第五章-相似原理与量纲分析
第五章 量纲分析和相似原理
vp d p
p
vm dm
m
1
v l
模型与原型的流体为同类且同温
v
1
l
v l t
1
l
t l 2
Q l 3t 1 l 3l 2 l
模拟管流，应选用雷诺模型 特殊：流动处于紊流粗糙区时，不用雷诺模型，只要满足相 对粗糙度相等即可，所以这一区也叫自模区
3
F Ne 2 2 l v
( Ne ) p ( Ne )m
F l v F t F 1 2 2 3 2 2 l v l v mv
相似判据
两个流动的动力相似，归结为牛顿数相等
§5-3 相似理论基础
• 牛顿一般相似原理的特点
• 要使流流完全相似，要求作用在相应点上各种同名力均有同 一的力的比尺。 很难实现 • 各种力的性质不同，影响因素也不同
流 体 力 学
Hydromechanics
第五章 量纲分析和相似原理
实际流动大多较为复杂，无法得到其控制方程，甚至其 数学表达式都很难获得，那么微分分析、元（总）流分 析将不适用，需要另辟蹊径
• §5-1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
• §5-2 量纲分析法
• §5-3 相似理论基础
• §5-5 模型实验
Re p
v pl p
p
第五章 相似原理与量纲分析
U a
第三节
St
Fr
相似准则
3）相似准则数的物理意义
斯特劳哈尔数是当地惯性力与迁移惯性力的比值。两非定常流动相似， 它们的斯特劳哈尔数必定相等，反之亦然。这便是非定常流动相似准则。 弗劳德数是惯性力与重力的比值。两流动的重力作用相似，它们的弗 劳德数必定相等，反之亦然。这便是重力相似准则。
Eu
Re
2 U p u U p u p0 p 1 p U p u u u v w g p fx 2 p 2u Tp t Lp x y z Lp p x Lp
Lm u u p0m p m u u Lm gm u v w fx 2u 2 2 U mTm t x y z U m mU m x U m Lm
分支。
对许多实际流动，直接用实物（原型）进行实验会遇到很大困难： 如新型飞机，汽车，大型流体机械因尺寸大，造价昂贵，没有足够把握
是不能冒然投产并进行原型实验的；有的原型尺寸太小，实测非常困难。
因此，在研究过程中，都必须要用一定尺度的模型进行实验。
第五章 相似原理和量纲分析
模型实验方法起始于19世纪末。如今，随着工业技术的高速发展， 应用模型实验方法进行科学研究和产品开发就更为普遍。例如用风洞模 型实验研究航空航天飞行器的性能；用船模在水池或水洞中研究船只的 航行性能；用气候风洞研究汽车在各种气候条件下的驾驶性能；用建筑 物模型在风洞内进行风载实验；用环境风洞进行大气污染实验等等。
第五章——量纲分析和相似原理
5.2 相似原理与模型实验 3. 相似原理的应用 应用相似原理进行试验研究的步骤： （1）分析导出的相似准则，判断决定性准则 （2）根据选定的相似准则设计实验方案 （3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量 （4）将实验结果换算到实物系统中 4. 相似原理和量纲分析的比较 相似理论：从微分方程出发导出无量纲数组
2 u 2u 2u Du 1 p fx 2 2 2 Dt x z x y
(a)
与其相似的流动中流体质点的方程为
2 u ' 2u ' 2u ' Du ' 1 p ' f x ' ' 2 2 2 Dt ' ' x ' x ' y ' z '
Vl
CV Cl 1 C
V 'l ' '
，即 Re Re'
不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等
这些无量纲数组称为相似准则或相似判据
相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能 够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相
似；有单值条件中的物理量组成相似准则相等
5.1 量纲分析 2. Π定理（白金汉定理） 对于某个物理现象或过程，如果可以用n个变量来描述，写 成数学表达式为：f(x1,x2,x3,…,xn)=0, 而这些变量含有m个基本 量纲，则该现象可以用(n-m)个无量纲量数组的表达式来描述， 即 F(1,2, … n-m)=0
相似原理和量纲分析
2、方程量纲一致性 一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相 同。
1 2 s V0t at 2
L L LT 1T L LT 2 T 2 L
-----方程两端具有相同量纲
量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。
二、瑞利法
1.定义： 根据量纲量一致性原则，确定相关 量的函数关系。 假定物理量y是x1、x2等的函数。则
Fm mVm vm t m 3 1 2 2 kF k kl kv kt k kl kv Fp pV p v p t p
kF 1 2 2 k k l kv
或
Fp Fm 2 2 m lmvm p lpvp
第五章 相似原理和量纲分析
令：
F
l v
2 2
例如： 粘滞力相似：由 Re m Re p 得
vm l m
m
v pl p
m p
p
vm l p 1 v p lm kl
重力相似：由 Frm Frp 得
vm g m lm vp g pl p
gm g p
lp vm 1 vp lm kl
由此可以看出，有时要想做到完全相似是不 可能的，只能考虑主要因素做近似模型实验。
Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。
第五章 相似原理和量纲分析
压力相似准则
流体力学第5章 相似性原理和量纲分析
Eu
p
v 2
p
v 2
欧拉数——压力的相似准数
（4）柯西准则——弹性力是主要的力
改成
FE Fi FE Fi Fi Fi FE FE
FE dpA EAdV /V El 2
E——弹性模量
Fi l 2v2
v2 v2
E E
（*）
无量纲数
Ca
v 2
E
柯西数——弹性力的相似准数
气体：将 a E 代入（*）式，得
第三节 流动相似条件
❖Fra Baidu bibliotek相似条件：保证流动相似的必要和充分条件。
属于同一类的流动 单值条件相似 单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等
❖ 单值条件：从无数同类流动中单一地划分出某一具 体流动的条件。如几何条件，边界条件，物性条件， 初始条件
❖ 定性量：单值条件中的各物理量。是决定性质的量。 如流体的密度，特征长度，流速，粘度，重力加速 度等。
模型闸门是按长度比例尺kl=1/20制作的，试验时的开度与原 型的相同。试求流动相似时模型闸门前的水深。在模型上测
得收缩截面的平均流速v’=2.0m/s，流量q’V=30L/s,水作用在 闸门上的力F’=92N,绕闸门轴的力矩M’=110N.m。试求原型 上收缩截面的平均流速，流量及作用在闸门上的力和力矩。
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
流体力学第五章 量纲分析和相似理论
1. 客观性 2. 不受运动规模的影响 3. 可以进行超越函数运算
整理课件
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
2. 量纲一的量(无量纲量)
基本量独立性判别条件：
设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式 不等于零。
diB m M 2L 2T 2 diA m M 1L 1T1 diC m M 3L 3T 3
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
3. 量纲一致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）
物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同 一方程中各项的量纲必须相同。
用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，
这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲
第五章 量纲分析与相似原理
5.2 量纲分析与П定理
2. П定理
提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物理
学家布金汉（E.Buckingham,1914):
Π定理
若某一物理过程包含 n 个物理量，即：
f(q1 ， q 2，q 3, ……, q n )＝0
其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理 量），则该物理过程可由 n个物理量构成的 n-m 个无 量纲的关系表达式来描述。即：
量纲分析与相似原理
Δp，u，d，ε，ρ，μ，l，共7个
第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为 重复量，取3个）。
选ρ 、u 、d 第3步、列П表达式求解П数
① П1=ρa u bd cΔp M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
解得：a = b = 0， c = -1
3
d
（相对粗糙度）
④ П4 =ρa u bd c l (同上)
4
l d
（几何比数）
4．列П数方程 1 f ( 2 , 3, 4 )
p
l
即
f (Re, , )
1 u2
dd
2
或
p 1 u 2 f (Re, , l )
2
dd
第五节 量纲分析与相似原理
5.5 常用的相似准则数
忽略重力的伯努利方程
1 2
v2
p
1 2
v02
p0
无量纲化伯努利方程
Cp
p p0
1 2
ρ
v02
1( v v0
)2
（沿流线） （沿流线）
第五节 量纲分析与相似原理
第五节 量纲分析与相似原理
5.4 量纲分析与П定理
量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的 物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用 无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物 理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分 析和实验研究。
第5章 量纲分析和相似原理
二、相似准则
特征物理量：如密度ρ、速度v、长度L、粘性系数 µ 、压力p、加速度g和时间t等。 由（2.4.6 )式（第59页）N-S方程可以看出，单位质 量的各力可用这些特征物理量的量级表示如下： p Fp v 压力 粘性力 Fm m 2 L
2
2
2 f1 Re, ——沿程损失系数 d
第5章 量纲分析和相似原理
5.1 量纲分析 5.2 相似原理 5.2.1 流动相似条件 5.2.2 动力相似特征数 5.2.3 动力相似特征数应用
5.2 相似原理
相似原理揭示相似的物理现象各对应参数之间应 满足的关系，根据相似原理分析得到的相似特征数对 流体力学实验具有重要的指导意义。 流体力学实验是在可控条件下重复某种流动现象 的过程，实验对象可以是原型或几何相似的模型。在 实验中，通常对太大的实体用缩小的模型来代替，对 太小的实体则用放大的模型来代替。按照相似原理在 模型上进行实验，就可将实验结果应用于实体。 在下面的叙述中，用下标“o”代表原型物体， “m”代表模型物体。
5.2 相 似 理 论
一、力学相似的基本概念 1.几何相似
——模型与实物几何形状相似。即两系统对应的 长度成同一比例，且对应角相等。
m m
p
即两个系统的对应长度成同一比例，且对应角相等。
p
1.几何相似
长度比尺 面积比尺
5 量纲分析和相似原理
p vd l ks f2 ( , , ) 2 v d d
△p与管长l成比例，将l/d移至函数式外面
p vd ks l f3 ( , ) 2 v d d
ks l v 2 p l v2 f 4 (Re, ) g d d 2g d 2g
a b c dim N dim( Q H ) 写出量纲式
以基本量纲（M，L，T）表示各物理量量纲
ML2T 3 (ML2T 2 )a ( L3T 1 )b ( L)c
根据量纲和谐原理求量纲指数
M: 1=a L: 2=-2a+3b+c T: -3=-2a-b 得：a=1，b=1，c=1
一般地，普遍采用M-L-T-Θ基本量纲系，对 于不可压缩流体运动，则选取M-L-T3个基本 量纲，其它物理量的量纲可以表示为：
dim q M L T
此式称为量纲公式。物理量q的性质由量纲指 数α、β、γ决定：当α=0、β≠0、γ=0,q 为几何量；当α=0、β≠0、γ≠0,q为运动学 量；当α≠0、β≠0、γ≠0,q为动力学量。
π定理的应用步骤：
qn ) 0 1）找出物理过程有关的物理量 f (q1q2q3 2）从n个物理量中选取m个基本量，不可压缩流 体运动，一般取m=3，设所选基本量为q1，q2，q3， 由量纲公式
流体力学第五章相似原理和量纲分析
1）必须知道流动所包含的全部物理量； 2）在表征流动过程的函数关系式中存在无量
纲常数时，具体数值由实验确定； 3）不能区别量纲相同而意义不同的物理量。
35
30
第五节 量纲分析法（瑞利法）
• 达西-魏斯巴赫公式：
hf
l
d
v2 2g
31
第五节 量纲分析法（ π定理）
• π定理表述：
如果一个物理过程涉及到n个物理量和m个 基本量纲，则这个物理过程可以用n 个物 理量组成的n-m个无量纲的函数关系来表示 。这些无量纲量用πi来表示。
32
第五节 量纲分析法（ π定理）
/ dyA / dyA
k kvkl
vl vl
vl vl
k kvkl 1 k
kvkl 1 k
Re vl vl
雷诺数，惯性力 与黏性力之比
黏性力作用相似： Re Re
12
第二节 动力相似准则
• （３）压力相似准则（欧拉准则）
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似
p Eu
v 2
23
第五节 量纲分析法（基本概念）
2 基本量纲 导出量纲 基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力 学领域中有三个基本量纲：长度量纲L，时 间量纲T，质量量纲M。
导出量纲由基本量纲组合表示， 如加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成 [B]=MLT
第五章量纲分析和相似原理
dim y dim(x1 x2 xn )
1
2
n
LaT b M c [ La1T b1 M c1 ]1 [ La2 T b2 M c2 ]2 [ Lan T bn M cn ]n
据量纲和谐原理 [L]: 有: [T]: [M]: a = a1 1 ＋ a2 2 +……+an n b = b1 1 ＋ b2 2 +……+bn n c = c1 1 ＋ c2 2 +……+cn n
3、动力相似 ——指两个流动对应点上受到同名力的作用， 力的方向相同、大小成比例。 （1）条件： 1> 几何相似； 2> 对应点上同物理性质的力方向相对应， 大小成比例。
（2）表达式： 根据达郎贝尔原理，对于运动的质点，设想加上该 质点的惯性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式 上构成封闭力多边形。因此动力相似又可表述为相应点 上的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例。
3、量纲分析的具体应用： （1）量纲分析法 ——即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量 之间的函数关系的方法。 （2）应用： 1> 检查所建立的物理方程是否正确； 2> 可用于同一量纲的单位换算； 3> 确定各物理量之间的合理形式； 4> 设计系统实验及分析实验结果。
三、量纲分析法 1、瑞利法： （1）特点： 可直接利用量纲一致原则进行量纲分析； （2）适用范围： 方程中物理量较少（一般4～5个），各量纲 间的关系较易确定。
流体力学讲义-第五章 相似原理与量纲分析
第五章相似原理与量纲分析
对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。
第一节流动相似
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。
模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。
水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。
关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
模型和原型保证流动相似，应满足：
几何相似
运动相似
动力相似
初始条件和边界条件相似
1.几何相似
几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。
长度比尺：（5-1）
面积比尺：（5-2）
体积比尺：（5-3）
2. 运动相似
运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。
速度比尺：（5-4）
加速度比尺：（5-5）
3.动力相似
动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。
力的比尺：（5-6）
4.初始条件和边界条件的相似
第五章——量纲分析和相似原理
ρVl ρV 2l 2 F Re = = = iner µ µVl F vis
Fpre ∆p ∆pl 2 Eu = = = 2 2 2 ρV ρV l F iner
欧拉数 ② 欧拉数
弗劳德数 ③ 弗劳德数
F ρV 2l 2 Fr = = = iner Fgra ρgl3 ρg V
韦伯数 ④ 韦伯数
ρV 2l ρV 2l2 F We = = = iner σ σl Fsur
2 a ' V '/ t ' CV CV Ca = = = = a V / t Ct Cl
流量比例常数
Q' l '3/ t ' Cl3 CQ = = 3 = = Cl2CV Q l / t Ct
14
5.2 相似原理与模型实验 （4）力相似 ） ——力场的几何相似，作用在流体上的各种力的方向对应 力场的几何相似， 力场的几何相似 一致，大小成比例。 一致，大小成比例。如图所示 ' ' ' ' p1 p2 τ1 τ2 f ' G' 力比例常数 CF = = = = = = p1 p2 τ1 τ2 f G ρ' 密度比例常数 Cρ = 基本比例常数 ρ
V2 p +z+ = const 2g ρg
方程左边各项的量纲依次为
2 V 2 LT −2 dim = =L −2 2g LT
第五章 量纲分析与相似原理
类似地，如果两个相似流动中起主导作用的是粘性 力，则有
d d v n v m
以符号 Re 表示比值，即
Fra Baidu bibliotekRe
L
v
显然， Re 就是阻力理论中已经介绍的重要无量纲参数 —雷诺数。雷诺数表征惯性力与黏性力之比。 同样，原型流动与模型流动粘性力和惯性力的相似关 系可以写为
3/ 2 v L
这要求在模型流动中，采用特定粘度的流体，实际上这 是很不容易实现的 。
【例题5-1】 煤油管路上的文丘里流量计，入口直径为 300mm，喉部直径为150mm，在1:3的模型中用水来进行试 验。已知煤油的比重为0.82，水和煤油的运动粘性系数 分别为0.010cm2／s和0.045cm2／s，求： (1) 已知原型煤油流量 Qn 100 l s ，为达到动力相似，模 型中水的流量 Qm 应为多少? (2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差
以符号Fr 表示比值，则有
Fr
2
gL
Fr 称为流动的弗诺德数。弗诺德数表征惯性力与重力的 相对比值。
原型流动和模型流动的相似关系，可以写为
Frn Frm
即原型流动和模型流动的弗诺德数相等。由此表明，如 果两个几何相似的流动在重力作用下达成动力相似，则 它们的弗诺德数必相等；反之，如果两个流动的弗诺德 数相等，则这两个流动一定是在重力作用下动力相似的。 这就是重力相似准则，或称为弗诺德相似准则。 3、雷诺相似准则
流体力学讲义-第五章相似原理与量纲分析
第五章相似原理与量纲分析
对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。第一节流动相似
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。
模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。
水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。
关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。
流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
模型和原型保证流动相似，应满足：
几何相似
运动相似
动力相似
初始条件和边界条件相似
1. 几何相似
几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的
比值均相等。
长度比尺：（5-1）
面积比尺：2 4 V ?2
（5-2）
体积比尺：（5-3）2.运动相似
运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度
度a方向相同，且大小各具有同一比值。
速度比尺：7 —旳—厶仏_ ? ? -1
（5-4）
加速度比尺: 3_ T _ 旳仏? -2 _ ? 了-1
3-石-硕_的■以（5-5）
u及加速
3.动力相似
动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。
第5章_量纲分析与相似原理
第5章量纲分析和相似原理§5.1 量纲和谐原理
量纲公式
二、无量纲量三、量纲和谐原理
§5.1 量纲和谐原理
一、瑞利法（Rayleigh）应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数
二、布金汉（π定理的解题步骤：
应用范围：对相关物理量个数n 没有限制，应用例用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式
知τ0与液体的密度ρ，液体的动力沾滞系数µ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度
同理求得管中紊流，单位管长沿程水头损失进行量纲分析，则有
1. 几何相似
2. 运动相似
3.动力相似（
du
T=
2.弗劳德（重力）准则
3. 欧拉（压力）准则
4. 韦伯（表面张力）准则
5. 马赫准则（马赫数）
思考题：
二、模型设计
例长度比
进时，测得波浪阻力为0.02N。求（1）原型中的波浪阻力；
）原型中船舶航行速度；（
1. 量纲分析的意义和量纲和谐原理2）相似准则
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第五章 相似理论与量纲分析
5．1基本要求
本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。
5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义，
量纲的定义。
5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。 5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。 重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。 难点：量纲分析法，模型律。
5．2基本知识点
5．2．1相似的基本概念
为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。 1. 几何相似
两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。即
n n
l m m L d C L d == n m θθ=
相应有 222n n
A l m m A L C C A L === 333n n V l m m
V L C C V L ===
2. 运动相似
两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。
n n
u m m
u C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2
u u a t l
C C C C C == 3. 动力相似
两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。
Im pn n In n Gn En
F m m Gm pm Em
F F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
5．2．2相似准则
描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，利用该方程可得到模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间的约束关系即相似准则。常用的相似准数为: 1. 雷诺数Re
Re uL uL
ρμν
==
，Re 数表征了惯性力与粘滞力作用的对比关系。 2. 弗汝德数Fr
2
u Fr gL
=，Fr 数表征惯性力与重力作用的对比关系。 3. 欧拉数Eu
2
p
Eu u ρ∆=，Eu 数表征压力与惯性力作用的对比关系。 4. 斯特劳哈勒数St
2L u t
St tu u L
==，St 数是时变加速度与位变加速度的比值，标志流动的非定常性。
5．2．3模型律 1. 模型律的选择
动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全相似。但同时满足所有相似准数都相等，在实际上是很困难的，有时也是不必要的。实际上我们往往只需要考虑主要动力相似，即只要起主导作用的相似准数相等即可。要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来选择恰当的相似准数。 2. 模型试验
模型试验步骤：①选定l C ；②求模型的几何边界；③选模型律；④实现相似，计算相应物理量。
5．2．4量纲分析法 1. 量纲分析 1） 量纲
量纲是物理量的单位种类。注意量纲与单位的区别！
基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L 、时间量纲T 和质量量纲M 。
导出量纲由基本量纲组合表示。
任一物理量均可由基本量纲的指数乘积的形式来描述：[]q M L T αβγ
⎡⎤=⋅⋅⎣⎦
2） 无量纲量
无量纲量指物理量的量纲为1，用00
M L T 表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，
它是几个物理量组合而成的综合物理量。无量纲量可由几个有量纲量通过乘除组合而成或由同类量的比值组成。
无量纲量的优点：①客观；②不受运动规模的影响；③可进行超越函数的运算。 3） 量纲和谐原理
量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中各项的量纲应该是一致的。
推论：
（1）凡正确反映客观规律的物理方程，都可表示成由无量纲项组成的无量纲方程。 （2）量纲和谐原理规定了一个物理过程与有关物理量之间的关系。 2. p 定理：
对于某个物理现象，如果存在n 个变量互为函数，即12(,,,)0n F A A A =L 。而这些变量中含有m 个基本量，则可把这n 个变量成（n-m ）个无量纲数的函数关系12(,,,)0n f πππ=L ，即可合并n 个物理量为（n-m ）个无量纲π数。
p 定理解题步骤如下：
1） 确定关系式：确定所研究流动问题所包含的各个物理量及其关系式：
121211(,,,)0,(,,,,,,)n i i i n F A A A A F A A A A A -+==L L L 或
2） 确定基本量：从n 个物理量中选取m 个基本物理量作为基本量纲，一般3m =，如
A 1，A 2，A 3；
3） 确定无量纲变量π数的数目(n-m )，并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式：
123
1,2,...,,i
i
i
i i i i i A A A A i n m αβγ
παβγ==-；为待定指数
4） 确定无量纲π数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数,,αβγ，从而定出各无量纲π参数。
5） 写出描述物理现象的关系式：
12(,,,)0n f πππ=L
或者1211(,,,,,,)i i i n m f ππππππ-+-=L L
5．3典型例题
例5－1 某水库以长度比尺100l C =做底孔放空模型实验，今在模型上测得放空时间为12小时，求原型上放空水库所需的时间。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n m
gl gl υυ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以
n m m
υ=
=
10C υ===
又 1001010
l t C C C υ=
== 所以 1012120h n t m t C t ==⨯=
讨论：弗汝德数的适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明渠流动与隧洞流动等。
本题中水库内水的出流是重力出流，因此选择重力相似准则，即弗汝德数相等。
例5－2 已知某船体长122 m ， 航行速度15 m/s ，现用船模在水池中实验船模长3.05 m 。求船模应以多大速度运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力为20 N ，实物船所受阻力等于多少。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n m
gl gl υυ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以
15 2.37m/s m υυ===