九年级(下)第六章 二次函数：第5课时 二次函数的图象和性质(四)
27.2 二次函数的图象与性质(4)(第5课时)
27．2 二次函数的图象与性质（4）(第5课时)一、知识衔接由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数________________(222+=x y )的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数_________________(2)3(2-=x y )的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ 二、实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、．并观察三个图象之间的关系．,把函数y=221x y =的图象沿x 轴向 平移 个单位长度,可得2)1(21-=x y 的图象;再把函数2)1(21-=x y 的图象沿y 轴方向向 平移 个单位长度就可以得到函数2)1(212--=x y 的图象. 即．把抛物线y ＝－12x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得x… -3-2 -10 12 3... 221x y = (2)9 221 021 229 … 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1．三、归纳1. 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中______________________的值；左右平移，只影响__________________________的值，抛物线的____ _________________不变，所以平移时，可根据 ______________的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．2、理一理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x-h)2y ＝a (x －h)2＋k开口方向顶点 对称轴 最值增减性（对称轴右侧）3．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________．例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．四、课堂练习 1．y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（ ）A ．y ＝12(x －2)2＋3B ．y ＝12(x ＋2)2－3C ．y ＝12 (x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值． 7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________． 五、作业：1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．4.已知函数()9232+--=x y 。
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时PPT课件(华师大版)
例 3 [教材补充例题]
2
(1)已知 0≤x≤1,那么函数 y=-2x +8x-6 的
最大值是 ( B )
B.0
A.-6
C.2
D.4
2
(2)函数 y=x +2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是 ( C )
A.4 和-3
B.-3 和-4
C.5 和-4
D.-1 和-4
第5课时
二次函数最值的应用
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第5课时
二次函数
二次函数最值的应用
目标突破
总结反思
第5课时
二次函数最值的应用
目标突破
目标一 能用二次函数模型解决几何图形中的最值
例 1 [教材补充例题] 如图 26-2-4,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12
第5课时
二次函数最值的应用
2
2
则 y=(x-40)[90-3(x-50)]=-3x +360x-9600=-3(x-60) +1200.
∵a=-3<0,∴抛物线开口向下,y 有最大值,最大值为 1200,∴销售该
苹果每天能获得的最大利润是 1200 元.
上面的解答过程正确吗?如果不正确,错在哪里?并写出正确的
cm,BC=24 cm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动(不
与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动(不
与点 C 重合),点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发.
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
第5课时：二次函数的图象与性质(4)
第六章 二次函数 第5课时：二次函数的图象与性质（4）班级 姓名 学号学习目标：1、会用配方法把二次函数c bx ax y ++=2化成k m x a y ++=2)(的形式；2、会用公式法求二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标；3、理解函数c bx ax y ++=2的性质。
问题探索： 知识回顾： 1、填表：2①++x x 42＝(x ＋ )2； ②+-x x 272＝(x － )2； ③++=++22)3(126x x x ； ④+-=+-22)27(137x x x .探索与思考1：函数322++=x x y 的图象是抛物线吗?问题1：用配方法将二次函数4212++-=x x y 化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它的开口方向、对称轴、 顶点坐标.练一练：用配方法把下列二次函数化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标.(1)4822+-=x x y ； (2)xx y 232--=；(3)142+--=x x y ； (4)92312+-=x x y .探索与思考2：二次函数的顶点坐标公式.用配方法把二次函数c bx ax y ++=2化成k m x a y ++=2)(的形式. 问题2：用公式法求下列二次函数的顶点坐标. (1)2122--=x x y ； (2)22134x x y -+=. (3)13432-+=x x y ； (4)x x y 6232--=.探索与思考3：二次函数c bx ax y ++=2的性质.二次函数c bx ax y ++=2的图象是 ，它的顶点坐标是( ， )， 对称轴是 的直线(当0=b 时， 对称轴是 ). (1)若0>a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 . 当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 . (2)若0<a ，开口向 ,当=x 时，函数c bx ax y ++=2有最 值 . 当<x 时,y 随x 的增大而 ; 当>x 时,y 随x 的增大而 . 练一练：填表：问题3：已知二次函数21222-++-=m x x y 。
九年级数学下册27.2二次函数的图象与性质2.5二次函数y=ax2bxc的图象与性质第5课时课件华东师大版
2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，
如图，以水平地面为x轴，出水点为原
点，建立平面直角坐标系，水在空中
划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：
米)的一部分，则水喷出的最大高米 (D)1米
【解析】选A.直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最
大高度为 4ac b2 4 (1) 0 42 4.
2.实际问题中确定最值 【问题】某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80 元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品 每月的销售量就减少10件. (1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函 数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为 多少？
图象过点(10，300)，(12，240)，
即可得
10k 12k
b b
解30得0，
240，
……kb …60…300，，……………2分
∴y=-30x+600.………………………………………………3分
当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，
即点(14，180)，(16，120)均在函数y=-30x+600的图象上，
第5课时
1.求二次函数最值的方法 (1)配方法：y=ax2+bx+c化为y=a_(_x_-_h_)_2_+_k_的形式，当自变量x=_h_ 时，函数y最大(小)=_k_.如二次函数y=3x2+6x+4可化为 y=3_(_x_+_1_)_2+_1_，因为a=3_>_0，所以函数y有最_小__值，所以当 x=_-_1_时，y的最_小__值为_1_.
4.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，点P从点A 开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以 1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的 面积最大时，运动时间t为_____ s．
北师大版九年级数学下册课件：二次函数的图像与性质
例１５.若二次函数y=ax2＋bx＋c 的x与y的部分对应值如下表，则当ｘ＝１时，y的值为
例１６.已知二次函数 ，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，下列说法错误的是（ ）
例１７.已知抛物线 经过点 和（－ａ， y1 ），则y1的值是_________．
C
分析：用数形结合的思想解决问题．视察图象，在 y 轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，所以 y3＜y2＜y1.
也可以用特殊值法计算得到答案．
３.１． y=x2 ＋１与y=-x2 －１的图像与性质
１．向上向下平移２. 顶点坐标（０,１），（０.－１）
３.２． y=ａx2 ＋ｃ与y=-x2 ＋ｃ的图像与性质
A．
例12．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：① ；② ；③ ；④ ， 则的大小关系为
13．如图，抛物线 的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），ａ－ｂ＋ｃ的值为————
例１４.如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
例１８.将抛物线 的解析式向上平移3个单位长度，在向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是 ．
例１９.如果二次函数y=（-2k+4）x2-3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是________
k＜2
例２０.已知函数y=（k﹣2）xk²﹣4k+5+2x是关于x的二次函数．求：（1）满足条件的k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？
Ｋ＝１或ｋ＝３
例２１.已知抛物线y= +mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
二次函数的图象与性质(第5课时)PPT课件
A. (5，0)
B. (0，5) C. (0，3) D. (3，0)
4、对于抛物线y=-2x2+4x+1，下列说法正确的是（ C ）
A. y最大值=1 B. y最小值=1 C. y最大值=3 D. y最小值=3
5. 画二次函数y=x2-2x-1的图象.
配方：y=(x-1)2-2 对称轴：x=1， 顶点坐标：(1，-2)
动脑筋 画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
配方：y
= =
-
2 2
x2 +
x-
6
3 2
x-1 =
2
+2×
- 2( x2 - 3 x)-1=
94-1
=
-2
x- 32
-
2
x2
2
+72
.
-
3
x
+
-
3 2
2
-
-
3 2
2
-1
对称轴是直线 x =
3 2
，顶点坐标是
3 2
,
7
A. y=-(x-1)2-3
B. y=-(x+1)2-3
C. y=-(x-1)2+3
D. y=-(x+1)2+3
2、抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（ A ）
A. (0，2) B. (1，0) C. (0，-3) D. (0，0)
3、把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的顶点
坐标为（ B ）
这个最大值等于顶点的纵坐标
7 2
.
从二次函数
y
=
1( 2
x
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第5课时)》示范教学设计
二次函数的图象和性质（第5课时）教学目标1．针对具体的系数取值，能画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象，并能指出如何由y ＝ax 2的图象平移得到．2．能根据表达式说出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3．通过自主画图探索活动，增进学生对抛物线自身特点的认知与对二次函数图象和性质的理解，体会数形结合思想的应用．教学重点抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系．教学难点理解a ，h ，k 三个字母系数对二次函数图象的影响．教学过程知识回顾二次函数y ＝a (x －h )²(a ≠0)的性质：【设计意图】通过复习已经学过的二次函数y ＝a (x －h )²(a ≠0)的性质的知识，为引出新课“二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象和性质”作铺垫．新知探究一、探究新知【问题】在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x =-，()2122y x =--，()21212y x =--+的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图回答问题． 学生作图：先列表（略），然后描点，再分别画出它们的图象．根据所画图象，学生回答：教师提问：结合所画图象，观察三个二次函数的顶点坐标和对称轴有什么关系？ 学生观察图象，思考并回答，教师总结．教师追问：三个二次函数图象之间的位置有什么关系？教师提示：可以类比前面研究“抛物线y ＝ax 2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系”的方法来思考问题．学生根据提示，分小组讨论，并作答．抛物线212y x =-向右平移2个单位长度，就得到抛物线()2122y x =--．抛物线()2122y x =--向上平移1个单位长度，就得到抛物线()21212y x =--+．教师总结：它们的图象只有位置不同．【设计意图】巩固学生对描点法画函数图象的认识，为进一步探究抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的位置关系作铺垫．二、典例精讲【例1】画出函数()21112y x =-+-的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．怎样移动抛物线212y x =-可以得到抛物线()21112y x =-+-？【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并作图回答问题． 学生作图：先列表（略），然后描点，画出它的图象．根据所画图象，学生回答：抛物线()21112y x =-+-的开口向下，对称轴是x ＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．教师提问：抛物线212y x =-和抛物线()21112y x =-+-有什么关系？学生分小组讨论，尝试利用函数平移知识作答，教师总结．【归纳】一般地，抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定．【新知】抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的特点：（1）当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下． （2）对称轴是x ＝h ． （3）顶点坐标是(h ，k )．（4）如果a ＞0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小． 【例2】要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，高度为3 m ，水柱落地处离池中心3 m ，水管应多长？【师生活动】教师提出问题，学生分小组讨论，并派学生代表回答．【答案】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．点(1，3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 y ＝a (x －1)2＋3(0≤x ≤3)．由这段抛物线经过点(3，0)，可得0＝a (3－1)2＋3，解得34a =-．因此()23134y x =--+(0≤x ≤3)． 当x ＝0时，y ＝2.25，也就是说，水管长2.25 m ．【设计意图】通过例1和例2的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．课堂小结板书设计一、二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象与性质二、抛物线y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)与抛物线y ＝ax ²(a ≠0)的位置关系课后任务完成教材第37页练习．。
华东师大版九年级下册：二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质1.理解二次函数的有关概念．2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b 、c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑴ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．教学目标学习内容知识梳理3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑴ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减自变量，上加下减常数项”．方法二：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（1）c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）（2）c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑴ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑴ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑴ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑴ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：⑴ 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.⑴ 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ⑴ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑴ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑴ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑴ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑴ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数； 下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少【二次函数的定义】例1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是( C )A ．13-=x yB ．c bx ax y ++=2C ．1222+-=t t sD ．xx y 12+= 例2．下列说法中，正确的是( B )A ．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B ．在圆的面积公式2r s π=中，s 是r 的二次函数 C ．y ＝21(x －1)(x ＋4)不是二次函数 D ．在221x y -=中，一次项系数为1例3．若23)3(2+-+=x x a y 是二次函数，则a 的取值范围是___________．a≠－3例4．已知二次函数2231x x y +-=，则二次项系数a ＝___2___，一次项系数b ＝___-3____，常数项c ＝___1__． 例5．已知两个变量x ，y 之间的关系式为3)2()2(2-++-=x b x a y . (1)当________时，x ，y 之间是二次函数关系； a≠2(2)当_________________时，x ，y 之间是一次函数关系． a ＝2且b≠－2例6．菱形的两条对角线的和为26 cm ，则菱形的面积S(cm 2)与一条对角线的长x (cm)之间的函数关系式为____ S ＝－12x 2＋13x ___________，自变量x 的取值范围是____ 0＜x ＜26 ______________．例7．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm.设底面的宽为x ，抽屉的体积为y 时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(材质及其厚度等暂忽略不计)解：y ＝20x (90－x )＝－20x 2＋1800x ，0＜x ＜90例8．某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小例题讲解商品的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数关系式，并注明x 的取值范围．解：降低x 元后，所销售的件数是(500＋100x )，则y ＝(13.5－2.5－x )(500＋100x )，即y ＝－100x 2＋600x ＋5500(0＜x≤11)【二次函数2ax y =的图象与性质】例1．已知二次函数2x y =，则其图象经过下列点中的( A ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4) C ．(2，－4) D ．(4，2)例2．经过测试，某种汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时的速度v (千米/时)满足关系式s ＝21001v ，则下列表示s 与v 关系的图象为( C )例3．对于函数26x y =，下列说法正确的是( B )A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小C ．y 随x 的增大而减小D ．y 随x 的增大而增大 例4．下列对抛物线22x y -=的说法中，错误的是( D ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 D ．有最低点例5．已知点(－1，1y )，(2，2y )，(－3，3y )都在函数2x y =的图象上，则( A ) A.1y ＜2y ＜3y B ．1y ＜3y ＜2y C ．3y ＜2y ＜1y D ．2y ＜1y ＜3y例6．二次函数22x y =和221x y =，以下说法：⑴它们的图象都是开口向上；⑴它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点(0，0)；⑴当x ＞0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；⑴它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例7．函数xay =与函数2ax y =(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )例8．已知二次函数2)2(x m y -=的图象开口向下，则m 的取值范围是___________．m <2 【二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质】例1．将二次函数122-=x y 的图象沿y 轴向上平移2个单位，则所得图象对应的函数关系式为____________．Y=2x 2+1 例2．对于二次函数23212+=x y ，下列说法不正确的是( B ) A ．其图象的顶点坐标是(0，32) B ．其最大值是32C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．其图象的对称轴是y 轴 例3．抛物线26x y -=可以看作是由抛物线562+-=x y 按下列何种变换得到( B ) A ．向上平移5个单位 B ．向下平移5个单位 C ．向左平移5个单位 D ．向右平移5个单位例4．已知k ax y +=2的图象上有三点A(－3，1y )，B(1，2y )，C(2，3y )，且y 2＜y 3＜y 1，则a 的取值范围是( A )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ≤0例5．若二次函数c ax y +=2，当x 取1x ，2x (1x ≠2x )时，函数值相等，则当x 取1x ＋2x 时，函数值为( D ) A ．a ＋c B ．a －c C ．－c D ．c 【二次函数2)(h x a y -=的图象与性质】例1．如果二次函数2)23(+=x a y 有最大值，那么a __<___0，当x ＝__－32___时，函数的最大值是_0____． 例2．将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的表达式是( A ) A ．2)2(+-=x y B ．22+-=x yC ．2)2(--=x y D ．22--=x y 例3．关于二次函数2)4(2+-=x y ，下列说法中正确的是( D )A ．图象开口向上B ．图象的对称轴是直线x ＝4C ．图象的顶点坐标是(0，4)D ．当x ＞－4时，y 随x 的增大而减小 例4．在平面直角坐标系中，二次函数2)(h x a y -=(a ≠0)的图象可能是( D )例5．在同一直角坐标系中，一次函数c ax y +=和二次函数2)(c x a y +=的图象大致为( B )例6．二次函数2)1(7-=x y 的最小值是( C )A ．－1B ．1C ．0D ．没有最小值例7．平行于x 轴的直线与抛物线2)2(-=x a y 的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( C ) A ．(1，2) B ．(1，－2) C ．(5，2) D ．(－1，4) 【二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质】 例1．二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( A )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 例2．抛物线1)2(2++=x y 的顶点坐标是( A ) A ．(－2，1) B ．(－2，－1) C ．(2，1) D ．(2，－1) 例3．抛物线3)1(2--=x y 的对称轴是( C )A ．y 轴B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－3例4．在函数3)1(2++=x y 中，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是( A )A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．x ＜－1D ．x ＜3例5．若抛物线)1()(2++-=m m x y 的顶点在第一象限，则m 的取值范围为( B )A ．m ＞1B ．m ＞0C ．m ＞－1D ．－1＜m ＜0例6．已知二次函数1)2(32+-=x y ，下列说法：⑴其图象的开口向下；⑴其图象的对称轴为直线x ＝－2；⑴其图象顶点坐标为(2，－1)；⑴当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．其中说法正确的是( A )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例7．已知A(－2，1y )，B(1，2y )，C(2，3y )是抛物线a x y ++-=2)1(上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为( A )A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＞3y ＞2yC ．3y ＞2y ＞1yD ．3y ＞1y ＞2y例8．把二次函数22x y =的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为___________________．y ＝2(x ＋1)2－2例9．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值为－1，则a 与b 之间的大小关系为_______．a ＞b 例10．把二次函数k h x a y +-=2)(的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象． (1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数k h x a y +-=2)(的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：(1)原二次函数表达式为y ＝12(x ＋1－2)2－1－4，即y ＝12(x －1)2－5，⑴a ＝12，h ＝1，k ＝－5 (2)它的开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－5)【二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质】例1．将二次函数322+-=x x y 化为k h x y +-=2)(的形式，结果为( D )A ．4)1(2++=x yB ．2)1(2++=x yC ．4)1(2+-=x yD ．2)1(2--=x y例2．要将抛物线322++=x x y 平移后得到抛物线2x y =，下列平移方法正确的是( D )A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位例3．在同一平面直角坐标系中，函数bx ax y +=2与a bx y +=的图象可能是( C )例4．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式为532+-=x x y ，则( A )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝21例5．已知二次函数2157212+--=x x y .若自变量x 分别取1x ，2x ，3x ，且0＜1x ＜2x ＜3x ，则对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是( A )A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＜2y ＜3yC ．2y ＞3y ＞1yD ．2y ＜3y ＜1y【二次函数的最大(小)值】例1．二次函数86232++-=x x y ，当x ＝__2__时，函数y 有最__大__值为__14____．例2．已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有( B )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值2D ．最大值2例3．用20 cm 的细铁丝围矩形，则所围成的矩形的最大面积是( D )A ．20 cm 2B ．15 cm 2C ．28 cm 2D ．25 cm 2例4．已知0≤x ≤12，那么函数6822-+-=x x y 的最大值是( C ) A ．－10.5 B ．2 C ．－2.5 D ．－6例5．一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足函数关系式6)1(52+--=t h ，则小球距离地面的最大高度是( C )A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米例6．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S(cm 2)随其中一条对角线的长x (cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式；(不要求写出自变量x 的取值范围)(2)当x 是多少时，菱形风筝的面积S 最大？最大面积是多少？解：(1)S ＝－12x 2＋30x (2)当x 为30 cm 时，菱形风筝面积最大，最大面积为450 cm 2一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( A )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ C ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =--3. 函数2y kx k =-和(0)k y k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( A )4. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ⑴b a ,同号;⑴当1x =和3x =时,函数值相等;⑴40a b +=⑴当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( B )A.1个B.2个C. 3个D. 4个综合题库5. 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ D ）A. -1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 方程222x x x -=的正根的个数为（ C ） A.0个 B.1个 C.2个. D.3 个8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为( C )A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++ 二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
22.1 二次函数的图象和性质(第5课时)
这节课你有什么收获？
九、作业： 教科书习题22.1第6题，第7题（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
十、课后反思
课题
22.1二次函数的图象和性质（第5课时）
课时
1
主备人:张红亮
一、教材内容分析
本节课是在讨论了二次函数 的图象和性质的基础上对二次函数y = ax 2+bx+c的图象和性质
进行研究．主要的研究方法是通过配方将y=ax 2+bx+c向 转化，体会知识之间内在联系．在
具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a＞0和a＜0的情况，再从特殊到一般，得出y=ax 2+bx+c
的图象和性质．
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
四、教学重点
五、教学难点
六、教学方法
自主、合作、探究
七、教具
多媒体
八、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
激情导入
展示目标
明确学习目标
自主学习
问题1
如何研究二次函数 的图象和性质？
你能画出 的图象吗？
如何直接画出 的图象？
观察图象，二次函数 的性质是什么？
小组合作
你能用前面的方法讨论二次函数y = -2x 2 - 4x +1的
图象和性质吗？
你能说说二次函数y = ax 2 + bx + c的图象和性质吗？
达标测评
2）二次函数y = -2x 2 + 4x -1，
当x _____时，y随x的增大而增大，
当x ______时，y随x的增大而减小．
人教版 九年级数学讲义 二次函数的图像与性质(含解析)
第5讲二次函数的图象与性质知识定位讲解用时：2分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。
希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。
知识梳理讲解用时：25分钟二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。
x…-223--112-0121232…2y x= (4)491140141494…（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442-|个单位得到的。
12341234xyxyOO1212----图1图2向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位课堂精讲精练【例题1】抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析式是___________________。
【答案】218232y x x =++【解析】本题考查了二次函数平移规则，根据二次函数的平移法则，“上加下减，左加右减”，可知平移后的函数解析式为()21892y x =+-，整理即为218232y x x =++讲解用时：2分钟解题思路：牢记平移法则即可。
湘教版九年级数学下册第5课时 二次函数的图象与性质
2
＝－（x－1）2＋3
1
对称轴是直线 x = －1，顶点坐标是（1,3）
–2 –1 O 1 2 3 4 x
–1
–2
–3
–4
y = ax2 + bx + c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
这个最大值是多少？
1 2 3 4 5 6x
一般地， 有下述结论： 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c， 当 x 等于顶点的横 坐标时， 达到最大值（a ＜ 0 ）或最小值（a ＞ 0 ）， 这个最大（小）值等于顶点的纵坐标．
y 1 x2 2x 1
2
y 1 x2 2x 1
2
1 x2 4x + 22 22 1 2
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。 ►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
二次函数的图象和性质-经典教学教辅文档
二次函数的图象和性质第5课时(教案）教学目标：1.使先生掌握用配方法把数字系数的二次函数c=2化成+axbxy+ 2=-的方式，能确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐y a x h k()+标；能画出二次函数普通式的图象，结合图象进一步说出二次函数的性质；能理解二次函数的顶点坐标公式的推导过程，了解二次函数的顶点坐标公式.2.经过经历把二次函数c=2化成2+bxy+ax=-的方式，领()+y a x h k会它们之间的联系和转化思想，进一步熟习用配方法解决数学成绩；经过图象了解二次函数的性质，领会数形结合的思想；经过具体的例子进行探求，在由特殊到普通归纳规律，领会从特殊到普通的认识事物的过程.3.经过小组的合作交流，培养先生的合作认识.重点成绩：用配方法把数字系数的二次函数c+=2化成2axy+bxy a x h k=-的()+方式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；画出二次函数普通式的图象，结合图象进一步说出二次函数的性质.难点成绩：能理解二次函数的顶点坐标公式的推导过程，了解二次函数的顶点坐标公式.教学预备：教案、课件.教学方法：小组互助学习，启发式说话法.教学过程：一、复习回顾1.知识回忆：（1）抛物线2()+y a x h k =-的对称轴是_________，顶点坐标是___________，当0a >时，开口________，当0a <时，开口________.（2）2212____(6)x x x -+=-（3）画函数图象的普通步骤是怎样的？2.知识小测：（1）抛物线()2231y x =-+-的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；开口方向是__________；当x = 时y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.（由课件出示以上成绩，先生先自主解决，然后小组彼此讨论解决情况，教师巡查了解各组的议论情况.讨论终了后容易的成绩不再讲解，疑问成绩集体解决，由能解决的先生进行讲解.） 二、提出成绩 你能画出函数216212+-=x x y 的图象，并说出它的性质吗？（由此成绩引入本节课的新知学习，在接下去的过程中逐渐解决.）三、成绩探求1.讨论并写出216212+-=x x y 的配方的过程. 配方的过程： 方法一：216212+-=x x y )4212(212+-=x x 21(12363642)2x x =-+-+ 21(6)62x =[-+]21(6)32x =-+ 方法二：216212+-=x x y 21(12)212x x =-+21(123636)212x x =-+-+ 21(6)362x =[--]+2121(6)182x =--+2121(6)2x =-+3 （配方的过程是本节学习的重点，也是本节学习的关键，必然要留足充分的工夫让先生考虑讨论并书写.先生的书写过程可能两种方式，鼓励先生选择合适本人思想习气的方法.讨论终了后找几个有代表性的先生投影本人的书写，并讲解每一步的根据.我预备找这样的4个同学进行投影，一个是用方法一书写的，一个是用方法二书写的，一个是遗忘用中括号的或在去中括号时遗忘用括号外的21去乘括号内的常数的，从而导致结果错误，一个是丢掉系数21的，从而导致错误的.若没有以上典型的4种情况，教师及时进行补充阐明，出示相关过程由先生进行诊断能否正确，并阐明缘由.若先生出现预料之外的错误情况，及时关注并解决.） 变式练习1：写出216212y x x =--+的配方的过程.变式练习2：写出222412y x x =-+的配方的过程.变式练习3：写出2162y x x =--的配方的过程.(先生完成后，拔取代表投影，变式练习2中，先生在提取21-时可能发生遗忘各项要变号的错误，教师及时关注先生的解答情况，发现成绩及时纠正.）2.归纳总结：配方的普通步骤： 有哪些 留意事项？数学方法？数学思想？（一“提”，提取二次项系数，把二次项系数化为1；二“配”，在括号内配出完全平方式；三“化”，化成顶点式.）(小组讨论，然后发言，总结归纳，达成共识.）（板书配方的步骤）3.抛物线3)6(212+-=x y 的顶点坐标是_________，对称轴是_________.4.由函数221x y =怎样平移得到3)6(212+-=x y ？ 5画出函数216212+-=x x y 的图象，你有几种方法？(方法一：平移法；方法二：描点法.）（板书图象的画法）（先生讨论，解决成绩，先生完成后找两个有代表性的先生进行投影，一个是用方法一的，一个是用方法二的，然后集体点评.教师要根据先生的具体解答情况进行调控，补充阐明.）6.抛物线216212+-=x x y 的顶点坐标是_________，对称轴是________，开口方向是_________；当x =________时，y 有最_______值是______；当x ______时，y 随x 的增大而增大，当x ______时，y 随x 的增大而减小.7.用上面的方法讨论二次函数1422+--=x x y 的图象和性质. (先生尝试自主解决，有困难的先生小组进行帮扶.）8.对于任意一个二次函数c bx ax y ++=2，如何进行配方？试着写一写配方的过程.（各组的组长组织讨论，然后由组长负责写出过程，组员能理解过程即可）.（板书配方的过程）9..抛物线的c bx ax y ++=2对称轴是___________，顶点是___________.（板书对称轴及顶点公式）当0>a 时，开口______，当x ______时，y 随x 的增大而增大，当x ________时，y 随x 的增大而减小；当0<a 时，开口________，当x ______时，y 随x 的增大而增大，当x ________时，y 随x 的增大而减小. 四、课堂练习1.判断以下过程能否正确，并阐明理由：（1）21322y x x =-+21(6994)2x x =-+-+21(695)2x x =-+-21(3)2x =[--5]21(3)52x =--； （2）21322y x x =--+21(64)2x x =--+21(6994)2x x =--+-+21(695)2x x =--+-21(3)2x =-[--5]215(3)22x =--+；（3）2282y x x =++241x x =++24441x x =++-+2443x x =++-2(2)x =+-3.21(64)2x x =-+ 2.用配方法把以下二次函数化成顶点式：（1）22y x x =--；（2）21432y x x =-+.3. 抛物线2288y x x =--+配方的结果是_________，顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口方向__________，当=x ________时y 有最_______值是_________；当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小.4.抛物线236y x x =+的开口方向__________，顶点坐标是_________，对称轴是_________，当=x ________时y 有最_______值是_________；当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小.5.抛物线12212-+=x x y 配方的结果是_________，在右侧坐标系中画出它的图象.6.抛物线23123y x x =-+-配方的结果是_________，它可由抛物线23y x =-向________平移_______个单位长度，再向________平移_______个单位长度得到.7.抛物线224y x x =-+-中，开口方向__________，=-a b 2_______，a b ac 442-=____________，它的顶点坐标是_________，对称轴是_________.五、课堂小结对本节课你有甚么感悟？可以从知识点、数学思想、数学方法、学习方法、留意事项、其它等方面谈一下本人的想法.。
北师版九年级(下)二次函数的图像及性质
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线 y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口方向 对称轴
开口向上 开口向上
y x 12 4 1 0 1 4 9 16Leabharlann 引入在同一坐标系中画出：
y x2、y (x 2)2、y (x 1)2的图象
演示
y (x 1)2
y x2
y (x 2)2
x 1
x2
演示b
y (x 1)2
y x2
y (x 2)2
x 1
x2
填表:
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
对称轴x=1
(2)函数y=3(x-1)2图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2
与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
y 3x2
y 3x 12
图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向 上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下平移 11个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
二次函数的图像及性质
上一节我们从探索y=3x²的图像出发，研究了y=ax²及 y=ax²+c的图像和性质 问题1 函数y=ax²+c和函数y=ax²的图像有什么联系？
部编湘教版九年级数学下册优质课件 第5课时 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数
的y图象a与x性2 质bx c
湘教版 九年级下册
新课导入
如何画二次函数 y 2x2 的6图x 象1
把 2x2 配6x方成1
2(x d )2 h
我们会画 的图象。
y 2(x d )2 h
典例赏析
画二次函数y 2x2 6x 1的图象.
2
小？这个最小值等于多少？
一般地，有下述结论：
二次函数 y ax 2 当 bxx等于c
4
顶点的横坐标时，达到最大
值（当a<0）或最小值（当
a>0），这个最大（小）值等 －4
－2
2
2
4
于顶点的纵坐标.
－2
－4
求函数
y
1 2
x2
2x
的1最大值
解 配方： y 1 x2 2x 1
2
1 x2 4x 22 22 1 2
2
4x
4
3 2
4
2 x 22 5
∴ 顶点坐标为（－2，5）
3.求下列各个二次函数的最大值或最小值．
1 y x2 3x 2
解： 配方得
y
x2
3x
2
x
3 2
2
1 4
x 3 0 有最小值为 1
2
4
2 y 2x2 8x 3
配方得 y 2x2 8x 3 2 x 22 5
1 x 22 1 4 1
2
2
1 x 22 1
2
顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.
一般地，对于二次函数
y ax2 bx c
配方： y ax2 bx c
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5课时二次函数的图象和性质（四）（附答案）
1．(1)抛物线y＝2(x＋2)2、y＝2x2－3与y＝2(x＋1)2的___________________________相同，____________________________不同；
(2)将抛物线y＝2x2沿x轴向_______平移_______个单位长度，再沿y轴向_______平移
_______个单位长度，就可以得到抛物线y＝2(x＋2)2－3．
2．已知抛物线y＝3(x＋1)2＋7，当x＝_______时，y有最小值，为_______．
3．已知抛物线y＝－(x－5)2＋2，当x_______时，y随x的增大而减小．
4．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，则该图象在y轴右侧的部分与x轴交点的坐标是 ( )
A．（1
2
，0）
B．(1，0)
C．(2，0)
D．(3，0)
5．在同一平面直角坐标系中，画出下面函数的图象，并标出它们的顶点坐标和对称轴． (1)y＝(x＋3)2－1； (2)y＝－(x－4)2＋3．
6．将二次函数y＝2(x－1)2＋3的图象先沿y轴向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，那么平移后的二次函数图象的顶点坐标是_______．
7．已知二次函数y＝a(x－h)2＋3，当x>2时，y随x的增大而减小；当x<2时，y随x，的增大而增大，则a_______0，h＝_______．
8．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，4)，则此抛物线对应的函数关系式为_____．9．（2011．无锡）下列二次函数中，以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
10．（2010．荆州）若把函数y＝x的图象用E(x，x)记，函数y＝2x＋1的图象用E(x，2x ＋1)记，则要得到E(x，x2－2x＋1)，可以由E(x，x2) ( )
A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
11．（2011．广安）若二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ( )
A．m＝1 B．m>1 C．m≥1 D．m≤1
12．已知抛物线y1＝a(x－h)2＋k与y2＝(x＋3)2－4的开口方向和形状都相同，且y1的最低点的坐标是（－2，－1）．
(1)求y1对应的函数关系式．
(2)试说明抛物线y1是由抛物线y2经过怎样的平移得到的．
(3)求抛物线y1与x轴的两个交点的坐标．
13．（2011．南通）已知A(1，0)、B(0，－1)、C（－1，2）、D（2，－1）、E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其中的三个点．
(1)试说明C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．
参考答案
1．(1)开口方向和形状顶点和对称轴 (2)左 2 下 3 2．－1 7 3．>5 4．B 5．图略(1)顶点坐标为（－3，－1），对称轴为直线x＝－3 (2)顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x＝4
6．（－3，6）7．< 2 8．y＝x2－2x＋5 9． C 10．D 11． C 12． (1) y1＝(x＋2)2－1 (2)将抛物线y2先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线y1(3)抛物线y1与x轴的两个交点分别为(－1，0)、（－3，0） 13．(1)略(2)不可
能(3)
3
8
11
8 a
k
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩。