2018届高三数学文科二轮复习教师用书：系统热门考点—以点带面含答案

系统热门考点——以点带面(一)巧用性质 妙解函数 [速解技法——学一招]函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．以对称性为例，若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数图象关于直线x ＝a ＋b2对称；若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称．[例1] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 [解析] 选B 由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由于奇函数f (x )在[0,1]上是增函数，故f (x )在[－1,0]上也是增函数， 综上，函数f (x )在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. [例2] 已知函数f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为[－1，1]，若f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为[－1,1]， 易知f (x )在[－1,1]上单调递增， 由f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤log 2m ≤1，－1≤log 4m ＋2 ≤1，log 2m <log 4m ＋2 ，m >0，m ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤2，－74≤m ≤2，0<m <2，m >0，m >－2，故12≤m <2. 综上可知，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 [经典好题——练一手]1．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2＋x )＝－f (2－x )，当x <2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)²(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值为( )A ．可正可负B ．可能为0C ．恒大于0D ．恒小于0解析：选D 由f (2＋x )＝－f (2－x )可知，函数图象关于点(2,0)中心对称．因为x <2时，f (x )单调递增，所以x >2时，f (x )单调递增．因为x 1＋x 2<4且(x 1－2)²(x 2－2)<0，设x 1<2<x 2，则x 2<4－x 1，所以f (x 2)<f (4－x 1)．又因为f (4－x 1)＝－f (x 1)，所以f (x 2)<－f (x 1)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，故f (x )＝2|x |－1.当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25>|－log 0.53|>0.∴b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )．3．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 解析：由题意得g (－1)＝f (－1)＋2.又f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]＝－2，所以f (－1)＝－3.故f (－1)＋2＝－3＋2＝－1，即g (－1)＝－1. 答案：－14．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )，得函数的周期是2.由ax ＋2a －f (x )＝0， 得f (x )＝ax ＋2A ．设y ＝f (x )，则y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图． 要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ，由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)， 所以k AH ＝25，k AG ＝23，所以25<a <23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫25，23[常用结论——记一番]1．函数的单调性 在公共定义域内：(1)若函数f (x )是增函数，函数g (x )是增函数，则f (x )＋g (x )是增函数； (2)若函数f (x )是减函数，函数g (x )是减函数，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)若函数f (x )是增函数，函数g (x )是减函数，则f (x )－g (x )是增函数； (4)若函数f (x )是减函数，函数g (x )是增函数，则f (x )－g (x )是减函数． [提示] 在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件． 2．函数的奇偶性(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f (x )±f (－x )＝0，f xf －x＝±1；(2)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇³奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶³偶＝偶，奇³偶＝奇．3．有关函数f (x )周期性的常用结论：(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数f (x )的周期为2|a |； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的周期为2|a |； (3)若f (x ＋a )＝1f x，则函数f (x )的周期为2|a |；(4)若f (x ＋a )＝－1f x，则函数f (x )的周期为2|a |. (二)最值函数 大显身手 [速解技法——学一招][例1] 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示y ＝－x ＋3，y ＝2x ＋2，y ＝x 2－4x ＋3中的最大者，则f (x )的最小值是( )A ．2B ．3C ．8D ．－1[解析] 选A 如图，分别画出函数y ＝－x ＋3，y ＝32x ＋12，y ＝x 2－4x ＋3的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1，2)，C (5,8)． 由图象可得函数f (x )的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x ＋3，0<x ≤1，32x ＋12，1<x ≤5，x 2－4x ＋3，x >5，所以f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是B (1,2)，所以函数f (x )的最小值是2.[例2] 已知函数f (x )＝x 2－x ＋m －12，g (x )＝－log 2x ，min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，则当函数h (x )有三个零点时，实数m 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞[解析] 选C 在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示．当两函数图象交于点A (1,0)时，即有1－1＋m －12＝0，解得m ＝12，所以当函数h (x )有三个零点时， 即为点A 和y ＝f (x )与x 轴的两个交点，若满足条件，则需⎩⎪⎨⎪⎧f 0 >0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，f 1 >0，解得12<m <34.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.[经典好题——练一手]1．设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析：选D max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a ＋b |2＋|a －b |22＝|a |2＋|b |2，故选D.2．(2017²兰州模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a <b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ²b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ≥0，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ²a ，c ²b }取最小值时，|c |＝( )A ．255B ．223C ．1D ．52解析：选A 如图，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，∵λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1，∴0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，∴c ²a ＝(λa ＋b －λb )²a ＝λ；c ²b ＝(λa ＋b －λb )²b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.∴max{c ²a ，c ²b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤1，4－4λ，0≤λ<45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤1，4－4λ，0≤λ<45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4. ∴f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，∴c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. ∴|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.3．设x ，y 为实数，且5x 2＋4y 2＝10x ，则x 2＋y 2的最大值为________． 解析：法一：5x 2＋4y 2＝10x ⇒4y 2＝10x －5x 2≥0⇒0≤x ≤2. 4(x 2＋y 2)＝10x －x 2＝25－(5－x )2≤25－9＝16⇒x 2＋y 2≤4. 法二：5x 2－4y 2＝10x ⇒(x －1)2＋45y 2＝1，令x －1＝sin θ，255y ＝cos θ，θ∈[0,2π]， 则x 2＋y 2＝(sin θ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52cos θ2＝94－14(sin θ－4)2＋4， ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，x 2＋y 2取得最大值，即(x 2＋y 2)max ＝4. 答案：4(三)应用导数 开阔思路 [速解技法——学一招]1．函数的单调性与导数的关系 ①f ′(x )>0⇒f (x )为增函数； ②f ′(x )<0⇒f (x )为减函数； ③f ′(x )＝0⇒f (x )为常数函数． 2．求函数f (x )极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．[例1] 若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π))的图象在切点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3＋1的图象在切点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为( )A ．83 B ．2 C ．73D ．33[解析] 选A 由题意得f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝x 12＋x －12.设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，g (x 2))，又f ′(x 1)＝g ′(x 2)，即2cos x 1＝x 122＋x －122，故4cos 2x 1＝x 2＋x －12＋2， 所以－4＋4cos 2x 1＝x 2＋x －12－2， 即－4sin 2x 1＝(x 122－x －122)2，所以sin x 1＝0，x 1＝0，x 122＝x －122，x 2＝1，故P (0,0)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83，故k PQ ＝83.[例2] 已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________． [解析] 设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－1)∪(1，＋∞)[例3] 已知函数f (x )＝(ax ＋b )ln x －bx ＋3在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2. (1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)若g (x )＝f (x )＋kx 在(1,3)上是单调函数，求k 的取值范围． [解] (1)因为f (1)＝－b ＋3＝2，所以b ＝1.又f ′(x )＝b x＋a ln x ＋a －b ＝1x＋a ln x ＋a －1，而函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2， 所以f ′(1)＝1＋a －1＝0，所以a ＝0.(2)由(1)得f (x )＝ln x －x ＋3，f ′(x )＝1x－1(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故f (x )的极大值为f (1)＝2，无极小值．(3)由g (x )＝f (x )＋kx ，得g (x )＝ln x ＋(k －1)x ＋3(x >0)，g ′(x )＝1x＋k －1，又g (x )在x ∈(1,3)上是单调函数， 若g (x )为增函数，有g ′(x )≥0，即g ′(x )＝1x ＋k －1≥0，即k ≥1－1x在x ∈(1,3)上恒成立．又1－1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，所以k ≥23.若g (x )为减函数，有g ′(x )≤0，即g ′(x )＝1x ＋k －1≤0，即k ≤1－1x在x ∈(1,3)上恒成立，又1－1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，所以k ≤0.综上，k 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.[经典好题——练一手]1．f (x )＝x (2 016＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 017，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 016＋ln x ＋x ²1x＝2 017＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 017，得2 017＋ln x 0＝2 017，所以ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f n －f mn －m，f ′(x 2)＝f n －f mn －m.则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析：选C 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f a －f 0 a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a在区间(0，a )上有两个不相等的实根．令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12 －a 2＋a >0，g 0 ＝－a 2＋a >0，g a ＝2a 2－a >0，解得12<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.3．已知函数f (x )＝x 33－b2x 2＋ax ＋1(a >0，b >0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′ xa在点(b ，g (b ))处的切线斜率的最小值是________．解析：因为f ′(x )＝x 2－bx ＋a ，所以g (x )＝a ln x ＋x 2－bxa＋1.所以g ′(x )＝a x ＋2x －ba(x >0)，因为a >0，b >0，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋ba≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”，所以斜率的最小值为2. 答案：24．已知函数f (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x ，φ(x )＝mx 2. (1)当m ＝12时，求函数g (x )＝f (x )－φ(x )的极值；(2)当m ＝1且x ≥0时，证明：f (x )≥φ(x )；(3)若x ≥0，f (x )≥φ(x )恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝12时，g (x )＝f (x )－φ(x )＝(x ＋1)2²ln(x ＋1)－x －x 22，x >－1，所以g ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(x ＋1)2²1x ＋1－1－x ＝2(x ＋1)ln(x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，g ′ x ＝0，解得x ＝0，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以函数g (x )的极小值为g (0)＝0，无极大值．(2)证明：当m ＝1时，令p (x )＝f (x )－φ(x )＝(x ＋1)2²ln(x ＋1)－x －x 2(x ≥0)， 所以p ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(x ＋1)2²1x ＋1－1－2x ＝2(x ＋1)ln(x ＋1)－x . 设p ′(x )＝G (x )，则G ′(x )＝2ln(x ＋1)＋1>0， 所以函数p ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，所以p ′(x )≥p ′(0)＝0，所以函数p (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以p (x )≥p (0)＝0. 所以f (x )≥φ(x )．(3)设h (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x －mx 2(x ≥0)， 所以h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋x －2mx .由(2)知当x ≥0时，(x ＋1)2ln(x ＋1)≥x 2＋x ＝x (x ＋1)， 所以(x ＋1)ln(x ＋1)≥x ，所以h ′(x )≥3x －2mx . ①当3－2m ≥0，即m ≤32时，h ′(x )≥0，所以h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )≥h (0)＝0，满足题意． ②当3－2m <0，即m >32时，设H (x )＝h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(1－2m )x ， 则H ′(x )＝2ln(x ＋1)＋3－2m ， 令H ′(x )＝0，得x 0＝e2m －32－1>0， 故h ′(x )在[0，x 0)上单调递减，在[x 0，＋∞)上单调递增． 当x ∈[0，x 0)时，h ′(x )<h ′(0)＝0， 所以h (x )在[0，x 0)上单调递减， 所以h (x )<h (0)＝0，不满足题意． 综上，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32. [常用结论——记一番]1．函数极值的判别的易错点(1)可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)极值点不是一个点，而是一个数x 0，当x ＝x 0时，函数取得极值．在x 0处有f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x 0处取得极值的必要不充分条件．2．函数最值的判别方法(1)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上最值的关键是求出f ′(x )＝0的根的函数值，再与f (a )，f (b )作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)求函数f (x )在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f (x )的单调性，即可得结论．(四)三角问题 重在三变[速解技法——学一招]“三变”是指变角、变数与变式. 1 变角如2α＝ α＋β ＋ α－β ，α＝ α＋β －β. 2 变数特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等. 3 变式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.tan α±tan β＝tan α±β 1∓tan αtan β ，sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1.[例1] 对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( ) A ．2425B ．38C ．28D ．－2425[解析] 选D 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35， 可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12 ＝－2³35³45＝－2425.[例2] 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A ．7π4B ．9π4C ．5π4或7π4D ．5π4或9π4[解析] 选A 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π， 又sin 2α＝55，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以cos 2α＝－255. 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， 于是cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝－255³⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55³1010＝22， 且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.[经典好题——练一手]1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210 B ．7210C ．－210D ．210 解析：选D 由题意可得tan θ＝2，cos θ＝±55， 所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35， 所以sin 2θ＝cos 2θ²tan 2θ＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210. 2．(2017²沈阳质检)已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8解析：选B ∵f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z)，令k ＝0得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减．3．已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，因为α为锐角，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35<32，所以π6<α＋π6<π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2³35³45＝2425.答案：24254．若0<α<π2，0<β<π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－π3＝255，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－α的值为________．解析：由题易知－π6<π3－α<π3，－π3<β2－π3<－π12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－π3＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2552＝－55，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β2－π3＝45³255＋35³55＝11525. 答案：11525[常用结论——记一番]三角公式中常用的变形：(1)对于含有sin α±cos α，sin αcos α的问题，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，建立sin α±cos α与sin αcos α的关系．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式⎝ ⎛如sin α＋cos αsin α－cos α，)sin αcos α，利用tan α＝sin αcos α转化为含tan α的式子．(3)对于形如cos 2α＋sin α与cos 2α＋sin αcos α的变形，前者用平方关系sin 2α＋cos 2α＝1化为二次型函数，而后者用降幂公式化为一个角的三角函数．(4)含tan α＋tan β与tan αtan β时考虑tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(五)正弦余弦 相得益彰 [速解技法——学一招] 三角函数求值的解题策略(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法．(4)求角的大小，应注意角的范围．[例1] (2017²福州质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tanC ＝3(a cos B ＋b cos A )．(1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)∵c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )， ∴sin C tan C ＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )， ∴sin C tan C ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ， ∵0<C <π，∴sin C ≠0， ∴tan C ＝3，∴C ＝60°. (2)∵c ＝23，C ＝60°，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得12＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ， ∴ab ≤12，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤33，当且仅当a ＝b ＝23时取“＝”， 所以△ABC 的面积的最大值为3 3.[例2] 已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx,1)，其中ω>0，x ∈R.函数f (x )＝m ²n 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA ―→²BC ―→的值． [解] (1)f (x )＝m ²n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π.因为ω>0，所以ω＝1.(2)设△ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ． 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，得B ＝2π3. 因为BC ＝3，所以a ＝ 3.因为sin B ＝3sin A ，所以b ＝3a ，得b ＝3. 由正弦定理有3sin A＝3sin2π3，解得sin A ＝12. 因为0<A <π3，所以A ＝π6. 得C ＝π6，c ＝a ＝ 3.所以BA ―→²BC ―→＝ca cos B ＝3³3³cos 2π3＝－32.[经典好题——练一手]1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选A 因为cos A cos B ＝b a ，由正弦定理得cos A cos B ＝sin B sin A ，所以sin 2A ＝sin 2B .由ba ＝2，可知a ≠b ，所以A ≠B .又A ，B ∈(0，π)，所以2A ＝180°－2B ，即A ＋B ＝90°，所以C ＝90°，于是△ABC 是直角三角形．故选A ．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos C ＋c cos A ＝2b sin A ，则A 的值为( )A ．5π6 B ．π6C ．2π3D ．π6或5π6解析：选D 由a cos C ＋c cos A ＝2b sin A 结合正弦定理可得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B sin A ，即sin(A ＋C )＝2sin B sin A ，故sin B ＝2sin B sin A ．又sin B ≠0，可得sin A ＝12，故A ＝π6或5π6.3．非直角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，C ＝π3.若sin C＋sin(A －B )＝3sin 2B ，则△ABC 的面积为( )A ．1534 B ．154C ．2134或36D ．3328解析：选D 因为sin C ＋sin(A －B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ＝6sin B cosB ，因为△ABC 非直角三角形，所以cos B ≠0， 所以sin A ＝3sin B ，即a ＝3b . 又c ＝1，C ＝π3，由余弦定理得a 2＋b 2－ab ＝1， 结合a ＝3b ，可得b 2＝17，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝32b 2sin π3＝3328.4．(2017²陕西质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .解：(1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，由余弦定理，得a cos C ＋c cos A ＝a ²a 2＋b 2－c 22ab ＋c ²b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 22b＝b .∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a＋c)＝3b，∴b2＝9b24－16³⎝⎛⎭⎪⎫1＋14，解得b2＝16，∴b＝4.[常用结论——记一番] 1．解三角形中常用结论：(1)三角形中正弦、余弦、正切满足的关系式有：asin A＝bsin B＝csin C＝2R，c2＝a2＋b2－2ab cos C，tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.(2)三角形形状判断(一般用余弦定理)：直角三角形⇔a2＋b2＝c2；锐角三角形⇔a2＋b2>c2(c为最大边)；钝角三角形⇔a2＋b2<c2(c为最大边)．(3)在锐角三角形ABC中：①A＋B>π2，C＋B>π2，A＋C>π2；②任意角的正弦值都大于其他角的余弦值．(4)在△ABC中，A，B，C成等差数列⇔B＝60°；在△ABC中，A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列⇔三角形为等边三角形．2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S.(1)S＝12ah a＝12bh b＝12ch c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ca sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形ABC内切圆的半径)．(六)向量小题 三招搞定 [速解技法——学一招]解决与向量有关的小题，一般用三招，即“构图、分解、建系”，就能突破难点，顺利解决问题.[例1] 已知AB ―→²BC ―→＝0，|AB ―→|＝1，|BC ―→|＝2，AD ―→²DC ―→＝0，则|BD ―→|的最大值为( )A ．255B ．2C ． 5D ．2 5[解析] 选C 由AB ―→²BC ―→＝0可知，AB ―→⊥BC ―→.故以B 为坐标原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意，可得B (0,0)，A (1,0)，C (0,2)．设D (x ，y )，则AD ―→＝(x －1，y )，DC ―→＝(－x,2－y )． 由AD ―→²DC ―→＝0，可得(x －1)(－x )＋y (2－y )＝0， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝54.所以点D 在以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，半径r ＝52的圆上．因为|BD ―→|表示B ，D 两点间的距离， 而|EB ―→|＝52，所以|BD ―→|的最大值为|EB ―→|＋r ＝52＋52＝ 5.[例2] 已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是∠APB 的平分线，I 为PC 上一点，满足BI ―→＝BA ―→＋λAC ―→⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ―→|AC ―→|＋AP ―→|AP ―→|(λ>0)，|PA ―→|－|PB ―→|＝4，|PA ―→－PB ―→|＝10，则BI ―→²BA―→| BA ―→|的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 选B因为|PA ―→－PB ―→|＝|BA ―→|＝10，PC 是∠APB 的平分线，又BI ―→＝BA ―→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ―→|AC ―→|＋AP ―→|AP ―→|(λ>0)， 即AI ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AC ―→|AC ―→|＋AP ―→|AP ―→|， 所以I 在∠BAP 的平分线上， 由此得I 是△ABP 的内心．如图，过I 作IH ⊥AB 于H ，以I 为圆心，IH 为半径作△PAB 的内切圆，分别切PA ，PB 于E ，F ，因为|PA ―→|－|PB ―→|＝4，|PA ―→－PB ―→|＝10， |BH ―→|＝|FB ―→|＝12(|PB ―→|＋|AB ―→|－|PA ―→|)＝12[|AB ―→|－(|PA ―→|－|PB ―→|)]＝3. 在Rt △BIH 中，cos ∠IBH ＝|BH ―→||BI ―→|，所以BI ―→²BA ―→|BA ―→|＝|BI ―→|cos ∠IBH ＝|BH ―→|＝3.[经典好题——练一手]1．(2017²宝鸡质检)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，|AB |＝|BC |＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→|＝2，则BM ―→²BN ―→的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C 以等腰直角三角形的直角边BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B (0，0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.设M (a,2－a )，0<a <1，N (b,2－b )，∵MN ＝2，∴(a －b )2＋(2－a －2＋b )2＝2， 即(a －b )2＝1，解得b ＝a ＋1或b ＝a －1(舍去)，则N (a ＋1,1－a )，∴BM ―→＝(a,2－a )，BN ―→＝(a ＋1,1－a )， ∴BM ―→²BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32，∵0<a <1，∴当a ＝12时，BM ―→²BN ―→取得最小值32，又BM ―→²BN ―→<2，故BM ―→²BN ―→的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.2．已知向量a ，b 满足a ²(a ＋2b )＝0，|a |＝|b |＝1，且|c －a －2b |＝1，则|c |的最大值为( )A ．2B ．4C ．5＋1D ．3＋1解析：选D 设a ＝OA ―→，a ＋2b ＝OB ―→，c ＝OC ―→，且设点A 在x 轴上，则点B 在y 轴上，由|c －a －2b |＝1，可知|c －(a ＋2b )|＝|OC ―→－OB ―→|＝|BC ―→|＝1，所以点C 在以B 为圆心，1为半径的圆上，如图所示．法一：因为a ²(a ＋2b )＝0，所以2a ²b ＝－|a |2.又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋2b |＝|a |2＋4|b |2＋4a ²b ＝4|b |2－|a |2＝3， 所以|c |max ＝|OB ―→|＋1＝|a ＋2b |＋1＝3＋1. 法二：连接AB ，因为OB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝a ＋2b ， 所以AB ―→＝2b .因为|a |＝|b |＝1，所以|AB ―→|＝2，|OA ―→|＝1， 所以|OB ―→|＝|AB ―→|2－|OA ―→|2＝3，所以|c |max ＝|OB ―→|＋1＝3＋1.3．(2017²福州质检)正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，向量AE ―→，BD ―→的夹角为θ，则cos θ＝________.解析：法一：设正方形的边长为a ， 则|AE ―→|＝52a ，|BD ―→|＝2a ，又AE ―→²BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ―→＋12AD ―→²(AD ―→－AB ―→)＝12AD ―→2－AB ―→2＋12AD ―→²AB ―→＝－12a 2， 所以cos θ＝AE ―→²BD ―→|AE ―→|²|BD ―→|＝－12a 25a 2²2a＝－1010.法二：设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (2,1)， ∴AE ―→＝(2,1)，BD ―→＝(－2,2)， ∴AE ―→²BD ―→＝2³(－2)＋1³2＝－2，所以cos θ＝AE ―→²BD ―→| AE ―→|²|BD ―→|＝－25³22＝－1010.答案：－10104．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝________. 解析：法一：(坐标法)将直角△ABC 放入直角坐标系中，如图． 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，b4， 所以|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 42＝a 216＋b216，|PB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4－b 2＝a 216＋9b216，|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 42＝9a 216＋b216，所以|PA |2＋|PB |2＝a 216＋9b 216＋9a 216＋b 216＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a 216＋b 216＝10|PC |2，所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝10. 法二：(特殊值法)令|AC |＝|CB |＝1，则|PC |＝14|AB |＝24，|PA |2＝|PB |2＝58，易得|PA |2＋|PB |2|PC |2＝10. 答案：10[常用结论——记一番]1．在四边形ABCD 中：(1)AB ―→＝DC ―→，则四边形ABCD 为平行四边形；(2)AB ―→＝DC ―→且(AB ―→＋AD ―→)²(AB ―→－AD ―→)＝0，则四边形ABCD 为菱形； (3)AB ―→＝DC ―→且|AB ―→＋AD ―→|＝|AB ―→－AD ―→|，则四边形ABCD 为矩形； (4)若AB ―→＝λDC ―→(λ>0，λ≠1)，则四边形ABCD 为梯形．2．设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔OA ―→2＝OB ―→2＝OC ―→2. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→²OB ―→＝OB ―→²OC ―→＝OC ―→²OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (5)O 为△ABC 的A 的旁心⇔a OA ―→＝b OB ―→＋c OC ―→.(七)玩转通项 搞定数列 [速解技法——学一招] 几种常见的数列类型及通项的求法(1)递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )解法：把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，利用累加法(逐差相加法)求解． (2)递推公式为a n ＋1＝f (n )a n 解法：把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，利用累乘法(逐商相乘法)求解． (3)递推公式为a n ＋1＝pa n ＋q解法：通过待定系数法，将原问题转化为特殊数列{a n ＋k }的形式求解． (4)递推公式为a n ＋1＝pa n ＋f (n )解法：利用待定系数法，构造数列{b n }，消去f (n )带来的差异． [例1] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .[解] 由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，(n －1)，代入上式得(n －1)个等式累乘，即a 2a 1²a 3a 2²a 4a 3²…²a n a n －1＝12³23³34³…³n －1n ⇒a n a 1＝1n. 又∵a 1＝23，∴a n ＝23n .[例2] 已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前10项和． [解] 因为a n ＋1＝a n2a n ＋1，所以1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1a n ＝2n －1，所以a n ＝12n －1，而1a n a n ＋1＝1 2n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a 10a 11＝12⎝ ⎛1－13＋13－15＋…＋⎭⎪⎫119－121＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝1021. [经典好题——练一手]1．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．n n －12B ．n n ＋12 C ．n n ＋12－1D ．n n ＋12＋1解析：选D 因为a n ＋1＝a n ＋n ＋1， 所以a n ＋1－a n ＝n ＋1，分别把n ＝1,2,3，…，n －1代入上式，得到(n －1)个等式，a n －a n －1＝(n －1)＋1， a n －1－a n －2＝(n －2)＋1， a n －2－a n －3＝(n －3)＋1，…a 2－a 1＝1＋1.又a 1＝2＝1＋1，故将上述n 个式子相加得a n ＝[(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋n ＋1＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝n n ＋12＋1.2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，得a n －2＝12(a n －1－2)，而a 1－2＝1－2＝－1，∴数列{a n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列．∴a n －2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.答案：2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －13．设{a n }是首项为1的正项数列，且a 2n －a 2n －1－na n －na n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则数列的通项公式a n ＝________.解析：由题设得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－n )＝0， 由a n >0，a n －1>0知a n ＋a n －1>0，于是a n －a n －1＝n ，所以a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.答案：n n ＋124．在数列{a n }中，已知a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4²3n －1，求通项公式a n .解：原递推式可化为a n ＋1＋λ²3n＝2(a n ＋λ²3n －1)，比较系数得λ＝－4，即a n ＋1－4²3n＝2(a n －4²3n －1)，则数列{a n －4²3n －1}是首项为a 1－4²31－1＝－5，公比为2的等比数列，故a n －4²3n －1＝－5²2n －1，即a n ＝4²3n －1－5²2n －1.[常用结论——记一番]等差(比)数列的重要结论(1)数列{a n }是等差数列⇔数列{c a n }是等比数列；数列{a n }是等比数列，则数列{log a |a n |}是等差数列．(2){a n }，{b n }是等差数列，S n ，T n 分别为它们的前n 项和，若b m ≠0，则a m b m ＝S 2m －1T 2m －1.(3)首项为正(或为负)递减(或递增)的等差数列前n 项和最大(或最小)问题转化为解不等式⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，也可化为二次型函数S n ＝An 2＋Bn 来分析，注意n ∈N *. (4)等差(比)数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(各项均不为0)仍是等差(比)数列．(八)掌握规律 巧妙求和 [速解技法——学一招] 求数列的前n 项和的主要方法(1)公式法：对于等差数列或等比数列可用公式法．(2)裂项相消法：将数列的每一项分解为两项的差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而累加相消．(3)错位相减法：若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则对于数列{a n b n }的前n 项和可用错位相减法．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加法．(5)分组求和法：将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列． [例1] 已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ²2a n }的前n 项和．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10³92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)令b n ＝2a n ，由(1)可知a n ²b n ＝(2n －1)³22n －1，设T n 为数列{a n ²b n }的前n 项和，所以T n ＝1³21＋3³23＋5³25＋…＋(2n －3)³22n －3＋(2n －1)³22n －1，①4T n ＝1³23＋3³25＋5³27＋…＋(2n －3)³22n －1＋(2n －1)³22n ＋1，②①－②得：－3T n ＝2＋2³(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)³22n ＋1，所以T n ＝2＋2³ 23＋25＋…＋22n －1－ 2n －1 ³22n ＋1－3＝2＋2³8 1－4n －11－4－ 2n －1 ³22n ＋1－3＝－6＋2³8 1－4n －1 ＋ 6n －3 ³22n ＋19＝10＋ 6n －5 ³22n ＋19.[例2] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，b n ＝11＋a n(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，P n ＝b 1b 2²…²b n ，求2P n ＋S n 的值．[解] 因为a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，n ∈N *，所以a n ＋1>a n >0，a n ＋1＝a n (a n ＋1)，所以b n ＝11＋a n ＝a 2n a n a n ＋1＝a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1a n －1a n ＋1.P n ＝b 1b 2²…²b n ＝a 1a 2²a 2a 3²…²a n a n ＋1＝12a n ＋1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝2－1a n ＋1，故2P n ＋S n ＝1a n ＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n ＋1＝2.[经典好题——练一手]1．(2018届高三²湖南十校联考)数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n ＝________.解析：利用分组求和法，可得S n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .答案：n 2＋1－12n2．(2017²武汉调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前9项和为________． 解析：设数列{a n }的公差为d ，由S n ≤S 5，得⎩⎪⎨⎪⎧a 5≥0，a 6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥0，a 1＋5d ≤0，得－94≤d ≤－95，又a 2为整数，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)³d ＝11－2n ， 故1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和 T n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1，∴T 9＝－12³⎣⎢⎡⎦⎥⎤19－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19＝－19.答案：－193．(2018届高三²安徽名校阶段性测试)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋1²log 12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32，又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，故a n ＝2n.(2)∵b n ＝2n ＋1²log 122n ＝－n ²2n ＋1，∴－S n ＝1³22＋2³23＋3³24＋…＋n ³2n ＋1，①－2S n ＝1³23＋2³24＋3³25＋…＋(n －1)³2n ＋1＋n ³2n ＋2.②①－②，得S n ＝22＋23＋24＋…＋2n ＋1－n ²2n ＋2＝4 1－2n1－2－n ²2n ＋2＝(1－n )2n ＋2－4.4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6. ∴d ＝－3，∴a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝qn －1，即－3n ＋2＋b n ＝qn －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n 3n －12＋(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)，故当q ＝1时，S n ＝n 3n －12＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝n 3n －1 2＋1－q n1－q.[常用结论——记一番]常用裂项公式。