作探究
解:(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6×(800－20×6)
第二章 一元二次方程
第二章 复习课
复习目标
1.知道一元二次方程的概念，掌握本章所学的解一元二次方
程的配方法、公式法、分解因式法，会合理选择方法解具体的
一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想.
2.会用根的判别式判别一元二次方程的根的情况，会用根与
系数的关系解决问题.
3.利用一元二次方程的有关知识解决实际问题，并能根据具
二次方程.
预习导学
5.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况可以由 b2－
4ac 的值来确定，因此，我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程
根的判别式，用符号“Δ”表示.Δ＞0，方程有
两个不相等
的实数根；Δ＝0，方程有 两个相等 的实数根；Δ＜0，方程
没有 实数根.
第2章 一元二次方程复习 北师大版数学九年级上册优质课件(共30张PPT)
答: 这种存款的年利率约为1.44%.
某军舰以20节的速度由西向
东航行,一艘电子侦察船以30节
的速度由南向北航行,它能侦察
出周围50海里(包括50海里)范
围内的目标.如图,当该军舰行
北
至A处时,电子侦察船正位于A
A
东
处的正南方向的B处, AB=90海
里.如果军舰和侦察船仍按原来
●B
速度沿原方向继续航行,那么航
并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的 根．
3．公式法
(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝ －b± b2－4ac
__________2_a____________________________.
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：
①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
解: 设这种存款的年利率为 x,根据题意,得
[500(1 0.8x) 50](1 0.8x) 461.
整理得:
320x2 760x 11 0.
解得: x 760 591680 760 769 .2 ,
640
640
x1 0.144 1.44%; x2 0(不合题意,舍去).
2.一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方 程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为 二次项、 和 一次项 常数项，a，b分别称为二次项系数和一次 项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
① ax2 bx c 0
（ ×）
② x3 1
（× ）
196.
整理得:
4
x2
4
北师大课标版初中数学九年级上册第二章一元二次方程及其应用(共18张PPT)
3．方程 x2－2x－1＝0的解是___________．
活动三：挑战中考
考点3 一元二次方程的代数应用（考查频率：★★★★☆） 命题方向：（1）球队比赛问题；（2）增长率问题；（3）其他一元二次方 程问题．
4．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），
计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
活动一：自主学习
一
2
整式
ax2+bx+c＝0(a≠0) 相等 根
活动二：自主学习
因式分解法
配方
配方法
mx＋n
移项
b2－4ac
一般形式 ax2＋bx＋c＝0
（b≥0）的形式，再利用因式分解法求解．
活动二：自主学习
两个一次因式的积
降次
考点3 一元二次方程的实际应用
9.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为： 审、设、列、解、验 、考查频率：★★☆☆☆）
命题方向：（1）利用一元二次方程的根求一元二次方程的系数； ( 2 )已知方程的一个根，求方程的另一个根．
考点4 一元二次方程的几何应用（考查频率：★★★☆☆）
命题方向：（1）用一元二次方程解决图形的面积问题； （2）其他与几何图形有关的数学问题．
6或12或10
活动四：拓展延伸 1、试求 x2+4x+1 的最小值。
2、试求 ﹣x2+4x+1 的最大值。
活动四：拓展延伸
3、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以 1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm/s的速度移动.
活动三：挑战中考
考点3 一元二次方程的代数应用（考查频率：★★★★☆） 命题方向：（1）球队比赛问题；（2）增长率问题；（3）其他一元二次方 程问题．
4．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），
计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
活动一：自主学习
一
2
整式
ax2+bx+c＝0(a≠0) 相等 根
活动二：自主学习
因式分解法
配方
配方法
mx＋n
移项
b2－4ac
一般形式 ax2＋bx＋c＝0
（b≥0）的形式，再利用因式分解法求解．
活动二：自主学习
两个一次因式的积
降次
考点3 一元二次方程的实际应用
9.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为： 审、设、列、解、验 、考查频率：★★☆☆☆）
命题方向：（1）利用一元二次方程的根求一元二次方程的系数； ( 2 )已知方程的一个根，求方程的另一个根．
考点4 一元二次方程的几何应用（考查频率：★★★☆☆）
命题方向：（1）用一元二次方程解决图形的面积问题； （2）其他与几何图形有关的数学问题．
6或12或10
活动四：拓展延伸 1、试求 x2+4x+1 的最小值。
2、试求 ﹣x2+4x+1 的最大值。
活动四：拓展延伸
3、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以 1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm/s的速度移动.
《应用一元二次方程》PPT 北师版课件
(1)求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际意义. (2)设未知数可直接设元，也可间接设元.
第二章 一元二次方程
2.6 应用一元二次方程
第4课时 用可化为一元二次 方程的分式方程解 应用问题
名师点金
可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较 广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解 分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为
感悟新知
根据题意得
1 x x 4 x 20 160
2
整理，得 x2 12x 160 0 解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 )
答：这个梯形的高为8cm.
知1－导
感悟新知
归纳
知1－讲
利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般 要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式， 然后利用公式进行建模并解决相关问题.
复习提问
几引何出相问题关问题.
感悟新知
知识点 1 规则图形的应用
知1－导
例 11：等腰梯形的面积为160cm2,上底比高多4cm, 下底比上底多16cm，求这个梯形的高.
导引： 本题可设高为x cm，上底和下底都可以用含 x 的代数式表示出来.然后利用梯形的面积公式 来建立方程求解.
解：设这个梯形的高为 x cm,则上底为(x+4)cm, 下底 为(x+20)cm.
依据题意得：1+x+x(1+x)=121.
解得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）.
平均一个人传染了10个人
知识点 2 循环问题
知2－练
例例22：要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形 式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应 邀请多少个球队参加比赛？
第二章 一元二次方程
2.6 应用一元二次方程
第4课时 用可化为一元二次 方程的分式方程解 应用问题
名师点金
可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较 广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解 分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为
感悟新知
根据题意得
1 x x 4 x 20 160
2
整理，得 x2 12x 160 0 解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 )
答：这个梯形的高为8cm.
知1－导
感悟新知
归纳
知1－讲
利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般 要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式， 然后利用公式进行建模并解决相关问题.
复习提问
几引何出相问题关问题.
感悟新知
知识点 1 规则图形的应用
知1－导
例 11：等腰梯形的面积为160cm2,上底比高多4cm, 下底比上底多16cm，求这个梯形的高.
导引： 本题可设高为x cm，上底和下底都可以用含 x 的代数式表示出来.然后利用梯形的面积公式 来建立方程求解.
解：设这个梯形的高为 x cm,则上底为(x+4)cm, 下底 为(x+20)cm.
依据题意得：1+x+x(1+x)=121.
解得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）.
平均一个人传染了10个人
知识点 2 循环问题
知2－练
例例22：要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形 式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应 邀请多少个球队参加比赛？
北师大版九年级上册数学《应用一元二次方程》一元二次方程说课教学复习课件
例题精讲
知识点 1 列一元二次方程解增长(或下降)率问题 例1 (教材 P55T4) 某公司今年 10 月的营业额为 2 500 万 元，按计划第四季度的总营业额要达到 9 100 万元，求该公 司 11，12 两个月营业额的月均增长率．
【思路点拨】用“增长后的量＝增长前的量×(1＋平均增 长率)n”表示出 11 月与 12 月的营业额，根据第四季度的总营 业额要达到 9 100 万元，列方程求解．
度继续航行，在途中是否会遇到台风？ 不不会会 (填“会”或“不会”)．
5. 如图，在△ ABC 中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC ＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1 cm/s 的速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2 cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P，Q 两 点同时出发，经过几秒后△ PBQ 的面积等于 4 cm2？
根据题意得，(x－30)[600－10(x－40)]＝10 000， 整理得，x2－130x＋4 000＝0， 解得 x1＝50，x2＝80(舍去)．
600－10(x－40)＝600－100＝500. 因此，这种台灯的售价应定为 50 元，这时应购进台灯 500 个．
【归纳总结】列一元二次方程解决利润问题，应根据利 润，售价，成本之间的关系，找准等量关系，正确列出一元 二次方程，注意问题中的限制条件，舍去与条件不符合的解．
解：如图，过点 Q 作 QE⊥PB 于点 E，则∠QEB＝90°. ∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB.∴S△ PQB＝12PB·QE. 设经过 t s 后△ PBQ 的面积等于 4 cm2，则 PB＝(6－t)cm， QB＝2t cm，QE＝t cm.
根据题意，得12(6－t)·t＝4，即 t2－6t＋8＝0.∴t1＝2，t2 ＝4.
北师大版九年级数学课件-应用一元二次方程
解 : 设每年的平均增长率为x, 根据题意, 得
5(1 x)2 7.5.
解这个方程 : (1 x)2 3 ,
2
(1 x) 6 , x 1 6 ,
2
2
x1 1
6 2
22.47%;
x2
1
6 0（. 不合題意，舍去 2
答：這兩年的年平均增長率約為22.47%.
解这个方程,得整理得:x230 x2
例題欣賞 1
我是商場經理
解 : 设每台冰箱降价x元, 根据题意, 得
(2900 x 2500)(8 4 x ) 5000. 50
整理得: x2 300x 22500 0. 解这个方程, 得
x1 x2 150. 2900 x 2900 150 2750. 答 : 每台冰箱的定价应为2750元.
上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法 (solving by formular).
老師提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必須是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0 2.b2-4ac≥0.
回顧與復習 3
分解因式法
當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易於分解成兩 個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法 求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為分 解因式法.
4.變形:方程左邊配方,右邊合併同類項; 5.開方:根據平方根意義,方程兩邊開平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:寫出原方程的解.
回顧與復習 2
公式法
一般地,對於一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
九年级数学上册 2.3 一元二次方程的应用课件 (新版)北师大版
老师提示:在检验时,方程的根一定要符合问题的实际 意义.否则,舍去.
我—小亮,是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相 同.你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是?m吗?
你能通过解方程,帮我得 到扇形的半径x是?m吗?
16m
12m xm
解 : 设扇形的半径为xm, 根据题意得
x2 16 12 .
2
即x2 96.
解这个方程, 得
x1 x2
96 5.5.其中x 5.5不合题意,舍去.
答 : 扇形的半径约为5.5m.
我—小茜
,也是最棒的设计师!
w 我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的 小路,且它的宽都相等.
w 你能通过解方程,帮我得
到小路的宽x是?m吗?
90 2x40 2x72% 9040.
即 x2+65x-350 ＝0.
解这个方程,得
x1 ＝5;x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金链的宽应是5cm.
5.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm， 点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动， 如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五 边形APQCD的面积为64cm？
• 1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,
在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小
路的面积为246cm2,求小路的宽度.解: 设小路的宽度xFra bibliotek,根据题意,得
20+2x
(20 2x)15 2x 2515 246.
20
15+2x 15
整理得 :
2x2 35x 123 0,
我—小亮,是最棒的设计师
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都相 同.你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是?m吗?
你能通过解方程,帮我得 到扇形的半径x是?m吗?
16m
12m xm
解 : 设扇形的半径为xm, 根据题意得
x2 16 12 .
2
即x2 96.
解这个方程, 得
x1 x2
96 5.5.其中x 5.5不合题意,舍去.
答 : 扇形的半径约为5.5m.
我—小茜
,也是最棒的设计师!
w 我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直的 小路,且它的宽都相等.
w 你能通过解方程,帮我得
到小路的宽x是?m吗?
90 2x40 2x72% 9040.
即 x2+65x-350 ＝0.
解这个方程,得
x1 ＝5;x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金链的宽应是5cm.
5.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm， 点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动， 点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动， 如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五 边形APQCD的面积为64cm？
• 1 .一块长方形草地的长和宽分别为20cm和15cm,
在它的四周外围环绕着宽度相等的小路.已知小
路的面积为246cm2,求小路的宽度.解: 设小路的宽度xFra bibliotek,根据题意,得
20+2x
(20 2x)15 2x 2515 246.
20
15+2x 15
整理得 :
2x2 35x 123 0,
北师大版九年级数学课件-应用一元二次方程
本題的主要等量關係：
每臺冰箱的銷售利潤×平均每天銷售冰箱的數量=5000元
如果設每臺冰箱降價x元，那麼每臺冰箱的定價
應為
元。
每天的 銷售量/臺
降價 前
每臺的 銷售利潤/元
總銷售 利潤/元
降價 後
探索與創新：
一次會議上，每兩個參加會議的人都互
相握了一次手，有人統計一共握了66次手。 這次會議到會的人數是多少？
鞏固ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ習：
某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，
平均每月能售出600個。調查表明：這種臺 燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10 個。為了實現平均每月10000元的銷售利潤， 這種臺燈的售價應定為多少？這時應進臺燈 多少個？
請你利用方程解決這一問題。
感悟與收穫
通過兩節課的學習，你能簡要說明利用 方程解決實際問題的關鍵和步驟嗎？
第二章 一元二次方程
第6節 應用一元二次方程(二）
前置診斷，開闢道路
請同學們回憶並回答與利潤相關的知識
利潤率=________
利潤=_____-進價
售價=標價×折扣 9折要乘以90%或0.9或 那麼x折呢？
9 10
，
新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500 元。市場調研表明：當銷售價為2900元時，平 均每天能售出8臺；而當銷售價每降低50元時， 平均每天就能多售出4臺。商場要想使這種冰箱 的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的 降價應為多少元？
關鍵：尋找等量關係。 步驟：其一是整體地、系統地審清問題；
其二是把握問題中的“相等關係”； 其三是正確求解方程並檢驗解的合理性。
P56習題2.9第1-4題
選作題 P59復習題23
初三数学最新课件-北师版九级数学一元二次方程复习 精品
b2 4ac 0 两个相等实根 0
b2 4ac 0 无实根(无解)
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用: 1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 2x2 3x 4 0
（2） 16y2 9 24y
（3） 5 x2 1 7x 0
(m 2)x2 (2m 3)x m 2 0
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根
∴ [(2m 3)]2 4(m 2)(m 2) 0 m 2 0
解得：m 2 1 且m 2 12
∵m为非负数 ∴m=0或m=1
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意 二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取 值范围.
练习：1、不解方程，判别下列方程的根的情况
（1） 2x2 4x 35 0 （2） 4mm 11 0
（3） 4 y2 0.09 2.4y
2、已知关于x 的方程： 1 2k x2 2 k 1x 1 0 有两个 不相等的实数根，k为实数，求k 的取值范围。
3、设关于x 的方程： x2 2mx 2m 4 0 ，证明，不论m
3、证明方程根的情况
例4、求证：关于x的方程：x2 m 2 x 2m 1 0 有两个不相等的实根。
证明： m 22 42m 1 m2 4m 8 (m 2)2 4
无论m取任何实数都有：m 22 4 0
即：△>0
所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等 的实数根。
说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△ ，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含 用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的 情况，从而证明出方程根的情况
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判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解 集即可得到k的范围； (2) 找出 k 范围中的整数解确定出 k 的值，经检验即可得 到满足题意的k值．
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解
(1)根据题意得：Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k＞0， 5 解得 k＜ ； 2 (2)由 k 为正整数，得到 k＝1 或 2， 利用求根公式表示出方程的解为 x＝－ 1± 5－2k. ∵方程的解为整数，∴5－2k 为完全平方数， 则 k 的值为 2.
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定义
通过配成完全平方的形式解一元二次方 程
配方 法
①化二次项系数为1；②把常数项移到 配方法 方程的另一边；③在方程两边同时加上 解方程 一次项系数一半的平方；④把方程整理 的步骤 成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平 方解方程
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求根公式 公式 法
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考点3
一元二次方程的根的判别式
一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式
根的判 2 关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝ 别式定 2 0(a≠0)的根的判别式为 b －4ac. 义 (1)b2－4ac>0⇔方程有两个不相等 ________的实 判别式 数根； 2 与根的 (2)b －4ac＝0⇔方程有两个相等 ________的实 关系 数根； 没有 (3)b2－4ac<0⇔方程________ 实数根 在使用根的判别式解决问题时，如果 防错提 二次项系数中含有字母，要加上二次 醒 项系数不为零这个限制条件
探究三
一元二次方程根的判别式
命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围． 例3 [2013·北京] 已知关于x的一元二次方 程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
解
析
(1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的
应用类型 增长率问题
利率问题 销售利润问题
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归 类 探 究
探究一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念．
例1 [2013·牡丹江] 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5 ＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( A ) A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
考 点 聚 焦
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
一 含有________ 个未知数，并且未知数的最高次 2 数是________ 的整式方程． ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ． 一般形式：____________________ 注意：在一元二次方程的一般形式中要注意强 调a≠0.
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(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别 式Δ ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算 前应先将方程化为一般式． (2)注意二次项系数不为零这个隐含条件．
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探究四
(选讲)一元二次方程根与系数的关系
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解
析
∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个
根，
∴a· 12＋b· 1＋5＝0，∴a＋b＝－5，
∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018.
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探究二
一元二次方程的解法
命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法．
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利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含 未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式， 因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此 因式可以为零，则方程会失去一个根，出现漏根错 误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
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一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0, 且 b2 －4ac≥0 时，则 x1,2＝
－b± b2－4ac 2a ___________
(1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的形式；(2)确定 a，b，c 的值；(3) 公式法解方程 若 b2－4ac≥0，则代入求根公式，得 的一般步骤 x1，x2；若 b2－4ac<0，则方程无实数 根
例2 解方程：2x－3＝3xx－3.
解 析
可用因式分解法或公式法．
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解
解法一(因式分解法)：(x－3)(2－3x)＝0， x－3＝0 或 2－3x＝0， 2 所以 x1＝3，x2＝ . 3 解法二(公式法)： 2x－6＝3x2－9x， 3x2－11x＋6＝0， a＝3，b＝－11，c＝6， b2－4ac＝121－72＝49， 11± 49 x＝ ， 2× 3 2 ∴x1＝3，x2＝ . 3
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考点2 直接 开平 方法
一元二次方程的四种解法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2 形式的 方程
基本思想
因式 分解 法 方法规律
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
常用的方法主要运用提公因式法、平方差 公式、完全平方公式型因式分解
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考点4
〈选学〉一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1， b c x2，则 x1＋x2＝－a，x1x2＝a. 误区警示：利用一元二次方程根与系数的关 系时，要注意判别式Δ ≥0.
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考点5
一元二次方程的应用 等量关系 (1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来 的量，m为平均增长率，n为增长次数，b 为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平 均下降率时，则a(1－m)n＝b (1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金 ×利率×期数 (1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润 ＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率 ＝利润÷进货价