初中数学9年级上第21章一元二次方程课件：21.2 第5课时根与系数的关系

九年级数学人教版上册课件：第21章 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

；(5)
x1 x2
＋
x2 x1
＝
x21＋x22 x1x2
＝
x1＋xx212x－2 2x1x2；(6)|x1－x2|＝ x1－x22＝ x1＋x22－4x1x2.
2．在利用根与系数的关系求方程中待定系数的值时，必须使Δ＝b2－
4ac≥0.
5
3 1．已知α、β是方程5x2－3x－7＝0的两根，则α＋β＝ 5 . 2．设α、β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α·β＝－7 .
4
【方法归纳】
1．根据根与系数的关系求值，要将方程两根化为两根之和或两根之积的
形式．(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)(x1＋
1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；(4)
1 x1
＋
1 x2
＝
x1＋x2 x1x2
3
【规范解答】由题意知：x1＋x2＝2a，x1x2＝a2－2a＋2，因为x21＋x22＝(x1 ＋x2)2－2x1x2＝(2a)2－2(a2－2a＋2)＝2a2＋4a－4＝2，所以a2＋2a－3＝0，解得a1＝－3，a2＝1.当a＝－3时，原方程变为x2＋6x＋17＝0，Δ＝62－ 4×1×17＝－32＜0，方程无实数根，a＝－3应舍去．当a＝1时，原方程变为x2－2x＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，方程有实根，所以a＝1.
b a
＋
ab的值是( A )
A．7
B．－7
C．11
D．－11
11．已知m、n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n ＝8.
12．方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1、x2满足x21＋x22＝4，则k的值为 1 .

人教版初中数学九年级上册精品教学课件第21章一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系

-1
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
1
1
1
2
4.设 x1,x2 是方程 2x2+3x-4=0 的两个实数根,则 + 的值
为
.
关闭
3
2
1
1
3
根据题意,得
x1+x2=- ,x1x2=-2,所以 +
4
1
2
=
1 +2
1 2
=
3
-2
-2
关闭
3
4
= .
解析
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
5.已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α,β,不解方程求下列各
别用3 α+β,αβ
来表示,代入求解.
(2)α β+αβ3=αβ(α2+β2)=(-1)×11=-11.

(3) +
=
2 +2

=
11
=-11.
-1
解析
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx-1=0 的一个根是 2-1,求其另一
个根及实数 m 的值.
式的值.

2
2
3
3
(1)α +β ; (2)α β+αβ ; (3) + .

关闭
关闭
因为 α,β 是方程 x2+3x-1=0 的两个实数根,

一元二次方程的根与系数的关系课件 (共20张PPT) 2024-205学年数学人教版九年级上册

；
情景导入
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在《论方程的识别与订正》一
书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚
步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.
复习回顾
大家知道方程的求根公式
x
b
b 2 4ac
.
2a
不仅表示可以由方程
的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么，
x1 x 2
解：在方程 x 2－x－1＝0 中，a＝1，b＝－1，c＝－1.
b
c
∴x 1＋x 2＝－＝1，x 1x 2＝＝－1.
a
a
1
1 1 x 1＋x 2
(1) ＋＝
＝
＝－1.
x1 x2
x 1x 2
－1
(2)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12－2×(－1)＝1＋2＝3.
2
3 5
(2) (1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab＝1－(a＋b)＋ab＝1－－＝－3.
2 2
课堂练习
1．已知方程 2－5x＝x2 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x2 的值为
( D )
A．5
B．－5
C．2
D．－2
课堂练习
2．若关于x的方程 x2－4x＋m＝0 有一个根为－1，则另一个根为
解：在方程 x 2＋5x－p2＝0 中，a＝1，b＝5，c＝－p2.
b
c
∴x 1＋x 2＝－＝－5，x 1x 2＝＝－p2.
a
a
∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴－5＝－p2.
解得 p＝± 5.
课堂练习
5．已知 m，n分别为一元二次方程 x2＋2x－2 021＝0 的两个实数

人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》课件(共24张PPT)

课堂练习
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
2.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
3.已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二次方程.
解：根据题意，得 x1+x2=-3，x1x2=-1，所以 x1-1+x2-1=-5， (x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=-1+3+1=3，所以以 x1-1 和 x2-1 为根的一个一元次方程可以是 x2+5x+3=0(答案不唯一).
回顾旧知
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
(1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(2)
x1＋x2＝－
7 3
，x1
x2＝－39

人教版九年级上册数学精品教学课件第21章一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系

整体代入.
常见的求值式子如下：
1. 1 1 x1 x2 ； x1 x2 x1x2
2. x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2；
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
x2 x1
x1x2
x1x2
4.(x1 1)(x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1；
猜一猜（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
x1
x2
b， a
x1
x2
c. a
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，
Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
（2）3x2 + 7x - 9 = 0；解：a = 3，b = 7，c = -9.
2
归纳根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足 Δ≥0 .
当堂练习
1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另 3
一个根是 __2_，m = _-_3__. 2. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = 1 ，q = -2 .

人教版九年级数学上课件21.2(5)一元二次方程的根与系数的关系

• 上交作业：教科书第17页第7题．
合作探究达成目标
【小组讨论2】
(1)在求两根的和与积时，必须将方程怎样处理？
【针对训练2】
3.
C
4.
C
【针对训练2】
5.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为 2，则另一个根为：（） C A.2B.3C.4D.8
总结梳理内化目标
达标检测反思目标
D
0
3 2
3
达标检测反思目标
-2
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
21.2解一元二次方程
第5课时一元二次方程根与系数的关系
创设情景明确目标
这节课我们就来学习一元二的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．
• 2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
合作探究达成目标
探究点一一元二次方程的根与系数的关系的推导
活动一：阅读课本第15页至第16页内容，相互
交流并解决如下问题：
合作探究达成目标
3
-
2
-1
5 2
3 2
1 7 1 7 2
2
3
33
3
合作探究达成目标
合作探究达成目标
x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
X1+x2=
b b2 4ac 2a
2b
=
2a
=
-b a
+ b b2 4ac
2a
X1x2= b
b2 4ac 2a
● b b2 4ac 2a

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法课件新人教版

x
36 6 6 ,
24
8
x1
0,
x2
3. 2
x2 3 0
（3）x2 4x 8 4x 11
解：化为一般式
a 1,b 0,c 3.
b2 4ac 02 413 12.
x 0 12 2 3 ,
21
2
x1 3 x2 3.
(4) x2x 4 5 8x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0.
x -b b2 4ac 2a
解：方程可化为 5x2 4x 1 0 a 5,b 4, c 1
b2 4ac (4)2 4 5 (1) 36＞0
x (4) 36 4 6
25
10
x1
1, x2
1 5
例2 用公式法解下列方程:
(4) x2 17 8x
-b b2 4ac x
例2 用公式法解下列方程：
(2) 2x2 2 2x 1 0
解： a 2,b 2 2, c 1
b2 4ac (2 2)2 4 21 0
x (2 2) 0 2 2 2
22
42
x1 x2
2 2
x -b b2 4ac 2a
例2 用公式法解下列方程: (3) 5x2 3x x 1
又∴∵k＞k≠-10.， ∴ k＞-1且k≠0.
反思与小结
1.一元二次方程的求根公式是用什么方法推导出来的？ 2.试默写一元二次方程的求根公式；试说出根的判别式；如何用根的判别式判定一元二次方程根的情况？ 3.说出用公式法解一元二次方程的一般步骤.
2a
解：方程可化为 x2 8x 17 0 a 1,b 8,c 17
b2 4ac (8)2 4117 4＜0
∴方程无实数根.

九年级数学第21章一元二次方程 21.2 解一元二次方程一元二次方程的根与系数的关系

Image
12/7/2021
第十七页，共十七页。
35x14x2
(1)方程（3）与方程（1）（2）在形式上有何区别？
12/7/2021
第十页，共十七页。
合作探究达成目标 (dáchéng)
【小组讨论2】
(1)在求两根的和与积时，必须(bìxū)将方程怎样处理？
12/7/2021
第十一页，共十七页。
【针对训练2】 (zhēnduì)
x1 b b2 4ac 2a
b b24ac x2
2a
X1+x2=
b b2 4ac 2a
= 2b = - b
2a
a
+ b b2 4ac
2a
X1x2= b b2 4ac ● b b2 4ac
2a
2a
=
(b)2( b24ac)2 4a2
=
4 ac 4a 2
c
=
a
12/7/2021
第七页，共十七页。
• 2．在不解一元二次方程的情况(qíngkuàng)下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
12/7/2021
第三页，共十七页。
合作探究(tànjiū) 达成目标
探究点一一元二次方程的根与系数的关系(guān xì)的推导
活动一：阅读课本第15页至第16页内容，相互交流并解
一元二次方程根与系数的关系。创设情景明确目标。1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．。2．在不解一元
No 二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会

人教版九年级上册第二十一章(新)一元二次方程_根与系数的关系课件

3 2
1
3
2
2
1 2
4、已知两根求作新的方程
猜想： ①(x-2)(x-3)=0
如果一元二次方程 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 a2x b xc0(a0)的两个根
分别是 x 1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 a2xb xc0(a0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 。
4.x1 x2 (x1 x2)2 (x1x2)24x1x2
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
求它的另一个根和m的值。
∴m 1时,方程的两根互为倒数.
1 （1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
2
例如：已知方程 x ＝2x＋1的两根为x ,x 如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2
具备这个特征？
填写下表：
两根两根 a与b a与c
方程两个根当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 。
（1）已知方程
的
答：方程的另一个根是，k=-7
之和
之积
之间关系
之间关系
能应用根与系数的关系.
x 1 首先要把已知方程化成一般形式.
即：口答下列方程的两根之和与两根之积。
∴两根之积2m 1 0 且 0,
∴m1时,方程的两根互为倒数. ∴两根之积2m 1 0 且 0,
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
③∵方程一根为0, 因此，他获得了“代数学之父”之称。
K2- 2(k+2）=4

初中数学9年级上 第21章 一元二次方程 课件：21.2 第5课时 根与系数的关系