高中数学抽象函数性质
新高一抽象函数知识点归纳
新高一抽象函数知识点归纳抽象函数作为高中数学中的重要内容之一，是数学家们用来描述函数与函数之间关系的一种工具。
在新高一数学中，抽象函数的学习也被赋予了更高的要求。
本文将从抽象函数的概念、性质以及应用等方面进行归纳和总结。
一、抽象函数的概念及基本性质抽象函数，顾名思义，即把一个具体的函数抽象化，用符号表示。
在新高一数学中，我们通常用字母f、g或h来表示抽象函数。
抽象函数具有以下几个基本性质：1. 定义域和值域：抽象函数的定义域是指函数定义的自变量的取值范围，而值域是函数定义的因变量的取值范围。
2. 函数值和变量：抽象函数根据自变量的不同取值，得到相应的函数值。
在求函数值时，通常用x来表示自变量。
3. 函数表达式：抽象函数可以通过一个表达式来表示，其中包括自变量和函数值之间的关系。
例如，可以用f(x) = 2x + 1来表示一个抽象函数。
二、抽象函数的基本类型抽象函数可以分为多种类型，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
下面简要介绍几种常见的抽象函数类型：1. 线性函数：线性函数是最简单的抽象函数类型，其函数表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数：二次函数是由平方项构成的函数，其函数表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。
3. 指数函数：指数函数是以常数为底的幂函数，其函数表达式为f(x) = aⁿ，其中a为底数，n为指数。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，其函数表达式为f(x) = logᵤx，其中u为底数，x为真数。
三、抽象函数的应用抽象函数不仅仅是高中数学中的一个概念，更是应用于实际问题的重要工具。
下面将介绍几个具体的应用场景：1. 金融领域：在金融领域中，抽象函数可以用来描述投资收益率、贷款利率等与时间和金额之间的关系。
2. 自然科学：在自然科学研究中，抽象函数可以用来描述生物种群的增长、物体的运动轨迹等问题。
高一期中抽象函数知识点
高一期中抽象函数知识点高一期中考试即将来临，作为数学科目的一部分，抽象函数是需要重点掌握的知识点之一。
抽象函数作为高中数学的重要内容，其概念和特点需要认真理解与掌握。
本文将从抽象函数的定义、图象与性质、常见的抽象函数类型等多个方面进行论述，以帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数的知识。
一、抽象函数的定义抽象函数是指其中一个函数的自变量包含了另一个函数。
通常，我们把包含有另一个函数的函数称作「外层函数」，而另一个函数称作「内层函数」。
举个例子，f(g(x))中的f(x)就是外层函数，g(x)就是内层函数。
二、抽象函数的图象与性质抽象函数的图象一般来说比较复杂，因为它是内外两个函数共同作用的结果。
要绘制抽象函数的图象，需要先绘制内层函数和外层函数的图象，然后观察两个图象的叠加效果。
在绘制图象时，需要注意变量的定义域和值域范围，以确保图象的正确性。
关于抽象函数的性质，可以通过以下几个方面进行分析：1. 定义域和值域的确定：抽象函数的定义域取决于内外两个函数的定义域，并且需要满足内层函数的值域在外层函数的定义域范围内。
对于值域而言，抽象函数的值域取决于内层函数。
2. 函数的奇偶性：抽象函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，而与内层函数的奇偶性无关。
具体来说，如果外层函数是奇函数，则抽象函数也是奇函数；如果外层函数是偶函数，则抽象函数也是偶函数。
3. 函数的增减性：抽象函数的增减性取决于内外两个函数的增减性。
一般来说，如果外层函数是递增函数，且内层函数的导数存在且大于0，那么抽象函数是递增函数；如果外层函数是递减函数，且内层函数的导数存在且小于0，那么抽象函数是递减函数。
三、常见的抽象函数类型1. 复合函数：复合函数是抽象函数的一种常见类型，它将两个函数进行组合，其中一个函数作为另一个函数的自变量。
例如，f(g(x))就是一种典型的复合函数。
2. 函数的逆运算：在函数的逆运算中，内层函数和外层函数的关系是倒置的。
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。
2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。
在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。
3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。
4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。
需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。
因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
抽象函数的对称性 ——点,直线,周期
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
高一抽象函数的所有知识点
高一抽象函数的所有知识点抽象函数是数学中重要的概念之一，在高中数学中也占据了重要地位。
本文将详细介绍高一阶段抽象函数的所有知识点，包括定义、性质和应用等方面。
一、抽象函数的定义抽象函数是一种用数学语言表示的一般规律或映射关系。
一般来说，抽象函数由定义域、值域和映射关系三个部分组成。
定义域是函数的自变量所在的集合，值域是函数的因变量可能取值的范围，映射关系则决定了自变量和因变量之间的对应关系。
二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是函数的基本特征。
定义域可以是实数集、自然数集、整数集等不同集合，而值域可以根据实际问题的需要而变化。
2. 奇偶性：抽象函数可以分为奇函数和偶函数两类。
当函数满足f(-x) = -f(x)时，被称为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，被称为偶函数。
3. 单调性：抽象函数的单调性指函数图象上的点按照自变量的增大而增大或减小。
函数的单调性可分为增函数和减函数两种情况。
4. 周期性：一些抽象函数具有周期性，即在一定范围内函数值呈现出循环出现的现象。
周期函数常用正弦函数和余弦函数来表示。
5. 对称性：对称性是指函数图象在某一直线或坐标轴上关于某一点对称。
常见的对称有关于x轴对称、y轴对称和关于原点对称等。
三、抽象函数的应用1. 函数求值：抽象函数可以用来求函数在特定自变量取值下的因变量取值。
通过函数的映射关系，我们可以根据给定的自变量值，求出相应的函数值。
2. 函数图象绘制：抽象函数的图象可以通过将自变量的取值范围映射到函数的值域中，绘制出对应的函数图象。
函数图象的绘制有助于观察函数的性质和规律。
3. 函数的应用问题：抽象函数在实际问题中有广泛的应用。
通过将实际问题转化为数学语言，我们可以利用抽象函数来解决实际问题，如数学建模、物理问题等。
四、抽象函数的注意事项1. 定义域的确定：在使用抽象函数时，需要明确函数的定义域。
合理确定定义域可以保证函数的映射关系是可行的。
抽象函数的性质及应用
抽象函数的性质及应用抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的想象力以及灵活运用函数知识的能力.一抽象函数的单调性例1已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 ()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.∪[1,+∞)D.答案D根据题意,偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得≤x≤1,即x的取值范围是.故选D.解析：根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.例2若a=,b=,c=log2,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 ()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)答案B根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,所以函数f(x)在R上为减函数,因为c=log2<0,a==,b=,所以a>b>0>c,故f(c)>f(b)>f(a).故选B.解析：根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调性分析可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2)为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a 的取值范围是 ()A. B.[-2,-1]C. D.答案A因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得-≤a≤.即实数a的取值范围是.故选A.二抽象函数的周期性例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f=f,当x∈时, f(x)=log2(-3x+1),则f(2 020)= ()A.4B.log27C.2D.-2答案D根据题意, f(x)满足f=f,即f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,则f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-log2(3+1)=-2,故选D.解析：根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.例4已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2020)= ()A.B.2C.D.4答案A根据题意, f(x+1)=f(x)·f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)·f(x+2)·f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)·f(x+3)=1,所以f(x+3)=,故f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(2 019)=f(3+336×6)=f(3), f(2 020)=f(4+336×6)=f(4),故f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4).由f(x+3)=,令x=1可得f(4)==;由f(x+1)=f(x)·f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0)·f(2)=4且f(0)=f(2), f(x)>0,则f(0)=f(2)=2,则f(3)==,故f(3)+f(4)=+=.故选A.解析：根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)=,则有f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),则 ()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a答案D因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(-x)=-f(x),且函数定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),令x=x-1,则f(x)=-f(x-2)①,令x=x-2,则f(x-2)=-f(x-4)②,由①②得, f(x)=f(x-4),即函数f(x)是周期为4的周期函数.又因为f(x)在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的大致图象如图所示,又log23∈(1,2),∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b<c<a.故选D.三抽象函数的零点问题例5若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 ()A.5B.6C.7D.8答案B因为f(x)=f(2-x)以及函数为偶函数,所以函数f(x)是周期为2的周期函数.根据x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,且函数f(x)是周期为2的周期函数,也是偶函数,作出f(x)在区间[-5,5]上的图象,再作出函数g(x)=的图象,如图所示,可得函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为6.故选B.解析：根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解析式作出图象,通过数形结合转化求解即可.例6若偶函数f(x)的图象关于x=对称,当x∈时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-log20|x|在[-20,20]上的零点个数是 ()A.18B.26C.28D.30答案B解析令h(x)=log20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-log20|x|=0,得f(x)=log20|x|,当x>0时,h(x)=log20x,因为偶函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x=(k∈Z)为f(x)图象的对称轴,又因为当x∈时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示,可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B.解析：令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的图象即可判断出总零点个数.例7已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-log a x(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 ()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)答案D f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称, f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,所以函数f(x)的图象如图所示,当a>1时,函数g(x)=f(x)-log a x恰有3个零点,就是方程f(x)=log a x解的个数为3,即y=f(x)的图象与y=log a x的图象有3个交点,结合图象得解得a∈(5,9).故选D.解析：利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.变式训练：1.函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2020)=()A.B.-C.-D.答案C令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)=,∴f(0)=,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),则f(2)=-,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=-,∴f(2 020)=-.故选C.2.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,则a的取值范围为 ()A.[3,5]B.[2,4]C.(3,5)D.(2,4)答案D∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),又函数定义域为R,∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示,∵g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=log a(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,∴y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象在(0,+∞)上只有2个交点,∴解得2<a<4.故选D.。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
（2）轴对称：对称轴方程为： Ax By C 0 。
① 点A(x, y)与B(x/ , y / ) B(x 2A(Ax By C) , y 2B(Ax By C)) 关 于
A2 B2
A2 B2
直线 Ax By C 0成轴对称；
②函数 y f (x)与y 2B(Ax By C) f (x 2A(Ax By C)) 关于直线
推论 2、 f (x) f (2a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称
推论 3、 f (x) f (2a x) 2b y f (x) 的图象关于点 (a, b) 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数 y f (x) 与 y f (x) 图象关于 Y 轴对称
1、周期函数的定义：
对于 f (x) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数T ，使得 f (x T ) f (x) 恒成立，
则称函数 f (x) 具有周期性，T 叫做 f (x) 的一个周期，则 kT （ k Z, k 0 ）也是 f (x) 的
周期，所有周期中的最小正数叫 f (x) 的最小正周期。
f
(x)
f f
(x) (x
kT)
xa, b xkT a, kT b
2、奇偶函数：
设 y f (x), x a,b或x b,a a,b
①若 f (x) f (x), 则称y f (x)为奇函数； ②若 f (x) f (x)则称y f (x)为偶函数 。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a＝0 时的特例。
抽象函数和复合函数的应用 解析版-高中数学
抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
新高一抽象函数知识点归纳总结
新高一抽象函数知识点归纳总结高一是学生们接触高等数学的第一年，而在高等数学的学习中，抽象函数是一个非常重要的内容。
抽象函数在高中数学课程中出现的频率相对较高，掌握好这个知识点对于学生们打好数学基础，有着非常大的帮助。
接下来，我们将对新高一抽象函数的知识点进行归纳总结。
一、函数的概念和性质在学习抽象函数之前，首先要掌握函数的概念和基本性质。
函数是一种对应关系，它把一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
掌握函数的概念和性质是后续学习抽象函数的基础。
二、抽象函数的定义抽象函数是指函数的定义域和值域都是集合，函数的定义可以用文字、图表、映射等方式表示。
抽象函数可以简化数学问题的表达，使问题的求解更加简单明了。
在高一的数学课程中，学生需要通过实际问题理解抽象函数的定义和意义，建立起抽象函数和具体问题之间的联系。
三、抽象函数的常见类型在高一的数学教学中，常见的抽象函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
线性函数是最简单的抽象函数，可以用一条直线表示；二次函数则是用二次方程表示的函数，图像是一个开口向上或向下的抛物线；指数函数和对数函数则是用指数和对数运算表示的函数，它们在实际中有着广泛的应用；三角函数则是以圆的角度为自变量的函数，它与几何形状、周期性等有着密切的关系。
四、抽象函数的性质和应用抽象函数具有许多重要的性质和应用。
首先，函数的图像可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到不同的函数，这些变换对于函数的研究和应用具有重要意义。
其次，抽象函数的性质可以通过函数的解析式、图像等方式进行判断和解答。
另外，抽象函数在实际问题中的应用非常广泛，比如利用抽象函数来解决最优化问题、建模问题等。
五、抽象函数的综合应用抽象函数在高一数学中的学习不仅仅是理论的讲解和应用的演练，更重要的是培养学生的创造性思维和综合应用能力。
通过进行一些抽象函数的实际问题，可以锻炼学生的问题分析和解决能力，提高他们的数学思维能力。
高三抽象函数知识点汇总
高三抽象函数知识点汇总抽象函数是高中数学中的一个重要概念，通过抽象函数，我们可以对复杂的数学问题进行简化和形象化的表达。
本文将对高三抽象函数的知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、抽象函数的定义抽象函数是指用一个变量表示一个数集上的元素，而不指定具体的数，它可以将一个数集中的每个数与表示它的数代表进行对应。
简单地说，抽象函数就是用一个符号或字母表示一个数。
二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数通常有一个定义域和一个值域。
定义域是指所有符合函数定义的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。
2. 函数图像：抽象函数可以通过绘制函数图像来直观地表示函数的特点和性质。
函数图像是定义域和值域上的点的集合，可以用直角坐标系来表示。
3. 函数关系：抽象函数描述了输入和输出之间的关系。
输入是定义域上的元素，输出是对应的数代表，函数关系可以用映射关系符号“→”表示。
4. 函数符号：抽象函数可以用各种符号来表示，常用的包括f(x)、g(x)等。
符号本身没有具体的数值，只是用来表示函数的一种形式。
三、抽象函数的运算1. 求和与差：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的和记作f(x)+g(x)，差记作f(x)-g(x)。
2. 数乘：给定一个抽象函数f(x)和一个实数k，它们的数乘记作k⋅f(x)。
3. 复合函数：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的复合函数记作f(g(x))，表示先计算g(x)，再将结果作为输入计算f(x)。
4. 逆函数：给定一个抽象函数f(x)，如果存在一个抽象函数g(x)，使得f(g(x))=x，那么g(x)称为f(x)的逆函数，记作f^(-1)(x)。
四、抽象函数的应用1. 函数关系的建立：通过抽象函数，可以建立输入和输出之间的关系，帮助我们描述和解决实际问题。
2. 函数的图像分析：通过函数图像，可以了解函数的单调性、极限、对称性等性质，进而推导出其他相关结论。
抽象函数新高考知识点总结
抽象函数新高考知识点总结随着新高考政策的出台，高中数学教学内容也发生了一些变化。
抽象函数作为高中数学的一个重要知识点，也成为了新高考的考查内容之一。
在本文中，我们将对抽象函数的相关知识进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和理解这一知识点。
1. 抽象函数的概念和特点抽象函数是数学中的一个重要概念，它是指由一对非空的数集到另一个数集的对应关系。
与一般的函数不同，抽象函数不具体给出函数的具体形式，而是以一种抽象的方式描述函数的性质和特点。
抽象函数具有以下几个特点：（1）没有具体的函数表达式，只给出函数的定义域和值域的关系。
（2）函数的定义域和值域可以是数集、集合、图形、样本等任何形式。
（3）抽象函数体现了一种普遍性和一般性的思维方式，适用于各类数学问题的求解。
2. 抽象函数的表示方法抽象函数可以用文字描述、图形表示、集合表示等多种方式表示。
（1）文字描述：通过文字描述来表达函数的性质和特点，例如“函数f是定义在实数集上的奇函数”。
（2）图形表示：通过图形来表示函数的定义域、值域、性质等。
例如，通过画出函数图像来表示函数的变化规律。
（3）集合表示：通过集合的方式表示函数的定义域和值域。
例如，用集合的形式来表示一组数据的函数关系。
3. 抽象函数的应用抽象函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情境。
（1）数列和数表的抽象函数表示：对于给定的数列和数表，可以通过抽象函数的方式来表示其数值规律，以便于研究和推导。
（2）函数关系的抽象函数表示：对于一些复杂的函数关系，通过抽象函数的方式可以简化问题，提取出函数的主要特征，从而更好地理解和研究函数关系。
（3）样本数据的抽象函数表示：对于一组观测数据，通过抽象函数的方式可以描述数据之间的联系和规律，进而用于统计分析和预测。
4. 抽象函数的思维方法抽象函数作为一种普遍性的思维方法，在数学问题的解决中起着重要的作用。
了解和掌握抽象函数的思维方法，可以帮助学生提高数学问题的解决能力。
高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)
重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式.四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
高中数学 抽象函数
抽象函数我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像集于一身，是考查函数的良好载体.一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝____.答案 12解析 因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝____.答案 1解析 令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln (－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为____.答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析 由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0).∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12. (2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为____.答案 [2，4]解析 对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4].。
高三抽象函数知识点
高三抽象函数知识点抽象函数是高中数学中的一个重要概念，它是函数概念的一种推广和扩展。
通过对抽象函数的学习和理解，不仅可以帮助学生更好地掌握函数的性质和变化规律，还可以为解决实际问题提供一种有效的数学工具。
本文将从定义、性质、图像及应用等方面介绍高三抽象函数的相关知识点。
一、定义抽象函数是指由一个自变量的集合A到一个因变量的集合B的映射关系。
这里的集合A和集合B可以是实数集、复数集、整数集等。
抽象函数可以用符号表示，如f(x)、g(x)等，其中x为自变量。
二、性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域即自变量的取值范围，可以是一个集合或一个区间。
而值域则表示抽象函数在给定定义域内所有可能的输出值所组成的集合或区间。
2. 单调性：抽象函数可能是递增的、递减的，也可能存在局部最值点。
通过对函数的微分或导数进行研究，可以确定函数的单调性。
3. 零点与极值点：抽象函数在定义域内可能存在零点，即使得f(x) = 0的自变量x的取值。
极值点是指函数在一段区间内的最大值或最小值，可以通过求导和求二阶导数的方法来判断。
4. 对称性：抽象函数可能具有对称性，如奇函数和偶函数。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)，可以通过对函数的变换来验证其对称性。
三、图像抽象函数的图像可以通过将自变量的取值代入函数中得到。
可以使用计算器或数学软件绘制抽象函数的图像，以便更直观地观察函数的性质和特点。
图像可以展示函数的增减性、零点、极值点等信息，有助于学生理解和记忆。
四、应用抽象函数广泛应用于数学和实际问题中。
在代数中，可以通过抽象函数来描述两个数的关系，如线性函数、二次函数等。
在几何中，抽象函数可以用来表示曲线、图形的方程，帮助解决与图形相关的问题。
在实际问题中，抽象函数可以用来建模，通过函数的性质和变化规律分析问题，求解最优解。
总结高三抽象函数是数学中重要的知识点，掌握好抽象函数的定义、性质和应用，对学生提高数学水平和解决问题具有重要的意义。
高中数学课件-拓展视野4 抽象函数的性质
拓展视野4 抽象函数的性质
解决抽象函数问题的常用方法：
方法一(通法)
(1)赋值，特殊值代入求值，如令x＝0，1，2，3，….
(2)通过函数式得到抽象函数的性质：
①通过f(x1)－f(x2)的变换判断单调性；②令式子中出现f(x)和f(－x)，判断函数的奇偶性；③换x为x＋T确定是否具有周期性.
方法二(模型化)
结合具体函数，使得抽象函数具体化，常见的有：
(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)——y＝kx；
(2)f(x＋y)＝f(x)f(y)——y＝a x(a>0且a≠1)；
(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)——y＝log a x(a>0且a≠1)；
(4)f(xy)＝f(x)f(y)——y＝x n(n为常数)；
A
D
尝试训练2 函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数
A y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，则f(2023)＋f(2024)＋f(2025)＝( )
A.0
B.1
C.2
D.3
A 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(－x)＝－f(x)，又f(x＋2)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4，所以f(2023)＋f(2024)＋f(2025)＝f(－1)＋f(0)＋f(1)＝－f(1)＋f(0)＋f(1)＝0＋f(0)＝0.故选A.。
10 第二章 微专题 抽象函数的性质
THANKS
(3)如果f (x＋a)＋f (x)＝c(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
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微专题 抽象函数的性质
类型三 抽象函数的奇偶性和对称性
【例3】已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，y＝f (x＋3)为偶函数．若
f (x)在(0，3)内单调递减，则下面结论正确的是( )
D．c>b>a
A
解析：因为∀x1，x2∈(－∞，0]且x1≠x2时，有f
x1 －f
x1－x2
x2 >0，
所以函数f (x)在(－∞，0]上单调递增．
由f (x)为偶函数，得函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减．
因为0<sin 3<1，1<ln 3<2，21.5＞2，f
ln
1 3
＝f (－ln 3)＝f (ln 3)，
所以f (sin 3)>f (ln 3)>f (21.5)，即a>b>c.
微专题 抽象函数的性质
思维建模 比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转 化到同一单调区间上，进而利用函数单调性比较大小．
微专题 抽象函数的性质
类型二 抽象函数的周期性 【例2】(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f
22
所以∑ f k ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3.故选A．
k=1
微专题 抽象函数的性质
思维建模
抽象函数的周期
(1)如果f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，那么f (x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
2020年高中数学 抽象方程8类性质、递推关系、柯西方程等应用梳理
第一讲八类抽象函数方程性质的探讨抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出函数满足的一些特征或性质的函数．抽象函数方程的性质因能有效考查学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及后继学习的潜能一直是高考的热点。
本节主要探讨八类典型抽象函数方程的性质．类型1()()()f m n f m f n +=+型原型正比例函数()0y kx k =≠性质设函数()f x 定义在R 上，满足()()()f m n f m f n +=+，若0x >时，()f x 恒大于0，则()f x 有如下性质：①(0)0f =；②()f x 是R 上的奇函数；③()f x 在R 上单调递增．证明①令0m n ==，得(0)(0)(0)f f f +=，故(0)0f =；②令m x =，n x =-，有()()(0)0f x f x f +-==，()()f x f x -=-，故()f x 是R 上的奇函数；③任取1x ，2x R ∈，设12x x >，则120x x ->，于是()120f x x ->，令1m n x +=，2m x =，则12n x x =-，得()()()1212f x f x f x x =+-()2f x >，故()f x 是R 上的增函数．思考1()()()()()f m f n f m n f m f n +=+（()f m ，()f n ，()f m n +均不为零）型原型反比例函数()af x x=()0a ≠分析对()()()()()f m f n f m n f m f n +=+两边取倒数，得()()()111f m n f m f n =++，令()()1g x f x =，有()()()g m n g m g n +=+，由类型1知，()g x kx =，故()1a f x kx x ==（1a k=）．类型2()()()f m n f m f n b +=++型原型一次函数()0y kx b k =-≠性质已知函数()f x 定义域为R ，对任意,m n R ∈都有()()()f m n f m f n b +=++，且()0f b =，当x b >时，()0f x >，则()f x 在R 上单调递增．证明令m n b ==，得()2f b b =；令2m b =，n b =-，得()2f b b -=-．任取1x ，2x R ∈，设12x x >，令1m n x +=，2n x =，则12m x x =-，有()()()1122f x f x x f x b =-++，()()()1212f x f x f x x b -=-+()12f x x b b b =-+-+()()12f x x b f b b b =-++-++()12f x x b =-+．因为12x x >，则12x x b b -+>，于是()120f x x b -+>，因此()()12f x f x >，故()f x 是R 上的增函数或者在()()()f m n f m f n b +=++两边同时加上b ，令()()g x f x b =+，问题可转化为类型1．思考2()()()f x y f x f y kx +=++(或()()()f x y f x f y kxy +=++)（0k ≠）型分析若()f x 是定义在正整数集N +上的函数，对任意,x y N +∈，满足()()()f x y f x f y kx +=++(或()()()f x y f x f y kxy +=++)（0k ≠），则()2f x ax bx =+（x N +∈）．令1y =，()()()11f x f x f kx +=++，运用累加法可得()()2122k k f x n f n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2ax bx =+（2k a =，()12kb f =-）．原型指数函数()0,1x y a a a =>≠性质已知定义在R 上的函数()f x 满足对任意,m n R ∈都有()()()f m n f m f n += ，且当0x >时，()1f x >，则有如下性质：①()01f =；②()()1f x f x -= ；③当0x <时，()01f x <<；④()f x 在R 上单调递增；证明①令1m =，0n =，有()()()110f f f = ，因为()10f ≠，故()01f =；②令m x =，n x =-，有()()()01f f x f x =-= ；③当0x <时，0x ->，则()1f x ->，()101f x <<-，故()01f x <<；④任取1x ，2x R ∈，设12x x >，则120x x ->，于是()121f x x ->，令1m n x +=，2n x =，则12m x x =-，有()()()1122f x f x x f x =- ，()()()()121221f x f x f x x f x -=--⎡⎤⎣⎦ ，由()121f x x ->，()20f x >，得()()12f x f x >，故()f x 是R 上的增函数．原型对数函数log a y x =()0,1a a >≠性质若函数()f x 定义域为()0,+∞，当1x >时，()0f x >，且对任意0m >，0n >都有()()()f m n f m f n =+ ，则()f x 有如下性质：①()10f =；②()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()f x 在()0,+∞上单调递增；④当01x <<时，()0f x <．证明①令1m n ==，得()10f =；②令m n x = ，n y =，则xm y =，有()()x f x f f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③任取1x ，()20,x ∈+∞，设12x x >，则121x x >，于是120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令1m n x = ，2n x =，则12x m x =，有()()1122x f x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2f x >，得()()12f x f x >，故()f x 是()0,+∞上的增函数．④令01x <<，则11x>，所以10f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．令m x =，1n x =，有()()11f f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()10f x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为10f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()0f x <．原型幂函数ny x =性质若函数()f x 满足对任意,m n R ∈都有()()()f m n f m f n = ，且()f x 不恒为0，当1x >时()1f x >，则有如下性质：①()11f =；②当01x <<时，()01f x <<；③()f x 在()0,+∞上单调递增．证明①令m x =，1n =，则()()()1f x f x f = ，因为()f x 不恒为0，故()11f =；②当01x <<时，令m x =，1n x=，则()()111f f x f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为11x >，所以11f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故()01f x <<；③任取1x ，()20,x ∈+∞，设12x x >，则121x x >，于是121x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令1m n x = ，2n x =，则12x m x =，有()()1122x f x f f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()20f x >，所以()()()112221x f x f x f f x x ⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0>，得()()12f x f x >，故()f x 是()0,+∞上的增函数．类型62f m n f m n f m f n ++-= 型原型函数cos y x=性质设()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对一切实数,m n 都满足()()()()2f m n f m n f m f n ++-= ，则有如下性质：①()01f =；②()f x 是偶函数；③若()0f t =，则()f x 是以4t为周期的函数；证明①令0m n ==，则()()22020f f =⎡⎤⎣⎦，于是()00f =或()01f =；当()00f =时，令m x =，0n =，有()()()()0020f x f x f x f ++-=，于是()0f x =，与()f x 不恒为零矛盾，故()01f =；②令0m =，n x =，有()()()()0020f x f x f x f ++-=，得()()f x f x -=，故()f x 为偶函数；③令m x =，n t =，得()()()()2f x t f x t f x f t ++-= ，由()0f t =得()()0f x t f x t ++-=，将上式中的x 换成x t +得：()()20f x t f x ++=，即()()2f x t f x +=-，于是()()42f x t f x t +=-+()()f x f x =--=⎡⎤⎣⎦，故()f x 是以4t 为周期的函数．类型7()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=-(()()1f m f n ≠)型原型正切函数()tan f x x=性质设()f x 是定义在R 上的函数，对一切实数,m n 都满足()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=-(()()1f m f n ≠)，则有如下性质：①()00f =；②()f x 是奇函数；③若()1f t =，则()f x 是以4t 为周期的函数；证明①令0m n ==，得()()()()200010f f f f +=-⎡⎤⎣⎦，有()()20010f f ⎡⎤+=⎣⎦，故()00f =；②令m x =，n x =-，有()()()()()01f x f x f f x f x +-=--，又()00f =，从而()()0f x f x +-=，故()f x 是奇函数；③若()1f t =，令m x =，n t =，有()()()()()1f x f t f x t f x f t ++=-()()11f x f x +=-，从而()()()121f x t f x t f x t +++=-+()()()()111111f x f x f x fx ++-=+--()1f x =-，()()142f x t f x t +=-+()11f x =-=-()f x =，故()f x 是以4t 为周期的函数；类型8()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭型原型复合函数()1ln1xf x x-=+性质定义在()1,1-上的函数()f x 满足对实数,m n 都有()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，且()0,1x ∈时()0f x <，则有如下性质：①()00f =；②()f x 为奇函数；③()f x 是()1,1-上的减函数．证明①令0m n ==得()()()000f f f +=，所以()00f =；②令m x =，n x =-，有()()21x x f x f x f x -⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭()00f ==，从而()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数；③任取()12,1,1x x ∈-，不妨设12x x >，()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，由11x <，21x <得121x x < ，即1211x x -<< ，故1210x x -> ，则121201x x x x ->-．又12121212121111x x x x x x x x x x ---+-=--()()12121101x x x x -+=<-，即121211x xx x -<-．所以1212011x x x x -<<-，于是121201x x f x x ⎛⎫-< ⎪-⎝⎭，得()()12f x f x <，故()f x 是()1,1-上的减函数．从以上分析不难看出，抽象函数方程问题中的特殊值、单调性、奇偶性和周期性等问题往往紧密联系，赋值、使用定义与合理变形是突破这类问题的关键．另外，有些抽象函数问题有具体的函数原型，若能由抽象函数的结构，联想到相似结构的原型函数，并由原型函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某些性质，常常有利于顺利地解决问题．第二讲抽象函数方程问题中的递推关系抽象函数方程问题是高中数学中的一个难点，直接求解往往比较困难。
高中数学.复合函数、抽象函数、函数零点
1、复合函数的性质：对于单调性，有“同步增，异步减”．对于奇偶性，若每层函数均有奇偶性，则有“全奇才奇，有偶则偶”． 对于周期性，内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数．2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： ⑴ 正比例函数：()()()f x y f x f y +=+； ⑵ 指数函数：()()()f x y f x f y +=； ⑶ 对数函数：()()()f xy f x f y =+； ⑷ 幂函数：()()()f xy f x f y =．3、函数的零点⑴ 满足()0f a =的a 叫做函数()f x 的零点，即方程()0f x =的实数根，也即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．⑵ 零点定理：若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．特别的，如果函数在此区间上单调，则函数()y f x =在此区间上有且只有一个零点．⑶ 零点个数的判断通常借助函数图象，零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决．知识梳理知识结构图复合函数、 抽象函数、函数零点1、（2007北京理）对于函数①()()lg 21f x x =-+，②()()22f x x =-，③()()cos 2f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：()2f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数； 命题丙：()()2f x f x +-在(),-∞+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ．A ．①③B ．①②C ．③D ．②【解析】 D2、 （2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．【解析】 ()0,1；1、()213log 54y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞ 2、设函数()xf x a -=（0a >且1a ≠），()24f =，则（ ）A ．()()21f f ->-B ．()()12f f ->-C ．()()12f f >D ．()()22f f ->3、已知()()log 2a f x ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的值可能为（ ） A ．12 B ．32C ．2D ．3 4、已知函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()2log 2h x x =-的零点分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5、已知函数()()()2f x x a x b =---（a b <），并且α、β是方程()0f x =的两个根（αβ<），则实数a 、b 、α、β的大小关系是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<6、已知函数()22f x x x c =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=（2n ≥，n *∈N ），若函数()n f x x -不存在零点，则c 的取值范围是（ ） A ．14c <B ．34c ≥C ．94c >D ．94c ≤ 小题热身真题再现7、下列关于函数()()log 1x a f x a =-（0a >且1a ≠）的命题： ① 无论a 取何值，()f x 均为R 上的增函数； ② 无论a 取何值，()f x 的值域均为R ； ③ 无论a 取何值，()f x 一定有零点； ④ 存在某个a ，使得()f x 恰好有两个零点．其中正确的命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、若单调函数()f x （x ∈R ）满足()()()f x y f x f y +=⋅，则()f x 的值域为（ ） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．()0,+∞ D ．不能确定9、已知函数()2243f x x x -=-+-，设()()()()F x p f f x f x =⋅+，其中p 为负实数．若()F x 在区间(),3-∞-上是减函数，在区间()3,0-上是增函数，则p 的值为（ ）A ．1-B ．18-C ．116-D ．12-10、已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦（实数,,,,,0a b c m n p ≠）的解集不可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AABAACCCCD考点：复合函数的定义域与值域 【例1】 ⑴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑵函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑶函数21122log log 2y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为_________，值域为____________． 【解析】 ⑴ [)0,+∞，(]0,1；⑵ [11]-，，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ [)1042⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，，[0)+∞，；4.1复合函数经典精讲【例2】 ⑴已知函数()()2lg 21f x ax x =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．⑵已知函数()()2lg 21f x axx =++的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ ()1,+∞；⑵[]0,1；【拓1】 ⑴ 已知()32log f x x =+，[]1,9x ∈，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．⑵ 设2,1(),1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域．⑶ 设[]2,8x ∈，函数()()21()log log 2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是18-，求a 的值．【解析】 ⑴ []6,13⑵ [)0,+∞． ⑶ 12a =．考点：复合函数的性质初步【例3】 ⑴函数()212log 56y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，⑵函数2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶函数421x x y =-+的值域为_______，单调递减区间为________．【解析】 ⑴ D ；⑵ D ；⑶ 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(),1-∞-．考点：复合函数的性质综合【例4】 ⑴函数()()212log 23f x x ax =-+，若()f x 在(],1-∞内是增函数，则a 的取值范围为________；若()f x 的单调递增区间是(],1-∞，则a 的取值范围为________． ⑵已知函数()()31axf x a -=≠，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． ⑶若函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调增区间是 ．【解析】 ⑴ [12)，；{1}．⑵()(],01,3-∞；⑶1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭考点：抽象函数的函数值问题 【例5】 ⑴若奇函数()f x （x ∈R ）满足()21f =，()()()22f x f x f +=+，则()1f = ； ⑵定义在实数R 上的函数()y f x =具有如下性质： ①对任意x ∈R ，都有()()33f x f x =⎡⎤⎣⎦；②对任意12x x ∈R ，，且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠． 则()()()101f f f -++=________． ⑶已知函数()f x （x ∈R ）满足()12f =，()()()2f x y f x f y xy +=++，则 ()2f = ，()3f = ，()3f -= ．⑷()f x 是定义在(0)+∞，上的增函数，对正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集为_ ______．【解析】 ⑴12； ⑵ 0；⑶ 6，12，6； ⑷ ()1,2；【拓2】 定义在[]0,1上函数()f x 满足：① ()00f =；② ()()11f x f x +-=； ③ ()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④ 对任意12,x x []0,1∈，若12x x <，则()()12f x f x ≤． 则()1f = ，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】12013f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】 ()11f =；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】112013128f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 4.2抽象函数考点：抽象函数的性质【例6】 ⑴若函数()f x （x ∈R ，且0x ≠）对任意的非零实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+．求证：()f x 为偶函数．⑵定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：① 对任意x ，y ∈R ，恒有()()()f x y f x f y +=+； ② 当0x >时，()0f x <，且()12f =-．判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令1,1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=+-，于是(1)0f =；再令1x y ==-得(1)2(1)0f f =-=，于是(1)0f -=．令1y =-得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，又()f x 的定义域关于原点对称．故()f x 为偶函数． ⑵ ()f x 在区间[]2,4-上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【备注】本题可以通过函数原型快速得到答案或得到启发．对于⑴()ln f x x =（x ∈R ）是符合函数的函数原型； 对于⑵()2f x x =-（x ∈R ）是符合函数的函数原型．【拓3】 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m ，n ，总有()()22n m f m f n mf nf⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求(0)f 的值；⑵ 求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立； ⑶ 求所有满足条件的函数()f x ．【解析】 ⑴ (0)0f =；⑵ 对任意t ∈R ，令2m n t ==，得2(2)4()f t t f t =⋅，于是21()(2)04t f t f t ⋅=≥； ⑶ ()f x x =．考点：零点定理【例7】 ⑴函数()237x f x x =+-在区间[02]，上的零点必在下面的区间（ ）内．Ａ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｂ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｄ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ⑵设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()31,log 2-- B ．()30,log 2 C ．()3log 2,1 D ．()31,log 4 【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；4.3函数零点考点：函数图象与零点、交点问题【例8】 ⑴方程2log (3)2x x +=的解的情况是（ ）A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一个正根和一个负根D ．有两个负根⑵已知()2881651x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，≤，，()ln g x x =，则()f x 与()g x 的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4⑶若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． ⑷若不等式2log 0a x x -<对102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ (1,)+∞；⑷ 1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；考点：复合函数的零点问题【例9】 ⑴已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如下所示：-22-22y -11-11Ox-22-22y -11-11Oxf xg x 给出下列四个命题：①方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有6个根 ②方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有3个根 ③方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个根 ④方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）． ⑵设1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 ． 【解析】 ⑴ ①③④；⑵ 5；【拓4】 已知()2f x x px q =++，关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，求证：p 与q 同时大于0或者p 与q 同时等于0．【解析】 关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，()f x 的图象只有如图两种情形（分别对应0∆>和0∆=的情形）．进而容易证明命题成立．y=x 2y=x 1x 2x 1 yOx O xy一、选择题 1、设()()23132x x f x k =-+⋅+，当0x >时()f x 恒取正值，则k 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),221-∞- C ．()1,221-- D ．()221,221---【解析】 B ；2、设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【解析】 B ；3、 关于x 的方程1log (0x aa x a =>且1)a ≠（ ）A ．仅当1a >时，有唯一解B ．仅当01a <<时，有唯一解C ．有唯一解D ．无解【解析】 C ．4、 设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0)c ，对称； ④方程()0f x =至多有两个实根；其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ；二、填空题 5、 设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是_______；()f x 的最大值是_____．【解析】 (0,1)；2-．6、 函数22()log (3)log (1)f x x x =++-的值域是___________，单调递增区间为_______．【解析】 (,2]-∞，(3,1)--．课后习题7、 若log (2)a y ax =-在[]01，上是x 的减函数，则a 的取值范围是______． 【解析】 (12)a ∈，；三、解答题 8、已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=，且()31f >． ⑴求()0f ；⑵求证：()41f -<．【解析】 ⑴ (0)1f =；⑵ 3(3)(2)(1)(1)1f f f f ==>，故(1)1f >，从而24(4)(2)(1)1f f f ==>．令4,4x y ==-得，(4)(4)(0)1f f f -==，故1(4)1(4)f f -=<．命题得证． 【备注】()()()f x y f x f y +=的函数原型是指数函数()x f x a =，由(3)1f >知，1a >． 9、函数()2x f x =和()3g x x =的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，且12x x <．x 1x 2BA C 2C 1yO x⑴ 请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？⑵ 若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出a 、b 的值，并说明理由；⑶ 结合函数图象示意图，请把()πf 、()πg 、()2013f 、()2013g 四个数从小到大顺序排列．【解析】 ⑴ 1C 对应函数()3g x x =，2C 对应函数()2x f x =；⑵ 如下表，可得1a =，9b =．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12()f x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ()g x1 8 27 641252163435127291000 1331 1728()()()() 10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴ 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围． ⑵ 若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【解析】 ⑴5162m -<<-．⑵1122m -<-≤。
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因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数的定义域为，求函数的定义域。
解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。
所以函数的定义域为
总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关
键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同
关于直线对称（相互对称）。 材料三：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ） A、直线对称 B直线对称 C直线对称 D直线对称 解法一（定义证明）：设点是函数的图象上的任意一点，则，关于直线 的对称点为，要使点在函数的图象上，则，应有，故， 所以函数与的图象关于直线对称。 解法二（图象变换法）：由函数的图象向右平移1个单位得到函数的图 象；由函数的图象关于轴对称得到函数的图象，再向右平移1个单位， 得到的图象。如图所示，选D。 解法三（特值代入法）：由已知可得点在函数的图象上，点在函数的图 象上，又点P、Q关于直线对称，选D。 总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数满足，则函 数的自对称轴为；函数与的互对称轴为，即 例11、已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实 根，则这三个根的和为______。
抽象函数的性质问题解析
抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考
查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函
数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析
式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，
有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，，则g(2005)=_____. 析：当满足题设的f(x)难于求出时，可利用特殊值法化一般为特殊求 解。
解：由f(x+5)≥f(x)+5得： 同理得：，联想斜率公式，取 k=1，结合f(1)=1 联想到函数f(x)=x满足，故g(x)=1，则g(2005)=1 课外练习：
总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到（或）来判断。抽 象函数的单调性，一般不用导数判断。
8、 凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。 材料八：如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对 [0，1]中任意的和，任意，恒成立”的只有（ ） A、 B、 C、 D、 解析：令，则不等式变为，可知函数是一个凹函数，故只有正确，选 A。 总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿 堂。 总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加 扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良
解：（1）令y=0代入f(x+y)=f(x)•f(y)， 则f(x)=f(x)•f(0)， ∴f(x)=0或f(0)=1
若f(x)=0，则对任意x1≠x2，有f(x1)=f(x2)，这与题设矛盾 ∴f(0)=1 （2）令y=x≠0，则又由上述（1）知f(x) ≠0， ∴f(2x)=[f(x)]2>0，即f(x)>0；故对任意x，f(x)>0 2：已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(xy)=f(x)•f(y)，且f(-1)=1, 当0≤x<1
（）
总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
3、 解析式（可解性）：由抽象式求解析式问题——视为未知数，构
造方程（组）。
材料七：设函数满足……①，求。
解析：以代，得，……②
以代，得，……③
①+③-②得：
所以
总结：在所给的抽象式中紧紧围绕，将其余的式子替换成，构造一个或
几个方程，然后设法求解。
பைடு நூலகம்⑶.x2>x1>0, f(x2)= f()=f(x1)f()=f()<1 (∵>1) f(x)在下降. ⑷. >9＝f()∵f(x)在下降，∴0<x<m=0,n=m+n=.
3. 类指数函数型
例1.已知函数f(x)定义域R，满足①.x<0时，>1 ②. f(0)0 ③.任 意的x、yR有 f(x+y)=f(x)f(y)
又是定义在R上的奇函数，所以 ，则 由周期函数的定义可知4是它的一个周期。 总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。 6、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。 材料五：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满 足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。 解析：令，则，得； 令，则，得； 令，得，得 因此函数为奇函数。
（1）令y=-1，则f(-x)=f(x)•f(-1) ∵f(-1)=1, ∴f(-x)=f(x), f(x)为偶函数。 （2）设0≤x1<x2 则 得：
又由f(x1)=f()=f()•f(x2) 得： 即：f(x1)<f(x2) 故函数f(x)在为增函数。 例5、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且 时。（1）证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1；（2）证明：f(x)在R 上单 调递减；（ 3 ）设，若，确定a 的范围。（4）试举出一个满足条件的 函数
得，当时，，此时成立；当时，，此时成立；当，，此时成立。
1. 类一次函数型 例1：已知函数f(x)定义域R，对任意的x1、x2R，有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f(x)<0,f(1)=a判定〔-3，3〕上 f(x)是否存在最值，若有请求出最值，若无说明理由. 解：x1<x2, f(x2)=f(x1+x2-x1)= f(x1)+ f(x2-x1), f(x2)- f(x1)= f(x2x1) ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0 ∴f(x2)< f(x1) ∴f(x) ∴f(x)在〔-3，3〕上有最大、最小值. =f(-3),=f(3)
的取值范围），如本题中的与的范围等同。
2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
材料二：若函数的值域为，求函数的值域。
解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，
故函数的值域也为。
函数f(x)的定义域为，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(y)
且f(4)=2 ，则
∴f(1)=2,f(4)=2f(2)-1=4f(1)-3=8-3=5. 2. 类反比例函数型
例：已知函数f(x)对任意的x>0, y>0都有＝，且x>1时，<1,=⑴. 求证：>0. ⑵. = ⑶. 是否存在反函数，说明理由. ⑷.若>9的 解集为（m,n）求m+n.
解：⑴. f(x)＝f()=f2()0,若存在x0>0有f(x0)=0则f(x)＝ f()=f(x0)f()=0,与=矛盾.∴>0. ⑵.f(1)=f2(1) f(1)=1f()f(x)= f(1)=1∴f()=
解：当x1<x2,, f(x2)=f(x1+x2-x1)= f(x1)+ f(x2-x1)-1,∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)-1>0,因此有 f(x2)- f(x1)= f(x2-x1)-1>0,即f(x)上升，有反函数. ⑵.设f(m)=2, f(a2+a-5)<2= f(m), a2+a-5<m的解为（-3，2）, a2+a-5-m=0的两根为-3，2，-5-m=-6m=1.
∴f(x)= <1.
⑵.x2>x1, f(x2)＝f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1) = f(x2-x1)<1 ∴f(x2)< f(x1) f(x)在R上下降. ⑶. f(x-6)f(x2-2x)1＝f(0) f(x2-2x+x-6) f(0) f(x2-x-6) f(0) x2-x-60
总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。 7、 单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加 以配凑。
材料六：1设是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的，当时，都 有：。若，试比较与的大小。 解析：， ，，又， ，即。
2、已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，，，求在区间[－ 2，1]上的值域。 解：设，则，∵当时，，∴， ∵， ∴，即，∴为增函数 在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则， ∴ ，故，为奇函数， ∴ ，又， ∴的值域为［－4，2］。 3、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x） ＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式的解. 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿2）；再求出f（1）＝ 3；最后脱去函数符号.
⑴.x>0时,0< f(x)<1. ⑵.判定f(x)的单调性. ③.解不等式f(x6)f(x2-2x)1. 解：⑴f(x)＝f(+)=f2()0,若存在x0>0有f(x0)=0则f(x)＝f(x0+xx0)=f(x0)f(x-x0)=0,与f(0)0矛盾.∴>0 又 x>0时, f(0)＝f2(0) ∴f(0)＝1, ∴ f(x-x)=f(x)f(-x) =1 ∵-x<0,
4、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变
换是捷径、特值代入是妙法。
结论1：设函数f(x)的定义域为R，且f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的图象关
于直线 对称；特别地，当f(a+x)=f(a-x)时，f(x)的图象关于x=a对称（自