高中数学模块质量评估一新人教版必修4

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高中数学模块综合测评新人教A版必修4(2021年整理)

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模块综合测评(时间：120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

已知角α的终边经过点P（4,—3）,则2sin α+cos α的值等于()A.—B。

C.D。

—解析：根据三角函数的定义可知sin α=-，cos α=,∴2sin α+cos α=-=-.答案：D2.sin cos的值是()A.0 B。

-C。

D。

2解析:原式=2=2sin=—2sin=-,故选B。

答案：B3.(2016•新疆阿克苏高一期末）函数y=cos 2x+sin2x,x∈R的值域是（)A.[0，1] B。

C。

[—1，2］D.[0,2］解析：因为函数y=cos 2x+sin2x=cos 2x+cos 2x=cos 2x,且x∈R，所以cos 2x∈[-1,1］,所以cos 2x∈［0,1].故选A.答案:A4。

已知两向量a=(2,sin θ）,b=(1,cos θ)，若a∥b，则的值为（)A.2 B。

3 C.4 D。

5解析：∵a∥b，∴2cos θ=sin θ,∴tan θ=2,∴=2+tan θ=4.答案：C5.已知函数f （x ）=sin ωx+cos ωx （ω〉0)，x ∈R .在曲线y=f （x ）与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为，则f (x ）的最小正周期为( ） A.B 。

(新人教版)2019年高中数学模块综合评价新人教A版必修4【重点推荐】

模块综合评价(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )A.57B.61 C ．57D ．61解析：由题意可得a·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a·b ＝16＋81－36＝61. 答案：B2．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( ) A ．－35B ．45C ．25D ．－25解析：因为α的终边过点P (4，－3)，所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45，所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：因为(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位后，得到f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称解析：f (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，f (x )的图象关于x ＝－π3对称；f ⎝⎛⎭⎪⎫7π3＝cos 16π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝cos 5π6≠0，因此选B.答案：B5．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．90°解析：设a ，b 的夹角为θ，由c ⊥a ，c ＝a ＋b ⇒(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0⇒a ·b ＝－1⇒cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12且0°≤θ≤180°⇒θ⇒120°.故选C.答案：C6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移7π24个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＞－π3上的值域为[－1，2]，则θ等于( )A.π6B.π4C.2π3D.7π12解析：由图象可知，A ＝－2，T ＝π，ω＝2，φ＝π4，所以f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.g (x )＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －7π24＋π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由题意及g (x )的单调性知，g (θ)＝－1，解得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，结合题意知θ＝π4.答案：B7．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为点P 位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ >0，所以θ在第二象限．答案：B8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值分别是( )A ．1，1 B.3，1 C ．－3，－1D ．－3，1解析：因为∠AOC ＝5π6，所以〈OA →，OC →〉＝5π6.〈OC →，OB →〉＝5π6－π2＝π3.则OC →＝λOA →＋μOB →＝(λ，μ)，OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×(－32)＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|·cos π3，即μ＝2×12＝1，所以λ＝－3，μ＝1，选D.答案：D9．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．在△ABC 中，P 是边BC 的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形但不是等边三角形解析：如图，由P 是BC 的中点，cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，知c (PC →－PA →)＋aPA →－bPC →＝(a －c )·PA →＋(c －b )PC →＝0，而PA →与PC →不共线，所以a －c ＝c －b ＝0，所以a ＝b ＝c ，故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，将函数f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.2π3解析：f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos φ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －12＝12sin 2x sin φ＋12cos φcos 2x ＝12cos(2x －φ)，所以g (x )＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－φ. 因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，所以2×π4＋π6－φ＝2k π(k ∈Z)，即φ＝2π3－2k π(k ∈Z)．因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3. 答案：D12．已知向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1，2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.13B.27C.17D.23解析：由题意，得cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝25，解得sin α＝35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34.则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，所以cos α＝－12.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＝23π，所以tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：314．若函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．解析：令y ＝12，可得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，x 的值为…，－7π6，π6，5π6，13π6，…，两个相邻的x 值相差的最大值为4π3，因为函数y ＝sin x (a ≤x ≤b )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以b －a 的最大值是4π3. 答案：4π315．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．解析：如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.答案：1816．如图，在同一平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________．解析：由tan α＝7，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－43. 以O 为原点，OA 方向为x 轴正半轴建立坐标系(图略)，则A 点坐标为(1，0)．由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α ＋π4＝－43，OB →的模为1，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45.由tan α＝7，OC →的模为2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.由OC →＝mOA →＋nOB →，代入A ，B ，C 点坐标可得， ⎩⎪⎨⎪⎧m －35n ＝15，45n ＝75，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74. 所以m ＋n ＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°，所以a·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a·b ＝1－2cos θ＝0，所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，1)， (1)求a －2b ；(2)设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； (3)若向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，求k 的值．解：(1)a －2b ＝(1，2)－2(－3，1)＝(1＋6，2－2)＝(7，0)．(2)cos θ＝a ·b |a ||b |＝1×（－3）＋2×112＋22·12＋（－3）2＝－210. (3)因为向量a ＋kb 与a －kb 互相垂直，所以(a ＋kb )·(a －kb )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.因为a 2＝5，b 2＝10，所以5－10k 2＝0，所以k ＝±22. 19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0，所以6tan 2α＋5tan α－4＝0. 解得tan α＝－43或tan α＝12.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以tan α＜0，所以tan α＝－43.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.由tan α＝－43，得tan α2＝－12或tan α2＝2(舍去)．所以sin α2＝55，cos α2＝－255，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝cos α2cos π3－sin α2·sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z)，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z)，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z)．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2. 21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰好有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，又k ＞0，所以k ＝3，令t ＝3x －π3，精品学习资料最新精品资料，为您推荐下载！ 11 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，若sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1，3)，即实数m 的取值范围是[3＋1，3)．。

人教版高中数学必修四(全一本)模块检测题试题+答案(精较版)

人教版高中数学必修四（全）模块检测试题（满分150分，时间120分钟）一、单选题（共12题，每题5分）。

1. 0sin 45cos15cos 45sin15o o o -等于.A - 1.2B - 1.2C.D 2. 已知角A 同时满足sin 0A >且tan 0A <，则角A 的终边一定落在 .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 3. 函数cos tan y x x =的大致图象是4. 若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=.A.B - 5.3C 5.3D - 5. 下列函数中最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的是().s i n A y x π=- ().sin B y x π=+ ().s i n 2C y x π=- ().s i n 2D y x π=-6. 已知点O 为ABC ∆所在平面内一点，若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC ∆的 .A 重心 .B 垂心 .C 内心 .D 外心7. 设a 与b 是两个不共线的向量，且a b λ+与()2b a --共线，则实数λ的值为 1.A - 1.B .2C - .2D8. 已知6a =，3b =，12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 方向上的投影是 .4A - .4B .2C - .2D9. 已知a 与b 不共线，5AB a b =+，28BC a b =-+，33CD a b =-，下列说法错误的是 .A AB 、BD 可以作为一组基底 .B BC 、BD 可以作为一组基底 .C AB 、CD 可以作为一组基底 .D BD 、CD 可以作为一组基底 10. 已知1,2a b ==，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角θ等于.60oA .30o B .45o C .135o Dyππ2B11. 设1cos 662o o a =，202tan131tan 13ob =+，c =，则有 .A a b c >> .B a b c << .C a c b << .D b c a <<12. 若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()()20OB OCOB OC OA -+-=，则ABC ∆的形状为.A 正三角形 .B 直角三角形 .C 等腰三角形 .D 以上答案均错误二、填空题（共4小题，每小题5分）13. 在直角坐标系中，终边落在一、三象限的角平分线上的角的集合为 .14. 已知点()P y 为角β终边上的一点，且sin β=，则y = .15. 函数y =+的定义域为 .16. 若函数sin log a y x x =-有5个零点，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题17.（10分）用“五点法”列表并作出函数sin 21y x =+在[]0,x π∈内的简图。

人教A版高一数学必修4 练习--模块质量评估试题--含解析

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213解析： ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.答案： A2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( ) A ．4 cm 2 B ．6 cm 2 C ．8 cm 2D ．16 cm 2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，l ＝2r .解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．答案： A3．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－35B.35C ．±35D.45解析：由已知sin α＝－45，而α为第四象限角，所以cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35，所以cos(α－2π)＝cos α＝35.答案： B4．已知α是锐角，a ＝⎝⎛⎭⎫34，sin α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为( ) A ．15° B ．45° C ．75°D ．15°或75°解析： ∵a ∥b ，∴sin α·cos α＝34×13，即sin 2α＝12.又∵α为锐角，∴0°＜2α＜180°. ∴2α＝30°或2α＝150°. 即α＝15°或α＝75°. 答案： D5．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝e 1＋e 2，b ＝－4e 1＋2e 2, 则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：依据题意a ·b ＝－3，|a |·|b |＝3×23＝6，cos 〈a ，b 〉＝－12，故a 与b 的夹角为120°.答案： C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，且x 是第三象限角，则1＋tan x 1－tan x 的值为( )A ．－34B ．－43C.34D.43解析：因为x 是第三象限角，所以π＋2k π＜x ＜3π2＋2k π，k ∈Z ，所以5π4＋2k π＜x ＋π4＜7π4＋2k π，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＜0，而cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45，故1＋tan x 1－tan x ＝tanπ4＋tan x1－tan π4·tan x＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝43，选D.答案： D7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4解析： y ＝sin(2x ＋φ)――――――→向左平移π8个单位 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数；当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B.答案： B8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解析：当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C.当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B.当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A.故选D.。

高中人教A版数学必修4：模块综合测试卷 pdf版含解析

π
5π
10．已知 ω>0,0<φ<π，直线 x＝4和 x＝ 4 是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ 的值为( )
ππ
A.4 B.3 π 3π
C.2 D. 4 答案：A
π
5π
5π π T
解析：因为直线 x＝4和 x＝ 4 是函数图象中相邻的两条对称轴，所以 4 －4＝2，即
解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，
∴sin2x∈[－1,1]，∴y∈[－2,0]．
( )π
ωx－ 15．已知函数 f(x)＝3sin 6 (ω>0)和 g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的图象的对称轴完全相
T
2π
π
2＝π，T＝2π.又 T＝ ω ＝2π，所以 ω＝1，所以 f(x)＝sin(x＋φ)．因为直线 x＝4是函数图象
ππ
π
π
的对称轴，所以4＋φ＝2＋kπ，k∈Z，所以 φ＝4＋kπ，k∈Z.因为 0<φ<π，所以 φ＝4，检验 5π
知，此时直线 x＝ 4 也为对称轴．故选 A.
11．若向量 a＝(2x－1,3－x)，b＝(1－x,2x－1)，则|a＋b|的最小值为( )
3．下列函数中周期为2的偶函数是( ) A．y＝sin4x B．y＝cos22x－sin22x C．y＝tan2x D．y＝cos2x 答案：B
2π π
解析：A 中函数的周期 T＝ 4 ＝2，是奇函数．B 可化为 y＝cos4x，其周期为
2π π
π
2π
T＝ 4 ＝2，是偶函数．C 中 T＝2，是奇函数，D 中 T＝ 2 ＝π，是偶函数．故选 B. 4．已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)a＋(2x－3y)·b＝6a＋3b，则 x－y 的

高中数学必修四综合质量评估新人教A版必修4

解析： 1－sin 20 °＝ 1－cos 70 °＝ 2sin 235°，
∴ 1－sin 20 °＝ 2sin 35 °．答案： C
6．若 tan α ＞0，则 ( )
A． sin α ＞ 0
B． cos α ＞0
C． sin 2 α ＞ 0
D． cos 2 α＞ 0
解析：由 tan α ＞ 0，可得 α 的终边在第一象限或第三象限，此时
＝ tan
π 3－ 2
，且 α 与 3－π2 的范围均在
π 0， 2 上，
π 所以 α ＝ 3－ 2 .
答案： C 8．已知 a＝ (1 ，sin 2x) ， b＝ (2 ， sin 2 x) ，其中 x∈ (0 ， π) ．若 | a·b| ＝ | a|| b| ，则
tan x 的值等于 ( )
A． 1
3
解析：因为 a2＝ (3 e1－ 2e2) 2＝ 9－2×3×2×cos α ＋4＝ 9，所以 | a| ＝3.
答案： 3
2sin
2
α＋1
15．已知 tan α ＝ 2，则
＝ ______.
sin 2 α
2sin
2
α＋1
3sin
2
4
π D． ω ＝ 2，θ ＝
4
解析： ∵ y＝ 2sin(
ω x＋θ ) 为偶函数，
π 0<θ<π ，∴ θ ＝ 2 .
∵图象与直线 y＝ 2 的两个交点的横坐标为
2π x1， x2， | x2－ x1| ＝ min π ，∴ ω ＝ π， ω ＝
2. 故选 A. 答案： A
12．设函数
f ( x) ＝ cos
π A．向右平移个单位

1467_高中数学试卷：必修一滚动练习四模块质量检测(新人教B版)_0

滚动练习四模块质量检测一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设全集为U＝{x∈N |x <7}，集合A ＝{1，3，6}，集合B ＝{2，3，4，5}，则集合A ∩(∁U B )＝()A．{3}B．{1，3，6}C．{2，4，5}D．{1，6}2．已知函数f (x x ，x ≥0，2，x ＜0，则f (f (－2))的值是()A．4B．－4C．8D．－83．设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设函数f (x x ，x ≤0，2，x >0，若f (a )＝4，则实数a ＝()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或25．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (2)<0且f (3)>0，则f (x )在(2，3)上的零点()A．至多有一个B．有1个或2个C．有且仅有一个D．一个也没有6．函数f (x )＝x －1＋2x 2－4的定义域为()A．[1，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)∪(2，＋∞)D．[1，2)∪(2，＋∞)7．若二次不等式ax 2＋bx ＋c >0|15<x 那么不等式2cx 2－2bx －a <0的解集是()A.{x |x <－10或x >1}|－14<x C．{x |4<x <5}D．{x |－5<x <－4}8．已知函数f (x )＝x (|x |＋1)，则不等式f (x 2)＋f (x －2)＞0的解集为()A．(－2，1)B．(－1，2)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是()A．A ∩B ＝∅B．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C．A ∪(∁R B )＝{x |x ≤－1或x >2}D．A ∩(∁R B )＝{x |2<x ≤3}10．下列图形中是函数的图象的是()11．下列四个命题中是假命题的为()A．存在x ∈Z ，1＜4x ＜3B．存在x ∈Z ，5x ＋1＝0C．任意x ∈R ，x 2－1＝0D．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞012．下列说法正确的是()A．x ＋1x 的最小值为2B．x 2＋1的最小值为1C．3x (2－x )的最大值为2D．x 2＋7x 2＋2的最小值为27－2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为________．14．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间是________．15．能说明“若a >b ，则1a <1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次可以为________．16．已知λ∈R ，函数f (x －4，x ≥λ，2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－6x －16≤0}，B ＝{x |－3≤x ≤5}．(1)若C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，C ⊆(A ∩B )，求实数m 的取值范围；(2)若D ＝{x |x >3m ＋2}，且(A ∪B )∩D ＝∅，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知函数f(x)＝1x－1＋1.(1)证明：函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数；(2)记函数g(x)＝f(x＋1)－1，判断函数g(x)的奇偶性，并加以证明．19．(12分)已知函数f(x)＝ax2－(3＋2a)x＋6(a∈R).(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，6)上的值域；(2)当a>0时，解关于x的不等式：f(x)>0.20．(12分)函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R，求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]，求使f(x)≥a恒成立时a的取值范围．21．(12分)高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m (40＜m ≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求m 的取值范围．22．(12分)已知函数f (x )＝x ＋1x ＋1，g (x )＝ax ＋5－2a (a ＞0).(1)判断函数f (x )在[0，1]上的单调性，并加以证明；(2)若对任意m ∈[0，1]，总存在m 0∈[0，1]，使得g (m 0)＝f (m )成立，求实数a 的取值范围．滚动练习四模块质量检测1．解析：由题意U ＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁U B ＝{0，1，6}，A ∩(∁U B )＝{1，6}．答案：D2．解析：f (－2)＝(－2)2＝4，f (f (－2))＝f (4)＝2×4＝8.答案：C3．解析：x 3>8的解集为M ＝(2，＋∞)，|x |>2的解集为N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，M N .答案：A≤0，a＝4，>0，2＝4，得a＝－4或a＝2.答案：B5．解析：由二次函数的图象得出．答案：C6．解析：令x－1≥0且x2－4≠0得出[1，2)∪(2，＋∞).答案：D＋14＝－ba，×14＝ca，＝－920a，＝120a，代入2cx2－2bx－a<0，得110ax2＋910ax－a<0，∵a<0，即为x2＋9x－10>0，解得x<－10或x>1.答案：A8．解析：因为f(x)＝x(|x|＋1)，所以f(－x)＝－x(|－x|＋1)＝－x(|x|＋1)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋x，可知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0]上也单调递增，即f(x)为R上的增函数，所以f(x2)＋f(x－2)＞0⇒f(x2)＞－f(x－2)⇒f(x2)＞f(2－x)，所以x2＞2－x，解得：x＜－2或x＞1.答案：D9．解析：∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x ≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，故A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确；∵∁RB＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2，或x>－1}，故C不正确；A∩(∁RB)＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2，或x>2}＝{x|2<x≤3}，故D正确．答案：BD10．解析：对于B，因为对任意的自变量x可能有两个不同的y值与其对应，这与函数的定义有唯一确定的元素y与之对应矛盾．答案：ACD11．解析：选项A 中，14＜x ＜34且x ∈Z ，不成立；选项B 中，x ＝－15，与x ∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．答案：ABC12．解析：当x <0时，x ＋1x <0，故选项A 错误；因为x 2＋1≥1，所以选项B 正确；因为3x (2－x )＝－3(x －1)2＋3≤3，当x ＝1时取等号，故3x (2－x )的最大值为3，所以选项C 错误；因为x 2＋7x 2＋2＝(x 2＋2)＋7x 2＋2－2≥2（x 2＋2）·7x 2＋2－2＝27－2，(当且仅当x 2＋2＝7x 2＋2时取“＝”)，所以选项D 正确．答案：BD13．解析：化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0，解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(32，＋∞)14．解析：函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则函数的对称轴为y 轴，所以m －1＝0，即m ＝1，所以函数的解析式为f (x )＝－x 2＋2，所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0].答案：(－∞，0]15．解析：由题意知，当a ＝1，b ＝－1时，满足a >b ，但是1a >1b ，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a >0，b <0即可)答案：1，－1(答案不唯一)16．解析：令x －4＝0，解得x ＝4；令x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4.答案：(1，3]∪(4，＋∞)17．解析：(1)因为A ＝{x |x 2－6x －16≤0}＝{x |－2≤x ≤8}，B ＝{x |－3≤x ≤5}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}，因为C ⊆(A ∩B )，C ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，①若C ＝∅，则m ＋1>2m －1，所以m <2；②若C ≠∅＋1≤2m －1，＋1≥－2，m －1≤5，所以2≤m ≤3，综上，实数m 的取值范围为{m |m ≤3}，(2)由(1)得A ∪B ＝{x |－3≤x ≤8}，因为D ＝{x |x >3m ＋2}，且(A ∪B )∩D ＝∅，所以只需3m ＋2≥8，解得m ≥2，所以实数m 的取值范围为{m |m ≥2}．18．解析：(1)证明：设任意x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1≠x 2，则x 1－1>0，x 2－1>0.则Δf Δx ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝1x 1－1－1x 2－1x 1－x 2＝－1（x 1－1）（x 2－1）<0，∴f (x )在(1，＋∞)上递减．(2)解：g (x )＝f (x ＋1)－1＝1x，g (x )是奇函数，证明如下：∵g (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且g (－x )＝－1x ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．19．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－5x ＋6是开口向上，对称轴为x ＝52的二次函数，又因为x ∈[1，6)，所以当x ∈[1，52)时，函数f (x )单调递减；当x ∈[52，6)时，函数f (x )单调递增；所以f (x )min ＝f (52)＝254－5×52＋6＝－14，又因为f (1)＝2，f (6)＝12，所以f (x )max ＝12，因此f (x )在x ∈[1，6)上的值域为[－14，12).(2)由f (x )>0，得ax 2－(3a ＋2)x ＋6＝(ax －3)(x －2)>0.因为a >0，所以①当a ＝32时，由f (x )>0解得x ≠2；②当0<a <32时，由f (x )>0解得x <3a 或x >2；③当a >32时，由f (x )>0解得x <2或x >3a ，综上，当a ＝32时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当0<a <32时，原不等式的解集为|x <3a 或x当a >32时，原不等式的解集为|x <2或x 20．解析：(1)方法一f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，可知Δ＝a 2－4(3－a )≤0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6，2].方法二x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，只需g (x )＝x 2＋ax ＋3－a 的最小值g (x )min ≥0，又g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ＝(x ＋a 2)2＋3－a －a 24，∴g (x )min ＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，故a 的取值范围为[－6，2].(2)原不等式可化为x 2＋ax ＋3－a ≥0，x ∈[－2，2]，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则只需g (x )在x ∈[－2，2]上的最小值大于等于0.①若－a2≥2，即a ≤－4，则g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7，∴－7≤a ≤－4；②若－2<－a2<2，即－4<a <4，则g (x )min ＝g (－a 2)＝3－a －a 24≥0，∴－6≤a ≤2，∴－4<a ≤2；③若－a2≤－2，即a ≥4，则g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73，∴a ∈∅，综上，得－7≤a ≤2.21．解析：(1)当0＜x ≤40时，y ＝100x ；当40＜x ≤m 时，y ＝[100－(x －40)]x ＝－x 2＋140x ；当x ＞m 时，y ＝(140－m )x,所以y x ，0<x ≤40，x 2＋140x ，40<x ≤m ，m ）x ，x >m .(2)因为当0＜x ≤40时，y ＝100x ，y 随x 的增大而增大，当x ＞m 时，因为40＜m ≤100，所以140－m ＞0.所以y ＝(140－m )x ，y 随x 的增大而增大，当40＜x ≤m 时，y ＝[100－(x －40)]x ＝－x 2＋140x ＝－(x －70)2＋4900，所以当40＜x ≤70时，y 随x 增大而增大，当x ＞70时，y 随x 增大而减小，因为x ≤m ，所以，当40＜m ≤70时，景点收取的总费用随着团队中人数的增加而增加．22．解析：(1)函数f (x )在[0，1]上单调递增．证明如下：设0≤x 1＜x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）＝（x 1－x 2）（x 1x 2＋x 1＋x 2）（x 1＋1）（x 2＋1），因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增．(2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈[1，32].因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增，所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]，依题意，只需[1，32]⊆[5－2a ，5－a ]，a ≤1，a ≥32，解得2≤a ≤72，即实数a 的取值范围为[2，72].。

高中数学模块综合测评新人教A版必修4[1](2021年整理)

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模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设向量a＝(2,4）与向量b＝（x,6）共线，则实数x＝（）A．2 B．3C．4 D．6【解析】∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.【答案】B2．如果一扇形的弧长为2π cm，半径等于2 cm，则扇形所对圆心角为（）A．2π B．πC．错误!D．错误!【解析】θ＝错误!＝错误!＝π。

【答案】B3．设α是第二象限的角，P（x,4)为其终边上的一点，且cos α＝错误!，则tan α＝( ) A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!【解析】∵点P（x,4)在角α终边上，则有cos α＝错误!＝错误!。

又x≠0,∴16＋x2＝5,∴x＝3或－3.又α是第二象限角，∴x＝－3，∴tan α＝错误!＝错误!＝－错误!.【答案】D4．已知错误!＝2＋错误!，则tan错误!等于（)A．2＋错误!B．1C．2－错误!D．错误!【解析】∵错误!＝2＋错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝2－错误!。

【答案】C5．已知平面向量a＝（2,4)，b＝(－1,2),若c＝a－（a·b)b，则｜c|等于( ）A．4错误!B．2错误!C．8 D．8错误!【解析】由题意易得a·b＝2×（－1)＋4×2＝6，∴c＝（2，4）－6(－1,2）＝(8，－8)，∴｜c|＝错误!＝8错误!.【答案】D6．已知cos错误!＝m，则cos x＋cos错误!＝( )A．2m B．±2mC．错误!m D．±错误!m【解析】∵cos错误!＝m，∴cos x＋cos错误!＝cos x＋错误!cos x＋错误!sin x＝错误!sin错误!＝3cos 错误!＝错误!cos错误!＝错误!m。

高中数学模块综合测评(含解析)新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A ．12iB ．－12iC ．12D ．－12C [i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12B ．22C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12.]3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列选项不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥β C ．AB ∥βD ．AC ⊥mB [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ，又AB ∥l ，∴AB ∥m ，则A 一定成立．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ，则D 一定成立．∵AB ∥l ，AB ⊄β，l ⊂β，∴AB ∥β，则C 一定成立．若C ∉α且AC ⊥α，∵l ⊂α，∴AC ⊥l ，∵平面α⊥平面β，∴AC ∥β，则B 不一定成立．故选B ．]4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10πB [因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]5．复数i1－i的共轭复数为( )A ．－12＋12iB ．12＋12iC ．12－12iD ．－12－12iD [因为i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ，所以其共轭复数为－12－12i.故选D ．]6．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形C [∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，∴a c ＝sin B ，sin B ＝22.∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B ＝π4，∴ac ＝sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4－C ＝2⎝⎛⎭⎫22cos C ＋22sin C ， ∴cos C ＝0.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，∴A ＝π－B －C ＝π4，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ．]7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行 D [连接BC 1和DC 1(图略)，因为BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，而PC 1⊂平面C 1BD ，所以PC 1∥平面AB 1D 1.选D ．]8．已知三棱锥P -ABC 的各棱长均相等，O 是△ABC 的中心，D 是PC 的中点，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为( )A ．23 B ．73 C ．12 D ．13A [设底面边长为a ，连接CO 并延长交AB 于F ，过点D 作DE ∥PO 交CF 于点E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，因为PO ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，所以△BDE 是直角三角形，设三棱锥P -ABC 的各棱长均为a ，则， BD ＝CF ＝32a ，CO ＝23BD ＝33a ，所以PO ＝a 2－13a 2＝63a ，因为点D 为侧棱PC 的中点，所以DE ＝12PO ＝66a ，所以cos ∠BDE ＝DE BD ＝66a32a ＝23，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为23. ]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( ) A ．若ab ＞c 2，则C ＜π3B ．若a ＋b ＞2c ，则C ＜π3C ．若(a ＋b )c ＜2ab ，则C ＞π2D ．若(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，则C ＞π2AB [对于A ，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞2ab －ab 2ab ＝12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故A 正确；对于B ，因为a ＋b ＞2c ，所以(a ＋b )2＞4c 2，c 2＜(a ＋b )24，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＞a 2＋b 2－(a ＋b )242ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故B 正确；对于C ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a ＋b )c ＜2ab ，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝78＞0，所以C ＜π2，故C 错误；对于D ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34＞0，所以C ＜π2，故D 错误．故选AB ．] 10．下列各式的运算结果不是纯虚数的是( ) A ．i·(1＋i)2B ．i 2·(1－i) C ．(1＋i)2D ．i·(1＋i)ABD [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．]11．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α B ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βC．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αD．若α⊥β，α∥γ，则β⊥γBD[对于A，由α⊥β，l⊥β，得l⊂α或l∥α，故A错误；对于B，过直线l作第三个平面与平面β相交于直线m，根据线面平行的性质，知m∥l，又l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故B正确；对于C，l还可能与α相交，故C错误；对于D，在平面α内作与α和β的交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质，得m⊥β，再过直线m作平面δ，并与平面γ相交于直线n，根据面面平行的性质，知m∥n，所以n⊥β，又n⊂γ，所以γ⊥β，故D正确．] 12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“≻”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”时，z1≻z2.按上述定义的关系“≻”，下列命题为真命题的是()A．若z1≻z2，则|z1|＞|z2|B．若z1≻z2，z2≻z3，则z1≻z3C．若z1≻z2，则对于任意z∈C，z1＋z≻z2＋zD．对于复数z≻0，若z1≻z2，则zz1≻zz2BC[对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，但|z1|＝5，|z2|＝10，不满足|z1|＞|z2|，故A为假命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)，由z1≻z2，z2≻z3可得“a1＞a3”或“a1＝a3且b1＞b3”，即z1≻z3，故B为真命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋b i(a1，a2，a，b1，b2，b∈R)，由z1≻z2可得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，显然有“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，从而z1＋z≻z2＋z，故C为真命题；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，显然不满足zz1≻zz2，故D为假命题．故选BC．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知实数a，b满足a＋b i＝i2 019(i为虚数单位)，则a＋b的值为_______．－1[由i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以a＋b i＝i2 019＝(i4)504·i3＝－i，得a＝0，b＝－1.∴a＋b＝－1.]14．已知在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．6[在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝AB 2＋42－(27)22AB ·4＝12，解得AB ＝6或－2(舍去)．因为Rt △ADB 与Rt △ADC 有公共边AD ，所以62－BD 2＝42－(27－BD )2，解得BD ＝1277，所以CD ＝277，所以BDCD＝6.]15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．(本题第一空2分，第二空3分)图1 图2262－1[依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.] 16．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)．若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为________．322[由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2.∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝⎛⎭⎫a －322＋92，∴当a ＝32时，z *z －取得最小值，为322.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，某某数a ，b 的值．[解]z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i5＝1－i.因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(2＋a )＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P -ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P -ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．[解](1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由底面ABCD 为长方形，得BC ⊥CD ．而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD ．又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ．而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB ． (2)由已知，PD 是阳马P -ABCD 的高，所以V 1＝13S 长方形ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ．由(1)知，DE 是鳖臑D -BCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ，于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PDCE ·DE＝4.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，∠C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． [解](1)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b ＝2a .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.20．(本题小题满分12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点．(1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：BD ⊥EG ；(3)求多面体ADBEG 的体积．[解](1)证明：∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC ．又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG . (2)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE . 又AE ⊥EB ，EB ∩EF ＝E ，EB ，EF ⊂平面BCFE ， ∴AE ⊥平面BCFE .过D 作DH ∥AE 交EF 于H ，连接BH ，EG ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH ⊥EG .∵AD ∥EH ，DH ∥AE ，∴四边形AEHD 为平行四边形，∴EH ＝AD ＝2， ∴EH ＝BG ＝2，又EH ∥BG ，EH ⊥BE ，BE ＝2，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，又BH∩DH＝H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG.(3)∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，∴AD⊥平面AEB，由(2)知四边形BGHE为正方形，∴BE⊥BC．∴V ADBEG＝V D﹣AEB＋V D﹣BEG＝13S△ABE·AD＋13S△BEG·AE＝43＋43＝83.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2 n mile.问乙船每小时航行多少海里．[解]如图所示，连接A1B2.因为A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，所以A1A2＝A2B2.又因为∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形．所以A1B2＝A1A2＝10 2.又因为A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝10 2.所以乙船的速度为1022060＝302(n mile/h)．即乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，PC ，AC ，BC 两两垂直，BC ＝PC ＝1，AC ＝2，E ，F ，G 分别是AB ，AC ，AP 的中点．(1)证明：平面GFE ∥平面PCB ；(2)求二面角B -AP -C 的正切值；(3)求直线PF 与平面P AB 所成角的正弦值．[解](1)证明：因为E ，F ，G 分别是AB ，AC ，AP 的中点，所以EF ∥BC ，GF ∥CP .因为EF ⊄平面PCB ，GF ⊄平面PCB ，所以EF ∥平面PCB ，GF ∥平面PCB ．又EF ∩GF ＝F ，所以平面GFE ∥平面PCB ．(2)如图，过点C 作CH ⊥P A ，垂足为H ，连接HB ．因为BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥P A ．又P A ⊥CH ，CH ∩BC ＝C ，所以P A ⊥平面BCH ，所以HB ⊥P A ，所以∠BHC 是二面角B -AP -C 的平面角，依条件容易求出CH ＝25，所以tan ∠BHC ＝125＝52，所以二面角B -AP -C 的正切值是52. (3)如图，设PB 的中点为K ，连接KC ，AK .因为△PCB 为等腰直角三角形，所以KC ⊥PB ．又AC ⊥PC ，AC ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面PCB ，所以AC ⊥PB ．又PB ⊥KC ，AC ∩KC ＝C ，所以PB ⊥平面AKC ．又PB ⊂平面P AB ，所以平面AKC ⊥平面P AB ．在平面AKC 内，过点F 作FM ⊥AK ，垂足为M .因为平面AKC ⊥平面P AB ，所以FM ⊥平面P AB ．连接PM ，则∠MPF 是直线PF 与平面P AB 所成的角．易得PF ＝2，FM ＝13，所以sin ∠MPF ＝132＝26，即直线PF 与平面P AB 所成角的正弦值是26.。

高中数学模块综合质量评估(含解析)新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题

模块综合质量评估一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，∠A ＝44°，则此三角形解的情况为( B ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：∵a ＝18，b ＝24，∠A ＝44°，∴b sin A ＜a ＜b ，∴此三角形有两解． 2．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( B )A.15iB.15 C ．－15i D ．－15解析：1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.3．设i 是虚数单位，若复数1－i2－a i为实数，则实数a 为( A ) A ．2 B ．－2C ．－12 D.12解析：1－i2－a i ＝(2＋a )＋(a －2)i 4＋a 2为实数，即a ＝2.4．如图，α∩β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( C )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CDD ．直线BC解析：D ∈l ，l ⊂β，∴D ∈β，又C ∈β，∴CD ⊂β；同理，CD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ∩平面β＝CD .故选C.5．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( A ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，因此z ＝1＋i.6．圆台上，下底面的面积之比为1∶4，则截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比是( D )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．8∶7解析：如图，设大，小圆锥的底面半径分别为R ，r ，高分别为H ，h ，由题意得 r R ＝12，h H ＝12， ∴V 小圆锥V 大圆锥＝13πr 2h 13πR 2H＝⎝⎛⎭⎫r R 2·h H ＝14×12＝18，∴V 大圆锥V 圆台＝87，故选D. 7．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( A ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：∵a sin B ·cos C ＋c ·sin B ·cos A ＝12b ，由正弦定理得sin A ·sin B ·cos C ＋sin C ·sin B ·cos A ＝12sin B . ∵sin B ≠0，∴sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝12.∴sin(A ＋C )＝12.∴sin B ＝12，又∵∠B ∈(0，π)，且a >b ，∴∠B 为锐角，∴∠B ＝π6，选A.8．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C)A．16πB．20πC．24πD．32π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，得正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R＝26，∴R＝6，∴S球＝4πR2＝24π.二、多项选择题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知复数z＝2－i，下面说法正确的是(BD)A．|z|＝5 B．z2＝3－4iC.z＝－2＋i D．z的虚部为－1解析：∵z＝2－i，∴|z|＝22＋(－1)2＝5，z2＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝4－4i－1＝3－4i，z＝2＋i，z的虚部为－1，故选BD.10．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°，则a的值可以为(AB)A. 3 B．2 3C．3 D．4解析：由正弦定理得bsin B＝csin C，即3sin30°＝3sin C，∴sin C＝32.又c＞b，∴∠C＝60°或120°.∴∠A＝90°或30°，当∠A＝90°时，a2＝32＋(3)2，a＝2 3.当∠A＝30°时，a＝b＝3，故选AB.11．设m为直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题不正确的是(ACD) A．若m∥α，α⊥β，则m⊥βB．若m⊂α，α∥β，则m∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析：A 中m 也可能在平面β内或者m ∥β；C 中m 可能在平面β内；D 中β与γ可能相交．12．设i 为虚数单位，则下列命题不成立的是( ABD ) A ．∀a ∈R ，复数a －3－i 是纯虚数 B ．在复平面内i(2－i)对应的点位于第三象限 C ．若复数z ＝－1－2i ，则存在复数z 1，使得z ·z 1∈R D ．x ∈R ，方程x 2＋i x ＝0无解解析：A.只有当a ＝3时，复数a －3－i 是纯虚数；B.i(2－i)＝2i ＋1对应的点(1,2)位于第一象限；C.若复数z ＝－1－2i ，则存在复数z 1＝－1＋2i ，使得z ·z 1＝5∈R ；D.当x ＝0时，方程x 2＋i x ＝0成立．三、填空题(每小题5分，共20分)13．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|B D →|等于13 . 解析：z D ＝z A ＋z C －z B ＝3＋3i ，BD →对应复数为2＋3i ， ∴|BD →|＝13.14．若一个正四面体(各个面都是等边三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为 18 3 cm 2 .解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3(cm 3)，所以212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(b －c ，a －b )，n ＝(sin C ，sin A ＋sin B )，且m ⊥n ，则A ＝ π3 ；若△ABC 的面积为3，则△ABC 的周长的最小值为__6__.(本题第一空2分，第二空3分)解析：∵m ⊥n ，∴(b －c )sin C ＋(a －b )(sin A ＋sin B )＝0， ∴(b －c )c ＋(a －b )(a ＋b )＝0， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝12，又0＜A ＜π， ∴A ＝π3，由S ＝12bc sin A ＝3，得bc ＝4, 又b 2＋c 2－bc ＝a 2， ∴a 2＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ＝4， ∴a ≥2，又b ＋c ≥2bc ＝4， ∴a ＋b ＋c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．16．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足__DM ⊥PC (或BM ⊥PC )__时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件即可)．解析：连接AC ，则BD ⊥AC ，由P A ⊥平面ABCD ，可知BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC .故当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，平面MBD ⊥平面PCD .四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，某某数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i ＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.18．(12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知∠A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a .(1)求证：∠B －∠C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，sin(B －C )＝1，由于0<∠B ＜34π，0＜∠C <34π，从而∠B －∠C ＝π2.(2)∠B ＋∠C ＝π－∠A ＝3π4，因此∠B ＝5π8，∠C ＝π8.由a ＝2，∠A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A＝2sin5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.19．(12分)如图所示，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.证明：(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC.由P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得P A⊥BC.又因为P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，所以BC⊥平面P AC.(2)如图，连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为P A的中点，得QM∥PC.又O为AB的中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.20．(12分)在复平面内，复数z1在连接1＋i和1－i的线段上移动，设复数z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z1＋z2在复平面上移动X围的面积．解：设ω＝z 1＋z 2，z 2＝ω－z 1，|z 2|＝|ω－z 1|， ∵|z 2|＝1， ∴|ω－z 1|＝1.上式说明对于给定的z 1，ω在以z 1 为圆心，1为半径的圆上运动，又z 1在连接1＋i 和1－i 的线段上移动，∴ω的移动X 围的面积为：S ＝2×2＋π×12＝4＋π.21．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．解：(1)在△ADC 中，由余弦定理得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ，则由题设知cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD ，因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－(277)2＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－(－714)2＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD ＝32114×277－(－714)×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin α＝ACsin ∠CBA，故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.22．(12分)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解：(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知，PO ⊥平面ABC .(2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.。

2020-2021学年人教版数学必修4模块素养评价

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模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.与-597°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α=k·360°+237°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+597°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+123°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}【解析】选C.-597°=-360°-237°,而-237°=-360°+123°.所以-597°=-2×360°+123°.故选C.2.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是( )A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]【解析】选 C.由|a+b|≤5平方得a2+2a·b+b2≤25,由题意得8+2(-10+2k)+25+k2≤25,即k2+4k-12≤0,(k+6)(k-2)≤0,求得-6≤k≤2.3.已知sin=,cos 2α=,则tan= ( )A.3B.-3C. ±3D. ±4【解析】选A.由sin=⇒sin α-cos α=①,cos2α=⇒cos2α-sin2α=,所以=②,由①②可得cos α+sin α=-③,由①③得sin α=,cos α=-,所以角α为第二象限角,所以为第一、三象限角,tan===3.4.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【解析】选A.分别画出上述函数的图象可得选项A的周期为,选项B的周期为,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图象的升降情况可得A正确.5.(2020·武汉高一检测) 已知=(1,1),=(4,1),=(4,5),则与夹角的余弦值为( ) A. B. C.0 D.【解析】选B.=(3,0),=(3,4),所以cos θ==.6.设a=(1-cos α,),b=(3,-sin α)且a⊥b,则锐角α为( )A. B. C. D.【解析】选 C.因为a⊥b,所以3(1-cos α)-sin α=0⇒3-2=3-2sin=0,故sin=,所以α+=+2kπ或α+=+2kπ(k∈Z),故锐角α为.7.(2020·海口高一检测)设α∈,β∈,且tan α=,则( ) A.3α-β= B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=【解析】选B.方法一:由tan α=得=,即sin αcos β=cos α+cos αsin β,所以sin (α-β)=cos α=sin.因为α∈,β∈,所以α-β∈,-α∈.所以由sin(α-β)=sin,得α-β=-α.所以2α-β=.方法二:tan α======tan,所以α=kπ+,k∈Z.所以2α-β=2kπ+,k∈Z.又α∈,β∈,所以2α-β∈,所以k=0,2α-β=.8.已知|p|=2,|q|=3,p,q的夹角为,如图,若=5p+2q,=p-3q,D为BC的中点,则||为( )A. B. C.7 D.18【解析】选A.=(+)=(5p+2q+p-3q)=(6p-q),所以||=====.9.(2020·长沙高一检测)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一段如图所示,它的解析式是( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin【解析】选A.由题干图象可知A=,T=2×=π,所以ω===2,所以y=sin(2x+φ),代入点,得sin=1,又因为|φ|<π,所以φ=π.所以y=sin.10.为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象( ) A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位【解析】选A.y=sin 3x+cos 3x=sin=sin.又y=cos 3x=sin=sin.所以应向右平移个单位.11.(2019·天津高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π,且g=,则f= ( ) A.-2 B.- C. D.2【解题指南】只需根据函数性质逐步得出A,ω,φ的值即可.【解析】选C.f(x)为奇函数,可知f(0)=Asin φ=0,由|φ|<π可得φ=0;把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g(x)=Asinωx,g(x)的最小正周期为2π,可得ω=2,由g=,可得A=2,所以f(x)=2sin 2x,f=2sin=.12.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=()A.B.C.D.【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以·=||·||·cos 120°=-2.因为BE=λBC,DF=μDC,所以=+λ,=+μ.又因为·=1,所以(+λ)·(+μ)=1,即2λ+2μ-λμ=. ①同理可得,·=λμ-λ-μ=-.②由①+②,得λ+μ=.二、填空题(每小题5分,共20分)13.cos= .【解析】cos=cos=cos=.答案:14.如图所示,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= .【解析】=+=+=+(-)=c+a-b.答案:c+a-b15.(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为.【解析】f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2+,因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4,故函数f(x)的最小值为-4.答案:-416.(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:①f(x)的图象关于y轴对称.②f(x)的图象关于原点对称.③f(x)的图象关于直线x=对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是.【解析】对于①,由sin x≠0可得函数的定义域为,故定义域关于原点对称,由f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x),所以函数为奇函数,图象关于原点对称, ①错②对.对于③,由于f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),所以f(x)关于x=对称,③对.对于④,令t=sin x,t∈[-1,0)∪(0,1],由对勾函数g(t)=t+的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错.答案:②③三、解答题(共70分)17.(10分)已知角α的终边过点P.(1)求sin α 的值.(2)求·的值.【解析】(1)因为|OP|==1(O为坐标原点),所以点P在单位圆上,由正弦函数定义得sin α=-.(2)原式=·==,由(1)得sin α=-,P在单位圆上,所以由已知条件得cos α=.所以原式=.18.(12分)如果向量=i-2j,=i+mj,其中,i,j分别是x轴,y轴正方向上的单位向量,试分别确定实数m的值使:(1)A,B,C三点共线.(2)⊥.【解析】(1)由题意知,=λ,则i-2j=λ(i+mj),于是得m=-2.(2)由⊥得·=0,所以(i-2j)·(i+mj)=i2+mi·j-2i·j-2mj2=0,所以1-2m=0,解得m=.【补偿训练】设e1,e2是正交单位向量,如果=2e1+me2,=ne1-e2,=5e1-e2,若A,B,C三点在一条直线上,且m=2n,求m,n的值.【解析】以O为原点,e1,e2的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy,则=(2,m),=(n,-1),=(5,-1),所以=(3,-1-m),=(5-n,0),又因为A,B,C三点在一条直线上,所以∥,所以3×0-(-1-m)·(5-n)=0,与m=2n构成方程组解得或19.(12分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.【解析】(1)由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.(2)因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π.又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=.20.(12分)已知函数y=cos2x+sin xcos x+1,x∈R.(1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五点法”作出它的简图.(3)该函数的图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?【解析】y=cos2x+sin xcos x+1=cos 2x+sin2x+=sin+.(1)y=cos2x+sin xcos x+1的振幅为A=,周期为T==π,初相为φ=.(2)令x1=2x+,则y=sin+=sin x1+,列出下表,并描点得出的图象如图所示:x -x10 π2πy=sin x10 1 0 -1 0y=sin+(3)方法一:将函数图象依次作如下变换:函数y=sin x的图象函数y=sin的图象.函数y=sin的图象函数y=sin的图象函数y=sin+的图象,即得函数y=cos2x+sin xcos x+1的图象.方法二:函数y=sin x的图象函数y=sin 2x的图象函数y=sin的图象函数y=sin+的图象函数y=sin+的图象,即得函数y=cos2x+sin xcos x+1的图象.21.(12分)在如图所示的直角坐标系xOy中,点A,B是单位圆上的点,且A(1,0),∠AOB=.现有一动点C在单位圆的劣弧上运动,设∠AOC=α.(1)求点B的坐标.(2)若tan α=,求·的值.(3)若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最大值.【解析】(1)由任意角的三角函数定义,可得点B的坐标为. (2)因为=(1,0),=(cos α,sin α),所以·=cos α.又tan α=,且0≤α≤,所以cos α=,即·=.(3)方法一:由=x+y,得(cos α,sin α)=x(1,0)+y,所以得所以x+y=cos α+sin α=(cos α+sin α)=sin,又0≤α≤,所以当α=时,x+y有最大值.方法二:由已知可得即所以x+y===cos α+sin α=sin.又0≤α≤,所以当α=时,x+y有最大值.22. (12分)如图所示,一条直角走廊宽为2 m.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1 m.直线EF分别交直线AC、BC于M、N,过墙角D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q.(1)若平板车卡在直角走廊内,且∠CAB=θ,试求平板面的长(用θ表示).(2)若平板车顺利通过直角走廊,其长度(设为l)不能超过多少m?【解析】(1)DM=,DN=,MF=,EN=tan θ,所以EF=DM+DN-MF-EN=+--tan θ=.(2)“平板车顺利通过直角走廊”,即对任意角,平板车的长度不能超过l的最小值.记sin θ+cos θ=t,1≤t≤,有sin θcos θ=,所以l====+,因为y=,y=都是减函数,当t=时,l取得最小值4-2.故若平板车顺利通过直角走廊,其长度不能超过(4-2) m.关闭Word文档返回原板块。

高中数学综合质量评估新人教A版必修4

高中数学综合质量评估新人教A版必修4(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2013·菏泽高一检测)cos的值是( )A. B.- C. D.-2.已知扇形的圆心角为π弧度，半径为2，则扇形的面积是( )A.πB.C.2πD.π3.已知sinα-cosα=，α∈(0，π)，则tanα= ( )A.-1B.-C.D.14.(2013·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是( )A.π，1B.π，2C.2π，1D.2π，25.(2012·安徽高考)在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针旋转后得向量，则点Q的坐标是( )A.(-7，-)B.(-7，)C.(-4，-2)D.(-4，2)6.在△ABC中，=a，=b，且=，则= ( )A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b7.设a=cos 6°-sin 6°，b=2sin 13°cos 13°，c=，则有( )A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a8.(2012·新课标全国卷)已知ω>0，0<φ<π，直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ= ( )A. B. C. D.9.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是( )A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a+b=a-b10.如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2，则有( )A.ω=，A=3B.ω=，A=5C.ω=，A=5D.ω=，A=311.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )12.若向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，则△P1P2P3的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不能确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示，则f(x)= .14.(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为，·的最大值为.15.(2013·四川高考)设sin2α=-sinα，α∈，则tan2α的值是.16.关于下列结论：①函数y=tanx在第一象限是增函数；②函数f(x)=cos 2是偶函数；③函数y=4sin的一个对称中心是；④函数y=sin在闭区间上是增函数.写出所有正确的结论的序号：.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(1，2)，B(-3，4).(1)求向量的坐标及||.(2)求向量与的夹角的余弦值.18.(12分)(2013·辽宁高考)设向量a=(sinx，sinx)，b=(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|=|b|，求x的值.(2)设函数f(x)=a·b，求f(x)的最大值.19.(12分)(2013·天水高一检测)已知a=(6，2)，b=(-3，k)，当k为何值时，(1)a∥b？(2)a⊥b？(3)a与b的夹角为钝角？20.(12分)已知函数f(x)=sin+sin+cos 2x+4.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值.(2)已知f(α)=5，求tanα的值.21.(12分)如图，矩形ABCD的长AD=2，宽AB=1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限.求OB2的最大值.22.(12分)(能力挑战题)已知向量m=，n=，设函数f(x)=m·n.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)，x∈[-π，π]的单调递增区间.(3)设函数h(x)=f(x)-k(k∈R)在区间[-π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围.答案解析1.【解析】选B.cos=cos=cos=cos=-.2.【解析】选D.由S扇形=|α|R2，可得S扇形=×π×22=π.3.【解析】选A.将等式sinα-cosα=两边平方，得到2sinαcosα=-1，整理得1+2sinαcosα=0，即sin2α+cos2α+2sinαcosα=0，得(sinα+cosα)2=0，所以sinα+cosα=0，又sinα-cosα=，故tanα==-1.4.【解题指南】先利用公式把函数f(x)转化为y=Asin(ωx+φ)的形式再求解.【解析】选A. f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin，所以A=1，T=π.5.【解析】选A.将向量=(6，8)按逆时针旋转后得=(8，-6)，则=-(+)=(-7，-).6.【解析】选B.因为=a，=b，且=，所以=+=a+=a+(-)=a+(b-a)=a+b.7.【解析】选C.由已知可得a=sin24°，b=sin 26°，c=sin 25°，所以a<c<b.8.【解题指南】通过相邻对称轴获得函数的周期，从而确定ω的值，将其中一条对称轴方程代入函数f(x)的解析式，求得φ值.【解析】选A.由题意可知函数f(x)的周期T=2×=2π，故ω=1，所以f(x)=sin(x+φ)，令x+φ=kπ+，将x=代入可得φ=kπ+，因为0<φ<π，所以φ=.9.【解题指南】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.10.【解析】选A.由题意知水轮每分钟旋转4圈，即每秒旋转rad，所以ω=；又水轮上的最高点距离水面r+2=5(米)，所以y的最大值A+2=5，A=3.11.【解析】选A.把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=cosx+1的图象，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的函数解析式是y=cos(x+1)，此函数图象是A.12.【解析】选C.由++=0，知O为三角形的重心，由||=||=||=1，知O为三角形的外心，所以此三角形为等边三角形.13.【解析】由题干图知A==2，=-，所以T=2，所以ω=π，当x=时，有π+φ=+2kπ，k ∈Z，又|φ|<，故解得φ=.故函数解析式为f(x)=2sin(πx+).答案：f(x)=2sin(πx+)14.【解题指南】可利用图形中的直角关系建系用坐标计算.也可以适当选取基向量进行计算.【解析】方法一：如图所示，以AB，AD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，设E(t，0)，0≤t≤1，则D(0，1)，B(1，0)，C(1，1)，=(t，-1)，=(0，-1)，=(1，0)，所以·=1，·=t≤1.方法二：选取{，}作为基向量，设=t，0≤t≤1，则·=(t-)·(-)=-t·+2=0+1=1，·=(t-)·=t≤1.答案：1 115.【解题指南】本题考查的是简单的三角恒等变换，在解题时要注意公式的灵活运用，特别是二倍角公式与同角关系公式.【解析】根据题意sin2α=-sinα，可得2sinαcosα=-sinα，可得cosα=-，tanα=-，所以tan2α===.答案：16.【解析】函数y=tanx在(k∈Z)上是增函数，不能说在第一象限是增函数，故①错.因为f(-x)=cos 2≠cos 2，故不是偶函数，故②错误.对于函数y=4sin，当2x-=kπ(k∈Z)，即x=+(k∈Z)，当k=0时，得到x=，故是该函数的一个对称中心，③正确.函数y=sin在上是增函数，在上是减函数，故④错误.答案：③17.【解析】(1)因为A(1，2)，B(-3，4)，所以=-=(-3，4)-(1，2)=(-4，2).所以||==2.(2)设与的夹角为θ.因为·=5，||=，||=5，所以cosθ===.18.【解析】(1)由a=(sinx，sinx)，b=(cosx，sinx)，得|a|2=(sinx)2+ (sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.又因为|a|=|b|，所以4sin2x=1.又x∈，所以sinx=，x=.(2)函数f(x)=a·b=(sinx，sinx)·(cosx，sinx)=sinxcosx+sin2x=×2sinxcosx+=sin2x-cos2x+=cos sin2x-sin cos2x+=sin2xcos-cos2xsin+=sin+.因为x∈，所以-≤2x-≤，故-≤sin≤1，0≤sin+≤，即f(x)的最大值为.19.【解析】(1)当a∥b时，6k-2×(-3)=0，解得k=-1.(2)当a⊥b时，a·b=0，即6×(-3)+2k=0，得k=9.(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ=<0且≠-1，得k<9且k≠-1.20.【解析】(1)f(x)=2sin 2xcos+cos 2x+4=sin 2x+cos 2x+4=2sin+4.所以函数f(x)的最小正周期T==π，最大值为6.(2)由f(α)=5，得sin 2α+cos 2α=1，即sin 2α=1-cos 2α，即2sinαcosα=2sin2α，所以sinα=0或tanα=，所以tanα=0或tanα=.21.【解题指南】设∠OAD=θ，求出B点的坐标，建立OB2关于θ的函数，求最大值. 【解析】过点B作BH⊥OA，垂足为H.设∠OAD=θ，则∠BAH=-θ，OA=2cosθ，BH=sin=cosθ，AH=cos=sinθ，所以B(2cosθ+sinθ，cosθ)，OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.由0<θ<，知<2θ+<，所以当θ=时，OB2取得最大值7+4.22.【解析】(1)f(x)=m·n=4sin xcos x+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.(2)由(1)，知f(x)=4sin，x∈[-π，π]，所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x≤，所以函数f(x)的单调递增区间为.(3)当x∈[-π，π]时，函数h(x)=f(x)-k的零点讨论如下：当k>4或k<-4时，h(x)无零点，n=0；当k=4或k=-4时，h(x)有一个零点，n=1；当-4<k<-2或-2<k<4时，h(x)有两个零点，n=2；当k=-2时，h(x)有三个零点，n=3.。

人教A版高中数学必修四单元质量评估(一) Word版含解析

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单元质量评估(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.与-525°终边相同的角可表示为( )A.525°-k·360°(k∈Z)B.165°+k·360°(k∈Z)C.195°+k·360°(k∈Z)D.-195°+k·360°(k∈Z)【解析】选C.-525°=-360°×2+195°，所以-525°与195°终边相同，所以与-525°终边相同的角可表示为195°+k·360°(k∈Z).2.若点P在的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标为( )A.(1，-)B.(，-1)C.(-1，-)D.(-1，)【解析】选A.由任意角的三角函数定义知x P=|OP|cos=2×=1，y P=|OP|sin=2×=-，故点P坐标为(1，-).【补偿训练】若点A(x，y)是240°角终边上异于原点的一点，则的值为( )A.-B.C.-D.【解析】选D.由题意知=tan240°=tan(180°+60°)=tan60°=.3.(2015·合肥高一检测)已知tanα>0，且sinα+cosα<0，则( )A.cosα>0B.cosα<0C.cosα=0D.cosα符号不确定【解析】选B.由tanα>0知α是第一或第三象限角.又因为sinα+cosα<0，所以α是第三象限角，所以cosα<0.4.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A.y=sin，x∈RB.y=sin，x∈RC.y=sin，x∈RD.y=sin，x∈R【解析】选D.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin的图象，再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin的图象.5.在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中a>0且a≠1，则下列所给图象中可能正确的是( )【解析】选D.当0<a<1时，y=sinax的周期T=>2π，B不正确，D正确；当a>1时，y=sinax的周期T=<2π.A，C都不正确.【补偿训练】不等式l og a x>sin2x(a>0且a≠1)对任意x∈都成立，则a的取值范围为( )A. B.C.∪D.【解题指南】先分析临界位置，如l og a x过点，再确定范围.【解析】选D.当y=log a x的图象恰好过点时有log a=1，所以a=.结合图形知≤a<1时在上y=log a x总在y=sin2x上方.即log a x>sin2x成立.6.下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)=f(-x)和f(x-π)=f(x)的函数是( )A.f(x)=sinxB.f(x)=sinx·cosxC.f(x)=cosxD.f(x)=cos2x【解析】选D.由f(x)=f(-x)知f(x)为偶函数，排除A，B.由f(x-π)=f(x)知x=是f(x)图象的一条对称轴，排除C，故选D.7.(2015·汕头高一检测)下列比较大小错误的是( )A.sin(-70°)>sin(-80°)B.cos>cosC.tan<tanD.tan38°<tan43°【解析】选C.-90°<-80°<-70°<0°且y=sinx在上为增函数，所以sin(-80°)<sin(-70°)，故A正确；cos=cos=cos>0，cos=cos=cos<0，所以cos>cos，故B正确；tan=tan=-tan=-，tan=tan=-tan=-，所以tan>tan，C错误，易知D正确.8.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)，y=f(x)的部分图象如图，则f=()A.3B.C.1D.【解析】选A.由题干图知，T=2×=，所以ω==2.又图象过点，所以Atan=0，所以tan=0，所以φ+=kπ，k∈Z.所以φ=kπ-，k∈Z.又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=Atan.又图象过点(0，1)，所以Atan=1，所以A=，即f(x)=tan，所以f=tan=3.【补偿训练】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，当x∈时，满足f(x)=1的x的值为( )A. B. C. D.【解析】选B.由图象知A=2.=2×=π，ω=2.故f(x)=2sin(2x+φ)，x=-时y=0，代入上式，得0=2sin，所以-+φ=kπ，k∈Z，故φ=kπ+，k∈Z，又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=2sin.由f(x)=1得sin=，又2x+∈，所以2x+=，所以x=.9.(2015·安徽高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )A.f<f<fB.f<f<fC.f<f<fD.f<f<f【解析】选A.因为函数f=Asin(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，所以T==π⇒ω=2，所以f=Asin，当x=时，2×+φ=+2kπ，k∈N⇒φ=+2kπ，k∈N，所以f=Asin，当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时函数f取得最大值.下面只需要判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离，距离越大，函数值越小.当k=0时，x=，≈0.52，≈1.48；当k=1时，x=，≈1.67；当k=-1时，x=-，≈0.62，所以f<f<f，故选A.【补偿训练】(2015·宜昌高一检测)设y=f(t)是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.根据上述数据，函数y=f(t)的解析式为( )A.y=12+3sin，t∈[0，24]B.y=12+3sin，t∈[0，24]C.y=12+3sin，t∈[0，24]D.y=12+3sin，t∈[0，24]【解析】选A.由已知得A==3，k==12.=15-3，所以ω=，所以y=12+3sin，t=3，y=15代入上式得sin=1，解得φ=2kπ，k∈Z.所以y=12+3sin，t∈[0，24].10.(2015·武汉高一检测)函数f(x)=asinx+blog2(x+)+4(a，b为常数)，若f(x)在(0，+∞)上有最小值-4，则f(x)在(-∞，0)上有( )A.最大值-2B.最大值4C.最大值10D.最大值12【解析】选D.设g(x)=f(x)-4，则g(x)为奇函数.因为f(x)在(0，+∞)上有最小值-4，所以g(x)在(0，+∞)上有最小值-8.又因为g(x)为奇函数，所以g(x)在(-∞，0)上有最大值8.所以f(x)在(-∞，0)上有最大值12.11.定义在R上的函数满足f(x+2)=f(x)，且x∈[1，3]时，f(x)=cos x，则下列大小关系正确的是( )A.f(tan1)>fB.f<fC.f(sin2)>f(cos2)D.f(cos1)>f(sin1)【解析】选C.由题意知函数f(x)是以2为周期的函数，且在区间[-1，0]上为减函数，在区间[0，1]上是增函数，x=1是函数f(x)的一条对称轴，于是f(cos2)=f(2-cos2)=f(-cos2)，又因<2<，所以1>sin2>-cos2>0，因此有f(sin2)>f(-cos2)=f(cos2).12.(2015·厦门高一检测)已知函数f(x)=sinx+x，则使不等式f(sinθ)+f(cosθ)≥0成立的θ的取值范围是( )A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解析】选C.函数f(x)=sinx+x的定义域为R，因为f(-x)=sin(-x)+(-x)=-sinx-x=-(sinx+x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，不等式f(sinθ)+f(cosθ)≥0可化为f(sinθ)≥-f(cosθ)=f(-cosθ)，又因为y=sinx和y=x在[-1，1]上均为增函数，所以f(x)=sinx+x在[-1，1]上为增函数，且sinθ∈[-1，1]，-cosθ∈[-1，1]，所以sinθ≥-cosθ，即sinθ+cosθ≥0，角θ终边所在区域如图所示，所以θ∈(k∈Z).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.弧长为3π，圆心角为的扇形的面积为________.【解析】设扇形的半径为R，由已知得·R=3π，所以R=4.所以扇形的面积S=××42=6π.答案：6π14.(2015·黄冈高一检测)函数y=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间为__________.【解析】y=2sin=-2sin，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，设A=，B=[-π，0]，A∩B=，所以y=2sin，x∈[-π，0]的单调递增区间为[-，-]答案：【补偿训练】若f(x)=2sinωx(ω>0)在区间上的最大值是，则ω=__________.【解析】f(x)=2sinωx在即上为增函数.由题意知且f=.所以所以ω=6k+或6k+且0<ω<，所以ω=.答案：15.(2015·南昌高一检测)如图是一个半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动四圈，水轮上的点P相对于水面的高度y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+2(A>0，ω>0，φ∈(-，))，且初始位置(即x=0)时y=，则函数的表达式为__________.【解析】函数表达式为y=Asin(ωx+φ)+2，则由题意得A=3；T==15，故ω==π；由初始位置时y=知，=3sinφ+2；故sinφ=；再由φ∈知，φ=，所以函数表达式为y=3sin+2.答案：y=3sin+216.给出下列4个命题：①函数y=的最小正周期是；②直线x=是函数y=2sin的一条对称轴；③若sinα+cosα=-，且α为第二象限角，则tanα=-；④函数y=cos(2-3x)在区间上单调递减.其中正确的是__________.(写出所有正确命题的序号).【解析】函数y=sin的最小正周期是π，故①正确.对于②，当x=π时，2sin=2sinπ=-2，故②正确.对于③，由(sinα+cosα)2=得2sinαcosα=-，因为α为第二象限角，所以sinα-cosα==，所以sinα=，cosα=-，所以tanα=-，故③正确.对于④，函数y=cos(2-3x)的最小正周期为，而区间长度>，显然④错误.答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)若cosα=，α是第四象限角，求的值.【解析】由已知得sinα=-，===-=.18.(12分)(1)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-3，4)，求cos(π-α)+cos的值.(2)若tanβ=3，求的值.【解析】(1)r=|OP|==5.所以sinα==，cosα==-，所以cos(π-α)+cos=-cosα-sinα=--=-.(2)原式===.19.(12分)(2015·宜昌高一检测)已知函数f(x)=2sin(2ωx+)+1(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心，(1)试求ω的值.(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[-π，π]上的图象.【解析】(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，所以-+=kπ，k∈Z，所以ω=-3k+，k∈Z，因为0<ω<1，所以k=0，ω=. (2)由(1)知f(x)=2sin+1，x∈[-π，π]列表如下，x+-π-πx -π--π-1 1则函数f(x)在区间x∈[-π，π]上的图象如图所示.【拓展延伸】“巧”画图象“妙”解题在利用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，如果能正确利用函数的性质就能更快、更准确地画出函数图象的简图.例如定出第一个关键点后，就可以根据五个关键点横坐标之间的距离都为，画出另外四个关键点.20.(12分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.【解析】(1)根据表中已知数据，得A=5，ω=2，φ=-.数据补全如表：π且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin，得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x+2θ-=kπ，k∈Z，解得x=+-θ，k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称，令+-θ=，k∈Z，解得θ=-，k∈Z.由θ>0可知，当k=1时，θ取得最小值.【补偿训练】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：(1)请将表数据补全，并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)的单调递减区间.【解析】(1)函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)函数g(x)=2sin.令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数y=g(x)的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z.21.(12分)已知f(x)=3sin-1.(1)f(x)的图象是由y=sinx的图象如何变换而来？(2)求f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值.【解析】(1)将函数y=sinx图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sinx的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=3sin2x的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=3sin的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f(x)=3sin-1的图象.(2)最小正周期T=π，由2x+=+kπ(k∈Z)，得对称轴方程为x=+(k∈Z).当2x+=+2kπ(k∈Z)，即x=+kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值2.【补偿训练】(2015·都江堰高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中的周期为π，其图象上一个最高点为M，(1)求f(x)的解析式.(2)当x∈时，求f(x)的最值及相应的x的值.【解析】(1)由T=π得ω===2，由最高点为M得A=2，且2sin=2，即sin=1，所以+φ=2kπ+，故φ=2kπ+(k∈Z)，又因为φ∈，所以φ=，所以f(x)=2sin.(2)因为x∈，所以2x+∈，所以当2x+=，即x=0时，f(x)取得最小值1；当2x+=，即x=时，f(x)取得最大值2.22.(12分)(2015·南通高一检测)某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°.(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域.(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.【解析】(1)因为在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，所以OE=.在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，所以OF=.又∠EOF=90°，所以EF===，所以l=OE+OF+EF=++，即l=，当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=.故此函数的定义域为.(2)由题意知，要求建设总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可.由(1)得，l=，α∈，设sinα+cosα=t，则sinα·cosα=，所以l===，由≤α+≤，得≤t≤，所以≤t-1≤-1，从而+1≤≤+1，当α=，即BE=25时，l min=50(+1)，所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000(+1)元.关闭Word文档返回原板块。

2021-2022学年新教材高中数学模块质量检测(含解析)新人教B版必修第四册

第四册模块质量检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－i D ．3＋i2．设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12C ．1 D.23．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )4．若z ＝4＋3i ，则z－|z |＝( )A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i 5．若圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．36．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．37．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β8．已知三棱锥P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π9．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小( )A ．变大B ．变小C ．不变D ．有时变大有时变小10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 为( )A.π2B.π3C.π4D.π611．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2B ．3 C ．4D ．512．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13.－1＋3i 31＋i 6－－2＋i 1＋2i＝________.14．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m ⊥β.(填所选条件的序号)15．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：________时，SC ∥平面EBD .16．如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO ＝OB＝2，P为SB的中点．则异面直线SA与PD所成角的正切值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)对应的点在直线x－y＝0上．18．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC 边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面DEF.20．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．21．(本小题满分12分)如图三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°，(1)证明AB⊥A1C；(2)若A1C＝6，AB＝CB＝2，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积V.22．(本小题满分12分)如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A 处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．第四册模块质量检测1．解析：(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i ，故选D. 答案：D2．解析：∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i 21＋i 1－i ＋2i ＝－2i2＋2i ＝i.∴|z |＝1，故选C. 答案：C3．解析：钢球与三棱锥的四个面相切，与棱无公共点，且三棱锥的高过钢球的球心，故选B.答案：B4．解析：∵z ＝4＋3i ，∴z －＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z －|z |＝4－3i 5＝45－35i.故选D. 答案：D5．解析：设较小底面半径为r ，另一底面半径为R ，则2πR ＝3×2πr ，∴R ＝3r .由侧面积公式得π(r ＋3r )l ＝84π，即π(r ＋3r )·3＝84π.∴r ＝7，故选A.答案：A6．解析：(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.答案：A7．解析：容易判断A、B、C三个答案都是正确的，对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，但不一定垂直，故选D.答案：D8．解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径R＝62，所以球O的体积V＝43πR3＝43π⎝⎛⎭⎪⎪⎫623＝6π，故选D.答案：D9．解析：∵直线l垂直于平面ABC，∴l⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又AC∩l ＝A，∴BC⊥平面APC，PC⊂平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB为直角，与点P的位置无关，故选C.答案：C10．解析：由题可知S△ABC＝12ab sin C＝a2＋b2－c24，所以a2＋b2－c2＝2ab sin C.由余弦定理a2＋b2－c2＝2ab cos C，所以sin C＝cos C.∵C∈(0，π)，∴C＝π4 .故选C.答案：C11．解析：如图，|z＋2－2i|＝1表示以C(－2,2)为圆心，1为半径的圆，则|z－2－2i|的最小值是指点A(2,2)到圆的最短距离，显然|AB|＝|AC|－1＝3，即为最小值，故选B.答案：B12．解析：由平面图形易知∠BDC ＝90°.∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD .∴CD ⊥AB .又AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ADC .又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC ，故选D.答案：D13．解析：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i 3[1＋i 2]3－－2＋i 1－2i 5＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋32i 32i 3－－2＋4i ＋i ＋25＝8－8i －i ＝i －i ＝0. 答案：014．解析：若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β，故填②④. 答案：②④15．解析：E 为SA 中点，连接AC 交BD 于O ，连接OE ，则OE ∥SC ，OE ⊂平面EBD ，SC ⊄平面EBD ，∴SC ∥平面EBD .答案：E 为SA 中点16．解析：连接PO ，则PO ∥SA ，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成角(或其补角)．且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2.答案：217．解析：(1)由z ∈R ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a >0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >2，a <1或a >2，∴a <0或a >2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题得(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0， ∴a ＝2.18．解析：在△ABC 中， ∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理，得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ×AC ＝32，∴sin C ＝12.在△ADC 中，由正弦定理，得AD sin C ＝AC sin∠ADC ，∴AD ＝222×12＝ 2. 19.证明：(1)如图，连接AC 交BD 于O .连接EO . ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点，在△PAC 中，EO 是中位线， ∴PA ∥EO .而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB .(2)∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ， ∴PD ⊥DC ，∵PD ＝DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，∴DE ⊥PC ，① 同理，由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC .∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，又PD ∩DC ＝D ， ∴BC ⊥平面PDC .而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE .② 由①和②推得DE ⊥平面PBC . 而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB ，又EF ⊥PB 且DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面EFD . 20．解析：(1)在△ADC 中，因为cos∠ADC ＝17，所以sin∠ADC ＝437，所以sin∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin∠ADC cos B －cos∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB sin∠BAD sin∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.21．解析：(1)取AB 中点E ，连接CE ，A 1B ，A 1E ，∵AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，∴△BAA 1是等边三角形， ∴A 1E ⊥AB ，∵CA ＝CB ，∴CE ⊥AB ，∵CE ∩A 1E ＝E ，∴AB ⊥面CEA 1，又A 1C ⊂平面CEA 1， ∴AB ⊥A 1C .(2)由于△CAB 为等边三角形，∴CE ＝3，∴S 底面积＝12×AB ×CE ＝12×2×3＝3，∵CE ＝3，A 1E ＝3，A 1C ＝6， ∴CE 2＋A 1E 2＝A 1C 2，∴A 1E ⊥CE ，又A 1E ⊥AB ，CE ∩AB ＝E ， ∴A 1E ⊥面ABC ，∴A 1E 为三棱柱的高．∴h ＝A 1E ＝3，V ＝Sh ＝3×3＝3. 22.解析：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x 海里，BC ＝10x 海里，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos120°，解得x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－34舍去.故AC ＝28海里，BC ＝20海里．根据正弦定理得BC sin α＝ACsin120°，解得sin α＝20sin120°28＝5314.故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为5314.。

人教A版高中数学必修四练习：模块综合学业质量标准检测+Word版含解析

模块综合学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．cos1，sin1，tan1的大小关系是导学号 14435166( D ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．sin1<tan1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1[解析] 作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有OM <MP <AT ，即cos1<sin1<tan1.故选D ．2．(2015·陕西)对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是导学号 14435167( B ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤|a |－|b | C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2[解析] 对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥|a |－|b |，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B ．3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝导学号 14435168( D )A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43.4．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于导学号 14435169( A ) A ．－32B ．－53C ．53D ．32[解析] 因为c ＝(1＋k,2＋k )，b ·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A ．5．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为导学号 14435170( C )A ．－72B ．－12C ．12D ．72[解析]cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－22，即(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－22∴cos α＋sin α＝12.6．将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是导学号 14435171( C )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 [解析] 将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于导学号 14435172( D ) A ．－16B ．－8[解析] 解法1：∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，△ABC 为直角三角形，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·|AC →||AB →|＝|AC →|2＝16.故选D ．解法2：∵△ACB 为直角三角形，∴AB →在AC →上的投影为AC ，∴AB →·AC →＝AC →2＝16. 8．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于导学号 14435173( C )A ．13B ．27C ．17D ．23[解析] 由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，整理得sin α＝35.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45.所以tan α＝－34.则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17. 9．每一个音都是纯音合成的，纯音的数字模型是函数y ＝A sin ωt ，音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数(振幅、频率)有关．我们听到的声音是许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的函数是y ＝14sin4x ＋16sin6x ，则该复合音的周期为导学号 14435174( B )A ．3π2B ．πC ．2π3D ．π6[解析] y 1＝14sin4x 的周期是π2，y 2＝16sin6x 的周期是π3，所以y ＝y 1＋y 2的周期应为π2与π3的公倍数π.10．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝导学号 14435175( C )A ．5B ．4[解析] 如右图所示，△ABC 中，D 是BC 边的中点，由MA →＋MB →＋MC ＝0易知M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝2AD →. 又∵AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，∴m ＝3，故选C ．11.函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象如右图，则(OA →＋OB →)·AB →＝导学号 14435176( A )A ．6B ．4C ．－4D ．－6[解析] ∵点B 的纵坐标为1， ∴tan(π4x －π2)＝1，∴π4x －π2＝π4，∴x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，则π4x －π2＝0，解得x ＝2，∴A (2,0)，∴OA →＋OB →＝(5,1)，AB →＝(1,1)． ∴(OA →＋OB →)·AB →＝6.12．E 、F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝导学号 14435177( D )A ．1627B ．23C ．33D ．34[解析] 如右图，取AB 的中点D ，连接CD ，则∠ECF ＝2∠ECD ，设AB ＝2a ，则CD ＝AD ＝a ，ED ＝a 3，∴tan ∠ECD ＝DE CD ＝13，∴tan ∠ECF ＝tan2∠ECD ＝2×131－(13)2＝34，故选D ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2017全国卷Ⅱ理科)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34(x ∈[0，π2])的最大值是__1__.导学号 14435178[解析] f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈[0，π2]，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若a ∥b ，则实数x ＝ 12 .导学号 14435179[解析] ∵a ∥b ，∴1－2x ＝0.∴x ＝12.15．已知e 1、e 2是平面单位向量，且e 1· e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝3.导学号 14435180 [解析] 不妨设b ＝x e 1＋y e 2，则b ·e 1＝x ＋y2＝1，b ·e 2＝x 2＋y ＝1，因此可得x ＝y ＝23，所以|b |＝23|e 1＋e 2|＝233.16．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，有下列说法：导学号 14435181①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间(π24，13π24)上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是__①②③__.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)[解析] 化简f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π2－π3)＝cos(2x －π3)－sin(2x －π3)＝2cos(2x －π12)， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确．f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )．即k π＋π24≤x ≤k π＋1324π(k ∈Z )，即③正确．将函数y ＝2cos2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos[2(x ＋π24)]≠f (x )，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC →＝λCA →(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .导学号 14435182(1)当λ＝1时，用a 、b 表示OC →； (2)用a 、b 表示OC →.[解析] (1)当λ＝1时，BC →＝CA →，即C 是AB 的中点， ∴OC →＝12(OB →＋OA →)＝12a ＋12b .(2)∵BC →＝λCA →，∴BC →＝λ1＋λBA →.又BA →＝OA →－OB →＝a －b ， ∴BC →＝λ1＋λ(a －b )．∴OC →＝OB →＋BC →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λ1＋λa ＋11＋λb . 18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12sin2x －3cos 2x .导学号 14435183(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈[π2，π]时，求g (x )的值域．[解析] (1)f (x )＝12sin2x －3cos 2x＝12sin2x －32(1＋cos2x ) ＝12sin2x －32cos2x －32 ＝sin(2x －π3)－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知： g (x )＝sin(x －π3)－32.当x ∈[π2，π]时，有x －π3∈[π6，2π3]，从而sin(x －π3)的值域为[12，1]，那么sin(x －π3)－32的值域为[1－32，2－32]．故g (x )在区间[π2，π]上的值域为[1－32，2－32]．19．(本题满分12分)已知点A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ).导学号 14435184 (1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值． [解析] ∵A (1,0)、B (0,1)、C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)， BC →＝(2sin θ，cos θ－1)．(1)|AC →|＝|BC →|， ∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2，化简得2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12.∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)， ∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1， ∴2sin θ＋2cos θ＝1， ∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝－38.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.导学号 14435185(1)求f (x )的解析式；(2)若tan α＋1tan α＝5，求2f (2α－π4)－11－tan α的值．[解析] (1)设最高点为(x 1,1)，相邻的最低点为(x 2，－1)，则|x 1－x 2|＝T2(T >0)，∴(x 1－x 2)2＋(1＋1)2＝4＋π2，∴T 24＋4＝4＋π2，∴T ＝2π＝2π|ω|，又ω>0，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin(x ＋φ)． ∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∵0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)∵tan α＋1tan α＝5，∴sin αcos α＋cos αsin α＝5， ∴sin αcos α＝15，∴2f (2α－π4)－11－tan α＝2cos (2α－π4)－11－tan α＝2(cos2αcos π4＋sin2αcossin π4)－11－sin αcos α＝cos2α＋sin2α－1cos α－sin αcos α＝(2sin αcos α－2sin 2α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α＝25.21．(本题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限．求OB 2的最大值.导学号14435186[解析] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ(0<θ<π2)，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin(π2－θ)＝cos θ，AH ＝cos(π2－θ)＝sin θ，所以B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos2θ＋23sin2θ ＝7＋43sin(2θ＋π3)．由0<θ<π2，知π3<2θ＋π3<4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.22．(本题满分12分)已知向量m ＝(sin 12x,1)，n ＝(43cos 12x ，2cos x )，设函数f (x )＝m·n .导学号 14435187(1)求函数f (x )的解析式．(2)求函数f (x )，x ∈[－π，π]的单调递增区间．(3)设函数h (x )＝f (x )－k (k ∈R )在区间[－π，π]上的零点的个数为a ，试探求a 的值及对应的k 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝m·n ＝43sin 12x cos 12x ＋2cos x＝23sin x ＋2cos x ＝4sin(x ＋π6)．(2)由(1)，知f (x )＝4sin(x ＋π6)，x ∈[－π，π]，所以x ＋π6∈[－5π6，7π6]，由－π2≤x ＋π6≤π2，解得－2π3≤x ≤π3，所以函数f (x )的单调递增区间为[－2π3，π3]．(3)当x∈[－π，π]时，函数h(x)＝f(x)－k的零点讨论如下：当k>4或k<－4时，h(x)无零点，a＝0；当k＝4或k＝－4时，h(x)有一个零点，a＝1；当－4<k<－2或－2<k<4时，h(x)有两个零点，a＝2；当k＝－2时，h(x)有三个零点，a＝3.。

2020新教材高中数学模块素养评价新人教B版必修第四册

模块素养评价(120分钟150分)一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z1=7-6i,z2=4-7i,则z1-z2在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.z1-z2=(7-6i)-(4-7i)=(7-4)+[-6-(-7)]i=3+i,则z1-z2对应的点为(3,1),在第一象限.2.设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= ( )A. B. C. D.2【解析】选C.因为z===i(1-i)=1+i,所以|z|=.3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边长为( )A. B. C. D.【解析】选B.A=180°-(60°+45°)=75°,故最短边为b,由正弦定理可得=,即b===.4.如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3,则其表面积为( ) A.18 cm2 B.18 cm2C.12 cm2D.12 cm2【解析】选A.设正四面体的棱长为a cm,则底面积为a2cm2,易求得高为 a cm,则体积为×a2×a=a3=9,解得a=3,所以其表面积为4×a2=18(cm2).5.若z=4+3i,则= ( )A.1B.-1C.+iD.-i【解析】选D.==-i.6.在△ABC中,∠B=120°,AB=,角A的平分线AD=,则AC= ( )A.1B.2C.D.2【解析】选C.如图,在△ABD中,由正弦定理,得=,所以sin∠ADB=.由题意知0°<∠ADB<60°,所以∠ADB=45°,所以∠BAD=180°-45°-120°=15°.所以∠BAC=30°,∠C=30°,BC=AB=.在△ABC中,由正弦定理,得=,所以AC=.7.在等腰Rt△ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A(对应A′)与C的距离为1,则二面角C-BM-A′的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°【解析】选C.如图所示,由AB=BC=1,∠ABC=90°,得AC=.因为M为AC的中点,所以MC=A′M=,且CM⊥BM,A′M⊥BM,所以∠CMA′为二面角C-BM-A′的平面角.因为A′C=1,MC=A′M=,所以∠CMA′=90°.8.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10 000米,到达B处,此时测得目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标C的距离为世纪( )A.5 000米B.5 000米C.4 000米D.4 000米【解析】选B.如图,在△ABC中,AB=10 000米,A=30°,C=75°-30°=45°.根据正弦定理,BC===5 000(米).二、多选题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.在△ABC中,b=2,B=45°,若这样的三角形有两个,则边a的值可以为( ) A.2 B.2.5 C.2.8 D.3【解析】选BC.由题意得⇒⇒2<a<2.故选BC.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段A1B1,B1C1上与端点不重合的动点,A1E=B1F,下面选项中正确的有( )A.EF⊥AA1B.EF∥AC;C.EF与AC异面D.EF∥平面ABCD【解析】选AD.由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以A选项正确;当E,F分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以C选项不正确;当E,F不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以B选项不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以D选项正确.11.如图,在三棱锥P-ABC中,能推出AP⊥BC的条件是( )A.AP⊥PB,AP⊥PCB.AP⊥PB,BC⊥PBC.平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PCD.AP⊥平面PBC【解析】选ACD.对于选项A:因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A正确;对于选项B:由AP⊥PB,BC⊥PB条件不能判断出AP⊥BC.对于选项C:因为平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C正确;对于选项D:由A知D正确.12.如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是世纪( )A.不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DECB.不论D折至何位置,都有MN⊥AEC.不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥ABD.在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.【解析】选ABD.分别取CE,DE的中点Q,P,连接MP,PQ,NQ,可证MNQP是矩形,所以AB正确;因为MN∥PQ,AB∥CE,若MN∥AB,则PQ∥CE,又PQ与CE相交,所以C错误;当平面ADE⊥平面ABCD时,有EC⊥AD,所以D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.【解析】由题意知,复数(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i是纯虚数,则实部a+2=0,且虚部1-2a≠0,解得a=-2.答案:-214.设z2=z1-i(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________.【解析】设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1-i=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.答案:115.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.【解析】因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC,因为E为AD的中点,所以F为DC中点.故EF=AC=.答案:16.等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长等于________. 世纪【解析】如图,AB=AC=2a,BC=a,设BC中点为D,连接AD,则AD⊥BC.在Rt△ABD中,cos B===.设AB中点为点E,连接CE,则在△BEC中,BE=BC=a,由余弦定理CE2=CB2+BE2-2CB·BE·cos B=a2+a2-2a2·=2a2-a2=a2,所以CE= a.答案: a四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两个根,且2cos(A+B)=1.求:(1)角C的大小.(2)AB的长度.【解析】(1)在△ABC中,cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,又0°<C<180°,所以C=120°.(2)由题设,得所以由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,所以AB=.18.(12分)若z∈C,且|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.【解析】方法一:设z=x+yi(x,y∈R),依题意有|x+2+(y-2)i|=1,得(x+2)2+(y-2)2=1 (*).又|z-2-2i|=|(x-2)+(y-2)i|=,将(*)式代入得|z-2-2i|==.由(*)式知|x+2|≤1,即-3≤x≤-1.故当x=-1时,|x-2-2i|取得最小值3.方法二:设z=x+yi(x,y∈R),则|z+2-2i|=|x+2+(y-2)i|=1表示圆心为A(-2,2),半径为1的圆,而|z-2-2i|=|(x-2)+(y-2)i|表示圆A上的点到点(2,2)的距离,如图所示,显然其最小值为4-1=3.方法三:|z-2-2i|=|(z+2-2i)-4|≥||z+2-2i|-4|=|1-4|=3.当且仅当z+2-2i=|z+2-2i|=1,即z=-1+2i时,等号成立.故|z-2-2i|的最小值为3.【加练·固】已知z=m+3+3i,其中m∈C,且为纯虚数,(1)求m对应的点的轨迹.(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)设m=x+yi(x,y∈R),则==,因为为纯虚数,所以即所以m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.(2)由(1)知|m|=3,由已知m=z-(3+3i),所以|z-(3+3i)|=3.所以z所对应的点Z在以(3,3)为圆心,以3为半径的圆上.结合图形可知|z|的最大值为|3+3i|+3=9;最小值为|3+3i|-3=3.19.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB.(2)求四面体N-BCM的体积.【解析】(1)由已知得AM=AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积V N-BCM=×S△BCM×=.20.(12分)某工程队在某海域进行填海造地工程,欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内),建设一条军用飞机跑道AD.在点D测得B,C两点的视角∠BDC=60°,如图所示,记∠CBD=θ,如何设计θ,使得飞机跑道AD最长?世纪【解析】在△BCD中,BC=1,∠BDC=60°,∠CBD=θ.由正弦定理得=,所以BD==cos θ+sin θ.在△ABD中,AB=1,∠ABD=60°+θ.由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos(60°+θ)=12+(cos θ+sin θ)2-2×1××=1+sin2θ+sin θcos θ=+sin(2θ-30°).所以当2θ-30°=90°,θ=60°时,跑道AD最长.21.(12分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.(1)求证:平面EDB⊥平面EBC.(2)求二面角E-DB-C的正切值. 世纪【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.所以△DD1E为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.所以∠DEC=90°,即DE⊥EC.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥平面D1DCC1,又DE⊂平面D1DCC1,所以BC⊥DE.又EC∩BC=C,所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB,所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示,过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为平面ABCD⊥平面D1DCC1,且交线为DC,所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F,连接EF,所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E-DB-C的平面角.利用平面几何知识可得OF=,又OE=1,所以tan∠EFO=.22.(12分)如图所示,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q 为SB的中点.(1)求证:CD⊥平面SAD.(2)求证:PQ∥平面SCD.(3)若SA=SD,M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD,并证明你的结论. 世纪【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.(2)取SC的中点R,连接QR,DR.由题意知PD∥BC且PD=BC.在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,所以QR∥BC且QR=BC.所以QR∥PD且QR=PD,则四边形PDRQ为平行四边形,所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD,DR⊂平面SCD,所以PQ∥平面SCD.(3)当点N为SC的中点时,平面DMN⊥平面ABCD.证明如下:连接PC,DM交于点O,连接PM,SP,NM,NO,因为PD∥CM且PD=CM,所以四边形PMCD为平行四边形,所以PO=CO.又因为N为SC的中点,所以NO∥SP.因为SA=SD,P为AD的中点,所以SP⊥AD.因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD,所以SP⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD.又因为NO⊂平面DMN,所以平面DMN⊥平面ABCD.【加练·固】在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC,SC于D,E,又SA=AB,SB=BC.(1)求证:BD⊥平面SAC.(2)求二面角E-BD-C的大小.【解析】(1)如图,因为DE⊥SC,且E为SC的中点,又SB=BC,所以BE⊥SC.又DE∩BE=E,根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE,因为BD⊂平面BDE,所以SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以SA⊥BD.又SA∩SC=S,所以BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角E-BD-C的平面角,又△SAC∽△DEC,所以∠EDC=∠ASC.在Rt△SAB中,∠SAB=90°,设SA=AB=1,则SB=.由SA⊥BC,AB⊥BC,AB∩SA=A,所以BC⊥平面SAB,SB⊂平面SAB,所以BC⊥SB.在Rt△SBC中,SB=BC=,∠SBC=90°,则SC=2. 在Rt△SAC中,∠SAC=90°,SA=1,SC=2.所以cos∠ASC==.所以∠ASC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.。

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