管理系统模拟3(2)

④
生成均匀分布随机数u1,u2,…,然后由上式生成所需
要的随机变量x1,x2,…
ui与1-ui是补数,因此上式可简化为:
xi =
1
λ
ln u
i
二,逆变法产生均匀分布随机变量
均匀分布的累积分布函数:
可自行推导
令: 则: 用随机数发生器生成 [ 0,1]上的均匀分布随机数U,则可 得[a,b]上均匀分布的随机变量X.
3.3.4 取舍法 当某些概率分布的密度函数十分复杂而又难以求得 难以求得其累计 难以求得 分布函数时,此法有优越性. 取舍法通过某个检验条件决定取舍得到F(x)的随机数. 我们定义一个函数t(x),使得: 对于所有的 X,都有 t(X)≥f(X) 因为
所以函数 t(x)不是密度函数.称t(x)为覆盖函数 覆盖函数. 覆盖函数
3.3.3 合成法 合成法适用于 适用于产生分布函数为多个分布函数(F1,F2,…) 适用于 的凸函数的情况.设对于任意X,F(x)可写为:
其中,
同样,如果X的密度函数可写为:
其中,fj都是密度函数. 则一般合成算法如下: (1)产生一个正随机数J,使得: P(J=j)=pj j=1,2,…
所以该三角分布的随机变量可由下式产生: 0 < ui ≤ 1/2 2ui xi = 1/2 < ui ≤1 2 (1 u i ) 2
思考:某分布概率密度函数为 思考: x/3, f(x)= 1/3, 0≤ x ≤ 1 1<x≤3 f(x)
1/3 0 1 2 3 4 x
(4-x)/3, 3 < x ≤4 0, 其他
某三角分布概率密度函数为
x, f(x)= 2-x, 0, 0≤ x ≤ 1 1<x≤2 其他
0 1.0 2.0 x
f(x)
1.0
如何产生符 合其分布的随机数? 0, 解:其累计分布函数为 x2/2, F(x)= 1-(2-x)2/2, 1,
x≤0 0<x≤1 1<x≤2 x>2
f(x)
1.0
f(x)
r(x)是一个密度函数. ( )是一个密度函数.
概率密度函数f(x),覆盖函数t(x)及r(x)的关系图
取舍法 取舍法生成随机变量的步骤: (1)生成密度为r(x)的Y; (2)生成独立于Y的U～U(0,1); (3)如果U≤f(Y)/t(Y)(或写成Ut(Y)≤f(Y)),则返回 X=Y; (4)否则返回步骤1,再次抽样.
取舍法生成beta(4,3)分 布时的f(x),t(x)和r(x)
如果满足上式,则返回X =Y;否则,舍去Y,回到 步骤(1).
3.3.5 函数变换法 函数变换法是关于随机分布的函数(仍为随机分布)的抽 样法.通过随机分布之间的关系式推导出分布函数的关系 式,利用常用分布的随机数生成某个确定分布的随机数. 由F(x)的随机分布生成G(x)的随机分布的步骤为: (1)生成独立的F(x)随机数据X1,X2,…,Xn; (2)令Yi=G(Xi)(i=1,2,…,n); (3){ Yi }就是G(X)的随机数序列. 例:由(0,1)均匀分布生成λ=1的指数分布. Xi=-ln(ui)
1.0
0
xwk.baidu.com
1.0
2.0
0
1.0
x
2.0
0 < x ≤ 1时
1< x ≤ 2时
产生服从U(0,1)的随机数ui, 令其等于累计分布函数 F(xi),则 对于 0 < xi ≤ 1, ui =xi2/2, 则xi =√2ui
对于1 < x ≤ 2,ui =1-(2-xi)2/2, 则xi =2-√2(1-ui ) 因为 0 < xi ≤ 1 1 < xi ≤ 2 相当于 相当于 0 < ui ≤ 1/2 1/2 < ui ≤1
连续随机变量的逆变换法
一,逆变换法产生指数分布的随机变量
指数分布的概率密度分布函数为:
① 计算需要的随机变量的累积分布函数:
② 在x≥0范围内,令u=1-e-λx,因为x为随机变量,所以 1-e-λx也是一个随机变量,u采用一个U(0,1)的均匀分布; ③ 由u=1-e-λx得:
此式称为指数分布随机变量生成器.
例:用取舍法产生beta分布的随机变量: 一个beta(4,3)分布的密度函数为:
构造t(x): : 构造 对函数求导,得X=0.6时 函数取得最大值f(0.6)=2.0736. 定义:
则r(x)=t(x)/c 是U(0,1)的密度函数.
(1)生成密度为r(x)的Y; ) 本题Y是U(0,1)随机变量 (2)生成独立于Y的U～U ) (0,1); (3)检验是否满足: )
3.3 随机变量的产生方法
逆变换法(Inverse Transfer) 逆变换法( ) 卷积法(Convolution) 卷积法( ) 合成法(Composition) 合成法( ) 取合法(Acceptance-Rejection) 取合法( - ) 函数变换法
假设随机数u1,u2,…为均匀分布 (0,1),( 均匀分布U( , ),( ),(可 均匀分布 采用3.2节所介绍的某种随机数发生器生成),其概率 概率 密度函数(PDF)和累积分布函数(CDF)分别为: 密度函数
(2)计算返回概率分布函数为FJ的X.
例:一个拉普拉斯分布,即双指数分布,其密度函数为
这个双指数函数可以用两个函数的组合来表示:
函数 f(X)是两个函数 的凸函数,p1=p2=0.5. 可以采用逆变换法来生成双指数分布 双指数分布的随机变量. 双指数分布 (1) 首先生成独立同分布的U(0,1)随机变量 U1,U2, (2)若U1≤0.5,则返回 X=ln(U2) ; 若U1>0.5,返回 X=-ln(U2) .
Excel中的函数: 中的函数: 中的函数 BETAINV:返回 beta 分布累积函数的逆函数值. 语法 BETAINV(probability,alpha,beta,A,B) Probability Beta 分布的概率值. Alpha 分布的参数. Beta 分布的参数. A 数值 x 所属区间的可选下界. B 数值 x 所属区间的可选上界. 说明 如果任意参数为非数值型,函数 BETAINV 返回错误值 #VALVE!. 如果 alpha = 0 或 beta = 0,函数 BETAINV 返回错误值 #NUM!. 如果 probability < 0 或 probability > 1,函数 BETAINV 返回错误值 #NUM!. 如果省略 A 或 B,函数 BETAINV 使用标准的累积 beta 分布,即 A = 0,B = 1. 函数 BETAINV 使用迭代法进行计算.通过给定的 probability 数值,函数 BETAINV 开始进行迭代,直到计算结果的精度达到 ±3x10^-7.如果迭代 100 次后,函数 BETAINV 仍不收敛,则返回错误值 #N/A. 示例 BETAINV(0.685470581,8,10,1,3) 等于 2
练习与思考: 练习与思考: 在Excel中产生10个符合U(0,1)的随机数. 已知λ=5,产生10个符合指数分布的随机数,并写出产 生的方法. 已知某顾客到达的时间间隔符合λ=0.1的指数分布,时间 间隔取整数.用Excel产生10个符合指数分布且为整数的 随机数,并写出产生的方法. 已知某价格符合在区间[100,150]内的均匀分布.试产 生10个符合要求的随机数,并写出产生的方法.
如何产生符合其分布的随机数?
三,逆变换法产生离散随机变量
设离散随机变量x分别以概率P(x1), P(x2),…,P(xn)取值x1,x2,…,xn, 其中:
ui
离散变量累积分布函数图
首先生成随机变量U(0,1)的随机数ui,在累计分布函数中存在 U≤F(xi)的最小值xi,返回xi作为对应Ui的随机变量的一个值.即:
例1:用卷积法生成爱尔朗分布 爱尔朗分布
若Y是具有均值β的m折爱尔朗随机变量,则: Y = X1 + X2 + … + Xm 其中X为是独立同分布 指数随机变量 独立同分布的指数随机变量 独立同分布 指数随机变量,每个Xi有参数β/m. 首先产生具有参数β/m的独立同分布的指数变量X1, X2 , … ,Xm ,然后由上式计算Y. 假设指数随机变量由逆变换法产生,有:
NORMINV 返回给定平均值和标准偏差的正态分布的累积函数的逆函数. 语法 NORMINV(probability,mean,standard_dev) Probability 正态分布的概率值. Mean 分布的算术平均值. Standard_dev 分布的标准偏差. 说明 如果任一参数为非数值型,函数 NORMINV 返回错误值 #VALUE!. 如果 probability < 0 或 probability > 1,函数 NORMINV 返回错误值 #NUM!. 如果standard_dev < 0,函数 NORMINV 返回错误值 #NUM!. 如果 mean = 0 且 standard_dev = 1,函数 NORMINV 使用标准正态 分布(请参阅函数 NORMSINV). 函数 NORMINV 使用迭代法来计算函数.给定一个概率值,函数 NORMINV 开始迭代,直到结果精确到 *3x10^-7.如果经过 100 次 迭代后,函数 NORMINV 仍未收敛,则返回错误值 #N/A. 示例 NORMINV(0.908789,40,1.5) 等于 42
NORMSINV 返回标准正态分布累积函数的逆函数.该分布的平均值为 0,标准偏差 为 1. 语法 NORMSINV(probability) Probability 正态分布的概率值. 说明 如果 probability 为非数值型,函数 NORMSINV 返回错误值 #VALUE! 如果 probability < 0 或 probability > 1,函数 NORMINV 返回错误值 1 #NUM!. 函数 NORMSINV 使用迭代法来计算函数.给定一个概率值,函数 NORMSINV 开始迭代,直到结果精确到 *3x10^-7.如果经过 100 次 迭代后,函数 NORMSINV 仍未收敛,则返回错误值 #N/A. 示例 NORMSINV(0.908789) 等于 1.3333
n个这样的独立随机变量相加,则:
为近似 近似均值为0,方差为1的正态分布. 近似
研究表明,n越大近似性越好.通常认为,n=12时生成的 近似正态分布可以达到要求,而由于n取12时可以避免开 方运算,因此计算效率也比较高.将n=12 代入上式,有:
其均值为0,方差为1的近似正态分布 其均值为0,方差为1的近似正态分布 如果需要生成均值为Y,方差为δY2近似正态分布,则先由上 式生成Z,再进行变换:
fu(x) 1
0 Fu(x) 1
1
x
0
1
x
3.3.1 逆变换法
逆变换法也称为反函数法. 如果 U～U(0,1),而F-1(U)是分布函数F(x)的反 函数,则:由随机数U(0,1)可直接生成规定分布F(x) 的随机数{xi}. 算法为: 算法为: ① 设随机变量X的分布函数为F(X); ② 在区间[ 0 ,1]上取均匀分布的独立随机变量u; ③ 由分布函数的反函数F-1(u)得到的值即为所需要的随机 变量 x; ④X=F-1(u)即为所需的随机变量.
需求量概率表
需求量
10 20 30
累计 概率 1.00 0.75 0.425 0.35
概率 0.35 0.4 0.25
累计概率 0.35 0.75 1.00
需求量
10 20 30 [
累计概率区间 0, 0.35 ] ( 0.35, 0.75 ] ( 0.75, 1.00 ]
累计概率0.25,需求量为?(10) 需求量为? ) 需求量为 累计概率0.85,需求量为?(30) 需求量为? ) 需求量为 累计概率0.425,需求量为?(20) 需求量为? ) 需求量为
其中U为独立同分布的U(0,1)随机变量,则:
例2:用卷积法近似生成正态分布随机变量. :用卷积法近似生成正态分布随机变量. 该方法建立在中心极限定理基础上.根据中心极限定理, n个独立同分布的随机变量X1,X2,…,Xn ,每个独立变 量的均值为x,有限方差为δx2,则其和是一个近似正态分 布,均值为 nx ,方差为 nδx2 . 这里,采用均匀分布 (0,1)的随机变量,则 x =0.5, 均匀分布U( , ) 均匀分布 方差=1/12.
10
20
30
累计概率图
3.3.2 卷积法
由两个或更多个独立随机变量的和形成的概率分布称为原始 和 变量的卷积分布 卷积分布. 卷积分布
卷积法就是通过两个或多个随机变量的相加 相加来得到新的具有 相加 某种所希望的分布的随机变量. 卷积法可用来生成爱尔朗分布 爱尔朗分布(Erlans),近似正态分布 近似正态分布和 爱尔朗分布 近似正态分布 二项式分布的随机变量. 二项式分布 假设具有独立均匀分布 独立均匀分布的随机变量X1,X2,…,Xm, 独立均匀分布 令: Y = X1 + X2 + … + Xm 则Y的分布称为Xi的m折卷积 折卷积. 折卷积