2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形1.3.2
2014届高考数学复习一轮课件第3单元-三角函数、解三角形-数学(文科)-人教A版-通用
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第三单元 三角函数、解三角形
第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第18讲 三角函数的图象与性质
固
基 础
(1) 已知 sin α ≥0 ，cosα ≥0 ，则 α 是第 一象限 角．( )
(2)角 α 终边上点 P 的坐标为－12， 23，那么 sinα ＝
23，cosα ＝－21；同理角 α 终边上点 Q 的坐标为(x0，y0)， 那么 sinα ＝y0，cosα ＝x0.( )
础 一象限或第四象限，或 y 轴，或 x 轴的非负半轴上．故 α 终
边在第一象限，或 x 轴的非负半轴上，或 y 轴的非负半轴上．
(2)点 P－12， 23在单位圆上，所以 sinα ＝ 23，cosα ＝
－12；而 Q(x0，y0)不一定在单位圆上，所以 sinα ＝y0，cos
α ＝x0 不一定成立．
OA·MP＝21sinα .，扇形 OAP 的面积＝12l·OA＝12α ，△OAT
的面积＝12OA·AT＝12tanα .∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT，即21sin
α <21α <12tanα ，∴sinα <α <tanα . (2)令 MP＝sinα ，OM＝cosα ， ∵MP＋OM＞OP＝1， ∴sinα ＋cosα >1.
则角α 的终边在( )
A．第一象限
数学总复习 第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式 含解析
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书（文）、(理)49～50页)考情分析考点新知掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用.1。
（必修4P105例1改编)已知sinα＝－错误!，α∈错误!，则sin2α＝__________．答案：－错误!解析:∵sinα＝－错误!，α∈错误!，∴α∈错误!，cosα＝错误!。
∴sin2α＝2sinαcosα＝－错误!.2. （必修4P108习题3.2第5(2)题改编)已知α为第二象限角，sin α＋cosα＝错误!，则cos2α＝________．答案：－错误!解析：∵sinα＋cosα＝错误!，∴(sinα＋cosα）2＝错误!，∴2sinαcosα＝－错误!，即sin2α＝－错误!.∵α为第二象限角且sinα＋cosα＝33〉0，∴2kπ＋π2<α〈2kπ＋错误!π（k∈Z），∴4kπ＋π〈2α<4kπ＋错误!π(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α＝－错误!＝－错误!。
3. (必修4P108习题3.2第3题改编）若sin(错误!＋θ）＝错误!，则cos2θ＝________．答案:－错误!解析：∵ sin错误!＝错误!，∴cosθ＝错误!,∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－错误!。
4。
（必修4P106练习第1（1）题改编)函数f（x)＝sinxcosx的最小正周期是________．答案：π解析：∵f（x)＝sinxcosx＝错误!sin2x,∴T＝错误!＝π.5. (必修4P108习题3.2第5（3)题改编）若错误!≤α≤错误!，则错误!＋错误!＝________．答案:－2sin α2解析：∵错误!≤α≤错误!，∴错误!≤错误!≤错误!。
∴1＋sinα＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝－错误!－错误!＝－2sin错误!。
2014届高考数学(文)一轮复习课件：第3章 第6讲简单的三角恒等变换
________；t α＝___ a n ___ __. 8 3 α 2 已知s α＝－ ，且π<α< π，则s ( ) n i n i ＝________； 17 2 2 α α c 2＝________；t 2＝________. o s a n
第三章 第6讲
第10页
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β
1 求s α的值； ( ) n i 2 求β的值． ( )
第三章 第6讲
第17页
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α [审题视点] 1 把α变为2·，利用倍角公式求解． ( ) 2 2 把β变为(β－α)＋α， 用 角 的 式 解 ( ) 利两和公求．
＋β)＝3tanα.
[审题视点] β＝(α＋β)－α.
第三章 第6讲
第24页
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[证明] ∵sin(2α＋β)＝2sinβ， ∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]， ∴sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα
2
α＝________，c o s α＝( n i s α＝2 c o s
2
α＝________. α＝( n i s
2
＋s n 2 i
α＋c α)2,1－s o s n 2 i α，1－c o 2 s α＝2 n i s
α－c α)2， o s
1＋c o 2 s
α. α＋φ)(其中c φ＝ o s
填填 一： 4 1 7 2 1 ( ) 7
4 1 ( ) 5 1 7 －1 7
学业水平考试复习《第三章 三角函数与三角恒等变换》
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★要点解读
3.等差、等比数列的概念及基本运算
例3.已知某等差数列共有10项，其奇数项 之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( C ) A.5 B.4 C.3 D.2
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★要点解读
4.等差、等比数列的性质及其运用 例4 在递增等比数列{an}中， 且an＞0 (n∈N*)， a6 a4 20, a3 a7 64,
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★要点解读 1.不等式的性质 例1 下列结论成立的是 ( B )
A. a b c d a c且b d 2 2 B. ac bc a b c b C. 且c d a b a d D. a b a b
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，
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★要点解读
5．诱导公式. (导引P51 表格)
sin( ) sin(
例1. 化简
2
) tan( )
sin( ) cos(
2
)
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★要点解读
6．三角函数的图象与性质.
先记住函数图像，性质由图可得！
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例2.已知数列的前n项的和 Sn＝3n2 －2n，
求an.
变式：
已知数列的前n项的和Sn＝2n2 ＋2n＋1,求an.
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★要点解读
3.等差、等比数列的概念及基本运算
例3.已知某等差数列共有10项，其奇数项 之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时 同角三角函
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第2课时同角三角函数的基本关系式页)1. (必修4P 16例1改编)α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________．答案：817解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.∵ α为第二象限角，∴ sin α>0，∴ sin α＝817.2. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－523π＝________． 答案：－12解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos(17π＋π3)＝－cos π3＝－12.3. sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________． 答案：2解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.4. (必修4P 21例题4改编)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________．答案：－223解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos[π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α.又－π＜α＜－π2，所以－712π＜5π12＋α＜ －π12.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＝－223，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.5. (必修4P 22习题9(1)改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos ()π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝__________．答案：－2解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （π－θ）＝cos θ－（－cos θ）cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2) 商数关系：tan α＝sin αcos α.2. 诱导公式记忆规律：奇变偶不变，符号看象限． [备课札记]题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P 23第18题改编)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1) 求tan α的值； (2) 将1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 解：(1) (解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①，sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理，得25sin 2α－5sin α－12＝0.∵ α是三角形内角，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(解法2)∵ sin α＋cos α＝15，∴ (sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴ 2sin αcos α＝－2425，∴ (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵ sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴ sin α>0，cos α<0.∵ sin α－cos α>0，∴ sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴ tan α＝－43.(2) 1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵ tan α＝－43，∴ 1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.变式训练已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0，2π)．(1) 求sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2) 求m 的值；(3) 求方程的两根及此时θ的值． 解：(1) 由韦达定理可知 ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①，sin θ·cos θ＝m2②，而sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝ sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2) 由①两边平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，将②代入得m ＝32. (3) 当m ＝32时，原方程变为2x 2－(1＋3)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.∵ θ∈(0，2π)，∴ θ＝π6或π3. 例2 (必修4P 23第10(2)题改编)化简： (1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α1＋cos α)．解：原式＝(（1＋sin α）2cos 2α－（1－sin α）2cos 2α)(（1＋cos α）2sin 2α－（1－cos α）2sin 2α)＝(1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|)(1＋cos α|sin α|－1－cos α|sin α|)＝2sin α|cos α|·2cos α|sin α|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）已知sin α·cos α<0，sin αtan α>0，化简：cos α2·1－sinα21＋sinα2＋sin α2·1＋cosα21－cosα2＝________． 答案：±2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 解析：∵sin α·cos α<0，∴α为第二或第四象限角． 又∵sin α·tan α>0，∴α为第四象限角， ∴α2为第二或四象限角． ∴原式＝cos α2·1－sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2·1＋cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第二象限角，－sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2为第四象限角，∴原式＝±2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin （π－α）＋5cos （2π－α）2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin （－α）的值．解：∵ sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴ －sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴ sin α＝－2cos α，且cos α≠0. ∴ 原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.备选变式（教师专享）已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1) sin(2π－α)；(2) sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z )．解：∵ cos(π＋α)＝－12，∴ －cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，∴ sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32.(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.1. (2013·广东文)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________． 答案：15解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2. 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝________． 答案：－12解析：由条件，知π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴ a 5＝π3，∴ cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－12. 3. 已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________．答案：－24解析：因为sin α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－1－19＝－223，从而tan α＝－24. 4. 已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则cos(α－π6)＝____________．答案：0解析：依题意得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．又－π2＜α＜0，因此α＝－π3，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝cos π2＝0.1. 已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15.(1) 求sinx －cosx 的值； (2) 求tanx 的值．解：(1) ∵ sinx ＋cosx ＝15，∴ 1＋2sinxcosx ＝125，∴ 2sinxcosx ＝－2425，又∵ 0<x<π，∴ sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴ cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴ sinx －cosx ＝1－2sinxcosx ＝75.(2) sinx ＋cosx sinx －cosx ＝17，tanx ＋1tanx －1＝17，tanx ＝－43.2. 已知3cos 2(π＋x)＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，求6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)的值．解：由已知得3cos 2x ＋5sinx ＝1，即3sin 2x －5sinx －2＝0，解得sinx ＝－13或sinx ＝2(舍去)．这时cos 2x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝89，tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝18，故6sinx ＋4tan 2x －3cos 2(π－x)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋4×18－3×89＝－256.3. 已知在△ABC 中，sinA ＋cosA ＝15.(1) 求sinA·cosA；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3) 求tanA 的值．解：(1) 因为 sinA ＋cosA ＝15①，两边平方得1＋2sinAcosA ＝125，所以sinA·cosA＝－1225. (2) 由(1) sinAcosA ＝－1225<0，且0<A<π，可知cosA<0，所以A 为钝角，所以△ABC是钝角三角形．(3) (sinA －cosA)2＝1－2sinAcosA ＝1＋2425＝4925.又sinA>0，cosA<0，sinA －cosA>0， 所以sinA －cosA ＝75②，所以由①，②可得sinA ＝45，cosA ＝－35，则tanA ＝sinA cosA ＝45－35＝－43.4. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18.1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π；② 转化为锐角．3. 在应用诱导公式时需先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.请使用课时训练（A ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
2014高考数学(理)(北师大版)复习方案：第三单元+三角函数、...
任意角和弧度制及任意角的三角函数
(续表)
三角函数 口诀
正弦
余弦
正切
一全正，二正弦，三正切，四余弦
终边相同角的三 角函数值 (k∈Z)(公式一)
sin(α＋k·2π) ＝sinα
cos(α＋k·2π) ＝α
tan(α＋k·2π) ＝tanα
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第17讲
双 向 固 基 础
任意角和弧度制及任意角的三角函数
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使用建议
2．教学指导 鉴于该部分知识的重要性，以及该部分在高考中的考 查特点是重视基础知识和基本方法，教师在引导学生复习 该部分时，要注意如下几个问题： (1)进行考情思路分析，使学生明白该部分在高考中 的考查特点是重视基础，在复习中不要追求难题、偏题和 怪题，只要把基本问题复习透彻即可； (2)由于该部分的选题以基础为主，其中绝大多数问 题学生都能独立完成，在教学中要充分发挥学生的主体地 位，尽量让学生独立完成包括例题在内的题目，教师的职 责在于对方法和规律的总结，在于引导学生解题；
π 2
照课本掌握这两个定理的证明，然后通过例题讲解和变式
训练使学生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形 的题目；
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使用建议
(5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系 的互化，在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题 的基本思想，教师在引导学生复习时，要注重引导学生寻 求合理的边角互化的方向．正弦定理、余弦定理本身就是 一个方程，在三角形问题中注意引导学生使用方程的思想 解题； (6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三 角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出 一些角度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余 弦定理，把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根 据正弦定理和余弦定理加以解决，教师在引导学生思考解 三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生，这 是解三角形实际应用问题的本质所在．
高考数学第一轮复习教案 专题6三角函数、三角恒等变换与解三角形
专题六 三角函数、三角恒等变换与解三角形一、考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 二、考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”． 三、命题热点高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理，并能步运用它们解斜三角形，并结合平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。
高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。
2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数图象
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质1. (必修4P 25练习2改编)函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________． 答案：4π解析：函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π. 2. (必修4P 39第2题改编)将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动 π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 解析：∵ 向右平移π10个单位，∴ 用x －π10代替y ＝sinx 中的x ；∵ 各点横坐标伸长到原来的2倍，∴ 用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴ y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.3. (必修4P 45第9题改编)如图，它表示电流I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin(ωt ＋φ)的解析式为________________．答案：I ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π3t ＋π3解析：由图可知A ＝3，ω＝100π3.代入⎝ ⎛⎭⎪⎫150，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫120，0，解得φ＝π3，于是I ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π3t ＋π3.4. (必修4P 32练习6改编)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递增区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )解析：－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k∈Z )，所求单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )．5. (必修4P 32第5题改编)函数y ＝2sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．答案：[1，2]解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|2. 三角函数的图象和性质“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、 ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、 ⎛⎭⎪⎫3π2，－1、 (2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记]题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 (2013·南京三模)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：23解析：由图象可知函数的四分之三周期为15π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＝34T ，T ＝3π，ω＝2π3π＝23.变式训练已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：由图知，A ＝2，将(0，2)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2代入函数，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12w ＋φ＝2，2sin φ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π4，ω＝3.题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6(x∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx (x∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y ＝2sinx 用6x p +代替x ，左移 6p个单位 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6再用3p 代替x ，各点横坐标伸长到原来的3倍。
高三一轮复习-三角函数、三角恒等变换、解三角形讲义(带答案)
个性化辅导授课教案【重点知识梳理】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β． tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． tan 2α＝2tan α1－tan 2α． 3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 【高频考点突破】考点一 三角函数式的化简与给角求值 【例1】 (1)已知α∈(0，π)，化简： （1＋sin α＋cos α）·（cos α2－sin α2）2＋2cos α＝________．(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝______．【答案】(1)cos α (2) 6 【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．【变式探究】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1(2)化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________．【解析】(1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.法三 (从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2α·cos 2β＝14＋14＝12.【答案】(1)C (2)12考点二 三角函数的给值求值、给值求角【例2】 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)．∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.【规律方法】(1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【变式探究】 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.【解析】(1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.考点三 三角变换的简单应用【例3】 (2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.【规律方法】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【变式探究】 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .【随堂练习】考点一 已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求22cos 3sin 122sin()4AA A π--+ 的值．【解析】 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15.∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴22cos 3sin 122sin()4AA A π--+＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A 1＋tan A＝3134314⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝13. 【方法技巧】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．【变式探究】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．考点二 已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．【方法技巧】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤：①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)根据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【变式探究】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．三、三角函数的图像与性质【考情解读】1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性． 【重点知识梳理】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x |x ∈R ，且x ≠⎭⎬⎫k π＋π2，k ∈Z值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数 奇函数递增 区间 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2递减 区间 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]无对称中心 (k π，0)⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴 方程x ＝k π＋π2x ＝k π无【高频考点突破】考点一 三角函数的定义域、值域【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为____________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3【答案】(1){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z } (2)A【规律方法】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【变式探究】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．【解析】(1)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .【答案】(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3 C.π2 D.3π4(2)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数【答案】(1)A (2)A 【规律方法】(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝A sin ωx 或y ＝A cos ωx ＋b 的形式．【变式探究】 (1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 (2)若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3【答案】(1)A (2)C 考点三 三角函数的单调性【例3】 (1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2]【答案】(1)⎣⎡⎦⎤0，π4 (2)A 【规律方法】(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．【变式探究】 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23B.32C ．2D ．3 (2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．【答案】(1)B (2)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )四、函数)sin(ϕ+=wx A y 的图像【考情解读】1. 了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响；2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 【重点知识梳理】1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.X－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象．2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．【高频考点突破】考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 【解析】(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(3)法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【变式探究】 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【解析】(1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表： 2x －π3－π30 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112图象如图．考点二 利用三角函数图象求其解析式【例2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．【解析】(1)由三角函数图象得T 2＝11π12－7π12＝π3，即T ＝2π3，所以ω＝2πT＝3.又x ＝7π12是函数单调增区间中的一个零点，所以3×7π12＋φ＝3π2＋2k π，解得φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，所以f (0)＝223·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝23.【答案】(1)C (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 【规律方法】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32 B ．－62C. 3 D ．－ 3 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为______．(2)由三角函数图象可得A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2.又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝2，0＜φ＜π，解得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.【答案】(1)D (2)1考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质应用【例3】 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 【规律方法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【变式探究】 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．五、解三角形（正弦定理和余弦定理）【考情解读】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；【重点知识梳理】1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c22bc cos__A；b2＝c2＋a22ca cos__B；c2＝a2＋b2－2ab cos__C常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin__B，c＝2R sin_C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .【高频考点突破】考点一 利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.55(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【解析】(1)由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ，所以sin A ＝BC ·sin BAC ＝3×225＝31010.【答案】 (1)C (2) 3【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．【变式探究】在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝c . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin B sin C 的取值范围．考点二 三角形形状的判断例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2，故选B.【答案】B 【提分秘籍】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 【变式探究】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．考点三 三角形的面积问题例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【解析】(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a ＝ 21.又由正弦定理得sin B sin C ＝b a sin A ·c a sin A ＝bc a 2sin 2A ＝2021×34＝57.【方法技巧】三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 去求．计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用．【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．考点四 解三角形例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【解析】(1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，2分即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.4分则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.6分【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现． 【随堂练习】考点三 正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.【方法技巧】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性．【变式探究】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值． 【解析】(1)由3a ＝2c sin A ，根据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32， 又0<C <π2，则C ＝π3. (2)由已知条件⎩⎨⎧ 12ab sin C ＝332a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6a 2＋b 2－7＝ab ， (a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝3ab ＋7＝25，∴a ＋b ＝5.。
2014年高考高三文科第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形1.3.6
π 3 ④0 ⑤2 ⑥π ⑦2π ⑧2π
3.函数 y＝sinx 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω ＞0)的图象的步骤
题型探究 题型一 作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 π 例 1 已知函数 y＝2sin2x＋3， (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； π (3)说明 y＝2sin2x＋3的图象可由 y＝sinx 的图象经过怎样 的变换而得到．
⑨|φ|
1 1 φ ⑩ω ⑪A ⑫ω ⑬|ω|
⑭A
考点自测 1.已知函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]的图象如 下：那么 ω＝( )
A．1 1 C．2
B．2 1 D．3
2π 解析：由图象可知，函数周期 T＝π，ω＝ T ＝2，故选 B. 答案：B
2．要得到函数 图象( )
sinx 的图象上所有的点向左平移3个单位，得到 y π π ＝sinx＋3的图象， 再把 y＝sinx＋3的图象上的点的横坐标缩 π 1 短到原来的2倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋3的图象，最后 π 把 y＝sin2x＋3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 π 不变)，即可得到 y＝2sin2x＋3的图象．
题型三
解析：
π 1 (1)∵f(x)的图象过点6，2，
1 1 π 1 π 2π ∴2＝2sin3sinφ＋cos 6cosφ－2sin2＋φ. π 3 1 化简 2 sinφ＋2cosφ＝1，即 sinφ＋6＝1. π π 7π π ∵0＜φ＜π，∴6＜φ＋6＜ 6 ，因此 φ＝3.
高三数学一轮复习 第3章 三角函数第6课时 三角恒等变换精品课件
＝cos cos
θ－sin θ＋sin
θ θ
＝11－ ＋ttaann
θ θ
＝11＋ －1212＝3
答案： 3
三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系， 把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的 公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的 方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
(2)点 A 在圆上转动的角速度是3π0rad/s， 故 t 秒转过的弧度数为3π0t， ∴h＝5.6－4.8cos3π0t ，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由 cos3π0t＝－1，得3π0·T＝π，∴t＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为 30 秒．
【变式训练】 3.某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当 年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变 化．
【变式训练】
1.化简：22tacnosπ44x－－x2scions22xx＋＋12π4
解析：
原式＝212·cs4oincso4ππ4s－4－x－xx4·ccooss22xπ4＋－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x
＝2sicnoπ2s2－2x2x＝2ccooss222xx＝12cos 2x.
＝12cos α－12sin α＝
3－1 4.
②
又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2. 由①得 α－β＝±π4， 由②得 α＝π6.由 α、β 为锐角，得 β＝51π2. 从而 2β－α＝23π.
cos β＝cos α－12， ③
2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课时训练第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形1.3.7
即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，
∴A－B＝0，即A＝B.
∴△ABC为等腰三角形．
答案：B
2．满足A＝45°，c＝ ，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()
A．4B．2C．1D．不确定
解析：由正弦定理 ＝ ，得sinC＝ ＝ ＝ .
∴AC＝ ，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，
∴tanC＝ ＝ .
答案：
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝ (a2＋b2－c2)，则C＝__________.
解析：由S＝ (a2＋b2－c2)得 absinC＝ ·2abcosC.
∴tanC＝1.∴C＝ .
∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.
答案：A
3．在△ABC中，若 ＝ ＝ ，则△ABC是()
A．等腰三角形B．等边三角形
C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确
解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，
又0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，
一、选择题
1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得
2· · ＝ ，整理得a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC一定是等腰三角形．
方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
答案：C
2014届安徽高考数学(文)一轮复习策略指导课件：第三章第六节《简单的三角恒等变换》(新人教A版)
π π π (2)∵cos 2x＝sin(2x＋ )＝2sin(x＋ )cos(x＋ )， 2 4 4 π π 2sin（x＋ ）cos（x＋ ） sin x＋cos x 4 4 ∴原式＝ ＝ sin x π 2cos（ ＋x）· sin x 4 1 3 1 ＝1＋ ＝1＋(－ )＝ . tan x 4 4
(2012· 天津高考 )已知函数f(x)＝sin(2x＋ 3 π － )＋2cos2x－1，x∈R. 3 (1)求函数f(x)的最小正周期； π π (2)求函数f(x)在区间[－ ， ]上的最大值和最小值． 4 4
• 从近两年高考看，运用和、差、倍角公式 进行三角函数恒等变形，进而研究三角函 数的性质问题，是各省常考常新的题型， 并多以解答题的形式呈现，常与三角函数 的图象、解三角形相交汇，具有综合性， 试题难度中等，分值12分左右，着重考查 转化思想和计算能力．
• 思想方法之六 用辅助角公式研究三角函 数的性质 π
α cos sin 2 【尝试解答】 原式＝( － α sin cos 2 2α 2α cos － sin 2 2 sin α ＝ · α α cos α sin · cos 2 2 2cos α sin α ＝ · ＝2. sin α cos α
α 2 2sin α 2 )· α 2sin αcos α 2
cos
2α
2α
α
α
2
α
2
α
sin 47°－ sin 17° cos 30° (1)(2012· 重庆高考) ＝( cos 17° 3 A．－ 2 1 B．－ 2 1 C. 2 3 D. 2
)
π π 12 (2)(2013· 合肥模拟)已知 cos( － α)＝ ， α∈ (0， )，则 4 13 4 cos 2α ＝ ________． π sin（ ＋ α） 4
2014年高考全程复习构想高三文科数学一轮复习课时训练第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形1.3.3
解析：原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－ ，故选B.
答案：B
4．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值ຫໍສະໝຸດ ()A. B. C. D.
解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tanβ的值．
解析：(1)∵tan(π＋α)＝－ ，∴tanα＝－ ，
∵tan(α＋β)＝ ＝
＝
＝
＝
＝ ，
∴tan(α＋β)＝ ＝ .
(2)∵tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝ ，
∴tanβ＝ ＝ .
答案：A
6．若f(x)＝2tanx－ ，则f 的值为()
A．－ B．8 C．4 D．－4
解析：f(x)＝2tanx＋ ＝2tanx＋ ＝ ＝ ，
∴f ＝ ＝8.
答案：B
二、填空题
7．若sin ＝ ，则sin2x＝__________.
解析：∵sin ＝ ，
∴ cosx－ sinx＝ (cosx－sinx)＝ .
＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)
＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]
＝sin45°＝ .
答案：B
5．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C的大小为()
A. B. C. 或 π D. 或 π
解析：两式平方相加可得9＋16＋24sin(A＋B)＝37，sin(A＋B)＝sinC＝ ，所以C＝ 或 π.如果C＝ π，则0＜A＜ ，从而cosA＞ ，3cosA＞1与4sinB＋3cosA＝1矛盾(因为4sinB＞0恒成立)，故C＝ .
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考纲点击 π 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出2± α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式. sinx 2 2 2.理解同角三角函数的基本关系式：sin x＋cos x＝1，cosx ＝tanx.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.同角三角函数的基本关系式 基本关系式：①__________＝1，tanα＝②__________.
(2)当 n＝2k(k∈Z)时， 2 4 原式＝sin2kπ＋3π· 2kπ＋3π cos 2 4 ＝sin3π·cos3π π π －cos ＝sin3· 3 3 1 ＝ 2 ×－2 3 ＝－ 4 .
当 n＝2k＋1(k∈Z)时， 2 4 原式＝sin2k＋1π＋3π· 2k＋1π＋3π cos 2 4 ＝sinπ＋3π· π＋3π cos 2 π ＝－sin3π·cos3 π π ＝－sin3· 3 cos 3 1 3 3 ＝－ 2 ×2＝－ 4 . ∴原式＝－ 4 .
变式探究 2 2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α (1) 设 f(a) ＝ 3π π (1 ＋ 1＋sin2α＋cos 2 ＋α－sin22＋α 23 2sinα≠0)，求 f－ 6 π的值． 2 4 (2)化简 sinnπ＋3π· nπ＋3π(n∈Z)． cos
解析： －2sinα－cosα＋cosα (1)∵f(a)＝ 1＋sin2α＋sinα－cos2α 2sinαcosα＋cosα cosα1＋2sinα 1 ＝ ＝ ＝ ， 2sin2α＋sinα sinα1＋2sinα tanα 23π 1 1 1 － ＝ ∴f 23π＝ 6 π＝ π＝ 3. tan－ 6 tan－4π＋6 tan6
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例 x2＋y2 y x 如：∵sinα＝r ，cosα＝r ，∴sin2α＋cos2α＝ r2 ＝1. (2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符 号，需要根据角 α 的范围进行确定． (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角 函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又 提供了一种重要的方法．
)
3π sinθ＋cosθ 5．若 ＝2，则 sin(θ－5π)·sin 2 －θ等于( sinθ－cosθ 4 3 3 3 A.3 B．± 10 C.10 D．－10
)
sinθ＋cosθ 解析：由 ＝2，可得 tanθ＝3， sinθ－cosθ 3 ∴sin(θ－5π)sin2π－θ＝(－sinθ)(－cosθ) sinθcosθ tanθ 3 ＝ 2 ＝10. 2 ＝ 2 sin θ＋cos θ tan θ＋1 答案：C
点评： ①对于 sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 这三个式子，已 知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为 (sinα± cosα)2＝1± 2sinαcosα； ②关于 sinα，cosα 的齐次式，注意化为关于 tanα 的式子．
变式探究 1 已知 sinθ， cosθ 是方程 4x2－4mx＋2m－1＝0 3π 的两个根， 2 ＜θ＜2π，求 θ.
2 3 当 cosA＝－ 2 时，cosB＝－ 2 . 又 A、B 是三角形的内角， 3 5 ∴A＝4π，B＝6π，不符合题意． π π 7 综上，A＝4，B＝6，C＝12π.
点评：已知角 α 的三角函数值求角 α 的一般步骤是：①由 三角函数值的符号确定角 α 所在的象限； ②据角 α 所在的象限 求出角 α 的最小正角； ③最后利用终边相同的角写出角 α 的一 般表达式．
方法二 1 ∵sinα＋cosα＝5， 1 1 2 2，即 1＋2sinαcosα＝ . ∴(sinα＋cosα) ＝ 5 25 24 ∴2sinαcosα＝－25. 24 49 2 ∴(sinα－cosα) ＝1－2sinαcosα＝1＋25＝25. 12 ∵sinαcosα＝－25＜0 且 0＜α＜π， ∴sinα＞0，cosα＜0. ∴sinα－cosα＞0.
)
解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)· cosα＋1 ＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 答案：D
5 3．已知 sinα＝ 5 ，则 sin4α－cos4α 的值为( 3 1 1 3 A．－5 B．－5 C.5 D.5
4 4 2 2 2
)
1 解析：∵sin α－cos α＝sin α－cos α＝2sin α－1＝2×5－1 3 ＝－5. 答案：A
题型探究 题型一 同角三角函数的基本关系的应用 1 例 1 已知 α 是三角形的内角，且 sinα＋cosα＝5. (1)求 tanα 的值； 1 (2)把 2 用 tanα 表示出来，并求其值． cos α－sin2α
1 sinα＋cosα＝ ， ① 5 解析：(1)方法一，联立方程 sin2α＋cos2α＝1， ② 1 由①得 cosα＝5－sinα. 将其代入②，整理得 25sin2α－5sinα－12＝0. 4 sinα＝5， 4 ∵α 是三角形的内角，∴ ∴tanα＝－3. 3 cosα＝－ . 5
考点自测 1.sin210° 等于( ) 3 3 A. 2 B．－ 2
1 C.2
1 D．－2
1 解析：sin210° ＝sin(180° ＋30° )＝－sin30° ＝－2. 答案：D
2．sin2(π＋α)－cos(π＋α)· cos(－α)＋1 的值为( A．1 B．2sin2α C．0 D．2
7 ∴sinα－cosα＝5. 1 sinα＋cosα＝5， 由 sinα－cosα＝7， 5 4 ∴tanα＝－3.
4 sinα＝5， 得 cosα＝－3. 5
sin2α＋cos2α sin2α＋cos2α tan2α＋1 cos2α 1 (2) 2 2 ＝ 2 2 ＝ 2 2 ＝ cos α－sin α cos α－sin α cos α－sin α 1－tan2α cos2α 4 ∵tanα＝－3， 4 － 2＋1 2 tan α＋1 3 1 25 ∴ 2 ＝ ＝ 4 ＝－ 7 . cos α－sin2α 1－tan2α 1－－32
2
题型二
诱导公式的应用 sinπ－αcos2π－αtan－α＋π 例 2 已知 f(α)＝ ； －tan－α－πsin－π－α (1)化简 f(α)； 3π 1 (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－ 2 ＝5，求 f(α)的值．
解析： sinα· cosα· －tanα (1)f(α)＝ ＝－cosα. tanαsinα 3π (2)∵cosα－ 2 ＝－sinα， 52－12 1 2 2 ∴sinα＝－5，cosα＝－ 5 ＝－5 6，∴f(α)＝5 6. 点评：熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应 用原则是：角化正、大化小、化到锐角为终了．
1 变式探究 3 在△ABC 中，sin(π－A)－cos(π－A)＝5. (1)求 sinA· cosA； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求 tanA 的值．
解析： 1 (1)∵sinA＋cosA＝5， 1 12 ∴两边平方得 1＋2sinAcosA＝25，∴sinA· cosA＝－25. 12 (2)由(1)sinAcosA＝－25＜0，且 0＜A＜π， 可知 cosA＜0，∴A 为钝角， ∴△ABC 是钝角三角形．
24 49 (3)∵(sinA－cosA) ＝1－2sinAcosA＝1＋25＝25， 又 sinA＞0，cosA＜0， 7 ∴sinA－cosA＞0，∴sinA－cosA＝5.② 4 3 ∴由①，②可得 sinA＝5，cosA＝－5， 4 5 sinA 4 ∴tanA＝cosA＝ 3＝－3. －5
sinα ①sin α＋cos α ②cosα
2 2
2．诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 2kπ＋α π π 角 π＋α －α π－α 2－α 2＋α (k∈Z) 正弦 ③____ ④____ ⑤____ ⑥____ ⑦____ ⑧____ 余弦 ⑨____ ⑩____ ⑪____ ⑫____ ⑬____ ⑭____ 正切 ⑮____ ⑯____ ⑰____ ⑱____ 函数名不变 函数名改变 口诀 符号看象限 符号看象限
题型三
同角三角函数基本关系和诱导公式的综合
例 3 在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA ＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
解析：
sinA＝ 2sinB， 由已知，得 3cosA＝ 2cosB.
2 2 2
① ②
2 ① ＋② ，得 2cos A＝1，得 cosA＝± 2 . 2 3 ①当 cosA＝ 2 时，cosB＝ 2 ， π π 又 A、B 是三角形的内角，∴A＝4，B＝6. 7 ∴C＝π－(A＋B)＝12π.
③sinα ④－sinα ⑤－sinα ⑥sinα ⑦cosα ⑧cosα ⑨cosα ⑩－cosα ⑪cosα ⑫－cosα ⑬sinα ⑭－sinα ⑮tanα ⑯tanα ⑰－tanα ⑱－tanα
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的同 锐角 名函数值， 前面加上一个把 α 看成⑲______时原函数值的符号； π α 2± 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，前 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
k 2．三角函数诱导公式 f2π＋α(k∈Z)的本质 k 三角函数诱导公式 f2π＋α(k“奇变偶不变，符号看象限”含义的理 π 解：即诱导公式的左边为2· k＋α(k∈Z)的正弦或余弦函数，当 k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的 函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义