图形的变换_《旋转》典型例题01
23.1 图形的旋转(9大题型)
23.1 图形的旋转旋转的概念将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.注意：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小.题型1：旋转中的概念及对应元素1.下列运动中，属于旋转运动的是（ ）A．小明向北走了4 米B．一物体从高空坠下C．电梯从1 楼到12 楼D．小明在荡秋千【答案】D【解析】【解答】解：A. 小明向北走了 4 米，是平移，不属于旋转运动，A不合题意；B. 一物体从高空坠下，是平移，不属于旋转运动，B不合题意；C. 电梯从1 楼到12 楼，是平移，不属于旋转运动，C不合题意；D. 小明在荡秋千，是旋转运动，D符合题意．故答案为：D．【分析】根据图形旋转的定义求解即可。
【变式1-1】如图，线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，下列结论错误的是（ ）A．AB＝A'B'B．∠AOA'＝∠BOB'C．OB＝OB'D．∠AOB'＝100°【答案】D【解析】【解答】∵线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，∴AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，故A，B，C选项正确，∵∠AOB和∠BOB′的度数不确定，∴∠AOB′≠100°，故D选项错误.故答案为：D.【分析】由旋转的性质可得AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，据此判断.【变式1-2】如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ ）A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°【答案】A【解析】根据图1可知，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°，即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；如右图，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠CAB=45°，∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．故选A．旋转的性质一个图形和它经过旋转所得到的图形中：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 注意：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.题型2：旋转的性质及旋转中心的确定2.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是( )A．(1，1)B．(0，1)C．(-1，1)D．(2，0)【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是(0，1).故答案为：B.【分析】连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，根据旋转的性质即可求解。
初中数学旋转经典习题【含详细答案】
旋转经典习题1.(2019四川绵阳中考)下列图案中,属于轴对称图形的是(A)2.(2019天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( C )3.(2019内蒙古呼和浩特中考)图中序号①②③④对应的四个三角形,都是△ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是(:A)A.①B.②C.③D.④解析:∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形,∴通过轴对称得到的是①.故选A.4.(2019西宁中考)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(A)A.等边三角形B.平行四边形C.正六边形D.圆5.(2019江苏淮安中考)点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(C)A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(-2,1)解析:P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(-1,-2),故选C.6.(2019四川宜宾中考)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点F处,则DE的长是(C)A.3B.C.5D.解析:∵在矩形ABCD中,∠BAE=90°,且由折叠可得△BEF≌△BEA,∴∠BFE=90°,AE=EF,AB=BF,在Rt△ABD中,AB=CD=6,BC=AD=8,根据勾股定理得BD=10,即FD=10-6=4,设EF=AE=x,则有ED=8-x,根据勾股定理得x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以DE=8-3=5,故选C.7.(2019山东枣庄中考)如图,把正方形纸片ABCD先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为( B )A.2B.C.D.1解析:∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F 处,∴FB=AB=2,BM=1,则在Rt△BMF中,FM=,故选B.8.(2017湖南长沙中考)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C,D重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,△CHG的周长为n,则的值为(B )A. B. C. D.随H点位置的变化而变化解析:设CH=x,DE=y,则DH=-x,EH=EA=-y,∵∠EHG=90°,∴∠DHE+∠CHG=90°.∵∠DHE+∠DEH=90°,∴∠DEH=∠CHG,又∵∠D=∠C=90°,△DEH∽△CHG,∴,即,∴CG=,HG=,△CHG的周长n=CH+CG+HG=,在Rt△DEH中,DH2+DE2=EH2,即+y2=,整理得-x2=,∴n=CH+HG+CG=.故.故选B.8.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是(D)9.下列图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是(B)10.如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B',AB'与DC 相交于点E,则下列结论一定正确的是( D )A.∠DAB'=∠CAB'B.∠ACD=∠B'CDC.AD=AED.AE=CE答案:D11.如图,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(D)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形解析:根据第一次对折以及三等分平角可知将360°进行6等分,即多边形的中心角为60°,由最后的剪切可知所得图形符合正六边形特征.故选D.5.如图,直线l是四边形ABCD的对称轴.若AB=CD,有下面的结论:①AB∥CD;②AC⊥BD;③AO=OC;④AB⊥BC.其中正确的结论有.(填序号)答案:①②③12.如图,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B=95°.解析:∵FN∥DC,∴∠BNF=∠C=70°.∵MF∥AD,∴∠BMF=∠A=100°.由翻折知,∠F=∠B.又∵∠BMF+∠B+∠BNF+∠F=360°,∴100°+∠B+70°+∠F=360°,∴∠F=∠B==95°.13.如图,在平面直角坐标系中,若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称,则对称中心点E的坐标是(3,-1)14.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M为边BC上的点,连接AM(如图).如果△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是2.解析:如图,过点M作MN⊥AC于N,由折叠性质可知,∠BAM=∠CAM=45°.∵点B恰好落在边AC的中点处,∴AC=2AB=6.∵∠ANM=90°,∴∠CAM=∠AMN=45°.∴MN=AN.由Rt△CNM∽Rt△CAB,得,∴.∴MN=2.15.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1各顶点的坐标;(2)将△ABC向右平移6个单位,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标;(3)观察△A1B1C1与△A2B2C2,它们是否关于某直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.解:(1)△A1B1C1如图,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).(2)△A2B2C2如图.A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1).(3)△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x=3对称.如图.。
中考复习之图形的旋转经典题(含答案)
图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+67．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______．16．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______．三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．20．（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．22．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B 的（）A．内部 B．外部 C．边上 D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016•宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A． B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016•朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016•莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016•呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016•无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3π D．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B 点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016•松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016•和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春•雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B． C． D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015•浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016•邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016•高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016•海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016•太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016•怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016•瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016•荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS 得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016•丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016•呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春•重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P 在a，b外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋•五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋•苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋•利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN 是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋•江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．，【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB 中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB 中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．21。
2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练(附答案详解)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
15．在 Rt△ ABC 中，AC＝BC，点 D 为 AB 中点．∠GDH＝90°，∠GDH 绕点 D 旋转，
DG，DH 分别与边 AC，BC 交于 E，F 两点．下列结论：①AE+BF＝AC，②AE2+BF2
＝EF2，③S ＝ 四边形 CEDF 1 S△ ABC，④△DEF 始终为等腰直角三角形．其中正确的是(
A．45°
B．60°
C．70°
D．90°
14．如图，把 Rt△ ABC 绕顶点 C 顺时针旋转 90°得到 Rt△ DFC，若直线 DF 垂直平分
AB，垂足为点 E，连接 BF，CE，且 BC=2，下面四个结论：①BF= 2 2 ；②∠CBF=45°；
③△BEC 的面积=△ FBC 的面积；④△ECD 的面积为 2 2 3 ，其中正确的结论有（ ）
经过的路径为 BD ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． 2 3
B． 4 3
C．4π
D．条件不足，无法计算
21．如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（﹣6，0），C（0，2 3 ）．将矩
形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转，使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1 处，则点 B 的对应 点 B1 的坐标为_____．
2020 初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练（附答案详解） 1．已知正方形 MNKO 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形外边， 使 OK 边与 AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作： 将正方形在正六边形外绕点 B 顺时针旋转，使 KN 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 NM 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；……在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 在图中 直角坐标系中的纵坐标可能是（ ）
旋转 典型例题(精品解析)
典型例题一例 如图，以点O 为旋转中心，将ABC ∆顺时针旋转45°，画出图形．分析 当旋转中心O 在图形之外时，O 是一个孤立的点，没有从O 出发的线段或射线作参照，就无法确定旋转的角度，因此，首先还须将O 与图形上的某点（或某些点）连结起来．解 如图，连结OA 、OB 、OC ．将这三条线段绕O 点分别顺时针旋转45°，得C O B O A O '''、、，则C B A '''∆就是按题目要求得到的旋转后的图形．说明： 图形旋转后的效果有时不像平移那样直观，画图出现错误时可能不易发现，因此画图时要特别细心．典型例题二例 如图，正方形ABCD 中，E 是正方形内的一点，把AED ∆绕着点A 按逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形，并回答：（1）图中有哪些等线段和等角？（2）哪两个三角形形状、大小都一样？分析 一个图形绕它的对称中心旋转一个角度后，图形中的每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．本例中可以发现AD 旋转90°后，刚好与AB 重合，于是将AE 旋转90°到E A '的位置，使︒='∠90E EA ，确定点E '，连E B '，则E AB '∆就是ADE ∆按要求旋转的三角形．（1）（2）中，根据图形旋转的特征，图形从一个位置旋转到另一个位置，形状和大小都没有改变，可确定相等的线段、相等的角以及形状相同的三角形．答案 （1）相等的线段有：E B DE E A AE CD BC AB AD '='====,,．相等的角有：E E E AB ADE E BA DAE '∠=∠'∠=∠'∠=∠,,．（2）ADE ∆与E AB '∆的形状和大小都一样．典型例题三例 如图，把一块砖ABCD 直立于地面上，然后将其轻轻推倒．在这个过程中，A 点保持不动，四边形ABCD 旋转到B C D A '''位置．（1）指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转的角度是多大？（2）指出图中的对应线段．分析（1）由于四边形B C D A '''是由四边形ADCB 旋转得到的，A 点保持不动，所以A 是旋转中心．又由于D A B ',,三点在一条直线上，且AB AD ⊥，所以旋转的角度是90°．（2）由于D C B A ,,,的对应点分别是D C B A ''',,,，所以不难找出图中的对应线段．答案 （1）A 是旋转中心，旋转的角度是90°．（2）CD BC AD AB ,,,的对应线段分别是D C C B D A B A '''''',,,．典型例题四例 （1）把长方形ABCD 绕着顶点A 逆时针旋转60°．如图．（2）把长方形ABCD 绕着长方形内一点P 逆时针旋转60°．解 （1）①AB 绕A 点逆时针旋转60°到B A '位置，.,60AB B A AB B ='︒='∠②连结AC ，作.,60AC C A AC C ='︒='∠③作.,60AD D A AD D ='︒='∠连结B C C D '''',，则四边形D C B A '''是四边形ABCD 逆时针旋转60°得到的图形．（2）①连结AP ，作︒='∠60PA A ，使.AP P A ='②用同样的方法作出D C B '''、、，连结A D D C C B B A ''''''''、、、．则四边形D C B A ''''是四边形ABCD 绕P 点逆时针旋转60°得到的图形．典型例题五例 画一个三角形，使通过这个三角形的旋转得到一个正六边形，指出这是一个什么三角形、旋转中心和每次旋转的角度、需要旋转多少次才能完成这个图形．分析 这个题目给了我们一个由三角形制作正多边形的方法．解 给出的三角形应该是正三角形，可以以它的任一个顶点为旋转中心，每次旋转60°，旋转六次便可完成这个图形．说明： 利用这个方法，可以画出任意边数的正多边形．请想一下，画正n 边形应该使用什么样的三角形？怎样旋转呢？典型例题六例 把8个同样大小的等腰梯形拼成如图所示的图形．（1）找出它的旋转中心．（2）当它旋转多少度后与自身重合．分析 （1）从图中可以看出，这八个等腰梯形的八个顶点H G F E D C B A ,,,,,,,恰好在同一个圆周上，该图形的旋转中心就是各顶点所在圆的圆心．因此只要把任意两腰延长，它们的延长线的交点就是旋转中心．（2）这八个等腰梯形将圆周八等分，因此，它只要旋转︒=︒458360后就能与自身重合． 答案 （1）任意延长任何梯形的两腰，这两腰延长线的交点就是旋转中心．（2）旋转的角度是45°．典型例题七例 找出下列图形中的旋转中心，旋转角以及旋转的“基本图案”。
图形的变换⑵平移、旋转、翻折含答案
第25课时 图形的变换⑵平移、旋转、翻折【基础知识梳理】 1.平移在平面内，将一个图形沿着某个 移动一定的 ，这样的图形运动称作平移；平移不改变图形的 和 . 2.平移的特征平移前后的两个图形对应点连线 且 ，对应线段 且 ，对应角 . 3.旋转在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向 一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.这个定点称为 ，转动的角称为 .4.旋转的基本性质⑴旋转不改变图形的 和 ．⑵图形上的每一点都绕 沿 转动了相同的角度. (3)任意一对对应点与 的连线所成的角度都是旋转角. (4)对应点到旋转中心的距离 . 【基础诊断】1、如图，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC（ ） A ．把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B ．把△DEF 向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C ．把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D ．把△DEF 向左平移4个单位，再向上平移2个单位2、如图，△AOB 是正三角形，OC⊥OB，OC ＝OB ，将△AOB 绕点O 按逆时针方向 旋转，使得OA 与OC 重合，得到△OCD，则旋转角度是( ) A ．150º B．120º C．90º D．60º3、如图：△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边与点E ，连接AD ，若AE=4cm ，则△ABD 的周长是（ ） A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm【精典例题】例1、如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若BC ＝32，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1＝ ．第1题图第2题图 第3题图例1图【点拨】∵△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则由三角形面积公式可知，重叠部分小三角形的直角边长为2，从而由勾股定理得B 1C ＝22，则BB 1＝BC －B 1C ＝2。
初中数学《旋转》专题100题含答案
（1）画出O AB'C'；
（2）点B'的坐标为；
（3）求点C旋转到C'所经过的路线长．
28. 取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板A‸C，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为αto€αtt5o，得到OABC'．
（1）当α为多少度时，AB∥‸C?
（2）将O ABC绕点0逆时针旋转9to，画出旋转后得到的O A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
15.如图，OABC和OA'B'C'是两个完全重合的直角三角板，²B=²B' =3to，斜边长为1tcm．三角形板A'B'C'绕直角顶点C顺时针旋转，当点A'落在AB边上时，求C'A'旋转所构成的扇形的弧长AˆA'．
（2）将O ABC绕着点B顺时针旋转9to后得到O A2BC2，请在图中画出O A2BC2，并求出线段
BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
18.如图所示，正方形网格中，O ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把O ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的O A1B1C1；
（2）当旋转到图③所示位置时，α为多少度?
（3）连接B‸，当to€αtt5o时，探求²‸BC' +²CAC' +²B‸C值的大小变化情况，并给出你的证明．
29.如图，试画出四边形ABC‸绕点0逆时针旋转9to之后的图形A1B1C1‸1，C1的坐标是；BB1=．
30.如图，点h是正方形ABC‸的边‸C上一点，把OA‸h顺时针旋转到OAB′的位置．
2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练1(附答案详解)
2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练1（附答案详解） 1．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB ，则∠CAC′为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°3．如图，△ABC 是等边三角形，D 为BC 边上的点，∠BAD ＝15°，△ABD 经旋转后到达△ACE 的位置，那么旋转了( )A ．75°B ．45°C ．60°D ．15°4．O 为线段AB 上一动点，且AB=2，绕O 点将AB 旋转半周，则线段AB 所扫过的面积的最小值为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π5．如图，在OAB ∆中，顶点(0,0)O ，(3,4)A -，(3,4)B ，将OAB ∆与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90︒，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ）A ．(10,3)B ．(3,10)-C ．(10,3)-）D ．(3,10)- 6．如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ∆，连接ED ，若6BC =，4BD =，则有以下四个结论：①BDE ∆是等边三角形；②//AE BC ；③ADE ∆的周长是10；④ADE BDC ∠=∠．其中正确结论的序号是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③ 7．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG ，AE ，FG 分别交射线CD 于点 PH ，连结 AH ，若 P 是 CH 的中点，则△APH的周长为（ ）A ．15B ．18C ．20D ．248．如图，等边三角形ABC 的边长是2，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接MN ，则在点M 运动过程中，线段MN 长度的最小值是（ ）A ．12B ．1C ．3D ．3 9．如图，将△ABC 绕点A 旋转至△ADE 的位置，使点E 落在BC 边上，则对于结论：①DE ＝BC ；②∠EAC ＝∠DAB ；③EA 平分∠DEC ；④若DE ∥AC ，则∠DEB ＝60°；其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．如图，将边为3的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．332-B ．33-C ．23-D ．33- 11．如图，点A 是抛物线24y x x =-对称轴上的一点，连接OA ，以A 为旋转中心将AO 逆时针旋转90°得到AO ′，当O ′恰好落在抛物线上时，点A 的坐标为______________．12．如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形AB ′C ′D ′位置，此时AC ′的中点恰好与D 点重合，AB ′交CD 于点E ．若AB ＝3，则△AEC 的面积为_____．13．如图，点 A 的坐标是（﹣2，0），点 B 的坐标是（0，6），C 为 OB 的中点，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′B′C′．若反比例函数 y =k x的图象恰好经过 A′B 的中点 D ，则k _________．14．如图，正方形 ABCD 中，点 E ，F 分别在 BC 和 AB 上，BE ＝3，AF ＝2，BF＝4，将△ BEF 绕点 E 顺时针旋转，得到△GEH ，当点 H 落在 CD 边上时，F ，H 两点之间的距离为_____．15．把一副三角板如图1放置其中∠ACB =∠DEC =90°，∠A =45°，∠D =30°，斜边AB =6，CD =8，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15︒得到三角形1D CE (如图2)，此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为_______．16．如图，等腰Rt ABC ∆与等腰Rt CDE ∆，AC BC =，CD DE =，212AC CD ==，DH AE ⊥，垂足为H ，直线HD 交BE 于点O .将CDE ∆绕点C 顺时针旋转，则OA 的长的最大值是______.17．如图，△ABC ，△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，若AD=3，AB=7，则线段MN 的取值范围是______．18．如图：已知Rt ABC ∆，对应的坐标如下，请利用学过的变换（平移、旋转、轴对称）知识经过若干次图形变化，使得点A 与点E 重合、点B 与点D 重合，写出一种变化的过程_____．19．如图，在菱形ABCD 中，2,60AB BAD =∠=︒，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是_____．20．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，10AC BC ==，在DCE V 中，90DCE ∠=︒，6DC EC ==，点D 在线段AC 上，点E 在线段BC 的延长线上．将DCE V 绕点C 顺时针方向旋转60°得到D CE ''△（点D 的对应点为D ¢，点E 的对应点为点E '），连接AD '、BE '，过点C 作CN BE '⊥，垂足为N ，直线CN 交线段AD '于M ，则MN 的长为__________．21．如图乙，ABC V 和ADE V 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线BD ，CE 的交点．（1）如图甲，将ADE V 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个 ；（回答直接写序号） ①BD CE =；②BD CE ⊥；③45∠+∠=︒ACE DBC ；④()2222=+BE AD AB（2）若6AB =，3AD =，把ADE V 绕点A 旋转．①当90CAE ∠=︒时，求PB 的长；②直接写出旋转过程中线段PB 的最大值和最小值．22．如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，将△BEC 绕点C 顺时针旋转至△DFC ． （1）请问最小旋转度数为多少？（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F 的度数．23．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）若∠ADC ＝30°，AD ＝3，BD ＝42．求CD 的长．24．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，P 是BC 边上一点，将△ABP 绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为点P′.(1)画出旋转后的三角形；(2)连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数．25．综合与实践﹣四边形旋转中的数学“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．（1）请直接写出CG的长是______．（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．（4）如图5，当▱AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．26．综合与探究问题情境在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ． 操作发现以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；继续探究（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证ADB AOB ∆≅∆；②求点H 的坐标．拓展探究（3）如图①，点M 是x 轴上任意一点，点N 是平面内任意一点，是否存在点N 使以A 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．27．（1）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =，填空：当点A 位于__________时，线段AC 的长取到最大值__________，且最大值为；（用含a 、b 的式子表示）．（2）如图2，若点A 为线段BC 外一动点，且6BC =，3AB =，分别以AB ，AC 为边，作等边ABD △和等边ACE △，连接CD ，BE ．①图中与线段BE 相等的线段是线段__________，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值为__________．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(40)，，点B 的坐标为(100)，，点P 为线段AB 外一动点，且4PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，请直接写出线段AM 长的最大值为__________，及此时点P 的坐标为__________．（提示：等腰直角三角形的三边长a 、b 、c 满足::1:1:2a b c =）28．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，△ABC 不动，△ADE 绕点A 旋转，连接BE ，CD ，F 为BE 的中点，连接AF.(1)如图①，当∠BAE ＝90°时，求证：CD ＝2AF ；(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．29．如图1，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，以点E 直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ，EG 分别过点B ，C ，∠F ＝30°. （1）求证：BE ＝CE（2）将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转，当旋转到EF 与AD 重合时停止转动.若EF ，EG 分别与AB ，BC 相交于点M ，N.（如图2）①求证：△BEM ≌△CEN ；②若AB ＝2，求△BMN 面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.30．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．【详解】连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°-45°=45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=，则DC1=-1，∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1OD=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=-1，∴S△ADO=×OD•AD=，∴四边形AB1OD的面积是=2×=-1，故选C．2．A【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC=AC,∠BAC=∠BAC',再根据两直线平行,内错角相等求出∠ACC=∠CAB,然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC,再求出∠BAB=∠CAC,从而得解【详解】∵CC′∥AB，∠CAB＝75°，∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝30°．故选A．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，旋转的性质和平行线的性质，运用好旋转的性质是解题关键3．C【解析】【分析】首先根据题意寻找旋转后的重合点，根据重合点来找到旋转角.【详解】根据题意△ABC是等边三角形∴=AB AC∴可得B点旋转后的点为C∴旋转角为60∠=BAC︒故选C.【点睛】本题主要考查旋转角的计算，关键在于根据重合点来确定旋转角.4．D【解析】【分析】当O 是AB 中点时，线段AB 所扫过的面积的最小；【详解】解：当O 是AB 中点时，线段AB 所扫过的面积的最小，最小面积=π•12=π，故选D ．【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转变换的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．D【解析】【分析】先求出6AB =，再利用正方形的性质确定(3,10)D -，由于704172=⨯+，所以第70次旋转结束时，相当于OAB ∆与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次，每次旋转90︒，此时旋转前后的点D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标．【详解】解：(3,4)A -Q ，(3,4)B ，336AB ∴=+=，Q 四边形ABCD 为正方形，6AD AB ∴==，(3,10)D ∴-，704172=⨯+Q ，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于OAB ∆与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次，每次旋转90︒，∴点D 的坐标为(3,10)-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30︒，45︒，60︒，90︒，180︒．6．D【解析】【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，可知：BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，从而得∠BAE=∠ABC=60°，根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC>60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=10．【详解】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴BD=BE，∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴①正确；∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠BAE=∠BCD=60°，∴∠BAE=∠ABC，∴AE∥BC，∴②正确；∵△BDE是等边三角形，∴DE=BD=4，∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=6+4=10，∴③正确；∵△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，∴∠ADE=180°-∠BDE-∠BDC＜60°，∴∠ADE≠∠BDC，∴④错误．故选D．【点睛】本题主要考查旋转得性质，等边三角形的判定和性质定理，掌握旋转的性质以及等边三角形的性质定理，是解题的关键．7．C【解析】【分析】连结AC，先由△AGH≌△ADH得到∠GHA＝∠AHD，进而得到∠AHD＝∠HAP，所以△AHP是等腰三角形，所以PH＝PA＝PC，所以∠HAC是直角，再在Rt△ABC中由勾股定理求出AC的长，然后由△HAC∽△ADC，根据＝求出AH的长，再根据△HAC∽△HDA求出DH的长，进而求得HP和AP的长，最后得到△APH的周长.【详解】∵P是CH的中点，PH＝PC，∵AH＝AH，AG＝AD，且AGH与ADH都是直角，∴△AGH≌△ADH，∴∠GHA＝∠AHD，又∵GHA＝HAP，∴∠AHD＝∠HAP，∴△AHP 是等腰三角形，∴PH＝PA＝PC，∴∠HAC是直角，在Rt△ABC中，AC＝＝10，∵△HAC∽△ADC，∴＝，∴AH＝＝＝7.5，又∵△HAC∽△HAD，＝，∴DH＝4.5，∴HP＝＝6.25，AP＝HP＝6.25，∴△APH的周长＝AP＋PH＋AH＝6.25＋6.25＋7.5＝20.【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是清楚直角三角形斜边上的中线是斜边的一半以及会运用相似三角形线段成比例求出各边长的长.8．B【解析】【分析】由旋转的特性以及∠MBN=60°，可知△BMN是等边三角形，从而得出MN=BN，再由点到直线的所有线段中，垂线段最短可得出结论．【详解】由旋转的特性可知，BM=BN．又∵∠MBN=60°，∴△BMN为等边三角形，∴MN=BM．∵点M是高CH所在直线上的一个动点，∴当BM⊥CH时，MN最短（到直线的所有线段中，垂线段最短）．又∵△ABC为等边三角形，且AB=BC=CA=2，∴当点M和点H重合时，MN最短，且有MN=BM=BH=12AB=1．故选B．【点睛】本题考查了旋转的特性、垂线段最短以及等边三角形的判定与性质．解题的关键是：得到当BM⊥CH时，MN最短．9．A【解析】【分析】由旋转的性质可知，△ABC≌△ADE，DE＝BC，可得①正确；∠CAE＝∠CAB﹣∠BAE，∠DAB＝∠DAE﹣∠BAE，可得∠EAC＝∠DAB，可判定②正确；AE＝AC，则∠AEC＝∠C，再由∠C＝∠AED，可得∠AEC＝∠AED；可判定③正确；根据平行线的性质可得可得∠C ＝∠BED，∠AEC＝∠AED=∠C，根据平角的定义可得∠DEB＝60°；综上即可得答案．【详解】∵将△ABC绕点A旋转至△ADE的位置，使点E落在BC边上，∴△ABC≌△ADE，∴DE＝BC，AE=AC，∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠AED，故①正确；∴∠CAE＝∠CAB﹣∠BAE，∠DAB＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠EAC＝∠DAB；故②正确；∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠C，∴∠AEC＝∠AED，∴EA平分∠DEC；故③正确；∵DE∥AC，∴∠C＝∠BED，∵∠AEC＝∠AED=∠C，∴∠DEB＝∠AEC＝∠AED =60°，故④正确；综上所述：正确的结论是①②③④，共4个，故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前、后的两个图形全等，对应边、对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．10．B【解析】【分析】根据正边形的性质求出DM的长，再求得四边形ADMB′的面积，然后由旋转的性质求得阴影部分面积．【详解】解：设CD、B′C′相交于点M，连接AM，DM＝x，∵ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH，∴∠MAD＝30°，AM＝2x，在△ADM中，x2+3＝4x2，解得：x＝1，∴S ADMB′＝3，∴图中阴影部分面积为：3﹣3．故选：B．【点睛】本题要把旋转的性质和正方形的性质结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，注意方程思想的运用．11．（2，2）或（2，-1）【解析】∵抛物线y=x2-4x对称轴为直线x=-42 2-=∴设点A坐标为（2，m），如图所示，作AP⊥y轴于点P，作O′Q⊥直线x=2，∴∠APO=∠AQO′=90°，∴∠QAO′+∠AO′Q=90°，∵∠QAO′+∠OAQ=90°，∴∠AO′Q=∠OAQ，又∠OAQ=∠AOP，∴∠AO′Q=∠AOP，在△AOP和△AO′Q中，APO AQO AOP AO QAO AO ∠∠'⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝∴△AOP ≌△AO′Q （AAS ），∴AP=AQ=2，PO=QO′=m ，则点O′坐标为（2+m ，m-2），代入y=x 2-4x 得：m-2=（2+m ）2-4（2+m ），解得：m=-1或m=2，∴点A 坐标为（2，-1）或（2，2），故答案是：（2，-1）或（2，2）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键．12．3【解析】【分析】先求出∠ACD =30°，进而可算出CE 、AD ，再算出△AEC 的面积．【详解】如图，由旋转的性质可知：AC =AC '，∵D 为AC '的中点，∴AD =1122AC AC ='， ∵ABCD 是矩形，∴AD ⊥CD ，∴∠ACD=30°，∵AB∥CD，∴∠CAB=30°，∴∠C'AB'=∠CAB=30°，∴∠EAC=30°，∴AE=EC，∴DE=1122AE EC=，∴CE=222 33CD AB==，DE=11 3AB=，AD=3，∴132AECS EC AD==nn．故答案为：3．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．13．15【解析】【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．【详解】作A′H⊥y轴于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO＋∠A′BH＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵点A的坐标是（−2，0），点B的坐标是（0，6），∴OA＝2，OB＝6，∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，∴OH＝4，∴A′（6，4），∵BD＝A′D，∴D（3，5），∵反比例函数y＝kx的图象经过点D，∴k＝15．故答案为：15．【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化−旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．6【解析】【分析】先确定正方形ABCD的边长AB＝6，则CE＝3，再利用勾股定理计算出EF＝5，根据旋转的性质得EF＝EH＝5，接着计算出CH＝4，从而可得到CH＝BF，于是可判定四边形BCHF 为矩形，然后利用矩形的性质确定FH的长．【详解】正方形ABCD的边长AB＝6,而BE＝3，则CE＝3,在Rt△BEF中，EF5==,∵△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH,∴EF＝EH＝5,在Rt△EHC中，CH＝22-=,534∴CH＝BF＝4，∴四边形BCHF为矩形，∴FH＝BC＝6．故答案为6．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．15．34【解析】【分析】首先由旋转的角度为15°，可知∠ACD1=45°..已知∠CAO=45°，即可得AO⊥CD1，然后可在Rt△AOC和Rt△AOD1中，通过解直角三角形求得AD1的长．【详解】解：如图，∵∠A=45°，∠D=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°，∴∠AOC=180°−∠ACO−∠CAO=90°，在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=32同理可得：AO=OC=3，在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1−OC=5，由勾股定理得：AD122+3435故答案为34．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形的综合应用，能够发现AO⊥OC是解决此题的关键．16．6532+【解析】【分析】延长ED到N，使得DN=DE，连接CN，BN，延长BN交AE于M．取BC的中点F，连接AF，OF．利用矩形的性质证明OD∥BN，推导出OB=OE，求出OF，AF即可解决问题．【详解】如图，延长ED到N，使得DN=DE，连接CN，BN，延长BN交AE于M．取BC的中点F，连接AF，OF．∵CD⊥EN，DN=DE，∴CN=CE，∵DC=DE，∠CDE=90°，∴∠DCE=∠DCN=45°，∴∠ACB=∠NCE=90°，∴∠BCN=∠ACE，在△BCN和△ACE中，CB CABCN ACECN CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCN≌△ACE（SAS），∴∠BNC=∠AEC，∵∠BNC+∠CNM=180°，∴∠CNM+∠AEC=180°，∴∠ECN+∠NME=180°，∵∠ECN=90°，∴∠NME=90°，∵DH⊥AE，∴∠NME=∠DHE=90°，∴OD∥BN，∵DN=DE，∴OB=OE，∵BF=CF，∴OF=12 EC，∵CD=DE=6，∠CDE=90°，∴，∴，在Rt△ACF中，∵AC=12，CF=6，∴AF==∵OA≤AF+OF，∴，∴OA的最大值为．故答案为【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，题目综合性较强，难度较大，属于中考填空题中的压轴题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，17．【解析】【分析】根据中位线定理和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰直角三角形，求出MN=2BD，然后根据点D在AB上时，BD最小和点D在BA延长线上时，BD最大进行分析解答即可．【详解】∵点P，M分别是CD，DE的中点，∴PM=12CE，PM∥CE，∵点P，N分别是DC，BC的中点，∴PN=12BD，PN∥BD，∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DB C=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴PM=PN=12 BD，∴MN=2BD，∴点D在AB上时，BD最小，∴BD=AB-AD=4，MN的最小值；点D在BA延长线上时，BD最大，∴BD=AB+AD=10，MN的最大值为，∴线段MN的取值范围是故答案为：．【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，关键是根据全等三角形的判定和等腰直角三角形的判定证明△PMN是等腰三角形．18．答案不唯一（例：先将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位向下平移2个单位即可）．【解析】【分析】根据“平移”、“轴对称”和“旋转”的性质进行分析解答即可．【详解】解：根据题意，可按下列方式变换使点A与点E重合，点B与点D重合：（1）先将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位，并向下平移2个单位即可；（2）先将△ABC向右平移2个单位，再向下平移2个单位，然后将所得△ABC绕点B顺时针旋转90°即可；……故答案为：本题答案不唯一，如：先将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转90，再将得到的图形向右平移2个单位向下平移2个单位即可．【点睛】本题考查熟悉“平移”、“轴对称”和“旋转”这三种图形变换的性质，并认真观察所给图形的位置特征，是正确解答这类题的关键．191【解析】【分析】连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质得出2,60CD AB BCD BAD ==∠=∠=︒，1302ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒，,OA OC AC BD =⊥，由直角三角形的性质求出112OB AB ==，OA ==，得出AC =2,60AE AB EAG BAD ==∠=∠=︒，得出2CE AC AE =-=，证出90CPE ∠=︒，由直角三角形的性质得出112PE CE ==，3PC ==，即可得出结果．【详解】解：连接BD 交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴2,60CD AB BCD BAD ==∠=∠=︒， 1302ACD BAC BAD ∠=∠=∠=︒，,OA OC AC BD =⊥， ∴112OB AB ==，∴OA ==，∴AC =由旋转的性质得：2,60AE AB EAG BAD ==∠=∠=︒，∴2CE AC AE =-=，∵四边形AEFG 是菱形，∴EF AG ∕∕，∴60CEP EAG ∠=∠=︒，∴90CEP ACD ∠+∠=︒∴90CPE ∠=︒， ∴1312PE CE ==-，333PC PE ==-， ∴2(33)31DP CD PC =-=--=-； 故答案为：31-．【点睛】考核知识点：菱形性质，旋转性质.解直角三角形是关键.20．7+ 1537. 【解析】【分析】先画出图形，过点B 作E′C 的垂线交其延长线于F 点，过点D′作CM 的垂线交CM 于H 点，过A 点作CM 的垂线交其延长线于G 点．在Rt △BFC 求出BF ，再在△BE′F 用“面积法”求CN ，证明△ACG ≌△BCN ，△CD′H ≌△CE′N ，将有关线段转化，可求CM ，从而可求MN ．【详解】解：如图，若将△DCE 绕点C 顺时针旋转60°得到△D′CE′，过点B 作E′C 的垂线交其延长线于F 点，过点D′作CM 的垂线交CM 于H 点，过A 点作CM 的垂线交其延长线于G 点．∵∠ACD′=60°，∠ACB=∠D′CE′=90°，∴∠BCE′=360°-∠ACD′-∠ACB-∠D′CE′=120°．∴∠BCF=180°-∠BCE′=60°，∴∠FBC=30°，∴FC=5，∴BF= =，∴S △BCE′=12BF•CE′= 162⨯⨯= ∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，∴∠ACG=∠CBN ，又∵AC=BC ，∴Rt △ACG ≌Rt △CBN ，∴AG=CN ，CG=BN ．同理△CD′H ≌△E′CN ，D′H=CN ，CH=NE′．∴AG=D′H ，在△AMG 和△D′MH 中，90AGM D HM AMG D MHAG D H ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠''⎨='⎪⎩， ∴△AMG ≌△D′MH ，∴HM=MG ，∴M 为GH 中点，CM= ()111()222CG CH NB NE BE ''+=+=， 又∵BF= ，∠BCF=60°，∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，∴14==，∴CM=12BE′=7． 又∵S △BCE′=12CN•BE′， ∴CN=2S △BCE′÷BE′= 7∴MN=CM+CN=7+ .故答案是：7+ 153.【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理的运用，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．21．（1）①②③；（2）①655=PB或1855；②PB长的最小值是333-，最大值是333+．【解析】【分析】(1)①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，进而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论；④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠B D2就可以得出结论．(2)①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=3，由△PEB∽△AEC，得PB BEAC EC=，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=9，解法类似；②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小，分别求出PB即可．【详解】(1)解：如图甲：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE(SAS)，∴BD=CE ，∴①正确；②∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ABD=∠ACE ．∵∠CAB=90°，∴∠ABD+∠AFB=90°，∴∠ACE+∠AFB=90°．∵∠DFC=∠AFB ，∴∠ACE+∠DFC=90°，∴∠FDC=90°．∴BD ⊥CE ，∴②正确；③∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°．∴∠ACE+∠DBC=45°，∴③正确；④∵BD ⊥CE ，∴BE 2=BD 2+DE 2，∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，∴DE 2=2AD 2，BC 2=2AB 2，∵BC 2=BD 2+CD 2≠BD 2，∴2AB 2=BD 2+CD 2≠BD 2，∴BE 2≠2(AD 2+AB 2)，∴④错误．故答案为①②③．(2)①解：a ．如图2中，当点E 在AB 上时，3=-=BE AB AE ．∵90∠︒=EAC ， ∴2222335CE AE AC 6=+=+=，同(1)可证△≌△ADB AEC ，∴∠=∠DBA ECA ，∵∠=∠PEB AEC ，∴△∽△PEB AEC ，∴=PB BE AC EC， ∴635=PB ， ∴65PB =； b ．如图3中，当点E 在BA 延长线上时，639BE AB AE =+=+=,∵90∠︒=EAC ，∴22226353CE AE AC =+=+=，同(1)可证△≌△ADB AEC ，∴∠=∠DBA ECA ，∵∠=∠BEP CEA ，∴△∽△PEB AEC ，∴=BP BE AC EC， ∴635=BP ， ∴185=PB ，综上，65=PB 或185； ②解：a ．如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在A e 下方与A e 相切时，PB 的值最小．理由：此时BCE ∠最小，由(1)可知PBC V 是直角三角形，斜边BC 为定值，BCE ∠最小，因此PB 最小，∵⊥AE EC ， ∴22226333EC AC AE =-=-=，由(1)可知，ABD ACE △≌△，∴90∠=∠=︒ADB AEC ，33==BD CE∴90∠=∠=∠=︒ADP DAE AEP ，且AD=AE=3，∴四边形AEPD 是正方形，∴3==PD AE ，∴333=-=PB BD PD ；b ．如图5中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在A e 上方与A e 相切时，PB 的值最大．理由：此时BCE ∠最大，因此PB 最大，(同理，PBC V 是直角三角形，斜边BC 为定值，BCE ∠最大，因此PB 最大)∵⊥AE EC ， ∴2233-=EC AC AE ，由(1)可知，ABD ACE △≌△，∴90∠=∠=︒ADB AEC ，33==BD CE∴90∠=∠=∠=︒ADP DAE AEP ，且AD=AE=3，∴四边形AEPD 是正方形，∴3==PD AE ， ∴333=+=PB BD PD ．综上所述，PB 长的最小值是333，最大值是333．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．22．（1）90°；（2）△BCE ≌△DCF ，对应角为：∠CBE 与∠CDF ，∠BCE 与∠DCF ，∠BEC 与∠DFC ；（3）70°．【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得CB=CA ，∠BCA=90°，然后根据旋转的定义得到△BEC绕点C 顺时针旋转得到△DFC 的最小旋转度数为90°；（2）根据旋转的性质得△BCE ≌△DCF ，再根据全等的性质写出对应角；（3）先根据三角形内角和定理计算出∠BEC=70°，然后根据（2）中的结论求解． 试题解析：（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴CB=CA，∠BCA=90°，∴△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，∴最小旋转度数为90°；（2）△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC；（3）∵∠EBC=30°，∠BCE=80°，∴∠BEC=180°-30°-80°=70°，∴∠F=∠BEC=70°．23．（1）见解析；（2【解析】【分析】(1)根据AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD证△ACE≌△BCD即可；(2)连接DE，可得△DCE是等边三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，继而在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE的长，即可求得CD．【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，由旋转的性质可得：CE=CD，∠DCE=60°，∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，即∠ACE=∠BCD．在△ACE和△BCD中，∵AC BCACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD；(2)连接DE．∵CD=CE ，∠DCE=60°，∴△DCE 是等边三角形．∴∠CDE=60°，DC=DE ．∵∠ADC=30°，∴∠ADC+∠CDE=90°．∵AD=3，2，∴2．在Rt △ADE 中，由勾股定理， 可得()222242323DE AE AD =-=-= ∴23【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，连接DE 发现等边三角形与直角三角形是解题的关键．24．（1）画图见解析；（2）∠PP′C ＝30°. 【解析】【分析】（1）如图，作∠PAP ′=50°，且AP=AP′，连接PP′，△ACP′即为所求；（2），连接PP′，由旋转的性质可得，∠PAP′＝∠BAC ＝50°，AP ＝AP′，△ABP ≌△ACP′，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠APP′＝∠AP′P ＝65°，根据全等三角形的性质可得∠AP′C ＝∠APB ，在△ABC 中，∠BAC ＝50°，AB ＝AC ，可求得∠B ＝65°，再由∠BAP ＝20°，根据三角形的内角和定理求得∠APB ＝95°＝∠AP′C ，所以∠PP′C ＝∠AP′C －∠AP′P ＝30°. 【详解】(1)旋转后的△ACP′如图所示．(2)如图，连接PP′.由旋转可得，∠PAP′＝∠BAC＝50°，AP＝AP′，△ABP≌△ACP′，∴∠APP′＝∠AP′P＝65°，∠AP′C＝∠APB，∵∠BAC＝50°，AB＝AC，∴∠B＝65°，又∵∠BAP＝20°，∴∠APB＝95°＝∠AP′C，∴∠PP′C＝∠AP′C－∠AP′P＝95°－65°＝30°.【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键.25．5【解析】【分析】（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．在Rt△CGH中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，作FP⊥AD于P．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CG、DF即可解决问题；（3）成立．连接AG、AC．只要证明△ADF∽△ACG，可得45DF ADCG AC==即可解决问题；（4）在图4中，通过计算即可解决问题；【详解】（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．在Rt△CGH中，GH=DF=4，CH=DH=AE=3，∴CG=22CH GH+=5．故答案为：5．（2）如图2中，作FP⊥AD于P．在矩形AEGF中，∵AE=3，EG=4，∴AG=5，BG=AB-AG=1，在Rt△CBG中，CG=228165+=，由△APF∽△AEG，可得AP PE AF AE EG AG==，∴4 345 AP PF==，∴AP=125，PF=165，DP=AD﹣AP=8﹣122855=，在Rt△PDF中，DF=22PD PF+=22465 5PD PF+=，∴DF=45 CG．（3）成立．理由如下：连接AG、AC．由旋转可知：∠DAF=∠CAG，由勾股定理可知：2210AD CD+=，AG=5，∵84105ADAC==，45AFAG=，。
中考数学几何旋转经典例题
旋转知识点归纳知识点1:旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角. 说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等.例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（ ）ＤＡ．25Ｂ．30Ｃ．35Ｄ．45知识点3:旋转作图1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角.2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.3.掌握作图的步骤:(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点；（4）连接作出的各个关键点，并标上字母；（5）写出结论.'图1D图2例2 如图3，小明将△ABC 绕O 点旋转得到△C B A '''，其中点C B A '''、、分别是A 、B 、C 的对应点.随即又将△ABC 的边AC 、BC 及旋转中心O 擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转中心O 及△ABC 的位置找到,你认为可以吗?若可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由.解：连接A A '，B B ',分别作A A '，B B '的垂直平分线，相交于O 点，则O 点即为旋转中心.再作C '关于点的对应点,连接,则的位置就确定了.如图4所示.评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.考点4:钟表的旋转问题钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针12小时旋转一周,则每小时旋转,301236000=这样时针每分钟旋转;5.00分针每小时旋转一周,则每分钟旋转.66036000=例3 从1点到1点25分,分针转了多少度角?时针转了多少度角?1点25分时时针与分针的夹角是多少度?A图3'解读生活中的旋转一.旋转及其基本性质1.旋转的概念在平面内,将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.2.旋转的基本性质(1)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.3.理解旋转中的不变量图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度,图形在旋转过程中,图形中的每一点都按同样的方向旋转了相同的角度.图形在旋转后点的位置改变,但线段的长度不变,对应点到旋转中心的距离不变,每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等.总结:旋转过程中,每一个点都绕旋转中心沿相同的方向旋转了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.二.旋转前后两个图形的比较图形是由点组成的,图形中的主要元素有线段和角,也有一些其他可度量的元素,所以从这两个方面加以分析.旋转的特点有以下几个方面:(1)旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变,位置发生了改变;(2)对应线段相等，对应角相等;(3)每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角.三.旋转作图1.旋转作图的依据是:图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,对应点到旋转中心的距离相等.2.旋转作图的条件(1)图形原来所在的位置;(2)旋转中心;(3)图形旋转的方向;(4)图形的旋转角度.3.旋转作图的具体步骤为:(1)分析题目的要求,找出旋转中心、旋转角；(2)分析所作的图形，找出构造图形的关键点；(3) 沿一定的方向，按一定的角度，通过攫取线段的方法，旋转各个关键点。
利用图形的旋转变换解题举例
利用图形的旋转变换解题举例这一轮课程改革,对几何作了较大幅度的调整,印象较深之一是加强了"几何变换"的内容,即从变换的角度去认识传统几何中的证题术。
初中几何涉及的变换主要有平移、对称和旋转,本文从"旋转"这一角度举些例子,供大家参考。
我们知道,图形的旋转变换不改变图形的形状、大小,只改变图形的位置,故解题时可充分利用图形的旋转变换的这一特点,把图形位置进行改变,从而达到优化图形结构,进一步整合图形〔题设〕信息的目的,使较为复杂的问题得以顺利求解。
例1、如图〔1〕分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆,若正方形的边长为 ,求阴影部分的面积。
解:连AC、BD如右图,则绕AD中点将图中②逆时针旋转到图中③,将图中①绕AB中点顺时针方向旋转到图中④,则原图中阴影部分的面积就和△DBC的面积相等,所以图中阴影部分的面积=S⊿DCB = S 正方形ABCD= 。
这里我们用旋转变换的方法改变了图中①和②的位置,从而顺利地完成了计算。
例2、如图⑵所示,在⊿ABC中,AB=AC,∠BAC= ,D是BC上任一点,试说明。
证法一(非旋转法):过A点作AE⊥BC于E,如图⑶,则容易证明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以 , ,所以 = + = ,而在直角三角形ADE中,存在 ,所以 ,这是传统的证明方法。
本题考虑到BD、DC、AD三线段分散在两个三角形中,而且构成平方和的条件不明显,若利用旋转变换,将BD、DC放到一个三角形中,若这个三角形是直角三角形,则创造就更能接近所证的目标了.证法二(旋转法): 将△ADC绕A点顺时针方向旋转到△AEB,如图⑷, 连DE, 易知△ADE、△DBE均为直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在Rt△EBD中有 , 在Rt△AED中有 ,所以。
例3、如图⑸所示,P为正方形内一点,且PA=1,BP=2,PC=3,求∠APB的大小解: 如图(6),将⊿BPC绕B点逆时针旋转到△BEA, 连EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2,在Rt⊿BEP中, ,且∠EPB= ,在⊿AEP中,又,所以△APE是直角三角形,即∠APE= ,∠APB=∠APE+∠EPB= + = ,即∠APB为。
《旋转》典型例题
《旋转》典型例题
例1.如图，在正方形ABCD中，E在BC上，∠FDE=45°，
△DEC按顺时针方向旋转一个角度后成△DGA，
（1）图中哪一个点是旋转中心？旋转角度是多少？
（2）试指明图中旋转图形的对应线段与对应角？
分析：由于旋转前后的两个图形大小形状未发生改变，所
以我们在利用旋转来解决其他问题时要抓住以下几点：
（1）找准旋转中的变与不变，因为△DEC顺时针旋转到△DGA，点D未改变，所以旋转中心是D，（2）要找准旋转前后的“对应关系”，△DEC与△DAG互相重合，从而可找出对应线段与对应角.
技巧：根据旋转的定义寻找出对应角、对应线段和对应点，然后根据旋转的特征解决问
题.
例2.如图，△ABC、△ADE均是等腰直角三角形，BC、DE分别
是底边，图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转得到？
分析：本题应该结合三角形全等的相关知识进行推理探索，另
外还要了解旋转不变性这一根本出发点，进而找到图形的变换关系，体会图形变换中的转化思想，使图形中的条件得以重新分布和结合.本题的回答也可以根据起始图形的选择不一样而产生两种回答：（1）将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABD或将△ABD绕A点逆时针旋转90°得到△ACE.
例3.如图，在下侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）
分析：学生在学过图形的三种变换后，主要要从不同角度尝试各种方法进行试验.应用平移、旋转、轴对称性质时，要注意它们的相同点和不同点，才能用已有的知识去识别不同的变换形式，此处教师应与学生们共同归纳三种变换的异同，让学生抓住它们性质上的区别，提高对图形的分析能力.。
旋转与旋转变换(含答案)
第8讲 旋转和旋转变换（一） 考点·方法·破译 1．掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角； 2．会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；3．能利用旋转性质进行开放探究。
经典·考题·赏板【例１】如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=450，将△ADC 绕点A 顺时针旋转900后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌AEF ；②△ABE ∽△ACD ；③BE+DC=DE ；④BE 2+DC 2=DE 2，其中正确的是（ ）A ． ②④B ． ①④C ． ②③ D. ①③解：由旋转性质知，∠FAD=∠FBC=900，且AF=AD ，∵∠DAE=450，∴∠FAE=450，由AF=AD ，∠FAE=∠DAE ，AE=AD ，得△AED ≌△AEF ，①正确；由勾股定理得BF 2+BE 2=FE 2，将BF=DC ，FE=DE代入得，BE 2+DC 2=DE 2，④正确；且知③不正确；若∠AFB ≠∠ADC ，则②不正确，故本题选B【变式题组】1．如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=450，记AM=m,MN=x,BN=n,则以线段x 、m 、n 为边长的三角形的形状是（ ）A ． 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而改变【例２】 如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转900，得△A 1OB 1。
已知∠AOB=900，∠B=900，AB=1，则B 1点的坐标为（ ）A ． )23,23(B ．)23,23(C ．)23,21(D ．)21,23( 答案：A. 【变式题组】2．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿X 轴正方向连续翻转2020次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…P 2020的位置，则点P 2020的横坐标为_________．【例３】如图将Rt △ABC(其中∠B=340，∠C=900)绕点A 按顺时针方向旋转到△A 1B 1C 1的位置，使得点C 、A 1，B 1在同一条直线上，那么旋转角最小等于______．答案：∠BAB 1=340+900=1240【变式题组】3．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转800得到△OCD ，若∠A=1100，∠D=400，则∠а的度数是（ ）A ． 300B ． 400C ． 500D ．6004．如图，∠AOB=900，∠B=300，△A 1OB 1可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转а角度得到的，若点A 1在AB 上，则旋转角а的大小可以是（ ）A ． 300B ． 450C ． 600D ． 9005．如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC 拼成的，测得AB=BC ，OA=OC ，OA ⊥OC ，∠ABC=360，则∠OAB 的度数是（ ）A ． 1160B ． 1170C ．1180D ．1190【例４】在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4cm ，AC=3㎝，把△ABC 绕点A 顺时针旋转900后，得到△AB 1C 1，如图所示，则点B 所走过的路径长为（ ）A ． cm 25B ． cm π45C ． cm π25 D ．5cm π 【解法指导】 点B 所走过的路径是以AB 为半径、圆心角为900的圆弧，又AB=5cm ，所以路径长为cm ππ255241=⨯⨯⨯，应选C 【变式题组】6．把一副三角板按如图（1）位置摆放，使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合，已知AB=AC=8cm ，将△MED 绕点A （M ）逆时针旋转600后如图（2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是________cm2(结果精确到0.1,73.13≈).【例５】已知△ABC 在平面坐标系中的位置如图所示.（1）分别写出图中点A 和点C 的坐标；画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转900后的△A 1B 1C 1；（2）求点A 旋转到点A 1所经过的路线长（结果保留π）.【解法指导】解：（1）A （0，4）、C （3，1）（2）AC=23，弧ππ22318023901=⨯⨯=AA 【变式题组】1．如图，已知△ABC 的三个顶点分别为A （-2，3）、B （-6，0）、C （-1，0）（1）请直接写出点A 关于Y 轴对称的点的坐标；（2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转900，画出图形，直接写出点B 的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.2．如图，在平面坐标系，△ABC 的顶点坐标为A （-2，3）、B （-3，2）、C （-1，1）。
初中几何旋转经典例题
初中几何旋转经典例题 旋转是初中几何学中的重要概念之一，它涉及到物体在平面上以一定角度绕旋转中心旋转的运动。
在几何学中，旋转可以通过不同的方法来表示和计算，而初中几何旋转的例题则是学生们常见的练习题目类型之一。
下面将介绍几个经典的例题，以帮助学生们更好地理解初中几何旋转的概念和运用。
例题1：如图所示，长方形ABCD的顶点A经过顺时针旋转90°后得到顶点A'，连接AA'所得线段与BC延长线的交点为E。
求证：线段BD与线段AE互相垂直。
解析：首先，我们可以通过观察图形得知旋转中心为矩形的中心点。
由于顶点A经过顺时针旋转90°后得到顶点A'，所以图形经过旋转后变成了一个正方形。
因此，线段BD与直线AE是正方形的对角线，而正方形的对角线互相垂直。
因此，线段BD与线段AE互相垂直，得证。
例题2：如图所示，正方形ABCD的顶点A经过顺时针旋转60°后得到顶点A'，连接AA'所得线段与AC相交于点E。
求证：线段BE与BC垂直，并且线段BE的长度等于线段BC的一半。
解析：首先，我们可以观察图形得知旋转中心为正方形的中心点。
由于顶点A经过顺时针旋转60°后得到顶点A'，所以图形经过旋转后变为一个新的正方形。
连接AA'所得线段与AC相交于点E，根据旋转的特性，线段AE与直线AC重合。
因此，线段BE与线段AC互相垂直，并且线段BE的长度等于线段BC的一半，得证。
例题3：如图所示，正方形ABCD的顶点A经过顺时针旋转120°后得到顶点A'，连接AA'所得线段与AC延长线的交点为E。
求证：直线BE平分线段AC。
解析：同样地，我们可以观察图形得知旋转中心为正方形的中心点。
由于顶点A经过顺时针旋转120°后得到顶点A'，所以图形经过旋转后变成了一个新的正方形。
连接AA'所得线段与AC延长线相交于点E，根据旋转的特性，线段AE与直线AC平行。
图形的平移与旋转练习题及答案全套
情景再现：你对以上图片熟悉吗？请你答复以下几个问题：〔1〕汽车中的乘客在乘车过程中，身高、体重改变了吗？乘客所处的地理位置改变了吗？〔2〕传送带上的物品，比方带有图标的长方体纸箱，向前移动了20米，它上面的图标移动了多少米？〔3〕以上都是我们常见的平移问题，认真想一想，你还能举一些平移的例子吗？1.如图1，面积为5平方厘米的梯形A′B′C′D′是梯形ABCD经过平移得到的且∠ABC=90°.那么梯形ABCD的面积为________，∠A′B′C =________.图12.在下面的六幅图中，〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕中的图案_________可以通过平移图案〔1〕得到的.图2“小鱼〞向左平移5格.图34.请欣赏下面的图形4，它是由假设干个体积相等的正方体拼成的.你能用平移分析这个图形是如何形成的吗？§图形的平移与旋转一、填空：1、如下左图，△ABC经过平移到△A′B′C′的位置，那么平移的方向是______，平移的距离是______，约厘米______.2、如下中图，线段AB是线段CD经过平移得到的，那么线段AC与BC的关系为〔〕3、如下右图，△ABC经过平移得到△DEF，请写出图中相等的线段______，互相平行的线段______，相等的角______.〔在两个三角形的内角中找〕4、如下左图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，那么：①画出平移方向，平移距离是_______；〔准确到0.1cm〕②HE=_________，∠A=_______,∠A=_______.③DH=_________=_______A=_______.5、如下右图，△ABC平移后得到了△DEF，〔1〕假设∠A=28º，∠E=72º，BC=2，那么∠1=____º，∠F=____º，EF=____º；〔2〕在图中A、B、C、D、E、F六点中，选取点_______和点_______，使连结两点的线段与AE平行.6、如图，请画出△ABC向左平移4格后的△A1B1C1，然后再画出△A1B1C1向上平移3格后的△A2B2C2，假设把△A2B2C2看成是△ABC经过一次平移而得到的，那么平移的方向是______，距离是____的长度.二、选择题：7、如下左图，△ABC经过平移到△DEF的位置，那么以下说法：①AB∥DE，AD=CF=BE；②∠ACB=∠DEF；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移距离为线段BE的长.其中说法正确的有〔〕8、如下右图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，那么△AFE经过平移可以得到〔〕A.△DEFB.△FBDC.△EDCD.△FBD和△EDC三、探究升级：1、如图，△ABC上的点A平移到点A1，请画出平移后的图形△A1B1C1.3、△ABC经过平移后得到△DEF，这时，我们可以说△ABC与△DEF是两个全等三角形，请你说出全等三角形的一些特征，并与同伴交流.4、如以下图中，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，那么草坪的面积是______.5、利用如图的图形，通过平移设计图案，并用一句诙谐、幽默的词语概括你所画的图形.§图形的平移与旋转一、填空、选择题：1、图形的旋转是由____和____决定的，在旋转过程中位置保持不动的点叫做____，任意一对对应点与旋转中心连线所成的角叫做_____.2、如以下图，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是_______，旋转角是_______，它时______°.3、如图，在以下四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是〔〕4、请你先观察图，然后确定第四张图为( )4、如下左图，△ABC绕着点O旋转后得到△DEF，那么点A的对应点是_______，线段AB 的对应线段是_____，_____的对应角是∠F. 6、如下中图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，假设△ABC经旋转后能与△BDE重合，那么旋转中心是________，旋转了______°.7、如下右图，C是AB上一点，△ACD和△BCE 都是等边三角形，如果△ACE经过旋转后能与△DCB重合，那么旋转中心是_______，旋转了______°，点A的对应点是_______.二、解答题：8、如图11.4.7，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C，问：〔1〕旋转中心是哪一点？〔2〕旋转角是什么？〔3〕如果点M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？9、观察以下图形，它可以看作是什么“根本图形〞通过怎样的旋转而得到的？三、探究升级10、如图，△ACE、△ABF都是等腰三角形，∠BAF=∠CAE=90°，那么△AFC是哪一点为旋转中心，旋转多少度之后能与另一个三角形重合？点F的对应点是什么？§图形的平移与旋转一、选择题1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的〔 〕° ° ° °ABCD 旋转到平行四边形A ′B ′C ′D ′的位置，以下结论错误的选项是〔 〕A.AB =A ′B ′B.AB ∥A ′B ′C.∠A =∠A ′D.△ABC ≌△A ′B ′C ′ 二、填空题4.钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______.ABCD 绕点O 沿逆时针方向旋转到四边形D C B A '''',那么四边形D C B A ''''是________. 6.△ABC 绕一点旋转到△A ′B ′C ′，那么△ABC 和△A ′B ′C ′的关系是_______.7.钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度. 8.图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______. 三、解答题9.以下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O 旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.10.在图中，将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案.11.如图，菱形A ′B ′C ′D ′是菱形ABCD 绕点O 顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？△ABC ，绕它的锐角顶点A 分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，〔1〕试作出Rt △ABC 旋转后的三角形； 〔2〕将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？13.如图，将右面的扇形绕点O 按顺时针方向旋转，分别作出旋转以下角度后的图形： 〔1〕90°；〔2〕180°；〔3〕270°.你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？14.如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案.§图形的平移与旋转看一看：以下三幅图案分别是由什么“根本图形〞经过平移或旋转而得到的？1.2.3.试一试：怎样将以下图中的甲图变成乙图？做一做：1、如图①，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF =21AB ， 〔1〕△ABE ≌△ADF .吗？说明理由。
初中三角形旋转经典例题
初中三角形旋转经典例题示例文章篇一：哎呀呀，说起初中三角形旋转的经典例题，那可真是让我又爱又恨呢！记得有一次上数学课，老师在黑板上画了一个三角形，然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们来研究一下这个三角形旋转的问题。
” 我当时心里就嘀咕：“这能有多难？”老师给出的例题是这样的：有一个等腰直角三角形ABC，直角顶点是C，把这个三角形绕着点C 顺时针旋转90 度，得到三角形A'B'C，让咱们求旋转后的三角形和原来三角形重合部分的面积。
我看着那个图，眼睛都快花了，心里直犯愁：“这可咋整啊？” 同桌小明倒是挺自信，他拿着笔在纸上比划着，嘴里还念念有词：“这还不简单，先找出旋转后的对应边和对应角呗。
” 我白了他一眼，说：“你倒是会说，那你快做出来给我看看呀！”这时，前桌的小红转过头来，说：“别着急，咱们一起想想。
” 我们三个人就凑在一起，开始研究起来。
我就想啊，这三角形旋转就好像是一个人在跳舞，转了一圈又一圈，但是它的形状和大小可没变。
这不就跟咱们玩的万花筒似的，看起来图案变来变去，其实那些碎片还是那些碎片嘛。
我们先把能找到的条件都标出来，发现重合部分也是个三角形。
小明突然一拍脑袋，说：“我知道啦，咱们可以通过三角形的相似来求面积。
” 我赶紧问：“咋相似啊？” 他说：“你看，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例，不就是相似嘛。
” 小红也点点头，说：“对呀对呀，那咱们就能算出边长的比例，进而求出面积啦。
”经过一番计算，我们终于算出了答案。
老师看到我们做出来了，笑着说：“不错不错，继续努力！” 那一刻，我心里别提多高兴了，就像吃了蜜一样甜。
你说，这三角形旋转的问题是不是很有趣？它就像是一个藏着宝藏的迷宫，只要我们认真思考，就能找到通往答案的路。
我觉得啊，数学虽然有时候让人头疼，但当我们解开难题的时候，那种成就感真是无与伦比！所以，可别害怕难题，只要咱们勇敢去探索，就一定能战胜它们！示例文章篇二：哎呀，一提到初中三角形旋转的经典例题，我这脑袋瓜就开始嗡嗡响啦！你们能想象得到吗？那一个个三角形就像调皮的小精灵，不停地转呀转。
《图形的旋转》练习题
《图形的旋转》练习题一、判断题1、图形的旋转是图形沿着某个点旋转一定的角度。
（）2、图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度所决定的。
（）3、图形的旋转改变了图形的形状和大小。
（）4、图形的旋转不改变图形的形状和大小。
（）5、一个图形围绕某一点旋转一定角度后，只要与原来的图形重合，那么这个图形就被旋转对称了。
（）6、一个图形围绕某一点旋转一定角度后，只要与原来的图形不重合，那么这个图形就不是旋转对称的。
（）7、旋转对称图形是旋转对称的。
（）8、旋转对称的图形是旋转对称的。
（）9、一个图形如果和另一个图形是旋转对称的，那么这两个图形一定也是轴对称的。
（）10、一个图形如果和另一个图形是轴对称的，那么这两个图形一定是旋转对称的。
（）二、填空题1、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形运动称为__________。
2、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
3、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
4、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
5、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
6、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
7、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
8、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
9、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
10、在平面内，将一个图形绕某点转动一个角度，这样的图形变换称为__________。
《图形的平移与旋转》复习全攻略【介绍】《图形的平移与旋转》是初中数学中的重要一课，它涉及到平面几何的基本概念和变换方法。
在这篇复习全攻略中，我们将一起回顾图形的平移和旋转的基本概念、考点、解题技巧以及难点解析，帮助大家充分掌握这一课的内容。
小学五年级数学《图形变换之旋转》案例与练习
小学五年级数学《图形变换之旋转》案例与练习。
一、案例：什么是图形旋转图形旋转是指把某一图形绕中心点旋转一定角度后得到的新图形。
旋转的角度可以是任意角度，可以为正数，也可以为负数。
图形旋转常用于建筑设计、艺术设计以及动画设计中，是一项非常有用的技能。
下面我们来看几个具体的旋转案例。
1.旋转直线如图所示，我们将一条直线逆时针旋转45度，得到的新直线是点的对称线。
反之，如果将代表直线的图形顺时针旋转45度，也会得到相同的效果。
这就是图形旋转的基本原理，不论是逆时针旋转还是顺时针旋转，都会产生对称的效果。
2.旋转正方形如图所示，我们将一个正方形逆时针旋转60度，得到的新图形是一个与原来的正方形大小相同，但形状不同的图形。
这就是图形旋转带来的变化效果，即保持图形大小不变的同时，改变了其形状和方位。
3.旋转长方形如图所示，我们将一个长方形逆时针旋转90度，得到的新图形是一个相同大小、但宽和长互换的长方形。
这就是旋转带来的另一种变换效果，即将原来的长方形转换成了另外一种长方形。
二、练习：如何掌握图形旋转在学习图形旋转的过程中，我们要学习以下三个方面的知识：图形旋转的基本原理，图形旋转的操作方法，以及图形旋转的应用。
1.图形旋转的基本原理图形旋转的基本原理是以某一点为中心，将图形在平面内逆时针旋转一定的角度，得到一个新图形。
在旋转过程中，要保持图形的大小和比例不变。
此外，图形旋转还具有对称性质，不论是逆时针旋转还是顺时针旋转，都会产生对称的效果。
2.图形旋转的操作方法图形旋转的操作方法包括以下几个步骤：（1）确定旋转中心、旋转角度和函数方向；（2）绘制原图形和旋转轴；（3）按照旋转顺序绘制旋转后的图形；（4）通过对原图形和旋转后的图形进行比较，判断是否符合要求。
3.图形旋转的应用图形旋转广泛应用于建筑、艺术、设计、动画等领域。
在建筑设计中，图形旋转常常被用来改变建筑的外观形态，制造出独特、生动的建筑风格。
在艺术设计中，图形旋转可以制造出富有艺术感和动态感的图案以及其他形态。
《旋转例题》课件
05
旋转的未来发展
旋转在科技领域的应用
旋转科技在机器人领域的应用
01
利用旋转技术，机器人可以实现灵活自如的移动和操作，提高
工作效率和适应性。
旋转科技在航天领域的应用
02
旋转可以为航天器提供稳定的姿态控制，提高航天器的自主导
航和稳定运行能力。
旋转科技在医疗领域的应用
03
旋转技术可以应用于医疗设备中，例如旋转式手术机器人可以
在平面直角坐标系中，设点$P(x, y)$绕点$O(h, k)$旋转$θ$ 角后到达点$P'(x', y')$，则旋转公式为：$x' = (x - h)cosθ + (y - k)sinθ + h$，$y' = (y - k)cosθ - (x - h)sinθ + k$。
旋转的特性
01
02
03
旋转中心不变性
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旋转的坐标变换
坐标变换定义
坐标变换是指将一个坐标系中的 点或向量变换到另一个坐标系中 的过程，这个过程可以用线性变
换矩阵表示。
旋转坐标变换
当物体绕某点或某轴旋转时，其上 任意一点或向量也会随之旋转，这 个过程可以用旋转矩阵进行坐标变 换。
坐标变换的顺序
在实际应用中，坐标变换的顺序可 能会影响最终结果，因此需要遵循 一定的变换顺序规则。
例题四：旋转的陀螺
总结词：儿童玩具
详细描述：旋转的陀螺是一种传统的儿童玩具，通过旋转运动产生稳定性和趣味性。陀螺通常由一根细长的轴和一个圆盘组 成，轴的一端插入圆盘中心，另一端着地。当陀螺被旋转时，它会以轴心为中心点旋转，展现出独特的物理现象和美学效果 。
初中数学 图形变换模块8-2 旋转讲义(含答案解析)
旋转题型练题型一生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．例1.下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．属于旋转的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】解：①地下水位逐年下降，是平移现象；②传送带的移动，是平移现象；③方向盘的转动，是旋转现象；④水龙头开关的转动，是旋转现象；⑤钟摆的运动，是旋转现象；⑥荡秋千运动，是旋转现象．变式11.小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印______（填“能”或“不能”）通过旋转与右手手印完全重合在一起．【答案】不能．【解析】【分析】根据旋转的性质判断．【详解】不能重合，因为无论怎么旋转，两个图形都不能重合．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．故答案为：不能．【点睛】本题考查了生活中的旋转现象，关键是理解旋转的定义(在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转)．题型二旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．例2.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A度数为（）A.45°B.55°C.65°D.75°【解析】解：依题意，得∠DCA′＝35°，在△DCA′中，∠A′DC＝90°，则∠A′＝90°－∠DCA′＝90°－35°＝55°，由旋转的性质，得∠A＝∠A′＝55°．变式22.下列正确描述旋转特征的说法是（）A.旋转后得到的图形与原图形形状与大小都发生变化．B.旋转后得到的图形与原图形形状不变，大小发生变化．C.旋转后得到的图形与原图形形状发生变化，大小不变．D.旋转后得到的图形与原图形形状与大小都没有变化．【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质，旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状．【详解】由旋转的性质可知，旋转不改变图形的大小和形状，正确说法是D，故选D.题型三旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．例3.等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少度，能够与本身重合．【解析】等边三角形的三边中线的交点就是等边三角形的中心，等边三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转至少120度，能够与本身重合．变式33.如图，将它旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可以是（）A.30B.60C.90D.120【答案】C【解析】【详解】分析：这个图形平分成4部分，则旋转的角度是3604=90°，或90度的整数倍能够与原来的图形重合．解答：解：依题意可得旋转的角度是3604=90°．故选C．题型四作图－旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．例44.将AOB 绕点O 旋转180 得到DOE ，则下列作图正确的是（）A.B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把一个图形绕某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.【详解】解：观察选项中的图形，只有D 选项为△ABO 绕O 点旋转了180°.【点睛】本题考察了旋转的定义.变式45.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC ；①将△ABC 向x 轴正方向平移5个单位得△A 1B 1C 1，②再以O 为旋转中心，将△A 1B 1C 1旋转180°得△A 2B 2C 2，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．【答案】见下图．【解析】【分析】明确平移的作图方法，中心对称的性质．【详解】将A、B、C按平移条件找到它的对应点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，就得到平移后的图形．成中心对称的两个图形，对称点都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可．【点睛】本题考查了平移的作图步骤、中心对称的性质．平移作图步骤：(1)分析题目要求，找出平移的方向和距离．(2)分析所作的图形，找出构成图形的关键点．(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点．(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母．中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．题型五坐标与图形变化－旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（－x，－y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．例5：在平面直角坐标系中，将点P（－3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为．解：如图所示，由图中可以看出点P ′的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．变式5.16.如图，将等边△AOB 放在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 在第一象限，将等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′，则点B ′的坐标是__________．【答案】(2)--【解析】【分析】先根据等边三角形的性质、点A 坐标求出点B 坐标，再根据点坐标关于原点对称规律：横坐标和纵坐标均变为相反数，即可得出答案．【详解】如图，作BH y ⊥轴于HAOB ∆ 为等边三角形，(0,4)A 12,602OH AH OA BOA ∴===∠=︒BH ∴==∴点B 坐标为2)等边AOB ∆绕点O 顺时针旋转180︒得到''AOB∆∴点'B 与点B 关于原点O 对称∴点'B 的坐标是(2)--故答案为：(2)--．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、图形旋转的性质等知识点，根据等边三角形的性质和点A 坐标求出点B 坐标是解题关键．变式5.27.第一次：将点A 绕原点O 逆时针旋转90︒得到1A ；第二次：作点1A 关于x 轴的对称点2A ；第三次：将点2A 绕点O 逆时针旋转90︒得到3A ；第四次：作点3A 关于x 轴的对称点4A …，按照这样的规律，点2021A 的坐标是（）A.(3,2)- B.(2,3)- C.(2,3)-- D.(3,2)-【答案】B【解析】【分析】先根据旋转变换和轴对称变换得出1(2,3)A -、2(2,3)A --、3(3,2)A -、4(3,2)A 、5(2,3)A -，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得．【详解】由题意可知，1(2,3)A -、2(2,3)A --、3(3,2)A -、4(3,2)A 、5(2,3)A -，∴每4个点的坐标为一周期循环，∵202142020÷=余1，∴点2021A 的坐标与点1A 的坐标一致，为(2,3)-，故选：B ．【点睛】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律．题型六作图－旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．例6：如图，已知点A ，B 的坐标分别为（4，0），（3，2）．（1）将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到△EOF （点A 对应点E ）．画出△EOF ；（2）点F 的坐标是．解：（1）如图，△EOF 为所作；（2）点F 的坐标为（－2，3）．变式68.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABO 的三个顶点都在格点上．（1）以O 为原点建立直角坐标系，点B 的坐标为()3,1-，则点A 的坐标为；（2）画出ABO 绕点O 顺时针旋转90°后的11OA B 【答案】（1）（-2，3）；（2）见详解【解析】【分析】（1）利用B 点坐标作出直角坐标系，从而得到A 点坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 的对应点A 1、B 1即可．【详解】解：（1）根据B 点坐标可得出原点位置为O 点，建立如图所示的直角坐标系，点A 的坐标为（-2，3）；故答案为（-2，3）；（2）如图，△OA 1B 1为所作．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．题型七利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．例7：如图，请你观察图形，它可以看做是由哪个基本图形、通过怎样的旋转得到的？解：∵先连接OA，OB，则∠AOB＝60°，∴此图案可看作是基本图案绕点O旋转60°得到的．变式79.在一次黑板报的评选中，九年级()1班获得了第一名，其中小颖同学的图案得到了大家的一致好评．她设计的图案是由如图所示的三角形图案绕上面的点O按同一个方向依次旋转90 ，180 ，270 得到的图形组成的，请你画出这个图案，并描述这个图案像什么．【答案】详见解析.【解析】【分析】根据题意分别将三角形图案绕上面的点O按同一个方向依次旋转90°，180°，270°得出即可．【详解】如图所示：这个图案像风车．【点睛】本题主要考查了旋转变换，根据题意得出旋转后对应点位置是解题的关键．题型八中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．例8：关于某一点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过，并且被平分．解：根据中心对称的性质，得对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．故答案为：对称中心，对称中心平分变式810.如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.【答案】（2,1）【解析】【分析】观察图形，根据中心对称的性质即可解答.【详解】∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为（2，1）．【点睛】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．题型九中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．例911.下面4个图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据中心对称图形的概念知A是中心对称图形，故选A．考点：中心对称图形．变式912.下列语句正确的是()A.线段绕着它的中点旋转180°后与原线段重合，那么线段是中心对称图形B.正三角形绕着它的三边中线的交点旋转120°后与原图形重合，则正三角形是中心对称图形C.正方形绕着它的对角线交点旋转90°后与原图形重合，则正方形是中心对称图形D.正五角星绕着它的中心旋转72°后与原图形重合，则正五角星是中心对称图形【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义依次分析各项即可【详解】解：根据中心对称图形的定义可知A正确，B、C、D错误，故选A考点：本题考查的是中心对称图形【点睛】解答本题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．题型十关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（－x ，－y ）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．例1013.在平面直角坐标系中，点A （1，2）关于原点的对称点的坐标是（）A.（﹣2，﹣1）B.（﹣1，2）C.（1，﹣2）D.（﹣1，﹣2）【答案】D 【解析】【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），然后直接作答即可．【详解】根据中心对称的性质，可知：点A （1，2）关于原点O 中心对称的点的坐标为（-1，-2）．故选D ．【点睛】此题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．变式1014.点A （－3，1）关于x 轴对称的点的坐标为____，关于y 轴对称的点的坐标为______，关于原点对称的点的坐标为_____．【答案】①.()3,1--②.()3,1③.()3,1.-【解析】【分析】关于x 轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于原点对称的两个点横坐标，纵坐标都互为相反数，根据以上特点可得答案.【详解】解：点A （－3，1）关于x 轴对称的点的坐标为()3,1--，关于y 轴对称的点的坐标为()3,1，关于原点对称的点的坐标为()3,1.-故答案为：()3,1--，()3,1，()3,1.-【点睛】本题考查的是坐标系内点关于坐标轴与原点对称的坐标规律，掌握对称的点的坐标规律是解题的关键.实战练15.如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD ＝90°，则∠D 的度数是__________°．【答案】60【解析】【详解】本题考查了旋转性质的运用.由旋转角∠AOC=40°，∠AOD=90°，可推出∠COD 的度数，再根据点C 恰好在AB 上，OA=OC ，∠AOC=40°，计算∠A ，利用内角和定理求∠B ，根据对应关系可知∠D=∠B ．解：由旋转的性质可知，∠AOC=40°，而∠AOD=90°，∴∠COD=90°-∠AOC=50°又∵点C 恰好在AB 上，OA=OC ，∠AOC=40°，∴∠A=1802AOC-∠ =70°，由旋转的性质可知，∠OCD=∠A=70°在△OCD 中，∠D=180°-∠OCD-∠COD=60°．16.如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm 2，∠AOB =120°，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】4cm 2【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】每个叶片的面积为4cm 2，因而图形的面积是12cm 2．∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，因而图中阴影部分的面积之和为4cm 2．故答案为4cm 2．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．17.如图，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2cm ，弧OA 与弧OC 关于点O 成中心对称，则AB 、BC 、弧CO 、弧OA 所围成的面积是_______cm 2．【答案】2【解析】【详解】由弧OA 与弧OC 关于点O 中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．解：连接AC．∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，∴点O为AC的中点，∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积=△BAC的面积=2×2÷2=2cm2．故答案为：218.已知a＜0，则点P（a2，﹣a+3）关于原点的对称点P1在第_____象限．【答案】三【解析】【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标.根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，求得点P（a2，-a+3）关于原点对称点的坐标是（-a2，a-3），再判定横纵坐标与0的关系，最后即可确定所在的象限．【详解】解：∵点P（a2，-a+3）关于原点对称点的坐标是（-a2，a-3），又∵a＜0，∴-a2＜0，a-3＜0，∴（-a2，a-3）在第三象限，故答案为三．19.若点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，那么点A在第_____象限．【答案】二．【解析】【分析】根据点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，列方程求得x，y的值，结果可得．【详解】解：∵点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，∴﹣3﹣（2x﹣1）＝4﹣（﹣3），解得：x＝﹣92，∴点A（﹣10，5），∴点A在第二象限，故答案为：二．【点睛】本题考查轴对称及平面直角坐标系内点的坐标特征,熟练掌握相关知识是解题关键.20.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选D．考点：旋转的性质．21.在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A.（4，﹣4）B.（4，4）C.（﹣4，﹣4）D.（﹣4，4）【答案】D【解析】【分析】首先利用平移的性质得出P1(4,4)，再利用旋转变换的性质可得结论.【详解】∵P(−5,4)，点P(−5,4)向右平移9个单位得到点P1∴P1(4,4)，∴将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是(﹣4，4)，故选D．【点睛】本题考查平移的性质和旋转变换的性质，解题的关键是掌握平移的性质和旋转变换的性质.22.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选：A．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．23.已知点A（2，﹣2），如果点A关于x轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是（）A.（2，2）B.（﹣2，2）C.（﹣1，﹣1）D.（﹣2，﹣2）【答案】D【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于原点的对称点是（-x，-y）．【详解】A 关于x 轴的对称点是B 的坐标是(2,2)，∵点B 关于原点的对称点是C ，∴C 点的坐标是(−2,−2).故选D.【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标,关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟练掌握对称的特征是解题的关键.24.如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上任意一点，延长BA 到F ，使得AF ＝AE ，连接DF ：（1）旋转△ADF 可得到哪个三角形？（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？（3）BE 与DF 的数量关系、位置关系如何？为什么？【答案】（1）,ABE （2）旋转中心是点,A 顺时针旋转了90︒，（3）,,BE DF BE DF =⊥理由见解析.【解析】【分析】（1）由正方形的性质与AF AE =可得答案；（2）由旋转前后的对应点的位置可确定旋转中心与旋转角，从而可得答案；（3）如图，延长BE 交DF 于,G 先证明,ADF ABE ≌再利用全等三角形的性质可得结论.【详解】解：（1）旋转ADF 可得,ABE （2）旋转中心是点,A 顺时针旋转了90.︒（3）,,BE DF BE DF =⊥理由如下：如图，延长BE 交DF 于,G 四边形ABCD 是正方形，,90,AD AB DAB ∴=∠=︒90,DAF ∴∠=︒,DAF BAE ∴∠=∠,AF AE = ,ADF ABE ∴ ≌,,DF BE ADF ABE ∴=∠=∠90,BAE ∠=︒ 90,ABE AEB ∴∠+∠=︒,AEB DEG ∠=∠ 90,DEG GDE ∴∠+∠=︒90,.EGD BE DF ∴∠=︒⊥【点睛】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.25.如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC ；①将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，②再以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母．【答案】见下图．【解析】【分析】明确平移的作图方法，中心对称的性质．【详解】将A、B、C按平移条件找到它的对应点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，就得到平移后的图形．成中心对称的两个图形，对称点都经过对称中心，并且被对称中心平分，分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接即可．【点睛】本题考查了平移的作图步骤、中心对称的性质．平移作图步骤：(1)分析题目要求，找出平移的方向和距离．(2)分析所作的图形，找出构成图形的关键点．(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点．(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母．中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．(2)关于中心对称的两个图形是全等图形．26.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．【答案】（1）图形见解析；（2）P点坐标为（32，﹣1）．【解析】【分析】（1）分别作出点A、B关于点C的对称点，再顺次连接可得；由点A的对应点A2的位置得出平移方向和距离，据此作出另外两个点的对应点，顺次连接可得；（2）连接A1A2、B1B2，交点即为所求．【详解】（1）如图所示：A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0）；A2（0，-4）、B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4）．（2）将△A 1B 1C 1绕某一点旋转可以得到△A 2B 2C 2，旋转中心的P 点坐标为（32，﹣1）．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，解题关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．27.如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （－2，－4），B （0，－4），C （2，－1）．（1）画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；（2）直接写出点A 1，C 1的坐标分别为．【答案】（1）画图见解析，（2）()()114,2,1,2.A C -【解析】【分析】（1）分别确定,,A B C 绕点O 逆时针旋转90︒后的对应点111,,A B C ，再顺次连接111,,A B C 即可得到答案；（2）根据11,A C 在平面直角坐标系内的位置直接写出坐标即可.【详解】解：（1）如图，111A B C △即为所求作的三角形，（2）由图可得：()()114,2,1,2.A C -故答案为：()()114,2,1,2.A C -【点睛】本题考查的是旋转的作图，旋转的特点，掌握利用旋转的特点作图是解题的关键.28.Q （0，0）关于原点的对称点是（0，0），它就是原点本身．已知A （a ＋b ，3）与B （－5，b ）关于原点对称，求a ＋b 2的值．【答案】17.【解析】【分析】关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，从而可列方程组，再解方程组即可得到答案.【详解】解： A （a ＋b ，3）与B （－5，b ）关于原点对称，5{,3a b b +=∴=-解得：8{,3a b ==-()228317.a b ∴+=+-=【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握“关于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数”是解题的关键.29.如图，在ABC 中，D 为BC 上任一点，//DE AC 交AB 于点//E DF AB ，交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．【答案】证明见解析【解析】【详解】试题分析：根据题意推知四边形AEDF 是平行四边形，则该四边形关于点O 对称．试题解析：证明：如图，连接EF 交于点O ．//DE AC 交AB 与//E DF AB ，交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴点E F ，关于AD 的中点对称．30.（1）画图：图①为正方形网格，画出ABC 绕点O 顺时针．．．旋转90︒后的图形．（2）尺规作图：在图②中作出四边形ABCD 关于点O 对称的图形（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）连结OA、OB、OC，将OA、OB、OC绕着点O顺时针旋转90°得OD，OE，OF，顺次连接即可；（2）连结AO、BO、CO、DO并延长，在延长线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，D′O=DO，顺次连接即可．【详解】解：（1）连结OA、OB、OC，将OA、OB、OC绕着点O顺时针旋转90°得OD，OE，OF，顺次连结DE，EF，FD，如图①，则DEF为所求；（2）连结AO、BO、CO、DO并延长，在延长线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，D′O=DO，顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A'，''''为所求．如图②，四边形A B C D【点睛】本题考查旋转作图，中心对称作图问题，掌握旋转作图与中心对称作图的方法与步骤是解题关键．。