石景山高三上期末理科数学

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2023-2024学年北京市石景山区高三上学期期末数学试题+答案解析

2023-2024学年北京市石景山区高三上学期期末数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则()A.5B.C.D.3.展开式中含的项的系数为()A.8B.C.4D.4.已知向量，若，则()A. B.1 C.2 D.5.已知为等差数列的前n项和，若，则()A.24B.26C.28D.306.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A. B. C. D.7.设函数，则()A.2B.5C.7D.108.在中，，则()A. B. C. D.9.设函数，则是()A.偶函数，且在区间单调递增B.奇函数，且在区间单调递减C.偶函数，且在区间单调递增D.奇函数，且在区间单调递减10.在正方体中，点P在正方形内不含边界，则在正方形内不含边界一定存在一点Q，使得()A. B.C.平面D.平面平面ABC二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数的定义域为__________.12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为__________.13.某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：并整理得到如右频率分布直方图，则图中的t值为__________，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为__________每组成绩用中间值代替14.已知命题p：若，则能说明p为假命题的一组的值为__________，__________.15.在数列中，，给出下列四个结论：①若，则一定是递减数列；②若，则一定是递增数列；③若，，则对任意，都存在，使得；④若，，且对任意，都有，则k的最大值是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

北京市石景山区高三数学上学期期末考试试题理新人教

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（） A ． {}2,1 B ． {}4,32， C ． {}4,3 D ．{}4,3,2,1 【答案】B【解析】因为{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以{34}U A =，ð,所以{2,3,4}U C A B ⋃=（），选B.2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （） A ． 13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +3 【答案】A 【解析】2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===u u u r u u u r u u u r（）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)-- 【答案】D【解析】因为(2,4),(1,3),AB AC ==u u u r u u u r所以(1,1)BC AC AB =-=--u u u r u u u r u u u r ，即(1,1)AD BC ==--u u u r u u u r，选D.4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C【解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。

北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）

北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 2. 本试卷共8页，各题答案均答在本题规定的位置．题号一二三总分 15 16 17 18 19 20 分数一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则AB =（）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（）A ．144B ．72C ．54D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（） A ． 120 B ．24 C ．12 D ．48 4．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（） A ．257B ．2524C ．257-D ．2524-5．若|a |＝2，|b |＝2，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（）A ．4B ．6C ．8D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序．（1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31；（2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ．（Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14．（Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分）已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；PA BCDE（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）．20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由；（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B B D A二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分（Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分答案43 21 2|{<x x ，或}3>x（2，+∞）c351，24同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ， ∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分（Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ CD PA ⊥. …………1分 ∵ 四边形ABCD 是矩形，EP∴ CD AD ⊥. 又 A AD PA =⋂∴⊥CD 平面PAD . …………3分又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分（Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分由1==AB PA ，2=BC ，计算得2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分（Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ，解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1.……………………14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C（1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ CD ＝（－1，0，0），AD ＝（0，2，0），AP ＝（0，0，1）， AE ＝（0，1，12）， PC ＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅AD CD ，∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅AP CD ，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=， …………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S 矩形ABCD ，∴ 2||||||||=⋅=⋅AD AB DQ AG .QGzyxEDCBAP∴ 2||=AG . 又 12+=x AG ，∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分（Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ；当322<<x 时，012)(2>-='x x f . 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-=|)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=tt t t 322)3132(22=-≥. …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f . 所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f . ∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数. ∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a .所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分（Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,].容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a .∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根.即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k .当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k . ………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。

北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)

石景山区第一学期高三年级期末试卷数学（理）（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|01}B x x =≤≤,那么A B 等于（）A ．{0} B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1] 2．若34iz i+=，则||z =（） A ．2 B ．3 C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =．x5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（）A ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h =（A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)y x =-图象上的点2(,(3))P t t -向左平移m (m >0)个单位长度得到点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t ∀∈R ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是（结果用数值表示）．10．已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是．12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．13．有以下4个条件：①a b =；②||||a b =；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其侧视图正视图俯视图中a //b 的充分不必要条件有．（填正确的序号）．14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值． 16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大学生．．．中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==．沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '；（Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于轴的对称点为B '．直线B A '与轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）已知函数2()11xf x x =++，2()(0)a x g x x e a =<．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．B CAP DA CP′ABCD20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D B A ∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈,记max k A =，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中ma 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅ ……1分sin 22x x = ……2分π2sin(2)3x =+， ……4分因此)(x f 的最小正周期为π． …………6分（Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤， ………8分当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1． ………10分即π12x =时，()f x 的最大值为2． ……………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a ++++=解得35a =，5110020b ==，35710020c ==．…………………3分（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C ==．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． ……………7分（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =． X 的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分则()033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=， ()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．其分布列如下：所以，01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '．又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ．因为CD 面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==．所以AC =CD 2AD =．所以222AC CD AD +=．所以AC ⊥CD ．因为P A 'AC =A , 所以CD ⊥平面P AC '． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A '⊥面ABCD ，AB ⊥AD ，如图，建立空间直角坐标系，A ()0,0,0，B ()1,0,0，C ()1,1,0，D ()0,2,0，P '()0,0,1．…………5分所以(1,0,0)AB =，(1,1,1)P C '=-．由（Ⅰ）知，平面P AD '的法向量为(1,0,0)AB =，设(,,)n x y z =为平面P CD '的一个法向量，则00n CD n P C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即00x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩，再令1y =，得(1,1,2)n =．cos ,AB n =AB n AB n⋅⋅=所以二面角A P DC '-- …………9分（Ⅲ）若线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．依题意可设AM AP λ'=,其中01λ≤≤．所以(0,0,)M λ，(1,0,)BM λ=-．由（Ⅱ）知，平面P CD '的一个法向量(1,1,2)n =．因为BM ∥平面P CD '，所以BM n ⊥，所以120BM n λ⋅=-+=，解得12λ=．所以，线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '…………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-，所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =．所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分因为2()e axg x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．………8分因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a=-．（ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分（ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()e g x g a a =-=．由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0A A D ∈-=-+-+-+-=∑ …………4分（Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为k D（ⅰ）易知当2D D =时，(1)AA D∈-∑达到最大值，所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122n nn n n n f C C n --+=-+-+-=-+= …6分（ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D =，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集则(1)AA D ∈-∑= '''''(1)(1)(2)(1)A A AA D A D A D f k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分现设''D 有l （k n l C ≤）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集． ''11(1)(1)(1)111k Ak k k k n n n A D lC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑ 1(1)(2)()A k k n n A D f k C C f k -∈-≤--+=∑由（ⅰ）得011221()(1)(1)(1)(1)(1)kk ki i n n nn i f k C C C C ==-+-+-++-=-∑…13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

【高三】(试题全)北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题(WORD

【高三】（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD试卷说明：石景山区―学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．2．复数（）A．B．C．D．3．已知向量，，则“”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A．B．C．D． 6．在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（）A．B．C．D．7．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．B． C．D．8．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．的参数方程为为参数，则圆的直角坐标方程为_______________，圆心到直线的距离为______． 1．中，角的对边分别为，若，，，则______．11．，满足约束条件则．12．中，，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点，，，则的长为，的长为． 13．的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______． 14．是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线与所成的角的度数为，当三棱锥的体积取得最大值时，四棱锥的长为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．13分）北京市各级各类中小学每年都要测试，测试总成绩满分为分测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．现从某校高年级的名学生中随机抽取名学生体质测试成绩如下：1356801122333445667797056679645856（Ⅰ）试估计该校高年级体质为优秀的学生人数；名学生体质测试成绩名学生，再从这名学生中选出人．名学生中至少有名体质为优秀的概率；（?）记为名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中.（Ⅰ）若项数列满足，，则数列中有多少项取值为零？()（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足（）．（?）若首项，末项，求证数列是等差数列；（?）若首项，末项，记数列的前项和为，求的最大值和最小值．石景山区―学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DCAACBBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案，，，(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）............2分， (4)分，，，，...............6分所以函数的单调递增区间为．，， (9)分，，……………11分所以当，即时，函数取得最小值．13分）解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为．，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．……………6分（?）设“在选出的名学生中至少有名体质为优秀”为事件，则．名学生中至少有名体质为优秀的概率为．的所有取值为．，，．的分布列为: ．因为平面，平面，所以. ……………1分取因为底面为直角梯形，∥，，且，所以四边形为正方形，所以，且，所以，即. ……………3分又，所以平面. ……………4分（Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．……………5分则，，，，所以，，．因为平面，所以为平面的一个法向量．……………6分设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．……………8分所以因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……………9分（Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面．设，则，．设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．因为∥平面，所以，即，……………13分解得，所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．8.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当时，，，，得，……………2分所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分（Ⅱ）.当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；……………5分当时，时，，时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……………7分（Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. ...............8分因为，所以在上有解，即使成立，...............9分即使成立，............10分所以.令，，所以在上单调递减，在上单调递增，则， (12)分所以. ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，所以，……………1分因为椭圆的离心率为，所以，即，……………2分解得，……………4分所以椭圆的方程为. ……………5分（Ⅱ）设，，①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由得，……………7分所以，……………8分因为，即为中点，所以，即. 所以，……………9分因为直线，所以，所以直线的方程为，即，显然直线恒过定点. ……………11分②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点. ……………13分综上所述直线恒过定点. ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列中项为分别有项．由题意知解得．所以数列中有项取值为零．……………3分（Ⅱ）（?）且，得到，若，则满足．此时，数列是等差数列；若中有个，则不满足题意；所以数列是等差数列．……………7分（?）因为数列满足，所以，根据题意有末项，所以．而，于是为正奇数，且中有个和个．要求的最大值，则只需前项取，后项取，所以（为正奇数）．要求的最小值，则只需前项取，后项取，则（为正奇数）．…………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源 1 12 每天发布最有价值的是输入输出开始结束否．（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD版，含答案）感谢您的阅读，祝您生活愉快。

石景山区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案

石景山区2023-2024学年第一学期高三期末数学试卷答案及评分参考一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）B （3）D （4）B （5）C （6）A（7）C（8）B（9）D（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）(3,4]− （12）2（13）0.01472.6（14）1122（答案不唯一）（15）②③④ 三、解答题（共6小题，共85分）（16）(本小题14分)（Ⅰ）证明：取AC 中点O ，连结,PO BO 因为PA PC =，所以PO AC ⊥；因为AB BC =，所以BO AC ⊥；因为BOPO O =，所以AC ⊥平面PBO ；因为PB ⊂平面PBO ，所以AC PB ⊥． [ 6分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO AC ⊥，PO ⊂平面PAC ，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，所以PO ⊥平面ABC ，因为BO ⊂平面ABCPO AC ⊥，BO AC ⊥由已知3APC 2π∠=，易得 112PO PA ==，OC =在Rt PBO △中，OB =A所以得B，C ，(0,0,1)P ，所以1),1)PB PC ⎯⎯→⎯⎯→=−=− 设平面PCB 的法向量为000(,,)x y z =n ，则0,0,PB PC ⎯⎯→⎯⎯→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即00000,0.z z −=−= 令01x =，则01y =，0z ==n ．又因为平面POC的法向量为OB ⎯⎯→=，所以|||cos ,|||||OB OB OB ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⋅<>==n n n ．由题知二面角A PC B −−． [14分]（17）(本小题13分)解：（Ⅰ）因为2()2sin 12f x x x ωω−+，所以()cos f x x x ωω=+1cos )2x x ωω=+2sin()6x ωπ=+．因为2ω=，所以()12f π． [5分]（Ⅱ）选②因为()f x 在区间ππ[,]123上单调递减，且当ππ[,]123x ∈时，()f x 的值域是[2,2]−，所以max ()()212f x f π==，min ()()23f x f π==−.此时，由三角函数的性质可得πππ23124T =−=，故π2T =．因为0ω>，所以2π4Tω==.（Ⅱ）选③因为()f x 在区间ππ[,]123上单调递减，所以ππ3122T −≤，即2π2ωπ≥，解得04ω<≤．因为π12x =是()f x 的一条对称轴，所以max ()()212f x f π==.所以sin()1126ωππ+=，即2,1262k k ωπππ+=+π∈Z 解得424,k k ω=+∈Z .由04ω<≤，可知4ω=. [13分] （18）(本小题13分)解：（Ⅰ）甲在A 区投篮30次，投进20次，所以估计甲在A 区投篮进球的概率为23，甲在B 区投篮30次，投进15次，所以估计甲在B 区投篮进球的概率为12. [2分] （Ⅱ）据题意，甲在A 区进球的概率估计为23，在B 区投篮进球的概率估计为12. 设事件A 为“甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分”甲在A 区投3个球，得分可能是0,2,4,6，在B 区投2个球，得分可能是0,3,6. 则甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的情况有：A 区2分B 区0分，概率估计为12232111C ()()=33218⨯⨯⨯， A 区4分B 区0分，概率估计为22232111C ()()=3329⨯⨯⨯， A 区4分B 区3分，概率估计为2213221112C ()C =33229⨯⨯⨯⨯⨯， A 区6分B 区0分，概率估计为32212()()=3227⨯，A 区6分B 区3分，概率估计为3122114()C =32227⨯⨯⨯，则甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率估计为11224111899272718++++=. [10分]（Ⅲ）甲在A 区投篮一次得分的期望估计是21420333⨯+⨯=，甲在B 区投篮一次得分的期望估计是11330222⨯+⨯=，设甲在A 区投篮x 次，则甲在B 区投篮(5)x −次，则总的期望值估计为43(5)732x x +−≥，解得3x ≤，则甲选择在A 区投篮的次数最多是3次． [ 13分]（19）(本小题15分)解：（Ⅰ）由题意知22222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆C 的方程为22142x y +=． [5分]（Ⅱ）解：不妨设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，l 交椭圆于(,)p p P x y ，(,)p p Q x y −−．由题意知(,0)p E x ，所以11222p p p QE p ppp y y y k k x x x x −===⋅=−− ；直线QE 的方程为()2p ky x x =−．联立22()224p k y x x x y ⎧=−⎪⎨⎪+=⎩消去y 得 22222(2)280P P k x k x x k x +−⋅+−= 易知22222(2)4(2)(8)0P P k x k k x ∆=−−+−>所以 2222P M Q k x x x k⋅+=+，设QM 的中点为D ，则2222M Q PD x x k x x k +⋅==+． 222()()2222PP D D P Pk x k x k k y x x x k k ⋅−⋅=−=−=++；所以21p D OD D p k x y k x kk x −⋅===−⋅．因为在MPQ △中，//OD PM ，所以1PM k k=−．所以11PM PQ k k k k ⋅=−⨯=−，即π2MPQ ∠=．所以MPQ △为直角三角形得证. [ 15分]（20）(本小题15分) 解：（Ⅰ）11()(1)11f x x x x ''=⋅−=−−，(0)1k f '==−. 又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =−． [4分]（Ⅱ）令22()()ln(1)(0)22x x F x f x x x x x =++=−++<，21()111x F x x x x '=++=−−. 因为0x <，所以()0F x '<，()F x 在(,0)−∞上单调递减. 所以()(0)0F x F >=.即当(,0)x ∈−∞时，2()2x f x x >−−. [ 8分]（Ⅲ）（1）当12k −≤时，222x kx x x −−−≤.由（Ⅱ）知，当(,0)x ∈−∞时，2()2x f x x >−−.所以当12k −≤时，2()f x kx x >−对(,0)x ∈−∞恒成立；（2）当12k >−时，令2()ln(1)h x x kx x =−−+212(21)()2111kx k xh x kx x x −++'=−+=−−①当0k ≥时，因为(,0)x ∈−∞，所以()0h x '>，()h x 在(,0)−∞上单调递增. ()(0)0h x h <=，不合题意②当102k −<<时，()0h x '=得2111022k x k k+==+< 当1(,1)2x k ∈−∞+时，()0h x '<，1(1,0)2x k∈+时，()0h x '>．所以()h x 在1(1,0)2k +上单调递增，则1(1,0)2x k∈+时，()(0)0h x h <=，不合题意. 综上，k 的取值范围是1(,]2k ∈−∞−. [ 15分]（21）(本小题15分)解：（Ⅰ）3,4,4,5，3,4,3,5，3,4,2,5，3,4,1,5 [4分] （Ⅱ）假设不存在{1,2,,1}k m ∈−使得1k k b b +>成立，根据P 数列定义可知1k k b b +≥，11b a =，所以1k k b b +=，则11321k k k b b b b b b +−======，即113211k k k b b b b b b a +−=======，所以121max{,,,}n n b a a a a ==，所以1i a a ≤，这与已知矛盾，故若此数列{}n a 中存在i a 使得1i a a >(2)i m ≤≤，则存在{1,2,,1}k m ∈−使得1k k b b +>成立． [4分]（Ⅲ）必要性：12max{,,,}k k b a a a =，12min{,,,}k k c a a a =−，(1,2,)k m =，则1212max{,,,}min{,,,}k k k k b c a a a a a a +=−．因为{}n n b c +为单调递增数列，所以对所有的k ，12max{,,,}k k a a a a =或12min{,,,}k k a a a a =，否则11k k k k b c b c −−+=+．因此，所有的k i a a −(1,2,,)i k =同号或为0，即1sgn()1nn n i i d a a n ==−=−∑，所以{}n d 为单调递增数列．充分性：因为{}n d 为单调递增数列，10d =，1n d n −≤且n d ∈ N ，所以只能1n d n =−，所以k i a a −(1,2,,)i k =同号或为0，所以对所有的k ，12max{,,}k k a a a a =或12min{,,}k k a a a a =，所以1212max{,,}min{,,}k k k k b c a a a a a a +=−．所以11k k k k b c b c −−+>+，即{}n n b c +为单调递增数列． [15分]（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）。

2019-2020年北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)-名校密卷

石景山区第一学期高三年级期末试卷数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|01}B x x =≤≤,那么A B 等于（）A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1] 2．若34iz i+=，则||z =（） A ．2 B ．3C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =D ．1y x=5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（）A ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h =（）A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)y x =-图象上的点2(,(3))P t t -向左平移m (m >0)个单位长度得到点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t ∀∈R ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是（结果用数值表示）．10．已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是．侧视图正视图俯视图12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．13．有以下4个条件：①a b =；②||||a b =；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其中a //b 的充分不必要条件有．（填正确的序号）．14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值． 16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大学生．．．中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==．沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '；（Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于轴的对称点为B '．直线B A '与轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）B CAPDB ACP′ABCD已知函数2()11x f x x =++，2()(0)a xg x x e a =<．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D满足如下条件：若,A D B A ∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈,记max k A =，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中ma 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅+ ……1分sin 22x x =+ ……2分π2sin(2)3x =+， ……4分因此)(x f 的最小正周期为π． …………6分（Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤， ………8分当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1． ………10分即π12x =时，()f x 的最大值为2． ……………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a ++++=解得35a =，5110020b ==，35710020c ==．…………………3分（Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C ==．所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． ……………7分（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =． X 的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分则()033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=， ()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．其分布列如下：所以，01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '．又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ．因为CD 面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==．所以AC =CD 2AD =．所以222AC CD AD +=．所以AC ⊥CD ．因为P A 'AC =A , 所以CD ⊥平面P AC '． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A '⊥面ABCD ，AB ⊥如图，建立空间直角坐标系，A ()0,0,0，B ()1,0,0，C ()1,1,0，D ()0,2,0，P '()0,0,1．…………5分所以(1,0,0)AB =，(1,1,1)P C '=-．由（Ⅰ）知，平面P AD '的法向量为AB 设(,,)n x y z =为平面P CD '的一个法向量，则0n CD n P C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即00x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩，再令1y =，得(1,1,2)n =．cos ,AB n =AB n AB n⋅⋅=6所以二面角A P D C '--的余弦值为6…………9分（Ⅲ）若线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．依题意可设AM AP λ'=,其中01λ≤≤．所以(0,0,)M λ，(1,0,)BM λ=-．由（Ⅱ）知，平面P CD '的一个法向量(1,1,2)n =．因为BM ∥平面P CD '，所以BM n ⊥，所以120BM n λ⋅=-+=，解得12λ=．所以，线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '…………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =．所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-，所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，因为(0)1f =，2(2)115m f =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =．所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．………8分因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a =-．（ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分（ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a-上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()e g x g a a =-=．由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0AA D∈-=-+-+-+-=∑ …………4分（Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为k D（ⅰ）易知当2D D =时，(1)A A D ∈-∑达到最大值，所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122n n n n n n f C C n --+=-+-+-=-+= …6分（ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D =，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集则(1)A A D ∈-∑= '''''(1)(1)(2)(1)A A A A D A D A D f k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分现设''D 有l （k n l C ≤）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集． ''11(1)(1)(1)111k Ak k k k n n n A D lC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑ 1(1)(2)()A k k n n A D f k C C f k -∈-≤--+=∑由（ⅰ）得011221()(1)(1)(1)(1)(1)kk ki i n n nn i f k C C C C ==-+-+-++-=-∑…13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试题

石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则( )A. B. C. D.2．下列函数中，在上单调递减的是（）A. B. C. D.3．点与圆的位置关系是（）A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.与的值有关4. 某程序框图如右图所示，该程序运行输出的值是（）A.4B.5C.6D.75．以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．如果实数满足不等式组30,230,1.x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（）A.1B.2C.3D.47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A. B.C. D.8. 函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则( )A.6B. 8C. 10D. 12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数, ,则．10.为等差数列，，公差，、、成等比数列，则．11．如图，在边长为2的菱形中，为中点，则．12.若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为． 13. A , B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有种（用数字作答）．14. 设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集．①集合{}2,1,0,1,2--=A 为封闭集； ②集合{}Z k k n n A ∈==,2|为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集；④若为封闭集，则一定有.其中正确结论的序号是____________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）如图所示，在四边形中，，，；为边上一点，，，. （Ⅰ）求sin ∠CED 的值；（Ⅱ）求BE 的长．16．（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.17．（本小题共14分）如图,在四面体中,平面,22,2,==⊥BD AD CD BC .是的中点,是的中点. （Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若点在线段上，且满足,求证：平面；（Ⅲ）若,求二面角的大小.18.（本小题共13分）已知函数)0(ln )(22≠∈-+=a R a x a ax x x f 且. （Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.19.（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；D A CB E（Ⅱ）直线交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数的取值范围.20．（本小题共13分）对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中，，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意，存在，使得，则称具有性质．（Ⅰ）判断是否具有性质；（Ⅱ）若，且具有性质，求的值；（Ⅲ）若具有性质，求证：，且当时，．石景山区2014—2015学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【12题只答一种情况得3分】三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）设.在中，由余弦定理，得2222cos CE CDDE CD DE CDE =+-⨯⨯∠ …………………2分得CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………4分在中，由正弦定理，得 …………………6分（Ⅱ）由题设知，所以 …………………8分而，所以222cos cos =cos cos sin sin 333AEB πππααα∠=-+（） 11=cos 227αα-+=-+=………………11分在中，2cos BE AEB==∠…………………13分16．（本小题共13分）（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件，依题意有 11111()224464P A =⨯⨯⨯=. …………………3分（Ⅱ）该考生所得分数为，则的所有可能取值为. ……4分， ……6分1212221131333(25)C ()(1)()C ()(1)()2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯=， ……8分 221122221311311111(30)+C ()(1)C ()()()=2422442432P X ==⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯（）（）（）……10分1212221111331(35)C ()(1)()C ()(1)()=2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯……12分分布列为：……………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）, ………………2分且………………4分（Ⅱ）证明：如图所示,取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以且；取CD 的四等分点H ，使DH =3CH ，且AQ =3QC , 所以,且，所以，四边形为平行四边形，所以，且,所以PQ //面BDC . ……………………9分 (III)如图建系,则, , , ……………………10分设面的法向量 ,ABCDPQMOH⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CM n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=0206z x y 令,则设面的法向量 ……………………11分⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BD m 即⎩⎨⎧==-0062z y x 令, 则 ……………………12分所以二面角的大小为 …………………14分（Ⅰ）函数的定义域为. ………………1分21'()2f x a a x x=+-. ………………3分因为是函数的极值点，所以2'(1)120f a a =+-=.…………5分解得或.经检验，或时，是函数的极值点. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：21'()2f x a a x x=+-. 由，令(21)(1)'()0ax ax f x x+-+==，解得.……9分当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是；…………11分当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.…13分（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231c b a a c e b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ，椭圆的标准方程为：. ………………4分（Ⅱ）设联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y ，消去，得：).(0)416(16)41(2222*=-+++k x k x k ……6分依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以， ----① ，由（*）式， -------②，可得k x x k x k x k y y 4)()2()2(212121++=+++=+---- ③ ， ………………8分由①②③，， ………………10分由点B 在以PQ 为直径的圆内，得为钝角或平角，即.），（），，（11222-=--=y x BQ BP 01222<+--=⋅y x . …12分即0141441164222>-+++-k k k k ，整理得. 解得：. ………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）具有性质. ……2分（Ⅱ）选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，从而……5分（III）证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为是X中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，故.……8分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则,异号，从而,之中恰有一个为. ……10分若，则，显然矛盾；若，则，矛盾.所以.……13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

石景山区第一学期期末考试高三数学(理科)

石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，第10页为草稿纸，共150分．考试时间120分钟．题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分一二 15 16 17 18 19 20 分数第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1．设全集{}5,4,3,2,1U =，{}4,3,1=M ，{}5,4,2=N ，那么(UM ) (UN )等于（）A ．∅B ．{}3,1 C ．{}4 D ．{}5,2 2．ii i )1)(1(-+等于（）A ．2B ．－2C ．i 2D ．－i 23．若函数)(x f 的反函数为)1(log )(21+=-x x f，则)1(f 的值为（）A ．1-B ．1C ．4D ．4- 4．已知向量a ＝（3，4），b ＝（αsin ，αcos ），且a ∥b ，则αtan 等于（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-5．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（）A ．//a β且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且//b αD ．a β⊥且//αβ6．某班上午要上语文、数学、英语、体育各一节，体育课既不在第一节也不在第四节，共有不同的排法数为（）得分评卷人A ．24B ．22C ．20D ．12 7．数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a ++++=-，则2222123n a a a a ++++等于（） A ．(2n －1)2B ．31(2n －1) C ．31(4n －1) D ．4n －1 8．已知定义在R 上的函数f x ()同时满足条件：（1）f ()02=；（2）f x ()>1，且1)(lim =-∞→x f x ；（3）当x R ∈时，f x '()>0．若f x ()的反函数是f x -1()，则不等式0)(1<-x f的解集为（）A ．)2,0( B ．)2,1( C ．()-∞，2D ． ()2，+∞第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．2211lim 21x x x x →---= ．10．在8)2(xx -展开式中，常数项是，展开式中各项系数和为．（用数字作答）11．球的表面积扩大到原来的2倍，则球的半径扩大到原来的_______倍，球的体积扩大到原来的________倍．12．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥.6,2,2y x y x 则该不等式组表示的平面区域的面积为，目标函数得分评卷人y x z 3+=的最大值是．13．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ，，，若1=a ，oB 45=∠，ABC ∆的面积2=S ，则b 边长为，ABC ∆的外接圆的直径的大小为．14．对于函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤⋅=.0,212,0,2)(2x x x x e x x f x 有下列命题： ①过该函数图像上一点()()2,2--f 的切线的斜率为22e -； ②函数)(xf 的最小值为e2-； ③该函数图像与x 轴有4个交点；④函数)(x f 在]1,(--∞上为减函数，在]1,0(上也为减函数.其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （2sinx -，)2sin x， B （2sinx ，)2cos 2x -，C （2cos x，0）．（Ⅰ）求向量AC 和向量BC 的坐标；（Ⅱ）设BC AC x f ⋅=)(，求 )(x f 的最小正周期；（Ⅲ）求当12[π∈x ，]65π时，)(x f 的最大值及最小值．得分评卷人16.（本小题满分13分）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时，)(x f 取得极值2-．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）当∈x ]3,3[-时，m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围．得分评卷人17.（本小题满分13分）已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且．（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{nna 2}是等差数列；（Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S ．18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，P 点在平面ABCD 内的得分评卷人得分评卷人PDB ACE射影为A ，且2==AB PA ，E 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ；（Ⅲ）求二面角D PC B --的大小．19.（本小题满分14分）在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为4.0，5.0，8.0，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响.（Ⅰ）求甲、乙、丙三人均达标的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（Ⅲ）设ξ表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求ξ的概率分布及数学期望E ξ．得分评卷人20.（本小题满分14分）已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意的实数m 、n ,都有)()()(n f m f n m f =+成立，且当0>x 时，有1)(>x f 成立.（Ⅰ）求)0(f 的值，并证明当0<x 时，有1)(0<<x f 成立；（Ⅱ）判断函数)(x f 在R 上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若2)1(=f ，数列}{n a 满足))((*N n n f a n ∈=，记nn a a a S 11121+++=，且对一切正整数n 有n S m f 2)1(>-恒成立，求实数m 的取值范围.得分评卷人以下为草稿纸2006-2007学年石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：每小题5分，满分40分．1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B二、填空题：每小题5分，满分30分．（对有两空的小题，第一空3分，第二空2分）9．2310．1120，1 11．2，22 12．2，14 13．5，25 14． ①②④三、解答题：本大题满分80分． 15．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）AC =2sin2(cos x x +，)2sin x-， BC =2sin 2(cos xx -，)2cos 2x ． …………………………………2分（Ⅱ） BC AC x f ⋅=)(= 2cos 2)2sin ()2sin 2(cos )2sin 2(cos xx x x x x ⋅-+-⋅+ …………4分= 2cos 2sin 22sin 2cos 22x x x x --= x x sin cos - …………………………………6分=)22sin 22(cos 2⋅-⋅x x =)4cos(2π+x …………………………………8分∴)(x f 的最小正周期π2=T ． …………………………………9分（Ⅲ）∵≤≤x 12π65π， ∴121343πππ≤+≤x ．∴ 当ππ=+4x ，即x =43π时，)(x f 有最小值2-， ………………11分当34ππ=+x ，即x =12π时，)(x f 有最大值22． ……………12分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由)(x f 是R 上的奇函数，有)()(x f x f -=-， …………………………1分即d cx ax d cx ax ---=+--33，所以0=d ．因此cx ax x f +=3)(． …………………………………2分对函数)(x f 求导数，得c ax x f +='23)(． ……………………………3分由题意得2)1(-=f ，0)1(='f , ……………………………4分所以⎩⎨⎧=+-=+.03,2c a c a …………………………………5分解得3,1-==c a ,因此x x x f 3)(3-=．…………………………………6分（Ⅱ）)(x f '332-=x ． ………………………7分令332-x >0，解得x <1-或x >1，因此，当∈x (－∞,－1)时，)(x f 是增函数；当∈x (1,＋∞)时，)(x f 也是增函数． …………………………………8分再令332-x <0, 解得1-<x <1，因此，当∈x (－1,1)时，)(x f 是减函数． ……………………………9分（Ⅲ）令)(x f '=0，得1x =－1或2x =1．当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化如下表.x3-()1,3--－1 ()1,1-1 )3,1(3 )(x f '＋ 0－ 0＋ )(x f18- ↗2 ↘2-↗18…………………………………11分从上表可知，)(x f 在区间]3,3[-上的最大值是18 . 原命题等价于m 大于)(x f 在]3,3[-上的最大值,∴18>m ．…………………………………13分EADP17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ． …………………………………2分（Ⅱ）),2(22*1N n n a a nn n ∈≥+=-且，∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， …………………………………3分即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． …………………………………4分 ∴数列}2{nn a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列． …………5分（Ⅲ）由（Ⅱ）得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a n n ……………………………7分∴nn n a 2)21(⋅-=． ……………………………8分)2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S……………………………10分1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S 得12)21(2222132-⋅--++++=+n n n 12)21(21)21(21-⋅----=+n n n32)23(-⋅-=n n ．∴32)32(+⋅-=nn n S ． ……………………………13分18．(本小题满分14分) （Ⅰ）PDBACEHCBPHO CABDPF证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO//PB ． ……………………1分EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………2分∴ PB//平面AEC ． ……………………3分（Ⅱ）证明： P 点在平面ABCD 内的射影为A ，∴PA ⊥平面ABCD ．⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ……………………4分又在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PAD ． ……………………6分又 ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分（Ⅲ）解法一：过点B 作BH ⊥PC 于H ，连结DH ． ……………………8分易证PDC PBC ∆≅∆，∴DH ⊥PC ，BH=DH,∴BHD ∠为二面角B —PC —D 的平面角． ……………………10分PA ⊥平面ABCD,∴AB 为斜线PB 在平面ABCD 内的射影，z yxCABDP又BC ⊥AB, ∴BC ⊥PB. 又BH ⊥PC,∴PB BC PC BH ⋅=⋅,36232222=⨯=BH , ……………………11分在BHD ∆中，HDBH BD HD BH BHD ⋅-+=∠2cos 222 =2131638362362283838-=-=⨯⨯-+， ……………………12分∴120=∠BHD ， ……………………13分 ∴二面角B —PC —D 的大小为120． ……………………14分解法二：如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ……………………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 的坐标分别为A(0 ,0, 0), B(2, 0, 0), C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2) ．)0,2,0(BC 2),,0,-2(BP ==,)0,0,2(DC 2),,2,0(DP =-=. …………9分设平面BCP 的法向量为1n =),,(111z y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0BC ,0BP 11n n 即⎩⎨⎧=++=++-.0020,0202111y z x∴⎩⎨⎧==0.,111y x z令1z 1=,则)1,0,1(1=n . …………………………………11分设平面DCP 的法向量为2n =),,(222z y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0DC ,0DP 22n n 即⎩⎨⎧=++=+-.0002,0220222x z y∴⎩⎨⎧==.0,222x y z令1z 2-=,则)1,1,0(2--=n . …………………………………13分21221|n ||n |n n n ,n cos 212121-=⨯-=⋅>=<,∴二面角B —PC —D 的大小为120． …………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）分别记“甲达标”，“乙达标”，“丙达标”为事件321,,A A A ．…………………………………1分由已知321,,A A A 相互独立，4.0)(1=A P ，,5.0)(2=A P 8.0)(3=A P .…………………………………2分3个人均达标的概率为)(321A A A P ⋅⋅)()()(321A P A P A P ⋅⋅=16.08.05.04.0=⨯⨯=． ……………………4分（Ⅱ）至少一人达标的概率为)(1321A A A P ⋅⋅- ……………………5分)()()(1321A P A P A P ⋅⋅-=94.0)8.01)(5.01)(4.01(1=----=．……………………………7分（Ⅲ）测试结束后达标人数的可能取值为0，1，2，3,相应地，没达标人数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3. ……………………………8分)()()3(321321A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅==ξ)()()()()()(321321A A A P A A A P ⋅⋅+⋅⋅=)8.01)(5.01)(4.01(8.05.04.0---+⨯⨯=22.0= ． ……………………………10分)()()()()1(321132231321A A A P A A A P A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξ)()(213312A A A P A A A P ⋅⋅+⋅⋅+)4.01(8.05.0)5.01(8.04.0)8.01(5.04.0-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯= )8.01()4.01(5.0)8.01()5.01(4.0-⨯-⨯+-⨯-⨯+)5.01()4.01(8.0-⨯-⨯+=78.0 ． ………………12分ξ的概率分布如下表：……………………………13分E ξ＝44.122.0378.01=⨯+⨯ ． ……………………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）令1,0==n m ，得)1()0()1(f f f =，由题意得1)1(>f ，所以1)0(=f . ……………………2分若0<x ，则1)0()()()(==-=-f x x f x f x f ，∴ )(1)(x f x f -=. 由已知1)(>-x f ，得1)(0<<x f ． …………………………………4分（Ⅱ）任取R x x ∈21,且设21x x >， …………………………………5分由已知和（Ⅰ）得)(0)(R x x f ∈>，∴)()()()()(21222121x x f x f x x x f x f x f -=+-=， ……………………………7分 021>-x x ，∴1)(21>-x x f ，∴)()(21x f x f >．ξ 1 3 P0.780.22所以函数)(x f 在R 上是增函数. …………………………………9分（Ⅲ）2)1()1()(1==-=-f n f n f a a n n ， ∴数列}{n a 是首项为2, 公比为2的等比数列.∴nn a 2=. …………………………………11分n n n n a a a S )21(1211])21(1[2111121-=--=+++= . …………………12分又对一切正整数n ，有n S m f 2)1(>-恒成立，即2)1(≥-m f 恒成立．又2)1(=f ， ∴ )1()1(f m f ≥-恒成立. 又由（Ⅱ）得11≥-m ，解得m 的取值范围是0≤m . ……………………14分若有其它解法，请酌情给分．。

2018-2019学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(★)已知集合P={x∈R|x≥0}，Q={-1，0，1，2}，则P∩Q=（）A．{1，2}B．{0，2}C．{0，1}D．{0，1，2}2．(★)设i是虚数单位，复数，则z的共轭复数为（）A．-1+i B．1+i C．-1-i D．1-i3．(★)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A．3B．4C．5D．64．(★)下列函数中为偶函数的是（）A．y=ln（1+x）-ln（1-x）B．y=ln（1+x）+ln（1-x）C．y=xcosx D．y=x+cosx5．(★)某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为（）A．4B．C．8D．6．(★)已知向量，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．7．(★★)在△ABC中，a=7，c=3，∠A=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8．(★★)已知函数f（x）= ，则下列关于函数y=f（f（x））+1的零点个数的判断正确的是（）A．当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有1个零点B．当a＞0时，有3个零点；当a＜0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(★)在（1+2x ） 5的展开式中，x 3的系数为．（用数字作答）10．(★★)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=3，S 3=18，则其通项公式a n = ．11．(★★)若变量x ，y 满足约束条件x+1≤y ≤2x ，则z=2x+y 的最小值等于．12．(★)写出“”的一个充分不必要条件．13．(★★)已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为（0，2），则此双曲线的离心率是．14．(★)2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下：（相关计算公式为：应纳税额=纳税所得额-起征额，税款=应纳税额×适用税率-速算扣除数，税后工资=纳税所得额-税款）（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为元；（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为元．附录：三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(★★)函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cosx，求函数g（x）在区间上的最小值．16．(★★)2018年9月，某校高一年级新入学有360名学生，其中200名男生，160名女生．学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学．该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：km）如下：（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为8.3km，他是否能住宿？说明理由；（Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为5.1km，女生样本数据平均值为4.875km，求所有样本数据的平均值；（Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到17．(★★★)如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，OB=1．△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥OC，动点D在斜边AB上．（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）当D为AB的中点时，求二面角B-CD-O的余弦值；（Ⅲ）求CD与平面AOB所成的角中最大角的正弦值．18．(★★★)已知抛物线C：y 2=2px经过点P（1，2），其焦点为F．M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴，y轴分别交于A，B．（Ⅰ）求抛物线C的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若△BMF与△ABF的面积相等，求证：直线l是抛物线C的切线．19．(★★)已知函数f（x）=（x+a）lnx．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）有极小值，求实数a的取值范围．20．(★★★★)将1至n 2这n 2个自然数随机填入n×n方格的n 2个方格中，每个方格恰填一个数（n≥2，n∈N *）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这n 2（n-1）个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若n=2，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当n=3时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．。

北京市石景山区—度第一学期高三期末统一测试——数学(理)

石景山区2007—2008学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则AB =（）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（）A ．144B ．72C ．54D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（）A ． 120B ．24C ．12D ．484．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（） A ．257 B ．2524 C ．257-D ．2524-5．若|a |＝2，|b |＝2，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（） A ．4B ．6C ．8D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母） 14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序．（1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31；（2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ．（Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14．（Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？（Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分）已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，PA BCDE请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）． 20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由；（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．石景山区2007—2008学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分（Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ，∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分（Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ CD PA ⊥. …………1分∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ CD AD ⊥. 又 A AD PA =⋂ ∴⊥CD 平面PAD . …………3分又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分（Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分由1==AB PA ，2=BC ，计算得G D2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分（Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ，解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1. ……………………14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ ＝（－1，0，0），＝（0，2，0），＝（0，0，1），＝（0，1，12），＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅， ∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=，yx…………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S矩形ABCD，∴ 2||||||||=⋅=⋅AD AB DQ AG . ∴ 2||=AG . 又 12+=x AG ，∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分 19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分（Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ；当322<<x 时，012)(2>-='x x f .又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-= |)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=t t t t 322)3132(22=-≥. …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f .所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f .∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数. ∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |t t f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=a b b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a . 所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分（Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分（Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,].容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a . ∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根. 即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k .当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆kk k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k .………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。

2021-2022学年北京市石景山中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年北京市石景山中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合,,如果,则等于A． B． C．或 D．参考答案：C2. 设全集U=R，集合A={x|x2+x≥0}，则集合C u A= （）A．[-1,0] B．（-1,0）C．（-∞，-1] [0,+）D．[0,1]参考答案：B略3. 若a=3，b=log cos60°，c=log2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解．【解答】解：∵a=3＞30=1，0=＜b=log cos60°＜=1，c=log2tan30°＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．4. 执行如图所示的程序框图，若输入x=3，则输出y的值为（）A.5B.9C.17D.33参考答案：D5. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：【知识点】抛物线的几何性质 H7D是抛物线的准线，则到的距离等于，抛物线的焦点，过P作垂线，和抛物线的交点就是，所以点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值，就是到直线距离，所以最小值=，故选择D.【思路点拨】到的距离等于，过P作垂线，和抛物线的交点就是，所以点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值.6. 某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：A7. 某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件，这种零件的标准尺寸为85mm，现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测，其尺寸用茎叶图表示如图（单位：mm），则估计（）A．甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等B．甲、乙生产的零件质量相当C．甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好D．乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好参考答案：D【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图求出中位数，根据数据分析，判断稳定性，从而求出答案．【解答】解：甲的零件尺寸是：93，89，88，85，84，82，79，78；乙的零件尺寸是：90，88，86，85，85，84，84，78；故甲的中位数是： =84.5，乙的中位数是： =85；故A错误；根据数据分析，乙的数据稳定，故乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好，故B、C错误；故选：D8. 已知函数，则＝A、－2B、－3C、2D、3参考答案：B9. 一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y=（x＞0）的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（）A．πB．C．D．参考答案：A【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先求出y的范围，再设出点AB的坐标，根据AB两点的纵坐标相等得到x2?x1=1，再求出高h，根据圆柱体的体积公式得到关于y的代数式，最后根据基本不等式求出体积的最大值．【解答】解：∵y==≤1当且仅当x=1时取等号，∴x+=∵矩形绕x轴旋转得到的旋转体一个圆柱，设A点的坐标为（x1，y），B点的坐标为（x2，y），则圆柱的底面圆的半径为y，高位h=x2﹣x1，∵f（x1）=，f（x2）=，∴=，即（x2﹣x1）（x2?x1﹣1）=0，∴x2?x1=1，∴h2=（x2+x1）2﹣4x2?x1=（x1+）2﹣4=﹣4，∴h=2?，∴V圆柱=πy2?h=2π=2?≤2π?（y2+1﹣y2）=π，当且仅当y=时取等号，故此矩形绕x轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为π，故选：A10. 设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 中，角，则．参考答案：略12. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中x 的值是 ;参考答案：略13. 设S n 为数列{a n }的前n项和，且满足，则a2= ；S1+S3+S5+…+S2017= ．参考答案：,.【考点】数列的求和．【分析】由，当n=1时，可得a1=﹣a1﹣，可得a1=﹣．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n an﹣﹣（﹣1）n﹣1an﹣1+，a3=﹣a3﹣+a2+．若n为偶数，则a n﹣1=﹣，因此n为正奇数，a n=﹣，可得a3=﹣，a2．n=2k﹣1（k∈N*），S n=S2k﹣1=﹣a n﹣．可得S1+S3+S5+…+S2017=﹣（a1+a3+…+a2017）﹣，代入利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由，当n=1时，可得a1=﹣a1﹣，可得a1=﹣．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n a n﹣﹣（﹣1）n﹣1a n﹣1+，a3=﹣a3﹣+a2+．若n为偶数，则a n﹣1=﹣，因此n为正奇数，a n=﹣，可得a3=﹣，a2=．n=2k﹣1（k∈N*），S n=S2k﹣1=﹣a n﹣，∴S1+S3+S5+…+S2017=﹣（a1+a3+…+a2017）﹣=﹣=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 14.的值等于 ▲．参考答案：【知识点】对数B7【答案解析】==【思路点拨】根据对数的性质求解。

2024北京石景山高三(上)期末数学试题及答案

2024北京石景山高三（上）期末数学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。

请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{2,0,2,4}A =−，2{|4}B x x =≤，则AB =（A ）{2,0,2}−（B ）{0,2} （C ）{2,2}−（D ）{0,2,4}（2）已知复数112i z =+，12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z ⋅=（A ）5（B ）5−（C ）42i +（D ）42i −+（3）242()x x−展开式中含5x 的项的系数为（A ）4 （B ）4− （C ）8 （D ）8−（4）已知向量(5,)m =a ，(2,2)=−b ，若()−⊥a b b ，则m =（A ）1−（B ）1（C ）2（D ）2−（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若215a =，565S =，则14a a +=（A ）24（B ）26（C ）28（D ）30（6）直线20x y m −+=与圆22240x y x +−−=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（A ）53m −<<（B ）05m << （C ）93m −<<（D ）73m −<<（7）设函数21log (2),1()2,1x x x f x x −−<⎧⎪=⎨⎪⎩≥，则2(2)(log 10)f f −+=（A ）2（B ）5（C ）7（D ）10（8）在ABC △中，2cos cos cos a A b C c B =+，则A ∠=（A ）π6（B ）π3（C ）π2（D ）2π3（9）设函数()ln |1|ln |1|f x x x =+−−，则()f x 是（A ）偶函数，且在区间(1,)+∞单调递增（B ）奇函数，且在区间(1,1)−单调递减（C ）偶函数，且在区间(,1)−∞−单调递增（D ）奇函数，且在区间(1,)+∞单调递减（10）在正方体1111ABCD A B C D −中，点P 在正方形11ADD A 内（不含边界），则在正方形11DCC D 内（不含边界）一定存在一点Q ，使得（A ）//PQ AC（B ）平面1//PQC 平面ABC （C ）PQ AC ⊥ （D ）AC ⊥平面1PQC第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。