最新人教版九年级数学上21.2.4一元二次方程的根与系数的关系ppt优质教学课件(教案)
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新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(共30张PPT)
①本题中的a 是一次项系数，而不是二次项系数。
②使用根与系数关系来方程的系数时，要注意它
的重要条件 0 ，一定要检验。
总
（2）、在
结
c ． , x 1 x2 a
0 （1）、理解两根存在的前提是
b x1 x2 a
中,
是知三求二。
（3）、渗透数学转换 思想。
巩固练习
1、求下列方程两根的和与积：（教科书第43 页第7题） 两根的和 两根的积 3 2 （1） x 2 3x 2 0 1 －1 （2） 5x 2 x 5 0 5 （3） x 2 x 5x 6 －6 4 13 1 （4） 7 x 2 5 x 8 7 7
例1（教材中的例4） 根据一元二 次方程的根与系数的关系，求下 2 x x 15 x x 6 x 6 x 15 0 （ 1） 列方程两根的和与积： 7
1 2
1 2
（ 2）
（ 3）
3x 7 x 9 0
2
x1 x 2
5 4
3
x1 x2 3
1 4
5x 1 4 x
索发现——知识应用”的教学策略， 鼓励学生动脑、动口、动手，参与
教学活动，感悟知识的形成过程，
说教法学法
3、学 法
为了体现课标中“以学生为主体”的
教育理念，所以让学生采用了自主学习、
探究学习、合作学习的学习方式，帮助学
生思考，从而使学生长知识、长智慧，学
得生动、活泼，肯学、学会、会学。
说教法学法
交流展示
（1）得出 x1 x2 b 、 x1 x2 c
（2）获取知识过程，情感体验
学习主题
二次项系数不为1的一元二次方程根 与系数的探索
新人教版九上《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
三、构造新方程
例3、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2和3，且二 次项系数为1.
变式：且二次项系数为5
三、构造新方程
例4、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）, 的两根的相反数 的平方 的倒数 都大2. . .
求关于y的方程.
比 且关于y的方程的两根分别是方程（ 1）
三、构造新方程
例5、小明和小敏解同一个一元二次
分析: (1)列出△的代数式,证其恒大于零
(2)(x1-1)(x2-1)<0 解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0 ∴方程总有两个不相等的实数根
m7 x x 1 2 9 m3 13 解得: m (2)由题意得: x1 x2 9 2 ( x1 1)( x2 1) 0 13 时方程的一根大于1,另一根小于1 m 当 2
x1
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1+x2= + 2a 2a
. x1 x2
-b- b2-4ac x2= 2a
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1x2= 2a 2a
-2b = 2a b a
(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac) = 4a2
b2-(b2-4ac) = 4a2
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴
初中数学教学课件：21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(人教版九年级上)
察 下
2x2 +7x-4=0 1/2 -4 -7/2 -2
表
6x2+7x-3=0 -3/2 1/3 -7/6 -1/2
4 3/5 23/5 12/5 5x2-23x+12=0
请同学们猜想：
对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的
两个实数根x1、x2，那么x1+x2， x1·x2与系数a，b， c 的关系.
21.2.4 一元二次方程的 根与系数的关系
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的
能力．
两个根x1、 两根 两根
请
方程
x2的值
的和 的积
同 学
x1 x2 x1+x2 x1·x2
们 观
3x2 -4x-4=0 2 -2/3 4/3 -4/3
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
【解析】设方程的另一个根是x1，那么
2x1= 6 5
∴x1=
3. 5
又 3 +2= k
5
5
∴ k=-7
答：方程的另一个根是 ，3 k的值是-7. 5
例 题 【例2】不解方程，求方程2x2+3x-1=0的
两个根的（1）平方和（2）倒数和.
【解析】设方程的两个根分别是x1 、x2那么
x1+x2 =
23，x1.x2 =
1.
2
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 人教版数学九年级上册
也可以把 x=2 代入方程，求得 q=8，再解 x2 － 6x+8=0，求得另一个根为4.
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.[中考·怀化] 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx－ 2=0 的一个根为－1，则m 的值为___－__1__ ，另一 个根为___2____ .
感悟新知
知识点 2 二次项系数为 1 的一元二次方程的性质 知2－讲
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根 与系数的关系
ห้องสมุดไป่ตู้悟新知
知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系 知1－讲
1.一元二次方程的根与系数的关系
方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，
设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是
知2－练
解题秘方：直接用以 x1， x2 为根的一元二次方程 (未知数为 x，二次项系数为 1)是 x2－ ( x1+x2) x+x1x2=0 求解 .
解：由题可知所求方程是 x2－( x1+x2) x+x1x2=0， ∴所求的一元二次方程是 x2－7x+12=0. 答案：A
感悟新知
知2－练
3-1. ［ 中考·淄博］ 若x1+x2=3，x12+x22=5， 则以 x1， x2 为根的一元二次方程是( A ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
转化记忆一元二次方程根与系数的关系 .
感悟新知
知2－练
例3 [ 中考·来宾 ]已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.[中考·怀化] 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx－ 2=0 的一个根为－1，则m 的值为___－__1__ ，另一 个根为___2____ .
感悟新知
知识点 2 二次项系数为 1 的一元二次方程的性质 知2－讲
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根 与系数的关系
ห้องสมุดไป่ตู้悟新知
知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系 知1－讲
1.一元二次方程的根与系数的关系
方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，
设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是
知2－练
解题秘方：直接用以 x1， x2 为根的一元二次方程 (未知数为 x，二次项系数为 1)是 x2－ ( x1+x2) x+x1x2=0 求解 .
解：由题可知所求方程是 x2－( x1+x2) x+x1x2=0， ∴所求的一元二次方程是 x2－7x+12=0. 答案：A
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知2－练
3-1. ［ 中考·淄博］ 若x1+x2=3，x12+x22=5， 则以 x1， x2 为根的一元二次方程是( A ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
转化记忆一元二次方程根与系数的关系 .
感悟新知
知2－练
例3 [ 中考·来宾 ]已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，
人教版九年级数学上册 21.2.4 根与系数的关系 课件 (共27张PPT)
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1. 2. 3. 4. 5.
x 2 x 15 0 2 x 6x 4 0
2
2 x 3x 5 0
2
3x 7 x 0
2
2x 5
2
例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两 个根的和与积.
1.x
2
6x 15 0
x2+7x+10=0 问题1：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？
④(x+5)(x+2)=0
1. 填表，观察、猜想
x1,, x2 方程 数 学 1,1 x2-2x+1=0 活 x +3x-10=0 2,-5 动 x +5x +4=0 -1,-4 二 问题：你发现什么规律？
2 2
例3： 已知方程 5x kx 6 0 的一个根
2
是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
2
23x
2
7x 9 0
3 5x 1 4x
x2 是方程 例2：已知 x1、 的两个实数根，求
解： 根据根与系数的关系:
的值。
x1 x2 2, x1 x2 1 2
举一反三：1、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2 x 3x 1 0
2
两个根的；（1）(x1+2)(x2+2)；（2） 解：设方程的两个根是x1 x2，那么
人教版数学九年级上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
c.通过分组讨论和教师引导，让学生在解决含参数的一元二次方程时，学会分类讨论，并掌握一般解题步骤。
-举例解释：例如，在解决“一个数的平方比这个数多3，求这个数”的问题时，学生需要将问题转化为方程x^2 - x - 3 = 0，并运用根与系数关系来得出答案。对于含有参数的方程，如ax^2 + bx + c = 0，学生需要讨论a、b、c的取值对根的影响，以及如何根据不同情况进行求解。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核知识：一元二次方程的根与系数的关系，包括根的判别式Δ、根与系数的关系公式。
-学生需掌握的内容：
a.理解并记住根的判别式Δ= b^2 - 4ac的含义及其与方程根的关系。
b.掌握根与系数的关系公式：x1+x2=-b/a和x1x2=c/a，并能够灵活运用。
c.能够通过根与系数的关系解决实际问题，如给定方程的一个根，求另一个根或系数等。
3.通过具体例题，让学生掌握运用根与系数的关系解决实际问题，提高解题能力。
本节课的重点是让学生掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用此关系解决相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过引导学生发现并证明一元二次方程的根与系数之间的关系，提高学生运用逻辑推理解决问题的能力。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
c.通过分组讨论和教师引导，让学生在解决含参数的一元二次方程时，学会分类讨论，并掌握一般解题步骤。
-举例解释：例如，在解决“一个数的平方比这个数多3，求这个数”的问题时，学生需要将问题转化为方程x^2 - x - 3 = 0，并运用根与系数关系来得出答案。对于含有参数的方程，如ax^2 + bx + c = 0，学生需要讨论a、b、c的取值对根的影响，以及如何根据不同情况进行求解。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核知识：一元二次方程的根与系数的关系，包括根的判别式Δ、根与系数的关系公式。
-学生需掌握的内容：
a.理解并记住根的判别式Δ= b^2 - 4ac的含义及其与方程根的关系。
b.掌握根与系数的关系公式：x1+x2=-b/a和x1x2=c/a，并能够灵活运用。
c.能够通过根与系数的关系解决实际问题，如给定方程的一个根，求另一个根或系数等。
3.通过具体例题，让学生掌握运用根与系数的关系解决实际问题，提高解题能力。
本节课的重点是让学生掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用此关系解决相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过引导学生发现并证明一元二次方程的根与系数之间的关系，提高学生运用逻辑推理解决问题的能力。
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共20张PPT) 2024-205学年数学人教版九年级上册
；
情景导入
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在《论方程的识别与订正》一
书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚
步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.
复习回顾
大家知道方程的求根公式
x
b
b 2 4ac
.
2a
不仅表示可以由方程
的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么，
x1 x 2
解：在方程 x 2－x－1＝0 中，a＝1，b＝－1，c＝－1.
b
c
∴x 1＋x 2＝－ ＝1，x 1x 2＝ ＝－1.
a
a
1
1 1 x 1＋x 2
(1) ＋ ＝
＝
＝－1.
x1 x2
x 1x 2
－1
(2)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12－2×(－1)＝1＋2＝3.
2
3 5
(2) (1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab＝1－(a＋b)＋ab＝1－ － ＝－3.
2 2
课堂练习
1．已知方程 2－5x＝x2 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x2 的值为
( D )
A．5
B．－5
C．2
D．－2
课堂练习
2．若关于x的方程 x2－4x＋m＝0 有一个根为－1，则另一个根为
解：在方程 x 2＋5x－p2＝0 中，a＝1，b＝5，c＝－p2.
b
c
∴x 1＋x 2＝－ ＝－5，x 1x 2＝ ＝－p2.
a
a
∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴－5＝－p2.
解得 p＝± 5.
课堂练习
5．已知 m，n分别为一元二次方程 x2＋2x－2 021＝0 的两个实数
九年级数学上册解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件(新版)新人教版
C
答案
1
2
3
4
5
6
2.(2017· 贵州黔东南州中考)已知一元二次方程x2-2x-1=0的两根分 1 1 别为x1,x2,则 ������ + ������ 的值为( )
1 2
A.2
B.-1
1 C.- D.-2 2
关闭
D
答案
1
2
3
4
5
6
3.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2,则 b= ,c= .
=
5 2 -2×3 2
= 36.
点拨此类题目的解题关键是将求值的代数式变形为含x1+x2和 x1x2的形式.运用根与系数的关系求代数式的值时,一定要保证二次 项系数不为0和b2-4ac≥0这两个条件.
2.求方程中未知系数的值 【例2】 若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根 分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1x2,求k的值. 分析根据根与系数的关系写出表示x1+x2与x1x2的代数式,并代入 x1+x2=x1x2中,从而求出k的值,注意求出的k的值必须使原方程有实 数根.
关闭 关闭 因为 α,β 是方程 x2+3x-1=0 的两个实数根, 所以 α+β=-3,αβ=-1 . α+β=-3,αβ=-1,把要求的代数式的值分 由根与系数的关系 ,得 (1)α2+β2=(α+β)2-2αβ=(-3)2-2× (-1)=11. 别用 α + β , αβ 来表示 , 代入求解 . (2)α3β+αβ3=αβ(α2+β2)=(-1)× 11=-11.
人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》课件(共24张PPT)
课堂练习
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
2.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
3.已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二 次方程.
解：根据题意，得 x1+x2=-3，x1x2=-1， 所以 x1-1+x2-1=-5， (x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=-1+3+1=3， 所以以 x1-1 和 x2-1 为根的一个一元次方程可以是 x2+5x+3=0(答案不唯一).
回顾旧知
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
(1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(2)
x1＋x2＝－
7 3
，x1
x2＝－39
人教版(2024)九年级上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 课件(共24张PPT)
(x1＋x2) ＝－p， x1x2＝q.
新知引入
方程
x1
x2
x1＋x2
x1x2
9x2－6x＋1＝0
1
1
2
1
3
3
3
9
3x2－4x－1＝0
2 7 2 7
4
1
3
3
3
3
3x2＋7x＋2＝0
1
－2
7
2
3
3
3
问题：你能发现 x1＋x2 ， x1x2 与方程系数有什么规律吗？
新知引入
思考：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数且 a≠0） 的两根为 x1、x2，则：x1＋x2 ， x1x2 与系数 a，b，c 的关系.
解：由题知：(x＋9)(x＋1)＝0. (x－8)(x－2)＝0. 展开：x2＋10x＋9＝0. x2－10x＋16＝0. 原方程：x2－10x＋9＝0.
练习 四、求方程中待定系数
例6. 如果－1是方程 2x2－x＋m＝0 的一个根，则另一个根与 m 分 别是多少.
解：由题知：2×(－1)2－(－1)＋m＝0.
那么：x1
x2
b a
，x1
x2
c a
.
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2－4ac≥0.
练习
一、直接运用根与系数的关系
例1. 不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0； (2)3x2 7x 9 0； (3)5x 1 4x2.
答案：（1）x1＋x2＝6，x1x2＝－15.
x1x2 (x1
x2 )
3 2
2
3.
（5）x2
x1
x12
新知引入
方程
x1
x2
x1＋x2
x1x2
9x2－6x＋1＝0
1
1
2
1
3
3
3
9
3x2－4x－1＝0
2 7 2 7
4
1
3
3
3
3
3x2＋7x＋2＝0
1
－2
7
2
3
3
3
问题：你能发现 x1＋x2 ， x1x2 与方程系数有什么规律吗？
新知引入
思考：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是常数且 a≠0） 的两根为 x1、x2，则：x1＋x2 ， x1x2 与系数 a，b，c 的关系.
解：由题知：(x＋9)(x＋1)＝0. (x－8)(x－2)＝0. 展开：x2＋10x＋9＝0. x2－10x＋16＝0. 原方程：x2－10x＋9＝0.
练习 四、求方程中待定系数
例6. 如果－1是方程 2x2－x＋m＝0 的一个根，则另一个根与 m 分 别是多少.
解：由题知：2×(－1)2－(－1)＋m＝0.
那么：x1
x2
b a
，x1
x2
c a
.
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2－4ac≥0.
练习
一、直接运用根与系数的关系
例1. 不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1)x2 6x 15 0； (2)3x2 7x 9 0； (3)5x 1 4x2.
答案：（1）x1＋x2＝6，x1x2＝－15.
x1x2 (x1
x2 )
3 2
2
3.
（5）x2
x1
x12
人教版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+2=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；
当b2-4ac≥0时有两个根：
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b -
b2 4ac 2a
则x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac - 2b b
解法一： 设方程的另一个根为x1 由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k
解得 x2 =－3 k =－2
答:方程的另一个根是－3,k的值是－2.
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
解法二：把 x=2 代入方程, 得 4-2(k+1)+3k=0 解得 k= -2
(1) x12 x22 (2) x12 x2 x1 x22
(3) (x1 x2）2
求与方程的根有关的代数式 的值时,一般先将所求的代数式 化成含两根之和,两根之积的情 势,再整体代入.
利用根与系数的关系求代数式的
值，常用类型还有:
(4)求 1 1 变形为 : x1 x2
x1 x2
x1x2
(1)x2-2x-1=0
x1+x2=2
x1x2=-1
(2) 2x2 - 3x +12 =0 (3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2= x1x2=0 x1x2= -
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想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
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讲授新课
一 探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 x22 x2+33xx+11=00
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导入新课
复习引入
1.一元二次方程的求根公式是什么？x b
b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
x1 + x2 =
3 2
, x1 x2 = -1 .
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例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个 根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 .
所以：x1
·x2=2x2=
6 5
,
即：x2=
3 5
.
由于x1+x2=2+ (
看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1
·x2=q.
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
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4a2
4ac 4a2
c. a
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归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
b x1 + x2 = a
x1 gx2
c a
注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0.
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二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、 两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
练一练
设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= 4 , (2)x1·x2= 1 ,
(3) x12 x22 14 ,
3) 5
=k ,
5
得：k=－7.
答：方程的另一个根是 3 ，k=－7.
5
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变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它 的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 ; 4
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
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学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决 问题.（重点）
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac
2a
2b 2a
b . a
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x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2 b2 4ac
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（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
22
两根
x1
x2
-4 1 23
1
-1
2
关系
x1+x2=-3 x1 ·x2=-4
x1+x2=5 x1 ·x2=6
x1
x2
3 2
1 x1gx2 2
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猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0, 且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数） 的两根是什么？将方程化为x2+px一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你 可以发现什么结论？
x1
x2
b a
x1 gx2
c a
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证一证：
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
m, 3
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
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例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、 倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
x1
x2
3 2
,
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,