关于中点引发的六联想

遇到中点引发六联想
联想是一种非常重要的数学品质。

善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？相信你阅读下文后，能给你带来一定的启示。

1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
例1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于【 】(2008年安徽省)
A ．65
B ．95
C ．125
D ．165
分析：
由AB=AC=5，所以，三角形ABC 是等腰三角形，且边BC 是底边；
由点M 为BC 中点，如果连接AM ，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM 是底边BC 上的高线，这样就能求出三角形ABC 的面积，而三角形AMC 的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC 中利用三角形的面积公式，求可以求得MN 的长。

解;
连接AM ，
因为，AB=AC=5，所以，三角形ABC 是等腰三角形，且边BC 是底边；
因为，点M 为BC 中点，
则根据等腰三角形的三线合一，得到AM ⊥BC ，
在直角三角形AMC 中，
AC=5，CM=
21BC=3, 所以，AM=222235-=-CM AC =4，
所以，三角形ABC 的面积是：
21×BC ×AM=21×6×4=12, 所以，三角形ACM 的面积是：6；
所以，6=
2
1×AC ×MN ， 所以，MN=512. 所以，选择C 。

2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半” 例2、在三角形ABC 中，AD 是三角形的高，点D 是垂足，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形。

分析：
由点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，
根据三角形中位线定理，知道FG ∥BC FE ∥AC ，FE=
21AC ， 由直角三角形ADC ，DG 是斜边上的中线，因此，DG=2
1AC ， 所以，EF=DG ，这样，我们就可以说明梯形EFGD 是等腰梯形了。

证明：
因为，点E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 的中点，
所以，FG ∥BC ， FE ∥AC ，FE=2
1AC ， 所以，FG ∥ED ，
因为，FE ∥AC ，DG 与AC 是相交的，
所以，DG 与EF 也是相交的，
所以，四边形EFGD 是梯形，
因为，AD 是三角形的高，
所以，三角形ADC 是直角三角形，
因为，DG 是斜边上的中线，
因此，DG=2
1AC ， 所以，DG=EF,
所以，梯形EFGD 是等腰梯形。

3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”
例1 求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。

已知：如图4所示，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

求证：四边形EFGH 是平行四边形。

分析：
由E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
我们就自然联想到三角形的中位线定理，
但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。

证明：
如图5所示，连接AC ，
因为，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

所以，EF 是三角形ABC 的中位线，GH 是三角形ADC 的中位线，
所以，
EF ∥AC ，EF =21AC ， GH ∥AC ，GH=2
1AC ， 因此，EF ∥GH ，EF=GH ，
所以，四边形EFGH 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形
例4、如图6所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，连接AE 、 BE ， 求证：S △ABE =2
1S 四边形ABCD 。

分析：
如果直接证明，是不容易，联想到AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，
我们延长AE ，与BC 的延长线交于点F ，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，
并且这对三角形是全等的。

这样，就把三角形ADE 迁移到三角形ECF 的位置上，问题就好解决了。

证明：
如图7所示，延长AE ，与BC 的延长线交于点F ，
因为，AD ∥BC ，
所以，∠ADE=∠FCE ，∠DAE=∠CFE ，
因为，点E 是CD 的中点，
所以，DE=CE ，
所以，△ADE ≌△FCE ，
所以，AE=EF ，
所以，S △ABE = S △BEF ，
因为，S △BEF = S △BEC + S △ECF = S △BEC + S △ADE ，
所以，S △ABE = S △BEC + S △ADE ，
因为，S △ABE + S △BEC + S △ADE = S 四边形ABCD ，
所以，2 S △ABE = S 四边形ABCD ，
所以，S △ABE = 2
1S 四边形ABCD 。

5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
例5、如图8所示，AB 是⊙O 的弦，点C 是AB 的中点，若8cm AB =，3cm OC =，则
⊙O 的半径为 cm ．
分析：
由点C 是AB 的中点，联想到圆的垂径定理，知道OC ⊥AB ，这样在直角三角形AOC 中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。

解：
因为，点C 是AB 的中点，
所以，OC ⊥AB ，
因为，AB=8,
所以，AC=4,在直角三角形AOC 中，
AC=4,OC=3,
所以，OA=222243+=+OC AC =5(cm)，
因此，圆的半径是5cm 。

6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等
例6、如图9所示，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCD AGCD
S S 矩形四边形等于：A 、65 B 、54 C 、43 D 、3
2
分析：
如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。

解：
如图10所示，连接BG ，
因为，E 是线段AB 的中点，
所以，S △AEG = S △BEG =x ， S △BGF = S △GCF =y ，
设AB=2a ，BC=2b ，
所以，矩形的面积是：2a ×2b=4ab ，
根据题意，得：
2 y +x=
2
1×BC ×BE=ab ， 2x+y=21×BA ×BF=ab ， 所以，2x+y=2y+x ，即x=y=
3ab ， 所以，4x=34ab =3
1矩形的面积， 所以，S 四边形AGCD =3
2矩形的面积， 所以，ABCD AGCD
S S 矩形四边形等于3
2， 所以，选D 。