空间位置关系的判断与证明

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空间位置关系的判断与证明

空间中的线面关系

要求

层次

重难点

空间线、面

的位置关系

①理解空间直线、平

面位置关系的定义，

并了解如下可以作为

推理依据的公理和定

理．

◆公理1：如果公理1，公

理2，公理

3，公理4，

定理*

高考要求

模块框架

空间位置关系的判断与证明

*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

知识内容

1．集合的语言：

我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：

点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉；

点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉；

直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂；直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄；

直线l 和m 相交于点A ，记作{}l m A =，简记为l m A =；

平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=． 2．平面的三个公理：

⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所

有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图：

符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ ⑵ 公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，

空间位置关系的判断与证明.板块二.对空间位置关系的判断.学生版

【例1】直线和平面所成的角为α，则（）

A ．090α︒<<︒

B ．090α︒︒≤≤

C ．090α︒<︒≤

D ．090α︒<︒≤

【例2】若直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与b 的位置关系是

【例3】室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线

A ．异面

B ．相交

C ．平行

D ．垂直

【例4】若不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α之间的关系为

（）

A ．平行

B ．相交

C ．平行或相交

D ．无法确定

【例5】设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥

B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥

C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥

D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥

【例6】下列命题中，真命题有_______．

①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；

②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅；

④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；

【例7】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：

①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥　

其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．

空间点、直线、平面之间的位置关系-高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

A.平行
B.相交
C.异面
解：因为∥,所以与没有公共点,
又 ⊂ , ⊂ ,所以与没有公共点,
则与的关系为平行或异面.
选D
D.平行或异面
)
应用新知
题型二：空间位置关系的判断(直观想象)
关于点、直线、平面位置关系的判断
(1)根据位置关系的分类,利用直观想象判断;
(2)借助熟悉的几何体,如长方体进行判断;
则,在这个平面内,
所以与不是异面直线,这与已知条件产生矛盾,
所以和是异面直线.
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
关于异面直线的证明
(1)直接证明:如图,若 ⊂ , ∩ = , ∉ ,则直线与直线是异面直线;
(2)反证法证明：先假设两条直线不是异面直线,两条直线共面,即平行或相交,
(3)利用生活中的实物,如墙面、电线、笔代表线面进行判断
应用新知
题型三：异面直线的判定(逻辑推理)
例5.如图， ∩ = ， ∉ ， ⊂ ， ∉ .直线与具有怎样的位置关系？
为什么？
解：直线与是异面直线.理由如下.
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行.
设它们确定的平面为，则 ∈ ， ⊂ .
解：题图(1)中,�� ∩ = , ⊂ ,∥, ⊂ , ∩ =
;
题图(2)中, ∩ = , ∩ = , ∩ = ,

空间位置关系判断与证明.板块四.垂直关系判断与证明.教师版普通高中数学复习讲义Word版

板块五.垂直关系的判断与证

明

典例剖析

【例1】以下说法正确的有．

①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．

②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线．

④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面．

⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直．

⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．

【考点】垂直关系的判断与证明

【难度】1星

【题型】填空

【重点字】无

【分析】①错误，过一点有一个平面垂直于已知直线，

该平面内任一条过该点的直线都垂直于已知直线；

②错误，若这无数条直线都是平行直线，则这条直线能够不垂直于这个平面，而且能够与这个平

面订交，平行或在平面内；

③正确，这条直线平行于这个平面，则必平行于该平面内的一条直线（过这条直

线作一个与此平面订交的平面，交线即知足），而垂直于该平面的直线垂直于平面内任一条直线，故必垂直于这条与此平面平行的直线；

④错误，能够在此平面内，或与此平面平行；

⑤错误，在这个平面内有一组平行线与它异面垂直；

⑥正确，比方正方体上底面的两条相邻的棱相互垂直，且都与下底面平行；

【答案】正确的说法有③⑥．

【例2】在空间四周体的四个面中，为直角三角形的最多有个．

【考点】垂直关系的判断与证明

【难度】2星

【题型】填空

【重点字】无

【分析】一个可行的例子以下：ABC为直角三角形，B为直角，

直线PA 面ABC，D为直线PA上异于A点的随意点，则四棱锥 D ABC的4

个面均为直角三角形．（学生能够试着证明）

空间位置关系的判断与证明.复习题-教师版

板块一.对平面的进一步认识

【例1】判断下面说法是否正确：

①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．

④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．

【难度】★★ 【解析】 ①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一

个平面；

②正确，两条相交直线确定一个平面；

③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面；

④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形；

⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线；

⑥错误；若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确．

【例2】在棱长为2的正方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是 ,'AB CC 的中点，过点

,,'E F D 的截面与正方体的下底面相交于直线l ，

①请画出直线l 的位置；

②设l BC G =，求BG 的长．

【难度】★★★

F E

【解析】 ①延长'D F 交DC 的延长线于M ，连结EM ，

如图所示，直线EM 即为所求的截面与底面的交线．

典例分析

空间位置关系的判断与证明.

复习题

②因为F 为'CC 的中点，故CM DC =，

又E 点为AB 的中点，故1

BG EB GC MC ==，

故12

高考数学二轮复习专题检测(十四) 空间位置关系的判断与证明

专题检测(十四) 空间位置关系的判断与证明

[A组——考点落实练]

1．(2020·郑州市第一次质量预测)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则()

A．若α∥β，则l∥m B．若m∥α，则α∥β

C．若m⊥α，则α⊥βD．若α⊥β，则l⊥m

解析：选C因为l⊂α，m⊂β，若α∥β，则l∥m或l与m异面，故选项A错误；若m∥α，

又m⊂β，则α∥β或α与β相交，故选项B错误；若m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故选项C正确；若α⊥β，又l⊂α，m⊂β，所以l与m不一定垂直，故选项D错误．综上可知，选C.

2．(2020·西安五校联考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，则异面直线A1B与AC1所成角的大小为()

A．30°B．60°

C．90°D．120°

解析：选B如图，连接A1C，记A1C与AC1交于点O，取BC的中点H，连接OH，则OH∥A1B，所以∠AOH为异面直线A1B与AC1所成的角或其补角．连接AH，设AB＝AC＝AA1＝1，则BC＝2，易求得AO＝AH＝OH＝

，所以△AOH为正三角形，所以∠AOH＝60°，即异面直线A1B与AC1所成2

的角为60°，故选B.

3．(2020·福州市质量检测)已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，

四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，点H为BF

的中点，有下述四个结论：

①DE⊥BF；②EF与CH所成角为60°；③EC⊥平面DBF；④BF与平面

ACFE所成角为45°.

空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

一、空间两直线的位置关系 1．异面直线

（1）异面直线的定义：我们把不同在的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.

（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：

2．空间两直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点；（2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网（3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3．空间中两直线位置关系的分类

空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：

⎧⎪⎨⎪

⎩⎩

⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线

两条直线无公共点：异面直线直线（2）从是否共面的角度分类：

⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪

⎩相交直线

共面直线直线平行直线

不共面直线：异面直线

二、公理4与等角定理 1．公理4

（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .

（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.

用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤

（1）找到直线b ；（2）证明∥a b ，∥b c ；（3）得到∥a c .

2．等角定理

（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：

如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.

考点07 空间中线面的位置关系的判断与证明(学生版)

考点07 空间中线面的位置关系的判断与证明

立体几何是历年高考的必考题，其考查形式主要为空间几何体的有关计算（主要是体积计算），空间线面的位置关系以及空间角和距离的求解。例如：2022年全国乙卷（理）[18]，2022年全国乙卷（文）[18]，2022年全国甲卷（文）[19]，2022年全国甲卷（理）[18]，2022年浙江高考[19]，2022年新高考Ⅱ卷[20]，2022年北京高考

[17]等都对空间几何体的体积进行了考查。

〔1〕空间直线、平面的平行关系

1.证明空间两直线平行的3种常用方法

(1)利用平行公理；

(2)利用直线与平面平行的性质定理；

(3)利用平面与平面平行的性质定理.

2.证明直线与平面平行的4种常用方法：

(1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(α⊄a ，α⊂b ，b a //⇒α//a )；

(3)利用面面平行的性质定理(βα//，α⊂a ⇒β//a )；

(4)利用面面平行的性质(βα//，α⊄a ，β⊄a ，α//a ⇒β//a )。

3.证明平面与平面平行的4种常用方法：

(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；

(2)面面平行的判定定理(主要方法)；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；

(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行（客观题可用）. 〔2〕空间直线、平面的垂直关系

1.证明直线与平面垂直的4种常用方法

(1)线面垂直的判定定理：a l ⊥，b l ⊥，α⊂a ，α⊂b ，α⊥⇒=l P b a 。

空间位置关系的判断与证明(题型归纳)

空间位置关系的判断与证明

【考情分析】

1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题、解答题第一问的形式考查,难度为中档,主要考查空间中的点、线、面之间的位置关系,重点考查线、面平行与垂直的特殊位置关系的判定与性质,也常与充分必要条件相结合命题.

2.关键能力:空间想象能力、逻辑思维能力.

3.学科素养:直观想象、逻辑推理.

【题型一】空间点、线、面的位置关系

【题组练透】

1．（2021·山东省实验中学高三模拟）若l ，m 为两条不同的直线，

α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件【答案】A

【解析】由l α⊥且//m α能推出m l ⊥，充分性成立；若l α⊥且m l ⊥，则//m α或者m a ⊂，必要性不成立，因此“//m α”是“m l ⊥”的充分不必要条件.故选：A .2．（2021·江苏金陵中学高三模拟）已知m ，n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面.下列命题中正确的是（

）

A ．若//m α，//n α，则//m n

B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ

C ．若//m α，//m β，则//αβ

D ．若m α⊥，n α⊥，则//m n 【答案】D

【解析】A 、若//m α，//n α，则m ，n 平行，相交或异面，故错误；

B 、若αγ⊥，βγ⊥，则α，β平行或相交，故错误；

C 、若//m α，//m β，则α，β平行或相交，故错误；

D 、若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得//m n ，故正确．故选：D ．

空间中位置关系的判断与证明问题

第2讲空间中位置关系的判断与证明

问题

高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.

真题感悟

1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()

解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A 项不正确.

图(1)图(2)

法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ 不平行.A项不正确.

答案 A

2.(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).

解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.

答案②③④

3.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()

高中数学第2轮总复习专题4 第1课时空间位置关系的判断与证明文

变式题：如图所示，三棱柱 ABCA1B1C1， D是 BC上一点，且 A1B//平面 AC1D ， D 1是 B1C1的中点．求证：平面 A1BD 1//平面 AC1D.
分析：根据面面平行的判定定理，要证明平面
A1 B D1 //平面 A C1 D，只需证明其中一个平面内的两条相交直线都平行另外一个平面．结合题
则由 M N //A B //C D， M N 1 A B C D， 2
得四边形 M N C D 为平行四边形，所以 C N //D M ，所以 DM 平面 PAB. 因为 DM 平面 PAD，所以平面 PAD 平面 PAB.
【思维启迪】本题是一道以棱锥为载体考查空间位置与空间计算的综合题，解答此类题的关键
证明：如图所示，连结BD.
由 ABCD是菱形且 BCD 60知， BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE CD，又AB//CD，所以BE AB. 又因为PA平面ABCD，BE 平面ABCD，所以PABE. 而PA AB A，因此BE 平面PAB. 又BE平面PBE，所以平面PBE 平面PAB.
设条件，已知了 A1 B //平面 A C 1 D ，因此，只需
在

空间位置关系地判断与证明

空间中的线面关系

要求层

次

重难点

空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定

义，并了解如下可以作为推理依据的公

理和定理．

◆公理1：如果一条直线上的两点

在一个平面，那么这条直线上所有的点

在此平面．

◆公理2：过不在同一条直线上的

三点，有且只有一个平面．

公理1，公理2，公理3，

公理4，定理*

模块框架

高考要求

◆如果两个平面垂直，那么一个平

面垂直于它们交线的直线与另一个平面

垂直．

③能运用公理、定理和已获得的结

论证明一些空间位置关系的简单命题．

*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

知识内容

1．集合的语言：

点A在直线l上，记作：A l

∉；

∈；点A不在直线l上，记作A l

点A在平面α，记作：Aα

∈；点A不在平面α，记作Aα

∉；

直线l在平面α（即直线上每一个点都在平面α），记作lα

⊂；

直线l不在平面α（即直线上存在不在平面α的点），记作lα

⊄；

=；

直线l和m相交于点A，记作{}

=，简记为l m A

l m A

αβ=．

平面α与平面β相交于直线a，记作a

2．平面的三个公理：

⑴公理一：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所

高三专题立体几何-第2讲空间位置关系的判断与证明

[小创新——变换角度考迁移]
1. [与充要条件交汇] (2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α
∥β的充要条件是
()
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
解析：若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；
若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若
分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF
把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重
合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有
()
A．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF
B．AH⊥平面EFH D．HG⊥平面AEF
解析：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，得AH⊥平面EFH，B正确； ∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确； ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又 EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面 AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B. 答案：B
5 ，则tan
∠EAB＝
BE AB
＝ 25，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为 25.故选C. 答案：C
解题方略
判断与空间位置关系有关命题真假的3种方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断； (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理进行判断； (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．

空间位置关系的判断与证明.板块三.平行关系的判断与证明.学生版

4
A1
B1
C1
E
A
B
D
C
【例 17】
已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，AB 2 ， M 为 BC1 与 B1C 的交点， N 为 A1C1 与
B1D1 的交点，则 MN 的长度为_______．
D1 N
C1
A1
B1
M
D A
C B
【例 18】如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 DD1 的中点．求证： B1D ∥面
P
F
A
E B
D C
【例 13】如图，四边形 ABCD 是矩形， P 面 ABCD ，过 BC 作平面 BCEF 交 AP 于 E ，交 DP 于 F ，求证：四边形 BCEF 是梯形．
3
P E
F
D
C
A
B
【例 14】已知 E, F,G, H 为空间四边形 ABCD 的边 AB, BC,CD, DA 上的点， ⑴若 E, F,G, H 都分别是所在边的中点，求证：四边形 EFGH 为平行四边形； ⑵若 EH / /FG ，求证： EH / /BD ．
A
B
【例 22】正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 、 G 分别是 BC 、 C1D1 的中点，如下图．
求证： EG / / 平面 BB1D1D ．

第2讲空间中位置关系的判断与证明问题

第2讲空间中位置关系的判断与证明

问题

真题感悟

1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()

图(1)图(2)

法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，

因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ 不平行.A项不正确.

答案 A

2.(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).

解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.

答案②③④

3.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()

高考数学复习考点知识与题型专题讲解48---空间点、直线、平面之间的位置关系

高考数学复习考点知识与题型专题讲解

空间点、直线、平面之间的位置关系

考试要求

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

2.了解可以作为推理依据的公理和定理.

3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

知识梳理 1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系

⎩⎪⎨⎪

⎧

共面直线⎩⎨

⎧ 平行直线相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

3．空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．

4．空间中平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)

(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)

(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)

教材改编题

1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()

A．AB与CD是异面直线

B．GH与CD相交

C．EF∥CD

D．EF与AB异面

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