高考数学 考前三个月复习冲刺 专题4 第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型 理

解得 cos θ≤－12， 因为θ∈[0，π]， 所以向量 a，b 的夹角 θ 的取值范围是23π，π，故选 D. 答案 D

点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足 结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为 锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积 小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.

∴83|b|2－23 2|b|2·cos θ－2|b|2＝0.

∴cos

θ＝

2 2.

又∵0≤θ≤π，∴θ＝4π.

答案 A

(2)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝ －2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b夹 角的取值范围是( )

A.0，π6

B.0，3π

变式训练 1 (2015·湖北)已知向量O→A⊥A→B，|O→A|＝3， 则O→A·O→B＝__9______. 解析 因为O→A⊥A→B，所以O→A·A→B＝0. 所以O→A·O→B＝O→A·(O→A＋A→B) ＝O→A2＋O→A·A→B＝|O→A|2＋0＝32＝9.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角

方法三 以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，
则圆O的方程为x2＋y2＝1，
设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0 ，0)， 则P→A·P→B＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)
＝x21－2x1x0＋x20－y21. 由 OA⊥PA⇒O→A·P→A＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0 ⇒x21－x1x0＋y21＝0，

变式训练2 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝ 2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( )

又 x21＋y21＝1，
所以x1x0＝1. 从而P→A·P→B＝x21－2x1x0＋x20－y21 ＝x21－2＋x20－(1－x21)
＝2x21＋x20－3≥2 2－3. 故P→A·P→B的最小值为 2 2－3. 答案 D

点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长 度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知 条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a， b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”. (2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a ＝ 0 或 b ＝ 0 ， 根 据 平 面 向 量 数 量 积 的 性 质 有 |a|2 ＝ a2 ， 但 |a·b|≤|a|·|b|.

例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝2 2 |b|，且(a 3
－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )

π A.4

π

3π

B.2

C. 4

D.π

解析 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0， 即3a2－a·b－2b2＝0. 又∵|a|＝2 3 2|b|，

设〈a，b〉＝θ， 即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，

常考题型精析 高考题型精练

常考题型精析
题型一 平面向量数量积的基本运算 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 题型三 利用数量积求向量的模

题型一 平面向量数量积的基本运算
例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝ 120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF. 若 A→E·A→F＝1，则λ的值为________. 解析 如图， A→E·A→F＝(A→B＋B→E)·(A→D＋D→F) ＝(A→B＋13B→C)·(A→D＋1λD→C)
专题4 三角函数与平面向量
第21练 关于平面向量数量积运算的三类经典题 型

题型分析·高考展望
平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用 十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关 系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、 立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有 选择题、填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合， 进行综合考查.

A.－4＋ 2

B.－3＋ 2

C.－4＋2 2

D.－3＋2 2

解析 方法一 设|P→A|＝|P→B|＝x，∠APB＝θ，

则 tan θ2＝1x，

从而 cos θ＝11－＋ttaann22θ2θ2＝xx22－ ＋11. P→A·P→B＝|P→A|·|P→B|·cos θ

＝x2·xx22－ ＋11＝xx42－＋x12

x2＋12－3x2＋1＋2

＝

x2＋1

＝x2＋1＋x2＋2 1－3≥2 2－3， 当且仅当 x2＋1＝ 2，

即 x2＝ 2－1 时取等号， 故P→A·P→B的最小值为 2 2－3.

方法二 设∠APB＝θ，0<θ<π，

则|P→A|＝|P→B|＝

1 θ.

tan 2

P→A·P→B＝|P→A||P→B|cos θ ＝( 1 θ)2cos θ

＝A→B·A→D＋1λA→B·D→C＋13B→C·A→D＋31λB→C·D→C ＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋31λ×2×2×cos 120° ＝－2＋4λ＋43－32λ＝130λ－23， 又∵A→E·A→F＝1，
∴130λ－23＝1，∴λ＝2. 答案 2

(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为 切点，那么P→A·P→B 的最小值为( )

C.0，6π

D.23π，π

解析 设向量a，b的夹角为θ， 因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5， 所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，

又函数f(x)在R上单调递减， 所以f′(x)≤0在R上恒成立， 所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0， 解得 a·b≤－14|a|2， 因为a·b＝|a||b|·cos θ，且|a|＝2|b|≠0， 所以|a||b|cos θ＝21|a|2cos θ≤－41|a|2，
tan 2 ＝csoins22θ22θ·(1－2sin2θ2) ＝1－sin2θ2sin122θ－2sin2θ2.

令 x＝sin22θ，0<x≤1， 则P→A·P→B＝1－xx1－2x ＝2x＋1x－3≥2 2－3， 当且仅当 2x＝1x，即 x＝ 22时取等号.
故P→A·P→B的最小值Baidu Nhomakorabea 2 2－3.