2018版高中数学平面解析几何初步2.1.2第3课时直线的一般式学业分层测评苏教版

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2018版高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.1 第2课时圆的一般方程学业分层测评苏教版必修2

2.2.1 第2课时圆的一般方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为________．【解析】方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 2．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________．【解析】 ∵(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.【答案】1143．动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是____________．【解析】圆的半径r ＝124＋k 2－2k ＋＝k 2－2k ＋3＝k －2＋2≥ 2.【答案】 [2，＋∞)4．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.【解析】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋－2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2. 【答案】 25．圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为________．【解析】圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3.AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1，∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0. 【答案】 x ＋y －4＝06．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积的最小值是________．【解析】直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×AB ×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝3－ 2. 【答案】 3－ 27．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为__________.【导学号：41292103】【解析】 ∵l 1，l 2过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，∴D ＋E ＝4.【答案】 48．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是________．【解析】圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14二、解答题9．设A (－c,0)，B (c,0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹.【导学号：41292104】【解】设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得x ＋c 2＋y 2x －c2＋y2＝a 2，化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)·y 2＝0. 当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12.所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆．10．已知过点A (0,1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且O M →·O N →＝12，求k 的值．【解】 (1)∵直线l 过点A (0,1)且方向向量a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由|2k －3＋1|k 2＋1<1，得4－73<k <4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴O M →·O N →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k ＋k1＋k2＋8＝12， ∴4k＋k1＋k2＝4，解得k ＝1. [能力提升]1．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是________．【解析】设P (x ，y )，则PM ⊥PN .又k PM ＝y －0x －－＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝y x －2(x ≠2)，∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1，即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形，因此不成立，同理当x ＝－2时，也不成立．故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．【答案】 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)2．若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积最大时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝__________.【导学号：41292105】【解析】若方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示圆，则有k 2＋4－4k 2>0，解得0≤k 2<43，而此时圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝12－3k 2＋4.要使圆的面积最大，只需r 最大，即当k＝0时，r 取得最大值为1，此时直线方程为y ＝－x ＋2，由倾斜角与斜率的关系知，k ＝tan α＝－1，又因为0°≤α<180°，所以α＝135°.【答案】 135°3．若光线从点A (1,1)出发，则经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(x －7)2＝4的最短路程等于________．【解析】 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为A ′C －2，A ′C ＝62＋62＝62， ∴所求的最短路程为62－2. 【答案】 62－24．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．【解】 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知，r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。

2018版高中数学平面解析几何初步2.3.3直线与圆的位置关系学业分层测评新人教B版

2.3.3 直线与圆的位置关系学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是A (1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.【答案】 B3．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )【导学号：45722110】A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12【解析】法一由3x ＋4y ＝b 得y ＝－34x ＋b 4，代入x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，并化简得25x 2－2(4＋3b )x ＋b 2－8b ＋16＝0，Δ＝4(4＋3b )2－4×25(b 2－8b ＋16)＝0，解得b ＝2或12.法二由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12. 【答案】 D4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4【解析】由弦长公式l ＝2r 2－d 2，可知圆心到直线的距离d ＝2，即|a －2|12＋－2＝2，解得a ＝0或4.【答案】 D5．圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n ＝( )A ．10－27B ．5－7C ．10－3 3D ．5－322【解析】圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＋2＋－1－2＝32<5.∴最大弦长为直径，即m ＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n ＝225－22＝27.∴m －n ＝10－27. 【答案】 A 二、填空题6．若直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△ECF 的面积为________．【解析】圆心C (2，－3)到直线x －2y －3＝0的距离为d ＝55＝5，又知圆C 的半径长为3，∴|EF |＝232－52＝4，∴S △ECF ＝12·|EF |·d ＝12×4×5＝2 5.【答案】 2 57．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0只有一个公共点，则实数m 的值为________．【解析】将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|3×1＋－＋m |32＋42＝|m －5|5＝1，∴m ＝0或m ＝10. 【答案】 0或108．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有_______个．【解析】圆的方程可化为 (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，所以弦心距为d ＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3 三、解答题9．过点A (1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x －2)2＋(y －2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，所以直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.圆心到直线的距离d ＝|2＋2－2|2＝2＜r ＝22，所以直线与圆相交．弦长为2r 2－d 2＝28－2＝2 6.10．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程.【导学号：45722111】【解】 (1)设圆A 的半径为r ， ∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)当直线l 与x 轴垂直时，则直线l 的方程x ＝－2，此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ，∴|AQ |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2＝r 2，又∵|MN |＝219，r ＝25， ∴|AQ |＝20－19＝1，解方程|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴此时直线l 的方程为y －0＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.[能力提升]1．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则ab 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3【解析】圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为5，所以|－2a －3|a 2＋b 2＝5，整理得a 2－12a ＋5b 2－9＝0且直线过P (－1,2)，代入得2b －a －3＝0，两式联立，得a ＝1，b ＝2，所以ab ＝2. 【答案】 C2．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ＝ 2 B ．－1＜b ≤1或b ＝－ 2 C ．－1≤b ≤1D ．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l 1和经过端点A ，B 的直线l 3，l 2，由图可知，当直线y ＝x ＋b 为直线l 1或位于l 2和l 3之间(包括l 3，不包括l 2)时，满足题意．∵l 1与半圆相切，∴b ＝－2；当直线y ＝x ＋b 位于l 2时，b ＝－1；当直线y ＝x ＋b 位于l 3时，b ＝1. ∴b 的取值范围是－1＜b ≤1或b ＝－ 2. 【答案】 B3．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.【解析】圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15.【答案】 4±154．(1)圆C 与直线2x ＋y －5＝0切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程；(2)已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．【解】 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. ∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， ∴2r ＝|15－－22＋12＝45，∴r ＝25，∴|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10， ① |2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10， ② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴b －1a －2＝12， ③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. (2)设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时一般式学案苏教版必修2

第3课时一般式【学习目标】1.掌握直线的一般式方程 2 理解关于x , y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（ A ,B 不同时为0）都表示直线 3会进行直线方程的五种形式之间的转化 .ET 问题导学 ---------------------------- 知识点一直线的一般式方程思考i 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用同时为0）来表示吗？思考2 关于x , y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（ A, B 不同时为0）一定表示直线吗?思考3当BN 时，方程Ax + By + C = 0（ A , B 不同时为0）表示怎样的直线？ B = 0呢?梳理直线的一般式方程形式条件Ax + By + C = 0( A , B 不知识点二梳理直线的类型一直线的一般式方程命题角度i求直线的一般式方程例i根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程:(1) 斜率是.3,且经过点A(5,3)；(2) 斜率为4，在y轴上的截距为一2;⑶经过点A—1,5) , B(2 , - 1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为一3,—1.B C B C反思与感悟(1)当A MO时，方程可化为x+A+入=o,只需求入，入的值；若BMO,则方程AC AC化为B+y+ B= o，只需确定B，B的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程•(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式•跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是—2,且经过点A(8，—6)的直线方程为______________________________ .⑵经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为 ______________________________ .3⑶在x轴和y轴上的截距分别是空和一3的直线方程为 ___________________________ .⑷经过点R(3 , - 2) , P2(5 , - 4)的直线方程为____________________________ .命题角度2由含参数的一般式求参数2 2例 2 设直线I 的方程为(m—2n—3) x- (2 m+ m- 1)y + 6 —2m= 0.(1) 若直线I在x轴上的截距为—3,则m= ___________ ;⑵若直线I的斜率为1，则n= ___________ .反思与感悟⑴方程Ax+ By+ C= 0表示直线，需满足A, B不同时为0.(2) 令x = 0可得在y轴上的截距.令y = 0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式•(3) 解分式方程注意验根•跟踪训练2 已知直线I仁x + my+ 6= 0, 12：( m- 2)x+ 3y + 2m= 0,当直线11与直线12的斜率相等，且I i与12不重合时，求m的值•类型二直线方程的综合应用例 3 已知直线I : 5ax- 5y-a+ 3= 0.(1) 求证：不论a为何值，直线I总经过第一象限;(2) 为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.反思与感悟一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式.另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式跟踪训练3 设直线I的方程为(a+ 1)x+ y + 2 - a= 0 ( a+ 1工0).(1)若I在两坐标轴上的截距相等，求I的方程；(2)若I不经过第二象限，求实数a的取值范围1. 已知直线的一般式方程为2x+ y—4 = 0,且点(0 , a)在直线上，则a= _____________ .2. 已知直线I的倾斜角为60°,在y轴上的截距为一4,则直线I的斜截式方程为_________________一般式方程为 _________ .3. 直线3x—4y+ m= 0在两坐标轴上截距之和为2，则实数m= ________ .4. 直线I仁(2mk 5m^ 2)x—(m i—4)y+ 5= 0的斜率与直线I2：x—y+ 3 = 0的斜率相同，则m= ________ .5. 若方程(吊一3m+ 2) x+ (m- 2)y —2m+ 5= 0 表示直线.(1) 求实数m的取值范围；(2) 若该直线的斜率k = 1,求实数m的值.p—规律与方法 - ------------------------------ 11. 在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷.2. 直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax+ By+ C= 0化为截距式有两种方法：一是令x= 0, y = 0,求得直线在y轴上的截距b和在x轴上的截距a; 二是移常项，得Ax+ By=—C两边除以—C(C M 0)，再整理即可.合案精析问题导学知识点一思考1能.思考2 一定.A C思考3当B M0时，由Ax+ By+ C= 0,得y =—段一目，所以该方程表示斜率为一轴上截距为-C fe直线；C当B= 0 时，A M0,由Ax+ By+ C= 0,得x =一A所以该方程表示一条垂直于x轴的直线.梳理Ax+ By+ C= 0 不同时为0知识点二梳理y—y o= k(x—x o) y = kx + b x i丰x2, y i M y与坐标轴平行及过原点的直线By+ C= 0题型探究例 1 解(1) 3x—y— 5 .3+ 3= 0(2)4 x—y —2 = 0 (3)2 x+ y —3 = 0(4) x + 3y + 3 = 0跟踪训练1 (1) x+ 2y+ 4= 0(2) y —2= 0 (3)2 x—y —3 = 0(4) x + y—1 = 05例 2 (1) — 3 (2) — 2跟踪训练2解由题设l 2的方程可化为y = —m——2x —|m,则其斜率k2=—m子,在y轴上的截距b2 = —2m•「I 1与12斜率相等，但不重合，.•.|1的斜率一定存在，即m M 0.Ax+1 6J 的方程为y 一 m<- m厂 m- 2 1—丁=-m 2 6 l 3m解得m=- 1. ••• m 的值为一1. 例3(1)证明将直线I 的方程整理为3 5-0 ⑵解直线0A 勺斜率为k == 3. 11-•/ I 不经过第二象限，• a >3. 故a 的取值范围为[3 ,+^).跟踪训练3解⑴由题意知a + 1工0,即a z — 1.当直线过原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为零，此时当a z2时，将方程化为截距式： a + 1a - 2•••截距存在且均不为 0,.・. 彳=a - 2,a + 1 即 a + 1 = 1,• a = 0，即方程为 x + y + 2 = 0. (2)将I 的方程化为y = — (a + 1)x + a -2, •••直线不过第二象限，y -3 = ax -象限，故不论 (1 3 而点A 5, 5I ，且过定点a 为何值，直线I 总经过第一象限.a = 2，即方程为 3x + y = 0；xa -2y a -2=1.—a+1 沁•• v - - aw — 1.a-2< 0,即a的取值范围是(一g, —1].当堂训练1. 42.y= 3x —43. —244.3m—2工0,5.解⑴由题意知* 2m—3m^ 2工0, 解得m^ 2.—吊―3nu?,m—2__1,得m= 0. 3x—y—4 = 0。

2018版高中数学平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系学业分层测评新人教B版

2.2.3 两条直线的位置关系学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( )A.(－4，－3)B.(4,3)C.(－4,3)D.(3,4) 【解析】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝3，故选C.【答案】 C2.若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝( )A.－2B.－12C.2D.12 【解析】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2.代入x ＋ky ＝0，得k ＝－12. 【答案】 B3.直线x ＋a 2y ＋6＝0和直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值是( )A.0或3B.－1或3C.0或－1或3D.0或－1 【解析】两直线无公共点，即两直线平行，∴1×3a －a 2(a －2)＝0，∴a ＝0或－1或3，经检验知a ＝3时两直线重合.【答案】 D4.设集合A ＝{(x ，y )|y －3x －1＝2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A.a ＝4B.a ＝－2C.a ＝4或a ＝－2D.a ＝－4或a ＝2【解析】集合A 表示直线y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1上的点，但除去点(1,3)，集合B 表示直线4x ＋ay －16＝0上的点，当A ∩B ＝∅时，直线y ＝2x ＋1与4x ＋ay －16＝0平行或直线4x ＋ay －16＝0过点(1,3)，∴－4a＝2或4＋3a －16＝0，∴a ＝－2或a ＝4，故选C. 【答案】 C5.点(－2,3)关于直线y ＝x ＋1的对称点的坐标为( )A.(2，－1)B.(3,0)C.(3，－1)D.(2,0) 【解析】设对称点为(x ，y )，∴y －3x ＋2＝－1，即x ＋y －1＝0① 又∵y ＋32＝x －22＋1，∴y ＋3＝x ，②解①②得，x ＝2，y ＝－1，故选A.【答案】 A二、填空题6.若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________________________________________________________.【解析】显然当a ＝1时两直线不平行；当a ≠1时，因为两条直线平行，所以－a 2＝31－a，解得a ＝3或a ＝－2.经检验，a ＝－2时两直线重合，故a ＝3.【答案】 37.已知定点M (0,2)、N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)，若点M 、N 到直线l 的距离相等，则实数k 的值是________.【解析】直线l 的方程为kx －y －2k ＋2＝0，即y －2＝k (x －2)，恒过定点(2,2).又点M 、N 到直线l 的距离相等，∴直线MN 与直线l 平行或MN 的中点在直线l 上，即k ＝2－00＋2＝1或k ·0－22－2＋02－2k ＋2＝0，k ＝13. ∴k ＝1或k ＝13. 【答案】 1或138.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m ＋n －p ＝________.【解析】由两条直线垂直，得k 1·k 2＝－1，即－m 4·25＝－1，∴m ＝10，直线为10x ＋4y －2＝0，又∵垂足为(1，p )，故p ＝－2，∴垂足为(1，－2)，代入2x －5y ＋n ＝0，得n ＝－12，故m ＋n －p ＝10＋(－12)－(－2)＝0.【答案】 0三、解答题9.已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，求点D 的坐标，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD .【解】设点D 的坐标为(x ，y )，由题意知直线CD 、AD 的斜率都存在.因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝yx －3且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1. ②由①②可得，x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1).10.(1)求与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56的直线的方程； (2)求过两条直线x －y ＋5＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程.【解】 (1)设直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)，令x ＝0，则在y 轴上的截距为b ＝－λ3；令y ＝0，则在x 轴上的截距为a ＝－λ2，由a ＋b ＝－λ2－λ3＝56，得λ＝－1，∴所求直线方程为2x ＋3y －1＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5＝0，3x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－187y ＝177，即已知的两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－187，177. 设所求直线方程为－2x －3y ＋C ＝0，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫－187，177代入方程得，C ＝157，故所求直线方程为－2x －3y ＋157＝0，即14x ＋21y －15＝0.[能力提升]1.与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A.y ＝12x ＋4 B.y ＝2x ＋4 C.y ＝－2x ＋4 D.y ＝－12x ＋4 【解析】 ∵直线y ＝2x ＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－12， ∴直线的斜截式方程为y ＝－12x ＋4，故选D. 【答案】 D2.已知两点A (2,0)，B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，有O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是( )A.19B.194C.5D.4【解析】由题意知AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即4－03－2×4－y 3－0＝－1，解得y ＝194，故选B. 【答案】 B3.过点A (－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为________.【解析】由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将点A (－1,3)代入，可得m ＝7，所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0.【答案】 x －2y ＋7＝04.已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线的方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线的方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程.【解】设A 关于∠B 的平分线的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋32－4×y 0－12＋10＝0，y 0＋1x 0－3×14＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝7.即A ′(1,7).设B 的坐标为(4a －10，a )，所以AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －72，a －12在直线6x ＋10y －59＝0上，所以6×4a －72＋10×a －12－59＝0，所以a ＝5，即B (10,5).由直线的两点式方程可得直线BC 的方程为2x ＋9y －65＝0.。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第1课时直线的点斜式学业分层测评苏教版必修220170722281

2.1.2 第1课时直线的点斜式(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列关于方程y＝k(x－2)的说法正确的是______．(填序号)①表示通过点(－2,0)的所有直线；②表示通过点(2,0)的所有直线；③表示通过点(2,0)且不垂直于x轴的直线；④通过(2,0)且除去x轴的直线．【解析】直线x＝2也过(2,0)，但不能用y＝k(x－2)表示．【答案】③2．斜率与直线y＝2x＋1的斜率互为负倒数，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是________．【解析】直线y＝2x＋1的斜率为2，1 ∴所求直线的斜截式方程为y＝－x＋4.21【答案】y＝－x＋4213．方程y＝ax＋表示的直线可能是图2－1－2中的________．(填序号)a①②③④图2－1－21 1【解析】直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.当a>0时，斜率a>0，在y轴上a a1 1的截距>0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个都不符合；当a<0时，斜率a<0，在ya a1 1轴上的截距<0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有②符合．a a【答案】②4．直线kx－y＋1＝3k，当k变化时，所有直线都通过一个定点，则这个定点的坐标是________.【导学号：41292069】【解析】直线方程可化为y－1＝k(x－3)，∴直线过定点(3,1)．【答案】(3,1)5．直线经过点(1,2)，在y轴上截距的取值范围是(0,3)，则其斜率k的取值范围是1__________．【解析】设直线l的方程为：y＝kx＋b.由已知2＝k＋b，∴b＝2－k，∴0<2－k<3，∴－1<k<2.【答案】(－1,2)6．如图2－1－3所示，在同一直角坐标系中，正确的表示直线l1：y＝ax与l2：y＝x＋a 图象的大致情况的是________．(1)(2)(3)(4)图2－1－3【解析】直线l2：y＝x＋a的斜率为1，则倾斜角为45°，故(2)(4)不正确；若a>0，直线l1：y＝ax的图象在一、三象限，直线l2的图象应在一、二、三象限，故(1)不正确；若a<0，直线l1的图象在二、四象限，直线l2的图象在一、三、四象限，故(3)正确.【答案】(3)7．直线y＝kx＋b经过二、三、四象限，则斜率k和纵截距b满足的条件为k________0，b________0(填“>”或“<”)．【解析】由图象(略)知，直线y＝kx＋b过二、三、四象限时k<0，b<0.【答案】<<18．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是2________．【解析】令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面1积为S＝|k|·|－2k|＝k2.2由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.【答案】k≥1或k≤－1二、解答题9．已知△ABC在第一象限中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边，BC边所在直线的方程．【解】(1)∵A(1,1)，B(5,1)，∴直线AB的方程是y＝1.2(2)由图可知，k AC＝tan 60°＝3，∴直线AC的方程是y－1＝3(x－1)，即3x－y－3＋1＝0.∵k BC＝tan(180°－45°)＝－1，∴直线BC的方程是y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.10．已知等腰△ABC的顶点A(－1,2)，AC的斜率为3，点B(－3,2)，求直线AC，BC及∠A的平分线所在直线的方程．【解】直线AC的方程：y＝3x＋2＋ 3.∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，∴BC的倾斜角为30°或120°.3当α＝30°时，BC的方程为y＝x＋2＋3，3∠A平分线的倾斜角为120°，∴所在直线方程为y＝－3x＋2－3.当α＝120°时，BC的方程为y＝－3x＋2－3 3.∠A平分线的倾斜角为30°，3 3∴所在直线方程为y＝x＋2＋.3 3[能力提升]1．直线l过点P(－1,1)，且与直线l′：2x－y＋3＝0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，则直线l的方程为__________．【解析】根据题意可知，所求直线l的斜率是－2.又因为直线l过点P(－1,1)，所以直线l的方程为2x＋y＋1＝0.【答案】2x＋y＋1＝012．直线y＝ax－的图象如图2－1－4所示，则a＝________.a图2－1－4【解析】由图象知，直线斜率为－1，在y轴上的截距为1，故a＝－1.3【答案】－133．直线l1过点P(－1,2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，3求直线l1和l2的方程．【解】直线l1的方程是3y－2＝－(x＋1)．33∵k1＝－＝tan α1，3∴α1＝150°.如图，l 1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l2的方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y－2＋3＝0.4．过点P(4,6)作直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，(1)当△AOB的面积为64时，求直线l的方程；(2)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程.【导学号：41292070】【解】设直线l的方程为y－6＝k(x－4)(k<0)．6令x＝0，y＝6－4k，令y＝0，x＝4－.k1 6(1)S＝×(6－4k)×＝64，2 (4－k)1 9解得k＝－或k＝－.2 2故直线l的方程为x＋2y－16＝0或9x＋2y－48＝0.1 6 18(2)S＝2×(6－4k)×(4－k)＝24－8k－，k∴8k2＋(S－24)k＋18＝0.由Δ＝(S－24)2－4×8×18≥0，得S≥48或S≤0.3∴面积的最小值为48，此时k＝－.243 ∴直线l的方程为y－6＝－(x－4)．2即3x＋2y－24＝0.5。

【小初高学习】2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时直线的一般式学案苏教版必修2

2.1.2 第3课时直线的一般式1．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点)2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．(易错、易混点)3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点)[基础·初探]教材整理1 二元一次方程与直线的关系阅读教材P85练习以下的部分，完成下列问题．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．(2)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为________．【解析】方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不同时为0，即A2＋B2≠0.【答案】A2＋B2≠02．过点(1,2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．【解析】过点(1,2)，斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.【答案】y－2＝0教材整理2 直线的一般式方程阅读教材P85～P86，完成下列问题．1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B.3．直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列． (3)x 的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，任何一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都表示一条直线．(×)(2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．(×)(3)直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系．(√)(4)方程①x ＋2y －3＝0；②x －3＝0；③y ＋1＝0均表示直线．(√) 2．方程x 3－y2＝1，化成一般式为________．【解析】由x 3－y2＝1，得2x －3y －6＝0.【答案】 2x －3y －6＝03．经过点(－2,3)，且斜率为2的直线方程的一般式为______________．【解析】由点斜式方程得y －3＝2(x ＋2)，整理得y ＝2x ＋7，即2x －y ＋7＝0. 【答案】 2x －y ＋7＝0[小组合作型]求直线的一般式方程根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (2,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－1； (3)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是3，－1.【精彩点拨】选择恰当方程形式，代入条件，再化成一般式．【自主解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －3＝3(x －2)，化为一般式为3x －y ＋3－23＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y ＝4x －1，化为一般式为4x －y －1＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为y －5－1－5＝x －－2－－.化为一般式方程为2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x 3＋y－1＝1.化成一般式方程为x －3y －3＝0.求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．[再练一题]1．求满足下列条件的直线方程，并化成一般式． (1)斜率为3，经过点(5，－4)； (2)斜率为－2，经过点(0,2)； (3)经过两点(2,1)和(3，－4)； (4)经过两点(2,0)和(0，－3)．【解】 (1)∵直线的斜率为3，过点(5，－4)，由直线的点斜式方程，得y ＋4＝3(x －5)， ∴所求直线方程为3x －y －19＝0.(2)∵直线的斜率为－2，在y 轴上的截距为2，由直线的斜截式方程，得y ＝－2x ＋2， ∴所求直线方程为2x ＋y －2＝0.(3)∵直线过两点(2,1)和(3，－4)，由直线的两点式方程，得y －1－4－1＝x －23－2，∴所求直线方程为5x ＋y －11＝0.(4)∵直线在x 轴，y 轴上的截距分别为2和－3，由直线的截距式方程，得x 2＋y－3＝1，∴所求直线方程为3x －2y －6＝0.直线方程的实际应用一根铁棒在20℃时，长10.402 5米，在40℃时，长10.405 0米，已知长度l和温度t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25℃时的长度．【精彩点拨】把(20,10.402 5)和(40,10.405 0)视为直线l 上的两个点，利用两点式求l 的方程，并估计t ＝25℃时的值．【自主解答】这条直线经过两点(20,10.402 5)和(40,10.405 0)，根据直线的两点式方程，得l －10.402 510.405 0－10.402 5＝t －2040－20，即l ＝0.002 5×t20＋10.400 0，当t ＝25℃时，l ＝0.002 5×2520＋10.400 0＝0.003 125＋10.400 0＝10.403 125. 即当t ＝25℃时，铁棒长为10.403 125米．在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样．待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法．一般地，已知一点，设k 为待定系数，但要注意分k 存在与不存在两种情况进行讨论．若已知斜率k ，则设在y 轴上的截距b 为待定系数．有关直线与坐标轴围成的三角形问题，则设横截距和纵截距为待定系数，总之，应因题而异，寻找解题的最佳方法．[再练一题]2．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图2－1－6，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．图2－1－6【解析】设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.【答案】 10[探究共研型]直线方程一般式的综合应用探究1 直线5ax －5y －a ＋3＝0是否一定过第一象限？为什么？【提示】 5ax －5y －a ＋3＝0变形为a (5x －1)＋3－5y ＝0.当5x －1＝0时，3－5y ＝0即直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，所以不论a 为何值，直线一定过第一象限．探究2 要使直线5ax －5y －a ＋3＝0不经过第二象限，那么a 的取值范围是什么？【提示】易知直线5ax －5y －a ＋3＝0过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3. 而直线l 的方程整理得y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15.∵l 不经过第二象限，∴k ＝a ≥3.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)是否存在实数a ，使直线l 不经过第二象限？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【精彩点拨】 (1)分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解． (2)分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解．【自主解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，即截距相等， ∴a ＝2时满足条件，此时l 的方程为3x ＋y ＝0；当a ＝－1时，直线平行于x 轴，在x 轴无截距，不合题意；当a ≠－1，且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，即a ＝0. 此时直线在x 轴，y 轴上的截距都为－2，l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等． (2)假设存在实数a ，使直线l 不经过第二象限．将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋，a －2≤0，解得a ≤－1.1．本题(1)在求解过程中，常因忽略直线l 过原点的情况而产生漏解；本题(2)在求解过程中，常因漏掉“－(a ＋1)＝0”的情形而漏解．2．解答此类综合问题，常采用分类讨论(或数形结合)的思想求解．解题时应结合具体问题选好切入点，以防增(漏)解．[再练一题]3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围.【解】 (1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0. 故k 的取值范围为{k |k ≥0}．1．过点(0，－1)，倾斜角为60°的直线的一般式方程为________．【解析】 k ＝tan 60°＝3，由斜截式方程得y ＝3x －1，化为一般式：3x －y －1＝0. 【答案】3x －y －1＝02．已知直线的一般式方程为2x ＋y －4＝0，且点(0，a )在直线上，则a ＝__________. 【解析】把点(0，a )的坐标代入方程2x ＋y －4＝0，得a －4＝0，所以a ＝4. 【答案】 43．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过第________象限. 【解析】由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b >0，直线在y 轴上的截距c b<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限．【答案】一、三、四4．斜率为－3，在y 轴上的截距为2的直线的一般式方程是________．【解析】由斜截式方程得y ＝－3x ＋2，化为一般式：3x ＋y －2＝0. 【答案】 3x ＋y －2＝05．已知一个等腰三角形，两腰长是5，底边长是8，建立适当坐标系，求两腰所在的直线的方程．【解】如图，以底边BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，易知点B ，C 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)．在Rt △AOC 中，AC ＝5，OC ＝4，则OA ＝3.所以点A 的坐标为(0,3)．由直线的截距式方程得腰AB 所在的直线方程为：x －4＋y 3＝1，即3x －4y ＋12＝0；腰AC 所在的直线方程为x4＋y3＝1，即3x ＋4y －12＝0.。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.3两条直线的平行与垂直学业分层测评苏教版必修2

2.1.3 两条直线的平行与垂直(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为________．【解析】直线l 1的斜率k 1＝x －3－1－2＝3－x 3，由题意可知3－x3＝－1，∴x ＝6.【答案】 62．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是________三角形．【解析】∵k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角．【答案】直角3．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是________．【解析】∵l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，不妨设斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.【答案】垂直4．若点A (0,1)，B (3，4)在直线l 1上，直线l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为________.【导学号：41292083】【解析】由题意可知k AB ＝4－13－0＝ 3.又l 1⊥l 2，从而l 2的斜率为－33. 由tan α＝－33，得α＝150°. 【答案】 150°5．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝________.【解析】l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－－3－a＝1，得a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1，即b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.【答案】－26．设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，有下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④PR ⊥QS . 其中正确的结论是________．【解析】由斜率公式知，k PQ ＝－4－26＋4＝－35， k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14， ∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，PR ⊥QS . 而k PS ≠k QS ，∴PS 与QS 不平行．故结论正确的为①②④. 【答案】①②④7．△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(－a,0)，(a,0)(a >0)，边AC ，BC 所在直线的斜率之积等于k .①若k ＝－1，则△ABC 是直角三角形； ②若k ＝1，则△ABC 是直角三角形； ③若k ＝－2，则△ABC 是锐角三角形； ④若k ＝2，则△ABC 是锐角三角形．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【解析】由k AC ·k BC ＝k ＝－1，知AC ⊥BC ，∠C ＝π2，①正确，②不正确．由k AC ·k BC ＝k ＝－2，知∠C 为锐角，k AC 与k BC 符号相反，③正确，④不正确．【答案】①③8．过点(m ，n )且与直线nx －my ＋mn ＝0平行的直线一定恒过点__________.【导学号：41292084】【解析】过点(m ，n )且与直线nx －my ＋mn ＝0平行的直线方程为m (y －n )＝n (x －m )，即nx －my ＝0，此直线恒过定点(0,0)．【答案】 (0,0) 二、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线． (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．【解】 (1)由k AB ＝m －32m2。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2直线方程的几种形式学业分层测评新人教B版必修220

2.2.2 直线方程的几种形式学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列说法正确的是( )A.经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B.经过任意两个不同点P (x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1表示D.经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示【解析】当直线与y 轴重合时，斜率不存在，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；当x 1≠x 2，y 1≠y 2时由直线方程的两点式知选项B 正确，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时直线方程为x －x 1＝0，即(x －x 1)(y 2－y 1)＝(y －y 1)(x 2－x 1)，同理x 1≠x 2，y 1＝y 2时也可用此方程表示.故选B.【答案】 B2.直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 值为( ) A.65B.－6C.－65D.6 【解析】将(3,0)代入得(m ＋2)3＝2m解得m ＝－6.【答案】 B3.若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( )A.ab >0，bc >0B.ab >0，bc >0C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0 【解析】直线经过第一、二、三象限，则由y ＝－a b x －c b可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ －a b >0，－c b >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ ab <0，bc <0，选D.【答案】 D4.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y －a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合.【答案】 A5.若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )A.1B.2C.－12D.2或－12 【解析】当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12. 【答案】 D二、填空题6.直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________.【解析】将直线方程变形为y －2＝a (x －3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a ，过定点(3,2).【答案】 (3,2)7.已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为________.【解析】直线l 2的斜率k 2＝1，故l 1的斜率为－1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2).【答案】 y －1＝－(x －2)8.已知光线经过点A (4,6)，经x 轴上的B (2,0)反射照到y 轴上，则光线照在y 轴上的点的坐标为________.【解析】点A (4,6)关于x 轴的对称点A 1(4，－6)，则直线A 1B 即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为：3x ＋y －6＝0，令x ＝0，得y ＝6，所以反射光线经过y 轴上的点的坐标为(0,6).【答案】 (0,6)三、解答题9.若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线.(1)求实数m 的范围；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值.【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＋2＝0，m －2＝0，解得m ＝2，若方程表示直线，则m 2－3m ＋2与m －2不能同时为0，故m ≠2.(2)由－m 2－3m ＋m －2＝1，解得m ＝0.10.求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程.【解析】法一设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b .①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.法二设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)，令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.[能力提升]1.直线x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线的方程为( )A.x －y －1＝0B.x －y －2＝0C.x ＋y －1＝0D.x ＋y ＋1＝0【解析】令y ＝0，则x ＝－1，令x ＝0，则y ＝1，∴直线x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，由直线的截距式方程可知，x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0.【答案】 C2.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图223所示，则( )图223A.b >0，d <0，a <cB.b >0，d <0，a >cC.b <0，d >0，a >cD.b <0，d >0，a <c【解析】由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a >0，k 2＝－1c>0且k 1>k 2，∴a <0，c <0且a >c .又l 1的纵截距－b a <0，l 2的纵截距－d c >0，∴b <0，d >0，故选C.【答案】 C3.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【解析】直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 34.直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解】设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ①又∵直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，∴43a ＋2b ＝1. ②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y 9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.若满足条件(2)，则ab ＝12， ③由题意得：43a ＋2b ＝1， ④由③④整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6， ∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y 6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0.。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步章末综合测评苏教版必修220170722269

(二)平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．3 3 3【解析】l：y＝x＋，k＝，∴α＝30°.3 3 3【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为2 3.【答案】 2 33．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．|－1－m＋1| |m|【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝＝<1＝r.故直线l与圆C相m2＋1 m2＋1交．【答案】相交14．关于x的方程4－x2＝(x－2)＋3解的个数为________个.21 1【解析】作出y＝4－x2和y＝(x－2)＋3＝x＋2的图象(略)．可看出直线与半圆有两2 2个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．1【解析】因为直线3x＋y－1＝0的斜率为－3，所以直线l的斜率为.又直线在x轴上31 的截距为－2，即直线l与x轴的交点为(－2,0)，所以直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即x－33y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝06．若曲线(x－1)2＋(y－2)2＝4上相异两点P，Q关于直线kx－y－2＝0对称，则k的值为__________．【解析】依题意得，圆心(1,2)在直线kx－y－2＝0上，于是有k－4＝0，解得k＝4.【答案】 417．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．|0＋0－15| 【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝＝3.32＋42【答案】 38．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和B(x，－1,6)的距离为86，则x的值为________．【解析】(x＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86，解得x＝2或－8.【答案】2或－89．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.【解析】依题意，不妨设直线y＝x＋a与单位圆相交于A，B两点，则∠AOB＝90°.如图，此时a＝1，b＝－1.满足题意，所以a2＋b2＝2.【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】设平面上的点为P，易知ABCD为凸四边形，设对角线AC与BD的交点为P′，则|PA|＋|PC|≥|AC|＝|AP′|＋|P′C|，|PB|＋|PD|≥|BD|＝|BP′|＋|P′D|，当且仅当P与P′重合时，上面两式等号同时成立，由AC和BD的方程解得P′(2,4)．【答案】(2,4)11．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0平行，则l1与l2距离为________．a 3 1【解析】由l1∥l2可知＝≠，2 a＋1 1解得a＝－3或a＝2(舍)，∴a＝－3.1 ∴l1：－3x＋3y＋1＝0，即x－y－＝0，31 l2：2x－2y＋1＝0，即x－y＋＝0，21 1|－－2|35 2∴l1与l2间的距离d＝＝.2 1225 2【答案】1212．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是__________．【解析】由圆C的方程x2＋y2＋4x－4y＋4＝0可得圆心C(－2,2)，由题意知直线l过OC 的中点(－1,1)，又直线OC的斜率为－1，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.【答案】x－y＋2＝013．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为________．【解析】设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆1 5 的直径，∴四边形PACB的外接圆方程为(x－2)2＋(y－2 )2＝，①4圆C：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．【答案】2x＋y－3＝014．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}，当A∩B＝B时，r的取值范围是________.【解析】∵A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r>0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B＝B可知两圆内含或内切．∴2≤2－r，即0<r≤2－ 2.【答案】(0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知圆C的方程为：x2＋y2－2x－4y＋m＝0，(1)求m的取值范围；(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求m的值．【解】(1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m＞0，∴m＜5.(2)圆心(1,2)，半径r＝5－m，|1－4－1|因为圆和直线相切，所以有＝5－m，12＋－229所以m＝.516．(本小题满分14分) 直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3 2，求直线l的方程．【解】若l在两坐标轴上截距为0，|4k－3|设l：y＝kx，即kx－y＝0，则＝3 2.1＋k2333 解得 k ＝－6±.此时 l 的方程为 y ＝ x ；14(－6 ±14) 22 若 l 在两坐标轴上截距不为 0， x y设 l ：＋＝1，a a|4＋3－a | 即 x ＋y －a ＝0，则＝3 2. 12＋12 解得 a ＝1或 13.此时 l 的方程为 x ＋y －1＝0或 x ＋y －13＝0.3综上，直线 l 的方程为 y ＝(－6 ±14)x 或 x ＋y －1＝0或 x ＋y －13＝0.217．(本小题满分 14分)一个长方体的 8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)， (3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标；(3)求这个长方体外接球的体积．【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径，3＋0 0＋1 0＋93 1 9所以球心坐标为(，即 . ，，，， 2) (2)222 2(3)因为长方体的体对角线长 d ＝－32＋12＋92＝91，d 91 所以其外接球的半径 r ＝＝ . 2 2 44 91391π 所以其外接球的体积 V 球＝πr 3＝ π＝.3(2 )913618．(本小题满分 16分)已知圆 C 的圆心与 P (0,1)关于直线 y ＝x ＋1对称，直线 3x ＋4y ＋ 1＝0与圆 C 相交于 E ，F 两点，且|EF |＝4.(1)求圆 C 的标准方程；(2)设直线 l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆 C 的交点 A ，B ，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程．【解】 (1)点 P (0,1)关于直线 y ＝x ＋1的对称点，即圆心 C 的坐标为(0,1)，|0＋4＋1| 圆心C到直线3x＋4y＋1＝0的距离为d＝＝1.5所以r2＝12＋22＝5，得圆C的方程为x2＋(y－1)2＝5.4(2)联立得Error!消去y，得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0.由于Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20>0，故l与圆C必交于两点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则Error!1 2 1消去m，得(x2)＋(y0－1)2＝.0－41 2 1∴M点的轨迹方程为(x－2 )＋(y－1)2＝.419．(本小题满分16分)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；n－3(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．m＋2【解】(1)由题意知，圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2 2.又|QC|＝[2－－2]2＋7－32＝4 2>2 2，∴|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2.n－3(2)因为表示直线MQ的斜率，m＋2n－3所以设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)(k＝m＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由题意知直线MQ与圆C有交点，|2k－7＋2k＋3|所以≤22，1＋k2解得2－3≤k≤2＋3，n－3所以的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.m＋220．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.图1x0－8 y0＋2【解】设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为( ， 2 )，由条件可得：2Error!得Error!5解得Error!即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．y－0 x－5故所求直线BC的方程为＝，4－0 6－5即4x－y－20＝0.6。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离学业分层测评新人教B版必修

224点到直线的距离（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1•点P 在x 轴上，且到直线 3x — 4y + 6 = 0的距离为6,则点P 的坐标为（）A.（8,0） B.（ — 12,0） C.（8,0）或（一12,0）D.（ — 8,0）或（12,0）|3 x — 4X 0+ 6|【解析】设点P 的坐标为（X, 0）,则根据点到直线的距离公式可得 —2 ’ 2 = 6,寸 32+ —4 解得x = 8或x =— 12.所以点P 的坐标为（8,0）或（—12,0）. 【答案】 C2 . .2. 已知点A （0,2）、B （2,0），若点C 在函数y = x 的图象上，则使得厶 ABC 的面积为2的点C 的个数为（）A.4B.3C.2D.1【解析】由题意可得|AB = 2 2,直线AB 的方程为x + y — 2 = 0.因为△ ABC 的面积为2，所以AB 边上的高h 满足方程1X2 2h = 2,得h = 2.+ t — 4 = 0或t 2+ t = 0,这两个方程共有 4个不相等的实数根，故满足题意的点C 有4个.【答案】 A 3.到直线3x — 4y — 11 = 0的距离为2的直线方程为（）A. 3x — 4y — 1 = 0B. 3x — 4y — 1 = 0 或 3x — 4y — 21 = 0C. 3x — 4y + 1 = 0D. 3x — 4y — 21 = 0| c — —II |【解析】设所求的直线方程为3x — 4y + c = 0.由题意-2= 2，解得c =— 1寸3 + —4或c =— 21.故选B.2设点qt , t ），则由点到直线的距离公式得2|t + t — 2| —2—2 2即 |t + t — 2| = 2,则 t【答案】B4. 已知点（a, 2）（a>0）到直线I : x —y + 3= 0的距离为1，贝U a等于（）A. 2B.2 —2C. 2- 1D. 2 + 1【解析】由题意得|a -芳31 = 1，即| a +11 =£V 2 又 a >0,「. a = J 2— 1.【答案】 C【答案】 A 、填空题6•倾斜角为60°,且与原点的距离是 5的直线方程为 __________________ .【解析】因为直线斜率为tan 60 °= • 3，可设直线方程为 y =•_ 3x + b ,化为一般式± 10.所以直线方程为 3x — y + 10= 0或.3x — y — 10= 0. 【答案】 .3x — y + 10= 0 或 3x — y —10 = 07.若点P 在直线x + y — 4= 0 上, O 为原点，则|OP 的最小值是 ___________ 【解析】I OP 的最小值，即为点 0到直线x + y — 4= 0的距离，d —丨 —— |=厶艮.【答案】 2 28.已知 x + y — 3= 0，则 ―x — 2—2+ y + 1—2的最小值为 _________【解析】设P (x , y ) , A (2 , — 1),则点P 在直线x + y — 3 = 0 上,5. 抛物线y = - x 2上的点到直线 4x + 3y — 8 = 0距离的最小值是（A.3B.5C.5D.203【解析】 2 2设Rx o ,— X o ）为y = — x 上任意一点，则由题意得P 到直线4x + 3y — 8 = 02的距离 d =|4xo —3x0—8122、 20—3 x o — -------.3 3 520t2丄•••当 x o = 3时, d min = ~5得，3x — y + b = 0.由直线与原点距离为|0 — 0 + b |5，得.「3 J —12=5?|b | = 10.所以且.x—? 2+ y+1 2=|PA.|2 +—I 一 3|I PA 的最小值为点 A (2 , — 1)到直线x + y — 3 = 0的距离d = -------------------------- 22= 2.屮+ 1 【答案】 .2三、解答题9.已知直线l i 和l 2的方程分别为7x + 8y + 9= 0,7x + 8y — 3 = 0，直线I 平行于l i ,直线d i 1I 与l i 的距离为d i ，与丨2的距离为d 2,且了 =，求直线I 的方程.d 2 2【解】由题意知l i //丨2,故l i //丨2〃 I . 设I 的方程为7x + 8y + c = 0,|c — 9| |c — — |_72+ 82=—7T?— 解得c = 2i 或c = 5.•••直线 I 的方程为 7x + 8y + 2i = 0 或 7x + 8y + 5= 0. I0.已知正方形的中心为直线x — y + i = 0和2x + y + 2= 0的交点，正方形一边所在直线方程为x + 3y — 2 = 0,求其他三边所在直线的方程. x — y +1 = 0,【解】 ••由|2x + y + 2 = 0,•中心坐标为（一1,0）.| — 1 — 2| = 3 「2+ 32 —IO ，x + 3y + m = 0 和 3x — y + n = 0.• m = 4 或 m =— 2（舍去），n = 6 或 n = 0.•其他三边所在直线的方程为x + 3y + 4= 0,3x — y = 0,3 x — y + 6= 0.［能力提升］1. 在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】由题可知所求直线显然不与 y 轴平行，•可设直线为y = kx + b,解得|x =—1， y = 0，•••中心到已知边的距离为•••正方形中心到各边距离相等,即kx—y + b= 0..| k —2 + b|…d1= ••一= 1,V k2+ 1■|3 k—1 + b| - …、d2= -------------------- 2= 2，两式联立，k2+15 4解得b i= 3, b2= 3，二k i = 0, k2= — 3.故所求直线共有两条.【答案】B2. 若动点A(x i, y i)、B(X2, y2)分别在直线l i：x+ y—7 =0 和12：x + y —5= 0 上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为()A.3 2B.2 3C.3 3D.4 2【解析】根据已知条件可以知道，AB的中点M—定在处于l i,丨2之间且与l i,丨2距离相等的直线上，即M在直线x + y—6= 0 上, M到原点距离的最小值就是原点到直线x+ y — 6 =0的距离，由点到直线的距离公式得d= -= 3J2.【答案】A3. 若直线m被两平行线I仁x —y + i= 0与I2：x—y+ 3 = 0所截得的线段的长为2 2,则m的倾斜角可以是①i5°，②30°，③45°，④60°，⑤75°,其中正确答案的序号是_______ .(写出所有正确答案的序号)【解析】两平行线间的距离为d= ,i+1 =2，由题意知直线叭「的夹角为30, i的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+ 45°= 75°或45°—30°= i5【答案】①⑤4. 如图2-2-4所示，已知直线I仁x+ y —i = 0,现将直线I i向上平移到直线丨2的位置, 若I2 , l i和坐标轴围成的梯形面积为4,求I 2的方程.图2-2-4【解】设丨2的方程为y=—x+ b(b>0)，则题图中A(i,0) , Q0,i) , B(b, 0) , Q0 , |1 + 0—b| | b—1| —2_ =— 2—.2+ 2b2=4，所以b2= 9, b=± 3•但b>1,所以b yQ A>沪丘b>1)，由梯形面积公式得b—b).所以AD= 2,BC= 2b.梯形的高h就是A点到直线12的距离，故h = =3.从而得到直线12的方程是x+ y — 3 = 0.。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.1直线的斜率学业分层测评苏教版

2.1.1 直线的斜率(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列说法中，正确的是________．①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α； ②直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α； ③若直线的倾斜角为α，则sin α>0；④任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α.【解析】 α＝90°时，①不成立；α不一定符合倾斜角的范围，故②错；当α＝0°时，sin α＝0，故③错；④正确．【答案】 ④2．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则实数m 的值为__________．【解析】根据斜率公式得k AB ＝－1，k AC ＝6－2m3.∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴6－2m3＝－1.∴m ＝92.【答案】 923．已知直线l 的倾斜角为α，且0°≤α<135°，则直线l 的斜率的取值范围是__________________．【解析】设直线l 的斜率为k ，当0°≤α<90°时，k ＝tan α≥0；当α＝90°时，无斜率；当90°<α<135°时；k ＝tan α<－1，∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1)∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪[0，＋∞)4．若直线l 过原点，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是________.【导学号：41292064】【解析】倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．【答案】 90°≤α<180°或α＝0°5．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线l 过点P (1,1)与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．【解析】直线PA 的斜率k PA ＝2，直线PB 的斜率k PB ＝34，结合图象，可知直线l 的斜率k 的取值范围是k ≥2或k ≤34.【答案】 k ≥2或k ≤346．若过点P (3－a,2＋a )和点Q (1,3a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是__________．【解析】 k ＝tan α＝3a －＋a 1－－a ＝2a －2a －2， ∵α为钝角， ∴2a －2a －2<0， ∴1<a <2. 【答案】 (1,2)7．已知直线l 1的倾斜角为α，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角用α表示为________．【解析】设l 2的倾斜角为θ，当α＝0°时，θ＝0°；当0°<α<180°时，θ＝180°－α. 【答案】 0°或180°－α8．已知过点(－3，1)和点(0，b )的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，则b 的取值范围是________．【解析】因为30°≤α<60°，所以33≤k <3，又k ＝b －13，所以33≤b －13<3，解得2≤b <4. 【答案】 2≤b <4 二、解答题9．△ABC 的三个顶点为A (1,1)，B (2,2)，C (1,2)，试求△ABC 三边所在直线的斜率和倾斜角．【解】由各点坐标知，三边所在直线的斜率分别为k AB ＝2－12－1＝1，k AC 不存在，k BC ＝2－21－2＝0，故相应的三条直线的倾斜角分别为45°，90°，0°.10．过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【导学号：41292065】【解】如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－－3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－－－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1；当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角， ∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 【答案】 (－2,1)2．直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围是__________．【解析】依题意，作出图形，k AO ＝2，k AB ＝0，由数形结合可知k l ∈[0,2]．【答案】 [0,2]3．若点P (x ，y )在线段AB ：y ＝1(－2≤x ≤2)上运动，则y x的取值范围是________．【解析】如图所示，y x 的几何意义为点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，∴y x ≥12或y x ≤－12.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞4．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，求点Q 的坐标及入射光线的斜率．【解】点B (4,3)关于y 轴的对称点B ′(－4,3)，k AB ′＝1－32＋4＝－13，从而入射光线的斜率为－13.设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－13，解得y ＝53，即Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53.。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离学业分层测评新人教b版必修2

2.2.4 点到直线的距离(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.点P 在x 轴上，且到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( ) A.(8,0)B.(－12,0)C.(8,0)或(－12,0)D.(－8,0)或(12,0)【解析】设点P 的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得|3x －4×0＋6|32＋－2＝6，解得x ＝8或x ＝－12.所以点P 的坐标为(8,0)或(－12,0). 【答案】 C2.已知点A (0,2)、B (2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A.4B.3C.2D.1【解析】由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程为x ＋y －2＝0.因为△ABC 的面积为2，所以AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，得h ＝ 2.设点C (t ，t 2)，则由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t 2＋t －2|＝2，则t2＋t －4＝0或t 2＋t ＝0，这两个方程共有4个不相等的实数根，故满足题意的点C 有4个.【答案】 A3.到直线3x －4y －11＝0的距离为2的直线方程为( ) A.3x －4y －1＝0B.3x －4y －1＝0或3x －4y －21＝0C.3x －4y ＋1＝0D.3x －4y －21＝0【解析】设所求的直线方程为3x －4y ＋c ＝0.由题意|c －－32＋－2＝2，解得c ＝－1或c ＝－21.故选B.【答案】 B4.已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2B.2－ 2C.2－1D.2＋1【解析】由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1. 【答案】 C5.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D.203【解析】设P (x 0，－x 20)为y ＝－x 2上任意一点，则由题意得P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x 0－3x 20－8|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎪⎫x 0－232－2035，∴当x 0＝23时，d min ＝2035＝43.【答案】 A 二、填空题6.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________.【解析】因为直线斜率为tan 60°＝3，可设直线方程为y ＝3x ＋b ，化为一般式得3x －y ＋b ＝0.由直线与原点距离为5，得|0－0＋b |32＋－2＝5⇒|b |＝10.所以b ＝±10.所以直线方程为3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝0. 【答案】3x －y ＋10＝0或3x －y －10＝07.若点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是________.【解析】 |OP |的最小值，即为点O 到直线x ＋y －4＝0的距离，d ＝|0＋0－4|1＋1＝2 2.【答案】 2 2 8.已知x ＋y －3＝0，则x －2＋y ＋2的最小值为________.【解析】设P (x ，y )，A (2，－1)，则点P 在直线x ＋y －3＝0上，且x －2＋y ＋2＝|PA |.|PA |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋－－3|12＋12＝ 2. 【答案】 2三、解答题9.已知直线l 1和l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0，直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1d 2＝12，求直线l 的方程.【解】由题意知l 1∥l 2，故l 1∥l 2∥l . 设l 的方程为7x ＋8y ＋c ＝0，则2·|c －9|72＋82＝|c －－72＋82，解得c ＝21或c ＝5.∴直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0.10.已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程.【解】 ∵由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴中心坐标为(－1,0).∴中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310. 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0. ∵正方形中心到各边距离相等， ∴|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310.∴m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0.∴其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0,3x －y ＝0,3x －y ＋6＝0.[能力提升]1.在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.4条【解析】由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0. ∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条. 【答案】 B2.若动点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为( )A.3 2B.2 3C.3 3D.4 2【解析】根据已知条件可以知道，AB 的中点M 一定在处于l 1，l 2之间且与l 1，l 2距离相等的直线上，即M 在直线x ＋y －6＝0上，M 到原点距离的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d ＝|－6|2＝3 2.【答案】 A3.若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)【解析】两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，由题意知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.【答案】 ①⑤4.如图224所示，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程.图224【解】设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >0)，则题图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b ).所以AD ＝2，BC ＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，所以b 2＝9，b ＝±3.但b >1，所以b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学业分层测评新人教B版必

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学业分层测评新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学业分层测评新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率学业分层测评（建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1。

下列说法正确的是（)A.一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B。

直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C.与x轴平行的直线的倾斜角为180°D。

每一条直线都存在倾斜角,但并非每一条直线都存在斜率【解析】选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α〈180°,故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确.【答案】D2。

若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是（)A.45°，1B.135°，－1C.90°，不存在D。

180°，不存在【解析】由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在。

故选C.【答案】C3.若过两点A（4，y），B(2，－3)的直线的倾斜角是135°,则y等于( ）A.1B.5C.－1D.－5【解析】由斜率公式可得：错误!＝tan 135°，∴y＋32＝－1，∴y＝－5.∴选D.【答案】D4.若直线l的向上方向与y轴的正方向成60°角，则l的倾斜角为（）A.30°B.60°C。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程学业分层测评新人教B版必修2

2.3.1 圆的标准方程学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.【答案】 D2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )A．a2＋b2＝0B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0D．a＝0，b＝0【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.【答案】 B3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )A．1 B．4C．5 D．6【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5，所以所求最小值为5－1＝4.【答案】 B4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．【答案】 D5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【解析】直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.【答案】 C 二、填空题6．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________．【解析】由题意知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，4－42，即(2,0)，半径为12－1－2＋＋2＝5，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25.【答案】 (x －2)2＋y 2＝257．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________. 【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.【答案】 a >113或a <－1138．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．【解析】圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|112|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.【答案】 1＋ 2 三、解答题9．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程．【解】法一设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， ∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－b 2＝r 2，－3－a 2＋－b 2＝r 2，2a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.法二设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ， ∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )．由圆的定义得|AC |＝|BC |，即a －2＋－2a －2＝a ＋2＋－2a －2.解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝－2＋－2＝5.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.10．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．【解】圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，半径r ＝52.设所求圆的圆心为(m ，n )，∵它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，∵⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12×1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32.∴所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.[能力提升]1．若直线x ＋y －3＝0始终平分圆(x －a )2＋(y －b )2＝2的周长，则a ＋b 等于( ) A ．3 B ．2 C ．5D ．1【解析】由题可知，圆心(a ，b )在直线x ＋y －3＝0上，所以a ＋b －3＝0，即a ＋b ＝3，故选A.【答案】 A2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 【解析】点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋－2＝455，又|AB |＝5，所以△PAB 面积的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝12(4－5)，选B.【答案】 B3．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________．【解析】设圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋1＝r 2，－a2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝104．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程. 【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13， ∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径r 1＝5＋12－132＝2，圆心为C 1(2，－2)．∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4. ∵外接圆的半径r 2＝132，圆心为C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－6， ∴外接圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋6)2＝1694.。

2018版高中数学第一章立体几何初步 1.2.3 第1课时直线与平面平行学业分层测评苏教版必修2

1.2.3 第1课时直线与平面平行(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂α，CD⊄α，则CD与平面α内的直线的位置关系只能是________．【解析】由条件知CD∥α，故CD与α内的直线平行或异面．【答案】平行或异面2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列四个命题正确的是________．①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l相交．【解析】依题意，直线l∩α＝A(如图)，α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．【答案】②3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB∥平面MNP的图形的序号是__________.图1－2－44【解析】过AB的体对角面与面MNP平行，故①成立；④中易知AB∥NP，故④也成立．【答案】①④4．P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图1－2－45中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．图1－2－45【解析】由题意知EF ∥AC ，FG ∥PB ，∴AC ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，即有2条与平面EFG 平行的线段．【答案】 25．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 是A 1B 1的中点，N 是AB 上的点，且AN ∶NB ＝1∶2，过D 1，M ，N 的平面交AD 于点G ，则NG ＝__________.【解析】过D 1，M ，N 的平面与AD 的交点G 位置如图，其中AG ∶GD ＝2∶1，AG ＝23a ，AN ＝13a ，在Rt △AGN 中，NG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝53a . 【答案】53a 6．如图1－2－46，四边形ABCD 是矩形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F ，则四边形BCFE 的形状一定是______．图1－2－46【解析】 ∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面PAD ，∴BC ∥平面PAD .∵平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 为梯形．【答案】梯形7．如图1－2－47，三棱锥A －BCD 中E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.图1－2－47【解析】 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，HG ∥AC . ∴EF ＝HG ＝BE BA·m . 同理，EH ＝FG ＝AE AB·n ， ∴BE AB ·m ＝AE AB·n ， ∴AE ∶EB ＝m ∶n . 【答案】 m ∶n8．如图1－2－48，α∩β＝CD ，α∩γ＝EF ，β∩γ＝AB ，若AB ∥α，则CD 与EF 的位置关系是________．图1－2－48【解析】 ∵⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥αα∩β＝CD AB ⊂β⇒AB ∥CD ，同理可证AB ∥EF ，∴EF ∥CD . 【答案】平行二、解答题9．如图1－2－49，已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点．求证：AB 1∥平面DBC 1.图1－2－49【证明】 ∵A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．连结B1C交BC1于点E，则B1E＝EC.连结DE，在△AB1C中，∵AD＝DC，B1E＝EC，∴DE∥AB1.又∵AB1⊄平面DBC1，DE⊂平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.10．如图1－2－50，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1上不同于B，B1的任一点，AB1∩A1E ＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.图1－2－50【证明】∵AC∥A1C1，而AC⊄平面A1EC1，A1C1⊂平面A1EC1.∴AC∥平面A1EC1.而平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，AC⊂平面AB1C，∴AC∥FG.[能力提升]1．如图1－2－51所示，A是平面BCD外一点，E，F，H分别是BD，DC，AB的中点，设过这三点的平面为α，则在下图中的6条直线AB，AC，AD，BC，CD，DB中，与平面α平行的直线有________________条．图1－2－51【解析】如图，过F作FG∥AD交AC于G，显然平面EFGH就是平面α.在△BCD 中，EF ∥BC ，EF ⊂α，BC ⊄α， ∴BC ∥α.同理，AD ∥α.所以在所给的6条直线中，与平面α平行的有2条．【答案】 22．如图1－2－52，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图1－2－52【解析】因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为点E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2.【答案】23．在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是____________________．【解析】连结AM 并延长交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点，由EM MA ＝ENNB 得MN ∥AB ，因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .【答案】平面ABC ，平面ABD4．已知直线l 是过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与平面ABCD 所在平面的交线.求证：B 1D 1∥l .图1－2－53【证明】 ∵BB 1綊DD 1，∴四边形BDD1B1是平行四边形，∴B1D1∥BD.∵B1D1⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴B1D1∥平面ABCD，∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1⊂平面AB1D1，∴B1D1∥l.。

2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.2平行直线直线与平面平行学业分层测评新人教B版

1.2.2 第1课时平行直线、直线与平面平行学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图1219所示，长方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )图1219A.平行B.相交C.异面D.平行和异面【解析】由题意可知EF∥AB，∴EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，∴GH∥AB，故选A.【答案】 A2.已知下列叙述：①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；③若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行；④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】两直线可能共面，①错；一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，②错；对于③④，直线有可能在平面内.【答案】 A3.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【解析】当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D 不正确.【答案】 B4.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.【答案】 B5.如图1220，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是( )图1220A.直线GH和MN平行，GH和EF相交B.直线GH和MN平行，MN和EF相交C.直线GH和MN相交，MN和EF异面D.直线GH和EF异面，MN和EF异面【解析】易知GH∥MN，又∵E、F、M、N分别为所在棱的中点，由平面基本性质3可知EF、DC、MN交于一点，故选B.【答案】 B二、填空题6.平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________.【答案】平行或相交7.如图1221，ABCD－A1B1C1D1是正方体，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________.图1221【解析】连接A 1C 1，∵AC ∥A 1C 1，∴AC ∥面A 1B 1C 1D 1，又∵AC ⊂面AB 1C ，面AB 1C ∩面A 1B 1C 1D 1＝l ， ∴AC ∥l . 【答案】平行8.如图1222，P 为▱ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，PF FC＝__________.图1222【解析】连接AC 交BE 于G ，连接FG ，因为PA ∥平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面BEF ＝FG ，所以PA ∥FG ，所以PF FC ＝AGGC.又因为AD ∥BC ，E 为AD 的中点，所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.【答案】 12三、解答题9.如图1223所示，三棱锥A －BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH . 求证：CD ∥EF .图1223【证明】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF所在的平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.10.一块长方体木块如图1224所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？图1224【解】在平面A1B1C1D1内，经过点P作EF∥B1C1，且交A1B1于E，交D1C1于F；连接BE、CF，则BE、CF即为平面与长方体侧面的交线，可知，要满足题意，只要沿BE、EF、FC画线即可.如图所示.[能力提升]1.对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是( )A.如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB.如果m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C.如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD.如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，则n∥α或n与α相交，故A错；对于B，如果m⊂α，n与α相交，则m、n相交或是异面直线，故B错；对于C，如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得m∥n，故C对；对于D，如果m∥α，n∥α，m、n共面，则m∥n或m、n相交，故D错.【答案】 C2.若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行【解析】如图①②所示，OB，O1B1不一定平行.图①图②【答案】 D3.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条.【解析】如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的.【答案】 14.如图1225所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.图1225(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论.【解】(1)因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行.取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形.所以MN∥AE，又因为MN⊄平面APD，AE⊂平面APD，所以MN∥平面APD.。