2014-2015年宁夏大学附中高二(上)期中数学试卷和答案(理科)

2014-2015学年宁夏大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）A．12 B．16 C．20 D．243．（5分）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．555．（5分）下列命题中正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，B．当C．当的最小值为D．当0＜x≤2时，无最大值6．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=7．（5分）已知集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N+|x≤5}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}8．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件9．（5分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．10．（5分）已知{a n}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A．64 B．100 C．110 D．12011．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知实数x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．不能确定二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）命题：∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0的否定是．14．（5分）设x，y为正实数，且x+2y=1，则+的最小值为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．16．（5分）若数列{a n}的前n项和S n=﹣n（n=1，2，3，…），求S n最小值．三．解答题17．（10分）x＞0，求y=4+2x+的最小值，并求x的值．18．（12分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．20．（12分）已知{a n}公比大于1的为等比数列，a3=2，a2+a4=．（1）求{a n}的通项公式；．（2）求a1+a4+a7+…+a3n﹣221．（12分）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．2014-2015学年宁夏大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|【解答】解：A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；B、取a=﹣2，b=1，可得＞，故B错误；C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误；D、取a=﹣，b=1，可得|a|＜|b|，故D错误；故选：A．2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）A．12 B．16 C．20 D．24【解答】解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，故选：B．3．（5分）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选：D．4．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选：D．5．（5分）下列命题中正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，B．当C．当的最小值为D．当0＜x≤2时，无最大值【解答】解：A中，当x=＞0时，lg+=﹣2，命题不成立，A是错误的；B中，根据基本不等式知，+≥2，当且仅当x=1时取“=”，∴B正确；C中，当0＜θ＜时，0＜sinθ＜1，∴sinθ+取不到最小值2，∴C错误；D中，当0＜x≤2时，是增函数，有最大值2﹣，∴D错误；故选：B．6．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选：C．7．（5分）已知集合A={x|（2x+1）（x﹣3）＜0}，B={x∈N+|x≤5}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：由A中的不等式（2x+1）（x﹣3）＜0，得到﹣＜x＜3，即A=（﹣，3）；集合B中的不等式x≤5，x为正整数，得到x=1，2，3，4，5，即B={1，2，3，4，5}，则A∩B={1，2}．故选：B．8．（5分）下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选：D．9．（5分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：由于q=2，∴∴；故选：C．10．（5分）已知{a n}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A．64 B．100 C．110 D．120【解答】解：设公差为d，则由已知得，故选：B．11．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．12．（5分）已知实数x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是（）A．[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．不能确定【解答】解：∵实数x，a1，a2，y成等差数列，实数x，b1，b2，y成等比数列，∴x+y=a1+a2，xy=b1b2，则===+2．当xy＞0时，===+2≥2+2=4，当且仅当x=y时取等号当xy＜0时，===+2≤﹣2+2=0，当且仅当x=﹣y时取等号综上所述，的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）命题：∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0的否定是∀x∈R，使得x2+2x+5≠0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：∀x∈R，使得x2+2x+5≠0．故答案为：∀x∈R，使得x2+2x+5≠0．14．（5分）设x，y为正实数，且x+2y=1，则+的最小值为．【解答】解：∵x，y为正实数，且x+2y=1，∴+=（x+2y）=3+=3+2．当且仅当时取等号．∴+的最小值为3+2．故答案为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+=1．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c，将a=c，代入可得，c=2，则b2=a2﹣c2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．16．（5分）若数列{a n}的前n项和S n=﹣n（n=1，2，3，…），求S n最小值﹣35．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=﹣n（n=1，2，3，…），∴根据函数性的单调性：n==4，∵n∈N*，∴n=5，S n==﹣35，故答案为：﹣35．三．解答题17．（10分）x＞0，求y=4+2x+的最小值，并求x的值．【解答】解：∵x＞0，∴y=4+2x+=4+2，当且仅当x=时取等号．∴y=4+2x+的最小值为，此时x=．18．（12分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；（2分）关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；…（4分）p∨q为真命题，p∧q为假命题，即p真q假，或p假q真，…（5分）如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞∴＜a＜4；…（6分）如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0…（7分）所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．…（8分）19．（12分）已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6，f（1）＞0∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0∴a2﹣6a﹣3＜0∴∴不等式的解集为（6分）（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根∴∴（12分）20．（12分）已知{a n}公比大于1的为等比数列，a3=2，a2+a4=．（1）求{a n}的通项公式；．（2）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2【解答】解：（1）由题意可得a2a4=a32=4，a2+a4=，∴a2和a4为方程x2﹣x+4=0的两根，结合公比大于1可解得a2=，a4=6，∴公比q==3，∴a1=，∴{a n}的通项公式为a n=×3n﹣1=2×3n﹣3；表示（2）由（1）知，a1+a4+a7+…+a3n﹣2为首项33为公比的等比数列的前n项和，∴a1+a4+a7+…+a3n==（33n﹣1）﹣221．（12分）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n•3n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，∴2+2+d+2+2d=12，解得d=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n．（2）∵a n=2n，∴b n=a n•3n=2n•3n，∴S n=2×3+4×32+6×33+…+2（n﹣1）×3n﹣1+2n×3n，①3S n=2×32+4×33+6×34+…+2（n﹣1）×3n+2n×3n+1，②①﹣②得﹣2S n=6+2×32+2×33+2×34+…+2×3n﹣2n×3n+1=2×﹣2n×3n+1=3n+1﹣2n×3n+1﹣3=（1﹣2n）×3n+1﹣3∴S n=+．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，∴∴b=∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为，∴∴k=±1．。