第五章--GM系列模型

x (k ) ax (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n)) k (1) x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
齐次指数序列模拟分析
分别以
X ，X
( 0) 1
( 0) 2
,, X
( 0) 25
作为基础数据序列建立均值GM(1,1)模型(EGM)、
原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)
模型(EDGM)和离散GM(1,1)模型(DGM)，对模拟误
差进行对比分析。
20
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
非指数增长序列模拟分析
表5.2.2 4种GM(1,1)模型非指数增长序列模拟误差
序列序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
BACK
-a 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
EGM 0.030994 0.658978 0.495833 1.010474 1.550886 1.626294 1.343565 5.155856 4.353253 4.736323 5.236438
型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和离散
GM(1,1)模型(DGM)的适用范围，为人们在实际建模
过程中正确地选择模型提供参考和依据。 方法手段
分别对齐次指数序列、非指数增长序列和振
荡序列三类不同的序列进行模拟分析。
17
第五章 GM系统模型
分别取 a
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
Z (1) ( z (1) (2), z (1) (3),, z (1) (n))
1 (1) , n z (k ) ( x (k ) x (1) (k 1)) k 2,3， 2
(1)
BACK
9
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
差分方程的解
（1）原始形式差分方程的解
第五章
GM系列模型
南京航空航天大学灰色ห้องสมุดไป่ตู้统研究所
引 言
基于概率统计的预测模型
1.针对“随机不确定”现象； 2.要求大样本； 3.对象服从某典型分布。
GM系列模型
1.针对“小样本”、“贫信息”问 题，特点是少数据建模； 2.依据信息覆盖，通过序列算子的 作 用挖掘事物运动的规律。
2
第五章 GM系统模型
i 1
Grey Model 1阶方程 1个变量
GM(1,1)
BACK
7
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的白化方程
d
x
(1)
dt
ax
(1)
b
白化方程的解
x
(1)
(t ) ( x
(1)
b at b (1) ) e a a
8
第五章 GM系统模型
0.000047 0.000035
1.20
1.50 1.80
46.844843
98.188500 —
22
0.000105
0.000129 0.000433
0.000105
0.000129 0.000433
0.000105
0.000129 0.000433
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
0.55
0.60 0.65
5.380507
6.734574 8.301040
0.000003
0.000016 0.000009
0.000003
0.000016 0.000009
0.000003
0.000011 0.000006
17
18 19 20 21 22 23 24 25
0.70
0.80
10.099355
ˆ x x
(1)
b 1 k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 a a
(0)
（2）均值形式差分方程的解
(1)
b 1 0.5a k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 0.5a a
(0)
10
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
BACK
18
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
齐次指数序列模拟分析
如-a=0.01,有
X 1(0) ( x1(0) (1), x1(0) (2), x1(0) (3), x1(0) (4), x1(0) (5))
=(1.010050,1.020201,1.030455,1.040811,1.051271) 如-a=0.02,有
3种基本模型 原始模型 均值模型 离散模型
3种求解思路
直接移项 差分方程 微 分 方 程 求解 求解 求解
原始模型移项、均值模型移项、离散模型移项 原始差分模型、均值差分模型、离散差分模型 原始微分模型、均值微分模型、离散微分模型
6
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的原始形式
( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) X2 ( x2 (1), x2 (2), x2 (3), x2 (4), x2 (5))
=(1.020201,1.040811,1.061837,1.083287,1.105171)
…… ……
BACK
19
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
14.478513
0.000021
0.000015
0.000021
0.000015
0.000021
0.000015
0.90
1.00 1.10
20.068449
27.110835 35.908115
0.000016
0.000047 0.000040
0.000016
0.000047 0.000040
0.000022
ODGM的时间响应式直接借助原始差分方程的解：
原始差分GM（1,1）模型的时间响应式
ˆ x
BACK
(1)
b 1 k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 a a
(0)
12
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
均值GM(1,1)模型(EGM) 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，借助白 化微分方程式的解构造GM(1,1)时间响应式的差分、 微分混合模型称为GM(1,1)模型的均值混合形式，简 称均值GM(1,1)模型（Even Grey Model, EGM）
2 k 2 ˆ (k ) [x (1) x ]1 1 - 1 1 1
(1) (0)
15
BACK
第五章 GM系统模型
第二节
GM(1,1)模型的适用范围
BACK
16
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
目的 明确均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模
21
0.000013 0.000018 0.000004 0.000016 0.000008 0.000009 0.000003 0.000005 0.000004 0.000006 0.000004 0.000007 0.000011
0.000013 0.000018 0.000004 0.000016 0.000008 0.000009 0.000003 0.000005 0.000004 0.000006 0.000004 0.000007 0.000011
齐次指数序列模拟分析
基础序列
( 0) i
x
-a取值
(k ) e
ak
,k=1,2,3,4,5
分别取-a=0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3, 0.35,0.4,0.45,0.5,0.55,0.6,0.65,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.5, 1.8等25个实数
i 1
BACK
11
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
原始差分GM(1,1) 模型 基于GM(1,1)模型的原始形式估计模型参数，直接以 原始差分方程的解作为时间响应式所得模型称为 GM(1,1)模型的原始差分形式，简称原始差分GM(1,1)
模型（Original Difference Grey Model, ODGM）
x
BACK
(1)
b 1 0.5a k b (k ) （x (1) ） ( ) a 1 0.5a a
(0)
14
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
离散GM(1,1)模型
x(1) (k 1) 1x(1) (k ) 2
称为GM(1,1)模型的离散形式 离散 GM(1,1) 模型的递推公式（时间响应式）为 定理 4 离散 GM(1,1) 模型的时间响应式为
非指数增长序列模拟分析
基础序列 限定随机数的取值范围，围绕齐次指数序列
( 0) ( 0) X 1(0)，X 2 ,, X 25
生成相应的非指数增长序列
Y ，Y
( 0) 1
( 0) 2
,, Y
( 0) 25
BACK
23
第五章 GM系统模型
( 0 ( (0 0 ) )) a， ， Y X Y 10 8 5 9 6 7 1 11 23 4
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 GM(1,1)模型4种基本形式：
（1）均值GM(1,1)模型(EGM)
（2）原始差分GM(1,1)模型(ODGM) （3）均值差分GM(1,1)模型(EDGM) （4）离散GM(1,1)模型(DGM)
5
为什么只讨 论这四种 基本形式？
第五章 GM系统模型
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
0.000013 0.000018 0.000003 0.000016 0.000008 0.000009 0.000007 0.000006 0.000010 0.000010 0.000010 0.000008 0.000008
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
续表5.2.1 15 16
序列序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 表5.2.1 4种GM(1,1)模型齐次指数序列模拟误差（%） EGM DGM ODGM EDGM -a 0.01 0.000849 0.000027 0.000027 0.000027 0.02 0.03 0.04 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.003468 0.007951 0.014403 0.022922 0.100058 0.244034 0.467588 0.783590 1.205144 1.745610 2.418758 3.238864 4.220851
本章结构
5.1
–GM(1,1)模型的基本形式 –GM(1,1)模型的适用范围 –残差GM(1,1)模型 –GM(1,1)模型群
5.2
5.3 5.4
5.5
5.6
–GM(0,N )模型
–灰色 Verhulst模型（拓展内容）
3
第五章 GM系统模型
第一节
GM(1,1)模型的基本形式
BACK
4
第五章 GM系统模型
定理3
均值GM(1，1)模型的时间响应式为：
ˆ x
BACK
(1)
(k ) ( x
(0)
b a ( k 1) b (1) ) e a a
第五章 GM系统模型
13
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
均值差分GM(1,1)模型 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，直接以 均值差分方程的解作为时间响应式所得模型称为 GM(1,1)模型的均值差分形式，简称均值差分GM(1,1) 模型（Even Difference Grey Model, EDGM）. EDGM的时间响应式直接借助均值差分方程的解：
GM(1,1) 模型的离散形式
x(1) (k 1) 1x(1) (k ) 2
其中
(1) k
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))
x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
5.1 GM(1,1) 模型的基本形式
GM(1,1) 模型的均值形式
x (k ) az (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n))