第三章 动量守恒定律-物理学第三版-刘克哲
大学物理第三章动量守恒定律和能量守恒定律
第三章§教3学.1基.1本冲要量求,动第三量章,动量质守点恒定动律量和能定量理守恒定律 前言
牛顿定律是瞬时的规律。 在有些问题中, 如:碰撞(宏观)、 散射
(微观) … 我Fra Baidu bibliotek往往只关心过程中力的效果
——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应:
2、由 n 个质点组成的质点系
n
Fi内dt 0 i 1
t2 t1
F外
dt
n mivi
i 1
n mivi0
i1
或
I p p0
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量 —— 质点系的动量定理
第三章 教学基§本3要-1求.2 质第点三系章的动量动守量恒定定律理和能量守恒定律
F
机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中,作用时间很 短,冲力很大 .
o t1
t
t2
第三章 教学基§本3要.1求.2 质第点三系章动动量量守恒定定理律和能量守恒定律
(theorem of momentum of particle system)
1、两个质点组成的质点系
外 力 :F1、F2; 内 力 :F12、F21;
例3 一枚返回式火箭以 2.5 103 m·s-1 的速率相对地 面沿水平方向飞行 . 设空气阻力不计. 现由控制系统使 火箭分离为两部分, 前方部分是质量为100kg 的仪器舱, 后方部分是质量为 200kg 的火箭容器 . 若仪器舱相对火 箭容器的水平速率为1.0 103 m·s-1 . 求 仪器舱和火箭容 器相对地面的速度 .
动量守恒定律全解析
动量、动量守恒定律及应用
一、考纲要求
二、知识网络
三.专题要点
1. 动量: 动量是状态量;因为V 是状态量,动量是失量,其方向与物休动动方向相同。
2. 动量的变化: ΔP 是失量,其方向与速度的变化ΔV 的方向相同。
求解方法:求解动量的变化时遵循平行四边形定则。
(1)若初末动量在同一直线上,则在选定正方向的前提下,可化失量运算为代数运算。 (2)若初末动量不在同一直线上,则运算遵循平行四边形定则。(目前只考虑在同一直线上的情况)
【例1】一个质量为m =40g 的乒乓球自高处落下,以速度v =1m/s 碰地,竖直向上弹回,碰撞时间极短,离地的速率为v =0.5m/s 。求在碰撞过程中,乒乓球动量变化为多少?
【例2】:一质量为0.5kg 的木块以10m/s 水平速度沿倾角为300的光滑斜面向上滑动(设斜面足够长), 求木块在1s 末的动量 和3s 内的动量变化量的大小?g=10m/s 2
3.冲量 : 力和力的作用时间的乘积叫做冲量:I =Ft
考点
要求 说明 考点解读
动量、动量守恒定律及其应用
Ⅱ
动量守恒定律只限于一维情况
本章的重点内容:唯一的二级要求是动量及其守恒定律,本专题的特点是题目较简单,但为了照顾知识点的覆盖面,通常会出现一个大题中再套二、三个小题的情况
弹性碰撞和非弹性碰撞、反冲运动 Ⅰ 验证动量守恒定律(实验、探究) Ⅰ
(1)冲量是描述力的时间积累效应的物理量,是过程量,它与时间相对应。
(2)冲量是矢量,它的方向由力的方向决定(不能说和力的方向相同)。如果力的方向在作用时间内保持不变,那么冲量的方向就和力的方向相同。如果力的方向在不断变化,如绳
3_2动量守恒定律
3 – 2 动量守恒定律
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和 例 1 设有一静止的原子核 衰变辐射出一个电子和 一个中微子后成为一个新的原子核. 一个中微子后成为一个新的原子核 已知电子和中微子 的运动方向互相垂直,且电子动量为 且电子动量为1.2×10-22 kg·m·s-1,中 的运动方向互相垂直 且电子动量为 中 微子的动量为6.4×10-23 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动量 微子的动量为 的值和方向如何? 的值和方向如何 解
质量为m 例6、水平光滑轨道上有一车,长度为 质量为 2,车的 、水平光滑轨道上有一车,长度为l,质量为 一端有一人(包括所骑的自行车),质量为m ),质量为 一端有一人(包括所骑的自行车),质量为 1,开始时 人和车均静止。当人从车的一端骑到另一端时, ,人和车均静止。当人从车的一端骑到另一端时,人、 车各移动了多少距离。 车各移动了多少距离。
上式表明,当系统所受合外力为零时, 上式表明,当系统所受合外力为零时, 系统的总动量将 保持不变。 这就是动量守恒定律。 保持不变。 这就是动量守恒定律。 在直角坐标系下, 在直角坐标系下 式(3-5a)是动量守恒定律的矢量式。 - )是动量守恒定律的矢量式。 守恒定律的分量式为 v px = ∑ mi vix = C1 ( Fxex = 0)
v ex py = ∑ mi viy = C2 ( Fy = 0) (3-5b) v ex pz = ∑ mi viz = C3 ( Fz = 0) 式中C 均为恒量。 式中 1、C2和C3均为恒量。 在运用动量守恒定律时应该注意以下几点: 在运用动量守恒定律时应该注意以下几点: 1)系统的动量守恒是指系统的总动量不变系统内任一物体 系统的动量守恒是指系统的总动量不变系统内任一物体 系统的动量守恒是指系统的 的动量是可变的,各物体的动量必相对于同一惯性参考系 各物体的动量必相对于同一惯性参考系. 的动量是可变的 各物体的动量必相对于同一惯性参考系
大学物理 第三章 动量守恒和角动量守恒
t2 t1 t2
t1 t2
I mv 2
Fx dt
Fy dt
mv 2 z − mv1z = ∫
冲量的任何分量等于 在它自己方向上的动 量分量的增量
t1
Fz dt
在力的整个作用时间内, 在力的整个作用时间内 , 平均力 的冲量等于变力的冲量: 的冲量等于变力的冲量:
Biblioteka Baidu
F F F
例2、有一冲力作用在质量为0.3kg的物体上,物 体最初处于静止状态。已知力的大小F与时间的关系为 , 4 和 F (t ) = 2.0 × 10 5 (t − 0.07) 2 ,0.02 ≤ t ≤ 0.07 F (t ) = 2.5 × 10 t ,0 ≤ t ≤ 0.02 式中F的单位为N,t的单位为s。求: (1)上述时间内的冲量和平均冲量的大小; (2)物体末速度的大小。 解题思路: 解题思路 由冲量、平均冲量的定义式和动量定理进行求解。 解:(1)、由冲量的定义式
v 2 = v1 +
I 13.3 = 0 .0 + = 44.3(m / s ) m 0 .3
由于动量定理的应用比较多的场合是在打击 和碰撞过程中出现。因此,有些同学常常认为 只有打击和碰撞这类问题才有动量问题。同学 们思路应开阔一些,除了强调在打击或碰撞这 类问题中动量定理的应用以外,还有一些其它 的例子,如物体做圆锥摆运动和自动传送带等 。
动量定理及动量守恒定理
第三章:动量定理及动量守恒定理
运动和物体相互作用的关系是人类几千年来不断探索的课题。即使在今天已知运动求力的问题仍然不断提到人们面前怎样安排火间推力才能将它送上巧妙设计的轨道?这便是动力学问题。
自牛顿发表他的《原理》以来,牛顿三定律成为动力学的基础。所以我们下面研究牛顿三定律。
§3.1 牛顿第一定律和惯性叁考系
一、牛顿第一定律
一个物体,如果不受到任何力的作用,它将保持静止转台或匀速直线运动状态,把这个定律称为牛顿第一定律。
物体保持这种运动状态的特性称为惯性。所以牛顿第一定律又称为惯性定律。
在第一定律尚未建立以前,许多人误认为力是维持速度的原因。误认为物体不受力。物体一定静止不动。
力并不是维持速度的原因,而是改变速度的原因。任何物体是不可能完全不受处力的作用的。当物体受到两个获两个以上的处力作用时,如果处力的矢量和为零时,物体将与不受处力一样。保持静止或匀速直线运动状态。如果这些力的作用不等于零,物体将在合力的作用下改变速度。
这条定律说明了两个问题:
(一)它正确地说明了,力和运动的关系。物体的运动并不需要力去维持,只有当物体的运动状态发生变化即产生加速度时,才能需要力的作用。
力是一物体对另一物体的作用,它使受力物体改变运动状态。
(二)牛顿第一定律,实际上提出了惯性的概念。物体之所以能保持静止或匀速直线运动是在不受力的条件下由物体本身的特性来决定的,物体所固有的保持原来运动状态。不变的特性叫做惯性,物体不受力对所作的匀速直线运动也叫做惯性运动。
二、惯性叁考系
牛顿第一定律能成立的叁考系叫做惯性叁考系或惯性系。
第三章 动量守恒定律与能量守恒定律
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3-1 一架以1
2
ms 100.3-⨯的速率水平飞行的飞机,与一只身长为0.20m 、质量为0.50kg 的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率很小,可以忽略不计。估计飞鸟对飞机的冲击力,根据本题的计算结果,你对高速运动的物体与通常情况下不足以引起危害的物体相碰后产生后果的问题有什么体会?
解:以飞鸟为研究对象,其初速为0,末速为飞机的速度,由动量定理。
v
l
t mv t =
∆-=∆ ,0F 联立两式可得: N l
mv F 52
1025.2⨯==
飞鸟的平均冲力N F F 5
1025.2'⨯-=-=
式中的负号表示飞机受到的冲击力与飞机的运动速度方向相反。
从计算结果可知N F F 51025.2'⨯-=-=大于鸟所受重力的4.5万倍。可见,冲击力是相当大的。因此告诉运动的物体与通常情况下不足以引起危险的物体相碰,可能造成严重的后果。
3-2 质量为m 的物体,由水平面上点O 以初速为0v 抛出,0v 与水平面成仰角α。若不计空气阻力。求:(1)物体从发射点O 到最高点的过程中,重力的冲量;(2)物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲量。
解:(1)在垂直方向上,物体m 到达最高点时的动量的变化量是:
αsin 01mv P -=∆
而重力的冲击力等于物体在垂直方向的动量变化量:
ααsin sin 0011mv mv P I -=-=∆=
(2)同理,物体从发射点到落回至同一水平面的过程中,重力的冲力等于物体竖直方向上的动量变化量
第4章 角动量守恒定律-物理学第三版-刘克哲
方向:右手法则 单位:N m
力矩与参考点O的选取有关
O
M
合力之力矩
F F1 F2 ... Fn M r F r (F1 F2 ... Fn ) r F1 r F2 ... r Fn M1 M 2 ... M n
机械能守恒定律
A A E
外 内
Kb
E Ka
A A
外
非保内
Eb Ea
A A
外
非保内
0
E E
b
a
动量守恒定律
动量定理 质点系动量定理
n
I P P0 mv mv0
n n Fi dt mi vi mi vi 0 i 1
可得:
v u
m
u
1 u v 2
mg
mg
开普勒第二定律: 对于任何一个行星来说, 它与太阳的连线在相等 的时间扫过的面积相等。
v dt
r
1 dS r v dt 2
r v 2 恒矢量
1 dS vdt h 2 1 vdt r sin 2 1 r v dt 2
d r F (r mv ) dt dl M dt
作用于质点的合力对某参考点的力矩,等于质 点对同一参考点的角动量随时间的变化率.
第3章 动量守恒定律-物理学第三版-刘克哲汇总
分量形式为
rc
rdm dm
rdV dV
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
如果质点体系的质量分布连续均匀时:
① 线分布 ②面分布 ③ 体分布:
dm ldl dm dS dm dV
rc lrdl M
rc rdS M
rc
rdV
V
M
三、质心运动定理
由质点系动量定理的微分形式得 n
ji
i1
i 1
t n
nn
t0 i1 Fidt i1 mivi i1 mivi0
在一段时间内,作用于质点系的外力矢量和的冲 量等于质点系动量的增量。
——质点系动量定理
n
i 1
Fi
d dt
n i 1
mivi
(微分形式)
分量形式
t
t0 Fi xdt mivi x mivi0x
t n
t0 (Fn i1 fni )dt mnvn mnvn0
F1 F2
1 2
F3
3
n
Fn
t n n n
nn
t0 ( i1 Fn i
fij )dt mivi mivi0
ji
i1
i 1
t n n n
nn
t0 ( i1 Fn i
动量定理及动量守恒定律第三章
第三章动量定理及动量守恒定律本章讨论质点运动状态与质点受力的关系,其中心内容是牛顿运动定律,它包括牛顿定律的建立、定律的内容、它的适用范围和应用等。本章对涉及到的基本概念、物理定律和物理思想都比中学作了更深入的讲述,有些内容,例如伽利略变换、非惯性系等,也是中学未曾讲过的内容,因此对本章的学习应与于足够的重视。牛顿定律的研究对象是质点,适应的参考系是惯性系。在非惯性系中,为保留牛顿定律的形式,引入了惯性力。一 章节小结(一). 惯性定律1.惯性定律:自由粒子永远保持静止或匀速直线运动状态。2.惯性参考系 对某一特定物体惯性定律成立的参考系。其特性:(1)在惯性系中所有物体遵从惯性定律。(2)一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。3.相对性原理 对于牛顿动力学规律,一切惯性系都是等价的。4.惯性质量m 物体惯性大小的量度。质量的操作型定义 (二) 力1.定义 :单位时间内物体在相互作用中传递的动量。即: 2.常见的几种力:(1)重力(主动力): ;重力的大小叫重量。 (2)弹簧的弹力(主动力): (3)支撑力(被动力):重物对支持面的压力和支持面对重物的支承力都属于这种力。(4)绳的张力(被动力):不考虑绳的质量和摩擦力时,绳的张力处处相等。(5)摩擦力(被动力):静摩擦力: ; 滑动摩擦力: (三) 牛顿三定律(只在惯性系中成立)1.第一定律:惯性定律2.第二定律:质点的惯性质量与其加速度的乘积等于该质点所受合力。数学表达式: 3.第三定律:作用力与反作用力大小相等,方向相反,作用在一条直线上。数学表达式: 说明:(1)作用力与反作用力是相对而言的,没有主从之分,同时出现,同时消灭。(2)作用力与反作用力分别施于不同物体,不是平衡力。(3)使用于近距作用,每一时刻都存在。(4)作用力与反作用力属于同一性质的力。(四) 惯性力——惯性在非惯性系中的表现直线加速非惯性系中 惯性力 其中 是直线加速非惯性系相对惯性系的加速度。转动参考系中:离心惯性力 ,其中 是转动参考系相对惯性系匀速转动的角速度。(五) 动量定理和质心运动定理1.动量: 2.冲量: 平均力 3.动量定理:质点的动量定理: 质点系的动量定理: 或 ;4.动量守恒定律:当 时, 常量5.质心运动定理:质心的位置矢量: 或 质心运动定理:质心
动量守恒定律课件
(1)动量守恒定律的研究对象都是相互作用的物体组成的 系统。系统的动量是否守恒,与选择哪几个物体作为系统和 分析哪一段运动过程有直接关系。
(2)分析系统内物体受力时,要弄清哪些是系统的内力, 哪些是系统外的物体对系统的作用力。
重难点(二) 碰撞、爆炸与反冲
1.碰撞现象满足的规律 (1)动量守恒。 (2)动能不增加。 (3)速度要合理。 ①若两物体同向运动,则碰前应有 v 后>v 前;碰后原来 在前的物体速度一定增大,若碰后两物体同向运动,则应有 v 前′≥v 后′。 ②若两物体相向运动,碰后两物体的运动方向不可能都 不改变。
[答案] C
动量守恒和机械能守恒的条件不同,动量守恒时机械能不 一定守恒,机械能守恒时动量不一定守恒,二者不可混淆。
考法2 系统的动量守恒问题 [例 2] 如图所示,质量为 m=245
g 的物块(可视为质点)放在质量为 M= 0.5 kg 的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面上,物块 与木板间的动摩擦因数为μ=0.4。质量为 m0=5 g 的子弹以速 度 v0=300 m/s 沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),g 取 10 m/s2。子弹射入后,求:
题型2 爆炸问题 [例 2] 一弹丸在飞行到距离地面 5 m 高时仅有水平速度 v
=2 m/s,爆炸成为甲、乙两块水平飞出,甲、乙
的质量比为 3∶1。不计质量损失,取重力加速度 g=10 m/s2,则
大学物理授课教案 第三章 动量守恒和能量守恒定律
第三章 动量守恒和能量守恒定律
§1-1质点和质点系的动量定理
一、质点的动量定理 1、动量
质点的质量m 与其速度v
的乘积称为质点的动量,记为P 。
(3-1)
说明:⑴P 是矢量,方向与v
相同
⑵P
是瞬时量 ⑶P
是相对量
⑷坐标和动量是描述物体状态的参量
2、冲量
牛顿第二定律原始形式
)(v m dt
d F =
由此有)(v m d dt F
=
积分: 1221
21p p P d dt F p p t t
-==⎰⎰(3-2)
定义:⎰21
t t dt F
称为在21t t -时间内力F 对质点的冲量。
记为
3-3)
说明:⑴I
是矢量
⑵I
是过程量 ⑶I
是力对时间的积累效应 ⑷I
的分量式 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰212121t t z z t t y y t t x
x dt
F I dt F I dt F I
∵⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=-=-⎰⎰⎰2
12
121)()()(12121
2t t z z t t y y t t x x dt
F t t F dt F t t F dt
F t t F (3-4) ∴分量式(3—4)可写成⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=)
()()
(121212t t F I t t F I t t F I z z
y y x x (3-5)
x F 、y F 、z F 是在21t t -时间内x F 、y F 、z F 平均值。
3、质点的动量定理
由上知 12p p I
-=(3-6)
结论:质点所受合力的冲量=质点动量的增量,称此为质点的动量定理。
说明:⑴I 与12p p
-同方向
⑵分量式⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=-=z 1z 2z
物理学(第三版)刘克哲,张承琚 第12章
第十二章 电磁感应和麦克斯为电磁理论
§12-1 电磁感应及其基本规律
一、电磁感应现象:穿过闭合回路的磁通量发生变化时,回路中有感生电流产生。
二、电磁感应定律
(一)法拉第电磁感应定律
1、定律:通过回路所包围面积的磁通量发生变化时,回路中所产生的感应电动势与磁通量对时间变化率的负值成正比。
dt
d i Φε-
=
2、讨论
(1)符号问题(楞次定律的反映) a. 选定回路的绕行方向n
→ b. 定dt
d ΦΦ及
的正负
c.
和绕行方向反
<和绕行方向同,,{
dt
d i i i 00εεΦε>-
=
说明:实际应用中多用楞次定律定i ε的方向,用法拉第定律算i ε。
(2)通过回路任一截面的电量
dt I dq i =,∆ΦR
q 1=,与移动(变化)快慢无关
(3)N 匝线圈串联
dt
d dt
)N (d dt
d N
N i ψΦΦεε-
=-
=-==1
:磁通匝链数。
(二)楞次定律:闭合回路中感应电流的方向,总是使得它所激发的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化的。也可以表述为,感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因的。 三、感应电动势
由上两个实验可知:当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时,不管这种变化的原因如
同向
与反向与L ,,dt
d L ,,dt
d {i i
00000><<>>εΦ
εΦ
Φ
反向
’与反抗,B B ,
dt
B d 0>同向
’与补偿,<B B ,
dt
B d 0
何(如:线圈运动,变;或不变线圈运动),回路中就有电流产生,这种现象就是电磁感应现象,回路中电流称为感应电流。
§12-2 互感和自感
第3章-动量守恒定律和能量守恒定律
代入数据计算得 pN 1.36 10 22 kg m s1
arctan pe 61.9
pν
16
3-2 动量守恒定律
例 2 一枚返回式火箭以 2.5 103 m·s-1 的速率相对惯性 系 S 沿 Ox 轴正向飞行. 设空气阻力不计. 现由控制系统 使火箭分离为两部分, 前方部分是质量为 100kg 的仪器 舱, 后方部分是质量为 200kg 的火箭容器. 若仪器舱相对 火箭容器的水平速率为 1.0 103 m·s-1 . 求仪器舱和火箭 容器相对惯性系的速度 .
1) 万有引力作功
以m'为参考系,m的位置矢量为 r .
m'对m 的万有引力为:
F
G
m' m r2
er
r 方向单
位矢量
m
A
r (t)
dr
m' r(t dt)
m移动 dr时,F 作元功为
O
dW
F
dr
G
m' m r2
er
dr
B
28
3-5 保守力和非保守力 势能
W
F dr
B
A
0
则
v2
v
m1 m1 m2
v'
v2 2.17 103 m s1
(m1 m2 )v m1v1 m2v2 v1 3.17 103 m s1
大学物理物理学第三版(刘克哲_张承琚】上册期末考试复习 PPT
五 应用牛顿定律解题的基本思路 (1)确定研究对象,几个物体连在一起需作隔离
体图,把内力视为外力; (2)进行受力分析,画受力图; (3)建立坐标系,列方程求解 (用分量式) ; (4)先用文字符号求解,后代入数据计算结果.
例 质量为 m 的物体自空中落下, 它除受重力外,
还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用. 比例系数 为 k ,k 为正常数. 该下落物体的终极速度(即最后物 体做匀速直线的速度)将是
➢ 匀加速直线运动
v2 v02 2ax
➢ 抛体运动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at
2
ax 0 vx v0 cos ay g vy v0 sin gt
三 圆周运动
x y
v0 v0
cos sin
t t
1 2
gt
2
➢ 角速度 d v
dt R
➢ 角加速度 d
dt
➢ 速度
3.加速度
a
dv dt
d2 dt
r
2
dvx dt
i
dv
y
dt
j
dvz
dt
k
任意曲线运动都可以视为沿 x,y,z 轴的三个各 自独立的直线运动的叠加(矢量加法).——运动的独
立性原理 或 运动叠加原理 .
二 匀加速运动
第物理学第三版(刘克哲 张承琚)课后习题答案第一章三章
[物理学3章习题解答]
3-1用榔头击钉子,如果榔头的质量为500 g,击钉子时的速率为8.0 m⋅s-1,作用时间为2.0⨯10-3 s,求钉子所受的冲量和榔头对钉子的平均打击力。
解对于榔头:
,
式中i1是榔头所受的冲量,是榔头所受钉子的平均打击力;
对于钉子:
,
式中i2是钉子受到的冲量,是钉子所受的平均打击力,显然= -。
题目所要求的是i2和:
,
i2的方向与榔头运动方向一致。
,
的方向与榔头运动方向一致。
3-2 质量为10 g的子弹以500 m⋅s-1 的速度沿与板面垂直的方向射向木板,穿过木板,速度降为400 m⋅s-1 。如果子弹穿过木板所需时间为1.00⨯10-5 s,试分别利用动能定理和动量定理求木板对子弹的平均阻力。
解
(1)用动能定理求解:
, (1)
其中是木板对子弹的平均阻力,d为穿过木板的厚度,它可用下面的关系求得:
, (2)
. (3)
由式(2)和式(3)联立所求得的木板厚度为
&nb .
根据式(1),木板对子弹的平均阻力为
.
(2)用动量定理求解:
,
.
与上面的结果一致。由求解过程可见,利用动量定理求解要简便得多。
3-4 质量为m 的小球与桌面相碰撞,碰撞前、后小球的速率都是v ,入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是α,如图3-3所示。若小球与桌面作用的时间为δt ,求小球对桌面的平均冲力。
解 设桌面对小球的平均冲力为f ,并建立如图所示的坐标系,根据动量定理,对于小球可列出
,
.
由第一个方程式可以求得
,
由第二个方程式可以求得
.
根据牛顿第三定律,小球对桌面的平均冲力为
,
负号表示小球对桌面的平均冲力沿y 轴的负方向。
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if
m1 m2
u1 v2 u2 v1
在完全弹性正碰中,质量相等的两个物体碰撞后相互交 换了速度。
if m1 m2
且v2 0
m1 m2 2m2 u1 v v 1 m m m m 2 2 2 1 1 m2 m1 2m1 u2 v v 2 m m m m 1 1 1 2 2
O
如果绳子张力的作用时间为Dt,根据动量定理,则有
FT Dt mv (mu ) FTDt m0v 0
由以上两式可以解得绳子刚被拉紧时两个物体的运动 速率,
mu m v 2 gh m0 m m0 m
物体m0所能达到的最大高度Zm可以用能量关系求解 系统初状态的机械能
h
m
m0
解:建立如右图所示的坐标系, 当物体m自由下落h的距离时,
z
FT
h
m
它就具有了速度
u 2 gh 从这一刻开始物体受到绳子 的张力FT,由于绳子是轻绳, 质量可以忽略,所以滑轮两 侧绳子的张力大小相等,
FT
FT FT
绳子拉直后,由于绳子的张力 使物体m的速度大小变为v,
m0
x1c R 2
x
3 余下的质量为 m2 R 2 ,质心坐标用 x2 c 表示,则 4
1 3 2 R R R 2 x2c 2 4 0 4 R 2
R x2 c 6
§3.动量守恒定律
d n Fi mi vi dt i 1 i 1
o
x
证明:取如图坐标,设t时刻已有
x长的柔绳落至桌面,随后的dt时 间内将有质量为ldx(Mdx/L)的 柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停 止,它的动量变化率:
o
x
根据动量定理,桌面对柔绳的冲力为:
柔绳对桌面的冲力F=-F’ 即:
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
I mv mv0
动量定理
A EkQ EkP
动能定理
t I Fdt
t0
A
Q
P
F dr
冲量是力的时 间的累积效应
功是力的空间 的累积效应
冲力:作用时间极短,数 值很大而且变化很快
F
F (t1 t0 ) mv mv0
解得
mh zm 2 2 2 g (m0 m) m0 m
( m 0 m)v
2
2
二、质心
n个质点系统
rc
分量形式
xc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i i
yc
m y m
i i
i
zc
m z m
i i i
i i
可见质心位矢是质点位矢的带权平均值,这个“权”与质点的 质量分布位置有关.
0 0 0
m v m
i 1 n i 1 i 1 n
n
ix i x
恒量
iy
iy iy
v 恒量 恒量
F
iz
m v
iz i z
§4.碰撞
一.碰撞现象:如果两个或两个以上的物体相互作用, 且作用力较大,时间极为短暂。 •碰撞过程的特点:1、各个物体的动量明显改变。
2、系统的总动量守恒。 •弹性碰撞:碰撞过程中两球的机械能(动能)完全没 有损失。
t
t0
n n Fi dt mi vi mi vi 0 n i 1 i 1 i 1
在一段时间内,作用于质点系的外力矢量和的冲 量等于质点系动量的增量。
——质点系动量定理
d n Fi mi vi dt i 1 i 1
n
(微分形式)
分量形式
F dt m v m v F dt m v m v F dt m v m v
t t0 t ix i ix t0 t iy i iy t0 iz i iz
i i0x
i i0 y
i i0z
例 在右图所示的装置中,一 不可伸长的轻绳跨过定滑轮, 两端系有质量分别为m和m0 (>m)的物体。开始时m0 静止在地面上,绳子松弛, 当物体m自由下落h的距离 后,绳子才被拉紧。滑轮的 质量和摩擦力都可忽略不计, 求绳子刚被拉紧时物体的运 动速率及物体m0所能达到的 最大高度。
2 1 2 1 2 2 2 2
m1 (v1 u1 ) m2 (u2 v2 )
v1 u1 u2 v2
m1 m2 2m2 u1 v v 1 m m m m 2 2 2 1 1 m2 m1 2m1 u2 v v 2 m m m m 1 1 1 2 2
对质量连续分布的物体,其质心位矢由上式推广得
rc
分量形式为
rdm
dm
yc
rdV
dV
xc
xdm dm
ydm dm
zc
zdm dm
如果质点体系的质量分布连续均匀时: ① 线分布 ②面分布 ③ 体分布:
dm ldl
dm dS
F
F
t1
t0
Fdt
t I Fdt
t0
t t0
t1 t0
O t0
t1
t
F 的大小和方向都随时间改变
I y Fy dt
t0 t
I x Fx dt
I z Fz dt
t0
t
有n个力同时作用于质点上
F F1 F2 ...... Fn
n
如果
Fi 0
n i 1
mi vi 恒矢量
i 1
n
在外力的矢量和为零的情况下,质点系的总动量不 随时间变化。
——动量守恒定律
动量守恒定律的应用
Fi 0
n i 1
mi vi 恒矢量
i 1
n
分量式
F F
i 1 n i 1 i 1 n
n
ix
完全非弹性碰撞:两球碰后合为一体,以共同的速度运
动。 •非弹性碰撞:碰撞过程中两球的机械能(动能)要损
失一部分。
mv mv , mv mv mu mu
1 1 2 2
1
1
2
2
1
1
2
2
1 1 1 1 mv mv mu mu, 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 m2 v2 m1 u1 m2 u 2 , m 1 v1 2 2 2 2
m1 (v1 u1 ) m2 (u2 v2 )
m1 (v u ) m2 (u v )
2 1 2 1 2 2 2 2
m1 (v u ) m2 (u v )
i 1 i2 n i 1 n
F1
1 3
F3
t0 t
F2
2
n
Fn
t0
t
t0
n n n n ( Fn f ij )dt mi vi mi vi 0 n i 1 i j i i 1 i 1
t
t0
n n n n ( Fn f ij )dt mi vi mi vi 0 n i 1 i j i i 1 i 1
R
2
d
Rsin
例 如图,在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉 半径为R/2的小圆板,大小圆板相切,求余下部分的质心
解:选择如图坐标系,考虑对称性,余 下部分质心的y坐标为零,仅需求x坐标 大圆板质量为 M R 2 , 质心坐标为 xc 0 y
0
1 2 小圆板质量为 m1 R, 4 质心坐标为
•正碰:两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。
那么,碰撞时相互作用的力和碰后的速度也 都在这一连线上。(对心碰撞) •斜碰:两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。
, mv mv mu mu
1 1 2 2 1 1 2 2
正碰的情况
m v m v m u m u ,
1 1 2 2 1 1 2 2
dm dV
rc rdS M
V
rc l rdl M
rc rdV M
三、质心运动定理
n 2 mi ri 2 n n n n d d i 1 d mi 2 rC Fi ( mi vi ) mi 2 n i 1 dt dt i 1 dt i 1 i 1 mi i 1 2 d rC aC 为质心加速度 式中 = 2 n dt Fi maC 所以有:
1 1 2 2 E0 m0v mv mgz0 2 2
当m0达到最大高度zm时为末状态,此时两个物体都 静止不动了,则系统机械能
E m0 gzm mg ( z0 zm )
E E0
1 1 2 2 E0 m0v m0v mgz0 m0 gzm mg ( z0 zm ) 2 2
由质点系动量定理的微分形式得
i 1
此式表示,质点系质心的运动与这样一个质点的运 动具有相同的规律,该质点的质量等于质点系的总质
量,作用于该质点的力等于作用于质点系的外力的矢
量和。这个结论称为质心运动定律。
质心运动定律的意义:
不论体系如何复杂,体 系质心的行为与一个质 点相同.从这个意义上 说,牛顿定律所描绘的 不是体系中任一质点的 运动,而是质心的运动. 而质心的存在,正是任 意物体在一定条件下可 以看成质点的物理基础.
例 :求半径为R、顶角为2的均匀圆弧的质心。
解:选择如图所示的坐标系,圆弧关于x 轴对称。 设圆弧的线密度为 , 取质量元dm = R d
O
α α
dθ
θ
dl
x
坐标为x=R cos
则圆弧质心坐标为
xC xdm dm
xRd Rd
R cos d
I x mvx mv0 x I y mvy mv0 y I z mvz mv0 z
冲量在某个方向的分量等于在该方向上质点动量 分量的增量,冲量在任一方向的分量只能改变自 己方向的动量分量,而不能改变与它相垂直的其 他方向的动量分量。
动量定理的应用
例、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着,绳的 下端刚好触到水平桌面上,如果把绳的上端放开,绳将 落在桌面上。试证明:在绳下落的过程中,任意时刻作 用于桌面的压力,等于已落到桌面上的绳重力的三倍。
第三章 动量守恒定律
§1.动量和动量定理 §2.质点系动量定理和质心运动定理 §3.动量守恒定律 §4.碰撞
§1.动量和动量定理
dv d (mv ) F ma m dt dt
1. 动量
P mv
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大小: mv
方向: 速度的方向 单位: kg m · s -1
dP F dt
力是物体动量改变的原因
dP F dt
Fdt dP
力F在dt时间内的累积效应等于质点动量的增量。
冲量
t
t0
P Fdt dP P P0 P0
I P P0 mv mv0
——动量定理
在运动过程中,作用于质点的合力在一段时间内的冲 量等于质点动量的增量。
t t t t I Fdt F1dt F2 dt ...... Fn dt t0 t0 t0 t0 I1 I 2 ...... I n
合力在一段时间内的冲量等于各分力在同一段时 间内冲量的矢量和。
I mv mv0
§2.质点系动量定理和质心运动定理
质点系的动量定理
t
t0 t
n ( F1 f1i )dt m1v1 m1v10 ( F2 f 2i )dt m2 v2 m2 v20 ( Fn f ni )dt mn vn mn vn 0