第04章 目标规划

5
目前，目标规划已经在经济计划、 目前，目标规划已经在经济计划、 生产管理、经营管理、市场分析、 生产管理、经营管理、市场分析、 财务管理等方面得到了 广泛的应用。 广泛的应用。
6
目标规划的基本概念
• 例1：某厂计划在下一个生产周期内生产 甲、乙两种产品，已知资料如表所示。 试制定生产计划，使获得的利润最大？ 同时，根据市场预测，甲的销路不是太 好，应尽可能少生产；乙的销路较好， 可以扩大生产。试建立此问题的数学模 型。
18
• 例2：若在例1中提出下列要求：
– 完成或超额完成利润指标 50000元； – 产品甲不超过200件，产品乙不低于 250件； – 现有钢材3600吨必须用完。
试建立目标规划模型。
19
分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。 分析：题目有三个目标层次，包含四个目标值。 第一目标： P 第一目标： 1 ( d 1− ) d 2+ ，乙 d 3− ，但 第二目标： 第二目标：有两个要求即甲 两个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。 两个具有相同的优先因子，因此需要确定权系数。本 :120， 题可用单件利润比作为权系数即 70 :120，化简为 7:12。 7:12。
– P1：救护车购置费不超过400万元； – P2：A县的响应时间不超过5min； – P3：B县的响应时间不超过5min。
要求：建立目标规划模型。
27
min z = Pd + P2 d + P d
+ 1 1
+ 2
+ 3 3
20 x A + 20 xB + d1− − d1+ = 400 − + 40 − 3 x A + d 2 − d 2 = 5 − + 50 − 4 xB + d3 − d3 = 5 x , x ≥ 0; d − , d + ≥ 0, (i = 1, 2,3) i i A B
11
• 在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又 未达到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0 – 当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋ ≥0, d－＝0 – 当未完成规定的指标则表示：d＋＝0, d－≥0 – 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－＝0 成立。
max z=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
显然，这是一个多目标规划问题，用线性规划方法 很难找到最优解。
9
目标函数值
• 目标函数通过引入目标值和偏差变量， 可以将目标函数转化为目标约束。
28
• 例5 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同 一生产线上完成，三种产品时的工时消耗分别为 6、8、10小时，生产线每月正常工作时间为200 小时；三种产品销售后，每台可获利分别为500、 650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：1、利润指标为每月 16000元，争取超额完成；2、充分利用现有生产 能力；3、可以适当加班，但加班时间不得超过 24小时；4、产量以预计销售量为准。试建立目 标规划模型。
22
• 解：分析第一目标，即产品Ⅰ的产量不大于 Ⅱ的产量：1 (d1+ ) P + − P2 (d 2 + d 2 ) 第二目标： P3 (d3− ) 第三目标： 规划模型： + − min Z = P (d1+ ) + P2 (d2 + d2 ) + P3 (d3− ) 1
x1 − x2 + d1− − d1+ = 0 − + x1 + 2 x2 + d2 − d2 = 10 8x1 + 10 x2 + d3− − d3+ = 56 2 x + x ≤ 11 1 2 x1,2 ≥ 0, d + , d − ≥ 0 ( j = 1, 2,3) j j
目标规划和线性规划的比较
• 线性规划只讨论一个线性目标函数在一 组线性约束条件下的极值问题；而目标 规划是多个目标决策，可求得更切合实 际的解。 • 线性规划求最优解；目标规划是找到一 个满意解。
4
目标规划和线性规划的比较
• 线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约 束；而目标规划中有轻重缓急和主次之分，即 有优先权。 • 线性规划的最优解是绝对意义上的最优，但需 花去大量的人力、物力、财力才能得到；实际 过程中，只要求得满意解，就能满足需要（或 更能满足需要）。
– 目标值：是指预先给定的某个目标的一个期 望值。 – 实现值或决策值：是指当决策变量xj选定以 后，目标函数的对应值。
10
偏差变量
• 偏差变量（事先无法确定的未知数）： 是指实现值和目标值之间的差异，记为 d。
– 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分， 记为d＋。 – 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部 分，记为d－。
7
单位 资源
产品 消耗
甲 9 4 3 70
乙 4 5 10 120
ຫໍສະໝຸດ Baidu
资源限制 3600 2000 3000
钢材 煤炭 设备台时 单件利润
8
设：甲产品 一般有：
x1，乙产品
x2 同时： max z1=70 x1 + 120x2 min z2= x1 max z3= x2 9 x1 +4 x2≤3600 4 x1 +5 x2≤ 2000 3 x1 +10 x2≤3000 x1 ， x2 ≥0
23
目标规划的数学模型
• 模型的一般形式
− + min Z = ∑ Pk (∑ ωkl dl− + ωkl dl+ ) k =1 l =1 K L
n ckj x j + dl− − dl+ = ql (l = 1.2⋯ L) ∑ j =1 n a x ≤ (= . ≥)b (i = 1.2⋯ m) i ∑ ij j j =1 xj ≥ 0 (j = 1.2⋯ n) + dl ，dl− ≥ 0 (l = 1.2⋯ L)
29
解：设 x1 , x2 , x3分别表示三种产品的产量， 则该问题的目标规划模型为 min Z = p1d1− + p 2 d 2 − + p3 d 3 + + p4 ( d 4 − + d 4 + + d 5 − + d 5 + + d 6 − + d 6 + ) 500 x1 + 650 x2 + 800 x3 + d1− − d1+ = 16000 6 x1 + 8 x2 + 10 x3 + d 2 − − d 2 + = 200 d + + d − − d + = 24 3 3 2 x1 + d 4 − − d 4 + = 12 x2 + d 5 − − d 5 + = 10 x + d − − d + = 6 6 6 3 x1 , x2 , x3 ≥ 0, d i − , d i + ≥ 0(i = 1, 2, ⋯ , 6)
13
例如：在例1中，规定Z1的目标值为 50000,正、负 偏差为d＋、d－,则目标函数可以转换为目标约束，即 − + 70 x1 + 120 x2＋d1 − d1 ＝50000， ， 同样，若规定 Z2＝200， Z3＝250 则有
x1 + d − d = 200
− 3 + 3
− 2
+ 2
x2 + d − d = 250
d + , d − ≥ 0 ( j = 1.2.3) j j
若规定3600的钢材必须用完，原式9 x1 +4 x2 ≤3600 则变为
9 x1 + 4 x2 + d − d = 3600 d , d ≥ 0
14
− 4
+ 4
+ 4
− 4
达成函数（即目标规划中 的目标函数）
• 达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数， 记为 minZ = f(d＋、d－)。 • 一般来说，有以下三种情况，但只能出现其中 之一：
21
• 例3：某厂生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，有关数 据如表所示。试求获 利最大的生产方案？ 在此基础考虑： 1 产品Ⅱ的产量不低 原材料 于产品Ⅰ的产量； 设备(台 2 充分利用设备有 设备 台 时) 效台时，不加班； 3 利润不小于 56 元。 单件利润
Ⅰ 2 1 8
Ⅱ 1 2 10
拥有 量 11 10
12
目标约束和绝对约束
• 引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一 问题有了新的限制，即目标约束。 • 目标约束既可对原目标函数起作用，也可对原 约束起作用。目标约束是目标规划中特有的， 是软约束。 • 绝对约束（系统约束）是指必须严格满足的等 式或不等式约束。如线性规划中的所有约束条 件都是绝对约束，否则无可行解。所以，绝对 约束是硬约束。
30
例6 已知条件如表所示
型号 工序 小时/台 Ⅰ（小时 台） 小时/台 Ⅱ（小时 台） 利润（元/台） 利润（ 台 A 4 3 300 B 6 2 450 每周最大 加工能力 150 70
如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： 如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下： p1: 每周总利润不得低于 每周总利润不得低于10000元； 元 p2: 因合同要求，A型机每周至少生产 台，B型机每 因合同要求， 型机每周至少生产 型机每周至少生产10台 型机每 周至少生产15台 周至少生产 台； p3: 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为 希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序 小时， 小时 的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。 31 试建立这个问题的目标规划模型。 试建立这个问题的目标规划模型。
24
目标规划的数学模型
• 建模步骤
– 根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目 标值，列出目标约束与绝对约束； – 可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化 为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变 量和减去正偏差变量即可。 – 给各目标赋予相应的优先因Pk(k=1.2…K)。 – 对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重 + − ω kl 和ω kl 。 要程度的不同，赋予相应的权系数
第4章 目标规划 章 (Goal programming)
宁波大学商学院
1
本章内容
• • • • • 目标规划概述 目标规划的数学模型 目标规划的图解法 目标规划的单纯形法 层次分析法
2
目标规划概述
• 目标规划是在线性规划的基础上，为适 应经济管理中多目标决策的需要而逐步 发展起来的方法之一。
3
– 要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要 尽可能小，则minZ = f(d＋＋d－) – 要求不超过目标函数值，即允许达不到目标值，也 就是正偏差变量尽可能小，则minZ = f(d＋)。
15
达成函数（即目标规划中 的目标函数）
– 要求超过目标值，即超过量不限，但不低于 目标值，也就是负偏差变量尽可能小，则 minZ = f(d－)。 对于由绝对约束转化而来的目标函数， 也照上述处理即可。
∴ P2 ( 7 d
+ 2
+ 12 d )
20
− 3
第三目标： 第三目标：
P3 ( d 4+ + d 4− )
目标规划模型为： 目标规划模型为： min Z = P1 ( d1− ) + P2 (7 d 2+ + 12 d 3− ) + P3 ( d 4+ + d 4− )
70 x1 + 120 x2 + d1− − d1+ = 50000 x1 + d 2− − d 2+ = 200 x2 + d 3− − d 3+ = 250 9 x1 + 4 x2 + d 4− − d 4+ = 3600 4x + 5x ≤ 2000 1 2 3 x1 + 10 x2 ≤ 3000 x1,2 ≥ 0, d + , d − ≥ 0 ( j = 1.2.3.4) j j
16
优先因子（优先等级）与 优先权系数
• 优先因子Pk是将决策目标按其重要程度排序并 表示出来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK ， k=1.2…K。 • 权系数ωk ：区别具有相同优先因子的两个目 标的差别，决策者可视具体情况而定。
17
满意解 （具有层次意义的解）
• 对于这种解来说，前面的目标可以保证 实现或部分实现，而后面的目标就不一 定能保证实现或部分实现，有些可能就 不能实现。
25
– 根据决策者要求，按下列情况之一 d l+ + d l− • 恰好达到目标值： d l− • 允许超过目标值； • 不允许超过目标值：d l+ 构造一个由优先因子和权系数相 对应的偏差变量组成的，要求实现极 小化的目标函数，即达成函数。
26
• 例4 某市准备在下一年度预算中购置一批救护 车，已知每辆救护车购置价为20万元。救护车 用于所属的两个郊区县，各分配xA台和xB台， A县救护站从接到求救电话到救护车出动的响 应时间为(40-3xA)min，B县的响应时间为(504xB)min，该市确定如下优先级目标。