第二讲 概念(一)

25⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩加 减 乘 运 算 特 征计 算奇 数 偶 数代 数奇 偶 性 判 断图 论生 活 运 用判 断 方 法质 数 和 常 见 质 数 运 用 数 字 的 拆 分质 因 数、互 助质 数 合 数特 殊 数 分 解分 解 质 因 数利 用 质 因 数 拆 分 数分 解 质 因 数 综 合末 尾 有 0数 论因 数 倍 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩最 大 公 因 数最 小 公 倍 数数因 数 个 数因 数 之 和末 位 系整 除 特 征和 系差 系余 数 和余 数 定 理余 数 差余 数 积余 同同 余 问 题补 同剩 余 定 理一、 整除1. 定义：当两个整数a 和b （0b ≠），a 被b 除的余数为零时（商为整数），则称a 被b 整除或b 整除a ，也把a 叫做b 的倍数，b 叫a 的约数，记作b a ，如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不知识网络概念（一）知识积累能被b整除，或b不整除a，记作b a.2.常见数字的整除判定方法1)末位系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2)和系：一个各位数数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除；一个数从右往左，两位一节，每节数之和能被33或99整除，这个数就能33或99被整除；一个数从右往左，三位一节，每节数之和能被333或999整除，这个数就能333或999被整除；3)差系：如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；三位一节，奇数节数之和与偶数节数之和的差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；4)9的乱切法：如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除；二、带余除法的定义及性质1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2、余数的性质1)被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；2)余数小于除数．三、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3 －1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．四、同余定理1.定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

2.重要性质及推论：1)若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711（）能被3整除．2)用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)3.余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．1)整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；2)整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；3)整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；4)整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；5)整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；6)整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．五、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的。

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。

这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。

【例1】只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是（ ）【例2】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小，这个数是（ ）【例3】1990666667个的余数是（ ）【例4】9437569与8057127的乘积被9除，余数是（ ）【例5】一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0），这个整数是（ ）思维突破【例6】小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。

那么该题的余数是（ ）【例7】一个数，除26余2，除53余5，除39余3，这个数是（ ）【例8】除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是（ ）【例9】在□内填上适当的数字，使七位数1992能同时被9、25、8整除，这个七位数是（）【例10】已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，那么这些自然数有（ ）个。

【例11】975935972⨯⨯⨯（），要使这个连乘积的最末4个数字是0，那么括号内最小应填（ ）【例12】3=1008A B ⨯，其中A 、B 均为自然数，B 最小等于（ ）【例13】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒。

那么把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子可得（）粒。

【例14】两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是（）【例15】四个连续自然数的最小公倍数是5460，这四个数的和是（）【例16】排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，最少需要（）人参加团体操的排练。

【例17】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数，已知这两个4位数的和是以下5个数中的一个：①9865、②9866、③9867、④9868、⑤9869，这两个4位数的和是（）【例18】三个质数△、□、○，如果□>△>1,△+□=○,那么△=（）【例19】641除以一个两位数，余数是46，这个两位数是（）【例20】把自然数A的所有的约数两两求和，又得到若干个自然数，在这些数中，最小的是3，最大的是2250。

A=（）【例21】如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于（）【例22】有一些数字卡片，上面写的数都是3的倍数或4的倍数。

其中3的倍数卡片占23，4的倍数的卡片占34，12的倍数的卡片有15张。

那么这些卡片一共有（）张。

【例23】100这个数最多能写成（）个不同的正整数之和。

【例24】已知五位数547a b能同时被3和5整除，这样的五位数共有（）个。

【例25】已知36156xyz，欲使商最小，则xyz=（）。

【例26】有四个不同的大于1的自然数，它们的和是23，积是其中一个数的66倍。