互斥事件
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典型例题一
例1 今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率．
分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型．现在我们把上述三种类型依次记为事件321A A A 、、，可以看出321A A A 、、两两互斥，记“至
少有两封信与信封标号配对”为事件A ，事件A 发生相当于321A A A 、、有一个发生，所以用公式)()()()(321A P A P A P A P ++=可以计算)(A P . 解：设至少有两封信配对为事件A ，恰好有两封信配对为事件1A ，恰有3封信配对为事件2A ，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件
3A ，则事件A 等于事件321A A A ++，且321A A A 、、事件为两两互斥事件，
所以)()()()(321A P A P A P A P ++=．
5封信放入5个不同信封的所有放法种数为55A ，
其中正好有2封信配对的不同结果总数为.225⨯C
正好有3封信配对的不同结果总数为.35C
正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1， 而且出现各种结果的可能性相同，
.12031)()()()( ,120
1)(,12
1)(,61)2()( 32135535255251=
++=∴==÷==
÷⨯=∴A p A P A P A P A P A C A P A C A P 说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便．现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为“3封信配对或4封信（即5封）配对”，得到其结果的概率为120
109)1(1555535=÷+÷A A C ，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法．
典型例题七
例7 射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为24.0，28.0，19.0，16.0，13.0．计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不足8环的概率．
分析：“射中10环”，“射中9环”，…“射中7环以下”是彼此互
斥事件，可运用“事件的和”的概率公式求解．
解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则
(1)52
P
+B
A
+
=
A
P，
=
B
P
+
.0
.0
28
.0
)
24
)
(
(=
)
(
所以射中10环或9环的概率为52
.0．
(2) )
+
P+
+
(D
A
C
B
P
B
A
+
=
+
C
P+
P
)
P
)
(
(
)
)
(D
(
.0=
24
+
=，
+
.0
+
.0
87
16
.0
.0
19
28
所以至少射中7环的概率为87
.0．
(3) 29
+E
P
+
=
=
P，
+
D
E
P
D
(
16
.0
13
.0
(=
.0
)
)
(
)
所以射中环数不足8环的概率为29
.0．
说明：公式)
A
B
=
+只有在A、B两事件互斥时才使用，
(
P
P+
)
(
)
(B
P
A
如果A、B两事件不互斥，就不能应用这一公式，一定要注意B
P
A
A
=
P+
+这一公式应用的前提是A、B两个事件互斥．(
(
)
)
)
(B
P
典型例题三
例3有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？
分析：与倒2中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出．处理上，例2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式．取出两个同色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球．