反比例函数压轴题精选(含标准答案)

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中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题附答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．

（1）求k的值；

（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．

【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，

∵点D的坐标为（，2），

∴DO=AD=3，

∴A点坐标为：（，5），

∴k=5 ；

（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，

∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）

∴2= ，解得x= ，

∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，

∴菱形ABCD平移的距离为，

同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，

菱形ABCD平移的距离为，

综上，当菱形ABCD平移的距离为或时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；（2）B和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．

2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴

反比例函数压轴题精选(含答案)

例函数图像上的两点，动点在正半轴上运动，当线段
与线段之差达到最大时，点的坐标是D
A. B. C. D.
【解答】解：∵把A（1/2，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1/x得：y1=2，y2=1/2，
∴A（1/2，2），B（2，1/2），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB，
点的坐标为．
过点分别做轴，轴的垂线，垂足为，得矩形．
，，，．
．
解法二：如图2，
过点分别做轴的垂线，垂足为，
点在双曲线上，当时，．
点的坐标为．点，都在双曲线上，
．
．
，．
（3）反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，
，．四边形是平行四边形．
．
设点横坐标为，得．
（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；
（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．
解：（1）点横坐标为，当时，．
点的坐标为．
点是直线与双曲线的交点，
．
（2）解法一：如图1，点在双曲线上，当时，
∵A在y=﹣ 上，∴A的坐标是（a，﹣ ），
∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是，

反比例函数压轴题精选(含答案)

2009-2013年中考反比例函数

经典结论：

如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1

AOB AOC S S k ∆∆==

； (II ) OBAC S k =矩形。下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，

OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题

例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k

y x x

>经过矩形OABC 边

的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2

，则k = 2 ；

(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行

线交双曲线1

(0)y x x

>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x

y 6

=),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .

解析：因为A ，B 在反比例函数x

y 6

上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此

),(),,(2211y x B y x A 中有

212,y y x x -=-=，所以

24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x

例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

反比例函数大题(二大题型)—2024年中考数学压轴题专项训练(全国通用)解析版

反比例函数大题（二大题型）

通用的解题思路：

题型一．反比例函数与一次函数的交点问题

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

①当k 1与k 2同号时，正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝在同一直角坐标系中有2个交点；

②当k 1与k 2异号时，正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝

在同一直角坐标系中有0个交点．题型二．反比例函数综合题

（1）应用类综合题

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能待定系数法和其他学科中的知识．

（2）数形结合类综合题

利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．

题型一．反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题）

1．（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线1k y x =与直线232

y x =交于A ，B 两点．点(2,)A a 和点(,3)B b −在双曲线上，点C 为x 轴正半轴上的一点．

（1）求双曲线1k y x =的表达式和a ，b 的值；（2）请直接写出使得12y y >的x 的取值范围；

中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习含答案

一、反比例函数

1．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交

反比例函数图象于点C，连接OB．

（1）求k和b的值；

（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=﹣x+b和得：4=﹣1+b，4= ，解得：b=5，k=4

（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x＞4或0＜x＜1

（3）解：过A作AN⊥x轴，过B作BM⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，

∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：

由，解得：x=4，或x=1，

∴B（4，1），

∴，

∵，

∴，

过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），

∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP（CD+AE）=|t|=3，

解得：t=3，t=﹣3，

∴P（0，3）或P（0，﹣3）．

【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达

式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（4，

1），于是得到，由已知条

件得到，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反

反比例函数压轴题精选(含答案)

中考反比例函数之答禄夫天创作

经典结论：

如图，反比例函数k 的几何意义： (I) 12

AOB AOC S S k ∆∆==； (II) OBAC S k =矩形。下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形

(2)如图②，

OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题

例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k y x x

=>经过矩形

OABC 边

AB 的中点F 且交

BC 于点E ，四边形OEBF

的面积为

2，则k = 2 ；

(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x

=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -= 6 例2．(陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x

y 6=

的图象交

),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .

解析：因为A ，B 在反比例函数x

y 6=上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211y x B y x A 中有

1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x

例3．(山东威海)如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

m y =的图象交于

中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题附答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（，2）．

（1）求k的值；

（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y= （k＞0，x ＞0）的图象上时，求菱形ABCD平移的距离．

【答案】（1）解：作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，

∵点D的坐标为（，2），

∴DO=AD=3，

∴A点坐标为：（，5），

∴k=5 ；

（2）解：∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y= （x＞0）的图象上D′，∴DF=D′F′=2，

∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）

∴2= ，解得x= ，

∴FF′=OF′﹣OF= ﹣ = ，

∴菱形ABCD平移的距离为，

同理，将菱形ABCD向右平移，使点B落在反比例函数y= （x＞0）的图象上，

菱形ABCD平移的距离为，

2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴

反比例函数压轴题精选(含标准答案)

中考反比例函数

经典结论:

如图，反比例函数|k的几何意义:

(I) S

(II) S巨形OBAC

F面两个结论是上述结论的拓展

(1)如图①,

OPA S OCD

, S OPC

(2)如图②,

梯形OAPB S

梯形OBCA ，S BPE

经典例题

例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线

边AB的中点F且交BC于点E，

⑵如图，点A、B为直线y x上的两点，过A B两

点分别作y轴的平行线交双曲线y -(x 0)于C、D两点，若BD 2AC，

贝S 4OC2OD2

例2.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数y 6的图象交A(X i,yJB(X2,y2),

那E么(X2 X i)(y2 yj 值为__________ .

例3.如图，一次函数y kx b的图象与反比例函数y -的图象交于点A (- 2, - 5),

C( 5, n ),交y轴于点B,交X轴于点D.

(1)求反比例函数y m和一次函数y kX

⑵连接OA, OC.求厶AOC的面积.

例4.

如图，已知直线y 1x 与双曲线y -(k 0)交于A, B 两点，且点A 的横坐标为4 .

(1) 求k 的值；

(2) 若双曲线y k (k 0)上一点C 的纵坐标为8,求厶AOC 的面积；

(3) 过原点O 的另一条直线I 交双曲线y k (k 0)于P , Q 两点(P 点在第一象限),

若由点A , B , P , Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标

^*1^ r Q

十

E x

例5.(山东淄博)如图，正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E (3, 4).

反比例函数压轴题精选(含答案)

中考反比例函数之南宫帮珍创作

经典结论：

如图, 反比例函数k 的几何意义： (I) 12

AOB AOC S S k ∆∆==； (II) OBAC S k =矩形. 下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①,

OPA OCD S S ∆∆=, OPC PADC S S ∆=梯形.

(2)如图②,

OAPB OBCA S S =梯形梯形, BPE ACE S S ∆∆=.

经典例题

例 1.(1)(兰州)如图, 已知双曲线(0)k y x x

=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC

于点E , 四边形OEBF 的面积为2, 则k =

2 ；

(2)如图, 点A B 、为直线y x =上的两点, 过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x

=>于

C D

、两点, 若

2BD AC

=, 则

224OC OD -= 6

例2．(陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x

y 6=的图象交),(),,(2211y x B y x A , 那么))((1212y y x x --值为 24 .

解析：因为A, B 在反比例函数x

y 6=上, 所以611=y x ,

我们知道正

比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称, 因其中

)

,(),,(2211y x B y x A 有

212,y y x x -=-=, 所以

24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x

例3．(山东威海)如图, 一次函数b kx y +=的图象与反比例函数

反比例函数压轴题精选(含答案)

反比例函数

知识点回顾

由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：

一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题

设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|

∴xy=k 故S=|k| 从而得

如图，反比例函数k的几何意义：

(I ) 1

AOB AOC S S k ∆∆==

； (II ) OBAC S k =矩形。下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，

OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题

例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k

y x x

>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k =

2 ；

(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y

轴的

平行线交双曲线1

(0)y x x

=>于C D 、两点，若2BD AC =，则

224OC OD -=

例2(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x

中考数学反比例函数-经典压轴题附答案

一、反比例函数

1．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点，点A的坐标为（2，3n），点B的坐标为（5n+2，1）．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，使平移后的图象与反比例函数

y= 的图象有且只有一个交点，求a的值；

（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，则点E的坐标为________．

【答案】（1）解：∵A、B在反比例函数的图象上，

∴2×3n=（5n+2）×1=m，

∴n=2，m=12，

∴A（2，6），B（12，1），

∵一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，

∴，

解得，

∴反比例函数与一次函数的表达式分别为y= ，y=﹣ x+7．

（2）解：设平移后的一次函数的解析式为y=﹣ x+7﹣a，

由，消去y得到x2+（2a﹣14）x+24=0，

由题意，△=0，（21a﹣14）2﹣4×24=0，

解得a=7±2 ．

（3）（0，6）或（0，8）

【解析】【解答】（3）设直线AB交y轴于K，则K（0，7），设E（0，m），

由题意，PE=|m﹣7|．

∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，

∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5．

∴|m﹣7|=1．

∴m1=6，m2=8．

∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．

故答案为（0，6）或（0，8）．

【分析】（1）由A、B在反比例函数的图象上，得到n，m的值和A、B的坐标，用待定系数法求出反比例函数与一次函数的表达式；（2）由将一次函数y=kx+b的图象沿y轴向下平移a个单位，得到平移后的一次函数的解析式，由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，得到方程组求出a的值；（3）由点E为y轴上一个动点和S△AEB=5，求出点E的坐标.

中考数学反比例函数-经典压轴题附答案解析

中考数学反比例函数 -经典压轴题附答案解析

一、反比例函数

1．如图，矩形 OABC 的顶点 A 、 C 分别在 x 、y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比

2）将矩形 OABC 的进行折叠，使点 O 于点 D 重合，折痕分别与 x 轴、 y 轴正半轴交于点 F ，G ，求折痕 FG 所在直线的函数关系式．【答案】（1）∵反比例函数 y= （k ≠0）在第一象限内的图象经过点

E （3，）， ∴反比例函数的表达式为 y= ．

又∵点 D （m ，2）在反比例函数 y= 的图象上， ∴2m=2 ，解得： m=1

（2）解：设 OG=x ，则 CG=OC ﹣OG=2﹣x ，∵点 D （ 1， 2）， ∴CD=1．

在 Rt △CDG 中，∠DCG=9°0，CG=2﹣x ，CD=1，DG=OG=x ， ∴CD 2+CG 2=DG 2 ，即 1+（ 2﹣ x ） 2=x 2 ，

解得： x= ，

∴点 G （0，）．

过点 F 作 FH ⊥ CB 于点 H ，如图所示．

D （m ，2）和 AB 边上的点

E （3，

由折叠的特性可知： ∠GDF=∠GOF=9°0 ，OG=DG ，OF=DF ． ∵∠ CGD+∠

CDG=90 ，°∠CDG+∠ HDF=90 ，° ∴∠ CGD=∠HDF ，

∵∠ DCG=∠ FHD=90 ，°

∴△ GCD ∽△DHF ，

∴ =2 ，

∴DF=2GD= ，

∴点 F 的坐标为（，0）．

设折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=ax+b ，

∴折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=﹣ x+

反比例函数压轴题精选(含标准答案)

中考反比例函数

经典结论：

如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12

AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形

(2)如图②，

OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE S S ∆∆=

经典例题

例1.(1)(兰州)

如图，

已知双曲线(0)k

y x x

=>经过矩形OABC

边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ；

(2) 如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两

点分别作y 轴的平行线交双曲线1

(0)y x x

=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -=

例2．如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x

y 6

=的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 .

例3．如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

m y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，

C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点

D ．

(1) 求反比例函数x

m y =和一次函数b kx y +=

(2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．

例4．

如图，已知直线1

2y x =与双曲线(0)k y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；

（2）若双曲线(0)k y k x

=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；

反比例函数压轴题精选(含标准答案)

2009-2013年中考反比例函数

经典结论：

如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1

AOB AOC S S k ∆∆==

； (II ) OBAC S k =矩形。下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②， O A P B O B C

S S =梯形梯形

，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题

例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k

y x x

>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；

(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行

线交双曲线1

(0)y x x

>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -

例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x

y 6

=),(

),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .

解析：

因为A

，B 在反比例函数x

y 6

上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此

),(),,(2211y x

B y

x A 中有1

212

,y y x x -=-=，所以

24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x

例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

反比例函数压轴题精选(含标准答案)

中考反比例函数

经典结论：

如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12

AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形

(2)如图②，

OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE S S ∆∆=

经典例题

例1.(1)(兰州)

如图，

已知双曲线(0)k

y x x

=>经过矩形OABC

边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ；

(2) 如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两

点分别作y 轴的平行线交双曲线1

(0)y x x

=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -=

例2．如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x

y 6

=的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 .

例3．如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

m y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，

C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点

D ．

(1) 求反比例函数x

m y =和一次函数b kx y +=

(2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．

例4．

如图，已知直线1

2y x =与双曲线(0)k y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；

（2）若双曲线(0)k y k x

=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；

中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案

一、反比例函数

1．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．

（1）试确定此反比例函数的解析式；

（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴

的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．

【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，

∴反比例函数的解析式为y=﹣

（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．

在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，

∴OA= =2，∠AOC=30°，

∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOC=60°．

过点B作x轴的垂线交x轴于点D．

在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，

∴B点坐标为（﹣1，），

将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，

∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上

（3）解：由y=﹣得xy=﹣，

∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，

∴m（ m+6）=﹣，

∴m2+2 m+1=0，

∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．

∵△OQM的面积是，

∴OM•QM= ，

∵m＜0，∴mn=﹣1，

∴m2n2+2 mn2+n2=0，

∴n2﹣2 n=﹣1，

∴n2﹣2 n+9=8．

【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由