高中数学抽象函数性质

（）
总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
3、 解析式（可解性）：由抽象式求解析式问题——视为未知数，构
造方程（组）。
材料七：设函数满足……①，求。
解析：以代，得，……②
以代，得，……③
①+③-②得：
所以
总结：在所给的抽象式中紧紧围绕，将其余的式子替换成，构造一个或
几个方程，然后设法求解。
∴f(x)= <1.
⑵.x2>x1, f(x2)＝f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1) = f(x2-x1)<1 ∴f(x2)< f(x1) f(x)在R上下降. ⑶. f(x-6)f(x2-2x)1＝f(0) f(x2-2x+x-6) f(0) f(x2-x-6) f(0) x2-x-60
有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，，则g(2005)=_____. 析：当满足题设的f(x)难于求出时，可利用特殊值法化一般为特殊求 解。
解：由f(x+5)≥f(x)+5得： 同理得：，联想斜率公式，取 k=1，结合f(1)=1 联想到函数f(x)=x满足，故g(x)=1，则g(2005)=1 课外练习：
1：设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件：①存在x1≠x2，使得f(x1) ≠f(x2)；②对任何x和y，f(x+y)=f(x)•f(y)成立；求：
（1）f(0)； （2）对任意值x，判断f(x)值的正负。 析：若令x=0，y=0推导f(0)，会得到f(0)=f(0)2，f(0)=0 或f(0)=1，但是 由条件式可猜测：指数函数y=ax满足关系式，应有f(0)=1；利用题设① 判定，有如下解法：
（1）令y=-1，则f(-x)=f(x)•f(-1) ∵f(-1)=1, ∴f(-x)=f(x), f(x)为偶函数。 （2）设0≤x1<x2 则 得：
又由f(x1)=f()=f()•f(x2) 得： 即：f(x1)<f(x2) 故函数f(x)在为增函数。 例5、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有，且 时。（1）证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1；（2）证明：f(x)在R 上单 调递减；（ 3 ）设，若，确定a 的范围。（4）试举出一个满足条件的 函数
析：由题设条件和结论1可知：y=f(x)关于直线x=2对称，所以方程的 根也关于直线x=2对称。方程有三个不同的实根，由必有一根为2，另两 根之和为4，故三根之和为6。
5、 周期性：解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的 抽象式是关键。
材料四：设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期 函数。 证明：由的图象关于直线对称，得，
的取值范围），如本题中的与的范围等同。
2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
材料二：若函数的值域为，求函数的值域。
解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，
故函数的值域也为。
函数f(x)的定义域为，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(y)
且f(4)=2 ，则
又是定义在R上的奇函数，所以 ，则 由周期函数的定义可知4是它的一个周期。 总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。 6、 奇偶性：解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。 材料五：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满 足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。 解析：令，则，得； 令，则，得； 令，得，得 因此函数为奇函数。
时，f(x)，(1)判断f(x)的奇偶性； （2）判断f(x)在上的单调性，并给出证 明.
析：判断函数的奇偶性联想函数奇偶性的判定式：f(x)±f(-x)=0；判断 单调性应构造出定义式f(x1)-f(x2)或，分别比较它们与0或1的大小关系进 而用定义判定。另外，由题设抽象关系式猜测：f(x)为幂函数y=x2.
4、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变
换是捷径、特值代入是妙法。
结论1：设函数f(x)的定义域为R，且f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的图象关
于直线 对称；特别地，当f(a+x)=f(a-x)时，f(x)的图象关于x=a对称（自
身对称）。
结论2：对于定义在R上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象
得，当时，，此时成立；当时，，此时成立；当，，此时成立。
1. 类一次函数型 例1：已知函数f(x)定义域R，对任意的x1、x2R，有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，当x>0时，f(x)<0,f(1)=a判定〔-3，3〕上 f(x)是否存在最值，若有请求出最值，若无说明理由. 解：x1<x2, f(x2)=f(x1+x2-x1)= f(x1)+ f(x2-x1), f(x2)- f(x1)= f(x2x1) ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0 ∴f(x2)< f(x1) ∴f(x) ∴f(x)在〔-3，3〕上有最大、最小值. =f(-3),=f(3)
好的效果。
9、利用模型函数，类比联想 例8：如果f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=2，则
的值为_________。 析：由f(x+y)=f(x)•f(y)的关系式，类比联想指数函数y=ax的性质知： 解：令f(x)=2x，满足题设，则 =2004 例9：已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意都
因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数的定义域为，求函数的定义域。
解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。
所以函数的定义域为
总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关
键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同
关于直线对称（相互对称）。 材料三：设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ ） A、直线对称 B直线对称 C直线对称 D直线对称 解法一（定义证明）：设点是函数的图象上的任意一点，则，关于直线 的对称点为，要使点在函数的图象上，则，应有，故， 所以函数与的图象关于直线对称。 解法二（图象变换法）：由函数的图象向右平移1个单位得到函数的图 象；由函数的图象关于轴对称得到函数的图象，再向右平移1个单位， 得到的图象。如图所示，选D。 解法三（特值代入法）：由已知可得点在函数的图象上，点在函数的图 象上，又点P、Q关于直线对称，选D。 总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数满足，则函 数的自对称轴为；函数与的互对称轴为，即 例11、已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实 根，则这三个根的和为______。
抽象函数的性质问题解析
抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考
查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函
数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析
式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，
总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到（或）来判断。抽 象函数的单调性，一般不用导数判断。
8、 凹凸性：解决函数的凹凸性问题——捕捉图象信息，数形结合。 材料八：如图所示，是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对 [0，1]中任意的和，任意，恒成立”的只有（ ） A、 B、 C、 D、 解析：令，则不等式变为，可知函数是一个凹函数，故只有正确，选 A。 总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿 堂。 总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加 扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良
总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。 7、 单调性：解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加 以配凑。
材料六：1设是定义在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的，当时，都 有：。若，试比较与的大小。 解析：， ，，又， ，即。
2、已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，，，求在区间[－ 2，1]上的值域。 解：设，则，∵当时，，∴， ∵， ∴，即，∴为增函数 在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则， ∴ ，故，为奇函数， ∴ ，又， ∴的值域为［－4，2］。 3、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x） ＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式的解. 分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿2）；再求出f（1）＝ 3；最后脱去函数符号.
解：（1）令y=0代入f(x+y)=f(x)•f(y)， 则f(x)=f(x)•f(0)， ∴f(x)=0或f(0)=1
若f(x)=0，则对任意x1≠x2，有f(x1)=f(x2)，这与题设矛盾 ∴f(0)=1 （2）令y=x≠0，则又由上述（1）知f(x) ≠0， ∴f(2x)=[f(x)]2>0，即f(x)>0；故对任意x，f(x)>0 2：已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(xy)=f(x)•f(y)，且f(-1)=1, 当0≤x<1
解：当x1<x2,, f(x2)=f(x1+x2-x1)= f(x1)+ f(x2-x1)-1,∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)-1>0,因此有 f(x2)- f(x1)= f(x2-x1)-1>0,即f(x)上升，有反函数. ⑵.设f(m)=2, f(a2+a-5)<2= f(m), a2+a-5<m的解为（-3，2）, a2+a-5-m=0的两根为-3，2，-5-m=-6m=1.
∵=2,∴=0, 又+＝0∴是奇函数，＝+
+＝3＝3a ∴=--3a, =3a.
例2. Biblioteka Baidu⑴已知函数f(x)定义域R，对任意的x、yR，有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时， f(x)>1,⑴求证：f(x存在反函数. ⑵.若不等式f(a2+a-5)<2的解为 -3<x<2,求f(4).
∴f(1)=2,f(4)=2f(2)-1=4f(1)-3=8-3=5. 2. 类反比例函数型
例：已知函数f(x)对任意的x>0, y>0都有＝，且x>1时，<1,=⑴. 求证：>0. ⑵. = ⑶. 是否存在反函数，说明理由. ⑷.若>9的 解集为（m,n）求m+n.
解：⑴. f(x)＝f()=f2()0,若存在x0>0有f(x0)=0则f(x)＝ f()=f(x0)f()=0,与=矛盾.∴>0. ⑵.f(1)=f2(1) f(1)=1f()f(x)= f(1)=1∴f()=
⑴.x>0时,0< f(x)<1. ⑵.判定f(x)的单调性. ③.解不等式f(x6)f(x2-2x)1. 解：⑴f(x)＝f(+)=f2()0,若存在x0>0有f(x0)=0则f(x)＝f(x0+xx0)=f(x0)f(x-x0)=0,与f(0)0矛盾.∴>0 又 x>0时, f(0)＝f2(0) ∴f(0)＝1, ∴ f(x-x)=f(x)f(-x) =1 ∵-x<0,
⑶.x2>x1>0, f(x2)= f()=f(x1)f()=f()<1 (∵>1) f(x)在下降. ⑷. >9＝f()∵f(x)在下降，∴0<x<m=0,n=m+n=.
3. 类指数函数型
例1.已知函数f(x)定义域R，满足①.x<0时，>1 ②. f(0)0 ③.任 意的x、yR有 f(x+y)=f(x)f(y)
（1）证明： 令
，已知时， 设，， ，即当x<0时f(x)>1 （2），则
f(x)在R 上单调递减。 （3）
f(x)在R上单调递减 （单位圆内部分） （一条直线） （4）如 例7、已知函数满足定义域在上的函数，对于任意的，都有，当且 仅当时，成立， （1）设，求证； （2）设，若，试比较与的大小； （3）解关于的不等式 分析：本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的 基本性质解题 证明：（1）∵，∴， ∴ （2）∵，∴， 即 ∵当且仅当时，成立，∴当时，，∴， （3）令代入得，， ∴关于的不等式为，由（2）可知函数在定义域上是减函数，∴，由