高一向量同步练习1(概念)

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高一向量练习题

高一向量练习题高一向量练习题在高中数学中，向量是一个重要的概念。

它不仅在代数和几何中有着广泛的应用，而且在物理学等其他学科中也扮演着重要的角色。

因此，对于高中生来说，掌握向量的基本概念和运算规则是至关重要的。

在高一的数学学习中，向量通常是一个重要的章节。

老师经常会布置一些向量的练习题，以帮助学生巩固所学的知识。

下面，我将给大家介绍一些高一向量练习题，并提供详细的解答过程。

第一题：已知向量a = (3, 4)和向量b = (-2, 1)，求向量a + b的模长。

解答：向量的模长可以通过勾股定理求得。

向量a + b = (3 + (-2), 4 + 1) = (1, 5)。

根据勾股定理，向量a + b的模长为√(1^2 + 5^2) = √26。

第二题：已知向量a = (2, -3)和向量b = (4, 1)，求向量a与向量b的数量积。

解答：向量的数量积可以通过向量的坐标分量相乘再相加得到。

向量a与向量b的数量积为2 * 4 + (-3) * 1 = 8 + (-3) = 5。

第三题：已知向量a = (2, -3)和向量b = (4, 1)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。

解答：向量的夹角的余弦值可以通过向量的数量积和模长的关系求得。

已知向量a与向量b的数量积为5，向量a的模长为√(2^2 + (-3)^2) = √13，向量b的模长为√(4^2 + 1^2) = √17。

则夹角的余弦值为5 / (√13 * √17)。

第四题：已知向量a = (2, -3)和向量b = (4, 1)，求向量a与向量b的夹角的度数。

解答：已知向量a与向量b的夹角的余弦值为5 / (√13 * √17)。

通过反余弦函数可以求得夹角的度数。

夹角的度数为arccos(5 / (√13 * √17))。

通过以上四道题目，我们可以看到高一向量练习题的题目形式多样，涉及到向量的模长、数量积以及夹角的计算。

这些题目不仅能够帮助学生巩固向量的基本概念和运算规则，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

高一数学平面向量的概念试题答案及解析

高一数学平面向量的概念试题答案及解析1.已知向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，则向量表示（）A．向东南航行km B．向东南航行2kmC．向东北航行km D．向东北航行2km【答案】A【解析】根据题意由于向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，那么可知向量表示向东南航行km ，故选A.【考点】向量的物理意义点评：主要是考查了向量的物理意义的运用，属于基础题。

2.在平行四边形ABCD中, + +等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图形，+ += + += ，故选A。

【考点】本题主要考查平面向量的线性运算。

点评：简单题，在平行四边形中，由平行四边形法则。

注意相等向量及相反向量。

3.已知点，向量，且，则点的坐标为。

【答案】【解析】设点的坐标为（x,y）,则由得，（x-2,y-4）=2(3,4),所以x-2=6,y-4=8，所以x=8,y=12，即点的坐标为。

【考点】本题主要考查平面向量的概念及其坐标运算。

点评：简单题，注意若A（a,b）,B(c,d),则。

4.作用于原点的两个力F1 ="(1,1)" ,F2 ="(2,3)" ,为使得它们平衡，需加力F3=【答案】(-3,-4)【解析】F3=-(F1+F2)=-(3,4)=(-3,-4).5.下列判断正确的是 ( )A．若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；B．单位向量都相等；C．共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D．模为0的向量的方向是不确定的。

【答案】D【解析】解：因为A.若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点共线；可能构成四边形。

B.单位向量都相等；方向不一样。

C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。

D.模为0的向量的方向是不确定的，成立6.下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B．模相等的两个平行向量是相等向量.C．若和都是单位向量,则.D．两个相等向量的模相等.【答案】D【解析】根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．解：对于（1），相等向量只需要模相同，方向相同，所以（1）错；对于（2）模相等的平行向量有可能方向相反，所以（2）错；对于（3），都是单位向量，向量的模不一定相同，所以两个向量不一定相等，所以（3）错；对于（4），相等向量是模相同，方向相同的向量，所以（4）对．故选C7.给出下列命题：①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则。

向量概念和练习1

高一数学平面向量姓名班级一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

7．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，的夹角。

当θ＝0时，a ，b ，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π时，a ，b 。

【例1】下列命题中正确的是：（1）若a b =，则a b = （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同（3）若//,//a b b c ，则//a c （4）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形（5）若,a b b c ==，则a c = （6）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

人教B版高中数学必修四高一同步训练：2.1.1向量的概念

第二章平面向量
§2.1 向量的线性运算
2．1.1 向量的概念
一、基础过关
1．下列条件中能得到a ＝b 的是
( )
A ．|a |＝|b |
B ．a 与b 的方向相同
C ．a ＝0，b 为任意向量
D ．a ＝0且b ＝0 2．下列说法正确的是
( )
A ．方向相同的向量叫相等向量
B ．零向量是没有方向的向量
C ．共线向量不一定相等
D ．平行向量方向相同
3．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”
( )
A ．总成立
B ．当a ≠0时成立
C ．当b ≠0时成立
D ．当c ≠0时成立 4．下列各命题中，正确的命题为
( )
A ．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B ．模为0的向量与任一向量平行
C ．向量就是有向线段
D ．|a |＝|b |⇒a ＝b 5．下列说法正确的是
( )
A ．向量A
B →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →
所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量长度等于0
D ．共线向量是在一条直线上的向量
6．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a
与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号) 7．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →
|，则四边形的形状为________．。

人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练

人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量考点二空间向量的线性运算空间向加法a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB→量的线性运算减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →；当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c)＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .考点三共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．考点四共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .【题型归纳】题型一：空间向量的有关概念1．给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11=AC AC ；③a b =是向量a b =的必要不充分条件；④若空间向量,,m n p 满足,∥∥m n n p ，则∥m p ．其中正确的命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．02．给出下列命题①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >；④零向量没有方向；⑤对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+．其中正确命题的序号为（）A ．①②③B ．⑤C ．④⑤D ．①⑤3．下列关于空间向量的说法中正确的是（）A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行B ．若||||a b =，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB ，CD 满足AB CD >，则AB CD >D ．相等向量其方向必相同题型二：空间向量的线性运算（加减法）4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是面对角线1A B 与11B D 的中点，若DA a =，DC b =，1DD c =，则MN =（）A ．()12c b a +-B ．()12a b c +-C ．()12a c -D ．()12c a -5．空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅=（）A ．12B ．1C ．2D ．226．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN 等于（）A ．12a -2132b c+B ．-211322a b c++C ．12a 12b +-23cD ．2233a b +-12c题型三：空间两个向量共线的有关问题7．已知空间向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）.A ．A ､B ､DB ．A ､B ､CC ．B ､C ､DD ．A ､C ､D8．已知空间中两条不同的直线,m n ，其方向向量分别为,a b →→，则“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的（）A ．.充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中正确的是（）.A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//C B D A D ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使a bλ=题型四：空间共面向量定理10．已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．111222OM OA OB OC =++B ．1313O OB OCM OA =-+C ．OM OA OB OC =++D ．2OM O OB OCA =--11．下列结论错误的是（）.A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a ､b 是两个不共线的向量，且c a b λμ=+r r r(R λμ∈、且0λμ⋅≠)，则{}a b c ，，构成空间的一个基底D ．若OA ､OB ､OC 不能构成空间的一个基底，则O ､A ､B ､C 四点共面12．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；③若三个向量,,a b c r v v 两两共面，则向量,,a b c rv v 共面；④已知空间的三个向量,,a b c rv v ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++u r rv v ．其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【双基达标】一、单选题13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①()1AB BC CC ++；②()11111AA A D D C ++；③()111AB BB B C ++；④()11111AA A B B C ++.其中运算的结果为向量1AC uuu r的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．①若A ､B ､C ､D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=；②a b a b -=+是a ､b 共线的充要条件；③若a ､b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ､B ､C ，若OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r（其中x ､y ､z ∈R ），则P ､A ､B ､C 四点共面.其中不正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．415．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝m OA ＋n OB ，其中m ＋n ＝1，则（）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．以上都不对16．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足113AP AB AA λ=+（[]0,1λ∈）若平面//BDP 平面11B CD ，则实数λ的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．2317．如图，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，设AB a →=，AD b →=r ，AA c →'=，则下列与向量A C →'相等的表达式是（）A ．a b c -++B ．a b c--+C ．a b c --D ．a b c+-r r r 18．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，则MN =（）A ．111222OB OC OA+-B ．111222OA OC OB--C ．111222OB OC OA++D ．111222OA OC OB+-19．已知空间四边形ABCD 中，AB a =，CB b =，AD c =uuu r r，则CD 等于（）A ．a b c +-B ．a b c --+C ．a b c -++D ．a b c-+-20．下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；②若向量AB →，CD →满足AB CD →→>，且AB →与CD →同向，则AB CD →→>；③若两个非零向量AB →与CD →满足0AB CD →→→+=，则AB →，CD →为相反向量；④AB CD →→=的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合.其中错误的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．421．在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OB 上，且3OM MB =，N 为AC 的中点，则NM =（）A ．131242a b c-+-B ．121232a b c-++C ．131242a b c++D ．121232a b c-+22．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r点P 在1AC 上，且1:2:3A P PC =，则AP =（）．A ．233555a b c++B ．322555a b c++C ．223555a b c-++D ．322555a b c--【高分突破】一：单选题23．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若23AE x AB yBC z AP =++，则x y z ++等于（）A ．1B ．1112C ．116D ．224．已知正方体1111ABCD A B C D -中，11114AE A C =，若1()AE x AA y AB AD =++，则（）A ．1x =，12y =B ．12x =，y =1C ．1x =，13y =D ．1x =，14y =25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 在AC 上，且12AM MC =，N 在1A D 上，且12A N ND =．设AB a =，AD b =，1AA c =，则MN =A ．111333a b c-++B ．1133a b c+-C ．112333a b c--D ．1133a b c-++26．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++，若M ，A ，B ，C 共面，则λ=（）A ．712B ．13C ．512D ．1227．在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 是侧面11CDD C 的中心，且1AM x AA y AD z AB =-+，则,,x y z 的值分别为（）A ．12，1，12-B ．12，1-，12-C ．12-，1，12D ．12，1-，1228．已知点P 为三棱O -ABC 的底面ABC 所在平面内的一点，且()12OP OA mOB nOC m n R =+-∈，，则m n ，的值可能为（）A ．112m n ==-，B ．112m n ==，C ．112m n =-=-，D ．312m n =-=-，29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，设1,,AB a AA c BC b ===，则下列向量与BM 相等的是（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122a b c-+30．空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC AD =--，则实数x的值为()A ．13B ．13-C ．23D ．23-31．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（）A ．1122-++a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c-+D ．1122a b c--+32．如图，在空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-D ．221332a b c+-二、多选题33．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且3AP PN =，23ON OM =，设OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式成立的是（）A ．1122OM b c =-B ．1133AN b c a=+-C ．113444AP b c a=--D ．111444OP a b c=++34．已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，则下列结论中正确的有（）A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量35．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有A ．AB BC CD++B ．11111AA B C D C ++C ．111AB C C B C -+D ．111AA DC B C ++36．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件的是（）A ．2OM OA OB OC=--B ．OM OA OB OC =+-C ．1123OM OA OB OC =++D ．111236OM OA OB OC =++三、填空题37．如果两个向量,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是___________.38．已知非零向量1e ，2e 不共线，则使12ke e +与12e ke +共线的k 的值是________．39．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB ＋12BC －32DE －AD 化简的结果为________.40．已知点M 在平面ABC 内，并且对不在平面ABC 内的任意一点O ，都有1133AM xOA OB OC =++，则x 的值为_______．41．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且12MN ON =，34AP AN =，用向量OA ，OB ，OC 表示OP ，则OP =_______．四、解答题42．在空间四边形ABCD 中，连结AC ､BD ，BCD 的重心为G ，化简1322AB BC DG AD +--.43．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：（1）1AB BA +；（2）111AB B C C C ++；（3）AM BM CB --；（4）112AA AB AM +-．44．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.45．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD ===，,,0,0AC AD m AB EG EH mEF k m =+=+≠≠，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC =.【答案详解】1．B【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC 与11AC 的方向相同，模也相等，则11AC AC=，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当n 为零向量时，零向量与任何向量都平行，则,m n 不一定平行．故选B ．2．B【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；对于⑤，a b a b +≤+为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．综上，正确的命题只有⑤，故选：B .3．D【详解】A 中，对于非零向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行或重合；B 中，||||a b =只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小；D 中，由相等向量的定义知：方向必相同；故选：D.4．D【详解】因为点M ，N 分别是面对角线1A B 与11B D 的中点，DA a =，DC b =，1DD c =，所以11MN MB BB B N=++111111 22A B BB B D =++()()111122A A AB BB BC CD =++++()()1122c b c a b =-+++--()12c a =-故选:D.5．A【详解】空间四边形ABCD 各边及对角线长均为2，所以四边形ABCD 构成的四面体ABCD 是正四面体，四个面是等边三角形，因为E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，所以//AC FG ，1//2AC FG ，()1122GE GB BE BC BD BA =+=-++，12GF CA =，所以()()1144GE GF BC BD BA CA BC CA BD CA BA CA ⋅=-+-⋅=-⋅+⋅-⋅()14BC CA BD BA BC BA CA ⎡⎤=-⋅+⋅--⋅⎣⎦()14BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅()1cos120cos 60cos 60cos 604BC CA BD BA BD BC BA CA =-⋅+⋅-⋅-⋅1111112222422222⎛⎫=--⨯+⨯-⨯-⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.6．B解：因为2OM MA =，所以2233OM OA a ==,N 为BC 的中点，则()111222ON OB OC b c =+=+，()2121132322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++.故选：B.7．A【详解】因为242BD BC CD a b AB =+=+=，所以//BD AB ，又,BD AB 有公共点B ，所以A ､B ､D 三点共线，故选项A 正确；显然,AB BC 不共线，所以A 、B 、C 三点不共线，故选项B 错误；显然,BC CD 不共线，所以B 、C 、D 三点不共线，故选项C 错误；因为48AC AB BC a b =+=-+，所以,AC CD 不共线，从而A 、C 、D 三点不共线，故选项D 错误.故选：A.8．B【详解】由,R a b λλ→→∀∈≠可知，a 与b 不共线，所以两条不同的直线,m n 不平行，可能相交，也可能异面，所以“,R a b λλ→→∀∈≠”不是“直线,m n 相交”的充分条件；由两条不同的直线,m n 相交可知，a 与b 不共线，所以,R a b λλ→→∀∈≠，所以“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的必要条件，综上所述：“,R a b λλ→→∀∈≠”是“直线,m n 相交”的必要不充分条件.故选：B.9．CA 中，若0b =，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故//C B D A 正确；D 中，若0b =，0a ≠，则不存在λ，使a b λ=.故选：C10．B【详解】若1x y z ++=，且OM xOA yOB zOC =++，则()1OM xOA yOB x y OC =++--，则()()OM OC x OA OC y OB OC -=-+-，即xCA yCB CM =+，所以，点M 、A 、B 、C 共面.对于A 选项，1111222++≠，A 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于B 选项，111133-+=，B 选项中的点M 、A 、B 、C 共面；对于C 选项，1111++≠，C 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面；对于D 选项，2111--≠，D 选项中的点M 、A 、B 、C 不共面.故选：B.11．C【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B 正确；C 选项，∵满足c a b λμ=+r r r ，∴a ，b ，c 共面，不能构成基底，故C 错误，D 选项，因为OA ､OB ､OC 共起点，若O ，A ，B ，C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D 正确，故选C .12．A【详解】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面才成立，故④错．故选:A ．13．D【详解】①：()111AB BC CC AC CC AC ++=+=，故①正确；②：()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=，故②正确；③：()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=，故③正确；④：()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=，故④正确.所以4个式子的运算结果都是1AC ，故选：D.14．C【详解】①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a ､b 同向时，应有a b a b +=+，故错误；③中a ､b 所在直线可能重合，故错误；④中需满足1x y z ++=，才有P ､A ､B ､C 四点共面，故错误.故选：C15．A【详解】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )·OA →＋n OB →，即OP OA →→-＝n (OB OA →→-)，即AP n AB →→=，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB .故选：A16．D【详解】如下图，由正方体性质知：面11//B CD 面1BDA ，要使面//BDP 面11B CD，∴P 在面1BDA 上，即1,,P B A 共面，又113AP AB AA λ=+，[]0,1λ∈，∴113λ+=，可得23λ=.故选：D17．D【详解】由题意：A C A A AB BC AA AB AD c a b a b c→→→→→→→'''=++=-++=-++=+-故选：D.18．A【详解】在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，()()11112222111111222222MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC OA OB OC OA ∴=+=++=+-+-=++-=+-故选：A ．19．C【详解】由向量的运算法则，可得CD CB BA AD CB AB AD a b c =++=-+=-++.故选：C.20．C【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确.0AB CD →→→+=，得AB CD →→=-，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量.④错误.由AB CD →→=，知AB CD →→=，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合.故选：C21．A 【详解】()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-.故选：A22．B【详解】因为1:2:3A P PC =，可得1125A P A C =，根据空间向量的运算法则，可得111125AP AA A P AA A C =+=+112()5AA AC AA =+-1111323232322()()555555555AA AC AA AB BC AA AB AD AA AB BC =+=++=++==++，又由1AA a =，AB b =，AD c =uuu r r ，所以322555AP a b c =++.故选：B.23．B【详解】因为()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE=++=++=++-，所以2AE AB BC AP =++，所以111222AE AB BC AP =++，所以111,2,3222x y z ===，解得111,,246x y z ===，所以11111++24612x y z ++==，故选：B.24．D【详解】由空间向量的运算法则，可得11111111()44AE AA A E AA AC AA AB AD =+=+=++，因为1()AE x AA y AB AD =++，所以11,4x y ==.故选：D.25．A【详解】解：因为M 在AC 上，且12AM MC =，N 在1A D 上，且12A N ND =，所以13AM AC =，1123A N A D =，在平行六面体1111ABCD ABCD -中，AB a =，AD b =，1AA c =，所以AC a b =+u u u r r r ，1A D b c =-，所以11111233MN MA AA A N AC AA A D =++=-++12()()33a b c b c =-+++-111333a b c =-++，故选：A ．26．A因为M ，A ，B ，C 共面，则11146λ++=，得712λ=.故选：A【点睛】本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.27．D【详解】如图，在正方体中，AM AB BC CM =++，BC AD =，()()111122CM CD CC AB AA =+=-+，所以()112AM AB AD AB AA =++-+11122AB AD AA =++,所以12x =，1y =-，12z =故选：D28．C 【详解】()12OP OA mOB nOC m n R =+-∈，，且P ，A ，B ，C 共面，∴11122m n m n +-=⇒-=，只有1 12m n =-=-，符合，故选：C.29．A【详解】因为1,,AB a AA c BC b ===，如图，依题意，有()11111111111122BM BA AA A M BA AA A C BA AA B C B A =++=++=++-()111111122222BA AA BC BA AB BC AA a b c =++-=-++=-++．故选：A30．C【详解】因为空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，则AB m AC n AD =+，又点P 为该平面外一点，则()PA PB m PC PA nAD -=-+，所以(1)m PA PB mPC nAD +=++，又5133PA PB xPC AD =--，由平面向量的基本定理得：513x -=，即23x =，故选：C ．31．A 如图，由空间向量的线性运算可得：()1111111111111222B M B B BM A A BD A A B D c A D A B =+=+=+=+-，()111222c b a a b c =+-=-++，故选：A32．B【详解】由题，在空间四边形OAB ，OA a =，OB b =，OC c =．点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则1122ON c b =+．所以211322MN ON MO a b c =+=-++故选：B【点睛】本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.33．BD【详解】由已知得，23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1133OB OC OA =+-1133b c a =+-，分析各个选项：对于A ，利用向量的四边形法则，11112222OM OB OC b c =+=+，A 错；对于B ，利用向量的四边形法则和三角形法则，得23AN ON OA OM OA =-=-211322OB OC OA ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1133OB OC OA =+-1133b c a =+-，B 对；对于C ，因为点P 在线段AN 上，且3AP PN =，所以，411333AN AP b c a ==+-，所以，311114333444AP b c a b c a ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，C 错；对于D ，113444OP OA AP a b c a =+=++-111444a b c =++，D 对故选：BD34．ACD∵O 为正方体的中心，∴1OA OC =-，1OD OB =-，故()11OA OD OB OC +=-+，同理可得()11OB OC OA OD +=-+，故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++，∴A 、C 正确；∵OB OC CB -=uu u r uuu r uu r ，1111OA O A D D =-，∴OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量，∴B 不正确；∵11OA OA AA =-，111OC OC C C AA -==-，∴()11OA OA OC OC -=--，∴D 正确.故选：ACD35．BCD【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA AD DC AC ++=++=，故正确；C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=，故正确；D ．111111111AA DC BC AA AB BC AC ++=++=，故正确.故选：BCD.36．BD【详解】当MA m MB n MC =+时，可知点M 与点,,A B C 共面，所以()()MO OA m MO OB n MO OC +=+++，所以()1x y OM OA xOB yOC +-=-++，所以11111OA mOB nOC m n OM OA OB OC m n m n m n m n -++==-+++-+-+-+-，不妨令11x m n -=+-，1m y m n =+-，1n z m n =+-，且此时1x y z ++=，因为()()21101+-+-=≠，()1111++-=，111111236++=≠，1111236++=，由上可知：BD 满足要求.故选：BD.37．由空间向量共面定理可得，若向量,a b 不共线，则p 与,a b 共面的充要条件是存在实数对(),x y ，使p xa yb =+.故答案为：存在实数对(),x y ，使p xa yb =+.38．±1【详解】若12ke e +与12e ke +共线，则()1212ke e e ke λ+=+因为非零向量1e ，2e 不共线，所以1k k λλ=⎧⎨=⎩，即21k =，所以1k =±，故答案为：±139．0【详解】如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则DF 必经过点E ，则32DF DE =，∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.故答案为：0.40．23-由题设，1133AM OM OA xOA OB OC =-=++，∴11(1)33OM x OA OB OC =+++，又,,,A B C M 共面，∴111133x +++=，可得23x =-.故答案为：23-41．111444OA OB OC ++【详解】由题意OP ()33132132=444434432OB OC OA AN OA ON OA OA OM OA ++=+-=+⨯=+⨯⨯=111444OA OB OC ++故答案为：111444OA OB OC ++42．0【详解】设E 为BC 的中点，则12BC BE =，又G 为BCD △的重心，则32DG DE =，所以()()130.22AB BC DG AD AB BE DE AD AB BE AD DE AE AE +--=+--=+-+=-=43．（1）11AB BA AA +=．（2）111111111AB B C C C A B B C C C AC ++=++=．（3）AM BM CB AM MB BC AC --=++=．（4）1102AA AB AM BM AB MA AB BM MA +-=++=++=．44．设1,,AB a AD b AA c ===，∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F A C =，而11A D AD b ==∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-.∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--,∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线.45．证明：（1）,0AC AD m AB m =+≠，∴A 、B 、C 、D 四点共面．,0EG EH mEF m =+≠，∴E 、F 、G 、H 四点共面．（2）()()()EF OH OE OF OE OD OA OB OA EG EH m m k km =+=-+-=-+-(),//k AD km AB k AD m AB k AC AC EG =+=+=∴.（3）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+=.。

(完整版)高一数学向量知识点归纳练习题

向量一、平面向量的加法和乘积1、向量加法的交换律：a b b a +=+2、向量加法的结合律:()()a b c a b c ++=++3、向量乘积的结合律：()()a a λμλμ=4、向量乘积的第一分配律：()a a a λμλμ+=+5、向量乘积的第二分配律：()a b a b λλλ+=+二、平面向量的基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不是共线的向量，那么对于这一平面内的任一a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得1122a e e λλ=+。

（1）我们把不是共线的1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;（2）基底不是唯一的，关键是不是共线；（3）由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式是唯一的，1λ、2λ是被a 、1e 、2e 唯一确定的数量。

三、平面向量的直角坐标运算1、已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，1212(,)a b x x y y ⋅=.2、已知11(,)A x y ,22(,)B x y ，则22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--。

3、已知11(,)a x y =和实数λ，则1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

四、两平面向量平行和垂直的充要条件1、平行（共线）:基本定理：a 、b 互相平行的充要条件是存在一个实数λ，使得a b λ=。

定理：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ∥b 的充要条件是01221=-y x y x .2、垂直：基本定理：a 、b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=。

定理：已知11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a ⊥b 的充要条件是02121=+y y x x 。

高一向量试题及答案详解

高一向量试题及答案详解一、选择题1. 已知向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)不共线，且\( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} =\overrightarrow{c} \)，则下列说法正确的是：A. \( \overrightarrow{c} \)与\( \overrightarrow{a} \)共线B. \( \overrightarrow{c} \)与\( \overrightarrow{b} \)共线C. \( \overrightarrow{c} \)与\( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)都不共线D. \( \overrightarrow{c} \)与\( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)都共线答案：C2. 若向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)的夹角为90°，则下列说法正确的是：A. \( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)共线B. \( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)垂直C. \( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)平行D. \( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)既不共线也不垂直答案：B二、填空题3. 已知向量\( \overrightarrow{a} = (3, 4) \)，向量\( \overrightarrow{b} = (-2, 1) \)，求向量\( \overrightarrow{a} \)与向量\( \overrightarrow{b} \)的数量积。

高一向量知识点总结及例题

高一向量知识点总结及例题一、向量的概念1. 向量的定义：有向线段叫做向量向量的定义：具有大小和方向的量称为向量2. 向量的表示：一般用小写英文字母加上上方有箭头的符号表示向量，如a→（读作“a矢”）表示一个向量3. 特殊向量：零向量，单位向量零向量：方向任意，但模长为零的向量称为零向量，用0→表示单位向量：模长为1的向量称为单位向量4. 向量的性质：平行向量，共线向量二、向量的运算1. 向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则：以向量的起点为顶点，则向量和为以这些向量为对角线的平行四边形的对角线。

2. 向量的减法：a-b=a+(-b)为a的负向量3. 向量的数乘：数c与向量a的积c倍c→4. 向量的夹角：若两向量a→和b→不共线，那么定义a→与b→的夹角α为0°≤α≤180°5. 向量的数量积：a•b=|a|•|b|•cosα6. 向量的数量积性质：（1）交换律：a•b=b•a（2）数量积的分配律：a•(b+c)=a•b+a•c（3）数量积的数乘结合律：(ca)•b=c(a•b)（4）|a•b|=|a|•|b|•cosα三、向量的坐标表示1，平面直角坐标系中的向量：（x1,y1）和（x2,y2）两点的向量为向量（x2-x1，y2-y1）2，向量的坐标与分解3，向量的坐标方向四、向量的应用1. 向量的应用：力，速度，位移2. 大小及方向的确定3. 用向量平行四边形的基本性质判定四边形的形状4. 向量的共线和共面例题：例1. 设向量a=(3,5)和向量b=(-2,4)，求向量a-b和向量b-a的坐标。

解：a-b=a+(-b)=（3,5）+(-2,-4) =(3-(-2),5-4)=(5,1)同理，b-a=b+(-a)=(-2,4)+(3,5)=(-2-3,4-5)=(-5,-1)例2：设a和b是非零向量，若|a•b|=|a|•|b|，则a、b的夹角取值为（）。

A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°解：|a•b|=|a|•|b|cosα ，|a•b|=|a|•|b|时，cosα=1，所以α=0°。

高一数学向量同步练习概念一试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校高一数学向量同步练习概念一一、选择题1、以下物理量中，不能称为向量的是〔〕A ．距离B ．加速度C ．力D ．位移A ．两个单位向量一定相等B ．假设a 与b 不共线，那么a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同3、以下说法错误的选项是〔〕A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,那么〔〕 A. AB 与AC 共线 B. DE 与CB 共线 C. AD 与AE 相等 D. AD 与BD 相等6、两个向量共线是两个向量相等的〔〕A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件二、填空题1、与非零向量a 平行的单位向量的个数是_______。

2、||||b a =是b a =的___ __条件。

3、B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出___ __个互不相等的非零向量。

4、平面上不共线的四点满足CB AD =〔1〕ABCD 是平行四边形；〔2〕ACBD 是平行四边形；〔3〕ADBC 是平行四边形；___ ___。

5、在四边形ABCD 中，DC AB =，且||||AD AB =，那么ABCD 是。

6、假设||||b a =，那么当时，b a=。

三、解答题1、在直角坐标系xOy 中，用有向线段表示以下向量：〔1〕4||=OA ， 60=∠AOx ， 30=∠AOy ；〔2〕3||=OB ， 30=∠BOx ， 120=∠BOy；〔3〕5||=OC ， 135=∠COx ， 45=∠COy 。

2、在平面上有一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 中点，求证：HG EF =。

高一数学向量概念及其表示练习题

高一数学向量概念及其表示练习题1. 向量的定义和基本概念1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

1.2 向量的表示方法向量可以使用坐标表示法、分量表示法或单位向量表示法来表示。

- 坐标表示法：向量可以在直角坐标系中用坐标表示，例如向量AB可以表示为(2, 3)。

AB可以表示为(2, 3)。

- 分量表示法：向量可以用其在坐标轴上的投影来表示，例如向量AB可以表示为2i + 3j。

AB可以表示为2i + 3j。

- 单位向量表示法：向量可以用一个单位向量乘以一个标量来表示，例如向量AB可以表示为2u，其中u是一个单位向量。

AB可以表示为2u，其中u是一个单位向量。

2. 向量表示练题1. 已知向量a = (-1, 2) 和向量b = (3, 4)，求向量a + b 和向量a- b 的结果。

a = (-1, 2) 和向量b = (3, 4)，求向量a + b和向量a - b的结果。

2. 如果向量u = (5, -3, 2) 和向量v = (1, 2, -4)，求向量u·v（点乘）的结果。

u = (5, -3, 2) 和向量v = (1, 2, -4)，求向量u·v（点乘）的结果。

3. 已知向量c = (3, 1) 和向量d = (-2, 4)，求向量c·d（数量积）的结果。

c = (3, 1) 和向量d = (-2, 4)，求向量c·d（数量积）的结果。

4. 如果向量x = 2i + 3j 和向量y = -i + 2j，求向量x × y 的结果。

x = 2i + 3j和向量y = -i + 2j，求向量x ×y的结果。

5. 已知向量m = 2i - j 和向量n = i + j，求向量m × n 的结果。

m = 2i - j和向量n = i + j，求向量m ×n的结果。

高中数学《向量的概念》同步练习1 北师大版必修4

向量一、选择题1.已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则CO 的坐标是( ) A.(- 21，5) B.(- 21， -5) C.( 21)，-5) D.( 21，5) 2.设点P 分21P P 的比为λ，若｜21P P ｜=4｜2PP ｜，则λ的值为( )A..-5或3B.-4或2C.5或-3D.4或-23.三点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)共线的充要条件是( )A.x 1y 2-x 2y 1=0B.x 1y 3-x 3y 1=0C.(x 2-x 1)(y 3-y 1)=(x 3-x 1)(y 2-y 1)D.(x 2-x 1)(x 3-x 1)=(y 2-y 1)(y 3-y 1)4.已知点A(1，8)，B(5，0)且｜PA ｜=3｜PB ｜,(A 、B 、P 三点共线)则点P 的坐标为( )A.(4，2)B.(7，-4)C.(4，2)或(7，-4)D.不存在5.设=(23,sin α), =(cos α,31)且∥，则锐角α为( ) A.30°B.60°C.45°D.75° 6.点P 分有向线段21P P 成定比λ，若λ∈(-∞，-1)，则λ所对应点，P 的集合是( )A.线段P 1P 2B.线段P 1P 2的延长线C.射线P 2P 1D.线段P 1P 2的反向延长线7.已知向量AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3),则DA =( )A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)8.已知M(-1，0)，N(5，6)，P(3，4)，P 为MN 的定比分点，则λ的值是( ) A.31 B.3 C. 21 D.29.已知=(1,2), =(x,1)，当+2与2-共线时，x 值为( )A.1B.2C. 31D. 21 10.在△ABC 中，A(3，1)，AB 中点为D(2，4)，三角形的重心G(3，4)，则B 、C 坐标分别为( )A.(1，7)、(4，5)B.(1，7)、(5，4)C.(7，1)、(4，5)D.(7，1)、(5，4)11.如果1e 、2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么( )A.若实数λ1、λ2，使λ11e +λ22e =,λ1=λ2=0B.空间任一向量a 可以表示为a =λ11e +λ22e ,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ11e +λ22e )不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量a ，使a =λ11e +λ22e 的实数λ1、λ2有无数对.12.已知：平面上有三个点A(-2，1)、B(1，4)、D(4，-3)，又有一点C 在线段AB 上，使｜｜=2｜｜，连结DC 并延长至E ，使｜｜＝4｜｜，则点E 的坐标为( )A.(0，1)B.(-83 ，311)C.(0，1)或(-38，311)D.(-8，-35) 二、填空题：1.已知1e 、2e 是一对不共线的非零向量，若=1e +λ2e , b =-2λ1e -2e ,且、共线，则λ= .2.若向量=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 .3. 在△ABC 中，已知=a ,CA =c ，O 是△ABC 的重心，则OB +OC = .4.已知△ABC 的顶点A(4，5)，重心G(-1，2)，则BC 边的中点D 坐标为三、解答题：1.已知=,B(1,0), =(-3,4), =(-1,1)，且=3-2，求点A 的坐标.2.已知△ABC ，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 中点，MN 与AD 交于F ，求DF .3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以、为一组基底来表示++. 4.已知两点A(3，-4)、B(-9，2)，在直线AB 上求一点P ，使得｜AP ｜=31｜AB ｜. 5.正方形ABCO ，按顺时针方向依次为A →B →C →O ，O 为坐标原点=(1,3)，求向量，OC 的坐标.6.已知点M(2，3)、N(8，4)，点P 在线段MN 内，且MP =λPN =λ2MN ，求λ的值及P 点的坐标.附加题1、已知，不共线，=+, =2-，将符合下列条件的向量写成m +n )的形式：(1)点C 分所成的比λ=2，则= .(2)点C 分所成的比λ=-3,则= .2、已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，则第四个顶点的坐标为 .3、已知A(2，3)、B(0，1)、C(3，0)，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，且DE 平分△ABC 的面积，求点D 的坐标. 向量测试01 一、选择题 BACCC BDDDB AB 二、填空 1.±22 2. (-1，2) 3. 31 (a -c ) 4. (- 27，21) 三、解答题： 1.(8，-10) 2. DF =-21 AD =(47,2) 3.32AB -22AC 4、.P(-1，-2)或P(7，-6)5、OA =(231-,231+), OC =2 (462+,62-) 6、λ=215-,P(11-35,259-) 附加题1、解：(1)由AC =λCB ,有OC -OA =λ(OB -OC )有OC =λ+11OA +λλ+1OB 所以OC =211+OA +212+OB =31 (a +b )+32(a -b )=35a -31b (2) OC =λ+11 OB +λλ+1OA =-21 (2a -b )+23( a +b )=21a +2b 2、解：如图，设OA =(3,-2), OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y)依题意，AB =DC 或AC =DB 或AB =CD由AB =DC ，可得：OB -OA =OC -OD即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y) ⇔ (2,4)=(-1-x,4-y)∴D(-3，0)同理，若=可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)若=可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8. ∴D(1,8)∴点D 的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)3、解：因为DE ∥BC ，则有△ADE ∽△ABC.有ABC ADE S S △△=(ABAD )2 由已知，有(AB AD )2=21，即AB AD =21以点D 分所成的比为λ，利用分点定义可得λ=121-=2+1所以得点D 的横、纵坐标为 x=1212++=2-2,y=121123++++=3-2则点D 的坐标为(2-2，3-2)。

人教A版高中数学必修四高一向量同步练习1(概念).doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一向量同步练习1（概念）一、选择题1、下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．距离B ．加速度C ．力D ．位移2、下列四个命题正确的是（）A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同3、下列说法错误的是（）A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线。

其中真命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（） A. AB 与AC 共线 B. DE 与CB 共线 C. AD 与AE 相等 D. AD 与BD 相等6、两个向量共线是两个向量相等的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件二、填空题1、与非零向量a 平行的单位向量的个数是_______。

2、||||b a =是b a =的___ __条件。

3、已知B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出___ __个互不相等的非零向量。

4、已知平面上不共线的四点满足CB AD =，则以下四个命题：（1）ABCD 是平行四边形；（2）ACBD 是平行四边形；（3）ADBC 是平行四边形；（4）ACDB 是平行四边形。

则所有正确命题的序号是___ ___。

5、在四边形ABCD 中，DC AB =，且||||AD AB =，那么ABCD 是。

6、若||||b a =，那么当时，b a =。

三、解答题1、在直角坐标系xOy 中，用有向线段表示下列向量：（1）4||=OA ， 60=∠AOx ，30=∠AOy ；（2）3||=OB ， 30=∠BOx ，120=∠BOy ；（3）5||=OC ， 135=∠COx ，45=∠COy 。

高中数学人教A版(2019)选择性必修一第一章空间向量基本定理同步练习

高中数学人教A 版（2019）选择性必修一第一章空间向量基本定理同步练习一、单选题(共8题；共16分)1．（2分）在以下三个命题中，真命题的个数是（）.①若三个非零向量 a⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 不能构成空间的一个基底，则 a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 共面；②若两个非零向量 a⃗ ， b ⃗ 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a ⃗ ， b ⃗ 共线；③若 a ⃗ ， b ⃗ 是两个不共线的向量，而 c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ （ λ,μ∈R 且 λμ≠0 ），则 {a ,b ⃗ ,c } 构成空间的一个基底.A ．0B ．1C ．2D ．32．（2分）若向量 MA⇀ 、 MB ⇀ 、 MC ⇀ 的起点与终点 M 、 A 、 B 、 C 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ O 是空间任一点），则能使向量 MA ⇀ 、 MB ⇀ 、 MC ⇀ 成为空间一组基底的关系是（） A ．OM⇀=13OA ⇀+13OB ⇀+13OC ⇀ B ．MA⇀≠MB ⇀+MC ⇀ C ．OM⇀=OA ⇀+OB ⇀+OC ⇀ D ．MA⇀=2MB ⇀−MC ⇀ 3．（2分）设 x ⃗ =a ⃗ +b ⃗ ,y ⃗ =b ⃗ +c ⃗ ,z ⃗ =c ⃗ +a ⃗ ，且 {a ,b ⃗ ,c } 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ,b ⃗ ,x } ；②{x ,y ,z } ；③{b ⃗ ,c ,z } ；④{x ,y ,a +b ⃗ +c } ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2分）如图，已知 |OA⇀|=|OB ⇀|=1 ， |OC ⇀|=√2 ， tan∠AOB =−43 ， ∠BOC =45° ， OC ⇀=mOA ⇀+nOB ⇀ ，则 m n等于（）A ．57B ．75C ．37D ．735．（2分）在棱长为1的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， E,F,G 分别在棱 BB 1,BC,BA 上，且满足 BE ⇀=34BB 1⇀ ， BF ⇀=12BC ⇀ ， BG ⇀=12BA ⇀ ， O 是平面 B 1GF ，平面 ACE 与平面 B 1BDD 1 的一个公共点，设 BO⇀=xBG ⇀+yBF ⇀+zBE ⇀ ，则 x +y +z = （） A ． B ． C ．D ．6．（2分）在三棱锥 O −ABC 中，若 D 为 BC 的中点，则 AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （） A ．12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 7．（2分）如图:在平行六面体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1,B 1D 1 的交点.若 AB ⇀=a ⇀ ， AD ⇀=b ⇀ ， AA 1⇀=c ⇀ ，则向量 BM⇀= （）A ．−12a ⇀+12b ⇀+c ⇀B ．12a ⇀+12b ⇀+c ⇀C ．−12a ⇀−12b ⇀+c ⇀ D ．12a ⇀−12b ⇀+c ⇀ 8．（2分）若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +18OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P ，A ，B ，C 四点（） A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线二、多选题(共1题；共3分)9．（3分）给出下列命题，其中错误的有（）A ．若空间向量 m ⃗⃗⃗ 、 n ⃗ 、 p ⃗ ，满足 m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ， n ⃗ //p ⃗ ，则 m⃗⃗⃗ //n ⃗ B ．若空间向量 m ⃗⃗⃗ 、 n ⃗ 、 p ⃗ ，满足 m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， n ⃗ =p ⃗ ，则 m ⃗⃗⃗ =p ⃗ C ．在空间中，一个基底就是一个基向量D ．任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底三、填空题(共5题；共5分)10．（1分）已知 O 是空间任一点， A,B,C,D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 OA ⇀=2x ⋅BO ⇀+3y ⋅CO⇀+4z ⋅DO ⇀ ，则 2x +3y +4z = . 11．（1分）如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，用 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 作为基向量，则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= .12．（1分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和BC 1相交于点O ，若 DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xDA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +zDD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 xy =13．（1分）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →=14OA →+23OB →+λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ=14．（1分）已知A 、B 、C 三点不共线，若点M 与A 、B 、C 四点共面，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：OM →=x OA →+y OB →+13OC →，其中x ，y 是实数，则x+y=四、解答题(共5题；共25分)15．（5分）已知平行六面体ABCD ﹣A′B′C′D′．求证：AC →+AB →+AD →=2AC →． 16．（5分）如图，已知平行六面体ABCD ﹣A′B′C′D′，化简AC′→+D′B →﹣DC →．17．（5分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=3，AA 1=4，∠DAB=90°，∠BAA 1=∠DAA 1=60°，E 是CC 1的中点，设AB →=a →,AD →=b →,AA 1→=c →．（1）用a →,b →,c →表示AE →；（2）求AE 的长？18．（5分）如图，设O 是▱ABCD 所在平面外的任一点，已知OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →你能用a →,b →,c →表示OD →吗？若能，用a →,b →,c →表示出OD →；若不能，请说明理由．19．（5分）如图，在空间平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若以AC →，AB 1→，AD 1→为空间的一个基底，用这个基底表示AC 1→．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】①正确，作为基底的向量必须不共面；②正确；③错误，因为 a ⃗ ， b ⃗ ， c ⃗ 共面，所以 {a ,b ⃗ ,c } 不能构成基底.故只有①②正确. 故答案为：C.【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共面即可判断出①②正确由此得到答案。

高一数学同步练习第二章向量1新必修4

必修4 第二章向量(一)一、选择题:1.下列各量中不是向量的是（）A．浮力B．风速C．位移D．密度2．下列命题正确的是（）A．向量AB与BA是两平行向量B．若a、b都是单位向量,则a=bC．若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则MCMBMA-+等于（）A．O B．MD4C．MF4D．ME44．已知向量ba与反向，下列等式中成立的是（）A．||||||baba-=-B．||||baba-=+C．||||||baba-=+D．||||||baba+=+5．在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点,则（）A．AB与AC共线B．DE与CB共线C．AD与AE相等D．AD与BD相等6．已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于( )A．3 B．－3 C．0 D．27. 设P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为 ( ) A．-9 B．-6 C．9 D．68. 已知a3=，b23=,a⋅b=-3，则a与b的夹角是( )A．150︒B．120︒C．60︒D．30︒9.下列命题中，不正确的是( )A a=2a B．λ(a⋅b)=a⋅(λb)C．（a-b）c=a⋅c-b⋅c D．a与b共线⇔a⋅b=a b10．下列命题正确的个数是( )①=+BA AB 0②0=⋅AB 0③BC AC AB =-④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知P 1（2，3），P 2（-1，4），且12P P 2PP =，点P 在线段P 1P 2的延长线上，则P 点的坐标为( ) A ．（34，-35） B ．（-34，35） C ．（4，-5） D ．（-4，5）12．已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于 ( )A ．34±B ．43±C ．53±D ．54±二、填空题13．已知点A(－1,5)和向量a ={2,3},若AB =3a ,则点B 的坐标为 .14．若3=OA 1e ，3=OB 2e ，且P 、Q 是AB 的两个三等分点，则=OP ，=OQ .15．若向量a =（2，-x ）与b =（x, -8）共线且方向相反，则x= . 16．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ,而a 在e 方向上的投影为－2，则a = .三、解答题17．已知菱形ABCD 的边长为2,求向量AB －CB +CD 的模的长18．设OA 、OB 不共线,P 点在AB 上求证: OP =λOA +μOB 且λ+μ=1,λ、μ∈R ．19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线20．i、j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j，CB=i+λj, CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值。

人教版数学高一课时作业向量的概念

2.1.1 向量的概念一、选择题1．给出下列各命题①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；④坐标平面上的x 轴和y 轴都是向量．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a 和b ，则下列说法中错误的是( )A ．a 与b 为平行向量B ．a 与b 为模相等的向量C ．a 与b 为共线向量D ．a 与b 为相等的向量3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则( )A.AB →与AC →共线B.DE →与CB →共线C.AD →与AE →相等D.AD →与BD →相等4．如图所示，四边形ABCD ，四边形CEFG ，四边形CGHD 是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B.AB →与FH →共线C.BD →＝EH →D.DC →与EC →共线二、填空题 5．已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定________．6．如图，设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO→＝BO →.其中，所有正确表示的序号为________．7．一架飞机向西飞行100 km ，然后改变方向向南飞行100 km ，则飞机两次位移的和是________．三、解答题8．一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ，然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C 岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D 岛．(1)试作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.9．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，EF 是过点O 且平行于AB 的线段．(1)写出图中与AB →共线的向量；(2)写出图中与EF →方向相同的向量；(3)写出图中与OB →，OD →的模相等的向量；(4)写出图中与EO →相等的向量．10．如图，已知矩形ABCD 中，设点集M ＝{A ，B ，C ，D }，求集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →≠0}．参考答案一、选择题1．B【解析】根据向量的有关概念，逐一判断．①根据作用力与反作用力的概念，可知作用力与反作用力是一对共线向量．②温度只有大小没有方向，所以不是向量．③如图可知，是共线向量．④x 轴和y 轴只有方向，没有大小，所以不是向量．只有①和③是正确的．故选B.2．D【解析】依题意可知，a 与b 方向相反，长度相等．3．B【解析】向量共线(平行)，则向量的方向应该相等或者相反，故A 错，B 对；相等向量要同向等长，C 不同向，D 不同向．4．C二、填空题5．平行(或共线)【解析】依题意知，c 与b 同向或者反向，所以c 与b 必定平行(或共线)．6．①②③【解析】正方形的对角线互相平分，∴AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，∴AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，∴AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，但是AO →与BO →的方向不相同，∴AO →≠BO →，∴④不正确．7．西南，100 2 km【解析】如图，令起点为A ，向西飞行100 km 到达B ，由B 向南飞行100 km 到达C ，则飞机两次飞行后的位移向量为AC →，且|AC →|＝100 2 km ，方向为西南．三、解答题8．解：(1)建立如图所示的直角坐标系，向量AB →，BC →，CD →即为所求．(2)根据题意，向量AB →与CD →方向相反，故向量AB →∥CD →.又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ，四边形ABCD 为平行四边形，∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝400(海里)．9．解：等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ∥EF ，AD ＝BC ，(1)图中与AB →共线的向量有DC →，EO →，OF →，EF →.(2)图中与EF →方向相同的向量有AB →，DC →，EO →，OF →.(3)图中与OB →的模相等的向量为AO →，与OD →的模相等的向量有OC →.(4)图中与EO →相等的向量为OF →.10．解：集合T ＝{PQ →|P 、Q ∈M ，且PQ →≠0}中的元素为非零向量PQ →，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点ABCD .这些向量为AB →，AC →，AD →，BA →，BC →，BD →，CB →，CA →，CD →，DA →，DB →，DC →.由于AB →＝DC →，AD →＝BC →，BA →＝CD →，DA →＝CB →，根据集合元素的互异性，得集合T ＝{AB →，AC →，AD →，BD →，CD →，CA →，DA →，DB →}．。

高一数学人教A版(2019)必修第二册同步学典_(1)平面向量的概念(Word版含答案)

（1）平面向量的概念1、下列命题中正确的是( ) A.温度是向量B.速度、加速度是向量C.单位向量相等D.若||||a b =r r ，则a r 和b r相等2、下列说法不正确的是( ) A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的方向是任意的 C.零向量与任一向量共线D.零向量只能与零向量相等3、如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB u u u r与DC u u u r 的关系是( )A.AB DC =u u u r u u u rB.||||AB DC =u u u r u u u rC.AB DC >u u u r u u u rD.AB DC <u u u r u u u r4、若a b =r r，那么要使a b =r r ，两向量还需要具备( )A.方向相反B.方向相同C.共线D.方向任意5、下列说法正确的是( ) A.若||||a b >r r ，则a b >r rB.若||||a b =r r ，则a b =r rC.若a b =r r ，则a r 与b r共线D.若a b ≠r r ，则a r 一定不与b r共线6、设O 是正方形ABCD 的中心，向量,,,AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是( )A.方向相同的向量B.有相同终点的向量C.相等向量D.模相等的向量7、如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA u u u r相等的向量是( )A.OC u u u rB.OD u u u rC.OB u u u rD.CO u u u r8、下列关于向量的结论： ①若a b =，则a b =或a b =-；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④若向量a 与b 同向，且a b >，则.a b > 其中正确的序号为( )A. ①②B. ②③C. ④D. ③9、在四边形ABCD 中，//AB CD u u u r u u u r ，AB CD ≠u u u r u u u r，则四边形ABCD 是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形10、如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB OC =u u u r u u u rB.//AB DE u u u r u u u rC.AD BE =u u u r u u u rD.AC BE =u u u r u u u r11、当向量a r 与任一向量都平行时，向量a r一定是_________.12、如图所示，,B C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC u u u r相等的向量是__________.13、给出下列命题：①若a b ≠r r ，则a r 一定不与b r共线；②若AB DC =u u u r u u u r，则A B C D 、、、四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r； ④若向量a r 与任一向量b r 平行，则0a =r；⑤若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r .其中所有正确命题的序号为_______________.14、如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，,E F 分别是AD 与BC 的中点，则在以,,,A B C D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF u u u r方向相反的向量为_____________.15、某人驾驶汽车从A 点出发向西行驶了150公里到达B 点，然后又改变方向向西偏北60︒行驶了200公里到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了150公里到达D 点.（1）作出向量,,AB BC CD u u u r u u u r u u u r ；（2）求AD u u u r.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：温度只有大小，没有方向，不是矢量，A 错误；速度有大小和方向，应该是向量，加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值.由于速度是矢量，速度的变化既可能有大小上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量，即是一个矢量.时间的变化，只有大小，是一个标量.因此加速度是一个矢量，也就是向量，B 正确；向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不同，C 错误；已知||||a b =r r ，但a r 与b r 的方向不一定相同，则a r 与b r不一定相等，D 错误.故选B.2答案及解析：答案：A解析：零向量的长度为0，方向是任意的，零向量与任一向量是共线的.故选A.3答案及解析：答案：B解析：由几何关系知，||||AB DC =u u u r u u u r ，但AB u u u r与DC u u u r 不共线. 故选B.4答案及解析：答案：B解析：两向量相等需具备长度相等且方向相同两个条件. 故选B.5答案及解析：答案：C解析：向量不能比较大小，A 错误；模相等，但方向不一定相同，B 错误；若a b ≠r r ，a r可以与b r共线，D 错误.故选C.6答案及解析：答案：D解析：因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线长度的一半，故向量,,,AO OB CO OD u u u r u u u r u u u r u u u r是模相等的向量.故选D.7答案及解析：答案：D解析：OA u u u r 与CO u u u r 方向相同且长度相等，则OA CO =u u u r u u u r.故选D.8答案及解析：答案：D解析：①中只知a b ＝，a 与b 的方向不知，故①不对；②没告诉是非零向量，故②不对，因为零向量的方向是任意的；③正确．对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同；④向量与数不同，向量不能比较大小. 故选D.9答案及解析：答案：A解析：在四边形ABCD 中， ∵//AB CD u u u r u u u r，∴//AB CD .又∵AB CD ≠u u u r u u u r，∴AB CD ≠. ∴四边形ABCD 是梯形.故选A.10答案及解析：答案：D解析：设正六边形ABCDEF 的边长为a ，依次分析各选项：对于A ，由正六边形的性质可得AB 与OC 平行且相等，则有AB OC =u u u r u u u r，故A 正确；对于B ，由正六边形的性质可得AB 与DE 平行，即//AB DE u u u r u u u r，故B 正确；对于C ，在正六边形ABCDEF 中，AD 与BE 均过中心O ，则有2AD BE a ==，即有AD BE =u u u r u u u r，故C 正确；对于D ，在正六边形ABCDEF 中，,2AC BE a ==，则AC BE ≠u u u r u u u r，故D 错误. 故选D.11答案及解析：答案：零向量解析：由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行.12答案及解析：答案：BD u u u r解析：设线段AD 的长度为3，则2AC =u u u r，与AC u u u r 的方向相同且模等于2的向量仅有BD u u u r .13答案及解析：答案：③④⑤解析：本题主要考查共线向量与相等向量的概念.①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反， a r 与b r 有共线的可能，故①不正确;②AB DC =u u u r u u u r，,,,A B C D 四点可能在同一条直线上，故②不正确;③在平行四边形ABCD 中，||||AB DC =u u u r u u u r ，AB u u u r与DC u u u r 平行且方向相同，故AB DC =u u u r u u u r，③正确;④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，故④正确;⑤a b =r r ，则||||a b =r r ，且a r 与b r 方向相同，b c =r r ，则||||b c =r r ，且b r 与c r 方向相同，综合知a r与c r 方向相同且模相等，故a c =r r，⑤正确.14答案及解析：答案：,BA CD u u u r u u u r解析：由题意得//AB EF ，//CD EF ，所以与EF u u u r 平行的向量为DC u u u r ，CD u u u r ，AB u u u r ，BA u u u r其中方向相反的向量为,BA CD u u u r u u u r.15答案及解析：答案：（1）如图所示.（2）易知AB u u u r与CD u u u r 方向相反，故AB u u u r与CD u u u r 共线.又150AB CD ==u u u r u u u r， ∴//AB CD ，即四边形ABCD 为平行四边形.∴200AD BC ==u u u r u u u r.。

高一数学平面向量的概念跟踪作业及答案

平面向量的概念一、复习巩固1．下列命题：(1)零向量没有方向；(2)单位向量都相等；(3)向量就是有向线段；(4)两向量相等，若起点相同，终点也相同；(5)若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →，BC →＝DA →.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．下列说法正确的是( )A ．向量AB →与向量BA →是相等向量B ．与实数类似，对于两个向量a ，b 有a ＝b ，a >b ，a <b 三种关系C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D ．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 3．已知下列命题：①若|a |＝0，则a 为零向量；②若a ∥b ，则|a |＝|b |；③共线的单位向量是相等向量；④两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 4．正n 边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则这n 个向量( ) A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线D ．模都相等5．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( ) A.AB →与AC →共线 B.DE →与CB →共线 C.AD →与AE →相等D.AD →与BD →相等6．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC →D.AB →＜DC →7．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆8．函数y ＝cos x ，x ∈[－π2，32π]的图象上有五个点A (－π2，0)，B (0,1)，C (π2，0)，D (π，－1)，E (32π，0)．以这五个点为起点和终点的向量中相等向量有( )A ．7组B ．8组C ．9组D ．10组9．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.10．已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，O 为△ABC 的外心，则OA →，OB →，OC →三个向量中，长度相等且共线的两个向量为__________．二、综合运用11．下列说法正确的是( )A ．若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．有相同起点的两个非零向量不平行D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .12．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形13．设数轴上有四个点A ，B ，C ，D ，其中A ，C 对应的实数分别是1和－3，且AC →＝CB →，CD →为单位向量，则点B 对应的实数为________；点D 对应的实数为______；|BC →|＝________.14．如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个？(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？15．一辆汽车从A 点出发向西行驶了50千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北60°走了100千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了50千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →. (2)求|AD →|.平面向量的概念答案一、复习巩固1．下列命题：(1)零向量没有方向；(2)单位向量都相等；(3)向量就是有向线段；(4)两向量相等，若起点相同，终点也相同；(5)若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →＝DC →，BC →＝DA →.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(1)不正确．零向量不是没有方向，而是方向是任意的；(2)不正确．单位向量只是模均为单位1，而方向不相同；(3)不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(4)正确，(5)不正确．如图：AB →＝DC →，但BC →≠DA →.故选A.答案：A2．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →是相等向量B ．与实数类似，对于两个向量a ，b 有a ＝b ，a >b ，a <b 三种关系C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D ．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合解析：由相等向量和平行向量的定义知，D 正确，A ，B ，C 不正确．答案：D3．已知下列命题：①若|a |＝0，则a 为零向量；②若a ∥b ，则|a |＝|b |；③共线的单位向量是相等向量；④两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①正确；②错误；③共线的单位向量模相等，但方向有可能相同，也有可能相反，故③不正确；④正确．答案： B4．正n 边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则这n 个向量( ) A ．都相等 B ．都共线 C ．都不共线D ．模都相等解析：因为是正n 边形，所以n 条边的边长都相等，即这n 个向量的模都相等．答案：D5．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( ) A.AB →与AC →共线 B.DE →与CB →共线 C.AD →与AE →相等D.AD →与BD →相等解析：如图所示：因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，由三角形的中位线定理可得：DE ∥BC .所以DE →与CB →共线．答案：B6．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC → B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →＞DC →D.AB →＜DC →解析：|AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．答案：B7．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆解析：由于向量的始点确定，而向量平行于同一直线，所以随向量模的变化，向量的终点构成一条直线．答案：B8．函数y ＝cos x ，x ∈[－π2，32π]的图象上有五个点A (－π2，0)，B (0,1)，C (π2，0)，D (π，－1)，E (32π，0)．以这五个点为起点和终点的向量中相等向量有( )A ．7组B ．8组C ．9组D ．10组解析：作出y ＝cos x ，x ∈[－π2，32π]的图象．相等向量有：AC →＝CE →，EC →＝CA →，BC →＝CD →，DC →＝CB →，AB →＝DE →，BA →＝ED →，AD →＝BE →，DA →＝EB →，共8组．答案：B9．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.解析：因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线，又因为m ∥AB →且m ∥BC →，所以m ＝0. 答案：010．已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，O 为△ABC 的外心，则OA →，OB →，OC →三个向量中，长度相等且共线的两个向量为__________．解析：如图所示，O 为Rt △ABC 的外心，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，共线且长度相等的有：OB →与OC →. 答案：OB →与OC →二、综合运用11．下列说法正确的是( )A ．若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．有相同起点的两个非零向量不平行D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .解析：对于A ，向量a ，b 共线时，向量a ，b 的方向相同或相反，故命题错误；对于B ，a ∥b ，b ∥c 时，则a ∥c 在b ＝0时不一定成立，故命题错误；对于C ，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故命题错误；对于D ，当a ＝b ，b ＝c 时，a ＝c ，命题正确．答案：D12．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形解析：由BA →＝CD →知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．答案：C13．设数轴上有四个点A ，B ，C ，D ，其中A ，C 对应的实数分别是1和－3，且AC →＝CB →，CD →为单位向量，则点B 对应的实数为________；点D 对应的实数为______；|BC →|＝________.解析：由相等向量的定义知，点B 对应的实数为－7；又|CD →|＝1，所以点D 对应的实数为－4或－2； |BC →|＝|AC →|＝4.答案：－7 －4或－2 414．如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB →相等的向量共有几个？(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？ (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？解析：(1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)．(2)与向量AB →平行且模为2的向量在每一个小正方形中有两个，共有24个． (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．15．一辆汽车从A 点出发向西行驶了50千米到达B 点，然后又改变方向向西偏北60°走了100千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了50千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →. (2)求|AD →|.解析：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，所以AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，所以在四边形ABCD 中，AB ∥CD 且 AB ＝CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以|AD →|＝|BC →|＝100 (千米)．。

高一向量知识点加例题(含答案)

向量复习题知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差。

③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 j i ,分别为与x 轴，y 轴正方向相同的单位向量 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。

2平面向量的坐标运算：（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- （3）若a =(x,y)，则λa =(λx,λy) （4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-=（4）若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ ，若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b ab a b +⋅-=-=-； ()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y xx 平面向量数量积的性质11≤±≤- 注意取等条件（共线）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =，则P 点坐标是（） A ．()8,1- B ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 2．下列向量中，与向量(1,1)a =-平行的向量是（）A ．(0,2)b =B ．(2,0)c =C ．(2,2)d =D ．(2,2)f =-3．a (2,1)=，b ()3,4=，则向量a 在向量b 方向上的投影长度为（） A ．25 B ．2 C ．5 D ．10 4．在三角形ABC 中，C=450， a=5 ,b=4, 则=⋅CA BC（）A ．102B ．202C ．210-D ．-2025．已知b a b a ,),5,2(),3,(-==λ的夹角为钝角，则λ的范围是（）A ．215>λ B ．215<λ C ．56<λ D ．56>λ 6．一只鹰正以水平方向向下300角飞行直扑猎物，太阳光从头上直射下来，鹰在地面上影子的速度为40m/s ，则鹰飞行的速度为（） A ．20m/s B ．3380m/s C ．20m/s D ．80m/s 7．O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足（OA OP -）·（AC AB -） =0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（） A.外心B.内心C.重心D.垂心8.已知OA a,OB b ==，C 为AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为CB 上据C 较近的一个三等分点，用a,b 表示OD 的表达式为（） A.4a 5b 9+ B.9a 7b 16+ C.2a b 3+ D.3a b4+ 9．已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，且→→→→=++AB PC PB PA ，则点P 与ABC ∆ 的位置关系是（）A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上或其延长线上10. 若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j11.对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB BC = ；②||||AB BC =；③||||AB CD AD BC -=+；④22||||4||AC BD AB += 2其中正确的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．在平面直角坐标系中，已知两点A （cos80o ,sin80o ）,B(cos20o ,sin20o),则｜AB ｜的值是（）A ．12BC D ．1二、填空题13.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则△ABC 的形状是 .14.已知实数x,y ，向量,a b 不共线，若（x+y-1）a +（x-y ）b =0，则x= ,y= 15．若三点(1,2),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x =16．在ABC ∆中，有命题：①AB AC BC -=；②AB BC CA ++=0；③若()()0AB AC AB AC +⋅-=，则ABC ∆为等腰三角形；④若0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形.其中正确的命题序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题17.（满分12分）设两个非零向量1e 和2e 不共线.(1)如果2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.(2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由. 18．（12分）已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=→→→→→→→→e e e e b e e a 其中；求（1）→→→→+⋅b a b a ;的值；（2）→a 与→b 的夹角的正弦值．19．（本小题满分12分）在,中ABC ∆设,,AB a BC b AC c ===， 060,3,4=∠==ABC BC AB ，求：（1）2a b -; （2）()()2a b a b -⋅+ ; （3）cos >+<b a a ,; 20. （本小题满分12分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ()1,2=.（1）若=c c //a ，求c 的坐标；（2）若b ()1,m =()0m <且a +2b 与a -2b 垂直，求a 与b 的夹角θ.21．（本小题满分12分）已知向量(2,1),(1,7),(5,1),OP OA OB X OP ===设是直线上的一点（O 为坐标原点），求XA XB ⋅的最小值．22．（本小题满分14分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(2π,23π). （I ）若|AC |=|BC |，求角α的值；（II ）若AC ·BC =-1，求αααtan 12sin sin 22++的值.BDBCA BDA DC CD 4．C=⋅CABC =⨯⨯>=<⋅0135cos 45,cos CA BC 210-5．A><b a ,为钝角,0<⋅⇔b a 且b a ,不反向.6．B设鹰飞行的速度为v ，其在地面上的影子的速度为1v4030cos 0==⋅3380=. 二.填空13.锐角三角形 14. 0.5，0.5 15.17616.③三.解答 17. 证明：（1）AD =AB +BC +CD =（1e +2e ）+（128e +2e ）+（133e -2e ） =6（1e +2e ）=6AB （2分）∴ //AD AB 且AD 与AB 有共同起点（3分）∴ A 、B 、D 三点共线（4分）（2）假设存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直，则（m 1e 2e +）⋅（1e -2e ）=0∴221122(1)0me m e e e +-⋅-= （6分）||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60∴ 22114e e ==，22229e e ==，1212cos 23cos603e e e e θ⋅==⨯⨯= ∴ 43(1)90m m +--= ∴ 6m =故存在实数6m =，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直．18．解：显然→a =3（1，0）—2（0，1）=（3，—2），→b =4（1，0）+（0，1）=（4，1）；易得：①→→⋅b a =3×4+（—2）×1=10；→→+b a =（3，—2）+（4，1）=（7，—1），→→+b a =22)1(7-+=25。

人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册课后习题第1章空间向量与立体几何空间向量的数量积运算

1.1.2 空间向量的数量积运算课后·训练提升基础巩固1.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a与b共线的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:a·b=|a||b|⇒cos<a,b>=1⇒<a,b>=0°,即a与b共线.反之不成立,当a与b反向共线时,a·b=-|a||b|.2.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=√2,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>等于( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案:B解析:由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,所以cos<a,b>=a·b|a||b|=2×√2=√22,又0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.3.已知四面体ABCD 的所有棱长都等于2,E 是棱AB 的中点,F 是棱CD 靠近C 的四等分点,则EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-12B.12C.-52D.52答案:D解析:由题意知EF ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ +14CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=-2,所以EF ⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12×2+2+14×(-2)=52,故选D. 4.已知A,B,C,D 是空间中不共面的四点,若(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形答案:B解析:∵(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(DB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即AB=AC.故△ABC 为等腰三角形.5.(多选题)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,关于下列四个结论,正确的是( )A.(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2B.A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°D.正方体的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:AB解析:如图所示,(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,故A 中结论正确;A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 中结论正确;AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的补角,而D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°,故AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,故C 中结论错误;正方体的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,故D 中结论错误.6.已知空间向量a,b,|a|=3√2,|b|=5,m=a+b,n=a+λb(λ∈R),<a,b>=135°,若m ⊥n,则λ的值为 . 答案:-310解析:由题意知a·b=|a||b|cos<a,b>=3√2×5×(-√22)=-15.由m ⊥n,得m·n=(a+b)·(a+λb)=0,即|a|2+(λ+1)a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0,解得λ=-310.7.如图,四面体ABCD 的每条棱长都等于2,点E,F 分别为棱AB,AD 的中点,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |= ,EF ⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为 .答案:√3π2解析:因为EF ⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos π3=2, 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ +14|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4-2+14×4=3. 所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −EF ⃗⃗⃗⃗ |=√3.因为EF ⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. 又<EF ⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >∈[0,π],所以<EF ⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π2. 8.已知空间向量a,b 满足|a|=3,|b|=2,且(a-2b)·(a+b)=5,则a+b 在a 上的投影向量为 . 答案:59a解析:∵(a-2b)·(a+b)=5, ∴|a|2-a·b -2|b|2=5,∴a·b=-4.∴a·(a+b)=|a|2+a·b=5,|a+b|=√|a |2+2a ·b +|b |2=√5. ∴cos<a,a+b>=a ·(a+b )|a ||a+b |=√53, ∴a+b 在a 上的投影向量为|a+b|cos<a,a+b>·a |a |=√5×√53×13a=59a.9.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AA 1=2,AD=4,E 为侧面ABB 1A 1的中心,F 为A 1D 1的中点.试计算: (1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)BF ⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)EF ⃗⃗⃗⃗ ·FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .解:设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)∵ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c-12a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b·(12c -12a +b)=|b|2=16.(2)∵BF ⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-a+12b,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c,∴BF ⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -a +12b)·(a+c)=|c|2-|a|2=0.(3)∵EF ⃗⃗⃗⃗ =EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12c-12a+12b,FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b+a, ∴EF ⃗⃗⃗⃗ ·FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12c -12a +12b)·(12b +a)=14|b|2-12|a|2=2.10.如图,在四面体OACB 中,OB=OC,AB=AC,求证:OA ⊥BC.证明:因为OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以△OAB ≌△OAC,所以∠AOB=∠AOC.所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOC-|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AOB=0,所以OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OA ⊥BC. 能力提升1.已知两条异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,则这两条异面直线所成的角为( ) A.30° B.60°C.120°D.150°答案:B2.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为1的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°,且A 1A=3,则A 1C 的长为( )A.√5B.2√2C.√14D.√17答案:A解析:∵A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =9+1+1-2×3×1×cos60°-2×3×1×cos60°=5, ∴|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.3.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA 1=√2,则BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为( )A.-√22B.-√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.-12D.-12AC⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:D解析:∵BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1. 又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+2=√3, ∴cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√66, ∴BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos<BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=-√22×√2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 4.如图,两条异面直线a,b 所成的角为60°,在直线a,b 上分别取点A',E 和点A,F,使AA'⊥a 且AA'⊥b.若A'E=2,AF=3,EF=√23,则线段AA'的长为 .答案:4或2解析:由题意知FE ⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以FE ⃗⃗⃗⃗ 2=(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵异面直线a,b 所成的角为60°,A'E=2,AF=3,EF=√23, ∴23=9+AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+4+0±2×2×3cos60°+0,∴|AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4或|AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 5.已知正三棱柱ABC-DEF 的侧棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点,若CF 上有一点N,使MN ⊥AE,则CNCF = .答案:116解析:设CN CF=m.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +m AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×1×1×(-12)+4m=0. ∴m=116.6.在四面体OABC 中,棱OA,OB,OC 两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G 为△ABC 的重心,则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )= . 答案:143解析:由已知得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0.如图,取BC 的中点D,连接OD,AD,则AD 经过点G,且AG=23AD,所以OG⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA⃗⃗⃗⃗⃗ +23×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=13(|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=13×(1+4+9)=143. 7.如图,在四面体ABCD 中,AB=CD,AC=BD,E,F 分别是AD,BC 的中点,求证:EF ⊥AD,且EF ⊥BC.证明:∵F 是BC 的中点,∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又E 是AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 同理AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. ∴2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴EF ⊥AD,且EF ⊥BC.8.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,∠BAA 1=∠DAA 1=π3,AC 1=√26.(1)求侧棱AA 1的长;(2)若M,N 分别为D 1C 1,C 1B 1的中点,求AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及异面直线AC 1和MN 的夹角. 解:(1)设侧棱AA 1=x,由题意知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=x 2,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2.∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26, 即x 2+2x-24=0. ∵x>0,∴x=4. 故侧棱AA 1=4.(2)∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ),第11页共11页 ∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×(1-1+2-2)=0, 故异面直线AC 1和MN 的夹角为90°.。