普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式推导(精.选)
普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。
黑体辐射公式的推导
普朗克和瑞利-金斯黑体辐射公式的推导1 引言马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。
其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。
由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机）。
维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。
普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。
在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。
得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。
这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。
然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。
普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。
不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。
2 公式推导2.1 普朗克公式和瑞利-金斯公式的推导黑体是指在任何温度下,对于各种波长的电磁辐射的吸收系数恒等于1的物体。
黑体辐射的能量是由电磁场的本征振动引起的，为简化推导过程，在此将黑体简化为边长为L 的正方形谐振腔。
则腔内的电磁场满足亥姆霍兹方程： 2222u+k u 0 (k )ωμε∇== （1） 用分离变量法，令u(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)=则（1）式可分解为三个方程：222222222000x y z d X k X dx d Y k Y dyd Z k Z dz⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其中2222x y zk k k ωμε++= 得（1）式的驻波解为：112233(,,)(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x y y z z u x y z c k x d k x c k y d k y c k z d k z =+++由在x=0,x=L,y=0,y=L,z=0,z=L 上的边界条件0n E n∂=∂及0D E ⋅=可得：123cos sin sin sin cos sin sin sin cos x x y z y x y z z x y z E A k x k y k z E A k x k y k zE A k x k y k z⎧=⎪=⎨⎪=⎩ x x k n L π=，y y k n L π=，z z k n L π= ,,0,1,2,x y z n n n= （其中1A ,2A ,3A 满足关系1230x y z k A k A k A ++=）则j k （j 表示第j 个本征态）的绝对值为： 2222222()()()j x y z j k n n n n L Lππ=++= 换成第j 个本征态的频率得：222()2j j c n Lν= 当j L λ>>时，j λ和j ν可视为连续变化，不必取分立值，即有： 222()2c n Lν= （2） （2）式表明在整数n 空间一组整数,,x y z n n n 即对应一个本征模的频率。
普朗克黑体公式
普朗克黑体公式普朗克黑体公式一、什么是普朗克黑体公式？普朗克黑体公式是描述物体辐射能谱特性的公式，由德国物理学家马克斯·普朗克在1900年发现并提出。
它描述了黑体辐射发射的热能随着波长的变化而发生的变化，是理论上探讨电磁波辐射的一个基本理论。
二、普朗克黑体公式的推导普朗克在探讨黑体辐射问题时，通过对辐射器内发射的电磁波的频率与能量的关系进行研究，得出了他 berprzipslichen answer ，即离散的能量量子概念，这就是著名的基本性原理。
在此基础之上，普朗克成功地推导出了描述黑体辐射特性的公式，即普朗克黑体辐射公式。
根据公式，黑体辐射发射的能量谱与温度有关，其随波长λ变化的形状可以用以下公式表示：B(λ, T) = (2hc²/λ⁵) × 1/(ehc/λkT - 1)其中，B(λ, T)表示黑体在特定波长λ和温度T下辐射发射出的能量，h为普朗克常量，c为光速，k为玻尔兹曼常量，e为自然对数。
三、普朗克黑体公式的应用普朗克黑体公式在物理学、工程学、天文学等领域都有广泛的应用。
其中，最为关注的是黑体辐射的特性，因为这关系到很多光学设备的运用。
例如，在卫星辐射成像技术中，黑体的作用是模拟外部环境中的物理状态，通过测量其辐射能够精确计算卫星传感器输出的信号值。
同时，在光电探测、激光测距、夜视设备、光通讯和纳米技术领域等，都有普朗克黑体公式的应用。
四、结语普朗克黑体公式对于描述物体辐射能谱特性提供了重要的理论基础，其成功地解释了许多实验现象，同时也推动了原子物理学、固体物理学和光学等领域的发展。
在现代科技中，普朗克黑体公式的应用将会更加广泛，为科学技术的发展做出更加积极的贡献。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量。
它是由德国物理学家Max Planck在1900年提出的，他认为，物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。
普朗克黑体辐射公式的表达式为：
E=σT^4
其中，E表示物体发射的辐射量，σ表示普朗克常数，T表示物体的温度。
普朗克黑体辐射公式的推导过程如下：
首先，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。
其次，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度的四次方成正比，即E=kT^4，其中k为
一个常数。
最后，Max Planck根据实验结果，求出了k的值，即普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑
体辐射公式：E=σT^4。
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量，是Max Planck在1900年提出的，它的推导过程是Max Planck假设物体发射的辐射量与
温度的四次方成正比，根据实验结果，求出了普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑体辐射
公式：E=σT^4。
它为物理学的发展做出了重要贡献，并且在现代物理学中仍然具有重要
的意义。
普朗克辐射公式
普朗克辐射公式
普朗克辐射公式是由德国物理学家马克斯·普朗克在1900年提出的一种描述黑体辐射的理论公式。
该公式是描述黑体辐射频谱能量密度的函数关系。
普朗克辐射公式可以表达为：
B(λ, T) = (2hc²/λ⁵) / (exp(hc/λkT) - 1)
其中，B(λ, T)为波长为λ，温度为T的黑体辐射的单位面积和单位波长的能量密度；h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。
根据普朗克辐射公式，黑体辐射的频谱能量密度与波长和温度有关。
根据公式可以计算不同波长下、不同温度下的黑体辐射的能量分布情况。
该公式的应用范围广泛，可以用于研究光源的颜色、亮度、辐射功率等物理性质。
黑体辐射普朗克公式推导
黑体普朗克公式推导1． 空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。
这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。
设空腔为立方体，如下图x图1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)式中m 、n 、q 为正整数。
将xx k λπ2=代入(1)式中，有xm k x ∆=π则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： xx m x m k x ∆=∆--∆=∆πππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k zy x πππ (2)因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 Vzy x k k k z y x 33ππ=∆∆∆=∆∆∆ (3)xk y图2 波矢空间在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为()k k k k k d 4d 3434233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。
根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以2d 8d 422kk k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为V kk V V M k 223d /2ππ== (6) 式中乘以2是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。
由于λπ2=k ，λλπd 2d 2=k ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波长λλd +间隔的光波模式数为：λλπd 84VM = (7)2． 黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长λ的函数。
黑体辐射公式
黑体辐射公式普朗克辐射定律(Planck)则给出了黑体辐射的具体谱分布，在一定温度下，单位面积的黑体在单位时间、单位立体角内和单位波长间隔内辐射出的能量为B(λ，T)=2hc2 /λ5 ·1/exp(hc/λRT)-1B(λ，T)—黑体的光谱辐射亮度(W，m-2 ，Sr-1 ，μm-1 )λ—辐射波长(μm)T—黑体绝对温度(K、T=t+273k)C—光速(2.998×108 m·s-1 )h—普朗克常数，6.626×10-34 J·SK—波尔兹曼常数(Bolfzmann)，1.380×10-23 J·K-1 基本物理常数由图2.2可以看出：①在一定温度下，黑体的谱辐射亮度存在一个极值，这个极值的位置与温度有关，这就是维恩位移定律(Wien)λm T=2.898×103 (μm·K)λm —最大黑体谱辐射亮度处的波长(μm)T—黑体的绝对温度(K)根据维恩定律，我们可以估算，当T～6000K时，λm ～0.48μm(绿色)。
这就是太阳辐射中大致的最大谱辐射亮度处。
当T～300K，λm～9.6μm，这就是地球物体辐射中大致最大谱辐射亮度处。
②在任一波长处,高温黑体的谱辐射亮度绝对大于低温黑体的谱辐射亮度，不论这个波长是否是光谱最大辐射亮度处。
如果把B(λ，T)对所有的波长积分，同时也对各个辐射方向积分，那么可得到斯特番—波耳兹曼定律(Stefan-Boltzmann)，绝对温度为T的黑体单位面积在单位时间内向空间各方向辐射出的总能量为B(T)B(T)=δT4 (W·m-2 )δ为Stefan-Boltzmann常数, 等于5.67×10-8 W·m-2 ·K-4但现实世界不存在这种理想的黑体，那么用什么来刻画这种差异呢?对任一波长，定义发射率为该波长的一个微小波长间隔内，真实物体的辐射能量与同温下的黑体的辐射能量之比。
黑体辐射公式的推导
黑体辐射公式的推导黑体辐射公式是描述黑体辐射能谱的公式。
在19世纪末，许多科学家通过实验和理论推导，发现了黑体辐射的规律，并试图找到一个能够描述这种规律的公式。
其中最著名的是德国物理学家马克斯·波恩斯坦在1901年提出的黑体辐射公式，也称为普朗克公式。
下面我们将对黑体辐射公式进行详细的推导。
首先，我们假设黑体是一个能够完全吸收所有入射辐射的理想物体。
根据热力学的基本原理，我们知道一个处于热平衡的物体，其辐射能谱必须是连续的，即在一个特定的频率范围内的辐射能量密度是连续变化的。
为了推导黑体辐射公式，我们可以考虑在一个封闭的均匀立方体空腔内的辐射。
这个空腔内充满了电磁波，电磁波的频率和波长范围是非常广泛的。
我们设空腔内辐射能量的密度为u(ν)，其中ν为频率。
由热力学的基本原理可知，黑体辐射能谱与温度有关。
我们设空腔的温度为T。
为了推导辐射能谱，波尔兹曼首先假设在频率范围ν到ν+Δν内，吸收或发射能量的电磁场模式数为g(ν)。
这里g(ν)即为单位频率范围内模式的数目。
根据经典电动力学理论，一个频率为ν的电磁波模式的能量为hν，其中h为普朗克常量。
因此，在一个频率范围ν到ν+Δν内，单位体积内的辐射能量为u(ν)g(ν)hν。
我们知道，电磁波的能量等于单位体积内辐射能量的密度乘以体积，即能量密度等于单位体积内辐射能量密度与单位体积的乘积。
因此，单位体积内的辐射能量可以写为u(ν)g(ν)hνV，其中V为空腔的体积。
下一步，我们考虑对g(ν)在ν到ν+Δν范围内进行积分，即对频率范围内的所有模式进行求和。
这样，我们可以得到单位体积内所有频率的辐射能量之和。
为了推导辐射能谱，我们将这个求和作为对频率的积分。
经过数学变换和近似处理，我们得到：U(ν) = u(ν)hν = \(\fra c{8πh}{c^3}\)\(\frac{ν^3}{e^{\(\frac{hν}{kT}\)} - 1}\)其中c为光速，k为玻尔兹曼常量。
普朗克黑体辐射公式的详细推导
普朗克黑体辐射公式的详细推导辐射是物体由于内部热运动而产生的电磁波。
普朗克假设黑体辐射是由许多振动的谐振子（即电磁振子）组成的，每个谐振子只能具有离散能量值。
普朗克假设这些能量是量子化的，即能量E只能取整数倍的基本能量hν，其中ν为辐射频率。
设一个振子的能量为E，频率为ν，则E=hν。
普朗克认为振子的能量只能取整数倍的基本能量hν，因此振子的能量只能是离散的。
假设在单位时间内，频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为n(E,ν)。
则单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为：n(E,ν)dEdν为了求解n(E,ν)，我们需要引入玻尔兹曼分布和玻尔兹曼常数k。
在热平衡状态下，系统中具有能量E的状况数（即相同的谐振子数）为：W(E)=n(E,ν)*e^(-E/kT)其中，T为系统的温度，n(E,ν)为单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数。
根据统计物理学的理论，系统的熵S与状况数W的关系为：dS = k * ln W(E)将W(E)代入上式并对E求微分，我们可以得到：dS = k * [ d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) ]根据熵的最大化原理，熵是关于能量的单调递增函数，即dS>=0，即有：d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) >= 0 （式1）我们将式1两边对E积分，可得：∫(d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν) （式2）其中，积分区间为0到E。
对式2进行变换，得到：n(E,ν) - (∫0到E (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν)整理后，我们可以得到：n(E,ν)=[∫0到E(1/e^(E/kT))]*n(E,ν)令x=E/(kT)，则式子变为：n(E,ν)=[∫0到x(1/e^x)]*n(E,ν)通过计算可知，上式的积分结果为：∫0到x(1/e^x)=1-(1+x)e^(-x)将该结果代入n(E,ν)的表达式中，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+x)e^(-x))*n(E,ν)（式3）进一步简化，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+E/(kT))e^(-E/(kT)))*n(E,ν)（式4）根据统计物理学的经验公式，单位体积频率为ν到ν+dν范围内，能量为E到E+dE范围内的谐振子数n(E,ν)与能量E的关系为：n(E,ν)=C*E^3*1/(e^(E/(kT))-1)（式5）其中，C为常数。
证明黑体辐射的光谱能量密度
证明黑体辐射的光谱能量密度黑体辐射的光谱能量密度可以通过普朗克辐射定律进行推导和证明。
根据普朗克辐射定律，黑体辐射的光谱能量密度u(ν)与频率ν之间的关系可以表示为：u(ν) = (8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1)其中，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。
为了证明黑体辐射的光谱能量密度，我们可以从基本的物理假设出发，即黑体在热平衡态下，其辐射能量与吸收能量达到平衡。
首先，假设黑体表面积为A，单位时间内吸收的能量为E_abs，单位时间内辐射的能量为E_rad，根据能量守恒可以得到：E_abs = E_rad在单位时间内，单位频率范围内吸收的能量为E_abs(ν)，单位频率范围内辐射的能量为E_rad(ν)，则有：E_abs(ν)dν = E_rad(ν)dν根据维恩位移定律，单位频率范围内辐射的能量E_rad(ν)与频率ν之间的关系可以表示为：E_rad(ν)dν = u(ν)dν * A * c其中，u(ν)为单位频率范围内的光谱能量密度。
将上述等式代入能量守恒的表达式中，可以得到：E_abs(ν)dν = u(ν)dν * A * c然后，根据普朗克辐射定律，可以将u(ν)根据频率ν分解为u(ν)dν，得到：E_abs(ν)dν = (8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1) * dν * A * c对上式两边求积分，可以得到频率范围内吸收的能量和辐射的能量之间的关系：∫(E_abs(ν)dν) = ∫[(8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1) * dν * A * c]根据能量守恒可知，∫(E_abs(ν)dν) = ∫(E_rad(ν)dν) = E_abs =E_rad将上式代入，可以得到：E_abs = E_rad = ∫[(8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1) * dν * A * c]简化上式，得到：E_abs = ∫[(8πhν^3)/(c^3) * 1/(e^(hν/kT) - 1) * dν * A * c]可见，黑体辐射的光谱能量密度u(ν)与频率ν之间的关系可以由普朗克辐射定律进行推导和证明。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。
普朗克黑体辐射公式推导
量子力学结课论文：（一）对普朗克黑体辐射公式的推证及总结：黑体辐射现象是指当黑体（空腔）与内部辐射处于平衡时，腔壁单位面积所发射出的辐射能量与它所吸收的辐射能量相等。
实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状和组成物质无关。
基于能量量子化的假设，普朗克提出了与实验结果相符的黑体辐射能量公式：普朗克的理论很好地解释了黑体辐射现象，并且突破了经典物理学在微观领域内的束缚，打开了人类认识光的微粒性的途径［1］。
本文主要介绍了普朗克公式的推导过程及其能量假设并将普朗克对黑体辐射的解释做了总结。
黑体辐射能量量子化普朗克公式麦克斯韦-玻尔兹曼分布1.普朗克的量子化假设：黑体以hν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的光子的能量.且能量单位hν称为能量子，h为普朗克常量（h=6.62606896）2.普朗克公式的推导过程：2.1任意频率ν下的辐射能量：假设有一处于平衡状态的黑体，其内有数量为N的原子可吸收或发出频率为ν的光子，其中Ng 为这些原子中处在基态的原子数，Ne为处在激发态（此处指可由基态原子受频率为ν的光子激发达到的能态）的原子数，n为频率为ν的光子平均数。
则由统计力学中的麦克斯韦-玻尔兹曼公式[2]知：Ne N Ng N由此可得= =(2.1.1)平衡状态下，体系内原子在两能级间相互转化的速率相等，且其速率正比于转化的概率和该状态下的原子数目。
结合爱因斯坦系数关系［3］可得：Ngn=Ne(n+1)(2.1.2)结合(2.1.1)，可解得：(2.1.3)则该状态下光子总能量为：0= nhv =(2.1.4)2.2v v频率段中可被体系接收的频率数目设所求黑体为规整的立方体，其长，宽，高分别为体积为不妨先讨论一维情况：体系线宽为L，则L必为光子半波长的整数倍，设其波数为K，有kj =（j为整数）(2.2.1)成立。
则两相邻可被体系接收的频率所对应的波数间隔为(2.2.2)由此可得在∆k波数段内，可被体系接收的频率数目（或称波数数目）为：∆N ==∆k (2.2.3)因空腔内光波为驻波（波数为K和-K的两列波合成），考虑K值的正负，(2.2.3)式可修正为：∆N =∆k(2.2.4)由此可得，在三维情况下，有∆Nx =∆kx∆Ny =∆ky (2.2.5)∆Nz =∆kz并由此得到∆kx∆ky∆kz (2.2.6)因为黑体体积，∆kx∆ky∆kz为K体积元，考虑半径为K，厚度为的球壳，则即(2.2.7)由代入(2.2.7)可得(2.2.8)因光为电磁波，对任意波矢K可有两正交的偏振，其频率相互，所以(2.2.8)应修正为：(2.2.9)此即为v v频率段中可被体系接收的频率数目。
黑体辐射模型
黑体辐射模型
黑体辐射模型是指一个理想化的物体，能够完全吸收并重新发射所有入射在它上面的辐射能量。
根据黑体辐射模型，该物体的辐射能量与其温度有关，且能量的分布与波长呈现特定的关系。
根据普朗克辐射定律和维恩位移定律的推导，黑体辐射能量与波长的分布可以由普朗克辐射公式表示：
B(λ, T) = (2hc²/λ⁵) * (1/(e^(hc/λkT) - 1))
其中，B(λ, T)表示波长为λ时温度为T的黑体单位面积的辐射能量密度，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。
黑体辐射模型是研究热力学和量子力学的基础之一，对于解释物体的发光和吸收现象、描述宇宙背景辐射的性质等具有重要意义。
黑体辐射原理
黑体辐射原理
黑体辐射原理是指热能的辐射是与物体的温度有关的现象。
根据普朗克黑体辐射定律，黑体辐射的能量与频率呈正比，即辐射能量 E 与频率 v 成正比，表达式为 E = hv，其中 h 是普朗
克常数。
根据亥姆霍兹公式，频率与波长呈倒数关系，即 v =
c/λ，其中 c 是光速。
综合两个公式，黑体辐射能量 E 与波长
呈反比，即E = hc/λ。
这个关系称为普朗克-捷费-斯特芬定律。
根据黑体辐射原理，物体的温度越高，辐射的能量越大，辐射的波长也越短。
此外，黑体辐射是连续的，即辐射能量在不同频率（或波长）范围内具有连续的分布。
根据维恩位移定律，黑体辐射的最大强度出现在波长与物体温度的乘积为常数的位置，即λmT = b，其中 b 是维恩位移常数。
这个定律说明，随
着温度升高，最大强度波长变短。
黑体辐射原理在热辐射、热力学和量子力学等领域起着重要作用，可以用于解释物体的发光行为、引入量子概念，并为后续量子理论的发展奠定基础。
黑体辐射与普朗克公式
理学院 物理系
§2.1黑体辐射与普朗克公式
dE
dV d
单色：单一波长（频率）
二.普朗克公式推导 1.普朗克光量子假说： 黑体由带电谐振子组成，且这些谐振子能量取值
只能为谐振子最小能量 = h 的整数倍。 2.普朗克公式：
在温度T的热平衡状态下，黑体辐射分配到每个 模式的平均能量为：
2019年11月21日星期四
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§2.1黑体辐射与普朗克公式
E
h
eh / kT
1
K=1.3810ˉ²³—玻尔兹曼常数
由（1—6）式，在ν ～ν +dν 内光波模式数为：
M
8π 2d
c3
V
故，单位体积，单位频率间隔内模式数为：
2019年11月21日星期四
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§2.1黑体辐射与普朗克公式
第2章 激光工作物质及基本原理
§2.1黑体辐射与普朗克公式
一.黑体辐射 1.热辐射：任何物体在任何温度下都在不断向外发射 各种波长电磁波现象。
2.黑体：完全吸收各种波长电磁波而无反射和透射的 物体。
3.单色能量密度：单位体积内，频率在ν 处的单位频 率间隔内的电磁辐射能量。
2019年11月21日星期四
mυ
M
V d
8π 2
c3
—单色Байду номын сангаас式密度
黑体辐射单色能量密度为：
ρυ
mυ
E
8π h
c3
3
1 eh/kT 1
……①
—黑体辐射普朗克公式 ，K =1.38×10-23玻尔兹 曼常数， h=6.63×10-34 普朗克常量 。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式推导步骤1：假设黑体内的辐射能量由一系列处于不同能级上的振子所组成。
考虑到振子的能量是量子化的，那么每个振子只能具有离散的能量，即E = nhv，其中E为能量，n为量子数，v为辐射频率，h为普朗克常数。
步骤2：设想黑体内的振子可以具有不同的能量量子数n，表示各个振子能量的分布情况。
我们假设振子的能量量子数n符合玻尔兹曼分布，即n能级的占有数为exp(-E_n / kT)，其中E_n为n能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。
步骤3：进一步假设振子的能量量子数n的平均值为，每个振子的能量为E = nhv，则黑体的总能量可以表示为U = ∑(nE) = ∑(nhvexp(-E_n / kT))。
在这里，∑代表对所有能级进行求和。
步骤4：将能量量子数n的平均值表示为，并代入总能量公式。
整理得:U = ∑((nvexp(-E_n / kT))hv步骤5：通过积分，将对所有可能的能级n进行求和替换为对能量E的积分。
利用代换关系dn = dE / hv，将求和替换为积分。
同样，将E_n也替换为E。
U = ∫(Eexp(-E / kT)) / (hv) * dE步骤6：对积分进行推导求解，得到：U = (kT)^4 / (h^3c^2) * ∫(E^3 / (exp(E / kT) - 1)) * dE这就是普朗克黑体辐射公式的具体形式，其中c为光速。
该公式描述了黑体辐射频谱与温度之间的依赖关系，表征了能量密度与频率的分布规律。
简单总结一下，普朗克黑体辐射公式的推导基于能量量子化和能级分布的假设。
通过对振子能量的分布以及总能量的计算，得到了描述黑体辐射的具体公式。
这个公式的重要性在于引入了能量的量子化概念，为后来量子力学的发展奠定了基础。
普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式
普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式
普朗克公式是描述黑体辐射能谱的一个基本公式，它可以推导出维恩公式和瑞利金斯公式。
普朗克公式为：
$$B_\lambda(\lambda,
T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/\lambda
k_BT}-1}$$
其中，$B_\lambda(\lambda, T)$表示单位面积、单位波长的辐射能量密度，$\lambda$为波长，$T$为温度。
$h$为普朗克常数，
$c$为光速，$k_B$为玻尔兹曼常数。
当求导$B_\lambda(\lambda, T)$关于$\lambda$，并令导数为零时，可以得到$\lambda_{\rm{max}}T= 2.898\times 10^{-3}\
\rm{m\cdot K}$，即维恩位移定律，它告诉我们，对于不同温度的黑体，辐射能量密度的峰值波长$\lambda_{\rm{max}}$和温度成反比。
当波长$\lambda$趋近于零时，可以将普朗克公式化简为瑞利金斯公式：
$$B_\lambda(\lambda,
T)\rightarrow\frac{2hc^2}{\lambda^4}$$
这表明在紫外光区，辐射能量密度与波长的四次方成反比。
这就是瑞利金斯定律。
黑体的辐射光谱
黑体的辐射光谱
黑体的辐射光谱可以用普朗克辐射定律来描述。
普朗克辐射定律是描述黑体辐射的经验定律，表达为：
B(λ, T) = (2hc²/λ⁵) * (1/(e^(hc/λkT) - 1))
其中，B(λ,T)表示单位波长范围内的辐射能量密度，λ为波长，T为绝对温度，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。
普朗克辐射定律说明，随着温度的升高，辐射能量在更短波长的区域内增加。
黑体的辐射光谱是连续的，覆盖了从长波到短波的所有可见和非可见的电磁波。
辐射光谱的形状随着温度变化而变化，低温下主要集中在长波段，随着温度升高，峰值逐渐向短波段移动。
当温度非常高时，辐射光谱趋于平坦，包含所有波长的辐射能量。
总结起来，黑体的辐射光谱是由普朗克辐射定律描述的，随温度变化而变化，从长波到短波覆盖了所有电磁波的范围。
热辐射四定律公式普朗克定律、维恩位移定律,stefan-boltzmann定律和基尔霍夫定律
热辐射四定律公式普朗克定律、维恩位移定律,stefan-
boltzmann定律和基尔霍夫定律
热辐射四定律公式是描述热辐射现象的基本规律。
它们分别是普朗克定律、维恩位移定律、斯特凡-玻尔兹曼定律和基尔霍夫定律。
1. 普朗克定律：普朗克定律描述了黑体辐射的功率谱密度与辐射频率的关系。
它可以表达为：
B(ν, T) = (2hν^3 / c^2) / (e^(hν / kT) - 1)
其中，B(ν, T)表示在给定频率ν和温度T下每单位频率范围内的辐射功率密度，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。
2. 维恩位移定律：维恩位移定律描述了黑体辐射峰值波长与温度的关系。
它可以表达为：
λ_max = b / T
其中，λ_max表示黑体辐射的峰值波长，T为温度，b为维恩位移常数。
3. 斯特凡-玻尔兹曼定律：斯特凡-玻尔兹曼定律描述了黑体辐射的总功率与温度之间的关系。
它可以表达为：
P = σT^4
其中，P为黑体辐射的总功率，T为温度，σ为斯特凡-玻尔兹曼常数。
4. 基尔霍夫定律：基尔霍夫定律描述了任何物体对于任何波长的辐射在吸收和辐射之间的平衡关系。
它可以表达为：
εA = εA' = ε
其中，εA表示物体A的吸收率，εA'表示物体A的辐射率，ε表示物体A与B之间的辐射率。
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普朗克黑体辐射公式推
导
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普朗克黑体辐射公式的推导
所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到：
1. Wien 公式
从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：
ννννρνd T C C d )/ex p(231-=
Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式
ννπνρνd kT C
d Jeans Rayleigh 2
38=
-公式 Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且
∞→=⎰∞
v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是
4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律
1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：
（1）原子的性能和谐振子一样，以
给定的频率 v 振荡；
（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：
νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833该式称为 Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10
626.634
-⨯
4，普朗克的推导过程：
把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为
).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏α
αk C 2,1=
每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在(
)νννd +,内的自由度数为()ννd g ，
则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()νννν
d g G ⎰=0。
借助几何方法求出()3338νπνc V G =
，取微分得()ννπννd c V d g 2
3
8= 令E 代表体积为V 的空窖内热平衡辐射的总内能，()ννd T u ,代表单位体积,频率间隔在
()
νννd +,内的能量，于
是
()ννεννd g d T u V E
⎰⎰∞
∞==0
~0)(,，
的振子的平均能量代表频率为νε，()()ννπ
νννd c
g V d g 23~
81=≡
代表单位体积内频率间隔在(
)νννd +,内的振动自由度数。
应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为KT =ε与振子的频率无关，代入
()()ννενd g d T v u ~
,=可以得到()ννπ
νd kT c
d T v u 238,=
，这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。
普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，()()ννπ
νννd c
g V d g 23~
81=≡
依旧认为他正确，但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦——波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量
取连续值上。
Planck 假定：黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为v 的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即()ννεεnh n =→，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦——玻尔兹曼分布，即()
νβεανn e
a n --=)(代表频率为v 对的振子处于能级
()v n ε的平均数，于是振子的平均能量为()()∑∑∑∑------=
=
n
n
n n
n
n n
n
n
n
e e e
e βεβε
βεαβεανενεε，
即()()νβ
νεZ ln ∂∂
-
= 其中()()
∑∞
=-
=
n n
e Z νβεν代表频率为v 的振子的配分函数，可以得到
()ν
βνβνh n h n e
e Z -∞
=--=
=∑11。
()()1
1
ln -=-=∂∂-
=kT
h h e
h e h Z ν
νβνννβνε由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能
量均分定理不成立。
把上式代入()()ννενd g d T v u ~
,=得到：
()1
8,/33-=kT h d e h c d T v u νννπν这就是普朗克辐射公式。
此
时
辐射场的
内能为
()()⎰⎰⎰∞
=∞
=∞
===-==-==0
33454
334
3
0/33
158,18/,18,n x n kT h n c h k a aT dx e x h kT c E kT hv x e
d h c d T u E ππννπ
ννν其中得令,5，对 Planck 辐射定律的讨论：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833 （1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ exp(hv /kT)，
于是
Planck 定律
化为 Wien 公式。
νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1
833变为νννπνρνd kT h C h d )/ex p(833-= ννννρνd T C C d Wien )/ex p(231-=公式
2）当 v 很小（长波）时，因为 exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。