广工2013年数值计算方法期末试卷

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[VIP专享]广工2013年数值计算方法期末试卷

1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
D c,b, a
A a,b,c B b,c, a C c, a,b
主元为( ) 。 A －4 B 3 C 4 D －9 9、采用全主元消去法解线性方程组，程序结束后，得到的跟踪数组为：z(1)
A y=(x)与 x 轴交点的横坐标 C y=x 与 x 轴的交点的横坐标
7、用简单迭代法求方程 f(x)=0 的实根，把方程 f(x)=0 表示成 x=(x)，则 f(x)=0 的根是( )。
x1 3x2 3x3 2
2 3
5x3 8x3
3x2 5x2
3x1
x1
2
2、用 Gauss 列主元消元法解方程组
D 各阶顺序主子式均不为零
C 任意阵
B 正定矩阵
A 对称阵
6、求解线性方程组 Ax=b 的 LU 分解法中，A 须满足的条件是( )。
A 提高运算速度 B 减少舍入误差 C 增加有效数字 D 方便计算
5、用选主元法解方程组 AX b ，是为了_ ___。
D7
C4
B5
A6
4、3.141580 是 π 的有( )位有效数字的近似值。
1) B2Ak+22+1=2+15+c51mc+=m5=21c11+m++12+2+1++=212=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2

数值计算方法期末考试题精选版

数值计算方法期末考试题Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 184.()()120f f <5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=--- []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X = 用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

数值分析学期期末考试题与答案(A)

期末考试试卷(A 卷)2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120分钟学号姓名年级专业、判断题(每小题分，共分)100011.用计算机求z —100■时，应按照n 从小到大的顺序相加。

n 3n3 .用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

()4 .采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

()5 .用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

()二、填空题(每空 2分，共36分)1 .已知数a 的有效数为0.01 ,则它的绝对误差限为 ,相对误差限为 .10 -11 一0]2 .设 A= 0-2 1 ,x= -5，则| A 1 =, ||^|2 =Ax L =.-1 3 0J3 .已知 f (x) =2x 5 +4x 3—5x,则 f[—1,1,0] =, f[-3,-2,-1,1,2,3] =.13 34 .为使求积公式 f f (x)dx 定A f (———)+ A 2 f (0) + A 3 f (」一)的代数精度尽量局，应使t 3 3A =, A =, A =,此时公式具有次的代数精度。

5 . n 阶方阵A 的谱半径P (A)与它的任意一种范数| A 的关系是.6 .用迭代法解线性方程组以=8时，使迭代公式 X(k41)=MX (k) + N (k=0,1,2,|||)产生的向量序列｛X(k)｝收敛的充分必要条件是 .7 .使用消元法解线性方程组 AX =8时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵 L 和上三角矩2. 为了减少误差，应将表达式 J2001 - J1999改写为22001 ,1999进行计算。

4 -2阵U的乘积，即A = LU .若米用图斯消兀法解AX = B，其中A= 1 ，则一1 2 3 4 1 L = , U = ；若使用克劳特消元法解AX = B ,则u11 =;若使用平方根方法解AX = B，则111与u11的大小关系为 (选填：>, <,=,不一'定)。

数值计算期末考查试卷

(b)洛伦兹系统及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于 1963 年发
2
表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。从技术角度看来，洛伦茨振子具有非线性、三维性和确定性。 2001 年，沃里克· 塔克尔（Warwick Tucker）证明出在一组确定的参数下，系统会表现出混沌行为，显示出人们今天所知的奇异吸引子。
2
0
sin x dx 。 x
要求步长 h=0.2，计算 y(1.2)和 y(1.4)的近似值。
附加题:
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法.利用四阶龙格库塔法求解下列方程 (a)洛特-加龙省卡－沃尔泰拉方程（Lotka-Volterra equation）别称掠食者—猎物方程。是一个二元一阶非线性微分方程组成。经常用来描述生物系统中，掠食者与猎物进行互动时的动态模型，也就是两者族群规模的消长。此方程分别在1925年与1926年，由阿弗雷德· 洛特-加龙省卡与维多· 沃尔泰拉独立发表。

数值计算方法期末考试题

数值计算方法期末考试题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =????? ???????????????3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C =???????????? 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足??????????????? ?，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式????????????????????? .填空题答案1.?????? 9和292.??????()()0101f x f x x x --?3.?????? 18 4.??????()()120f f <5.?????? ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1.?????? 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---??????????[]1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）?????? 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）?????? 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩?(0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,A A A -，将()21,,f x x x =分别代入求积公式，并令其左右相等，得得1113A A h -==，043hA =。

2013数值计算方法试题及答案

数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( 3 )，b =（3 ），c =（ 1 ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( 1 )，∑==nk k jk x lx 0)(( j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( 324++x x )。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ 22,22-）时，必有分解式TLL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。

二选择题（每题2分）三、2、（8分）已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f （1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

（2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。

五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。

数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。

（）２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。

（）1、（ Ⅹ ）2、（ ∨ ）3、（ Ⅹ ）4、（ ∨ ） 3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。

《数值计算方法》试题集及答案(1-6) 2..

《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。

答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+5、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

2013计算方法参考答案

研究生课程考试试题课程名称：计算方法考试类型（考试或考查）：考试年级： 2013 学时： 54 考试时间： 2013年12月20日专业：学生姓名: 学号:一、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）1、经过四舍五入得到近似数*56.430x =，它有 5 位有效数字。

2、设A 是n 阶方阵，A 的1-范数为11maxnijj ni a≤≤=∑。

3、设1031A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，A 的谱半径()a ρ= 1 。

4、用牛顿迭代法求方程3310x x -+=的根，迭代公式为3312231213(1)3(1)k k k k k k k x x x x x x x +-+-=-=--。

5、设解线性方程组的迭代公式为(1)()k k x Bx d +=+，则迭代法收敛的充要条件是()1B ρ<。

6、设()k l x （0,1,,k n =）是关于1n +个互异结点的n 次插值基函数，则0()nk k l x ==∑ 1 。

7、对于1n +个结点的插值型求积公式0()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰至少具有 n 次代数精度。

8、对初值问题20(0)1y y y '=-⎧⎨=⎩，当步长h 满足1010h <<时，Euler 方法是绝对稳定的。

二、计算题（共7个小题，每小10分，共70分）1、下列诸数是按四舍五入方法得来的近似数： 1.1020p =, 0.031q =, 385.6r =试计算(1) p q r ++； (2) pqr ，并并指出计算结果有多少位有效数字。

解: 151()100.000052e p -≤⨯=, 131()100.000052e q --≤⨯=, 341()100.052e r -≤⨯=. (1)p q r ++的绝对误差限为()0.05010.5p q r δ++≤≤, 又386.1330p q r ++=,所以331()0.5102e p q r -++≤=⨯,p q r ++有3位有效数值, 故386p q r ++≈.(2) pqr 的绝对误差限为()||()||()||()0.05pqr qr p pr q pq r δδδδ≤++≤,13.1728672pqr =,所以231()0.05102e pqr -≤=⨯,pqr 有3位有效数值, 故13.2pqr ≈2、应用牛顿法于方程30x a -=,解: (1) 122133k k ka x x x +=+.(2) 当0a ≠时,30x a -=的单根,.当0a =时, 迭代公式退化为123k k x x +=, 0k x →, 迭代公式收敛.3、用LU 分解求解方程组：123123123323423x x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩。

《数值计算方法》期末考试试卷附答案

《数值计算方法》期末考试试卷附答案一、选择题（每小题4分，共20分）1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。

2. 若132)(356++-=x x x x f ，则其六阶差商=]3,,3,3,3[6210 f （） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为（） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法（） A. 都发散； B. 都收敛C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。

5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（）A. 02≤≤-h ；B. 0785.2≤≤-h ；C. 02≤≤-h λ；D.0785.2≤≤-h λ ；二、填空题（共6空，每空5分，共30分）1. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='-=4321,)2,1(A x ，则=2x ，=1Ax ，=2A2. 已知3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为 ,且用线性插值可得f (7)= 。

3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取位有效数字。

三、计算题（共2小题，每小题15分，共30分）利用下面数据表，1. 用复化梯形公式计算积分dxxfI)(6.28.1⎰=的近似值；2. 用复化Simpson公式计算积分dxxfI)(6.28.1⎰=的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位). （14分）四、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1256144412A，求矩阵A的Doolittle分解。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科) 及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )A . 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为X 12 3 P35310 110则X 的数学期望EX = ( )A .32 B ．2 C ．52D ．3 5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是 A .2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D．2212x = 8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈俯视侧视第5题图.AED CBO第15题图1 7 92 0 1 53第17题图C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30(一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______. 12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =_________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示, 其中茎为十位数,叶为个位数.(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学理

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）设集合M={x|x2+2x=0，x∈R}，N={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）A.{0}B.{0，2}C.{﹣2，0}D.{﹣2，0，2}解析： M为方程x2+2x=0的解集，则M={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合M∪N={0，﹣2，2}，答案：D.2.（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A.4B.3C.2D.1解析： y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数；y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数；y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2，答案：C.3.（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）A.（2，4）B.（2，﹣4）C.（4，﹣2）D.（4，2）解析：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），答案：C.4.（5分）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A.B.2C.D.3解析：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）==.答案：A.5.（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A.4B.C.D.6解析：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四棱台的体积为V==.答案：B.6.（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：选项A，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确.答案：D7.（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A.B.C.D.解析：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程为.答案：B.8.（5分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}.若（x，y，z）和（z，w，x）都在S 中，则下列选项正确的是（）A.（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉SB.（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈SC.（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈SD.（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S解析：特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误；只有B成立，故选答案：B.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.9.（5分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为.解析：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）.答案：（﹣2，1）.10.（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= .解析：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，答案：﹣1.11.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为.解析：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，S=4+4﹣1=7；当i=5时，退出循环，输出S=7；答案：7.12.（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= .解析：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，答案：20.13.（5分）给定区域D：.令点集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线.解析：画出不等式表示的平面区域，如图.作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大；当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条.即T中的点共确定6条不同的直线.答案：6.14.（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为.解析：由（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，…（4分）∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于的圆.C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即或，则l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）.…（10分）答案：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填或也得满分）.15.如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6，ED=2，则BC= .解析：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°.即AC⊥BD.又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC.∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC.∴∠AEC=∠ACB=90°.∴△CED∽△ACB.∴，又CD=BC，∴.答案：三、答案题：本大题共6小题，满分80分.答案须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（12分）已知函数，x∈R.（1）求的值；（2）若，，求.解析：（1）把x=﹣直接代入函数解析式求解.（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果.答案：（1）（2）因为，所以所以=17.（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.解析：（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果；（2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率.答案：（1）样本均值为（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人（3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，所以，即恰有1名优秀工人的概率为.18.（14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点.将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=.（1）证明：A′O⊥平面BCDE；（2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值.解析：（1）连接OD，OE.在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，AD=AE=，CO=BO=3.分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE.利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F.利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角.在直角△OCF中，求出OF即可；方法二：取DE中点H，则OH⊥OB.以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角.答案：（1）证明：连接OD，OE.因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，，CO=BO=3.在△COD中，，同理得.因为，.所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2.所以∠A′OD=∠A′OE=90°所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O.所以A′O⊥平面BCDE.（2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F因为A′O⊥平面BCDE.根据三垂线定理，有A′F⊥CD.所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角.在Rt△COF中，.在Rt△A′OF中，.所以.所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为.方法二：取DE中点H，则OH⊥OB.以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则O（0，0，0），A′（0，0，），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）=（0，0，）是平面BCDE的一个法向量.设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z），.所以，令x=1，则y=﹣1，.所以是平面A′CD的一个法向量设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且所以所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为19.（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，，n∈N*.（1）求a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有.解析：（1）利用已知a1=1，，n∈N*.令n=1即可求出；（2）利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）即可得到na n+1=（n+1）a n+n（n+1），可化为，.再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法（n≥2）即可证明.答案：解：（1）当n=1时，，解得a2=4（2）①当n≥2时，②①﹣②得整理得na n+1=（n+1）a n+n（n+1），即，当n=1时，所以数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列{a n}的通项公式为，n∈N*（3）因为（n≥2）所以=20.（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值.解析：（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值.答案：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1所以抛物线C的方程为x2=4y（2）设，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，又因为切线PA的斜率为，整理得直线AB的斜率所以直线AB的方程为整理得，即因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2所以直线AB的方程为（3）根据抛物线的定义，有，所以=由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2所以=所以当时，|AF|•|BF|的最小值为点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性.21.（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）.（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M.解析：（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间；（2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值.答案：解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2，f'（x）=e x+（x﹣1）e x﹣2x=x（e x﹣2）令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2）（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2，x∈[0，k]，.f'（x）=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k）f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）令φ（k）=k﹣ln（2k），，所以φ（k）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k.即0＜ln（2k）＜k所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：f（0）=﹣1，f（k）=（k﹣1）e k﹣k3f（k）﹣f（0）=（k﹣1）e k﹣k3+1=（k﹣1）e k﹣（k3﹣1）=（k﹣1）e k﹣（k﹣1）（k2+k+1）=（k﹣1）[e k﹣（k2+k+1）]因为，所以k﹣1≤0对任意的，y=e k的图象恒在y=k2+k+1下方，所以e k﹣（k2+k+1）≤0所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e k﹣k3.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(广东卷)理

2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:台体的体积公式V=13(S1+√S1S2+S2)h,其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013广东,理1)设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N=().A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}答案:D解析:∵M={-2,0},N={0,2},∴M∪N={-2,0,2}.2.(2013广东,理2)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是().A.4B.3C.2D.1答案:C解析:y=x3,y=2sin x为奇函数;y=x2+1为偶函数;y=2x为非奇非偶函数.所以共有2个奇函数,故选C.3.(2013广东,理3)若复数z满足i z=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是().A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)答案:C解析:由i z=2+4i,得z=2+4ii =(2+4i)·(-i)i·(-i)=4-2i,故z对应点的坐标为(4,-2).4.(2013广东,理4)已知离散型随机变量X的分布列为则X 的数学期望E(X)=( ). A.32 B.2C.52D.3答案:A解析:E(X)=1×35+2×310+3×110=1510=32. 5.(2013广东,理5)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( ).A.4B.14C.16D.6答案:B解析:方法一:由三视图可知,原四棱台的直观图如图所示,其中上、下底面分别是边长为1,2的正方形,且DD 1⊥面ABCD,上底面面积S 1=12=1,下底面面积S 2=22=4.又∵DD 1=2,∴V 台=1(S 1+√S 1S 2+S 2)h =13(1+√1×4+4)×2=143.方法二:由四棱台的三视图,可知原四棱台的直观图如图所示.在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中,四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1都为正方形,AB=2,A 1B 1=1,且D 1D ⊥平面ABCD,D 1D=2. 分别延长四棱台各个侧棱交于点O, 设OD 1=x,因为△OD 1C 1∽△ODC, 所以OD1OD =D 1C 1DC ,即xx+2=12,解得x=2.V ABCD -A 1B 1C 1D 1=V 棱锥O-ABCD -V 棱锥O -A 1B 1C 1D 1 =13×2×2×4-13×1×1×2=143.6.(2013广东,理6)设m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( ). A.若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥n B.若α∥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ∥n C.若m ⊥n,m ⊂α,n ⊂β,则α⊥β D.若m ⊥α,m ∥n,n ∥β,则α⊥β 答案:D解析:选项A 中,m 与n 还可能平行或异面,故不正确;选项B 中,m 与n 还可能异面,故不正确; 选项C 中,α与β还可能平行或相交,故不正确; 选项D 中,∵m ⊥α,m ∥n,∴n ⊥α. 又n ∥β,∴α⊥β.故选D .7.(2013广东,理7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则C 的方程是( ).A.x 24y 2√5=1 B.x 24−y 25=1 C.x 22−y 25=1 D.x 22−y 2√5=1 答案:B解析:由曲线C 的右焦点为F(3,0),知c=3.由离心率e=32,知c a=32,则a=2,故b 2=c 2-a 2=9-4=5, 所以双曲线C 的方程为x 24−y 25=1. 8.(2013广东,理8)设整数n ≥4,集合X={1,2,3,…,n},令集合S={(x,y,z)|x,y,z ∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S 中,则下列选项正确的是( ). A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S 答案:B解析:由(x,y,z)∈S,不妨取x<y<z,要使(z,w,x)∈S,则w<x<z或x<z<w.当w<x<z时,w<x<y<z,故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.当x<z<w时,x<y<z<w,故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.综上可知,(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2013广东,理9)不等式x2+x-2<0的解集为.答案:{x|-2<x<1}解析:x2+x-2<0即(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故原不等式的解集为{x|-2<x<1}.10.(2013广东,理10)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=.答案:-1解析:y'=k+1x.因为曲线在点(1,k)处的切线平行于x轴,所以切线斜率为零,由导数的几何意义得y'|x=1=0,故k+1=0,即k=-1.11.(2013广东,理11)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为.答案:7解析:i=1,s=1,i≤4,s=1+0=1;i=2,s=1,i≤4,s=1+1=2;i=3,s=2,i≤4,s=2+2=4;i=4,s=4,i≤4,s=4+3=7;i=5,此时i>4,故s=7.12.(2013广东,理12)在等差数列{a n}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=.答案:20解析:因为数列{a n}的等差数列,所以由等差数列的性质得a3+a8=a5+a6=a4+a7=10.所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.13.(2013广东,理13)给定区域D:{x+4y≥4,x+y≤4,x≥0.令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线. 答案:6解析:由区域D:{x +4y ≥4,x +y ≤4,x ≥0,画出可行域如图所示.满足条件的(x 0,y 0)有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0), 故T 中的点共确定6条不同的直线. (二)选择题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(2013广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为{x =√2cost ,y =√2sint(t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为 . 答案:ρsin (θ+π4)=√2解析:∵曲线C 的参数方程为{x =√2cost ,y =√2sint(t 为参数),∴其普通方程为x 2+y 2=2.又点(1,1)在曲线C 上,∴切线l 的斜率k=-1.故l 的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,即ρsin (θ+π4)=√2.15.(2013广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上.延长BC 到D 使BC=CD,过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6,ED=2,则BC= . 答案:2√3解析:连接OC.∵AB 为圆O 的直径,∴AC ⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD. 又CE 为圆O 的切线,则OC ⊥CE. ∵∠ACE 为弦切角,∴∠ACE=∠B. ∴∠ACE+∠CAD=90°.∴CE ⊥AD. 又AC ⊥CD,∴CD 2=ED ·AD=2×6=12, 即CD=2√3.∴BC=2√3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(2013广东,理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)=√2cos (x -π12),x ∈R . (1)求f (-π6)的值;(2)若cos θ=35,θ∈(3π2,2π),求f (2θ+π3). 解:(1)f (-π6)=√2cos (-π6-π12)=√2cos (-π4)=√2cos π4=1. (2)f (2θ+π3)=√2cos (2θ+π3-π12) =√2cos (2θ+π4)=cos 2θ-sin 2θ.因为cos θ=35,θ∈(3π2,2π),所以sin θ=-45.所以sin 2θ=2sin θcos θ=-2425,cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=-725. 所以f (2θ+π3)=cos 2θ-sin 2θ=-725−(-2425)=1725.17.(2013广东,理17)(本小题满分12分)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值;(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人? (3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率. 解:(1)样本均值为17+19+20+21+25+306=1326=22. (2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26=13,故推断该车间12名工人中有12×13=4名优秀工人. (3)设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则P(A)=C 41C 81C 122=1633.18.(2013广东,理18)(本小题满分14分)如图(1),在等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,BC=6,D,E 分别是AC,AB 上的点,CD=BE=√2,O 为BC 的中点.将△ADE 沿DE 折起,得到如图(2)所示的四棱锥A'BCDE,其中A'O=√3.图(1)图(2)(1)证明:A'O ⊥平面BCDE;(2)求二面角A'CD B 的平面角的余弦值. 解:(1)由题意,得OC=3,AC=3√2,AD=2√2.如图,连结OD,OE,在△OCD 中, 由余弦定理可得OD=√OC 2+CD 2-2OC ·CDcos45°=√5. 由翻折不变性可知A'D=2√2, 所以A'O 2+OD 2=A'D 2,所以A'O ⊥OD. 同理可证A'O ⊥OE,又OD ∩OE=O, 所以A'O ⊥平面BCDE.(2)传统法:过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H,连结A'H, 因为A'O ⊥平面BCDE,所以A'H ⊥CD. 所以∠A'HO 为二面角A'CD B 的平面角. 结合题图(1)可知,H 为AC 中点,故OH=3√22,从而A'H=√OH 2+OA '2=√302,所以cos ∠A'HO=OH A 'H=√155.所以二面角A'-CD-B 的平面角的余弦值为√155.向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O-xyz 如图所示.则A'(0,0,√3),C(0,-3,0),D(1,-2,0), 所以CA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,√3),DA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,√3). 设n =(x ,y ,z )为平面A'CD 的法向量,则{n ·CA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3y +√3z =0,-x +2y +√3z =0,解得{y =-x ,z =√3x .令x=1,得n =(1,-1,√3).由(1)知,OA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)为平面CDB 的一个法向量, 所以cos <n ,OA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·OA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||OA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5·3=√155,即二面角A'-CD-B 的平面角的余弦值为√155.19.(2013广东,理19)(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=1,2S n n =a n+1-13n 2-n-23,n ∈N *. (1)求a 2的值;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a 1+1a 2+…+1a n<74.解:(1)依题意,2S 1=a 2-13-1-23,又S 1=a 1=1,所以a 2=4.(2)当n ≥2时,2S n =na n+1-13n 3-n 2-23n, 2S n-1=(n-1)a n -13(n-1)3-(n-1)2-23(n-1),两式相减得2a n =na n+1-(n-1)a n -13(3n 2-3n+1)-(2n-1)-23, 整理得(n+1)a n =na n+1-n(n+1),即a n+1n+1−a n n =1.又a 22−a11=1,故数列{an n }是首项为a 11=1,公差为1的等差数列,所以ann =1+(n-1)×1=n.所以a n =n 2.(3)当n=1时,1a 1=1<74;当n=2时,1a 1+1a 2=1+14=54<74;当n ≥3时,1a n=1n 2<1(n -1)n =1n -1−1n ,此时1a 1+1a 2+…+1a n=1+14+132+142+…+1n 2<1+14+(12-13)+(13-14)+…+(1n -1-1n )=1+14+12−1n =74−1n <74.综上,对一切正整数n,有1a 1+1a 2+…+1a n<74.20.(2013广东,理20)(本小题满分14分)已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为3√22.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点.(1)求抛物线C 的方程;(2)当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解:(1)依题意,设抛物线C 的方程为x 2=4cy,由√2=3√22,结合c>0,解得c=1.所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)抛物线C 的方程为x 2=4y,即y=14x 2,求导得y'=12x, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(其中y 1=x 124,y 2=x 224), 则切线PA,PB 的斜率分别为12x 1,12x 2,所以切线PA 的方程为y-y 1=x 12(x-x 1),即y=x 12x-x 122+y 1,即x 1x-2y-2y 1=0, 同理可得切线PB 的方程为x 2x-2y-2y 2=0, 因为切线PA,PB 均过点P(x 0,y 0), 所以x 1x 0-2y 0-2y 1=0,x 2x 0-2y 0-2y 2=0.所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程x 0x-2y 0-2y=0的两组解. 所以直线AB 的方程为x 0x-2y-2y 0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y 1+1,|BF|=y 2+1, 所以|AF|·|BF|=(y 1+1)(y 2+1)=y 1y 2+(y 1+y 2)+1. 联立方程{x 0x -2y -2y 0=0,x 2=4y ,消去x 整理得y 2+(2y 0-x 02)y+y 02=0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1+y 2=x 02-2y 0,y 1y 2=y 02, 所以|AF|·|BF|=y 1y 2+(y 1+y 2)+1=y 02+x 02-2y 0+1.又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=y 0+2.所以y 02+x 02-2y 0+1=2y 02+2y 0+5=2(y 0+12)2+92.所以当y 0=-12时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为92.21.(2013广东,理21)(本小题满分14分)设函数f(x)=(x-1)e x -kx 2(k ∈R ).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k ∈(12,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M. 解:(1)当k=1时,f(x)=(x-1)e x -x 2,f'(x)=e x +(x-1)e x -2x=x e x -2x=x(e x -2), 令f'(x)=0,得x 1=0,x 2=ln 2,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:由表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).(2)f'(x)=e x +(x-1)e x -2kx=x e x -2kx=x(e x -2k), 令f'(x)=0,得x 1=0,x 2=ln (2k), 令g(k)=ln (2k)-k,k ∈(12,1], 则g'(k)=1k-1=1-kk≥0, 所以g(k)在(12,1]上单调递增. 所以g(k)≤ln 2-1=ln 2-ln e <0. 从而ln (2k)<k,所以ln (2k)∈(0,k). 所以当x ∈(0,ln (2k))时,f'(x)<0; 当x ∈(ln (2k),+∞)时,f'(x)>0; 所以M=max {f(0),f(k)} =max {-1,(k-1)e k -k 3}. 令h(k)=(k-1)e k -k 3+1, 则h'(k)=k(e k -3k),令φ(k)=e k -3k,则φ'(k)=e k -3≤e -3<0. 所以φ(k)在(12,1]上单调递减, 而φ(12)·φ(1)=(√e -32)(e -3)<0,所以存在x 0∈(12,1]使得φ(x 0)=0,且当k ∈(12,x 0)时,φ(k)>0, 当k ∈(x 0,1)时,φ(k)<0,所以φ(k)在(12,x 0)上单调递增,在(x 0,1)上单调递减. 因为h (12)=-12√e +78>0,h (1)=0,所以h(k)≥0在(12,1]上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”.综上,函数f(x)在[0,k]上的最大值M=(k-1)e k-k3.。

华南农业大学2013-2014第2学期数值分析试卷

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013-2014学年第 2 学期考试科目：数值分析考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共6小题，每空4分，共40分）1、为使求积公式1121211()[(1)()()] ()3f x dx f f x f x x x -≈-++<⎰的代数精度尽量高，1x =，2x = ，此求积公式具有的代数精度为 .2、有效数3.142作为π的近似值，其相对误差限为 .3、计算定积分10 (0,1,2,,8,9)n x n I x e dx n ==⎰的近似值时，具有稳定性的递推算法为 .4、的迭代公式为 .5、计算一元非线性方程tan 0x x e -=在(0,)2π上的根时，收敛的简单迭代公式为，若取00,x =迭代一次得到1x = .6、设有矩阵1102A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1()cond A= ，这说明以A 为系数矩阵的线性方程组是（性态）的。

二、用列主元的三角分解法解方程组123123123223347712457x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-++=-⎩（本题共12分）三、已知线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。

（本题共12分）四、已知函数()f x 如下数据：（1）分别用差商表和差分表求三次牛顿插值多项式3()P x ；（2）根据3()P x 估计(2.3)f 的值。

（本题共12分）有形如()P x a bx=+的拟合函数，试求本问题的最小二乘拟合函数。

（计算过程中的商运算需要做舍入时保留2位小数，其它情况用精确值）（本题共12分）六、牛顿-柯特斯公式是用于计算定积分()b aI f x dx =⎰的一类常用的数值积分公式，请推导n=1的牛顿-柯特斯公式及其截断误差。

《计算方法》期末考试试题

《计算方法》期末考试试题一选择（每题3分，合计42分）1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有位有效数字。

A 、3 B 、4 C 、5 D 、62. 取73.13≈（三位有效数字），则≤-73.13 。

A 、30.510-⨯B 、20.510-⨯C 、10.510-⨯D 、0.53. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。

A 、注意简化计算步骤，减少运算次数B 、要避免相近两数相减C 、要防止大数吃掉小数D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x 及常向量g ，迭代过程g x B x k k+=+)()1(收敛的充分必要条件是__。

A 、11<B B 、1<∞BC 、1)(<B ρD 、21B <5. 用列主元消去法解线性方程组，消元的第k 步，选列主元)1(-k rka ，使得)1(-k rk a ＝。

A 、 )1(1max -≤≤k ikni a B 、 )1(max -≤≤k ikni k a C 、 )1(max -≤≤k kj nj k a D 、 )1(1max -≤≤k kj nj a6. 用选列主元的方法解线性方程组AX ＝b ，是为了A 、提高计算速度B 、简化计算步骤C 、降低舍入误差D 、方便计算 7. 用简单迭代法求方程f (x )=0的实根，把方程f (x )=0转化为x =(x ),则f (x )=0的根是：。

A 、y =x 与y =(x )的交点 B 、 y =x 与y =(x )交点的横坐标 C 、y =x 与x 轴的交点的横坐标 D 、 y =(x )与x 轴交点的横坐标 8. 已知x 0＝2，f (x 0)=46，x 1＝4，f (x 1)=88，则一阶差商f [x 0, x 1]为。

A 、7 B 、20 C 、21 D 、42 9. 已知等距节点的插值型求积公式()()463kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么4kk A==∑_____。