实数知识点题型归纳

解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：
，所以面积为=
大正方形的面积=
，
一个长方形的面积= 。 所以，
答：中间的小正方形的面积 ，
发现的规律是： （或
） (2) 大正方形的边长： ， 小
正方形的边长：
，即
， 又 大正方形的面积比小正方
形的面积多 24 cm2 所以有，
化简得：
将
代入，得：
cm 答：中间小正方形的边长 2.5 cm。
五·实数大小比较的方法
1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总 大于左边的点表示的数 2）比差法：若 a-b>0 则 a>b；若 a-b<0 则 a<b；若 a-b=0 则 a=b 3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1 则 a>b；a/b<1 则 a<b
B.两个数均为负数时， a/b>1 则 a<b；a/b<1 则 a>b
故选 C
举一反三：
【变式 1】下列说法中正确的是（ ）
A、 的平方根是±3 B、1 的立
方根是±1 C、 =±1 D、
是
5 的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术
平方根、立方根的概念，
∵
3，∴A 正确．
=9，9 的平方根是±
∵1 的立方根是 1， =1，
是 5 的平方根，∴B、C、D 都不正确．
=
，显然此式无意义，
发生错误的原因是忽视了“负 数没有平方根”，故 x≠0，所以当 x=2 时，
x
=0.
（4）错在对实数的概念理解不清.
形如分数，但不是分数，它是无理数.
类型八．引申提高
8．（1）已知 的整数部分为 a， 小数部分为 b，求 a2-b2 的值.
（2）把下列无限循环小数化成分
数：①
②
③
___________，
___________.
【答案】1） ；
.2）-3. 3） ，
，
【变式 2】求下列各式中的
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（3）x=-4
类型三．数形结合
（2）x=4 或 x=-2
3. 点 A 在数轴上表示的数为
，点 B 在数轴上表示的数为
，
则 A，B 两点的距离为______
答：新的正方形边长应取 15cm。 举一反三： 【变式 1】拼一拼，画一画： 请你用 4 个 长为 a，宽为 b 的矩形拼成一个大正方形，并且 正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4 个长方形拼图时不重叠）
（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的 你能发现什么？
（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小 正方形边长多 3cm 时，大正方形的面积就比小 正方形的面积多 24cm2，求中间小正方形的边长.
|AO|= ，∴A 表示数为
【变式 3】
，故选 C．
【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜
10
因此 3π-9＞0，3π-10＜0
∴
类型二．计算类型题
2．设
确的是（ ）
A.
，则下列结论正 B.
C.
D.
解析：（估算）因为
，
所以选 B
举一反三：
【变式 1】1）1.25 的算术平方根是
__________；平方根是__________.2） -27 立方
.
(3) 设
①
则
②
②-①，得 999x=107，
∴
.
类型七．易错题
7．判断下列说法是否正确
（1）
的算术平方根是-3；
（2）
的平方根是±15.
（3）当 x=0 或 2 时，
（4）
是分数 解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，
算术平方根是非负数.故
（2）
表示 225 的算术平方根，
即
=15.实际上，本题是求 15 的平方根，
故
的平方根是
.
（3）注意到，当 x=0 时，
的认识，并能灵活运用。 (5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| ∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10 举一反三： 【变式 1】化简：
【答案】
=
+
-
=
类型五．实数非负性的应用
5．已知： 实数 a, b 的值。
分析：已知等式左边分母
=0，求 不能为 0，
只能有
＞0，则要求 a+7＞0，分子
+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知： 3a-b=0 且 a2-49=0，由此得不等式组
从而求出 a, b 的值。
解：由题意得
由(2)得 a2=49 ∴a=±7 由(3)得 a>-7，∴a=-7 不合题意舍去。 ∴只取 a=7 把 a=7 代入(1)得 b=3a=21 ∴a=7, b=21 为所求。 举一反三：
加上这个数的相反数。 3.乘法法则： a）两数相乘，同号得正，异号得负，并 把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．
b）几个不为 0 的有理数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数的个数 为奇数时，积为负，为偶数，积为正 c）几个数相乘，只要有一个因数为 0， 积就为 0 4.有理数除法法则： a）两个有理数相除（除数不为 0）同号 得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 实数都得 0。 b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 5.有理数的乘方: 在 an 中，a 叫底数，n 叫指数 a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶 次幂是正数，奇次幂是负数；0 的任何 次幂都是 0 b）a0=1（a 不等于 0） 6.有理数的运算顺序： a）同级运算，先左后右 b）混合运算，先算括号内的，再乘方、 开方，接着算乘除，最后是加减。
（1）分析：确定算术平方根的整数部分与
小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整
数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数
部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部
分．
解：由
得
的整数部分 a=5,
的小数部
分
，
∴
（2）解：(1) 设 x=
①
则
②
②-①得
9x=6
∴
.
(2) 设
①
则
②
②-①，得
99x=23 ∴
∴| -1.4 |=1.4 -
(2) ∵π=3.14159…＜3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3) ∵ ＜ , ∴| -
|=
-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3|
=
说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类
讨论的方法，我们对
这个绝对值的基本概念要有清楚
类型四．实数绝对值的应用4．化简下列源自式：(1) | -1.4 |
(2) |π-3.142|
(3) | - |
(4) |x-|x-3|| (x
≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析：要正确去掉绝对值符号，就要
弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是
零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对
值。
解：(1) ∵ =1.414…＜1.4
第六章 实数
知识讲解+题
型归纳
知识讲解
一 、 实数的组成
1、实数又可分为正实数，零，负实数 2.数轴：数轴的三要素——原点、正方 向和单位长度。数轴上的点与实数一一
对应
二 、相反数、绝对值、倒数
1. 相反数：只有符号不同的两个数互为 相反数。数 a 的相反数是-a。正数的相 反数是负数，负数的相反数是正数，零 的相反数是零. 性质：互为相反数的两 个数之和为 0。 2.绝对值：表示点到原点的距离，数 a 的绝对值为 3.倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。 非 0 实数 a 的倒数为 1 . 0 没有倒数。
【变式 1】已知(x-6)2+ +|y+2z|=0，求(x-y)3-z3 的值。
解：∵(x-6)2+
+|y+2z|=0
且(x-6)2≥0,
≥0, |y+2z|
≥0,
几个非负数的和等于零，则必有每个加
数都为 0。
∴
解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式 2】已知
【变式 2】如图，以数轴的单位长线段
为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，
正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半
轴于点 A，则点 A 表示的数是（ ）
根是__________. 3）
___________，
A、1
B、1.4
C、
D、
【答案】本题考察了数轴上的点与全
体实数的一一对应的关系．∵正方形的边
长为 1，对角线为 ，由圆的定义知
C.一正一负时，正数>负数
4）平方法：a、b 均为正数时，若 a2>b2，
则有 a>b；均为负数时相反
5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小
（不论正负）
题型归纳
经典例题 类型一．有关概念的识别
1．下面几个数：0. 23 …，
，3π， ，
理数的个数有（ ）
A、1
B、2
D、4
，其中，无 C、3
…，3π， 是无理数
3 a 表示。 任何数都有立方根，一个正数有一个正 的立方根；一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。