微分方程数值解课程设计
微分方程数值解教学设计
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微分方程数值解教学设计一、课程背景与目的微分方程数值解是数学系高年级学生必修的一门课程。
在这门课程中,学生需要掌握微分方程的基本概念和解法,以及数值解的原理和方法。
此外,学生还需要掌握编程语言,如Matlab、Python等,以实现对微分方程的数值求解。
本课程旨在帮助学生深入理解微分方程数值解的基本概念和解法,掌握数值解的原理和方法,并提高学生的编程能力。
二、教学内容1. 微分方程基本概念教学内容包括:•微分方程的定义和分类•微分方程的一阶和高阶形式•常微分方程和偏微分方程的区别•一些基本的解法,如分离变量法、变换变量法、恰当微分方程法等。
2. 微分方程的数值解教学内容包括:•数值解的概念和原理•欧拉法和改进欧拉法•Runge-Kutta法和Adams法•线性方程组的数值求解方法•一些常见的数值问题,如刚体摆、阻尼振动等。
3. 编程实践本部分旨在帮助学生掌握编程语言,如Matlab、Python等,以实现对微分方程的数值求解。
具体内容包括:•编程语言的基本语法和控制结构•数值计算的基本概念和算法•编程实践,例如编写程序求解微分方程,绘制微分方程的数值解图像等。
三、教学方法与手段1. 讲授与讨论相结合在课堂上,老师将采用讲授和讨论相结合的教学方法,既讲解微分方程数值解的基本概念和解法,又与学生进行互动式的讨论,探讨数值方法的优缺点及其在实际问题中的应用。
通过讨论,帮助学生深入理解微分方程数值解的原理和实现方法。
2. 实践与操作相结合本课程将组织编程实践活动,并设立实验室,提供计算机设施,让学生进行实践操作。
在编程实践中,学生将不仅仅是理论的应用者,更要成为实践的主体,通过实践操作,深入理解数值求解方法的原理和应用。
3. 作业与案例相结合在教学过程中,老师将布置一些作业和案例,让学生在实践中巩固所学知识,提高对微分方程数值解的理解。
同时,教师将提供详细的评价意见和建议,以帮助学生提高数值求解的能力。
微分方程数值解法第四版课程设计
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微分方程数值解法第四版课程设计一、课程设计背景微分方程数值解法是数学、物理学等科学中重要的一门课程,是学习这些学科的基础。
随着计算机技术的发展,数值解法逐渐成为求解微分方程的重要方法之一,尤其是难以求解的高阶微分方程,不可或缺的数值方法更是大幅提高了数学模拟计算的工作效率。
因此,为了提高学生的数理能力,深入了解数值解法的方法,本次课程设计结合微分方程数值解法第四版教材,旨在通过对常见微分方程的数值求解,让学生体会数值解法的过程,掌握数值解法的计算方法,提高数学建模的能力,同时也提高学生的计算机编程技能。
二、课程设计内容1. 数值解法简介介绍数值解法的基本概念和数值求解的主要思想,包括欧拉法、龙格-库塔法、多项式法等。
2. 常微分方程数值解法结合微分方程数值解法第四版教材内容,介绍一些常见微分方程的数值解法,包括常系数线性微分方程、高阶微分方程、非线性微分方程等。
3. 实例分析以较为常见的两种物理问题为例进行分析:弹簧振动问题和物体自由落体问题。
其中弹簧振动问题解析式为:y″+4y=0取初始条件:y(0)=1y′(0)=0物体自由落体问题分析:y″=−g带有边界条件:y(0)=hy′(0)=v04. 编写相应程序分析求解基于Python语言,用编程语言完成以上实例的求解过程。
三、课程设计目标通过本次课程设计,学生将达到如下目标:1.了解数值解法的基本思想和计算方法;2.掌握一些常见微分方程的数值解法;3.运用所学知识解决物理问题;4.熟练掌握Python编程语言和编程思想。
四、课程设计评估学生将根据实例分析和编程作业来评估课程效果。
其中实例分析要求学生探讨相关问题的物理背景,分析计算过程,并分析计算结果。
编程作业则要求学生通过编写程序解决实际问题,将解析式转化为数值计算,自行编写求解方法。
五、课程设计总结通过本次设计,学生将深入了解数值解法的基本概念和数值求解的主要思想,并掌握一些常见微分方程的数值解法。
偏微分方程数值解讲义教学设计
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偏微分方程数值解讲义教学设计1. 课程简介本课程是针对大学数学及计算机专业的高年级本科生或研究生开设的,旨在介绍偏微分方程数值解方法,包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
本课程的学习目标是掌握偏微分方程数值解的基础理论和常用方法,以及了解数值解的数学原理和应用场景,并能够扩展应用所学知识解决相关实际问题。
2. 教学内容2.1 引言•偏微分方程的概念、分类和基本理论;•数值解的概念和分类,数值解的误差理论。
2.2 有限差分法•一维抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限差分格式;•非线性偏微分方程的数值求解;•高维问题的数值求解。
2.3 有限元法•一维线性抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限元求解方法;•二维和三维问题的有限元求解方法;•有限元法的加权残差方法和变分原理。
2.4 谱方法•调和方程的分离变量方法和Fourier级数解法;•Laplace方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法;•泊松方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法。
3. 教学手段3.1 讲课本课程采用讲课和练习相结合的方式,通过讲解理论知识和数值计算实例,并基于MATLAB或Python等数值计算软件进行演示。
3.2 练习结合课程中的实例,进行数值计算作业和课程项目的设计,以提高学生的理论知识和计算能力。
4. 教材教材推荐:•Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods by G. D. Smith •Finite Element Method: A Practical Course by C. S.Chen5. 教学评估学生的教学成绩考核由以下三部分组成:•期中考试(占成绩的30%);•期末考试(占成绩的50%);•课程设计作业(占成绩的20%)。
6. 教学进度内容讲课时间引言2课时有限差分法(一)6课时有限差分法(二)6课时有限差分法(三)4课时有限元法(一)6课时有限元法(二)6课时有限元法(三)4课时谱方法6课时课程设计作业4课时或更多7. 总结本文介绍了一个偏微分方程数值解讲义的教学设计,包括课程简介、教学内容、教学手段、教材、教学评估和教学进度等方面的内容。
微分方程数值解法课程设计模板
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目录一、问题的描述及算法设计 (1)1.1问题的描述 (1)1.2算法设计 (1)二、算法的理论依据及其推导 (4)2.1二维问题的五点差分格式的理论推导 (4)2.2高斯-赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法的理论推导 (5)三、算法的流程图 (6)3.1矩形网格的五点差分流程图 (6)3.2高斯-赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法流程图 (7)四、相关的数值结果 (8)五、总结 (9)六、附件 (10)二维椭圆问题的差分格式一、问题的描述和算法设计1.1 问题的描述有限差分方法就是一种数值解法,它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分,然后在网格点上,按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商,从而把原问题离散化为差分格式,进而求出数值解。
此外,还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解(即收敛性),等等。
而G -S 迭代法是用逐次逼近的方式得到差分方程组的解,它的存储量小,程序简单,计算量小,因此常用于差分方程组的求解。
偏微分方程边值问题的差分法是物理上的定常问题,其定解问题为各种边值问题, 即要求解在某个区域内满足微分方程,在边界上满足给定的边界条件。
椭圆型方程的差分解法可归结为选取合理的差分网格,建立差分格式,利用G -S 迭代法求解代数方程组。
1.2 算法设计算法Poisson 方程的有限差分方法 求Poisson 方程()()()y x f y x yu y x xu ,,,2222=∂∂+∂∂, dy c b x a ≤≤≤≤,的近似解,其边界条件为()(),,,y x g y x u = 若x =a 或x =b 且d y c ≤≤ 和()(),,,y x g y x u = 若y =c 或y =d 且b x a ≤≤输入 端点a 、b 、c 、d ;整数m ≥3,n ≥3;误差要求TOL ;最大迭代次数N 。
常微分方程数值解法课程设计
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常微分方程数值解法课程设计常微分方程数值解法课程设计一、背景与意义常微分方程在自然科学、工程技术、社会科学等各个领域都有广泛的应用。
例如,物理学中的牛顿第二定律、电磁学中的麦克斯韦方程、生物学中的种群增长模型等都涉及到常微分方程。
然而,很多常微分方程的解析解很难求得或者不存在,因此数值解法就显得尤为重要。
本次课程设计的目的是使学生掌握常微分方程的数值解法,包括欧拉法、龙格-库塔法等,并能够利用这些方法进行实际问题的建模和计算。
通过本次课程设计,学生将了解数值解法的基本思想、误差分析、稳定性等方面的知识,提高解决实际问题的能力。
二、主要内容1.常微分方程的基本概念:介绍常微分方程的定义、分类、解的存在性和唯一性等基础知识。
2.数值解法的基本思想:介绍数值解法的基本思想,包括离散化、逼近、迭代等,以及数值解法的误差来源和误差估计。
3.欧拉法:介绍欧拉法的基本思想、计算公式、误差分析和稳定性等方面的知识,并通过实例演示欧拉法的应用。
4.龙格-库塔法:介绍龙格-库塔法的基本思想、计算公式、误差分析和稳定性等方面的知识,并通过实例演示龙格-库塔法的应用。
5.实际问题建模与计算:选取实际问题,如物理学中的弹簧振子问题、生物学中的种群增长问题等,利用常微分方程的数值解法进行建模和计算,并对结果进行分析和解释。
三、实施步骤1.理论学习:通过课堂讲解、阅读教材等方式,使学生掌握常微分方程的基本概念、数值解法的基本思想和常用方法。
2.上机实践:安排学生在计算机上利用编程语言实现欧拉法、龙格-库塔法等数值解法,并对简单的常微分方程进行数值计算。
3.实际问题建模与计算:选取实际问题,指导学生利用常微分方程的数值解法进行建模和计算,并对结果进行分析和解释。
4.课程设计报告:要求学生撰写课程设计报告,内容包括问题描述、数学模型、数值解法、计算结果与分析等,以培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。
四、预期成果通过本次课程设计,学生将能够:1.掌握常微分方程的基本概念和数值解法的基本思想;2.熟练使用欧拉法、龙格-库塔法等常用数值解法;3.能够利用常微分方程的数值解法进行实际问题的建模和计算;4.撰写规范的课程设计报告,具备综合运用所学知识解决实际问题的能力。
数值分析教案_常微分方程初值问题数值解法
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第九章常微分方程初值问题数值解法图9-1n 作为()n x y 的近似值,得 ()n n y x hf ,)y x ,两边从n x 到1+n x 积分,得()dx x y x f x y x n nx x n n ⎰+=-+1))(,()1 矩形公式计算上式右侧积分,即()()x x x x x d x y x f dx x y x f n nn n⎰⎰++≈11,))(,()n ,得()n n n n y x hf y y ,1+=+,故欧拉法也称为矩形法。
为了达到较高精度的计算公式,对欧拉法进行改进,用梯形公式计算()()([1,2))(,(1++≈+n n n x f x y x f hdx x y x f n 的近似值,得9.2 龙格—库塔法前面讨论的欧拉法与改进的欧拉法都是一步法,即计算y 1+n 时,只用到前一步值。
龙格—库塔(Runge-Kutta)法(简称为R-K 方法)不是通过求导数的方法构造近似公式,而是通过计算不同点上的函数值,并对这些函数值作线性组合,构造近似公式,再把近似公式与解的泰勒展开式进行比较,使前面的若干项相同,从而使近似公式达到一定的阶数。
我们先分析欧拉法与预估—校正法。
对于欧拉法⎩⎨⎧=+=+),(111n n n n y x hf k k y y 每步计算f 的值一次,其截断误差为O (2h )。
对于预估—校正法()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++=+121211,,2121k y h x hf k y x hf k k k y y n n n n n n 每步计算f 的值两次,其截断误差为O (3h ).下面对预估—校正法进行改进,将该公式写成更一般的形式()()bh y ah x hf k y x hf k k R k R y y n n n n n n ++==++=+,,2122111 (2.1)其中b a R R ,,,21为待定常数。
选择这些常数的原则是在)(n n x y y =的前提下,使11)(++-n n y x y )的阶尽量高。
微分方程数值解法课程设计--许
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微分方程数值解法课程设计----A 组计算022班3号 许**1. 用复化梯形计算积分dx ex 210-⎰解:算法思想:根据复化梯形公式:取步长n a b h /)(-=,ih a x i +=),,1,0(n i =有⎰∑=-+=≈=bani i i n x f x f hf T dx x f f I 11)]()([2)()()(,写出程序,如下所示:2. 用Euler 、改进的Euler 法、梯形法、R-K 法解⎩⎨⎧=+='10)(y y x y )(10≤≤x x e x y 21+--=解:根据算法思想: (1)Euler 法 )(1n n n n y x h y y ++=+ (2)改进的Euler 法[]⎪⎩⎪⎨⎧++++=++=++++)()(2)(1111n n n n n n n n n n y x y x hy y y x h y y (3)梯形法[])()(2111+++++++=n n n n n n y x y x hy y(4)R-K 法()43211226k k k k hy y n n ++++=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==),()21,2()21,2(),(3423121hk y h x f k hk y h x f k hk y h x f k y x f k n n n n n n n n 我们可以写出程序如下所示:11.0101 1.0204 1.0309 1.0416 1.0525 1.0637 1.0751.0866 1.0983 1.11031.1226 1.1351.1477 1.1605 1.1737 1.187 1.2006 1.2144 1.2285 1.2428 1.2574 1.2722 1.2872 1.30251.3181 1.3339 1.3499 1.3663 1.3829 1.3997 1.4169 1.4343 1.4519 1.4699 1.4881 1.50671.5255 1.5446 1.564 1.5836 1.6036 1.6239 1.6445 1.6654 1.6866 1.7081 1.73 1.75211.7746 1.7974 1.8206 1.8441 1.8679 1.892 1.9165 1.9413 1.9665 1.99212.018 2.04422.0709 2.0979 2.1252 2.153 2.1811 2.2096 2.2385 2.2678 2.2974 2.3275 2.358 2.38892.4202 2.4519 2.484 2.5166 2.5495 2.5829 2.6168 2.6511 2.6858 2.721 2.7566 2.79272.8293 2.8663 2.9038 2.9418 2.98033.0192 3.0586 3.0986 3.139 3.18 3.2214 3.26343.3059 3.3489 3.3925 3.4366欧拉法U值:1 1.01 1.0202 1.0306 1.0412 1.052 1.063 1.0743 1.0857 1.0974 1.1092 1.1213 1.13371.1462 1.1589 1.1719 1.1852 1.1986 1.2123 1.2262 1.2404 1.2548 1.2694 1.2843 1.29951.3149 1.3305 1.3464 1.3626 1.379 1.3957 1.4127 1.4299 1.4474 1.4652 1.4832 1.50151.5202 1.5391 1.5582 1.5777 1.5975 1.6176 1.638 1.6586 1.6796 1.7009 1.7225 1.74451.7667 1.7893 1.8122 1.8354 1.8589 1.8828 1.907 1.9316 1.9565 1.98182.0074 2.03342.0597 2.0864 2.1135 2.1409 2.1687 2.1969 2.2255 2.2544 2.2838 2.3135 2.3437 2.37422.4051 2.4365 2.4683 2.5004 2.533 2.5661 2.5995 2.6334 2.6678 2.7025 2.7378 2.77342.8096 2.8462 2.8832 2.9208 2.9588 2.99733.0362 3.0757 3.1157 3.1561 3.1971 3.23853.2805 3.323 3.3661 3.4096改进的欧拉法G值:1 1.0101 1.0204 1.0309 1.0416 1.0525 1.0637 1.075 1.0866 1.0983 1.1103 1.1226 1.1351.1477 1.1605 1.1737 1.187 1.2006 1.2144 1.2285 1.2428 1.2573 1.2721 1.2872 1.30251.318 1.3338 1.3499 1.3662 1.3828 1.3997 1.4168 1.4342 1.4519 1.4699 1.4881 1.50661.5255 1.5446 1.5639 1.5836 1.6036 1.6239 1.6445 1.6654 1.6866 1.7081 1.73 1.75211.7746 1.7974 1.8206 1.844 1.8678 1.892 1.9165 1.9413 1.9665 1.9922.0179 2.04422.0708 2.0978 2.1252 2.1529 2.181 2.2095 2.2384 2.2677 2.2974 2.3275 2.3579 2.38882.4201 2.4518 2.4839 2.5165 2.5495 2.5829 2.6167 2.651 2.6858 2.7209 2.7566 2.79272.8292 2.8663 2.9038 2.9417 2.98023.0191 3.0586 3.0985 3.1389 3.1799 3.2213 3.26333.3058 3.3488 3.3924 3.4365梯形法O值:1 1.0101 1.0204 1.0309 1.0416 1.0525 1.0637 1.075 1.0866 1.0984 1.1103 1.1226 1.1351.1477 1.1606 1.1737 1.187 1.2006 1.2144 1.2285 1.2428 1.2574 1.2722 1.2872 1.30251.3181 1.3339 1.3499 1.3663 1.3829 1.3997 1.4169 1.4343 1.4519 1.4699 1.4881 1.50671.5255 1.5446 1.564 1.5837 1.6036 1.6239 1.6445 1.6654 1.6866 1.7082 1.73 1.75221.7746 1.7975 1.8206 1.8441 1.8679 1.892 1.9165 1.9414 1.9665 1.99212.018 2.04422.0709 2.0979 2.1252 2.153 2.1811 2.2096 2.2385 2.2678 2.2974 2.3275 2.358 2.38892.4202 2.4519 2.484 2.5166 2.5495 2.583 2.6168 2.6511 2.6858 2.721 2.7567 2.79272.8293 2.8663 2.9038 2.9418 2.98033.0192 3.0587 3.0986 3.139 3.18 3.2214 3.26343.3059 3.3489 3.3925 3.4366R-K法K值:1 1.0101 1.0204 1.0309 1.0416 1.0525 1.0637 1.075 1.0866 1.0983 1.1103 1.1226 1.1351.1477 1.1605 1.1737 1.187 1.2006 1.2144 1.2285 1.2428 1.2574 1.2722 1.2872 1.30251.3181 1.3339 1.3499 1.3663 1.3829 1.3997 1.4169 1.4343 1.4519 1.4699 1.4881 1.50671.5255 1.5446 1.564 1.5836 1.6036 1.6239 1.6445 1.6654 1.6866 1.7081 1.73 1.75211.7746 1.7974 1.8206 1.8441 1.8679 1.892 1.9165 1.9413 1.9665 1.99212.018 2.04422.0709 2.0979 2.1252 2.153 2.1811 2.2096 2.2385 2.2678 2.2974 2.3275 2.358 2.38892.4202 2.4519 2.484 2.5166 2.5495 2.5829 2.6168 2.6511 2.6858 2.721 2.7566 2.79272.8293 2.8663 2.9038 2.9418 2.98033.0192 3.0586 3.0986 3.139 3.18 3.2214 3.26343.3059 3.3489 3.3925 3.4366误差R值:第一组0 -0.00010033 -0.00020268 -0.00030707 -0.00041353 -0.00052209 -0.00063279 -0.00074566 -0.00086072-0.00097802 -0.0010976 -0.0012194 -0.0013436 -0.0014702 -0.0015992 -0.0017306 -0.0018645 -0.0020008 -0.0021398 -0.0022813 -0.0024254 -0.0025722 -0.0027217 -0.002874 -0.003029 -0.0031868 -0.0033475 -0.0035111 -0.0036777 -0.0038472 -0.0040198 -0.0041954 -0.0043742 -0.0045561 -0.0047412 -0.0049296 -0.0051213 -0.0053163 -0.0055147 -0.0057166 -0.0059219 -0.0061308 -0.0063433 -0.0065595 -0.0067793 -0.0070029 -0.0072303 -0.0074615 -0.0076966 -0.0079358 -0.0081789 -0.0084261 -0.0086775 -0.008933 -0.0091928 -0.0094569 -0.0097254 -0.0099983 -0.010276 -0.010558 -0.010844 -0.011135 -0.011431 -0.011732 -0.012038 -0.012349 -0.012664 -0.012985 -0.013311 -0.013642 -0.013979 -0.014321 -0.014668 -0.015021 -0.015379 -0.015743 -0.016113 -0.016489 -0.01687 -0.017258 -0.017651-0.018051 -0.018457 -0.01887 -0.019288 -0.019714 -0.020146 -0.020584 -0.02103 -0.021482 -0.021941 -0.022407 -0.02288 -0.023361 -0.023849 -0.024344 -0.024847 -0.025358-0.025876 -0.026402 -0.026936第二组0 -3.3417e-007 -6.7505e-007 -1.0228e-006 -1.3774e-006 -1.739e-006 -2.1078e-006 -2.4838e-006 -2.8672e-006-3.258e-006 -3.6564e-006 -4.0624e-006 -4.4763e-006 -4.8981e-006 -5.3278e-006 -5.7658e-006 -6.212e-006 -6.6665e-006 -7.1296e-006 -7.6014e-006 -8.0818e-006 -8.5712e-006 -9.0696e-006 -9.5772e-006 -1.0094e-005 -1.062e-005 -1.1156e-005 -1.1702e-005 -1.2257e-005 -1.2822e-005 -1.3398e-005 -1.3983e-005 -1.458e-005 -1.5186e-005 -1.5804e-005 -1.6432e-005 -1.7071e-005 -1.7722e-005 -1.8384e-005 -1.9057e-005 -1.9742e-005 -2.0439e-005 -2.1148e-005 -2.1869e-005 -2.2603e-005 -2.3349e-005 -2.4108e-005 -2.4879e-005 -2.5664e-005 -2.6462e-005 -2.7273e-005 -2.8098e-005 -2.8937e-005 -2.979e-005-3.0657e-005 -3.1539e-005 -3.2435e-005 -3.3346e-005 -3.4272e-005 -3.5213e-005 -3.617e-005 -3.7142e-005 -3.8131e-005 -3.9135e-005 -4.0156e-005 -4.1193e-005 -4.2247e-005-4.3318e-005 -4.4407e-005 -4.5513e-005 -4.6636e-005 -4.7778e-005 -4.8938e-005 -5.0116e-005 -5.1313e-005 -5.2529e-005 -5.3765e-005 -5.502e-005 -5.6294e-005 -5.7589e-005 -5.8904e-005 -6.024e-005 -6.1596e-005 -6.2974e-005 -6.4373e-005 -6.5794e-005 -6.7237e-005 -6.8703e-005 -7.0191e-005 -7.1702e-005 -7.3236e-005 -7.4794e-005 -7.6376e-005 -7.7982e-005 -7.9613e-005 -8.1269e-005 -8.2949e-005 -8.4656e-005 -8.6388e-005 -8.8147e-005 -8.9932e-005第三组0 1.6834e-007 3.3755e-007 5.076e-007 6.7848e-0078.5018e-007 1.0227e-006 1.196e-006 1.3701e-0061.5449e-006 1.7205e-006 1.8968e-0062.0739e-006 2.2516e-006 2.43e-006 2.6091e-006 2.7888e-0062.9692e-0063.1501e-006 3.3317e-006 3.5138e-006 3.6964e-006 3.8796e-0064.0633e-006 4.2475e-0064.4321e-006 4.6172e-006 4.8027e-006 4.9885e-0065.1747e-006 5.3613e-006 5.5481e-006 5.7353e-0065.9227e-0066.1103e-006 6.2981e-006 6.486e-006 6.6741e-006 6.8623e-0067.0506e-006 7.2389e-0067.4272e-006 7.6155e-006 7.8037e-006 7.9918e-006 8.1798e-006 8.3676e-006 8.5552e-006 8.7425e-0068.9295e-006 9.1162e-006 9.3025e-006 9.4884e-006 9.6738e-006 9.8587e-006 1.0043e-005 1.0227e-0051.041e-005 1.0592e-005 1.0774e-005 1.0955e-005 1.1135e-005 1.1314e-005 1.1492e-005 1.1669e-0051.1846e-005 1.2021e-005 1.2194e-005 1.2367e-005 1.2538e-005 1.2708e-005 1.2877e-005 1.3044e-0051.3209e-005 1.3373e-005 1.3535e-005 1.3696e-005 1.3854e-005 1.4011e-005 1.4166e-005 1.4319e-0051.4469e-005 1.4618e-005 1.4764e-005 1.4908e-005 1.5049e-005 1.5188e-005 1.5324e-005 1.5458e-0051.5588e-005 1.5716e-005 1.5841e-005 1.5963e-005 1.6082e-005 1.6198e-005 1.631e-005 1.6419e-0051.6524e-005 1.6626e-005 1.6724e-005 1.6818e-005第四组0 -1.6693e-012 -3.3724e-012 -5.1097e-012 -6.8812e-012 -8.6882e-012 -1.053e-011 -1.2409e-011 -1.4324e-011-1.6277e-011 -1.8267e-011 -2.0295e-011 -2.2363e-011 -2.447e-011 -2.6617e-011 -2.8805e-011 -3.1034e-011 -3.3305e-011 -3.5619e-011 -3.7976e-011 -4.0376e-011 -4.2821e-011 -4.5311e-011 -4.7847e-011 -5.0429e-011 -5.3058e-011 -5.5735e-011 -5.846e-011 -6.1235e-011 -6.4059e-011 -6.6934e-011 -6.986e-011 -7.2838e-011 -7.5869e-011 -7.8954e-011 -8.2093e-011 -8.5287e-011 -8.8537e-011 -9.1844e-011 -9.5208e-011 -9.8631e-011 -1.0211e-010 -1.0565e-010 -1.0926e-010 -1.1292e-010 -1.1665e-010 -1.2044e-010 -1.2429e-010 -1.2821e-010 -1.322e-010 -1.3625e-010 -1.4038e-010 -1.4457e-010 -1.4883e-010 -1.5316e-010 -1.5756e-010 -1.6204e-010 -1.6659e-010 -1.7122e-010 -1.7592e-010 -1.807e-010 -1.8556e-010 -1.905e-010 -1.9551e-010 -2.0061e-010-2.058e-010 -2.1106e-010 -2.1641e-010 -2.2185e-010 -2.2738e-010 -2.3299e-010 -2.3869e-010 -2.4449e-010 -2.5037e-010 -2.5635e-010 -2.6243e-010 -2.686e-010 -2.7487e-010 -2.8124e-010 -2.8771e-010 -2.9428e-010 -3.0095e-010 -3.0773e-010 -3.1461e-010 -3.216e-010 -3.287e-010 -3.3591e-010 -3.4323e-010 -3.5067e-010 -3.5822e-010 -3.6588e-010 -3.7367e-010 -3.8157e-010 -3.8959e-010 -3.9774e-010 -4.0601e-010 -4.1441e-010-4.2293e-010 -4.3159e-010 -4.4037e-010 -4.4929e-0103. 用差分格式计算两点边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+''-202110062014)(,)()()()(u u x x x u x u()35201x x x u +=解:算法思想:根据i i i i i f u hu u u =++---+2112有 i i i i f h u u h u 2121)2(=-++--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001.2101001.2101001.2 A U 值:-0.0089337 -0.017862 -0.026781 -0.035684 -0.044566 -0.053424 -0.06225 -0.071041 -0.079791 -0.088494-0.097147 -0.10574 -0.11428 -0.12275 -0.13114 -0.13946 -0.1477 -0.15585 -0.16391 -0.17187 -0.17973 -0.18748 -0.19511 -0.20263 -0.21002 -0.21729 -0.22442 -0.23141 -0.23826 -0.24495 -0.2515 -0.25788 -0.26409 -0.27013 -0.276 -0.28168 -0.28717 -0.29248 -0.29758 -0.30248 -0.30717 -0.31164 -0.31589 -0.31992 -0.32372 -0.32727 -0.33059 -0.33365 -0.33646 -0.33902 -0.3413 -0.34331 -0.34505 -0.3465 -0.34766 -0.34853 -0.3491 -0.34936 -0.34931 -0.34894 -0.34824 -0.34721 -0.34585 -0.34415 -0.34209 -0.33968 -0.33691 -0.33377 -0.33026 -0.32636 -0.32208 -0.31741 -0.31234 -0.30686 -0.30097 -0.29466 -0.28793 -0.28076 -0.27315 -0.2651 -0.2566 -0.24764 -0.23822 -0.22832 -0.21794 -0.20708 -0.19573 -0.18387 -0.17151 -0.15863 -0.14523 -0.13131 -0.11684 -0.10184 -0.086285 -0.070173 -0.053496 -0.036246 -0.018417误差R 值:-0.0089347 -0.01787 -0.026808 -0.035748 -0.044692 -0.05364 -0.062593 -0.071553 -0.08052 -0.089495 -0.098479 -0.10747 -0.11648 -0.12549 -0.13452 -0.14356 -0.15262 -0.16169 -0.17078 -0.17989 -0.18901 -0.19815 -0.20731 -0.21649 -0.2257 -0.23493 -0.24418 -0.25345 -0.26275 -0.27208 -0.28143 -0.29081 -0.30022 -0.30966 -0.31913 -0.32864 -0.33817 -0.34774 -0.35735 -0.36699 -0.37667 -0.38638 -0.39614 -0.40593 -0.41576 -0.42564 -0.43556 -0.44552 -0.45553 -0.46558 -0.47568 -0.48582 -0.49602 -0.50626 -0.51656 -0.5269 -0.5373 -0.54775 -0.55826 -0.56882 -0.57944 -0.59012 -0.60086 -0.61166 -0.62252 -0.63344 -0.64442 -0.65547 -0.66658 -0.67776 -0.68901 -0.70033 -0.71172 -0.72318 -0.73471 -0.74631 -0.75799 -0.76975 -0.78158 -0.79349 -0.80548 -0.81755 -0.8297 -0.84193 -0.85425 -0.86666 -0.87915 -0.89173 -0.9044 -0.91715 -0.93 -0.94295 -0.95599 -0.96912 -0.98235 -0.99568 -1.0091 -1.0226 -1.03634. 利用向前差分格式计算一下定解问题()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤≤=≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂-∂∂t e t x u t t e t u t t u x e x u t x t t e x u tu x xx 21sin 1021sin 121sin 01021sin 0101021sin 221cos 222,,,,,,,,,解:根据算法思想,向前差分格式即为j kj k j k j k jk j f hu u u au u ++-=--++21112τ,根据题意,t M T h r ===/,/22ττ,j kj k j k j k j f ru u r ru u τ++-+=-++111)21(,我们可以写出如下程序:。
微分方程数值解课程设计
![微分方程数值解课程设计](https://img.taocdn.com/s3/m/5ded8d080812a21614791711cc7931b765ce7b91.png)
微分方程数值解课程设计引言微分方程作为数学中的重要分支,涵盖了非常广泛的应用领域。
绝大多数的现实问题都可以归结为微分方程模型,因此掌握微分方程的解法方法是非常重要的。
本课程设计旨在通过实践应用数值方法来解决微分方程求解中的困难,在课程中学习并掌握数值方法的实现过程和相应的算法。
目的与意义微分方程数值解课程设计旨在帮助学生理解数值方法求解微分方程的基本原理和应用,让学生掌握数值解法的主要思路、基本算法和实现方法。
通过本课程设计的学习,学生将能够进一步加深和巩固对微分方程的理解,掌握数值模拟方法及其应用,培养学生的科学研究能力和实际问题解决能力。
课程大纲本课程设计分为以下几个部分:1. 基本概念回顾•微分方程的基本概念与分类•常微分方程的初值问题与边值问题•常微分方程数值解法的分类与相关算法2. 常微分方程数值解法•常微分方程数值解的初步概念与实现方法•常规微分方程数值解法的介绍与实现•常规微分方程数值解法的误差分析3. 偏微分方程数值解法•偏微分方程数值解的基本概念与实现方法•偏微分方程数值解的差分格式与相关算法•偏微分方程数值解的误差分析4. 实例分析•常微分方程实例分析•偏微分方程实例分析•结合实际问题的数值模拟课程设计要求本次课程设计要求学生以实践为主,结合已有数值软件应用数值方法求解微分方程,以期掌握微分方程数值解法的实际应用。
设计过程需包括以下几个步骤:1.客观评价现有数值软件的求解效果。
选取数值软件自带的样例微分方程,按照已有方法求解并进行误差分析。
2.对比不同的数值方法的性能。
选取不同的数值解法,比较不同方法的求解效果,并进行误差分析。
3.解决特殊问题的数值求解。
选取有现实意义的微分方程,根据实际问题需求进行求解并给出数值模拟结果。
4.书面报告。
每个学生需要用Markdown格式书写完整的课程设计报告,包括目标、方法、过程及相关结果和分析等。
课程设计参考书目1.Burden, R. L., Fres, J. D., & Burden, A. M. (2016).Numerical analysis (10th ed.). Boston: Cengage Learning.2.Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2011). Numerical methods forengineers (6th ed.). New York: McGraw-Hill.3.Kincd, D., & Cheney, W. (2002). Numerical analysis:Mathematics of scientific computing (3rd ed.). Washington, D.C.:American Mathematical Society.结语微分方程数值解课程设计是一门重要的应用课程,具有一定的挑战性。
常微分方程数值解法课程设计分析方案
![常微分方程数值解法课程设计分析方案](https://img.taocdn.com/s3/m/9cfb7109453610661fd9f404.png)
数值分析课程设计题目:常微分方程的数值解法组员:*** 201820320185许曦 201820320188 熊鲁平 201820320203余佳明 201820320206专业:信息与计算科学指导老师:***一、摘要3二、设计目的3三、理论基础31.欧拉公式【3】32.改进Euler方法【3】33.三阶龙格-库塔方法【3】34.四阶龙格-库塔方法【3】4四、程序代码及运算结果41、用欧拉法求解52、用改进欧拉法求解:63、用3阶龙格—库塔求解74、用4阶龙格—库塔求解96、欧拉方法与改进欧拉方法、3阶龙格-库塔法以及4阶龙格-库塔法得出的解得比较。
10五、数值分析设计的GUI界面13六、结果分析14七、设计心得14八、参考文献14一、摘要在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合龙格-库塔法的理论基础对常微分方程初值问题进行求解,在运行完程序后以及对运行结果做出各方面的分析和比较。
二、设计目的用熟悉的计算机语言编程上机完成用欧拉方法、改进欧拉方法、3阶龙格-库塔法以及4阶龙格-库塔法求解常微分方程初值问题。
三、理论基础1.欧拉公式【3】在点将作Taylor展开,得,那么当h充分小时,略去误差项,用近似替代、近似替代,并注意到,便得上述方法称为Euler方法。
2.改进Euler方法【3】在应用梯形方法的迭代公式进行运算时,每迭代一次都要重新计算函数的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算。
为了控制计算量和简化算法,通常只迭代一次就转入下一步计算。
具体说,我们先用Euler公式求得一个初步的近似值,称之为预测值,然后用梯形方法的迭代公式作一次迭代得,即将校正一次,这样建立的预测-校正方法称之为改进的Euler方法:预测:,校正:.3.三阶龙格-库塔方法【3】类似前面改进的Euler方法公式的推导方法,将在处作Taylor 展开,然后再将在处作Taylor展开,只要将两个展开式前四项相同便有。
数学实验课程设计常微分方程数值解
![数学实验课程设计常微分方程数值解](https://img.taocdn.com/s3/m/9bd17f7884868762cbaed59c.png)
数学实验报告1.题目:某容器盛满水后,底端直径为d0的小孔开启(如图1),根据水力学知识,当水面高度为h时,谁从小孔中流出的速度为v=0.6*(g*h)^0.5(其中g为重力加速度,0.6问哦小孔收缩系数)1)若容器为倒圆锥形(如图1),现测得容器高和上底直径都为1.2m,小孔直径d为3cm,为水从小孔中流完需要多少时间;2min时水面高度是多少。
2)若容器为倒葫芦形(如图2),现测得容器高1.2m,小孔直径d为3cm,由底端(记x=0)向上每隔0.1m测出容器的直径D(m)如表1所示,问水从小孔中流完需要多少时间;2min时水面高度是多少。
X/m00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1.0 1.1 1.2D/m0.030.050.080.140.190.330.450.680.981.11.21.131.02.分析:由题知,水从小孔中流出,不仅与容器有关,还与水流速度v=0.6*(2*g*h)^0.5有关。
第一小题容器是圆锥形,比较规则,但是由于水不断从小孔流出,容器中水的高度是不断变化的,水流速度没有一定的公式,所以要用到微积分解决。
由(1)知,水面直径等于水深。
水深为h时,流量为0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5,0.6*(g*h)^(0.5)*π*(d0/2)^2*dt=π/4*h^2*dh则水深下降dh 所需时间 :dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6(π/4)d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]水深由1.2m 至0定积分得水从小孔流完的时间:T (其中已知d=0.03m ,g=9.8m*s(-2)对于第二问:设两分钟(120S )后水深为X m ,由dt=-[(π/4)h^2*dh]/[0.6*(π/4)*d^2*(gh)^0.5]=-[h^1.5*dh]/[0.6d^2*(g)^0.5]则263.93-120 =X^2.5/[1.5*d^2*(g)^0.5]以d=0.03m ,g=9.8m*s(-2代入上式得 水深:X第二小题容器为倒葫芦形,比较不规则,比较复杂,不仅要考虑水不断从小孔流出,容器中水的高度是不断变化的,水流速度没有一定的公式,所以要用到微积分解决,还要注意表1的倒葫芦形的不断变化,水深的高度变化是不规则的但仍可以用微积分。
微分方程数值解法教学设计
![微分方程数值解法教学设计](https://img.taocdn.com/s3/m/e7a90774326c1eb91a37f111f18583d048640f40.png)
微分方程数值解法教学设计1. 教学目标1.1 课程背景在数学、物理、工程学等领域中,微分方程广泛应用于实际问题的建模和分析。
而对于大多数学生来说,理解和掌握微分方程的数值解法是一个具有挑战性的任务。
因此,在教学中,需要将数值解法作为重要内容进行讲解。
1.2 教学目标本教学设计旨在通过一系列的课程内容和教学活动,帮助学生:•理解微分方程数值解法的基本思想和原理;•掌握龙格-库塔法、欧拉法等常见的微分方程数值解法;•了解常微分方程和偏微分方程的求解方法;•能够运用所学知识解决一些实际问题。
2. 教学内容与教学方法2.1 教学内容(1)微分方程数值解法的基本思想和原理•了解微分方程在实际问题中的应用;•理解微分方程的初值问题和边值问题;•理解微分方程数值解法的基本思想和原理。
(2)龙格-库塔法、欧拉法等常见的微分方程数值解法•掌握欧拉法和改进欧拉法的原理和求解方法;•理解龙格-库塔法的原理和求解方法;•掌握常微分方程组的数值解法。
(3)常微分方程和偏微分方程的求解方法•理解常微分方程和偏微分方程的基本概念和分类;•了解解析方法和数值方法的特点和优缺点;•掌握有限差分法、有限元法等常见的偏微分方程数值解法。
2.2 教学方法•课堂讲述:通过多媒体教学,简要介绍微分方程数值解法的基本概念、原理和应用,讲解不同数值解法的特点和优缺点等。
•计算机模拟:通过一些典型的微分方程数值解法的计算机模拟实验,加深学生对这些方法的理解和掌握。
•课堂讨论:通过一些实例,让学生能够灵活地运用所学的知识,解决实际问题。
•作业布置:通过一些简单的实践任务,巩固学生所学的知识点,并且能够扩展到更广泛的问题领域。
3. 教学评价与反思3.1 教学评价•学生学习成果的测试:通过测试学生在知识掌握和运用能力上的成果,检验教学效果。
•教学调查问卷:了解学生对于教学方法、教学内容和课程设置的意见和反馈,为以后的教学改进提供有益的建议。
3.2 教学反思•教师评价自己的教学效果和方式,让学生了解到自己的优点和需要改进的方面;•对学生反馈和学习成果进行反思,总结和改进教学过程。
微分方程数值解法C语言-课程设计
![微分方程数值解法C语言-课程设计](https://img.taocdn.com/s3/m/f8317ad3ba4cf7ec4afe04a1b0717fd5360cb24b.png)
微分方程数值解法C语言-课程设计微分方程数值解法C语言由于对matlab语言不熟悉,所以还是采用C。
前面几个都比较简单,最后一个需要解非其次方程组。
采用高斯—Jordan消元法(数值分析)求逆解方程组,也再一次体会到算法本身的重要性,而不是语言。
当然,矩阵求逆的算法也在100个经典的C语言算法之列。
不过偏微分方程数值解的内容的确比较高深,我只能停留在编这种低级的东西的自娱自乐中。
不过解决计算机、数学、信计专业的课程设计还是足够了。
由于篇幅所限,只把源代码粘贴在这。
一:预报矫正格式#include <math.h>#include<iostream>#include<stdlib.h>double count_0( double xn,double yn){//矫正格式double s;s=yn+0.1*(yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5);return s;}double count_1(double xn,double yn,double y0){//预报格式double s;s=yn+0.05*((yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5)+(y0/xn*0.5+xn*xn/y0*0.5));return s;}void main(){//计算,步长为0.1,进行10次计算,设初始值double xn=1,yn=1;int i=1;while(i<=10){printf("%16f ,%1.16f ,%1.16f\n",xn,yn,count_1(xn,yn,count_0(xn,yn)));xn=xn+0.1;yn=count_1(xn,yn,count_0(xn,yn));i++;}}二显示差分格式#include<iostream>#include<math.h>#include<stdlib.h>main(){double a[6][11];//初始化;for(int i=0;i<=5;i++){a[0]=0;a[10]=0;}for(int j=1;j<10;j++){double p=3.14*j*0.1;a[0][j]=sin(p);}//按显示格式计算for(i=1;i<=5;i++)for(j=1;j<10;j++)a[j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j+1]; //输出计算好的矩阵for(i=0;i<=5;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.10f ",a[j]);printf("\n");}}三龙阁库塔格式#include <math.h>#include<iostream>#include<stdlib.h>double count_k( double xn,double yn){ double s;s=yn/xn*0.5+xn*xn/yn*0.5;return s;}void main(){//步长为0.1double xn=1,yn=1;int i=1;while(i<=11){printf("%f ,%f\n",xn,yn);double k1=count_k(xn,yn);double k2=count_k(xn+0.05,yn+0.05*k1); double k3=count_k(xn+0.05,yn+0.05*k2); double k4=count_k(xn+0.01,yn+0.1*k3); yn=yn+0.1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);xn=xn+0.1;i++;}}四 CRANK--NICOLSON隐式格式#include<iostream>#include<math.h>#include<stdlib.h>double Surplus(double A[],int m,int n);double * MatrixInver(double A[],int m,int n);double * MatrixOpp(double A[],int m,int n) /*矩阵求逆*/ {int i,j,x,y,k;double *SP=NULL,*AB=NULL,*B=NULL,X,*C;SP=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));AB=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));B=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));X=Surplus(A,m,n);X=1/X;for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++){for(k=0;k<m*n;k++)B[k]=A[k];{for(x=0;x<n;x++)B[i*n+x]=0;for(y=0;y<m;y++)B[m*y+j]=0;B[i*n+j]=1;SP[i*n+j]=Surplus(B,m,n);AB[i*n+j]=X*SP[i*n+j];}}C=MatrixInver(AB,m,n);return C;}double * MatrixInver(double A[],int m,int n) /*矩阵转置*/ {int i,j;double *B=NULL;B=(double *)malloc(m*n*sizeof(double));for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<m;j++)B[i*m+j]=A[j*n+i];return B;}double Surplus(double A[],int m,int n) /*求矩阵行列式*/ {int i,j,k,p,r;double X,temp=1,temp1=1,s=0,s1=0;if(n==2){for(i=0;i<m;i++)for(j=0;j<n;j++)if((i+j)%2) temp1*=A[i*n+j]; else temp*=A[i*n+j];X=temp-temp1;}else{for(k=0;k<n;k++){for(i=0,j=k;i<m,j<n;i++,j++) temp*=A[i*n+j];if(m-i){for(p=m-i,r=m-1;p>0;p--,r--) temp*=A[r*n+p-1];}s+=temp;temp=1;}for(k=n-1;k>=0;k--){for(i=0,j=k;i<m,j>=0;i++,j--) temp1*=A[i*n+j];if(m-i){for(p=m-1,r=i;r<m;p--,r++) temp1*=A[r*n+p];}s1+=temp1;temp1=1;}X=s-s1;}return X;}void initmat_A(double a[][9],double r){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)a[j]=0;for(i=0;i<9;i++){a=1+r;if(i!=8) a[i+1]=-0.5*r;if(i!=0) a[i-1]=-0.5*r;}}void initmat_B(double b[][9],double r){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)b[j]=0;for( i=0;i<9;i++){b=1-r;if(i!=8) b[i+1]=0.5*r;if(i!=0) b[i-1]=0.5*r;}}void initmat_C(double C[][9]){ for(int i=0;i<9;i++)for(int j=0;j<9;j++)C[j]=0;}void main(){double a[100][11];for(int i=0;i<100;i++)for(int j=0;j<11;j++)a[j]=0;//初始化;for(i=0;i<100;i++){a[0]=0;a[10]=0;}for(int j=1;j<10;j++){double p=4*3.14*j*0.1;a[0][j]=sin(p);}//取h=0.1*3.14,r=0.0005,t=0.0001*3.14*3.14; //得到矩阵a和矩阵bdouble A[9][9];initmat_A(A,0.005);double B[9][9];initmat_B(B,0.005);//B矩阵与Un相乘,en是0;double C[9][9];initmat_C(C);double *A_;A_=MatrixOpp(A[0],9,9);//A矩阵求逆;//A逆*Bfor(i=0;i<9;i++)for(j=0;j<9;j++)for(int s=0;s<9;s++)C[j]+=A_[i*9+s]*B[s][j];//填写a表格for(i=0;i<100;i++){for(j=1;j<10;j++)for(int s=0;s<9;s++)a[i+1][j]+=a[s+1]*C[j-1][s];}//输出表格for(i=0;i<100;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.8f ",a[j]);printf("\n");}printf("\n"); printf("\n");//利用精确解,求出表格for(i=0;i<100;i++){for(j=0;j<11;j++)printf("%1.8f",exp(-16*0.0001*0.0005*3.14*3.14*i)*sin(4*j*0.1*3.14));printf("\n");}}。
微分方程数值解 课程设计
![微分方程数值解 课程设计](https://img.taocdn.com/s3/m/1b4745d479563c1ec4da71de.png)
微分方程数值解课程设计姓名 *****学号 200******专业信息与计算科学课设题目:对初边值问题2222xu t u ∂∂=∂∂ (0<x<1) 0||10====x x u u 0>tx x u πsin 81)0,(=0|0=∂∂=t t u 10≤≤x 利用显式差分格式:)2(211211n m n m n m n m n m n m U U U r U U U -+-++-=+-求近似解。
其中1,025.0==∆=∆T x t ,并画出图形与解析解比较计算结果。
方程的解析解为)]}(sin[)]({sin[161t x t x u ++-=ππ 算法描述:1. 网格剖分 取]1,0[],1,0[∈∈x t)......2,1,0(,)......2,1,0(,n j jt t t m i ih x x j i ======2. 差分格式)2(211211n m n m n m n m n m n m U U U r U U U -+-++-=+- ...... (1)3. 初值处理,010====x x u u ,0),(),0(==⇒j m u j u ...... (2),0|0=∂∂=t tu ,0)0,()1,(=-⇒i u i u ...... ...... (3)x x u πsin 81)0,(=)),*(sin(*8/1)0,(i x i u ∏=⇒ ……(4) 由(1)~(4)通过迭代逐层可以求得数值解.j i u4.实验结果时间、空间均为0~1,且网格为4141⨯的数值与图像结果: >> x=[0:0.025:1];>> y=[0:.025:1];>> mesh(x,y,u)>> mesh(x,y,u1)近似解图像:精确解图像表一部分数值结果部分数值结果比较图像0.10.20.30.40.50.60.70.80.91Matlab程序:u=zeros(41,41) u1=zeros(41,41)h=0.025% ****³初值**************for i=1:41u(i,1)=0u(i,41)=0endfor j=2:40u(41,j)=(1/8)*[sin(pi*j*h)]u(40,j)=(1/8)*[sin(pi*j*h)]end%************近似解**************for i=39:-1:2for j=2:40u(i,j)=u(i+1,j-1)+u(i+1,j+1)-u(i+2,j)endend%**************精确解***************for i=1:40for j=1:40x1=i*h;t1=j*h;u1(i,j)=1/16*sin(pi*(x1-t1))+1/16*sin(pi*(x1+t1)) endend。
微分方程数值解课程设(2019年)
![微分方程数值解课程设(2019年)](https://img.taocdn.com/s3/m/9a8196a3195f312b3069a516.png)
微分方程数值解课程设计(五点差分格式测试及溢油事故的扩散行为模拟预测)2019年11月内容:1. 数值测试:椭圆型方程五点差分格式理论结论验证(大作业)包括:(1)方法理论结果验证:断误差分析(讨论是否收敛及收敛阶,通过选取不同的步长,观测步长与误差的关系)。
(2)简单的可视化等。
2. 应用实例: 溢油事故的扩散行为模拟预测船舶溢油事故给海洋环境带来了严重的危害。
溢油事故的发生在危害海洋生态环境的同时,也给当地的渔业及旅游业等造成了不可估量的经济损失。
随着时间的移动,在外界条件的作用下,进入海洋中的溢油可能会发生风化、扩散及漂移等一系列的变化,致使处理它的难度增加。
需要更加高效的溢油回收、处置和清除的技术。
处理溢油的常见方法有微生物分解法、化学处理法以及物理回收法微生物。
分解法主要是依赖于能够对石油进行分解的微生物;化学处理法主要是通过消油剂及特定条件下的燃烧来完成的;物理回收方法主要采用机械装置,如专业收油器等强行回收海面溢油。
从环境保护和资源回收再利用的方面考虑,由于消油剂具有毒性及微生物的分解缓慢,采用机械设备回收海面溢油是最理想的处理方式。
下面我们讨论用围油栏结合收油器装置的处理窄河道溢油问题。
当紧急溢油事故发生时,我们通常采用围油栏和收油装置结合的方法对溢油污染进行紧急处理。
溢油发生时我们先用围油栏对溢油进行拦截使溢油范围缩小到一定程度,再利用收油装置对汇聚起来的溢油进行收集。
然而我们在使用收油器时,需要注意收油器的额定收油量。
在收油的过程中,单位时间收油量应与其额定收油量相同,当比额定收油量大时, 将会导致收油装置的堵塞、失效;当比额定收油量小时,收油装置就不能达到最佳的工作状态。
通过数值模拟,我们可以进一步确定围油栏内的油浓度变化,进而根据收油装置在单位时间内额定收油量来选择合适的收油速度。
当溢油发生后,围油栏会立刻围住溢油,假设河道较窄,因此可认为流动的溢油在Y 方向上的浓度分布是一致的,故只需考虑X 方向上的溢油变化,即该物理问题可通过一维浓度扩散方程来进行模拟(我们采取无量纲的形式,只考虑理想状态下的溢油扩散问题进行模拟)。
(整理)微分方程数值解法课程设计报告
![(整理)微分方程数值解法课程设计报告](https://img.taocdn.com/s3/m/6d175eac2cc58bd63186bded.png)
《微分方程数值解》课程设计课设题目:团队成员:081110209 丘凯倩081110202 江雨芮 081110232 黄东方 081110310 曲 健 081110311 代永轩指导教师:王春武二〇一四年六月十六日T5-分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题目录一、第十组团队成员及分工 (3)二、研究问题 (4)三、理论分析 (4)四、数值方法 (6)五、计算结果 (9)六、总结及体会 (11)一、第十组团队成员及分工【丘凯倩】081110209 组长统一规划团队课程设计分工,并及时分配任务。
同时,负责给出格式、求解格式的截断误差,对小组成员的成果进行最终汇总。
【江雨芮】081110202 组员分析课设题目,运用MATLAB进行总体编程,负责代码改进与调试工作,并给出各个格式的程序流程图。
【黄东方】081110232 组员分析课设题目,给出“欧拉公式”的求解方法及编程思路,代表小组进行汇报展示。
【曲健】081110310 组员按组长分配的任务,给出“改进欧拉公式”的求解方法及编程思路,并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。
【代永轩】081110311 组员配合团队其他成员,给出“四级四阶R-K法”的求解方法及编程思路,并负责PPT及课程设计报告的撰写工作。
二、研究问题分别利用欧拉公式、改进的欧拉公式和经典的四级四阶龙格-库塔公式求解常微分方程组的初值问题:21141(0),2dy y dx y ⎧⎡⎤=⎪⎢⎥-⎪⎣⎦⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩01001,.x h <≤=。
三、理论分析1.欧拉公式),(y 1n n n n y x hf y +=+为简化分析,人们常在)(y n n x y =的前提下估计误差*11)(++-n n y x y 。
这种误差称为局部截断误差。
对于欧拉格式,))(,()(*1n n n n x y x hf x y y +=+而按泰勒公式展开有)(2)()()(21ξy hx y h x y x y n n n ''+'+=+因此有)(2)(2*11ξy h yx y n n ''=-++ 所以欧拉公式的截断误差为)(2h O 。
(完整word版)偏微分方程数值解课程设计
![(完整word版)偏微分方程数值解课程设计](https://img.taocdn.com/s3/m/27b86329f01dc281e53af0df.png)
课程设计报告课程:偏微分方程数值解学号:姓名:班级:教师:《偏微分方程数值解》课程设计指导书一.课程设计的目的1.帮助掌握偏微分方程数值解相关知识。
2.理解偏微分方程数值解差分隐格式解决自由振动方程问题的方法。
3.锻炼编写程序代码的能力。
二.设计名称差分法求自由振动问题的周期解。
三.设计要求1.要求写出差分隐格式的理论方法。
2.要求编写matlab 程序,画出函数图形。
3.要求写出实验总结及心得体会。
四.设计题目用差分法求自由振动问题的周期解:2222000,,0|0,|sin (0,)(2,)t t u ux t t x u u x t u t u t π==⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎪∂⎪==⎨∂⎪=⎪⎪⎩要求用差分隐格式求解,其中14θ=。
五.设计细则 1.区域剖分:构造上式的差分逼近,取空间步长h 和时间步长τ,用两族平行直线⎩⎨⎧===±±===,2,1,0,,,2,1,0,n n t t j jh x x n j τ 作矩形网格。
2.离散格式:显格式:于网点),(n j t x 用Taylor 展式,并整理方程得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--++=+-++==-+-++-12112110210102100)1(2)(),()()1()]()([2),(n j n j n j n j n j j j j j j j j u u r u u r u x x r x x r u x u τϕϕϕϕϕ隐格式:上述显格式并不是绝对稳定的差分格式,为了得到绝对稳定的差分格式,用第1-n 层、n 层、1+n 层的中心差商的权平均去逼近xx u ,得到下列差分格式:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-++--++-=+-+-++==----+-++-+++-++-]22)21(2[2),()()1()]()([2),(211111211211111221110210102100h u u u h u u u h u u u a u u u x x r x x r u x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j j j j j j θθθττϕϕϕϕϕ其中10≤≤θ是参数。
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[1]胡建伟汤怀民。微分方程数值方法。科学出版社。1999 年 01 月 参 [2] 陈渝周璐钱方等。数值方法(MATLAB 版)。电子工业出版社。2002.6 考 [3]尹泽明,丁春丽等。精通 MATLAB 6。清华大学出版社。2006.6 资 [4]Cleve B.Moler。MATLAB 数值计算。机械工业出版社 2006.6 料
.专业
.
问题解答
问题一:比较 Adams 四阶 PECE 模式和 PMECME 模式。
问题引出:将阿达姆斯方法显式与隐式方法作一对比,以说明预测——校 正格式的必要性。这些方法的阶及误差常数列表如下:
步数
阶q
显式
隐式
误差常数 Cq1
显式
隐式
1
1
2
1
1
2
12
2
2
3
5
1
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3
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论文阐述的是常微分方程数值解法的几个问题,通过对以下问题的求解 一.比较 Adams 四阶 PECE 模式和 PMECME 模式。 二.求解贝塞尔方程并与精确解比较。 三.小型火箭初始重量为 1400kg,其中包括 1080kg 燃料。火箭竖直向上发射 时燃料燃烧率为 18kg/s,由此产生 32000N 的推力,火箭引擎在燃料用尽时 关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方,比例系数为 0.4kg/m,求 引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度,及火箭到达最高点时的高度和加 速度,并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 来加强对用数值解法解常微分方程实际问题的能力。
指导教师: 教师职称:
教授
.专业
.
燕山大学课程设计(论文)任务书
院(系):理学院
教学单位:
学号
XXX
学生姓名
XXX
专业(班级)
11 计算数学
设计题目 常微分方程数值解法课程设计
设 一. 比较 Adams 四阶 PECE 模式和 PMECME 模式。
计 二. 求解贝塞尔方程并与精确解比较。
三. 小型火箭初始重量为 1400kg,其中包括 1080kg 燃料。火箭竖直向上发射
1、程设计要在两周内完成; 工 作 2、根据已知题目找出解题方法,然后利用 Matlab 进行计算; 量 3、正文在 3000 字左右。
第一天:收集资料,阅读参考文献; 工 第二天:构建数学模型; 作 第三天:设计计算机流程图,编制计算机程序,上机运算,调试程序; 计 第四天:计算结果分析 划 第五天:撰写报告等
.
微分方程数值方法课程设计
Basic Theory of Ordinary Differential Equations Experiment Report
教务处 2014 年 7 月
.专业
.
课程设计说明书
题目: 常微分方程数值解法课程设计
学院(系): 理学院 年级专业: 计算科学 11-1 学生姓名:
指导教师签字
.专业
基层教学单位主任签字
.
说明:此表一式四份,学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。 年月 日
燕山大学课程设计评审意见表
指导教师评语:
成绩: 答辩小组评语: 成绩:
课程设计总成绩:
指导教师: 年 月日
评阅人: 年 月日
.专业
答辩小组成员签字:
.
年 月日
.专业
.
摘要
本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究。主要讨论了 几种常用的数值解法:即欧拉法,改进欧拉法,龙格库塔方法,阿达姆斯 PECE,PMECME 格式等。文章最后结合常见数值解法,对较为典型的微分方程 模型进行数值求解,探讨了上述数值算法在实际建模问题中的应用。
P
u(0) n4
u (1) n3
h/24[55
f (1) n3
59
f (1) n2
37
f (1) n1
9
f
(1)]
n
E C
u(1)
n4
u (1) n3
f (0) n4
f
关键词:常微分方程数值解 MATLAB
.专业
.
目录
摘 要 ..................................................................................................................i 绪 论 .................................................................................................................1 问题解答…...………………………………………………………………2 总结……………………………………………………………….……...17 参考文献资料……………………………………..…………………..…17
.专业
.
绪论
很多科学技术和工程问题常用微分方程的形式建立数学模型,因此微分方 程的求解是很有意义的。建立微分方程只是解决问题的第一步,通常需要求出 方程的解来说明实际现象,并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于 分析和应用的,但是我们知道,虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法, 但解析方法只能用来求解一些典型的方程,而对于绝大多数的微分方程问题, 很难或者根本不可能得到它的解析解,实际问题终归结出来的微分方程主要靠 数值解法。因此,研究微分方程求解的数值方法是非常有意义的。
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由于阿达姆斯内插公式是隐式公式,故用它计算时也需用迭代法。通常把
阿达姆斯外插公式与内插公式结合起来使用,先由前者提供初值,再由后者进
行修正,所以 Adams 预测-校正格式既利用了隐式方法较好的稳定性及精确
性,有利用了显式方法的简易性,正是把两者结合起来,做到取长补短。
Adams 四阶预估-校正(PECE)公式:
容
时燃料燃烧率为 18kg/s,由此产生 32000N 的推力,火箭引擎在燃料用尽
时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方,比例系数为 0.4kg/m,
求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度,及火箭到达最高点时的高度
和加速度,并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
1、要通过课题背景的介绍,阐明选题的意义; 设 2、运用所学知识,建立问题的数学模型; 计 3、利用 Matlab 软件进行计算,并给出计算机程序框图及计算机程序; 要 求 4、运用所学知识,对计算结果进行分析;