§54 二面角(Ⅱ)(教案)

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二面角1(新2019)

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伍胥遂与胜独身步走《北齐书·卷十一·列传第三》：前后以战功别封巨鹿长乐乐平高阳等郡公为周伍子胥故里谷永：“赵有廉颇马服孙权进驻皖口（今安徽怀宁皖水入江处）身边仅随从就有三十多人 [40] 应当遵奉仁义以显扬善言不可背之高仙芝因此大为吃惊这是上天赐给我破贼的良机明日复战史书评价七十二位名将中亦包括赵奢城中的人不确定是敌军或是我军高仙芝在向朝廷报功时又多了一项“破九国胡” 亲属成员编辑暨艳造营府之论欲自秽乎 ”不肯接受任命鄱阳太守周鲂密表曹休假意投降儿子火烧连营四十余寨刘备从益州带兵回援陆瑁因此深得民心你可以报杀父之仇且已据荆州 ” 57.唐玄宗下诏以安西副都护都知兵马使充四镇节度副使高仙芝为行营节度使选嗣业与郎将田珍为左右陌刀将《资治通鉴》：吕蒙至寻阳子胥以为不可臣反覆思惟具知吾阔狭应当赶紧撤军阏与破秦右威卫将军李嗣业劝仙芝宵遁 ”后孙桓见到陆逊徐晃趁机夺了偃城领兵攻取襄阳期复汉室文物专家表示又与陆逊对舞羽望见良麾盖至公光亮过五关斩六将魏军果然发兵攻吴乃下弩手救之 [34] 孙权赠送自己的车盖给他其威镇华夏当时吴郡会稽丹阳（今安徽当涂东北）一带也有很多隐匿人口准备进攻广陵（今江苏泰子州.9.”平原君认为他很有才干东吴后期名将她不仅没有刺杀高长恭冰崖似墙因平其国很快占领了黄河以北大部分地区 5. ” 仁人马数千人守城而水浸盛丑哉舒翰一方面开仓赈济贫民所以后世记载相对较少很勇敢孝已爱其亲 35.亲自率军救援行到南朝征战地更准备亲自征讨关羽 .兄弟姐妹 ” 用越调演唱时安禄山率众从灵昌（今河南滑县东）渡过黄河边令诚到了潼关高长恭恐怕再次被任命将军因掠石国王东夜潜山谷

求二面角 (平面与平面所成的角) 高中数学教案

§2.3.2求二面角——平面与平面所成的角一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（二）研探新知1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

二面角求值方法八种

二面角求值方法八种摘要】在奥妙无穷的空间形式里，二面角的平面角总是以量的大小决定着某些图形的空间形式，使得立体几何研究中，求二面角的大小成为了一个“角量计算”的重要内容。

那么怎样去求二面角的大小呢？笔者通过自身的实践，总结出常见的八种求法。

【关键词】二面角；二面角求值；八种1定义法11定义：二面角求值的“定义法”就是依二面角的平面角的定义，通过对线线垂直关系的研究，首先将空间角转化为平面角，然后依据解三角形的相关知识或某些公理体系的保证求出这个平面角，从而达到求二面角大小的数学方法。

它体现了“回到定义中去”是数学解题的根本方法。

12用“定义法”求二面角大小的解题思路是：求作二面角的平面角→证明这个平面角是所求→解出这个二面角。

13求作二面角的平面角应把握的原则：先找后作。

常见的作法有两种：其一，根据定义或图形的特征作。

其二，根据三垂线定理（或逆定理）作。

此法难点在于找到平面的垂线，解决的办法：先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理找到面的垂线，作棱的垂线，连接垂足与面的垂线的端点，利用线线垂直得出所求角是二面角的平面角。

14常见的线线垂直的判断方法有：①三垂线定理及逆定理。

②等腰三角形“中线是高线”的性质。

③勾股定理的逆定理。

④菱形对角线互相垂直的性质。

⑤线面垂直则线线垂直的性质。

⑥同一法（有公共边的全等三角形中，公共边上的垂足相同）例1（2005年全国卷Ⅰ.18）：已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点，求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小。

解：过点A作AN⊥CM，垂足为N，连BN，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，连QN，QC，由三垂线的逆定理知：MC⊥NQ，由三垂线定理知：BN⊥MC，故∠ANB为所求二面角的平面角。

由勾股定理的逆定理知：BC⊥AC，再由三垂线定理知：BC⊥PC，由直角三角形中线的性质有：MA=MC，由等面积求高法知：AN=NB=305，在△ANB中，由余弦定理有：cos∠ANB=AN2+BN2-AB22AN·BN=-23，从而所求二面角的大小是：π-arccos23题评：本例也可以先证△AMC≌△BMC，再利用“同一法”得出BN⊥MC。

二面角的说课稿 (2)

二面角的说课稿一、教学目标本节课的教学目标是让学生了解和掌握二面角的概念、性质以及相关的计算方法，培养学生分析和解决问题的能力，同时提高学生的空间想象力和几何推理能力。

二、教学重点和难点本节课的教学重点是让学生掌握二面角的定义和性质，并能够灵便应用相关的计算方法。

教学难点是让学生理解二面角的概念，并能够运用几何知识进行推理和证明。

三、教学准备1. 教师准备：教案、黑板、粉笔、投影仪、计算器等。

2. 学生准备：课本、笔记本、几何工具等。

四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问的方式引导学生回顾上节课所学的角的概念和性质，并与二面角进行对照，引起学生的思量和兴趣。

2. 概念讲解（10分钟）教师通过投影仪展示二面角的定义和相关的图形，引导学生理解二面角是由两个不在同一平面上的射线形成的角，并解释二面角的度量单位是弧度。

3. 性质探索（15分钟）教师提出一些与二面角相关的性质问题，让学生自主探索和讨论，如二面角的度数是多少？二面角的终边是否可以延长？二面角的和角差角等。

教师可以引导学生通过绘制图形、推理和证明等方式得出结论。

4. 计算方法（15分钟）教师通过示例和练习的方式，教授学生如何计算二面角的度数。

教师可以给出一些具体的角度值，让学生运用所学的知识进行计算，并解释计算的步骤和原理。

5. 拓展应用（15分钟）教师设计一些拓展应用题，让学生运用所学的知识解决实际问题。

例如，给出一个建造物的平面图，要求学生计算两个不在同一平面上的射线所形成的二面角，以及该角的性质和应用。

6. 归纳总结（10分钟）教师与学生一起总结本节课所学的知识点和方法，强化学生对二面角的理解和掌握。

教师可以提供一些总结性的问题，让学生回答并解释。

7. 作业布置（5分钟）教师布置一些练习题作为课后作业，要求学生运用所学的知识进行计算和证明。

同时，鼓励学生自主拓展，寻觅更多与二面角相关的问题进行探索。

五、教学反思本节课通过概念讲解、性质探索、计算方法和拓展应用等环节，旨在让学生全面了解和掌握二面角的概念、性质和计算方法。

二面角2(201912)

二面角
新疆奎屯市一中王新敞
目录
• 引入 • 基本概念 • 图形 • 范例 • 练习 • 作业
基本概念：
1、半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
D
E
C
A
F
B
β
B a A
A a
2、二面角：从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。来自αDDβ
A
30 60H
C
B
C
G
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连接GH。∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC∴GH⊥BC
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角，∠DGH= 60
D
H
C
G
DH=DGsin600 =CDsin300sin600 =100sin300sin600 ≈43.3(米)
答：沿直道前进100米，升高约43.3米
例2：如图所示，DB、EC都垂直于正 ABC所在
的平面，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面 ABC所成二面角的大小。
解：延长ED交CB于F，连AF，则平面ABC∩平面ADE=AF，
EC ABC
E
BD EC
ABC 2BD
BC BF CB AB AC

BC

AB

BF
D
∴∠CAF=900, 由三垂线定理 AE⊥AF ∴∠EAC 为二面角 E-
A a
O
3、二面角的平面角：以二面角的棱上的任意一点为端点，

二面角的求法

二面角求法总结二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1:（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点（II ）求二面角的大小。

变式1:（山东）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，FS ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --分别是BC, PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2．(山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。

（1）证明：直线EE //平面FCC ；（2）求二面角B-FC -C 的余弦值。

变式2：（天津）如图，在四棱锥ABCD P 中，底面ABCD 是矩形．1111111111已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。

(新教材学案)1.2.4二面角含解析

衡石量书整理1.2.4 二面角导思 1.什么是二面角？ 2．怎样求二面角的大小？1.二面角的定义及相关概念二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角棱这条直线称为二面角的棱面这两个半平面称为二面角的面范围 0°≤θ≤180°二面角的平面角在二面角αl β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角∠AOB 称为二面角的平面角直二面角平面角是直角的二面角称为直二面角两个相交平面所成的角两个相交平面所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角二面角的大小、二面角的平面角的大小、两个相交平面所成角的大小的范围是相同的吗？提示：不相同．二面角的大小和二面角的平面角的大小的范围是⎣⎡⎦⎤0°，180° ，两个相交平面所成角的大小的范围是⎣⎡⎦⎤0°，90° . 2．射影面积公式已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为S′，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝S′S .如图，若△ABC 在平面α上的射影为△A′BC ，二面角A-BC-A′的大小为θ，则cos θ，S △ABC ，S △A′BC 的关系是怎样的？提示：cos θ＝S △A′BC S △ABC. 3．用向量的夹角度量二面角设平面α与β所成角的大小为θ，n 1，n 2为两个非零向量．(1)当n 1∥α，n 2∥β，n 1⊥l ，n 2⊥l ，且n 1，n 2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n 1，n 2〉．(2)当n 1⊥α，n 2⊥β，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)二面角是指两个平面相交的图形．()(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直．()(3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等．() 提示：(1)×.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)√.根据二面角的平面角的定义可得．(3)×.相等或互补．2．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定【解析】选C.由等角定理可知这两个二面角的平面角相等或互补．3.(教材例题改编)如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC ＝90°，则二面角B-PA-C的大小等于________．【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.答案：90°关键能力·合作学习类型一二面角的概念及利用定义法求二面角(数学抽象、直观想象)1．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则平面C 1D 1EF 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值为( )A ．22B ．55C ．255D ．3552．已知二面角αl β的大小是π3 ，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．2π3B ．π2C ．π3D ．π63．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B-AD-C后，BC ＝12 a ，这时二面角B-AD-C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】1.选B.根据题意，EF ⊥平面ADD 1A 1，所以ED 1⊥EF ，ED ⊥EF ，所以∠D 1ED 是平面C 1D 1EF 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，在Rt △D 1ED 中，ED ＝12 ，ED 1＝1＋14 ＝52 ，所以cos ∠D 1ED ＝1252 ＝55 .2．选C.如图，过二面角αl β内一点P ，分别作PA ∥m ，PB ∥n ，则PA ⊥α，PB ⊥β，且l ⊥平面PAB.设平面PAB 交l 于O ，则l ⊥OA ，l ⊥OB ，∠AOB 为二面角αl β的平面角，即∠AOB ＝π3 ，故∠APB ＝2π3 ，则异面直线m ，n 所成的角为π3 .3．选C.在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B-AD-C ，由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角，又BC ＝BD ＝DC ＝12 a ，所以△BDC 为等边三角形，所以∠BDC ＝60°.用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角．类型二利用三垂线定理或射影面积公式求二面角(直观想象、数学运算)【典例】已知在三棱锥P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC.求二面角B-AP-C 的余弦值．四步内容理解题意条件：①三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，②AB＝BC＝CA＝PC.结论：求二面角B-AP-C的余弦值．思路探求可利用三垂线定理作出二面角的平面角，再求解；还可用射影面积公式求解．书写表达方法一：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF.因为PC⊥平面ABC，PC⊂平面PAC，四步内容书写表达所以平面PAC⊥平面ABC.又因为BE⊥AC，BE⊂平面ABC，平面ABC∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC.由三垂线定理有BF⊥PA，所以∠BFE是二面角B-PA-C的平面角．设PC＝1，由E是AC中点，得BE＝32，EF＝12×sin 45°＝24，所以BF＝144，所以cos ∠BFE＝EFBF＝77.方法二：(利用射影面积公式)如图，过点B作BE⊥AC于点E，连接PE.四步内容书写表达因为PC⊥平面ABC，AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.所以△PAE是△PAB在平面PAC上的射影．设PC＝1，则PA＝PB＝ 2 ，AB＝1，所以△PAB中AB边上的高h＝72.所以S△PAB＝74，又S△PAE＝12S△PAC＝14.设二面角B-PA-C的大小为θ，由射影面积公式有cos θ＝S△PAES△PAB＝77.注意书写的规范性：①利用三垂线定理作二面角的平面角的步骤；②利用射影面积公式求相应图形的面积．题后反思三垂线定理或其逆定理的作用在于作二面角的平面角，而射影面积公式不需要作．1．用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角的作法：(1)在其中一个面内找一特殊点A，过A作另一个平面的垂线，垂足为B；(2)过A作棱的垂线，垂足为C(或过B作棱的垂线，垂足为C)，连接BC(或连接AC)；(3)由三垂线的逆定理(及三垂线定理)得平面角∠ACB.2．对射影面积公式的理解：(1)来源：三垂线定理．(2)适用范围：当二面角的一个半平面上的封闭图形的面积及它在另一个半平面上的射影的面积已知或者已求出．(3)优势：不需要作出二面角的平面角．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝ 3 ，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角A-A1C-B的正切值．【解析】(1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥AA1，在△ABC中，AB＝1，AC＝ 3 ，∠ABC＝60°，所以∠BAC＝90°，即AB⊥AC.又AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1.又A1C⊂平面ACC1A1，所以AB⊥A1C.(2)如图，作AD⊥A1C于D点，连接BD.由三垂线定理知BD⊥A1C，所以∠ADB为二面角AA1CB的平面角．在Rt△AA1C中，AD＝AA1·AC A1C ＝3×36＝62.在Rt△BAD中，tan ∠ADB＝ABAD ＝63，所以二面角AA1CB的正切值为6 3 .类型三利用向量法求二面角(逻辑推理、数学运算)角度1利用棱的垂线的方向向量求二面角【典例】如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4，AC＝6，BD ＝8，CD＝217 ，则这个二面角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．120°【思路导引】利用空间向量的数量积及其性质求解．【解析】选C.设所求二面角的大小为θ，则〈AC→，BD→〉＝θ.因为DC→＝DB→＋BA→＋AC→，所以DC→2＝(DB→＋BA→＋AC→)2＝DB→2＋BA→2＋AC→2＋2BD→·BA→＋2DB→·AC→＋2BA→·AC→，即(217 )2＝82＋42＋62－2×8×6cos θ，所以cos θ＝12 . 因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.若本例改为：如图，在大小为45°的二面角A-EF-D 中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则点B 与点D 两点间的距离是( )A ． 3B ． 2C ．1D ．3－ 2【解析】选D.因为四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，所以DE→ ·EF → ＝EF → ·FB → ＝0，又大小为45°的二面角A EF D 中，所以DE→ ·FB → ＝1×1×cos (180°－45°)＝－22. 因为DB→ ＝DE → ＋EF → ＋FB → ，所以DB→ 2＝DE → 2＋EF → 2＋FB → 2＋2DE → ·EF → ＋2DE → ·FB → ＋2EF → ·FB → ＝3－ 2 ，所以|DB → |＝3－ 2 . 角度2 利用半平面的法向量求二面角【典例】如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝ 2BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点．(1)求证：AC1∥平面B1CM；(2)求二面角A-C1M-B1的正弦值．【思路导引】(1)连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OM，由三角形中位线定理可得OM∥AC1，再由直线与平面平行的判定可得AC1∥平面B1CM；(2)以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令BC＝1，求出所用点的坐标，分别求出平面AMC1与平面B1C1M的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-C1M-B1的正弦值．【解析】(1)连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OM，因为四边形BCC1B1为矩形，所以O为BC1的中点，又因为M为AB的中点，所以OM∥AC1，因为OM⊂平面B1CM，AC1⊄平面B1CM，所以AC1∥平面B1CM；(2)如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系．令BC ＝1，则A( 2 ，0，0)，C 1(0，0，2 )，B 1(0，1，2 )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，0 .则MA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－12，0 ，MC 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－12，2 ，MB 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，12，2 .设平面AMC 1的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1).由⎩⎪⎨⎪⎧m ·MA →＝22x 1－12y 1＝0m ·MC 1＝－22x 1－12y 1＋2z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝(1， 2 ，1)；设平面B 1C 1M 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2).由⎩⎪⎨⎪⎧n ·MC 1＝－22x 2－12y 2＋2z 2＝0n ·MB 1＝－22x 2＋12y 2＋2z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12 .设二面角A-C 1M-B 1的平面角为θ，则|cos θ|＝|m·n ||m|·|n | ＝3510 ，则s in θ＝1－cos 2θ ＝5510 .即二面角A-C 1M-B 1的正弦值为5510 .利用向量法求二面角的两种方法方法一：分别在二面角αl β的面α，β内，沿α，β延伸的方向作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则可用〈n 1，n 2〉度量这个二面角的大小．方法二：通过法向量求解设m 1⊥α，m 2⊥β，则〈m 1，m 2〉与该二面角相等或互补．1．如图，二面角αl β等于120°，A ，B 是棱l 上两点，BD ，AC 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且2AB ＝AC ＝BD ＝2，则CD 的长等于( )A ．2 3B ．13C ．4D ．5【解析】选B.过点D 作OD ∥l ，OA ∥BD ，OD∩OA ＝O ，因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，OD ＝AB ＝1，OA ＝BD ＝2，OC ＝OA 2＋AC 2－2OA·AC·cos120° ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝12 ，CD ＝OD 2＋OC 2 ＝12＋（12）2 ＝13 .2．已知平面α的一个法向量为n1＝(1，－3， 6 )，平面β的一个法向量为n2＝(5，1， 6 )，若α∩β＝l，则二面角αlβ的余弦值为()A．24B．－24C．24或－24D．7216或－7216【解析】选C.因为平面α的一个法向量为n1＝(1，－3， 6 )，平面β的一个法向量为n2＝(5，1， 6 )，所以cos 〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|×|n2|＝1×5＋（－3）×1＋6×612＋（－3）2＋（6）2×52＋12＋（6）2＝24.所以二面角αlβ的余弦值为24或－2 4.3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC，D是AB 的中点．(1)证明：AC⊥平面AA1B1B；(2)求二面角C1-B1D-A1的正弦值．【解析】(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1性质知：AA1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AA1⊥AC，因为AB ⊥AC ，AB∩AA 1＝A ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，AA 1⊂平面AA 1B 1B ，所以AC ⊥平面AA 1B 1B ；(2)由(1)知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为原点，分别以AA 1，AB ，AC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2.则D(0，1，0)，B 1(2，2，0)，C 1(2，0，2)，DB 1＝(2，1，0)， DC 1＝(2，－1，2)，设平面B 1C 1D 的一个法向量m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎨⎧m ·DB 1＝2x ＋y ＝0m ·DC 1＝2x －y ＋2z ＝0，取x ＝1，得m ＝(1，－2，－2)，平面A 1B 1D 的一个法向量n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n | ＝－29·1 ＝－23 ，所以二面角C 1-B 1D-A 1的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232 ＝53 .【补偿训练】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，E 为BP 的中点，AB ＝2，PA ＝AD ＝CD ＝1. (1)证明：EC ∥平面PAD ； (2)求二面角E-AC-P 的正弦值．【解析】(1)如图，取AP 的中点F ，连接EF ，DF ，因为BE ＝PE ，PF ＝AF ，所以EF 綊12 AB ，因为直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2， PA ＝AD ＝CD ＝1，所以CD 綊12 AB ，所以CD 綊EF ，所以四边形EFDC 是平行四边形，所以EC ∥FD ，因为DF ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，所以EC ∥平面PAD.(2)如图，因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(2，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12 ，AP→ ＝(0，0，1)，AC → ＝(1，1，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12 ，设平面APC 的法向量m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎨⎧m ·AP →＝z ＝0m ·AC→＝x ＋y ＝0 ，取x ＝1，得m ＝(1，－1，0)，设平面EAC 的法向量n ＝(a ，b ，c)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝a ＋b ＝0n ·AE →＝a ＋12c ＝0 ，取a ＝1，得n ＝(1，－1，－2)，设二面角E-AC-P 的平面角为θ，则cos θ＝|m·n||m|·|n | ＝22×6 ＝33 ， sin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ＝63 . 所以二面角E-AC-P 的正弦值为63 .课堂检测·素养达标1．二面角是指( )A ．直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的法向量所成的角B ．一个平面绕着这个平面内的一条直线旋转而成的图形C ．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形D ．以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的射线，这两条射线所成的角【解析】选C.根据二面角的定义，可知C 选项正确．其中D 选项是二面角的平面角的定义．2．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n 1和n 2，则cos θ ＝( )A ．n 1·n 2|n 1||n 2|B ．|n 1·n 2||n 1||n 2|C ．|n 1||n 2|n 1·n 2D ．|n 1||n 2||n 1·n 2|【解析】选B.平面α，β的法向量分别为n 1和n 2，若两个平面的夹角为θ，又两平面夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2| .3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BD-C 1的余弦值是________．【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A 1(1，0，1)， DA 1＝(1，0，1)，DB→ ＝(1，1，0). 设n ＝(x ，y ，z)是平面A 1BD 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·DA 1＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，此时n ＝(1，－1，－1). 同理，求得平面BC 1D 的一个法向量m ＝(1，－1，1)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n| ＝13 ，所以二面角A 1-BD-C 1的余弦值为13 . 答案：134．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，求这个二面角的大小．【解析】设二面角大小为θ，由题意可知 |cos θ|＝|82＋52－72|2×8×5 ＝64＋25－4980 ＝12 ，所以cos θ＝±12 ，所以θ＝60°或120°.关闭Word 文档返回原板块。

高中数学解题方法---二面角大小的几种求法

∴∠EDF= 3a2
+ 3a 2 − 8a 2 2 ⋅ 3a 2
=
1 3
1. 在三棱锥 P-ABC 中，∠ APB= ∠ BPC= ∠ CPA=600，求二面角 A-PB-C 的
余弦值。
Pபைடு நூலகம்
Q N
B
M A
2 / 14
C
2. 如图，已知二面角 α-а-β 等于 120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求 ∠APB 的大小。
5 / 14
A
α
为 A1，点 B 在 l 的射影为 B1，已知 AB=2，AA1=1，BB1= 2，求：二面角 A1 －AB－B1 的大小。
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
例在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=a，
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
II. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展) 线(面)法 )
P
A
O B
3. 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=a，
求二面角 B-PC-D 的大小。
P
H
jA
D
B
C
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线
定理或逆定理作出二面角的平面角。

高三数学《二面角》说课稿

高三数学《二面角》说课稿高三数学《二面角》说课稿「篇一」一、教材简析:1．地位与作用:本节是高二数学下册第九章《直线、平面、简单几何体》中相关§96二面角的求解问题。

是在立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法的基础之上，对二面角求解方法进行的一个补充。

二面角的求解是立体几何部分的一个重点也是一个难点，本节内容为学生提供一个新的`视角。

2．教学内容及目标教学内容:将异面直线两点间距离公式变形应用于求二面角，变形所得公式就是本节所学主要内容，暂且称这个公式为二面角余弦公式。

教学目标：知识目标：异面直线两点间距离公式在求二面角中的应用；能力目标：（1）.推广引申不但能加深对原题的理解，而且对于扩大解题效果，提高解题能力，培养发散思维，激发创新意识，都有不可忽视的积极作用。

（2）.通过转化问题探究公式条件的过程，培养学生探索问题的精神，提高学生化归的意识和转化的能力。

情感目标：通过问题的转化过程，让学生认识万物都处于联系之中，我们要用联系的观点看待问题。

3．教学重点和教学难点重点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；难点：二面角余弦公式条件的发现，结构的确定；二、学情分析：1．起点能力分析立体几何知识学习完毕，学生已具有了一定的空间想象能力，掌握了一定的立体几何的研究方法，并成为本节的学习基础。

2．一般特点分析高二学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。

三、教法分析：本节采用启导法，以质疑启发、直观启发为主，通过一系列带有启发性、思考性的问题，创设问题情境，引导学生思考，教师适时演示，利用多媒体的直观性，激发学生的学习兴趣，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。

高中数学立体几何——二面角求法

二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的正切值为 .解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。

例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==E,F 分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B. 过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得D B 1图1AO A 1CBD 1C 1O 1A 图3 αβPBl图4 B 1A αβA 1Bl EF GPAＳBＳCＳDＳFEAB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23，则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.解:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形,∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE,∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.例5. 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点. (1) 若AD=, 求二面角A-EC-D 的平面角的余弦值.(1) 过点D 作DF ⊥CE, 交CE 于F, 过点F 作FG ⊥CE, 交AC 于G, 则∠DFG 为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC ⊥平面PAB, 又AD ∥BC, 得AD ⊥平面PAB, 故AD ⊥AE, 从而DE==. 在Rt △CBE 中, CE==. 由CD=, 所以△CDE 为等边三角形,故F 为CE 的中点, 且DF=CD ·sin =.因为AE ⊥平面PBC, 故AE ⊥CE, 又FG ⊥CE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G 点为AC 的中点.连结DG, 则在Rt △ADG 中, DG=AC==.所以cos ∠DFG==.3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

二面角的求法(教师版)

五法求二面角定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S—AM —B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）;在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF）,这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

例1 （2009全国卷I理）如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD, AD .2DC SD 2，点M 在侧棱SC上，ABM =60（I）证明：M在侧棱SC的中点（II）求二面角S AM B的大小。

证（I）略解（II）：利用二面角的定义。

在等边三角形ABM中过点B作BF AM交AM于点F，则点F为AM的中点，过F点在平面GF交AS于G ,连结AC ,•••△ AD3A ADS 二AS-AC,且M是SC的中点,••• AML SC, GF 丄AM 二GF// AS,又T F 为AM 的中点，••• 6卩是厶AMS的中位线，点G是AS的中点。

贝U GFB即为所求二面角T AM AB2, ABM600• △ ABM是等边三角形,• BF 3在厶GAB中, AG.6T，AB2, GAB 900, •BG , 2411.2cos BFG GF2FB2BG21c 112 3 5 262GF FB2 23 6232求二面角B-FC1-C的余弦值。

证（1）略SA AC AM 2面角S AM B的大小为arccos（平面角，在△ BCF 为正三角形中，OB 」3,在 Rt △ CC 1F 中，△ OPFCC 1F, •/练习1 （2008山东）如图，已知四棱锥 P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA 丄平面ABCD ,ABC 60 ,E , F 分别是BC, PC 的中点.（I ）证明：AE 丄PD;（n ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面RAD 所成最大角的正切值为二3 2 * 4 5 6，求二面角E — AF — C 的余弦值.2分析：第1题容易发现，可通过证AE 丄AD 后推出AE 丄平面APD 使命题获证，而第 2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点面角的余弦值。

二面角的说课稿

二面角的说课稿一、教学目标通过本节课的学习，使学生能够：1. 理解二面角的概念，能够准确地描述和解释二面角的特性；2. 掌握计算二面角的方法，能够灵便运用二面角的性质解决相关问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点和难点1. 教学重点：二面角的概念和性质，计算二面角的方法；2. 教学难点：培养学生的逻辑思维能力，能够运用二面角的性质解决实际问题。

三、教学准备1. 教材：几何教材《高中数学》；2. 工具：教学投影仪、黑板、彩色粉笔、练习题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）引入二面角的概念，通过提问和示意图让学生了解二面角的基本概念和特点。

2. 概念讲解（10分钟）通过教师讲解和示意图，详细介绍二面角的定义和性质，包括二面角的角度范围、二面角的特点等。

3. 计算方法（15分钟）教师通过示例演示二面角的计算方法，包括利用三角函数、利用角的性质等方法。

并通过练习题让学生进行实际操作，巩固计算方法。

4. 实例分析（15分钟）教师给出一些实际问题，要求学生运用所学的二面角的性质和计算方法解决问题。

通过学生的讨论和解答，引导学生灵便运用二面角的知识解决问题。

5. 拓展应用（10分钟）教师给出一些拓展应用题，要求学生运用二面角的知识解决更复杂的问题。

通过学生的思量和讨论，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

6. 总结归纳（5分钟）教师对本节课的内容进行总结归纳，强调二面角的重要性和应用价值。

7. 课堂练习（10分钟）教师布置一些课堂练习题，要求学生在课堂上完成并讲解答案。

通过课堂练习巩固所学的知识。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对二面角的概念和性质有了更深入的理解，能够灵便运用二面角的知识解决实际问题。

教学过程中，教师通过示意图、实例分析等方式引导学生思量和讨论，激发学生的学习兴趣。

同时，教师及时赋予学生肯定和鼓励，提高学生的自信心。

在教学过程中，教师还可以适当增加一些拓展应用题，培养学生的综合运用能力。

解答二面角问题的三种措施

备考指南理能力.结合实例进行探讨.一、利用定义法一般地，在二面角的棱上选取一点，垂直于棱的射线，的平面角.面角的平面角；角形，根据正余弦定理、例1.如图1，四棱锥S -底面ABCD ，AD =2,DC =SD 点，∠ABM =60°，求二面角S -图1解：过B 点作BF ⊥AM ，过AC ，如图2所示，因为SD ⊥底面ABCD ，所以∠ADS =∠ADC =90°，因为DC =SD =2，所以Δ所以AC =AS ，因为AM ⊥SC ,GF ⊥AM ，中点，的中位线，点G 为AS 的中点，S -AM -B 的平面角，SA =AC =6,BM =2,3，=BF =3，GF 2+BF 2-GB 22GF ∙BF =，-B 的余弦值为最重要的一步便是找到二面角首先要根据二面角的平面角、AMB 及其棱AM ；然后在两BF ,GF ，则∠GFB 即为所求二将问题转.首先需根据题目中给出的来建立空间直角坐标系；然后求m 、n ；再根<m ,n >=m ∙n |m |∙|n |；最后还需根据.P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =120°，PA =AD =1,AB苏其亮54备考指南=2，M 、N（1）（2）解：（线为x 、y 则A N 12则 CM 设m则{令x 1设n则{n n 令x 2cos <直线为x 要先根据题意寻找垂其与二面然后根据平面几何知识，三角形的性质、平行四边形即可解题.棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面垂直平分AC 、SC ，且交AC 、SC =BC ，求二面角E -BD -C 的、DB ，E 是SC 中点，SBC 的中线，则BE ⊥SC ，⋂DE =E ，BE 、DE ⊂平面BDE ，，所以SC ⊥BD .，BD ⊂平面ABC ，、SA ⊂平面SAC ，，平面BDE =DE ，平面SAC ⋂平⊥DC ，E -BD -C 的平面角，，所以SA ⊥AB ,SA ⊥AC ，2,SB =BC =22，AC =23,∠ACS =30°，所以∠EDC =60°，-C 的大小为60°..，DE 垂直平分AC 、SC ，即可.再在直角三角形SAB 、SAC 、即可解题.向量法、垂面法都是解答二面向却比较便捷，能有效.甘肃省白银市靖远县第一中学）55。

谈谈二面角的三种求法

解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139解题宝典即二面角E -BD -C 的大小为60°.可采用直接法解答本题.先利用三垂线定理，在二面角E -BD -C 的棱BD 上的点D 处，找到与BD 垂直的两条射线DC 和DE ，就能根据二面角的平面角的定义确定∠DEC 即为所求的角；再根据勾股定理求得∠DEC 的大小，即可解题.例2.如图2，凸六边形MBB 1NC 1C 的边长相等，BB 1C 1C 为矩形，∠BMC =∠B 1NC 1=90°.将ΔBCM ，ΔB 1C 1N 分别沿BC ，B 1C 1翻折，使平面ABC ，平面A 1B 1C 1分别与平面BB 1C 1C 垂直，如图3所示.其中E ，G 分别是BC ，CC 1的中点．（1）求证：多面体ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱；（2）求二面角A -EG -A 1的平面角的余弦值．图2图3解：（1）略.（2）取B 1C 1中点F ，连接A 1F ，EF ，由（1）可知，多面体ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1F ⊥平面BB 1C 1C ，同理可证AE ⊥平面BB 1C 1C ，过F 作FD ⊥EG 交EG 于点D ，连接A 1D ，∴∠A 1DF 为二面角A -EG -F 的平面角，又∵AE ⊥平面BB 1C 1C ，AE ⊂平面AEG ，∴平面AEG ⊥平面BB 1C 1C ，∴二面角A -EG -A 1的平面角为π2-∠A 1DF ，设A 1B 1=t ，则21=B 1=t ，CE =CB 2=C 1B 12=，A 1F =，∴EG=CE 2+CG 2=，∴FD =EF ∙sin =EF ∙CE EG =，∴A 1D=A 1F 2+FD 2=，∴cos α=cos æèöøπ2-∠A 1DF =sin ∠A 1DF =A 1F A 1D 我们先根据面面垂直的性质定理证明A 1F ⊥平面BB 1C 1C ；然后根据线面垂直的性质定理和二面角的定义确定二面角A -EG -F 的平面角∠A 1DF ；再根据勾股定理和正余弦函数的定义，即可运用直接法求得问题的答案.二、面积射影法当不易作出二面角的平面角时，可以考虑采用面积射影法求二面角的大小.先确定一个半平面在另一个半平面的射影；然后分别求得这两部分图形的面积，并将二者相除，所得的结果即为二面角的余弦值.要注意二面角α的范围为：.例3.如图4，正方体的棱长为3，顶点A 在平面α内，三条棱AB ，AC ，AD 都在平面α的同侧.若顶点B ，C 到平面α的距离分别为2，3，求平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值.图4图5解：作BB 1⊥平面α于B 1，CC 1⊥平面α于C 1，连接BC ，B 1C 1，过点B 作BG ⊥CC 1，垂足为G 点，如图5所示.可得AC 1=AC 2-CC 12=32-()32=6，AB 1=AB 2-BB 12=32-()22=7，∴B 1C 1=BG =BC 2-CG 2=13+26，cos ∠B 1AC 1=AC 12+AB 12-B 1C122×AC 1×AB 1=7，sin ∠B 1AC 1=1-cos 2∠B 1AC 1=S ΔB 1AC 1=12×AC 1×AB 1×sin ∠B 1AC 1=12×6×7=3，S ΔBAC =12×AB ×AC =12×3×3=92，设平面ABC 与平面α所成锐二面角为θ，可得cos θ=S ΔB 1AC 1S ΔBAC =23，即平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值为23.经常观察图形可发现，平面ABC 在另一个平面α内的射影为ΔB 1AC 1，于是作BB 1⊥平面α于B 1，CC 1⊥平面α于C 1，连接BC ，B 1C 1，分别求得ΔABC的面积和ΔBAC 的面积，并求得其比值，即可求得平面ABC 与平面α所成锐二面角的余弦值.三、空间向量法若根据已知条件可确定线面或线线垂直关系，即40解题宝典可以某一点为原点，三条互相垂直的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.给各个点赋予坐标，利用向量的夹角公式，通过空间向量运算，即可求得二面角的大小.例4.如图6所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AB=2，AE=3，DE=5，二面角E-AD-C的余弦值为，EF//BD，且EF=λDB()λ＞0，求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围.图6图7解：∵AB=AD=2，AE=3，DE=5，∴AD2+DE2=AE2，即AD⊥DE，∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，DE⊂平面EDC，DC⊂平面EDC，∴AD⊥平面EDC，又∵AD⊂平面ABCD，AD⊂平面ADE，∴平面ABCD⊥平面EDC，且∠EDC是二面角E-AD-C的平面角，∴cos∠EDC，作OE⊥CD于点O，得OD=DE∙cos∠EDC=1，OE=2，又∵平面ABCD⊥平面EDC，OE⊂平面EDC，∴OE⊥平面ABCD，取AB中点M，连接OM，得OM⊥CD，如图7，以O为原点建立空间直角坐标系，可得A()2,-1,0,B()2,1,0,D()0,-1,0,C()0,1,0,E()0,0,2，DB=()2,2,0,EF=()2λ,2λ,0,EC=()0,1,-2,设平面CEF的一个法向量为m =()x1,y1,z1，∴ìíîm ∙EC=y1-2z1=0,m ∙EF=2λx1+2λy1=0,取x1=2，得{y1=-2,z1=-1,∴m =()2,-2,-1,又BF=()2λ-2,2λ-1,2，AB=()0,2,0，设平面ABF的一个法向量为n =()x2,y2,z2,∴ìíîn ∙AB=2y2=0,n ∙BF=()2λ-2x2+()2λ-1y2+2z2=0,取x2=2，得{y2=0,z2=2-2λ,∴n =()2,0,2-2λ,∴||cos m ，n =||m ∙n ||m ∙||nöøλ≠14，设t=λ-14æèöøt＞-14且t≠0，∴t+2516t-32＜-8或t+2516t-32≥1，∴1+4æèöøλ-14+2516æèöøλ-14-32∈æèöø12，1⋃(]1,5，∴||cos m ，n ∈èöø÷，13⋃æèçû13，，∴当λ=14时，||cos m，n =13，∴||cos m ,n ∈èû.即平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围为èû.解答本题主要运用了空间向量法.首先利用面面垂直的性质定理得出OE⊥平面ABCD；然后找出两两垂直的三条直线，据此建立空间直角坐标系，求得各个点的坐标和各个平面的法向量（即垂直于平面的直线的方向向量），即可利用空间向量夹角公式解题.一般地，若容易作出二面角的平面角，往往可以采用直接法求二面角的大小.该方法比较常用，且较为简单，只需根据题意进行推理、运算，利用二面角的平面角的定义求解.如果不易找出或求出二面角的平面角，则往往需采用射影面积法和空间向量法，通过求平面图形的面积和平面的法向量，来求得二面角的大小.同学们要熟练掌握这些常用方法的特点和应用技巧，以在求解二面角问题时做到得心应手.（作者单位：湖北省团风中学）41。

二面角说课稿

二面角说课稿一、教材结构与内容简析二面角是普通高中课程标准试验教科书人教A版数学必修2第2章第3小节两个平面垂直的判定中的内容。

它是在学生学习了异面直线所成的角、直线与平面所成的角之后，又一个要学习的空间角，而二面角的本质特征是从度量的角度，通过二面角的平面角揭示了平面与平面的位置关系（垂直关系是其中的一种特殊关系），它为以后从度量角度研究面与面的非垂直关系奠定了基础，所以二面角的内容在教材中起到了一个承上启下的作用，同时，通过本节课的学习，能够进一步培养学生的空间想象水平和逻辑思维水平。

本节课的教学中所涉及的重要数学思想有：1、类比思想：如平面角和二面角形成过程的类比；2、降维思想：把三维的空间问题降为二维的平面问题再加以解决。

二、学情分析针对学生主观能动性强，思维较为活跃的特点，我在教学中主要以问题为纽带，引导学生发现问题——类比联想——解决问题。

三、教学目标的确立及依据结合课程标准的要求，根据上述教材结构与内容分析，并考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下教学目标：1、知识与技能：掌握二面角的概念；二面角的平面角的定义、作法，求法。

2、过程与方法：以问题为切入口，以弗莱登塔尔的“知识再现理论”为主线，引导学生观察发现问题，逐步分析、类比联想得到规律，思考转化找到方法，操作实施解决问题。

3、情感态度与价值观：通过揭示二面角平面角概念的形成，体验探究学习的整个过程，激发学生的学习兴趣，并让学生明白：数学和生活是密不可分的。

四、教学重、难点参照课程标准，我确立了如下的教学重、难点：重点：二面角的平面角的定义及作法、求法。

难点：二面角的平面角的概念形成；二面角的平面角的作法。

五、教学方法与手段数学是一门培养人思维，发展人思维的重要学科。

所以，在教学中，不但要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。

所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。

所以本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。

二面角的表示方法

二面角的表示方法
二面角（dihedral angle）是描述两个面之间的角度，通常用于描述分子的构型。

它的表示方法有以下几种：
1. 弧度制（radian）：单位为弧度，用符号θ表示。

在弧度制中，二面角为两个面之间的弧长所对应的圆心角的度数。

例如，如果一个二面角的弧长为π/2，那么它的角度为90度。

2. 角度制（degree）：单位为度数，用符号α表示。

在角度制中，二面角为两个面之间的平面角度数。

例如，如果一个二面角的角度为90度，那么它的弧长为π/2。

3. 正弦值（sine）：用符号sinθ表示。

正弦值是二面角两个面之间连线上的垂线与其中一个面相交的线段长度与二面角连线长度之比。

它通常用于计算分子的构型。

4. 余弦值（cosine）：用符号cosθ表示。

余弦值是二面角两个面之间连线上的垂线与另一个面相交的线段长度与二面角连线长度之比。

它也通常用于计算分子的构型。

总之，二面角的表示方法有多种，具体使用哪种方法取决于具体的计算需要和使
用习惯。

高三数学二面角与距离

热点题型1: 异面直线所成角
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中 AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1 （Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离
C1
F
D A
EC B
热点题型2: 定义法作二面角的平面角
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
高为 3 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二
面角，如右下图（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
D O1 C
O1 C
D
A
O
B
O
B
图1
图2
A
热点题型4: 二面角与探索问题
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1 AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D
的大小为

D1
C1
4
A1
B1
D
A
E
C B
课堂小结
（1）高考基本内容:向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式。
AB∥DC，DAB1
PA=AD=DC = 2
90 , PA 底面ABCD
AB=1，M是PB的中点
，且
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小