最新指数和指数幂的运算教案和课后习题汇编
《指数与指数幂的运算》教案
《指数与指数幂的运算》教案
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解n 次方根与根式的概念； （2）正确运用根式运算性质化简、求值； （3）了解分类讨论思想在解题中的应用. 2．过程与方法
通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的概念，进而学习根式的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （2）培养学生认识、接受新事物的能力
三、教学重点
教学重点：（1）根式概念的理解； （2）掌握并运用根式的运算性质 四、教学难点
教学难点：根式概念的理解 五、教学策略
发现教学法
1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. 六、教学准备
回顾初中时的整数指数幂及运算性质，
0,1(0)
n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠
七、教学环节
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）
第一课时 根式
教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解
教案方法：学导式
教案过程：
（I ）复习回顾
引例：填空 *)n a a a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)； _____=； （II ）讲授新课
1.引入：
（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n
a a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n b
a )(可看作m n
a a -⋅，所以n n
n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有：
2.n 次方根的定义：（板书）
问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程：
解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案
教案标题：指数与指数幂的运算
教案概述：
本教案旨在帮助学生理解指数与指数幂的概念，并掌握指数与指数幂的运算规则。通过多种互动教学方法，学生将能够在实际问题中应用指数与指数幂的知识，提高他们的数学思维和解决问题的能力。
教学目标：
1. 理解指数和指数幂的概念。
2. 掌握指数与指数幂的运算规则。
3. 能够在实际问题中应用指数与指数幂的知识。
教学重点：
1. 指数的定义和性质。
2. 指数幂的定义和性质。
3. 指数与指数幂的运算规则。
教学准备：
1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、教学课件、实物或图片示例。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、计算器。
教学过程：
步骤一：引入（5分钟）
教师通过提问和展示实物或图片示例引入指数与指数幂的概念，激发学生的兴趣和思考。
步骤二：概念讲解（15分钟）
教师通过教学课件或黑板白板讲解指数的定义和性质，以及指数幂的定义和性质，并与学生一起解决一些简单的例题。
步骤三：运算规则讲解（15分钟）
教师详细讲解指数与指数幂的运算规则，包括同底数相乘、相除、幂的乘方等规则，并通过例题演示运用这些规则进行运算。
步骤四：练习与巩固（20分钟）
教师提供一些练习题，让学生在课堂上进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。教师还可以设计一些应用题，让学生运用指数与指数幂的知识解决实际问题。
步骤五：总结与拓展（10分钟）
教师与学生一起总结本节课的重点内容，并提供一些相关拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索。
步骤六：作业布置（5分钟）
教师布置相关的作业，要求学生独立完成，并在下节课前交给教师检查。
高中数学《指数与指数幂的运算》导学案
结论:an开偶次方根,则有 =|a|
二、知识应用
例1求下列各式的值:
（1） ；（2） ；
（3）；（4） (a＞b)
规律wenku.baidu.com法根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．
(2)注意点：①正确区分( )n与 两式；②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
五、作业布置教材1，2，4
A组：基础过关
1．下列各式正确的是()
A． ＝－3B． ＝a
C． ＝2D． ＝2
解析由于 ＝3， ＝|a|， ＝－2，故A，B，D错误，故选C．
答案C
2．若(1－2x)－ 有意义，则x的取值范围是()
A．x∈RB．x∈R且x≠
C．x＞ D．x＜
解析∵(1－2x)－ ＝ ，∴1－2x＞0，
解析由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
12．计算下列各式的值：
(1)(0.027) － ＋256 ＋(2 ) －3－1＋π0；
(2)7 －3 －6 ＋ ；
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算教案
一、教学目标：
知识与技能目标：
1. 理解指数与指数幂的概念。
2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。
3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。
过程与方法目标：
1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。
2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度与价值观目标：
1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。
二、教学重点与难点：
重点：
1. 指数与指数幂的概念。
2. 指数幂的运算性质和运算法则。
难点：
1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。
2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。
三、教学准备：
教师准备：
1. 指数与指数幂的相关教学素材。
2. 教学课件或板书设计。
学生准备：
1. 预习指数与指数幂的相关知识。
2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。
四、教学过程：
1. 导入：
教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。
2. 新课讲解：
教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。
3. 课堂练习：
教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。
4. 应用拓展：
教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。
五、课后作业：
教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。
教学反思：
教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调
指数与指数幂的运算教案
课题：指数与指数幂的运算第课时总序第个教案课型：新授课编写时间：年月日执行时间：年月日
批注教学目标：
1.知识与技能
理解n次方根和根式的概念；理解有理数指数幂的意义，通过具体事例
了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；培养学生观察、分析、抽象等
认知能力。
2.过程与方法
通过师生共同讨论和探究的方法，使得学生参与到指数范围的扩充和完
善的过程中，从而领会类比、从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法
的运用和提高分析解决问题的能力。
3.情感态度与价值观
体会数学模型与实际问题之间的关系，从而感受数学的应用价值；
让学生体验数学的简洁美和统一美。让学生学会用联系的观点看待问题。
教学重点: 本节的教学重点是理解有理数指数幂的意义、掌握幂的运算.
教学难点：本节的教学难点是理解根式的概念、掌握根式与分数指数幂之
间的转化、理解无理数指数幂的意义。
教学用具：黑板
教学方法：根据本节课的特点，采用问题探究、引导发现和归纳概括相结
合的教学方法。
教学过程：（一）导入新课
1、引导学生回忆函数的概念，说明学习函数的必要性，引出实例。
2、以实例引入，让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究
分数指数幂的兴趣与欲望。
问题：当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，
大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。根据
此规律，人们想获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t的关系。
引导学生得出关系式：
573012t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭
总结关系式能解决实际问题，让学生体会数学的应用价值，同时指出为了更好地解决实际问题必须进一步深入学习函数。
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（ 2 课时）
第一课时根式
教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解
教案方法：学导式
教案过程：
（I）复习回顾
引例：填空
（1）
0=1
（a 0) ；
0=1
（a
0) ；
n * )
a a a n N
（； a
n a
个
a n
1
n
a
(a 0, n N *)
(2) m n m n m n
mn n n n
a a a (m,n∈Z)；(a ) a
(m,n∈Z)；(ab ) a b (n∈Z)
（3）9 _____ ；- 9 _____ ；0 ______ （4）( a)2 _____( a 0) ；a2 ________
（II ）讲授新课
1 / 15
1.引入：
（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n
a a
可看作m n
a a ,所以
m n m n
a a a 可以归入性质
m n m n
a a a ；又因为
a
n
( ) 可看作
b
m n
a a ，所以
n
a a
n n n n
( ) 可以归入性质( ab) a b (n∈Z)）,这是为下面学习分n
b b
数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先
要学习n 次根式
（n N* ）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
22=4 ，（-2）2=4 2，-2 叫4 的平方根
23=8 2 叫8 的立方根；（-2）3=-8 -2 叫-8 的立方根
指数与指数幂的运算教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）
第一课时 根式
教学目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解
教学方法：学导式
教学过程：
（I ）复习回顾
引例：填空 *)n a a a n N ⋅∈个（； m n a += (m,n ∈Z)； _____=； （II ）讲授新课
1.引入：
（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n
a a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n b
a )(可看作m n
a a -⋅，所以n n
n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有：
2.n 次方根的定义：（板书）
问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程：
解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根；
《指数》教案与同步练习
《4.1 指数》教案
第一课时 n次方根与指数幂
【教材分析】
学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。
【教学目标与核心素养】
课程目标
1.理解n次方根、根式的概念与指数幂的概念．
2.掌握指数幂和根式之间的互化、化简、求值；
3.掌握指数幂的运算性质。
数学学科素养
1.数学抽象：n次方根、根式的概念与指数幂的概念；
2.逻辑推理：指数幂和根式之间的互化；
3.数学运算：利用指数幂的运算性质化简求值；
4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出指数幂的概念，和指数幂的性质。
【教学重难点】
重点：（1）根式概念的理解；
（2）指数幂的理解；
（3）掌握并运用指数幂的运算性质.
难点：根式、指数幂概念的理解．
[教学方法]：
以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】
一、情景引入
关于根号的故事，最有价值和意义的当属2的发现，它导致了第一次数学危机，并促使了逻辑学和几何学的发展．
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石．而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰．
对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2 的诞生．小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴．史称“第一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号2，撼动了学派的基石而被扔进大海．
指数与指数幂的运算(第一课时)教案
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)
一、教材分析：本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.1指数函数的内容. 二、学习目标：
①理解n 次方根与根式的概念;
②正确运用根式运算性质化简、求值; ③了解分类讨论思想在解题中的应用.
三、教学重点：理解有理数指数幂的含义及其运算性质．
四、教学难点：理解方根和根式的概念，掌握根式的性质，会进行简单的求n 次方根
的运算.
五、课时安排：2课时 六、教学过程
（一）、自主导学（课堂导入）
1、设计问题,创设情境
问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:
①当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?
21，,...)2
1
(,)21(32 ②当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内碳14的含量P 分别为原来的多少?
5730
100000
573010000
57306000
)2
1(,)21(,)21(
③由以上的实例来推断生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系式应该是什么?
5730
21t
p ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
考古学家根据上式可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值.那么这些数
2
1，,...)2
1
(,)21(32,5730
1000005730
100005730
(完整版)指数与指数幂的运算习题(含答案),推荐文档
2 2 2 ⎝ ⎝ ⎭⎭
指数与指数幂的运算 习题（含答案）
一、单选题
1．已知 x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny C ． 2lnx•lny =2lnx +2lny
D ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny
1
2．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0
的结果为
A ． −9
B ． 7
C ． −10
D ． 9
3. 若 > 0，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是
A ． a m ÷ a n = a
n
B ． a m ⋅ a n = a mn
C ． (
) =
+
D ． 1 ÷ a n = a 0 ‒ n
4. 若 a >1，b >0，且 a b ＋a －b ＝2
，则 a b －a －b 的值为( )
A ．
B ． 2 或－2
C ． －2
D ． 2
5．3
‒ 27的值为（
）． A.
9
B. ‒ 9
C.
‒ 3
D.
3
a 3x + a ‒ 3x
2
6．若 = A ． 2 ‒ 1 C ． 2 + 1
‒ 1，则 a x + a ‒ x 等于
B ． 2 ‒ 2 D ． + 1
log 3x , x > 0 ⎛ ⎛ 1 ⎫⎫
7．已知函数 f (x )= { 2x , x ≤ 0
，则 f f 9 ⎪⎪ 等于（ ）
A ． 4
B ． - 1 4
1
C ． -4
D ． 4 1
8．设 a = log 3,b = 20.3, c = log 2 ，则（ ）
3
A ． a > b > c
B ． a > c > b
2.1.1《指数与指数幂的运算》参考教案
2.1.1 指数与指数幂的运算
教学分析
我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的行次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
教学目的：（1）掌握根式的概念；
（2）规定分数指数幂的意义；
（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；
（5）了解无理数指数幂的意义
教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质
教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数
指数幂．
教学过程：
指数与指数幂的运算 习题(含答案)讲课教案
指数与指数幂的运算习题(含答案)
指数与指数幂的运算 习题（含答案）
一、单选题
1．已知x ，y 为正实数，则
A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny
B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny
C ． 2lnx•lny =2lnx +2lny
D ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny 2．化简的结果为
A ． −9
B ． 7
C ． −10
D ． 9 3．若，且，为整数，则下列各式中正确的是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝2，则a b －a －b 的值为( )
A ．
B ． 2或－2
C ． －2
D ． 2 5．
的值为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若，则 等于
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数()3log ,0
{
2,0
x
x x f x x >=≤，则19f f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
等于（ ） A ． 4 B ． 14- C ． -4 D ． 1
4
8．设0.321
log 3,2,log 3
a b c π===，则（ ）
A ． a b c >>
B ． a c b >>
C ． c a b >>
D ． b a c >> 9．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝－1.5
，则( )
A ． y 3＞y 1＞y 2
B ． y 2＞y 1＞y 3
C ． y 1＞y 2＞y 3
D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式：
①n n a a =；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1； ③44
初二数学上册第八章知识教案：指数与指数幂的运算练习
初二数学上册第八章知识教案：指数与指数幂的
运算练习
§2.1.1 指数与指数幂的运算(练习)
学习目标
1. 掌握n次方根的求解;
2. 会用分数指数幂表示根式;
3. 掌握根式与分数指数幂的运算.
学习过程
一、课前准备
(复习教材P48~ P53，找出疑惑之处)
复习1：什么叫做根式? 运算性质?
像的式子就叫做，具有性质：
复习2：分数指数幂如何定义?运算性质?
其中
复习3：填空.
① n为时， .
② 求下列各式的值：
二、新课导学
※ 典型例题
例1 已知 =3，求下列各式的值：
(1) ; (2) ; (3) .
补充：立方和差公式 .
小结：① 平方法;② 乘法公式;
③ 根式的基本性质(a≥0)等.
注意，a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如， . 变式：已知，求：
(1) ; (2) .
例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少?
变式：n次后?
小结：① 方法：→审题;探究→ 结论;
② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.
※ 动手试试
练1. 化简： .
练2. 已知x+x-1=3，求下列各式的值.
(1) ; (2) .
练3. 已知，试求的值.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 根式与分数指数幂的运算;
2. 乘法公式的运用.
※ 知识拓展
1. 立方和差公式：
2. 完全立方公式：
学习评价
※ 自我评价你完成本节导学案的情况为.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：
1. 的值为.
A. B. C. 3 D. 729
指数与指数幂的运算 优秀教案
指数与指数幂的运算
【教学目标】
1．掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中
2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；
【教学重点】
根式的概念性质
【教学难点】
根式的概念
【课时安排】
1课时
【教学准备】
多媒体、实物投影仪
【教材分析】
指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数
为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习的运算性质为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备
【教学过程】
一、复习引入：
1．整数指数幂的概念
*)(N n a a a a
a a
n n ∈⋅⋅= 个 )0(10≠=a a *),0(1N n a a
a n n ∈≠=
- 2．运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+
3．注意
① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -
② n b a )(可看作n n b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅=n n
b
a
二、讲解新课：
1．根式：
（1）计算（可用计算器）
①23= 9 ，则3是9的平方根 ；
②3)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根 ；
③若46=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；
④57.3=693．43957 ，则3．7是693．43957的5次方根 。
【参考教案】《指数与指数幂的运算》(人教)
《指数与指数幂的运算》
从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。
【知识与能力目标】
1、掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；
2、了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
3、理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质。
【过程与方法目标】
具体习题，灵活运用根式运算。由整数指数幂的运算性质理解有理数指数幂的运算性质。【情感态度价值观目标】
1、通过学习n次方根的概念及根式的运算，提高学生的运算能力和逻辑思维。
2、通过分数指数幂的学习，让学生体会严谨的求学态度。
【教学重点】
根式与分数指数幂之间的互相转化。
【教学难点】
根式运算与有理数指数幂的运算。
通过本节导学案的使用，引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础。
(一)创设情景，揭示课题
1、以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性。
2、由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；
（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%。那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?
（2）当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P
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指数与指数幂的运算
【知能点】
知能点1：有理数指数幂及运算性质
1、有理数指数幂的分类
（1）正整数指数幂()n n
a a a a a n N *=⋅⋅⋅
⋅∈个
； （2）零指数幂)0(10≠=a a ；
（3）负整数指数幂()10,n
n a
a n N a
-*
=
≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。
2、有理数指数幂的性质
（1）()0,,m
n m n
a
a a
a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n
m mn a a a m n Q =>∈
（3）()()0,0,m m m
ab a b a b m Q =>>∈
① 引例：a >0
102
5
a a === →
?=；
3
23
3
3
23
2
)(a a a ==
→
?=.
① 定义分数指数幂：
规定*
0,,,1)m n
a a m n N n =>∈>
；*1
0,,,1)m n
m n
a
a m n N n a
-=
=
>∈>
③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：
(0,,1)a m n N n *>∈>；
；
例 1：把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式 （1）5
256a =；（2）4
28a
-=；（3）765a -=；（4）()353,n
m a m n N -+=∈
解：（1）1
5
256a =；（2）1428a -
=；（3）6
7
5a -
=；（4）533
m
n
a -
=
例 2:计算 （1）32
9； （2）32
16-
解：（1）()
3
3322
3
2
2
2
933
327⨯
====；（2）()
332312
2
116
4
464
-
---====
知能点2：无理数指数幂
若a ＞0，P 是一个无理数，则p
a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。
例 3: 化简（式中字母都是正数） （1
）(
（2
）(
2323y
y
+- （3
）(
43x
y
∙-∙解：（1
）(
(
(
x =∙= （2
）(
(
(
2
2
23232349y y y x y -+-=-=- （3
）(
43121212x
y x ∙-∙=-=-=-
知能点3：根式
1、根式的定义：一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()
*∈>N n n ,1，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。 2
（1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==0
a a
a a a a n n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1
）)0,,,1m n
a
a m n N n *
=>∈>； （2
）)10,,,1m n
m n
a
a m n N n a
-*=
=
>∈>
例 4: 求下列各式的值
（1
； （2
（3
（4解：（
12=-； （
22=； （
333ππ=-=-
（4
()()
0 0x y x y x y x y x y ++≥⎧⎪=
=+=⎨--+<⎪⎩
例 5: 用分数指数幂的形式表示下列各式：
（1）2
a
（2）3 a （3
(式中a ＞0)
解：（1）115222
2
2
2
a a a a
a +
=∙==；
（2）2211333
3
3
3
a a a a
a +
=∙==
典型题型全解
题型一：
；
解：（1
+
=
||2||2 ==+---
2(2
=+=
（1
2
0)
a>（2）-
解：（1
125
22 2
236
13
22
a
a a
a a
--
===
∙
已知=3,求下列各式的值：
1133
2222
(1), (2).
x x x x
--
++
解：（1）
111111
2211
222222
()2()235 x x x x x x x x
---
-
+=+∙+=++=+=∴
1111
1
2222
30
x x x x x x x
--
-
+=+=>+=
又由得所以（2）
331111111
3322 222222222
1
)()()[()()]
2 x x x x x x x x x x
----
++=+-∙+-
＝（
11
1
22
-
-