人教版初中九年级数学上册公式法解一元二次方程综合练习题58
中考数学复习 一元二次方程专练 公式法解一元二次方程专项练习106题-人教版初中九年级全册数学试题
word公式法解一元二次方程1．2x2﹣7x+3=0（公式法）2．2t2﹣t﹣3=0，3．2x2﹣7x+4=0．4．2x2+2x=15．5y+2=3y2．6．x2+3x﹣4=0 7. 2x2﹣4x﹣1=08．2x2﹣x﹣2=0．9．2x2﹣5x+1=0．10．x2﹣1=4x．11．x2+3x﹣3=0 12．3x2﹣4x﹣2=0．13．x2+x﹣4=0．14．2x2﹣6x+3=0．15．2x2﹣3x﹣1=0．16．2x2﹣2x﹣1=0 17．3x2﹣4x﹣1=0．18．2x2﹣x﹣4=0 19．2x2+x﹣2=0 20．3x2+6x﹣4=0 21．x2﹣x﹣3=0．22．3x2+4x﹣4=0，23．（3x﹣1）（x+2）=11x ﹣4．24．2x2﹣5x﹣1=0．25．．26．3x2+4x+5=0．28．x2﹣x﹣4=0．29．．30．2x2﹣2x﹣1=031．3x2+7x+10=1﹣8x．32．5x2﹣3x+2=0．34．x2+3x+1=0，35．4x2=2x+136．5x2﹣3x=x+1．37．3x2+7x+4=038．2x2﹣3x﹣1=0（用公式法）39．3x2+5x+1=0；40．x2﹣4x+1=041. x2﹣4x+5=042. x2+5x+3=043．2x2﹣3x﹣6=0．44．3x2+4x+1=045．x2﹣4x﹣8=046．2x2﹣x﹣2=047．3x2+2（x﹣1）=0．48．x2﹣4x﹣7=049．y2﹣2y﹣4=050．x2﹣3x=2 51．2x2+x﹣=0．52．x2x+1=053．2x2﹣9x+8=0；55. x2+x﹣1=0；56. 2x2﹣6x+3=0；57．2x（x+4）=158．3x2+5（2x+1）=0．59．2x2﹣4x﹣1=060．3x2﹣6x﹣4=061．x2+2x﹣5=0 62．x2﹣4x﹣3=063．4x2﹣3x﹣1=063. x2+2x﹣2=0；65. x2+3=2x．66．x2﹣4x=﹣367. 3x2﹣2x﹣1=0；68.；69. 2x2﹣7x+5=0；70. 2x2﹣7x﹣18=0．71. （x+1）（x+3）=6x+4；73. x2﹣（2m+1）x+m=0．74. x（x+8）=16，76. 2x2﹣2x+1=0，77. 5x2+2x﹣1=078. 6y2+13y+6=079. 3•x2+6x+9=780. 2x2﹣3x+1=0；81. 2y（y﹣1）+3=（y+1）2．82. x2=3x+1；83. （t+1）（t﹣3）=﹣t（3﹣3t）．84．x2﹣2ax﹣b2+a2=0．85. 3x2=2﹣5x；87. （x+1）（x﹣1）=2x．88．（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；89．x2﹣6x+11=090 ．5x2﹣8x+2=0．91．x2﹣3x+1=0．92．x2=5﹣12x93. x2+x﹣1=094．3x2﹣4x﹣1=095．3x2+2（x﹣1）=0，97．3x2﹣4x﹣1=098.99. ．101．2x2+5x﹣1=0．102．2x2﹣x﹣1=0．103．．104．3x2+5x﹣1=0．105．5x2﹣8x+2=0，106．3x2+7x+10=1﹣8x，公式法解一元二次方程106题参考答案：1．2x2﹣7x+3=0（公式法）a=2，b=﹣7，c=3，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×3=49﹣24=25＞0，方程有两个不相等的实数根，即：，x1=3，2．2t2﹣t﹣3=0，∵a=2，b=﹣1，c=﹣3，∴x===，3．2x2﹣7x+4=0．∵a=2，b=﹣7，c=4，b2﹣4ac=49﹣32=17，∴x==，∴，∴x1=，x2=4．2x2+2x=1由原方程，得2x2+2x﹣1=0，∴该方程的二次项系数a=2，一次项系数b=2，常数项c=﹣1；∴x===，5．5y+2=3y2．移项，3y2﹣5y﹣2=0，a=3，b=﹣5，c=﹣2，b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0，∴x=，∴x1=2，x2=﹣；6．x2+3x﹣4=0a=1，b=3，c=﹣4，△=9+4×1×4=25＞0，∴x==，∴x1=﹣4，x2=1．7. 2x2﹣4x﹣1=0a=2，b=﹣4，c=﹣1，△=16+4×2=24＞0，∴x==1±，∴x1=1+，x2=1﹣8．2x2﹣x﹣2=0．∵a=2，b=﹣1，c=﹣2，∴b2﹣4ac=17＞0∴x=．即x1=，x2=9．2x2﹣5x+1=0．∵a=2，b=﹣5，c=1，∴b2﹣4ac=17，∴x=，∴x1=，x2=2原方程化为一般式：x2﹣4x﹣1=0．∵a=1，b=﹣4，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）=20，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣11．x2+3x﹣3=0a=1，b=3，c=﹣3；∵b2﹣4ac=9+12=21＞0∴=∴，12．3x2﹣4x﹣2=0．a=3，b=﹣4，c=﹣2，△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40＞0，x==，x1=，x2=13．x2+x﹣4=0．∴x==，∵x1=﹣2，x2=．14．2x2﹣6x+3=0．∵a=2，b=﹣6，c=3∴x=∴x1=，x2=；15．2x2﹣3x﹣1=0．a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=9+8=17，x1=，x2=16．2x2﹣2x﹣1=0a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=12，∴x==，∴x1=，x2=17．3x2﹣4x﹣1=0．∵一元二次方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=﹣4，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=，x2=18．2x2﹣x﹣4=0∵2x2﹣x﹣4=0，∴=，∴x 1=，19．2x2+x﹣2=0∵a=2，b=1，c=﹣2（1分）∵b2﹣4ac=12﹣4×2×（﹣2）=17＞0（2分）∴（4分）∴，20．3x 2+6x﹣4=0∵a=3，b=6，c=﹣4，∴b2﹣4ac=62﹣4×3×（﹣4）=84，∴x==，21．x2﹣x﹣3=0．∵a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13＞0，∴x==，∴x1=，x2=．22．3x2+4x﹣4=0，这里a=3，b=4，c=﹣4，b2﹣4ac=42﹣4×3×（﹣4）=64，x=，x1=，x2=﹣223．（3x ﹣1）（x+2）=11x﹣4．3x 2+6x﹣x﹣2=11x﹣4，整理得3x2﹣6x+2=0，∵△=（﹣6）2﹣4×3×2=12，∴x==∴x1=，x2=24．2x2﹣5x﹣1=0．2x2﹣5x﹣1=0，∵b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）=33，∴x=，即x 1=，x2=25．．∵a=1，b=，c=﹣20，b2﹣4ac=（）2﹣4×1×（﹣20）=100＞0，∴x=，x=，解得x1=﹣+5，x2=﹣﹣5．26．3x2+4x+5=0．∵△=42﹣4×3×5=﹣44＜0，∴方程没有实数根．27．x2﹣4x﹣2=0．∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．28．x2﹣x﹣4=0．a=1，b=﹣1，c=﹣4．b2﹣4ac=1+16=17＞0．∴=∴x1=，x2=29．．由原方程，得t2+2t﹣2=0，这里a=1，b=2，c=2．则t===﹣，即t1=t 2=﹣30．2x2﹣2x﹣1=0∵a=2，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）=12，∴x1=，x2=31．3x2+7x+10=1﹣8x．原方程可化为x2+5x+3=0，解得：32．5x2﹣3x+2=0．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×5×2＜0，∴此方程无解33. 5x2﹣3x=x+11（公式法）5x2﹣3x=x+11，整理得：5x2﹣4x﹣11=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣11，∵△=16+220=236，∴x==，则x1=，x2=34．x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，∵△=b 2﹣4ac=9﹣4=5，∴x=，则x1=，x2=35．4x2=2x+1移项得：4x2﹣2x﹣1=0，∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）=20，∴x==，∴x1=，x2=36．5x2﹣3x=x+1．方程化简为：5x2﹣4x﹣1=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣1，∴x==，∴x1=1，x2=﹣．37．3x2+7x+4=03x2+7x+4=0，∵a=3，b=7，c=4，∴b2﹣4ac=49﹣48=1＞0，∴x=，∴x 1=﹣1，x2=﹣．38．2x2﹣3x﹣1=0（用公式法）∵a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17，∴x==，所以x1=，x2=39．3x2+5x+1=0；∵原方程的二次项系数a=3，一次项系数b=5，常数项c=1，∴原方程的根是：x==，即x=；40．x2﹣4x+1=0a=1，b=﹣4，c=1，∴x====2±；41. x2﹣4x+5=0a=1，b=﹣4，c=5，∵△=b2﹣4ac=16﹣20=﹣4＜0，42. x2+5x+3=0a=1，b=5，c=3，∴x===43．2x2﹣3x﹣6=0．这里a=2，b=﹣3，c=﹣6，∵△=b2﹣4ac=9+48=57，∴x=，则x1=，x2=44．3x2+4x+1=0（用公式法）∵二次项系数a=3，一次项系数b=4，常数项c=1，∴△=b 2﹣4ac=42﹣4×3×1=4＞0∴x==∴x1=﹣1 x2=﹣；45．x2﹣4x﹣8=0（公式法）∵方程x2﹣4x﹣8=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣4、常数项c=﹣8，∴x===2±2，∴x1=2+2，x2=2﹣2；46．2x2﹣x﹣2=0a=2，b=﹣1，c=﹣2，∵b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×2×（﹣2）=1+16=17＞0，∴x==，∴x1=，x2=47．3x2+2（x﹣1）=0．2∵a=3，b=2，c=﹣2，△=b2﹣4ac=4+24=28，x==，解得x1=，x2=48．x2﹣4x﹣7=0∵x2﹣4x﹣7=0的二次项系数是a=1、一次项系数是b=﹣4、常数项是c=﹣7，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣49．y2﹣2y﹣4=0（公式法）由原方程知，二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=﹣4，∴x==，∴，∴x1=1+，x2=1﹣；50．x2﹣3x=2x2﹣3x﹣2=0，∵a=1，b=﹣3，c=﹣2，∴x===，∴x1=，x2=51．2x2+x﹣=0．∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣=0的二次项系数a=2，一次项系数b=1，常数项c=﹣，∴原方程的根是：=，即x=52．x2x+1=0这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=8﹣4=4，∴x==±1，则x1=+1，x2=﹣153．2x2﹣9x+8=0；∵a=2，b=﹣9，c=8∴x=，x1=，x2=；54. x2﹣6x+1=0；∵a=1，b=﹣6，c=1∴x=，∴x1=3+2，x2=3﹣2；55. x2+x﹣1=0；∵a=1，b=1，c=﹣1，∴x==；56. 2x2﹣6x+3=0；∵a=2，b=﹣6，c=3，∴x===；57．2x（x+4）=12x2+8x﹣1=0，∵a=2，b=8，c=﹣1，△=b2﹣4ac=64+8=72，∴x===．即x1=，x2=58．3x2+5（2x+1）=0．3x2+5（2x+1）=0，整理得：3x2+10x+5=0，∵a=3，b=10，c=5，∴b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，∴x==，则原方程的解为x1=，x2=59．2x2﹣4x﹣1=0（公式法）解：这里a=2，b=﹣4，c=﹣1，∵b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）=24，∴x==，∴x1=，x2=60．3x2﹣6x﹣4=0（公式法）3x2﹣6x﹣4=0，这里a=3，b=﹣6，c=﹣4，∵b2﹣4ac=36+48=84＞0，∴x==，则x1=，x2=61．x2+2x﹣5=0∵a=1，b=2，c=﹣5，b2﹣4ac=24，∴x==﹣1，即x1=，x2=﹣1．62．x2﹣4x﹣3=0由题意得：a=1，b=﹣4，c=﹣3，∴x====2±63．4x2﹣3x﹣1=0a=4，b=﹣3，c=﹣1，△=9+16=25x==∴x1=1，x2=﹣．63. x2+2x﹣2=0；这里a=1，b=2，c=﹣2，∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴x==﹣1，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；64. y2﹣3y+1=0；这里a=1，b=﹣3，c=1．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，∴y=，∴y1=，y 2=；65. x2+3=2x．移项，得x2﹣2x+3=0，这里a=1，b=﹣2，c=3．∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．∴原方程没有实数根66．x2﹣4x=﹣3移项，得x2﹣4x+3=0．∵a=1，b=﹣4，c=3，∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×3=4＞0，∴x==，∴x1=1，x2=367. 3x2﹣2x﹣1=0；∵a=3，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）=16，∴x===，∴x1=1，x2=﹣．68.；∵a=2，b=﹣1，c=﹣，∴b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×2×（﹣）=5，∴x==，∴x1=，x2=．69. 2x2﹣7x+5=0；∵a=2，b=﹣7，c=5，∴b 2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×5=9，∴x==，∴x1=，x2=1．70. 2x2﹣7x﹣18=0．∵a=2，b=﹣7，c=﹣18，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×（﹣18）=193，∴x==，∴x1=，x2=71. （x+1）（x+3）=6x+4；去括号，移项方程化为一般式为：x2﹣2x﹣1=0，∵a=1，b=﹣2，=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8∴x===1±，∴x1=1+，x2=1﹣；72. x2+2（+1）x+2=0；∵a=1，b=2（+1），c=2，∴b2﹣4ac=[2（+1）]2﹣4×1×2=16，∴x===﹣（+1）±2，∴x 1=﹣﹣3，x2=﹣+1；73. x2﹣（2m+1）x+m=0．∵a=1，b=﹣（2m+1），c=m，∴b2﹣4ac=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m=4m2+1，∴x=，∴x1=，x2=74. x（x+8）=16，x2+8x﹣16=0，a=1，b=8，c=﹣16，b2﹣4ac=82﹣4×1×（﹣16）=128＞0，x=，x1=﹣4+4，x2=﹣4﹣4；75. x2﹣4x=4；x 2﹣4x﹣4=0；a=，b=﹣4，c=﹣4，b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4××（﹣4）=48＞0，x==±，x1=+，x2=﹣；76. 2x2﹣2x+1=0，a=2，b=﹣2，c=1，b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×2×1=0，x1=x2=．77. 5x2+2x﹣1=0 ∵a=5，b=2，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=4+4×5×1=24＞0∴x1•x2=∴x1=．78. 6y2+13y+6=0∵a=6，b=13，c=6，∴△=b2﹣4ac=169﹣4×6×6=25＞0 ∴x=∴x1=﹣，x2=﹣．79. 3•x2+6x+9=7整理，得：x2+6x+2=0∴a=1，b=6，c=2∴△=b2﹣4ac=36﹣4×1×2=28＞0 ∴x1•2==﹣3±∴x1=﹣3+，x2=﹣3﹣．80. 2x2﹣3x+1=0；根据原方程，得a=2，b=﹣3，c=1，∵b2﹣4ac=9﹣4×2×1=1＞0，∴x=，x==．∴x1=1，x2=；81. 2y（y﹣1）+3=（y+1）2．由原方程，得2y2﹣2y+3=y2+2y+1，即y2﹣4y+2=0，∴a=1，b=﹣4，c=2．b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8＞0．∴x=x==∴x1=2+，x2=2﹣．82. x2=3x+1；方程化为x2﹣3x﹣1=0，∴a=1，b=﹣3，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13．∴x1=．83. （t+1）（t﹣3）=﹣t（3﹣3t）．方程化为2t2﹣t+3=0，a=2，b=﹣1，c=3b2﹣4ac=1﹣4×2×3=﹣23＜0，∴原方程无实数根84．x2﹣2ax﹣b2+a2=0．∵a=1，b=﹣2a，c=﹣b2+a2∴b2﹣4ac=4a2+4b2﹣4a 2=4b2∴x==a±|b|．85. 3x2=2﹣5x；a=3，b=5，c=﹣2b2﹣4ac=52﹣4×3×（﹣2）=25+24=49＞0．x==．所以x1=﹣2，x 2=．86. y2﹣4y=1；原方程变形为：3y2﹣8y﹣2=0．a=3，b=﹣8，c=﹣2．b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）=64+24=88．x==．所以x 1=，x2=．87. （x+1）（x﹣1）=2x．原方程变形x2﹣2x﹣1=0．a=1，b=﹣2，c=﹣1．b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8+4=12＞0．所以x==．故x1=+，x2=﹣．88．（2x﹣1）2﹣7=3（x+1）；整理，得4x2﹣7x﹣9=0，因为a=4，b=﹣7，c=﹣9．所以x=89．x2﹣6x+11=0由原方程，知a=，b=﹣6，c=11将其代入求根公式x=，得x=，∴原方程的根是：x1=4，x2=90 ．5x2﹣8x+2=0．这里a=5，b=﹣8，c=2，∵b2﹣4ac=64﹣40=24＞0，∴x==，则x1=，x2=．91．x2﹣3x+1=0．x2﹣3x+1=0，这里a=1，b=﹣3，c=1，∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=9﹣4=5＞0，∴x==，则x1=，x2=92．x2=5﹣12x方程化为一般形式为：x 2+12x﹣5=0，∴a=1，b=12，c=﹣5，∴△=122﹣4×1×（﹣5）=4×41＞0，∴x===﹣6±，所以x1=﹣6+，x2=﹣6﹣．93. x2+x﹣1=0解：x2+x﹣1=0，b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5，∴x=，∴x1=，x2=．94．3x2﹣4x﹣1=0解：3x2﹣4x﹣1=0，这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴原方程的解是：x1=，x2=，这里a=2，b=﹣2，c=1，∴b2﹣4ac=﹣4×2×1=4，∴x==，∴x1=，x2=，∴原方程的解是x1=，x2=95．3x 2+2（x﹣1）=0，整理得：3x2+2x ﹣2=0，这里a=3，b=2，c=﹣2，∵△=b2﹣4ac=4+24=28，∴x==，则x1=，x2=96．方程整理得：x2﹣2x+1=0，这里a=1，b=﹣2，c=1，∵△=8﹣4=4，∴x==±1，则x1=+1，x2=﹣1．97．3x2﹣4x﹣1=03x2﹣4x﹣1=0，这里a=3，b=﹣4，c=﹣1，∵b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=16+12=28＞0，∴x==，则x1=，x 2=98.2x2﹣x+1=0a=2，b=﹣，c=1△=10﹣8=2x=∴x1=，x2=99. ．解：整理得：x2﹣2x﹣1=0，∴b2﹣4ac=﹣4×1×（﹣1）=12，∴x==±，∴x1=+，x2=﹣100．3x2﹣4x﹣1=0．3x2﹣4x﹣1=0，a=3，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，∴x==，∴x 1=，x2=101．2x2+5x﹣1=0．∵a=2，b=5，c=﹣1，△=b 2﹣4ac=25+8=33，∴x===．即x 1=，x2=102．2x2﹣x﹣1=0．∵原方程的二次项系数a=2，一次项系数b=﹣1，常数项c=﹣1，∴x===，∴x1=1，x2=﹣．103．．∵a=2，b=﹣，c=﹣，∴△=（﹣）2﹣4×2×（﹣）=6＞0，x==．104．3x2+5x﹣1=0．∵一元二次方程3x2+5x﹣1=0的二次项系数a=3，一次项系数b=5，常数项c=﹣1，∴x===，∴x 1=，x2=．105．5x2﹣8x+2=0，a=5，b=﹣8，c=2，b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×5×2=24＞0，x==，x1=，x2=．106．3x2+7x+10=1﹣8x，整理得：x 2+5x+3=0，解得：x==，即：x1=，x2=；。
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习(含答案)
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a=______,b=______,c=______,则方程的根是______．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是______．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0,∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0,∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0,关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0,∴没有实数根,故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0,（x+1）2=m,∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根,∴m≥0,故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0 【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0,解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中,a= ,b= 1 ,c= ﹣3 ,则方程的根是x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得, x+x﹣3=0∴a=,b=1,c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣．6．若x1,x2分别是x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴x1+x2=5,x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1,又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2,∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根,则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0,解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程,使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1,b=1,c=﹣1,∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0,∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0,∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,当a≠0时,方程是一元二次方程,若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解,则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0,解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数,则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0,这里的：x2﹣2x﹣9=0,这里a=1,b=﹣2,c=﹣9,∵△=4+36=40,故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点,则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解,也就是这个一元二次方程无实数根,那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k,没有实数根,那么16﹣4k＜0,解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2,因为4＞2,所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1,x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根,∴（x﹣3）（x﹣2）=0, 解得：x=3或2,①当x1=3,x2=2时,x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2,x2=3时,x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题,满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4,b=﹣4,c=1, ∵△=32﹣16=16,（2）这里a=1,b=﹣,c=﹣3,∵△=2+12=14,∴x=．16．不解方程,判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0,所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0,△=（﹣2）2﹣4×3×2=0,所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0,△=（﹣）2﹣4××1＜0,所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0,求证：无论m取任何实数时,方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时,原方程为x﹣2=0,解得x=2；当m≠0时,△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0,所以方程有两个实数根,所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2,∵无论k取什么实数值,（2k﹣3）2≥0, ∴△≥0,∴无论k取什么实数值,方程总有实数根；（2）解：∵x=,∴x1=2k﹣1,x2=2,∵b,c恰好是这个方程的两个实数根,设b=2k﹣1,c=2,当a、b为腰,则a=b=4,即2k﹣1=4,解得k=,此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时,b=c=2,此时b+c=a,故此种情况不存在．综上所述,△ABC的周长为10．。
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习(含答案)
初中数学：《公式法解一元二次方程》练习（含答案）一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥24．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中，a=______，b=______，c=______，则方程的根是______．6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2=______．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是______．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是______．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根______．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是______．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x=______．13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是______．14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=______．三、解答题（共4小题，满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．16．不解方程，判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．《公式法》参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x（x﹣2）=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选A．2．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．有两个实数根【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．3．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【解答】解；（x+1）2﹣m=0，（x+1）2=m，∵一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，∴m≥0，故选：B．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠0【解答】解：根据题意得k≠0且△=（﹣1）2﹣4k＞0，解得k＜且k≠0．故选C．二、填空题5．一元二次方程x2+x=3中，a= ，b= 1 ，c= ﹣3 ，则方程的根是x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．【解答】解：移项得，x+x﹣3=0∴a=，b=1，c=﹣3∴b2﹣4ac=7∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．6．若x1，x2分别是x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2= 3 ．【解答】解：根据题意得x1+x2=3．故答案为3．7．已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是1＜c ＜5 ．【解答】解：∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴x1+x2=5，x1x2=6∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1∴x1﹣x2=1，又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，∴1＜c＜5．故答案为：1＜c＜5．8．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1=0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是k＞﹣2且k≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k+1）•（﹣1）＞0，解得k＞﹣2且k≠﹣1．故答案为k＞﹣2且k≠﹣1．9．写出一个一元二次方程，使它有两个不相等的实数根x2+x﹣1=0 ．【解答】解：比如a=1，b=1，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程为x2+x﹣1=0．10．一次二元方程x2+x+=0根的情况是方程有两个相等的实数根．【解答】解：∵△=12﹣4×=0，∴方程有两个相等的实数根故答案为方程有两个相等的实数根．11．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是a≥﹣1 ．【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，当a≠0时，方程是一元二次方程，若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0，解得：a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．12．已知代数式7x（x+5）与代数式﹣6x2﹣37x﹣9的值互为相反数，则x= 1±．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）﹣6x2﹣37x﹣9=0，这里的：x2﹣2x﹣9=0，这里a=1，b=﹣2，c=﹣9，∵△=4+36=40，故答案为：1±13．已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是k＞4 ．【解答】解：依题意可得x2﹣4x+k=0无解，也就是这个一元二次方程无实数根，那么根据根的判别式△=b2﹣4ac=16﹣4k，没有实数根，那么16﹣4k＜0，解此不等式可得k＞4．故答案为：k＞4．14．对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．三、解答题（共4小题，满分0分）15．用公式法解方程：①4x2﹣4x+1=0②x2﹣x﹣3=0．【解答】解：（1）这里a=4，b=﹣4，c=1，∵△=32﹣16=16，（2）这里a=1，b=﹣，c=﹣3，∵△=2+12=14，∴x=．16．不解方程，判断下列方程的根的情况：①2x2+3x﹣4=0②3x2+2=2x③x2=x﹣1．【解答】解：①△=32﹣4×2×（﹣4）=41＞0，所以方程两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2﹣2x+2=0，△=（﹣2）2﹣4×3×2=0，所以方程有两个相等的实数根；③方程化为一般式为x2﹣x+1=0，△=（﹣）2﹣4××1＜0，所以方程无实数根．17．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0，求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．【解答】证明：当m=0时，原方程为x﹣2=0，解得x=2；当m≠0时，△=（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣2）=（m+1）2≥0，所以方程有两个实数根，所以无论m为何值原方程有实数根．18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=，∴x1=2k﹣1，x2=2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k﹣1，c=2，当a、b为腰，则a=b=4，即2k﹣1=4，解得k=，此时三角形的周长=4+4+2=10；当b、c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在．综上所述，△ABC的周长为10．。
人教版九年级上册数学 《 一元二次方程的解法 公式法 因式分解法》(含答案)
一元二次方程的解法 公式法 因式分解法一、选择题1. 方程x 2+x ﹣12=0的两个根为（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=6B ．x 1=﹣6，x 2=2C ．x 1=﹣3，x 2=4D ．x 1=﹣4，x 2=32．整式x+1与整式x-4的积为x 2-3x-4，则一元二次方程x 2-3x-4＝0的根是( )．A ．x 1＝-1，x 2＝-4B ．x 1＝-1，x 2＝4C ．x 1＝1，x 2＝4D ．x 1＝1，x 2＝-43．如果x 2+x -1＝0，那么代数式3227x x +-的值为( )A ．6B ．8C ．-6D ．-84．若最新x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x+m 2-3m+2＝0的常数项为0，则m 的值等于( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．若代数式(2)(1)||1x x x ---的值为零，则x 的取值是( )． A ．x ＝2或x ＝1 B ．x ＝2且x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( )．A ．12B ．9C ．13D ．12或9二、填空题7．已知实数x 满足4x 2-4x+1＝0，则代数式122x x +的值为________． 8．已知y ＝x 2+x-6，当x ＝________时，y 的值是24．9．若方程2x mx n ++可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m ＝________，n ＝________．10．若规定两数a 、b 通过“※”运算，得到4ab ，即a ※b ＝4ab ，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为 ；(2)则x ※x+2※x-2※4＝0中x 的值为 ；(3)若无论x 是什么数，总有a ※x ＝x ，则a 的值为 ．11．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2=1，∴x=±1；当y=4时，x 2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=﹣1，x 3=2，x 4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12=0的解为 ．12．三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x 2﹣16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是 ．三、解答题13. 用公式法解下列方程：2(1)210x ax --=； （2）22222(1)()ab x a x b x a b +=+> ．14．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25 (2)x 2-4x+2=0 (3)x 2-5x-6=015．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．②方程x 2-3x-1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．③方程3x 2+4x-7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0，且b 2-4ac ≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211x x +； ②2212x x +．答案与解析一、选择题1.【答案】D【解析】x 2+x ﹣12=（x +4）（x ﹣3）=0，则x +4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．故选D ．2．【答案】B ；【解析】∵ 234(1(4)x x x x --=+-，∴ 2340x x --=的根是11x =-，24x =．3．【答案】C ．【解析】∵ 210x x +-=，∴ 21x x +=．∴ 32322222277()77176x x x x x x x x x x x +-=++-=++-=+-=-=-．4.【答案】B ；【解析】由常数项为0可得m 2-3m+2＝0，∴ (m -1)(m -2)＝0，即m -1＝0或m -2＝0， ∴ m ＝1或m ＝2，而一元二次方程的二次项系数m -1≠0，∴ m ≠1，即m ＝2．5．【答案】C ；【解析】(2)(1)0x x --=且||1x ≠，∴ 2x =．6．【答案】A ；【解析】x 2-7x+10=0，x 1=2，x 2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．二、填空题7．【答案】2；【解析】用因式分解法解方程24410x x -+=得原方程有两个等根，即1212x x ==， 所以121122x x+=+=． 8．【答案】5或-6；【解析】此题把y 的值代入得到最新x 的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得2624x x +-=，整理得2300x x +-=，解得15x =，26x =-． 9．【答案】 1 ； -12 ；【解析】22(3)(4)12x mx n x x x x ++=-+=+-，∴ m ＝1，n ＝-12．10．【答案】(1)60；(2) 12x =，24x =-；(3) 14a =． 【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)∵ x ※x +2※2x -※4＝24(28)0x x +-=，∴ 12x =，24x =-； (3)∵ a ※4x ax ==x ，4(41)0ax x a x -=-=，∴ 只有410a -=，等式才能对任何x 值都成立．∴ 14a =． 11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x 1=﹣3，x 2=2．【解析】解：（1）换元，降次（2）设x 2+x=y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x=6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x=﹣2，得方程x 2+x+2=0，b 2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．12.【答案】24或8．【解析】解：∵x 2﹣16x +60=0，∴（x ﹣6）（x ﹣10）=0，解得：x 1=6，x 2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD 是高，∴BD=4，AD==2，∴S △ABC =BC•AD=×8×2=8； 当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，∵AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，S △ABC =BC•A C=×8×6=24．∴该三角形的面积是：24或8．故答案为：24或8．三、解答题13.【答案与解析】（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞ ∴2224412a a x a a ±+==±+ ∴22121, 1.x a a x a a =++=-+（2）222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=，令A ＝ab ，B ＝22()a b -+，C ＝ab ．∵ 22222224()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞， ∴ 222224()2B B AC a b a b x ab-±-+±-==， ∴ 222221222a b a b a a x ab ab b++-===， 222222()222a b a b b b x ab ab a+--===， ∴ 1a x b =，2b x a=． 14.【答案与解析】解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，∴2x-3= 5或2x-3=-5∴x 1= 4，x 2= -1（2）∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b 2-4ac=16-8=8.∴ 42x ±=± ∴12=2=2.x x +（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0∴ x-6= 0或 x+1=0∴x 1= 6，x 2= -1.15.【答案与解析】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．① -1 ； -1 ； -2 ； 1.② 32 ；32； 3 ；-1. ③ 73- ； 1 ； 43- ； 73- . ；；b a - ；c a. (3)1232x x +=-，1212x x =-． ①1212123112312x x x x x x -++===-． ②22212121291913()2214244x x x x x x ⎛⎫+=+-=-⨯-=+= ⎪⎝⎭．1、最困难的事就是认识自己。
人教版九年级数学上册解一元二次方程测试题
人教版九年级数学考试题测试题人教版初中数学21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值 6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形附赠材料：以学生为第一要务目标我们教育工作的最终目标只有一个:学生。
人教版九年级数学上册用公式法解一元二次方程 练习
初中数学试卷用公式法解一元二次方程 练习1、11222x x x -=--- 2.271326x x x +=++ .；1.（1）2222412144m m m m m m --⋅-+++ ； (2)24911214223x x x x -÷⋅---3因式分解:. a 2-6a+9 3ax 2+6ax+3a 4a 3b-25ab 3x 2+3x+2x 2+2x-15 x 2-3x-28 x 2+21x+804、方程x(x+4)=8x+12的一般形式是 ；二次项是 一次项是 ，常数项是 。
5、已知1=x 是方程062=-+x ax 的一个根，则a = .6、x x 42++ =2)2(+x7、下列方程中是一元二次方程是（ ）A 、212x x+= B 、267x += C 、225x y += D 、23520x x -+= 8、用配方法解一元二次方程1442=-x x ，变形正确的是（ ） A.0)21(2=-x B. 21)21(2=-x C.21)1(2=-x D.0)1(2=-x 9、(2x-1)2=7 （直接开平方法） 10、 04722=--x x (用配方法)11、22)43()43(x x -=- 12、0362=-x 13. x 2-2x-8=014．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问几秒钟时△PBQ 的面积等于8cm ．BA CQ D P一元二次方程的解法：公式法 242b b a c x a-±-= 根的判别式：24b ac ∆=-1、240b ac -> ⇔ 方程有两个不相等的实数根2、240b ac -= ⇔ 方程有两个相等的实数根3、240b ac -< ⇔ 方程没有实数根1、对于方程23520x x -+=，a = ，b = ，c = ，24b ac -= 此方程的解的情况是 。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》经典练习卷(含答案解析)
一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM B解析：B【分析】 设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：设正方形的边长为1，AF ＝AM ＝x ，则BE ＝EF ＝12，AE ＝x+12， 在Rt △ABE 中，∴AE 2＝AB 2+BE 2，∴（x +12）2＝1+（12）2， ∴x 2+x -1＝0，∴AM 的长为x 2+x -1＝0的一个正根，故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 2．用配方法转化方程2210xx +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x +=A 解析：A【分析】方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．【详解】解：2210x x +-=2212x x ++=∴2(1)2x +=，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．3．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．4．一元二次方程2610x x +-=配方后可变形为（ ）A ．()2310x +=B ．()238x +=C ．()2310x -=D ．()238x -=A 解析：A【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．【详解】解：∵x 2+6x-1=0，∴x 2+6x=1，∴x 2+6x+9=10，∴(x+3)²=10，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >-B ．1k ≥-C ．0k ≠D ．1k >-且0k ≠D【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解不等式即可.【详解】是一元二次方程，0k ∴≠．有两个不相等的实数根，则Δ0>，2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>，解得1k >-．1k ∴>-且0k ≠．故选D【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式：（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b 2﹣4ac =0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.6．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．16C ．l2或16D ．15B解析：B【分析】利用因式分解法解方程求出x 的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．【详解】解：∵x 2-8x+15=0，∴（x-3）（x-5）=0，则x-3=0或x-5=0，解得x 1=3，x 2=5，①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，故选：B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．7．方程(2)2x x x -=-的解是（ ）A ．2B ．2-，1C ．1-D ．2，1-D【分析】先移项得到x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，（2﹣x）（x+1）＝0，2﹣x＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．8．一元二次方程x2=4x的解是（）A．x=4 B．x=0 C．x=0或-4 D．x=0或4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明参考答案D解析：D【分析】先移项，利用因式分解法解一元二次方程.【详解】解：x2=4xx2-4x=0x（x-4）=0x=0或x=4，故选：D.【点睛】此题考查解一元二次方程，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.9．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0C解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ）A ．0B ．2020C ．1D ．-2020A 解析：A【分析】将a 代入方程，可得2202030a a +-=，即220302a a =-，代入要求的式子，即可得到3+ab ，而a 、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出ab 的值，即可求出答案．【详解】解：∵方程2202030x x +-=的根分别为a 和b∴2202030a a +-=，即220302a a =-∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab∵ab=-3∴2a a 2020a b ++=32020a -+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消部分式子是解决本题的关键． 二、填空题11．已知x a =是方程2350x x --=的根，则代数式234a a -++的值为________．-1【分析】利用x=a 是方程x2-3x-5=0的根得到a2-3a=5然后利用整体代入的方法计算代数式的值【详解】解：∵x=a 是方程x2-3x-5=0的根∴a2-3a-5=0∴a2-3a=5∴故答案为解析：-1【分析】利用x=a 是方程x 2-3x-5=0的根得到a 2-3a=5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】解：∵x=a 是方程x 2-3x-5=0的根，∴a 2-3a-5=0，∴a 2-3a=5，∴()223434541a a a a -++=--+=-+=-．故答案为-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12．解方程：268x x +=-解：两边同时加_________，得26x x ++________8=-+________则方程可化为（_______）2=________两边直接开平方得_____________即_________或_____________所以1x =__________，2x =___________．999x+31x+3=±1x+3=1x+3=-1-2-4【分析】根据配方法求解即可【详解】解：两边同时加9得99则方程可化为1两边直接开平方得x+3=±1即x+3=1或x+3=-1所以-2-4故答案解析：9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4【分析】根据配方法求解即可．【详解】解：两边同时加9，得26x x ++98=-+9，则方程可化为()23x +=1，两边直接开平方得x+3=±1，即x+3=1或x+3=-1，所以1x =-2，2x =-4．故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4．【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．13．将方程2630x x +-=化为()2x h k +=的形式是______．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上9左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】考查了解一元二次方程-配方法利用此方法解方程时首先将二次项系数化为1常数解析：()2312x +=【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】∵2630x x +-=∴263x x +=∴26939x x+++=∴()2312x+= 故答案为：()2312x+=【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．14．将一元二次方程(32)(1)83x x x -+=-化成一般形式是_____．【分析】先计算多项式乘以多项式并移项再合并同类项即可【详解】故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式掌握多项式乘以多项式合并同类项计算法则是解题的关键解析：23710x x -+=【分析】先计算多项式乘以多项式，并移项，再合并同类项即可．【详解】(32)(1)83x x x -+=-23322830x x x x +---+=23710x x -+=故答案为：23710x x -+=．【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式，合并同类项计算法则是解题的关键．15．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0有一根为x ＝﹣1，则a +b ＝_____．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx ﹣2016＝0得到a+b ﹣2016＝0然后将a+b 当作一个整体解答即可【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx ﹣2016＝0得：a+b ﹣2016＝解析：2016．【分析】将x=-1代入ax 2﹣bx ﹣2016＝0得到a +b ﹣2016＝0，然后将a+b 当作一个整体解答即可．【详解】解：把x ＝﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016＝0得：a +b ﹣2016＝0，即a +b ＝2016．故答案是2016．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键． 16．如图，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的图案，其中有两横彩条、一竖彩条，横、竖彩条的宽度比为1:3，如果要使彩条所占面积是图案面积的19%，竖彩条的宽度为________．3cm 【分析】设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 根据如果要使彩条所占面积是图案面积的19可列方程求解【详解】解：设横彩条的宽度是xcm 竖彩条的宽度是3xcm 则（30-3x ）（20-2x ）=解析：3cm【分析】设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，根据“如果要使彩条所占面积是图案面积的19%”，可列方程求解．【详解】解：设横彩条的宽度是xcm ，竖彩条的宽度是3xcm ，则（30-3x ）（20-2x ）=20×30×（1-19%），解得x 1=1，x 2=19（舍去）．所以3x=3．答：竖彩条的宽度是3cm ．故答案为：3cm【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题．17．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________．2021【分析】把x=a 代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2解析：2021【分析】把x=a 代入已知方程，并求得a 2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x 2+x+1=0，得a 2+a+1=0，解得a 2+a=-1，所以2020-a 2-a=2020+1=2021．故答案是：2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．18．已知x 1和x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，∴x 1+x 2=--55-=22，121=2x x ． ∴121252==512x x x x + 故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 19．已知a ，b 是一元二次方程22310x x +-=的两实数根，则11a b+=________．3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系可得出a+b=-ab=-将其代入中即可求出结论【详解】解：∵是方程的两根故答案为：3【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是解题的关键解析：3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出a+b=-32，ab=-12，将其代入11a b a b ab ++=中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程22310x x +-=的两根， 32a b ∴+=-，12ab =-， 3112312a b a b ab -+∴+===-． 故答案为：3．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a”是解题的关键． 20．如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB ＝18m ，AD ＝15m ，在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，则x ＝_____．【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后剩余绿地的面积为144m2即可得出关于x 的一元二次方程此题得解【详解】解：设道路的宽为xm 根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144解得：或（舍去）答： 解析：3【分析】由在绿地中开辟三条宽为xm 的道路后，剩余绿地的面积为144m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：（18﹣2x ）（15﹣x ）＝144，解得：13x =或221x ＝（舍去），答：道路的宽为3m ．故答案为：3．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，正确列方程是解题的关键.三、解答题21．解方程：2250x x +-=．解析：1216,16x x =-=-【分析】利用配方法解方程．【详解】2250x x +-=225x x +=2(1)6x +=1x =-±∴1211x x =-=-【点睛】此题考查解一元二次方程的方法—配方法，将等式变形为平方形式是解题的关键． 22．（1）用配方法解：221470x x --=；（2）用因式分解法解：()()222332x x -=-．解析：（1）1x =，2x =2）x 1=1，x 2=-1． 【分析】（1）先移项，把二次项系数化为1，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进而开平方解方程即可得答案；（2）先根据完全平方公式把方程两边展开，再移项整理成一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可得答案．【详解】（1）221470x x --=移项得：2x 2-14x=7，二次项系数化为1得：x 2-7x=72， 配方得：x 2-7x+27()2=72+27()2，即（x-72）2=634，开平方得：x-72=，解得：1x =272x -=． （2）()()222332x x -=-展开得：4x 2-12x+9=9x 2-12x+4移项、合并得：5x 2-5=0，分解因式得（x+1）(x-1)=0，解得：x 1=1，x 2=-1．【点睛】本题考查配方法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 23．解方程：（1）23620x x -+=（2）222(3)9x x -=-解析：（1）13x =，233x =；（2）x=3或x=9． 【分析】（1）根据公式法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【详解】解：（1）∵3x 2-6x+2=0，∴a=3，b=-6，c=2，∴△=36-24=12，∴6363x ±±==∴1x =2x = （2）∵2（x-3）2=x 2-9，∴2（x-3）2=（x-3）（x+3），∴（x-3）[（2（x-3）-（x+3）]=0，∴（x-3）（x-9）=0∴x-3=0，x-9=0∴x=3或x=9．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．24．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买了这种服装x 件．（1）填空：解析：（1）①80；②74；③25x ≥（2）20件【分析】（1）①如果一次性购买不超过10件，单价为80元；②用单价80元减去（13－10）×2，得出答案即可；③求出单价恰好是50元时的购买件数，即可分析得到；（2）根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【详解】解：（1）①∵如果一次性购买不超过10件，单价为80元，故填：80；②80－（13－10）×2＝74，故填：74；③设购买a 件时，单价恰好是50元，80－（a －10）×2＝50，解得：a ＝25，而题目中“单价不得低于50元”，∴25x ≥时，单价是50元，故填：25x ≥；（2）因为1200＞800，所以一定超过了10件，设购买了x 件这种服装且多于10件，根据题意得出：[80－2（x －10）]x ＝1200，解得：x 1＝20，x 2＝30，当x ＝20时，80－2（20－10）＝60元＞50元，符合题意；当x ＝30时，80－2（30－10）＝40元＜50元，不合题意，舍去；答：购买了20件这种服装．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键． 25．计算题（1）解方程：2690x x ++= （2）解不等式组：3152(2)7x x x ->⎧⎨+<+⎩解析：（1）123x x ==-； （2）23x <<【分析】（1）利用因式分解法求解即可．（2）分别求出两个不等式的解集，最后找出公共部分即可．【详解】解：（1）2690x x ++=因式分解得：()230x +=解得：123x x ==-． （2）()31512272x x x ->⎧⎨+<+⎩ 解不等式1得：2x >解不等式2得：3x <∴不等式组的解集是23x <<．【点睛】本题考察解一元二次方程和一元一次不等式组，解题的关键是：（1）用因式分解法求解一元二次方程（2）不等式组解集的确定，原则是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．26．解方程：212270x x -+=解析：13x =，29x =．【分析】利用因式分解法解此一元二次方程，即可求解．【详解】解：212270x x -+=分解因式，得(3)(9)0x x --=，则30x -=或90x -=，∴13x =，29x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并能结合方程特点选择适当的解法是解题的关键．27．解方程（1）2420x x -+=（2）()255210x x ++= （3）2560x x -+=（4）()3133x x x +=+解析：（1）1222x x ==2）121x x ==-；（3）1232x x ==，；（4）1211x x =-=， 【分析】（1）直接利用配方法解方程得出答案即可；（2）方程整理后，利用利用配方法解方程得出答案即可；（3）利用分解因式法解方程即可；（4）方程整理后，利用提取公因式法分解因式进而解方程即可．【详解】（1）2420x x -+=，移项得：242x x -=-，配方得：24424x x -+=-+，即2(2)2x -=，开方得：2x -=，解得：1222x x ==（2）()255210x x ++=，整理得：2210x x ++=，即2(1)0x +=，∴121x x ==-；（3）2560x x -+=，因式分解得：()()320x x --=，∴30x -=，20x -=，∴1232x x ==，；（4）()3133x x x +=+，整理得：()()110x x x +-+=，因式分解得：()()110x x +-=，∴10x +=，10x -=， ∴1211x x =-=，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．28．阅读下列材料：对于任意的正实数a ，b ，总有2a b ab +≥成立（当且仅当a b =时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．例如：若0x >，求式子1x x +的最小值． 解：∵0x >，∴112212x x x x+≥⋅==，∴1x x +的最小值为2．（1）若0x >，求9x x+的最小值； （2）已知1x >，求2251x x x -+-的最小值． （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AOB 、COD △的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．解析：（1）6；（2）4；（3）25．【分析】（1）将原式变形为9x x +≥ （2）结合阅读材料将原式变形为()411x x -+-后即可确定最小值； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AOD S S S S =△△△△，用含x 的式子表示出36AOD S x =△，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵0x >，∴9x x +≥又∵6=， ∴96x x+≥ ∴9x x+的最小值为6； （2）∵1x >∴10x ->， ∴222521411x x x x x x -+-++=--()2141x x -+=-()411x x =-+-≥∵∴22541x x x -+≥- ∴2251x x x -+-的最小值为4． （3）设(0)BOC S x x =>△，则由等高三角形可知：BOC AOB COD AODS S S S =△△△△ ∴49AOD x S =△，即36AOD S x=△， ∴四边形ABCD 面积364913x x =+++≥，∵13=25，当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．。
用公式法解一元二次方程练习题
新人教版数学九年级上册 第二十一章第二节公式法课时练习一、选择题1．下列关于x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．210x += B ．210x x +-= C ．2230x x +-= D ．24410x x -+= 答案：D知识点：根的判别式 解析：解答：A 中2041140∆=-⨯⨯=-<，∴方程没有实数根；B 中()2141150∆=-⨯⨯-=>，∴该方程有两个不相等的实数根；C 中的()22413160∆=-⨯⨯-=>，∴该方程有两个不相等的实数根；D 中的()244410∆=--⨯⨯=，∴该方程有两个相等的实数根． 分析：其中24b ac ∆=-，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根． 2．方程210x x --=的根是（ ）A ．121122x x -+--==B ．1211,22x x ==C ．1211,22x x +== D ．没有实数根 答案：C知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：这个方程的根是12x ==，所以选择C ．分析：一元二次方程的求根公式为2b x a-=．3．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2210x x +-= B ．220x ++=C ．210x ++= D ．220x x -++=答案：C知识点：根的判别式 解析：解答：A 中的()2241180∆=-⨯⨯-=>，所以该方程有两个不相等的实数根；B 中的所以该方程没有实数根；D 中的()2141290∆=-⨯-⨯=>，所以该方程有两个不相等的实数根．分析：其中24b ac ∆=-，当△＜0时，方程没有实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．4．一元二次方程220x -+=的实数根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法判断 答案：B知识点：根的判别式 解析：数根即一个实数根．分析：当△＝0时，方程有两个相等的实数根即一个实数根．5．关于x 的一元二次方程2320ax x -+=有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是（ ） A ．98a <B ．98a >C ． 98a ≤D ．98a ≥ 答案：A知识点：根的判别式 解析：解答：因为所给方程有两个不相等的实数根，所以()23420a ∆=--⨯>，即98a <． 分析：一元二次方程有两个不相等的实数根，那么240b ac ∆=->，解所得到的不等式即可求得a 的取值范围．6．关于x 的一元二次方程()220x a b x ab c -++-=的实数根说法正确的是（ ）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有实数根 答案：D知识点：根的判别式 完全平方公式 平方的非负性 解析：解答：∵()()22222224()24440a b ab c a ab b ab c a b c ∆=-+--=++-+=-+≥⎡⎤⎣⎦，∴所给的一元二次方程有实数根，可能有两个也可能有一个，所以选择D ．分析：在遇到关于一元二次方程实数根的个数时，我们一般优先考虑用根的判别式来解题． 7．关于x 的一元二次方程()22210x x k -+-=有两个不相等的实数根，k 的取值为（ ） A ．1k < B ．1k > C ．1k ≤ D ．1k = 答案：A知识点：根的判别式 解析：解答：∵这个方程的有两个不相等的实数根，∴()()224210k ∆=--->，∴1k <． 分析：一元二次方程有两个不相等的实数根，即根据240b ac ∆=->即可求得k 的取值范围．8．关于x 的一元二次方程()22210x x k -+-=有两个相等的实数根，k 的取值为（ ）A ．1k <B ．1k >C ．1k ≤D ．1k = 答案：D知识点：根的判别式 解析：解答：∵这个方程的有两个相等的实数根，∴()()224210k ∆=---=，∴1k =． 分析：一元二次方程有两个相等的实数根，即根据240b ac ∆=-=即可求得k 的取值范围． 9．关于x 的一元二次方程()22210x x k -+-=没有实数根，k 的取值为（ ）A ．1k <B ．1k >C ．1k ≤D ．1k = 答案：B知识点：根的判别式 解析：解答：∵这个方程的有两个不相等的实数根，∴()()224210k ∆=---<，∴1k >． 分析：一元二次方程有两个不相等的实数根，即根据240b ac ∆=-<即可求得k 的取值范围．10．一元二次方程2340xx ++=的实数根为（ ）A ．没有实数根B ．124,1x x =-=C ．124,1x x ==-D ．124,1x x =-=-答案：A知识点：根的判别式 解析：解答：∵这个方程中234470∆=-⨯=-<，∴所给方程没有实数根．分析：解一元二次方程的时候，可以计算24b ac ∆=-，当方程没有实数根时可以简化计算．11．如果关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．14a >- B ．14a ≥- C ．140a a ≥-≠且 D ．140a a >-≠且 答案：C知识点：根的判别式 一元二次方程的定义 解析：解答：∵这个方程中()21410a ∆=-⨯-≥，∴14a ≥-，又∵所给方程为关于x 的一元二次方程，∴a ≠0，∴140a a ≥-≠且． 分析：当所给的一元二次方程的二次项系数含字母时，需要确保该系数不为0．12．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）A ．20B ．20或24C ．26D ．28 答案：B知识点：解一元二次方程－公式法 三角形三边关系 解析：解答：根据求根公式1616422x ±==，∴该方程的根为1210,6x x ==，根据三角形的三边可知这两个数据都可以和8、6组成三角形，∴该三角形的周长是20或24． 分析：涉及三角形三边的时候需要根据“任意两边和大于第三边，任意两边和小于第三边”来检验三边能否组成三角形． 13．一元二次方程2234x x x -+=-+的根是（ ）A ．1211x x =-+=-- B ．112x +=，212x -=C ．112x +=，212x -= D ．1211x x =-+=--答案：D知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：将所给的一元二次方程整理成一般形式2220x x +-=，∵()224212∆=-⨯-=，根据求根公式x ==1211x x =-=-． 分析：应用求根公式解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=． 14．已知关于x 的一元二次方程()2110m x x -+=－有两个不相等的实数根，那么m 的值为（ ） A ．54m >B ．54m ≤C ．54m <D ．415m m <≠且 答案：D知识点：根的判别式 一元二次方程的定义 解析：解答：∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴()()21410m ∆=--⨯->， ∴54m <，∵是一元二次方程，∴10m -≠，∴415m m <≠且． 分析：先按照题意与根的判别式与0的关系求得m 的取值范围，再根据一元二次方程的定义保证二次项的系数不为0．15．已知关于x 的一元二次方程()2110m x x -+=－有两个相等的实数根，那么m 的值为（ ） A ．54m =B ．1m =C ．54m =- D ．1m =- 答案：A知识点：根的判别式 解析：解答：∵关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，∴()()21410m ∆=--⨯-=，∴54m =． 分析：先按照题意与根的判别式与0的关系求得m 的值，再根据一元二次方程的定义保证二次项的系数不为0． 二、填空题 1．一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的求根公式是_______________．答案：2b x a-=知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是2b x a-=．分析：用公式法解一元二次方程必须是一元二次方程的一般形式． 2．一元二次方程()()13210x x +=－的一般形式是 ． 答案：23120x x +-= 知识点：多项式乘多项式 解析：解答：去括号得2323210x x x -+-=，移项、合并同类项得23120x x +-=，所以所给的一元二次方程的一般形式为23120x x +-=．分析：将一元二次方程化为一般形式是用公式法解一元二次方程的前提条件． 3．不解方程，判断下列方程实数根的情况： （1）方程22340x x --=有 个实数根；（2）方程2690xx -+=有 个实数根．答案：（1）两；（2）一 知识点：根的判别式 解析：解答：（1）因为()()2243424410b ac ∆==--⨯⨯-=>－，所以此方程有两个实数根； （2）因为()2246490b ac ∆==--⨯=－，所以此方程有一个实数根．分析：可以根据判别式24b ac ∆=-与0的大小关系判断一元二次方程的实数根的个数． 4．关于x 的一元二次方程220x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ． 答案：m ≤1 知识点：根的判别式 解析：解答：∵关于x 的一元二次方程有实数根，∴()2240m ∆=--≥，∴m ≤1． 分析：可根据根的判别式与0的关系求得m 的取值范围． 5．关于x 的方程()()211210m m x m x +++--=是一元二次方程，那么m 的值为 ． 答案：1知识点：一元二次方程的定义 解析：解答：∵关于x 的方程是一元二次方程，∴21210m m +=+≠且，∴m ＝1．分析：根据一元二次方程的定义可知()211mm x ++必须为二次项且必须不能为0，由此可得21210m m +=+≠且，从而求得m 的值．三、解答题1．用公式法解方程：（1）260x x +-=；（2）2104x -=；（3）23620x x -+=；（4）()2458x x x -=-． 答案：（1）123,2x x =-=；（2）12x x ==；（3）12x x ==；（4）12x x ==知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：解：（1）∵()2241416250b ac -=-⨯⨯-=>∴x=，∴11522x -±-±==∴方程的解为123,2x x =-=；（2）∵(221441404b ac ⎛⎫-=-⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，∴x =，∴x==∴方程的解为12x x == （3）∵()2246432120b ac -=--⨯⨯=>，∴x=，∴66x ±==12x x == （4）将所给方程整理为一般形式22450x x +-=∴()2244425560b ac -=-⨯⨯-=>，∴x=22x -±==∴方程的解为12x x ==． 分析：使用公式法解一元二次方程的前提条件是：①一元二次方程为一般形式20ax bx c ++=，②240b ac ∆=-≥．2．关于x 的一元二次方程()221230n x x n n -+++-=的一个根是0，求n 的值． 答案：－3知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：解：将x ＝0代入所给的方程中得：2230n n +-=，∴()22424316b ac -=-⨯-=，∴n =∴22422n -±-±==，∴121,3n n ==-，又∵当1n =时，所给方程不是一元二次方程，∴3n =-．分析：先根据0是所给方程的一个根求出n 的值，因为二次项的系数为n －1，所以n ≠1． 3．已知关于x 的方程x (x －k )＝2－k 的一个根为2． （1）求k 的值；（2）求方程2y (2k －y )＝1的解．答案：（1）2；（2）1244,22y y +-==知识点：解一元二次方程－公式法 解析：解答：解：（1）将x ＝2代入所给的方程中得：()222k k -=-，解得2k =； （2）将2k =代入方程2y (2k －y )＝1中得方程2y (4－y )＝1，整理得22810y y -+=∴()22484256b ac -=--⨯=，∴y =，∴y ==，∴124422y y +-==． 分析：先根据2是所给方程的一个根求出k 的值，将k 的值代入（2）中可得到关于y 的一元二次方程，整理成一般形式以后利用公式法解方程．4．如果关于x 的一元二次方程()()62-=+-m mx m x 的各项系数之和等于8，求m 的值． 答案：－2知识点：解一元二次方程－公式法 多项式乘多项式 一元二次方程的定义 解析：解答：解：将所给的方程整理得：()222360mx mx m +--+=，∵这个方程的各项系数之和等于8，∴22368m m m +--+=，∴220m m +=，∴02m m ==-或，又∵当0m =时，所给方程不是一元二次方程，∴2m =-．分析：先将所给的关于x 的一元二次方程整理成一般形式，再根据题意列出关于m 的方程即可求得m 的值．5．已知：关于x 的方程2210x kx +-=． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是12，求另一个根及k 值． 答案：（1）见解析；（2）另一个根为－1及k 值为1 知识点：解一元二次方程－公式法 平方的非负性 解析：解答：证明：（1）在关于x 的方程中，∵()222442180b ac k k -=-⨯⨯-=+>，∴ 方程有两个不相等的实数根；解：（2）将12x =代入所给的方程中得：21121022k ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，∴1k =，∴所给方程为2210x x +-=，∴()22414219b ac -=-⨯⨯-=，∴x =，∴134x -±==，∴1211,2x x =-=，∴方程的另一个根为1x =-． 分析：（1）求证方程的实数根的情况需借助判别式；（2）先根据12是所给方程的一个根求出k 的值，再将k 的值代入所给方程利用公式法求得另一个根．。
21.2.3公式法-人教版九年级数学上册练习
人教版九年级数学上册21.2.3公式法一．选择题（共6小题）1．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，12．用公式法解﹣x2+3x＝1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，1B．1，3，1C．﹣1，3，﹣1D．1，﹣3，﹣1 3．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（）A．B．C．D．4．方程x2+x﹣1＝0的一个根是（）A．1﹣B．C．﹣1+D．5．用公式法解方程4y2＝12y+3，得到（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0B．2x2﹣4x+1＝0C．2x2﹣4x﹣1＝0D．2x2+4x﹣1＝0二．填空题（共6小题）7．用公式法解﹣4x2+5x＝9时，应先求出a，b，c的值，则a＝，b＝，c ＝．8．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是，条件是．9．方程x2﹣x﹣6＝0的解为．10．一元二次方程（4y﹣3）（y﹣1）＝4的根为．11．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝，x2＝，那么a＝．12．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x＝．三．解答题（共3小题）13．解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x．14．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x＝（第三步）∴x1＝，x2＝（第四步）（1）小明解答过程是从第步开始出错的，其错误原因是．（2）写出此题正确的解答过程．15．解方程x2＝﹣3x+2时，有一位同学解答如下：解：∵a＝1，b＝3，c＝2，b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1，∴x＝＝＝即：x1＝﹣2，x2＝﹣1请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程．人教版九年级数学上册21.2.3公式法参考答案一．选择题（共6小题）1．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1【解答】解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．2．用公式法解﹣x2+3x＝1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，1B．1，3，1C．﹣1，3，﹣1D．1，﹣3，﹣1【解答】解：将方程整理为一般形式为﹣x2+3x﹣1＝0，可得二次项系数a＝﹣1，一次项系数b＝3，常数项为﹣1．故选：C．3．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（）A．B．C．D．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x＝，故选：A．4．方程x2+x﹣1＝0的一个根是（）A．1﹣B．C．﹣1+D．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x＝，所以x1＝，x2＝．故选：D．5．用公式法解方程4y2＝12y+3，得到（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【解答】解：∵4y2＝12y+3∴4y2﹣12y﹣3＝0∴a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3∴b2﹣4ac＝192∴y＝＝．故选：C．6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0B．2x2﹣4x+1＝0C．2x2﹣4x﹣1＝0D．2x2+4x﹣1＝0【解答】解：解一元二次方程的公式为x＝．所以a＝2，b＝4，c＝1．所以方程为2x2+4x+1＝0故选：A．二．填空题（共6小题）7．用公式法解﹣4x2+5x＝9时，应先求出a，b，c的值，则a＝﹣4，b＝5，c＝﹣9．【解答】解：方程整理得：﹣4x2+5x﹣9＝0，则a＝﹣4，b＝5，c＝﹣9．故答案为：﹣4；5；﹣98．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是，条件是b2﹣4ac≥0．【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c＝0，移项，得ax2+bx＝﹣c化系数为1，得x2+x＝﹣配方，得x2+x+＝﹣+即：（x+）2＝当b2﹣4ac≥0时，开方，得x+＝解得：x＝．故答案为：，b2﹣4ac≥0．9．方程x2﹣x﹣6＝0的解为x＝2或x＝．【解答】解：∵x2﹣x﹣6＝0，∴a＝1，b＝，c＝﹣6，∴△＝3+24＝27，∴x＝，∴x＝2或x＝，故答案为：x＝2或x＝10．一元二次方程（4y﹣3）（y﹣1）＝4的根为y1＝，y2＝．【解答】解：方程化为4y2﹣7y﹣1＝0，△＝（﹣7）2﹣4×4×（﹣1）＝65，y＝，所以y1＝，y2＝．故答案为y1＝，y2＝．11．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝，x2＝，那么a＝1．【解答】解：由关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1＝，x2＝，∴a＝1，b＝﹣4，c＝3，故答案为：112．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x＝﹣3．【解答】解：根据题意，得：x2+6x+3＝5，即x2+6x﹣2＝0，∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，∴△＝36﹣4×1×（﹣2）＝44＞0，则x＝＝﹣3，故答案为：﹣3．三．解答题（共3小题）13．解方程：2x2﹣3x＝1﹣2x．【解答】解：原方程化为2x2﹣x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9，∴x＝＝，∴x1＝1，x2＝﹣．14．小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x＝（第三步）∴x1＝，x2＝（第四步）（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化成一般形式．（2）写出此题正确的解答过程．【解答】解：（1）故答案为：一，原方程没有化成一般形式；（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴x＝15．解方程x2＝﹣3x+2时，有一位同学解答如下：解：∵a＝1，b＝3，c＝2，b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1，∴x＝＝＝即：x1＝﹣2，x2＝﹣1请你分析以上解答有无错误，如有错误，请写出正确的解题过程．【解答】解：解答有错误，正确的解法是：方程整理得：x2+3x﹣2＝0，这里a＝1，b＝3，c＝﹣2，∵△＝9+8＝17，∴x＝，解得：x1＝，x2＝．。
人教版九年级数学上册 一元二次方程解法专题练习题
人教版九年级数学上册一元二次方程解法专题练习题1.解一元二次方程1、x(x+4)=5(x+4)将5(x+4)移到等式左边，得到x(x+4)-5(x+4)=0，化简得到(x-1)(x-5)=0，因此x=1或x=5.2、(x-2)=3(x-2)将3(x-2)移到等式左边，得到(x-2)-3(x-2)=0，化简得到-2x+4=0，因此x=2.3、x(x-1)=2(x+1)(1-x)将2(x+1)(1-x)移到等式左边，得到x(x-1)-2(x+1)(1-x)=0，化简得到3x^2-3x-2=0，根据求根公式，得到x=(3+√17)/6或x=(3-√17)/6.4、2(x-3)=-x(3-x)将-x(3-x)移到等式左边，得到2(x-3)+x(3-x)=0，化简得到-x^2+x-6=0，根据求根公式，得到x=(√29-1)/2或x=(-√29-1)/2.5、(2x-1)=(3-x)将3-x移到等式左边，得到2x+x-3=0，化简得到x=1.6、3(x-1)=x(x-1)将x(x-1)移到等式左边，得到3(x-1)-x(x-1)=0，化简得到x^2-2x-3=0，根据求根公式，得到x=-(√13+1)/2或x=(√13-1)/2.7、x-6x-9=0（配方法）将x-6x-9化简为(x-3)^2-18=0，再将18移到等式左边，得到(x-3)^2=18，根据求根公式，得到x=3+√18或x=3-√18.8、3x=2-5x（公式法）将2-5x移到等式左边，得到3x+5x-2=0，化简得到8x-2=0，因此x=1/4.9、x+2x-1=0将x+2x-1化简为3x-1=0，因此x=1/3.10、x-4x+1=0将x-4x+1化简为-3x+1=0，因此x=1/3.11、(x-1)-2(x-1)=15将2(x-1)移到等式左边，得到(x-1)-2(x-1)-15=0，化简得到-3x-14=0，因此x=(-14)/(-3)=14/3.12、-3x+4x+1=0将-3x+4x化简为x，因此x=-1.13、2x^2+3=7x将7x移到等式左边，得到2x^2-7x+3=0，根据求根公式，得到x=(7+√13)/4或x=(7-√13)/4.14、(1-2x)^2=x^2-6x+9将右边的x^2-6x+9移到等式左边，得到(1-2x)^2-x^2+6x-9=0，化简得到3x^2-10x-8=0，根据求根公式，得到x=(5+√73)/3或x=(5-√73)/3.15、3x^2-6x+1=0（用配方法）将3x^2-6x+1化简为(√3x-1)^2=0，因此x=1/√3.16、x(x+4)=8x+12将8x+12移到等式左边，得到x^2-4x-3=0，根据求根公式，得到x=(4+√28)/2或x=(4-√28)/2.17、x^2-2x=2x+1将2x+1移到等式左边，得到x^2-4x-1=0，根据求根公式，得到x=(2+√6)或x=(2-√6)。
人教版初中数学初三上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题(解析版)
第 1 页人教版初中数学初三上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题（解析版）一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．利用求根公式求5x 2+12=6x 的根时，此中a=5，则b、c 的值分别是（ ） A ． 12、6 B ． 6、12 C ． 、6、12 D ． 、6、、122．方程x 2﹣9=0的解是（ ）A ． x=3B ． x=﹣3C ． x=±9D ． x 1=3，x 2=﹣33．已知a 是一元二次方程x 2﹣3x ﹣5=0的较小的根，则下面对a 的预计正确的是（ ）A ． ﹣2＜a ＜﹣1B ． 2＜a ＜3C ． ﹣3＜a ＜﹣4D ． 4＜a ＜54．方程2x 2、√5x、3=0的两根是（ ）A ． x=√5±√112B ． x=√5±√292C ． x=−√5±√292D ． x=−√5±√2945．若3（x +1）2﹣48=0，则x 的值即是（ ）A ． ±4B ． 3或﹣5C ． ﹣3或5D ． 3或56．若※是新准则的某种运算标记，设a※b=b 2 -a ，则-2※x=6中x 的值（）A ． 4B ． 8C ．2 D ． -2二、填空题7．根的鉴别式内容：△=b 2﹣4ac ＞0⇔一元二次方程_____；△=b 2﹣4ac=0⇔一元二次方程_____；此时方程的两个根为x 1=x 2=_____．△=b 2﹣4ac ＜0⇔一元二次方程_____．△=b 2﹣4ac ≥0⇔一元二次方程_____．8．用求根公式解方程x 2+3x=﹣1，先求得b 2﹣4ac=_____，则 x 1=_____，x 2=_____．9．用公式法解一元二次方程﹣x 2+3x=1时，应求出a ，b ，c 的值，则：a=_____；b=_____；c=_____．10．把方程（x +3）（x ﹣1）=x （1﹣x ）整理成ax 2+bx +c=0的形式_____，b 2﹣4ac 的值是_____．三、解答题11．解方程：3x 2−2x −2=0、12．选择适当的要领解方程:、1、2(x 、3)2、8、、2、x2-6x-4、0.13．解方程：（1、(2x+1)2=(x-1)2;、2、x2+4x-7=014．已知关于x的方程mx2+(3、m)x、3=0(m为实数，m≠0)、(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 要是此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.参考答案1．C【剖析】【剖析】把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值．【详解】=0、5x2、6x+12、所以a=5、b=、6、c=12故选：C、【点睛】考察明白一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的要领是公式法．2．D【剖析】【剖析】先移项得到x2=9，然后利用直接开平要领解方程．【详解】x2=9，x=±3，所以x1=3，x2=-3．故选D．【点睛】本题考察明白一元二次方程-直接开平要领：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采取直接开平方的要领解一元二次方程．3．A【剖析】【剖析】利用公式法表示出方程的根，再举行估算即可．【详解】一元二次方程x2-3x-5=0，第 1 页∵a=1，b=-3，c=-5，∴△=9+20=29，∴x=3±√292，则较小的根a=3−√292，即-2＜a＜-1，故选A．【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算准则是解本题的要害．4．B【剖析】【剖析】利用求根公式x=b±√b2+4c2解方程.【详解】方程：、√5x、3=0中b=-√5,a=2,c=-3.∴x=b±√b2+4c2、√5±√292.故选：B.【点睛】考察用公式法解一元二次方程，利用求根公式x=b±√b2+4c2解方程时，一定要弄明白该公式中的字母a、b、c所表示的意义．5．B【剖析】【剖析】先移项，再系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】3（x+1）2-48=0，3（x+1）2=48，（x+1）2=16，第 3 页x+1=±4，x=3或-5，故选：B ．【点睛】考察明白一元二次方程，解此题的要害是能把一元二次方程转化成一元一次方程．6．C【剖析】解：由题意得： 226x +=，∴24x =，∴x =±2．故选C ．7． 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 ﹣b 2a 无解 有实数根【剖析】【剖析】利用根的鉴别式与解的干系鉴别即可得到终于．【详解】△=b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b 2-4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x 1=x 2=-b 2a ．△=b 2-4ac ＜0⇔一元二次方程无解．△=b 2-4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；-b 2a ；无解；有实数根．【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，熟练掌握根的鉴别式与解的干系是解本题的要害．8． 5 −3+√52 −3−√52【剖析】【剖析】将已知方程化为一般形式，找出a ，b 及c 的值，谋略出b 2-4ac ，发觉其值大于0，得到方程有两个不相等的实数根，故将a ，b 及c 的值代入求根公式，即可求出原方程的解．【详解】x 2+3x=-1整理为一般形式得：x 2+3x+1=0，∵a=1，b=3，c=1，∴b 2-4ac=32-4=5＞0，∴x=−3±√52， ∴x 1=−3+√52，x 2=−3−√52．故答案为：5；−3+√52；−3−√52.【点睛】 此题考察了利用公式法求一元二次方程的解，利用此要领解方程时，应先将方程化为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，然后谋略出根的鉴别式，当根的鉴别式大于即是0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式可得出方程的解；当根的鉴别式小于0时，原方程无解．9． -1 3 -1【剖析】【剖析】先移项，将方程变形为一元二次方程的一般形式，然后再找出各项系数即可．【详解】-x 2+3x=1，-x 2+3x-1=0，a=-1，b=3，c=-1，故答案为：-1，3，-1．【点睛】本题考察明白一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着火线的标记．10． 2x 2+x ﹣3=0 25【剖析】【剖析】将方程整理为一般形式，谋略出根的鉴别式的值即可．【详解】方程（x+3）（x-1）=x （1-x ）整理得：2x 2+x-3=0，b 2-4ac=25．故答案为：2x 2+x-3=0；25．第 5 页【点睛】此题考察明白一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的要害．11．x 1=1+√73、x 2=1−√73. 【剖析】【剖析】先找出a、b、c ，再求出b 2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．【详解】a=3、b=-2、c=-2、b 2-4ac=、-2、2-4×3×、-2、=28>0、∴x=−b±√b 2−4ac 2a=−(−2)+√282×3=1±√73、 ∴x 1=1+√73、x 2=1−√73.【点睛】本题考察明白一元二次方程，解一元二次方程的要领有提公因式法、公式法，因式分化法等，根据方程的系数特点灵敏选择适当的要领举行求解是解题的要害.12．、1、x 1、5、x 2、1、、2、x 1、3+√13、 x 2、3-√13、【剖析】剖析：（1）方程用直接开平要领即可求解；、2）用公式法即可求解方程.详解：（1、2(x、3)2、8、(x、3)2、4、开方，得x、3、2或x、3、-2、解得x 1、5、x 2、1、、2、x 2-6x -4、0a=1、b=-6、c=-4、△=b 2-4ac=52>0、∴方程有两个不相等的实数根x=−b±√b 2−4ac 2a=−(−6)±√522×1=3±√13、 ∴x 1、3+√13、 x 2、3-√13点睛：此题考察明白一元二次方程的要领-直接开平要领和公式法，根据给出的方程的布局，选择适当的要领举行求解是要害.13．(1)x1=0，x2=-2；（2）x1=-2+√11，x2=-2-√11.谋略即【剖析】剖析：（1）用直接开平要领求解即可；（2）根据求根公式：x=−b±√b2−4ac2a可.详解：（1）∵(2x+1)2=(x-1)2,、2x+1=x-1或2x+1=-(x-1),、2x-x=-1-1或2x+1=-x+1,、2x-x=--1或2x+1=-x+1,、x=-2或x=0、即x1=0、x2=-2、（2）x2+4x-7=0∵a=1,b=4,c=-7,=−2±√11,∴x=−4±√42−4×1×(−7)2、x1=-2+√11、x2=-2-√11.点睛：本题主要考察的知识点是一元二次方程的解法－直接开平要领和求根公式法．熟练掌握直接开平要领和求根公式法是解答本题的要害，本题属于一道基础题，难度适中．14．(1)b2−4ac=(m+3)2≥0、(2)m=-1,-3.【剖析】剖析: （1）先谋略鉴别式得到△=（m-3）2-4m•（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据鉴别式的意义即可得到结论；、x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．、2）利用公式法可求出x1=3m详解: （1）证明：∵m≠0，∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，∴△=（m-3）2-4m×（-3）=（m+3）2，∵（m+3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；，（2）解：∵x=−(3−m)±(m+3)2m，x2=1，∴x1=-3m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m=-1或-3．点睛: 本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0、a≠0）的根的鉴别式、=b2-4ac：当、、0，方程有两个不相等的实数根；当、=0，方程有两个相等的实数根；当、、0，方程没有实数根．也考察明白一元二次方程．第 7 页。
人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 专题练习题(含答案,教师版)
人教版九年级数学上册第二十一章 一元二次方程 专题练习题专题1 一元二次方程的解法1．用直接开平方法解下列方程：(1)3x 2－27＝0；解：3x 2＝27，x 2＝9，x ＝±3，∴x 1＝3，x 2＝－3.(2)2(3x －1)2＝8.解：(3x －1)2＝4，3x －1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝－13.2．用配方法解下列方程：(1)x 2－2x ＋5＝0；解：x 2－2x ＝－5，x 2－2x ＋1＝－5＋1，(x －1)2＝－4<0，∴原方程无解．(2)14x 2－6x ＋3＝0.解：x 2－24x ＋12＝0，(x －12)2＝132，x－12＝±233，∴x1＝233＋12，x2＝－233＋12.3．用因式分解法解下列方程：(1)x2－3x＝0；解：x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0.∴x1＝0，x2＝3.(2)(x－3)2－9＝0；解：∵(x－3)2－32＝0，∴(x－3＋3)(x－3－3)＝0，即x(x－6)＝0.∴x＝0或x－6＝0.∴x1＝0，x2＝6.(3)2(t－1)2＋8t＝0；解：原方程可化为2t2＋4t＋2＝0.∴t2＋2t＋1＝0.∴(t＋1)2＝0.∴t1＝t2＝－1.(4)x2－3x＝(2－x)(x－3)；解：原方程可化为x(x－3)＝(2－x)(x－3)．移项，得x(x－3)－(2－x)(x－3)＝0.∴(x－3)(2x－2)＝0.∴x －3＝0或2x －2＝0.∴x 1＝3，x 2＝1.(5)x 2－4x －12＝0.解：分解因式，得(x －6)(x ＋2)＝0，∴x 1＝6，x 2＝－2.4．用公式法解下列方程：(1)3x 2－2x ＋1＝0；解：∵a ＝3，b ＝－2，c ＝1，b 2－4ac ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，∴原方程无实数根．(2)x 2－23x ＋2＝0；解：∵a ＝1，b ＝－23，c ＝2，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×2＝4，∴x ＝－（－23）±22×1＝3±1. ∴x 1＝3－1，x 2＝3＋1.(3)3x ＝2(x ＋1)(x －1)． 解：将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－2)＝11>0，224∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224. 5．用合适的方法解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0；解：原方程可化为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，即(7x －16)(－3x ＋4)＝0.∴x 1＝167，x 2＝43. (2)5(x －3)2＝x 2－9；解：5(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)，移项，得5(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.∴(x －3)[5(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －3)(4x －18)＝0.∴x －3＝0或4x －18＝0.∴x 1＝3，x 2＝92. (3)t 2－22t ＋18＝0. 解：方程两边都乘8，得8t 2－42t ＋1＝0.∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1， ∴b 2－4ac ＝(－42)2－4×8×1＝0.2×84∴t 1＝t 2＝24. 6．阅读材料：为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x 2＝2.∴x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5.∴x ＝± 5.故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程：(x 2＋x)2－5(x 2＋x)＋4＝0；(3)请利用以上知识解方程：x 4－3x 2－4＝0.解：(2)设y ＝x 2＋x ，则y 2－5y ＋4＝0.∴(y －1)(y －4)＝0.解得y 1＝1，y 2＝4.①当x 2＋x ＝1，即x 2＋x －1＝0时，解得x ＝－1±52； ②当x 2＋x ＝4，即x 2＋x －4＝0时，解得x ＝－1±172. 综上所述，原方程的解为x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52，x 3＝－1＋172，x 4＝－1－172.(3)设x 2＝y ，则y 2＝x 4，原方程化为y 2－3y －4＝0，解此方程，得y 1＝4，y 2＝－1.∵y ≥0，∴y ＝4.当y ＝4时，x 2＝4，解得x 1＝2，x 2＝－2.专题2 根的判别式及根与系数的关系的综合1．若关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋m 2－3m ＋3＝0的两根互为倒数，则m 的值等于(B)A ．1B ．2C ．1或2D ．02．已知关于x 的方程x 2－(2k 2－3)x ＋k ＋7＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＝5－x 2，则k 的值为－2．3．已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个实数根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)若1α＋1β＝－1，求m 的值． 解：(1)由题意知，(2m ＋3)2－4×1×m 2≥0，解得m ≥－34. (2)由根与系数的关系，得α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.∵1α＋1β＝－1，∴α＋βαβ＝－1. ∴－（2m ＋3）m 2＝－1. 变形得m 2－2m －3＝0，解得m 1＝－1，m 2＝3.经检验，m 1＝－1和m 2＝3是原分式方程的解．由(1)知m ≥－34，∴m 1＝－1应舍去． ∴m 的值为3.4．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2满足3x 1＝|x 2|＋2，求m 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(－6)2－4(m ＋4)＝20－4m ≥0.解得m ≤5.(2)∵关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋4＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝6①，x 1x 2＝m ＋4②.∵3x 1＝|x 2|＋2，∴x 1>0.当x 2≥0时，有3x 1＝x 2＋2③，联立①③，解得x 1＝2，x 2＝4.∴8＝m ＋4.∴m ＝4，满足m ≤5；当x 2＜0时，有3x 1＝－x 2＋2④，联立①④，解得x 1＝－2，x 2＝8(不合题意，舍去)．∴m 的值为4.5．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝19，求m 的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．解：(1)根据题意，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.(x1－1)(x2－1)＝19整理，得x1x2－(x1＋x2)＋1＝19.把x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5代入x1x2－(x1＋x2)＋1＝19，得m2＋5－2(m＋1)＋1＝19.整理，得m2－2m－15＝0.解得m1＝－3，m2＝5.∵由Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)≥0，得m≥2，∴m1＝－3不合题意，应舍去．∴m的值为5.(2)若等腰△ABC的腰长为7，把x＝7代入方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m1＝4，m2＝10.若m＝4，则原方程为x2－10x＋21＝0，解得x1＝7，x2＝3.△ABC三边为7，7，3(符合题意)．若m＝10，则原方程为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15.△ABC三边为7，7，15(不合题意，舍去)．若等腰△ABC的底边长为7，则Δ＝[－2(m ＋1)]2－4(m 2＋5)＝8m －16＝0，解得m ＝2.原方程为x 2－6x ＋9＝0.解得x 1＝x 2＝3.△ABC 三边为3，3，7(不合题意，舍去)．综上可知：△ABC 三边为7，7，3，周长为7＋7＋3＝17，即这个三角形的周长为17.专题3 一元二次方程的实际应用1．印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”你能解决这个问题吗？解：设有x 只猴子，由题意，得(18x)2＋12＝x ， 整理，得x 2－64x ＋768＝0，解得x 1＝16，x 2＝48.答：这群猴子的总数为16只或48只．2．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)16 m ，宽(AB)9 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m 2，则小路的宽应为多少？解：设小路的宽应为x m ，根据题意，得(16－2x)(9－x)＝112.解得x 1＝1，x 2＝16.∵16＞9，∴x ＝16不符合题意，舍去．∴x ＝1.答：小路的宽应为1 m.3．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，设南瓜种植面积的增长率为x.(1)则今年南瓜的种植面积为10(1＋x)亩；(用含x 的代数式表示)(2)如果今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，今年南瓜的总产量为60 000 kg ，求南瓜亩产量的增长率．解：根据题意，得10(1＋x)×2 000(1＋x 2)＝60 000， 整理，得x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1＝100%，x 2＝－4(不合题意，舍去)．∴12x ＝50%. 答：南瓜亩产量的增长率为50%.4．某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x ，根据题意，得2.5(1＋x)2＝3.6.解得x ＝0.2，x ＝－2.2(不合题意舍去)．答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.(2)设再增加y 个销售点，根据题意，得3.6＋0.32y ≥3.6×(1＋20%)，解得y ≥94. 答：至少再增加3个销售点．5．如图，在直角墙角AOB(OA ⊥OB ，且OA ，OB 长度不限)中，要砌20 m 长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC 的面积为96 m 2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为50元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？解：(1)设AC ＝x m ，则BC ＝(20－x)m ，由题意，得x(20－x)＝96，整理，得x 2－20x ＋96＝0，解得x 1＝12，x 2＝8.当AC ＝12时，BC ＝8；当AC ＝8时，BC ＝12.答：矩形地面的长为12 m.(2)①若选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖：120.8×80.8＝15×10＝150(块)， 150×50＝7 500(元)；②若选用规格为1.00×1.00(单位：m)的地板砖：121×81＝96(块)， 96×80＝7 680(元)．∵7 500＜7 680，∴选用规格为0.80×0.80(单位：m)的地板砖费用较少．6．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元/台)成一次函数关系．(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元/台，如果该公司想获得10 000万元的年利润，那么该设备的销售单价应是多少万元/台？解：(1)设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，将(40，600)，(45，550)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝600，45k ＋b ＝550.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝1 000. ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y ＝－10x ＋1 000.(2)根据题意，得(x －30)(－10x ＋1 000)＝10 000，整理，得x 2－130x ＋4 000＝0，解得x 1＝50，x 2＝80.∵此设备的销售单价不得高于70万元/台，∴x ＝50.答：该设备的销售单价应是50万元/台．7．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x ＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价多少元？解：(1)设一次函数关系式为y ＝kx ＋b ，当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140.∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝10，b ＝100. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100.(2)由题意，得(60－40－x)(10x ＋100)＝2 090，解得x 1＝1，x 2＝9.∵让顾客得到更大的实惠，∴x ＝9.答：商贸公司要想获利2 090元，且让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价9元．8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，BC ＝8 cm ，一动点P 从点C 出发沿着CB 边以2 cm/s 的速度运动，另一动点Q 从点A 出发沿着AC 边以4 cm/s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为t s.(1)若△PCQ 的面积是△ABC 面积的14，求t 的值； (2)△PCQ 的面积能否与四边形ABPQ 面积相等？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．解：(1)根据题意，得S △PCQ ＝12×2t(16－4t)，S △ABC ＝12×8×16＝64. ∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的14， ∴12×2t(16－4t)＝64×14. 整理，得t 2－4t ＋4＝0，解得t ＝2.答：当t ＝2 s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14. (2)△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 面积相等时，则S △PCQ ＝12S △ABC ，即12×2t(16－4t)＝64×12， 整理，得t 2－4t ＋8＝0.∵Δ＝(－4)2－4×1×8＝－16＜0，∴此方程没有实数根．∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 面积相等．。
人教版 九年级数学上册 第21章 一元二次方程 综合训练(含答案)
人教版九年级数学第21章一元二次方程综合训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一根为－1，则方程的另一根为( )A. －1B. －3C. 1D. 32. 一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根3. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为() A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝9004.若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m＜1 B．m≥1C．m≤1 D．m＞15. 关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0(k为实数)根的情况是( )A．有两个不相等的实数根C．没有实数根B．有两个相等的实数根D．不能确定6. 以x＝b±b2＋4c2为根的一元二次方程可能是( )A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝07. 在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是()A．x2＋130x－1400＝0 B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0 D．x2－65x－350＝08. 若方程(x＋3)2＝m的解是有理数，则实数m不能．．取下列四个数中的( )A．1 B．4 C.14 D.129. 若M＝2x2－12x＋15，N＝x2－8x＋11，则M与N的大小关系为( )A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为()A．2 B．0 C．－2 D．3二、填空题（本大题共7道小题）11. 一元二次方程3x2＝4－2x的解是__________________．12. 方程x－1＝2的解是________．13. 填空：(1)x2＋4x＋(____)＝(x＋____)2；(2)x2＋(____)x＋254＝⎝⎛⎭⎪⎫x－522；(3)x2－73x＋(______)＝(x－______)2；(4)x2－px＋(______)＝(x－______)2.14.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为________．15. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝________．16. 已知x＝m是一元二次方程x2－9x＋1＝0的一个根，则m2－7m－18m2m2＋1＝________.17. 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2－2x＝－1.(第一步)x2－2x＋1＝－1＋1.(第二步)(x－1)2＝0.(第三步)x1＝x2＝1.(第四步)(1)小明的解答过程是从第________步开始出现错误，其错误原因是__________ ______；(2)请写出此题正确的解答过程．三、解答题（本大题共4道小题）18. 用配方法解下列方程：(1) x2＋6x＝－7；(2)4y2＋4y＋3＝0；(3)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.19. 如图，某工程队在工地上利用互相垂直的两面墙AE，AF，另两边用铁栅栏围成一个矩形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个矩形，铁栅栏的总长为180米，已知墙AE的长为90米，墙AF的长为60米．(1)设BC＝x米，则CD＝________米，四边形ABCD的面积为____________平方米；(2)若矩形ABCD的面积为4000平方米，则BC的长为多少米？20. 某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都将被感染？21. 2018·常州阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，解方程x＝0和x2＋x－2＝0，可得方程x3＋x2－2x＝0的解．(1)问题：方程x3＋x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝________，x3＝________；(2)拓展：用“转化”思想求方程2x＋3＝x的解；(3)应用：如图1－T－2，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8 m，宽AB＝3 m，小华把一根长为10 m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD，DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长．人教版九年级数学第21章一元二次方程综合训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D 【解析】设方程的另一个根为x2，则根据根与系数关系有－1＋x2＝2，解得x2＝3.2. 【答案】B 【解析】代入数据求出根的判别式Δ＝b2－4ac的值，根据Δ的正负即可得出结论．∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．3. 【答案】 B4. 【答案】D [解析] ∵方程无实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1·m＝4－4m＜0，解得m＞1.故选D.5. 【答案】 A [解析] ∵a＝1，b＝k，c＝－2，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A.6. 【答案】 D [解析] 对照求根公式，可确定二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，－b，－c.故选D.7. 【答案】B8. 【答案】D9. 【答案】A [解析] M－N＝(2x2－12x＋15)－(x2－8x＋11)＝x2－4x＋4＝(x－2)2.∵(x－2)2≥0，∴M≥N.10. 【答案】B[解析] 根据“和谐”方程和“美好”方程的定义得2＋m＋n＝0，2－m＋n＝0，解得m＝0，n＝－2，所以mn＝0.二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】x1＝－1＋133，x2＝－1－133[解析]直接利用公式法解一元二次方程得出答案．整理，得3x2＋2x－4＝0，则Δ＝b2－4ac＝4－4×3×(－4)＝52＞0，∴x＝－2±526，∴x1＝－1＋133，x2＝－1－133.12. 【答案】x＝5【解析】方程两边平方得，x－1＝4，解得x＝5，经检验，x＝5是原方程的解．13. 【答案】(1)4 2 (2)－5 (3)493676(4)p24p214. 【答案】12【解析】解一元二次方程x2－13x＋40＝0得x1＝5，x2＝8.当x＝5时，∵3＋4>5，∴3，4，5能构成三角形，此时三角形周长为：3＋4＋5＝12；当x＝8时，∵3＋4<8，不满足三角形的三边关系，∴3，4，8不能构成三角形．故此三角形的周长为12.15. 【答案】－3或4 [解析] 根据题意，得[(m＋2)＋(m－3)]2－[(m＋2)－(m－3)]2＝24.整理，得(2m－1)2＝49，即2m－1＝±7，所以m1＝－3，m2＝4.16. 【答案】－1[解析] 由题意可得m2－9m＋1＝0，所以m2＋1＝9m，m≠0，所以m2－7m－18m2m2＋1＝m2－9m＋2m－18m29m＝－1＋2m－2m＝－1.17. 【答案】解：(1)一移项时没有变号(2)x2－2x＝1.x2－2x＋1＝1＋1.(x－1)2＝2.x－1＝±2.所以x1＝1＋2，x2＝1－ 2.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)配方，得x2＋6x＋9＝－7＋9.即(x＋3)2＝2.方程两边开方，得x＋3＝±2.所以x1＝－3＋2，x2＝－3－ 2.(2)移项，得4y2＋4y＝－3.配方，得(2y＋1)2＝－2.因为无论y为何实数，总有(2y＋1)2≥0，所以此方程无解．(3)去括号，得4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7.整理，得x2－6x＝－8.配方，得(x－3)2＝1.所以x－3＝±1，所以x1＝2，x2＝4.19. 【答案】解：(1)(180－2x)x(180－2x)(2)设红星公司要制作的BC＝x米．由题意，得x(180－2x)＝4000，整理，得x2－90x＋2000＝0，解得x1＝40，x2＝50.当x＝40时，180－2x＝100＞90，不符合题意，舍去；当x＝50时，180－2x＝80＜90，符合题意．答：BC的长为50米．20. 【答案】解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝16，解得x1＝3，x2＝－5(舍去)．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．(2)三轮感染后，被感染的电脑台数为16＋16×3＝64，四轮感染后，被感染的电脑台数为64＋64×3＝256＞101.答：若病毒得不到有效控制，四轮感染后机房内所有电脑都将被感染．21. 【答案】解：(1)x3＋x2－2x＝0，x(x2＋x－2)＝0，x(x＋2)(x－1)＝0，∴x＝0或x＋2＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝－2，x3＝1.故答案为：－2，1.(2)2x＋3＝x，方程两边平方，得2x＋3＝x2，即x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.当x＝－1时，2x＋3＝1＝1≠－1，∴－1不是原方程的解．∴方程2x＋3＝x的解是x＝3.(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3 m.设AP＝x m，则PD＝(8－x)m.∵BP＋CP＝10 m，BP＝AB2＋AP2，CP＝PD2＋CD2，∴9＋x2＋（8－x）2＋9＝10，∴（8－x）2＋9＝10－9＋x2，两边平方，得(8－x)2＋9＝100－20 9＋x2＋9＋x2，整理，得5 9＋x2＝4x＋9，两边平方并整理，得x2－8x＋16＝0，即(x－4)2＝0，解得x1＝x2＝4.经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4 m.。
新人教版九年级数学上册：《解一元二次方程》题组训练(含答案解析)
提技术·题组训练用公式法解一元二次方程1. 用公式法解方程6x-8=5x 2时,a,b,c的值分别是()A.5,6,-8B.5,-6,-8C.5,-6,8D.6,5,-8【分析】选 C.原方程可化为 :5x 2-6x+8=0,∴a=5,b=-6,c=8.2. 用公式法解方程4x2-12x=3, 获得 ()A.x=B.x=C.x=D.x=【解题指南】先把一元二次方程转变为一般形式 , 确立出 a,b,c 的值 , 代入求根公式 , 求出方程的根 .【分析】选 D.由方程 4x2 -12x=3, 得 4x2-12x-3= 0.这里a=4,b=-12,c=-3,b2-4ac=(-12)2-4×4×(-3)=192,所以x===.【易错提示】用公式法求一元二次方程的根时, 在确立系数 a,b,c时,易忘掉先把一元二次方程化为一般形式 .3. 方程x2+4x+6=0 的根是 ()A.x=,x =B.x=6,x2=121C.x 1=2,x 2=D.x 1=x2=-【分析】选 D.∵a=,b=4,c=6,∴b2-4ac=(4)2-4××6 =0,∴x1=x2==-.【一题多解】方法一 : 方程的两边都除以得,x2+2x+6=0,∴a=1,b=2,c=6,∴b2-4ac=(2) 2-4 ×1×6=0,∴x1=x2==- .方法二 : 方程的两边都除以得,x2+2 x+6=0,所以 x2+2x+( ) 2 =0, 即(x+ )2=0,所以 x1=x2=- .4. 方程 (2x+1)(x+2)=6化为一般形式是,b 2-4ac=, 用求根公式求得x1 =,x 2=.【分析】由方程 (2x+1)(x+2)=6,得2x2+5x-4=0,所以 b2-4ac=25-4 × 2× (-4)=57.所以 x=. 即 x1=,x 2=.答案 : 2x2 +5x-4=05725.(20XX ·无锡中考 ) 解方程 :x +3x-2=0.【分析】∵a=1,b=3,c=-2.=32 -4 ×1×(-2)=17,∴x=, ∴x1=,x 2=.【知识概括】公式法与配方法的联系配方法和公式法是解一元二次方程的两种不一样的方法,但两者的联系也比较亲密, 主要有以下两点 :(1)一元二次方程的求根公式是由配方法解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 获得的 .(2)两种方法都合用于随意有根的一元二次方程 . 在详细运用时 , 公式法能够看作直接运用了配方的结果 , 显得比配方法简单 , 所以没有特别要求时 , 一般运用公式法求解 .6. 解方程 :2x 2-5x=7.【分析】原方程可化为 2x2 -5x-7=0,∴a=2,b=-5,c=-7,22× 2× (-7)=81,∴b -4ac=(-5)-4∴x==. ∴x =-1,x2= .1一元二次方程根的鉴别式1.(20XX ·白银中考 ) 一元二次方程x2 +x-2=0 根的状况是 ()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C.无实数根D.没法确立【分析】选 A. 因为 b2 -4ac=1 2-4 × 1× (-2)=9>0,所以这个方程有两个不相等的实数根.2.(20XX ·上海中考 ) 以下对于 x 的一元二次方程有实数根的是()A.x 2 +1=0B.x 2 +x+1=0C.x 2-x+1=0D.x 2-x-1=0【分析】选 D. 由 x2+1=0 移项得 ,x 2=-1, 所以选项 A 无实数根 , 因为 ( ± 1) 2-4 × 1× 1=-3< 0, 所以选项 B,C 均没有实数根 , 因为 (-1) 2-4 × 1× (-1)=5>0, 所以选项 D有实数根 .【知识概括】 1. 一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a ≠0), 若 a,c 异号 , 则方程必定有两个不相等的实数根 .2. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠0), 当=0 时 , 方程的两个实根为 -.3.(20XX ·潍坊中考 ) 已知对于 x 的方程 kx 2+(1-k)x-1=0,以下说法正确的选项是()A. 当 k=0 时, 方程无解B. 当 k=1 时, 方程有一个实数解C.当 k=-1 时, 方程有两个相等的实数解D.当 k≠ 0 时, 方程总有两个不相等的实数解【分析】选 C. 当 k=0 时, 原方程变形为 x-1=0, 解为 x=1, 选项 A 说法错误 ; 当 k=1 时, 原方程变形为 x2 -1=0,解为 x=± 1, 选项 B 说法错误 ; 当 k=-1 时, 原方程变形为 x2-2x+1=0, 即 (x-1)2=0,解为 x 1222+4k=(1+k)2所以该方程有两=x =1, 选项 C 说法正确 ; 当 k≠ 0 时, =b -4ac =(1-k)≥ 0,个不相等的实数根或有两个相等的实数根 , 选项 D 说法错误 .4.(20XX ·枣庄中考 ) 若一元二次方程 x 2+2x+m=0有实数根 , 则 m的取值范围是() A.m≤-1 B.m≤ 1C.m≤4D.m≤【分析】选 B. 因为一元二次方程有实数根 , 所以 b2-4ac ≥0,所以 4-4m≥ 0. 解得 m≤ 1.5. 已知对于 x 的一元二次方程 x2 +kx+1=0 有两个相等的实数根 , 则 k=.【分析】∵一元二次方程 x2 +kx+1=0有两个相等的实数根 , 且 b2-4ac=k 2-4 ×1×1=k2-4, ∴ k2-4=0.所以 k=±2.答案: ±26. 对于 x 的一元二次方程 x2+x=k2的根的状况是.22因为22【分析】因为 b -4ac=1+4k,4k ≥ 0,所以 b -4ac>0.所以一元二次方程x2+x-k 2=0 有两个不相等的实数根 .答案 : 有两个不相等的实数根【易错提示】用根的鉴别式判断方程的解求时, 没有把一元二次方程变为一般形式, 系数易出现符号错误 .7.当 t 取什么值时 , 对于 x 的一元二次方程 2x2+tx+2=0 有两个相等的实数根 ?【分析】∵一元二次方程 2x2+tx+2=0 的二次项系数 a=2, 一次项系数 b=t, 常数项 c=2, ∴Δ =t 2-4 ×2×2=t 2-16=0,解得 ,t= ± 4, ∴当 t=4 或 t=-4 时, 原方程有两个相等的实数根.2【变式训练】当 t 取什么值时 , 对于 x 的一元二次方程2x +tx+2=0.(1)有两个不相等的实数根 ?(2)没有实数根 ?【分析】∵一元二次方程 2x2+tx+2=0 的二次项系数 a=2, 一次项系数 b=t, 常数项 c=2, ∴Δ =t 2-4 ×2×2=t 2-16.(1)∵方程有两个不相等的实数根 , ∴ t 2-16>0,解得 :t>4,t<-4.∴当 t>4,t <-4 时 , 原方程有两个不相等的实数根.(2)∵方程没有实数根 , ∴t 2-16<0,解得 :-4<t<4.∴当 -4<t<4时,原方程没有实数根.【错在哪？】作业错例讲堂实拍22对于 x 的方程 mx +(2m+1)x+1=0 有两个实数根 , 求 m的取值范围 .(1) 找错 : 从第 步开始出现错误 .(2) 纠错 :__________________________________________________________________________________.答案： (1) ①(2) 因为对于 x 的方程有两个实数根，所以 222≥0, 解得 m ≥ - 1, 且 m ≠0.m ≠0，且 (2m+1) -4m 4 所以当 m ≥-1，且 m ≠ 0 时，方程有两个实数根4。
人教版九年级数学上册测试题公式法
自我小测复习巩固1．一元二次方程2x2－3＝4x化为一般形式后，a，b，c的值分别为() A．2，－3,4 B．2，－4，－3C．2,4，－3 D．2，－3，－42．一元二次方程x2＋3x－4＝0的解是()A．x1＝1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4C．x1＝－1，x2＝－4 D．x1＝1，x2＝43．用公式法解方程x2－6x－6＝0，正确的结果是()A．x＝－3＋15B．x＝－3－15C．x＝－3±15D．x＝3±154．用公式法解方程2t2＝8t＋3，得到()A．422=2t±B．422=2t-±C．410=2t±D．410=2t-±5．若两个相邻正奇数的积为255，则这两个奇数的和是()A．30 B．31 C．32 D．346．一元二次方程3x2＋5＝4x中，b2－4ac的值为__________．7．方程3x2－2x－2＝0的解是____________．8．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋m2＋2m－3＝0有一根为0，则m的值是__________．9．有一长方形的桌子，长为3m，宽为2m，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为__________，宽为__________．10．用公式法解下列方程：(1)2x2＋8x－1＝0；(2)(x＋1)(x－1)＝22x.能力提升11．关于x的一元二次方程x2－m(3x－2n)－n2＝0中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A．1,3mn,2mn－n2B．1，－3m,2mn－n2C．1，－m，－n2D．1,3m,2mn－n212．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y ＝1时，即x－1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x－1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.则利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为()A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝－213．如果12x2＋1与4x2－3x－5互为相反数，则x的值为__________．14．已知线段AB的长为a.以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E.以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过点E作EF⊥CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为__________．15．解关于x的方程x2－m(3x－2m＋n)－n2＝0(其中m，n≥0)．16．阅读材料，回答问题．材料：为解方程x4－x2－6＝0，可将方程变形为(x2)2－x2－6＝0，然后设x2＝y，则(x2)2＝y2，原方程化为y2－y－6＝0①，解得y1＝－2，y2＝3.当y＝－2时，x2＝－2无意义，舍去；当y＝3时，x2＝3，解得=3x所以原方程的解为1=3x，2=3x问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用__________法达到了降次的目的，体现了__________的数学思想．(2)利用上述的解题方法，解方程(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0.参考答案复习巩固1．B2．A因为a＝1，b＝3，c＝－4，b2－4ac＝32－4×1×(－4)＝25，所以32535212x-±-±==⨯.所以x1＝1，x2＝－4.3．D因为a＝1，b＝－6，c＝－6，b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－6)＝60；所以6606215315 212x±±===±⨯.4．A原方程可化为2t2－8t－3＝0.因为a＝2，b＝－8，c＝－3，b2－4ac＝(－8)2－4×2×(－3)＝88，所以888422222t±±==⨯.5．C设这两个正奇数分别为x，x＋2(x＞0)，则x(x＋2)＝255.解得x1＝15，x2＝－17(舍去)．故这两个奇数的和为15＋17＝32.6．－44原方程可化为3x2－4x＋5＝0，故b2－4ac＝(－4)2－4×3×5＝－44.7．1226x+=，2226x-=8．－3由题意，得m2＋2m－3＝0，且m－1≠0. 解得m＝－3.9．4m 3m 桌布的面积为3×2×2＝12(m 2)．设垂下的长度为x ，则(3＋2x )(2＋2x )＝12，解得12x =. 故桌布的长为4m ，宽为3m. 10．解：(1)a ＝2，b ＝8，c ＝－1，代入公式2±42b b ac x a --=，得14322x -+=，24322x --=. (2)原方程化简得x 2－22x －1＝0，a ＝1，22b =-，c ＝－1，代入公式2±42b b ac x a--=， 得123x =+，223x =-.能力提升11．B 原方程可化为x 2－3mx ＋2mn －n 2＝0.故选B.12．D 由题意可知，这种解方程的方法为整体代入法，设2x ＋5＝y ，则(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0可化为y 2－4y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝3.当y ＝1时，即2x ＋5＝1，解得x ＝－2；当y ＝3时，即2x ＋5＝3，解得x ＝－1.所以方程(2x ＋5)2－4(2x ＋5)＋3＝0的解为x 1＝－1，x 2＝－2.13．43或23- 由题意，得212x ＋1＋4x 2－3x －5＝0，解得43x =或23x =-. 14．512a 设AE 的长为x ，则BE 的长为a －x ，根据题意，得x 2＝(a －x )·a . 解得51x -=.故AE 51-. 15．解：将原方程化为一般形式为x 2－3mx ＋(2m 2－mn －n 2)＝0.因为a ＝1，b ＝－3m ，c ＝2m 2－mn －n 2，所以b 2－4ac ＝(－3m )2－4×1×(2m 2－mn －n 2)＝m 2＋4mn ＋4n 2＝(m ＋2n )2≥0.所以322m m n x±(+) ==.所以x1＝2m＋n，x2＝m－n.16．解：(1)换元转化(2)令x2－x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0.因为a＝1，b＝－4，c＝－12，所以b2－4ac＝16－4×1×(－12)＝64＞0.所以y=，即y1＝－2，y2＝6.当y＝－2时，x2－x＝－2，即x2－x＋2＝0，此方程无解；当y＝6时，x2－x＝6，解得x1＝－2，x2＝3.所以原方程的解为x1＝－2，x2＝3.专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( ) A.316 B.38 C.58 D.1316第7题图 第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________． 三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件m 的值 ________ ________(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2. 16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 52 2 23 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 5 5 518．解：(1)0.33(2)图略，当x 为4时，数字和为9的概率为212＝16≠13，所以x 不能取4；当x ＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.。