3教育统计学第三章

总和
50
3915
解：将表中数据代入公式（3.2），得
fXc 3915 X 78.3 N 50
说明：利用次数分布求得的算术平均数是 一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均
匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，
这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差
(P26)。
三、算数平均数的应用及其优缺点
2.频数分布表计算法
用下列公式计算：
X1 f1 X 2 f 2 X f1 f 2
X k fk 1 X i fi fk n
（3.2）
X1 , X 2 ,
i i
, X k 为第一组到第K组的组中值
X f 各组组中值与频数乘积之和 f n 为频数总和
i
例2：P26
2. 百分位数的计算方法
在频数分布表上用内插法计算百分位数，计算公式为
i Pp Lp ( pn n1 ) fp
Pp p
（3.5）
——百分位数 ——与百分位数相对应的比数 n ——总频数 Lp ——百分位数所在组的下限 n1 ——小于百分位数所在组下限的频数总和 f p ——百分位数所在组的频数 i ——组距 例如表3—2资料的第30百分位数Pp=P30
反应不灵敏，不适合代数运算，受抽样的影响较大等。因此， 在一般情况下，众数应用也不广泛，但在一些特殊情况下也
常有应用。
众数适用的情况 （1）当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时； （2）当一组数据出现不同质的情况时； （3）当次数分布中有两极端的数目时；
（4）当粗略估计次数分布的形态时。
四、算术平均数、中位数、众数三者的关系
表3.4 66个学生作文分数的频数分布表
分 数
323538414447505356总和
频 数
4 9 20 14 7 5 4 2 1 66
14 M o 38 3 39.83 14 9
二、众数的应用及其优缺点
众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的影响，但它并
不具备一个良好集中量数的基本条件。如极不准确、稳定，
n i Md Lmd ( n1 ) 2 f md
Lmd
（由小向大计算） （3.3）
n —总频数 n1 —小于中位数所在组下限的频数总和
—中位数所在组的下限
i
f md —中位数所在组的频数
—频数分布表上的组距
Md U md
Umd
n i ( n2 ) 2 f md
（由大向小计算）
二、算术平均数的计算方法
1.原始数据计算法
例1 某班选八名同学参加年级数学竞赛，成
绩分别为82，90，95，88，90，94，80，93。
求其平均成绩。
解：把n=8，X1=82,…,X8=93代入公式 （3.1），得
X 82 90 95 88 90 94 80 93 X 89 N 8
例如求80，93，90，81，85，88，92， 84的中位数。 先排序： 80，81，84，85，88，90，92，93 再求(N+1)/2=4.5，这说明中位数的位 置在第四个和第五个数的中间，即 Md=(85+88)/2=86.5
（二）频数分布表计算法 对分组数据常将n/2位置对应的数据看成中位数。 计算公式为：
率。 解：先求出平均发展速度
X g 4 1.12 1.09 1.08 1.06 1.09
然后用公式：平均增长率=平均发展速度-1，
求出年平均增长率。
平均增长率=1.09-1=0.09 故所求的年平均增长率为9%。
只用首末项求几何平均数 设a0,a1,…,an是n个年度中各年度某种数量
值，其中a0是初期量， an是末期量。
X1,X2,…,Xn为各年度发展速度，即
当测量所得的数据，其单位权重并不相等时，要用加
权平均数来求平均数。 加权平均数的计算方法一
W1 X1 W2 X 2 Wn X n Wi X i Xw W1 W2 Wn Wi
式中W i 为权数
例如，一个学生某门学科期中测验成绩为72分，期末
测验成绩为86分，而期中与期末分数之比为4:6，求此门
例3 某年级四个班的学生人数分别为50人，
52人，48人，51人，期末数学考试各班的平均
成绩分别为90分，85分，88分，92分，求年级
的平均成绩。
解：由公式（3.2）得
Xf X f 88.74
90 50 85 52 88 48 92 51 50 52 48 51
级英语测验总平均分数。
72.6 32 80.2 40 75 36 Xt 76.21 32 40 36
二、几何平均数
（一）概念
它是n个数值连乘积的n次方根，用符号 X g 表示,计 算公式为 M g n X1 X 2 Xn
（二）应用时机
1、求一组等比或近似等比数据的平均数时。 2、一组数据中，有少数偏大或偏小的数据，数据分布 呈现偏态，求平均数时。 3、在教育上，主要应用几何平均数求平均发展速度或 对某项目标进行预测估计。
例6 求2，8，32，125，502的几何平均 数。 解：由于这组数属于近似等比数列，直接 利用公式，得
Mg
n
X1 X 2
Xn
5 2 8 32 125 502
=31.72
例7 已知某校四年中各年度的学生人数分别为上一年
的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增长
对称分布：平均数
非对称分布：中位数、众数
2.从计算的精确性看 平均数最精确、中位数次之、众数最差 3.从对统计分析的适用性看 平均数既可作描述统计量，又可作推论统计量。 中位数与众数常用作描述统计量。
算术平均数 1. 优 2. 点 3. 4.
中
位
数
众
数
1.比较严密确定 1.简明易懂 2.简单易懂 2不易受两极端数据的 3.计算简便 影响 4.受抽样变动影响较小 1.有极端数值时 2.数据不同质时 3.粗略估计数据的集 1.有极端数值时 中 2.模糊数据时 量时 3.快速估计集中量数时 4.粗略估计次数分布 时 5.双峰分布时 1.反应不够灵敏 2.易受抽样变动影响 3.不适合代数运算 4.计算不严密 1.反应不够灵敏 2.易受抽样变动影响 3.不适合代数运算 4.计算不严密
1 3 4 6 19 7 5 3 2
50
2.用公式求理论众数的近似值 （1）皮尔逊的经验法
只有当频数分布呈正态或接近正态时，才能使用。
Mo 3Md 2 X
表3.3 50个学生语文分数的频数分布表 频 数 1 3 4 6 19 7 5 3 2 分 数 556065707580859095-
M o 3 77.89 2 78.20 77.27
1.当次数分布呈正态时： M
Md M 0
2.当次数分布呈正偏态时：
M Md
M Md 1 M0 且 M M 3 0
3.当次数分布呈负偏态时：
M Md
M Md 1 M 0且 M M 3 0
补充：平均数、中位数与众数的比较
1.从对数据次数分布形态的适用性来看
二、众数的计算方法
1.用观察法直接寻找粗略众数 在一组原始数据中，频数出现最多的那个数值 就是众数。
例如：2、4、3、6、4、5、4 在频数分布表中，频数最多一组的组中值就是 粗略众数。例如下表的数据的粗略众数为Mo=77.5。
表3.3 50个学生语文分数的频数分布表 频 数 分 数
556065707580859095总和
第三章 集中量
第一节 算术平均数 第二节 中位数 第三节 众数 第四节 加权平均数 几何平均数 调和平均数
第一节 算术平均数
一、算术平均数的概念
算术平均数是一组同质数据值的总和除以数 据总个数所得的商。简称平均数、均数或均值， 用 X （读X杠）表示。 X1 X 2 Xn Xi （3.1） X n n
1、算术平均数具备一个良好的集中量所应具备 的一些条件
Baidu Nhomakorabea
（1）反应灵敏 （2）严密确定 （3）简明易懂，计算方便 （4）适合代数运算 （5）受抽样变动的影响较小
2、算术平均数的优点
（1）只知一组观测值的总和及总频数即可求出； （2）用加权法可以求出几个平均数的总平均数； （3）用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近 总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值； （4）在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断 时，都要用到它。
课程学期总平均成绩。
XW
72 4 86 6 80.4 46
加权平均数的计算方法二
n1 X 1 n2 X 2 nK X K Xt n1 n2 nK
n X n
i i
i
例如，小学三年级英语测验，甲班32人平均分72.6， 乙班40人平均分为80.2，丙班36人平均分为75，求全年
总和
50
（1）金氏插补法 当频数分布呈偏态，即众数所在组以上各组频数 总和相差较多时，可以使用金氏插补法。 fa M o Lmo i f a fb
Lmo ——众数所在组的下限 f a ——大于众数所在组上限那个相邻组的频数
f b ——小于众数所在组下限那个相邻组的频数
i ——组距
例如：下表数据
1.加权平均数 应 2.离差、相关计算 用 3.统计推断
1.易受极端值的影响 2.数据模糊不清、缺 不 失时无法计算 足 3.数据不同质时无法 计算。
第四节 加权平均数、几何平均数、调和平均数
一、加权平均数
加权平均数的概念 加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数， 用 X W 或 X t 表示。 加权平均数的应用
（3.4）
n —总频数 n2 —大于中位数所在组上限的频数总和
—中位数所在组的上限
i
f md —中位数所在组的频数
—频数分布表上的组距
以表3-2为例，说明中位数的计算.
表3-2 48个学生数学成绩频数分布表
分数 45-
频数 1
累积频数 1
505560-
2
0 2
3
3 5
6570758085-
3
8 7 7 7
例4 某班50人外语期末考试成绩的次数分布 如下，求全班学生的平均成绩。
表3-1 某班50人外语成绩次数分布表
分数
组中值Xc
频数f
fXc
9085807570-
92
87 82 77 72
3
10 15 8 5
276
870 1230 616 360
656055-
67
62 57
3
4 2
201
248 114
8
16 23 30 37
9095总和
5
6 48
42
48
48 5 Md 80 ( 23) 80.71 2 7
三、百分位数的概念及其计算方法
1. 百分位数的概念
百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百 分位置的数值一般用Pp表示。 如第70百分位数（P70）就是依从小到大排列的一组 数据中小于此数值有70%个频数，大于此数值有30%个 频数的那个数值。 中位数就是第50百分位数。
3、算术平均数的缺点
（1）易受两极端数值的影响； （2）有个别数据模糊不清时，无法计算
算术平均数的适用条件是：一组数据中所有数据都 比较准确、可靠；无两极端数值的影响。
第二节 中位数
一、中位数的概念及适用条件
1. 概念 中位数是位于一组有序数据中间位置的量数。 也称中数，用Md表示。 它是将一组有序数据的个数分为相等两部分的那 个数据，它可能是原始数据中的一个，也可能是 通过计算得到的一个数。
表3-2 48个学生数学成绩频数分布表
分数 45-
频数 1
累积频数 1
505560-
2
0 2
3
3 5
6570758085-
3
8 7 7 7
8
16 23 30 37
9095总和
5
6 48
42
48
第三节 众 数
一、众数的概念（用Mo表示）
1.理论众数：与频率分布曲线最高点相对应的横 坐标上的一点。 2.粗略众数：一组数据中频数出现最多的那个数。
2. 适用条件
(1) 当一组数据有极端值出现时。
(2) 当一组有序数据两端有个别数据模糊不清
或分组资料有不确定组限时。
(3) 当需要快速估计一组数据的代表值时。
二、中位数的计算方法
1. 原始数据计算法 一组数据未分组，先排序，中位数取决于数 据的个数是奇数还是偶数。 当数据的个数为奇数时，则以第（N+1）/2 个位置上的数据作为中位数。当数据的个数为偶 数时，则取居中间的两个数据的平均数为中位数。