平面图Euler公式的一个证明方法及其Euler公式的推广
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顶 点 数 ＋面 数 一边 数 ： ．
证 明方 法和 这 一公 式 在 不 是 连 通 平 面 图 中 的推 广．
【 键 词 】 ｕｅ 公 式 ； 通 平 面 图 ； 通 分 支 关 Ｅｌ ｒ 连 连
１ ．引 言
我 们 在 中学 课 本 中 已 经 见 到 过 关 于 凸 多 和 ２
连 通 的 ， 此 是 树 ， 且 （ ， （ 。 ＜Ｖ 所 以 ， Ｇ） 因 并 Ｇ ） Ｇ ） ． Ｅ（ ＝
所 以把① ， ， ， ③ 个等式 两边分别对应相加应有 ② …
ｌ ２ ・＋ 十 ＋ ＋・・ 一（ ＋Ｅ ＋… ＋ ）＝２ｏ 十 ＋・ ・ －＋ Ｅｌ ２ ｘ． 即得 ＋Ｆ＋（ ＋１ ）一Ｅ＝２ 亦 即 ＋Ｆ—Ｅ一 ＝１ ｗ， ．
定理 １ （ ｕｅ 公 式 ） Ｇ 是 连 通 平 面 图 ， 平 面 图 Ｇ Ｅ ｌｒ 若 则
的 顶 点数 、 数 Ｅ 和 面数 Ｆ有 如下 关 系 ： 边
＋ ， 一Ｅ ＝ ２．
【 考文献 】 参 ［］ ．． １ Ｊ 帮迪 ， ．＿． 蒂 著． Ａ ＵＳＡ 默 图论 及 其 应 用． 望 名 ， 吴 李
Ｔ ≥ ２ 顶点 的树 ． ， 个 设 是 Ｇ 的 一 条 边 ，因 为 是 Ｇ 中 唯 一 的 ， 路 ， 以 Ｇ一 不 包 含 ， 路． 而 Ｇ一 ） 所 ） 从
不连 通 且 ｇ （ ）＝２ Ｇ一 ｏ Ｇ一 ． （ Ｇ ）一１ 对 ｉ ， ， ＝１ ２成 立 ． 从 而 Ｅ（ Ｇ）＝Ｅ（ ）．Ｅ（ ）＋１＝Ｖ（ ）＋Ｖ（ ） Ｇ１ ４ Ｇ２ － Ｇ１ Ｇ２ 一ｌ＝
１ —Ｅ ＝２ ＋ ； ２ — ２ ； ＋ Ｅ ＝２ ＋ 一 ＝２ ．
而 Ｖ ＝ Ｖ１ ２ ・ ＋ ， ＝Ｅ１ 十 ＋ － Ｅ ・ ＋Ｅ２ … 十Ｅ ． ＋
在 不 是 连 通平 面 图 中 的推 广 ． ２ Ｅ ｌｒ 式 的 另 一证 明方 法 ． ｕｅ 公
一
１ 故 ＋Ｆ—Ｅ ＝２ ． ．
若 Ｆ≥ ２ 则 Ｇ 必然 含 有 圈 ， 么我 们 打 掉 其 中一 个 圈 ， 那 上 的一 条 边 ， 面数 减 少 一 个 ， 的 条 数 也 减 少 一 条 ， 样 则 边 这 便 有 ＋（ Ｆ一１ 一（ ） Ｅ一１ ＝Ｖ＋Ｆ—Ｅ： ） ． 如此继 续下去 ， 次图 中的顶点数 、 每 面数 和 边 数 总 是 保持如下关系 ：
Ｖ（ 一 １ 即 Ｅ ＝Ｖ 一 １ Ｇ） ， ．
Ｇ ， … ， Ｇ ， Ｇ 公共 的外 界 面 ，
故 Ｆ＝ ＋（ ２ ） Ｆ —１ ＋… ＋（ 一１ ＝ Ｆ —１ ＋（ ３ ） ） ＋ ＋… ＋ 一（ 一１ ． ） 即 ＋ ＋… ＋ ＝Ｆ＋（３—１ ， ｏ ）
为 了证 明 方便 。 们 给 出 如下 引理 ． 我 引理
证明
—
Ｑ ② ⑧
若 Ｇ是 树 ， Ｅ＝Ｖ一１Ｅ， 分 别 表 示 树 Ｇ 的 则 （
对 用 归 纳法 ． Ｖ＝１ ， Ｋ。 当 时 Ｇ ，且 ｓ＝０： 又
边数和顶点数） ．
１假 设 对 少 于 个 顶 点 的所 有 树 都成 立 ， 设 Ｇ是 有 ． 并
本 文 主 要 给 出 这 个 公 式 的 另 一 证 明 方 法 和 这 一 公 式
数 为 ｇ， 有 ＋Ｆ—Ｅ一 ：１ ｏ则 ． 证 明 设 平 面 图 Ｇ 的连 通 分 支 分 别 为 Ｇ ， ：… ， 。 ， Ｇ Ｇ 由 于 Ｇ ，：… ， 是连 通 的 平面 图 ， 根据 定 理 １若 Ｇ， Ｇ 都 则 ， 设 Ｇ（ １２ … ，） ，， ｃ 的顶 点数 为 边数 Ｅ， ｃ ， 面数 为 ， 就有
着 以下 关 系式 ： ＋，一Ｅ：２ ． 事 实 上 ． 拉 公 式 不 仅 限 于 凸 多 面 体 ， 平 面 连 通 图 欧 在 中也 有 欧 拉 公 式 ， 即任 何 一 个 连 通 平 面 图 Ｇ 的顶 点 数 ，
这 样 经 过 有 限 步 之 后 ，就 得 到 了图 Ｇ 的一 棵 生 成 树 ， 这 时 ， 点数 ＝Ｖ， 数 ＝１ 而 边 数 ＝Ｖ一１ 于 是得 ＝ ． 顶 面 ， ． ２
证毕．
３ Ｅ ｌ 公 式 的推 广 ． ｕｅ ｒ 利 用 定 理 ｌ 我 们 便 很 容 易 推 得 下 面 结论 ： ， 定 理 ２ （ ｕｅ 公 式 的 推 广 ） 平 面 图 Ｇ 的连 通 分 支 Ｅ ｌｒ 设
边 数 Ｅ和 面数 Ｆ之 间也 存 在 着 关 系 式 ： ＋Ｆ—Ｅ＝２ ．
究
。
镪 镰
謦， 曩１ ． Ｊ ．
◎赵 希 武 刘 海 波 （ 内蒙 古 师 范 大 学计 算机 与信 息 工程 学院
００２ ） １０ ２
【 要 】 文 通 过 对 凸 多 面 体 的 Ｅ ｌｒ 式 与平 面 连 摘 本 ｕｅ 公
通 图 中 Ｅ ｌｒ 式 的对 照分 析 ． 出平 面 图的 Ｅ ｌ 公 式另 ｕｅ 公 给 ｕｅ ｒ
组念 等 译 ． 京 ： 学 出版 社 ，９ ７ 北 科 １８．
下 面 给 出 Ｅ ｌｒ 式 的一 个 新 的证 明 方 法 ． ｕ 公 ｅ
证 明 设 ＋，一Ｅ＝ 这 里 我 们 只 要 证 明 恒 不 变 ， ．
［ ］胡 美琛 ， 伟 德 编 著 ． 合 与 图． 京 ： 民邮 电 出 ２ 邱 组 北 人
公 式 ， 个 公 式 是 由瑞 士 数 学 家 欧 拉 （ ｕｅ） １５ 这 Ｅ ｌｒ在 ７ ０年 写 信 给 他 的好 友 哥 德 巴赫 （ ｏｄ ａｈ 时 提 出 来 的 ． ｕ ｒ 出 Ｇ ｌｂｃ ） Ｅｌ 指 ｅ 任 何 一 个 凸多 面 体 的顶 点 数 、 数 Ｅ和 面 数 Ｆ之 间 存 在 棱
证 明方 法和 这 一公 式 在 不 是 连 通 平 面 图 中 的推 广．
【 键 词 】 ｕｅ 公 式 ； 通 平 面 图 ； 通 分 支 关 Ｅｌ ｒ 连 连
１ ．引 言
我 们 在 中学 课 本 中 已 经 见 到 过 关 于 凸 多 和 ２
连 通 的 ， 此 是 树 ， 且 （ ， （ 。 ＜Ｖ 所 以 ， Ｇ） 因 并 Ｇ ） Ｇ ） ． Ｅ（ ＝
所 以把① ， ， ， ③ 个等式 两边分别对应相加应有 ② …
ｌ ２ ・＋ 十 ＋ ＋・・ 一（ ＋Ｅ ＋… ＋ ）＝２ｏ 十 ＋・ ・ －＋ Ｅｌ ２ ｘ． 即得 ＋Ｆ＋（ ＋１ ）一Ｅ＝２ 亦 即 ＋Ｆ—Ｅ一 ＝１ ｗ， ．
定理 １ （ ｕｅ 公 式 ） Ｇ 是 连 通 平 面 图 ， 平 面 图 Ｇ Ｅ ｌｒ 若 则
的 顶 点数 、 数 Ｅ 和 面数 Ｆ有 如下 关 系 ： 边
＋ ， 一Ｅ ＝ ２．
【 考文献 】 参 ［］ ．． １ Ｊ 帮迪 ， ．＿． 蒂 著． Ａ ＵＳＡ 默 图论 及 其 应 用． 望 名 ， 吴 李
Ｔ ≥ ２ 顶点 的树 ． ， 个 设 是 Ｇ 的 一 条 边 ，因 为 是 Ｇ 中 唯 一 的 ， 路 ， 以 Ｇ一 不 包 含 ， 路． 而 Ｇ一 ） 所 ） 从
不连 通 且 ｇ （ ）＝２ Ｇ一 ｏ Ｇ一 ． （ Ｇ ）一１ 对 ｉ ， ， ＝１ ２成 立 ． 从 而 Ｅ（ Ｇ）＝Ｅ（ ）．Ｅ（ ）＋１＝Ｖ（ ）＋Ｖ（ ） Ｇ１ ４ Ｇ２ － Ｇ１ Ｇ２ 一ｌ＝
１ —Ｅ ＝２ ＋ ； ２ — ２ ； ＋ Ｅ ＝２ ＋ 一 ＝２ ．
而 Ｖ ＝ Ｖ１ ２ ・ ＋ ， ＝Ｅ１ 十 ＋ － Ｅ ・ ＋Ｅ２ … 十Ｅ ． ＋
在 不 是 连 通平 面 图 中 的推 广 ． ２ Ｅ ｌｒ 式 的 另 一证 明方 法 ． ｕｅ 公
一
１ 故 ＋Ｆ—Ｅ ＝２ ． ．
若 Ｆ≥ ２ 则 Ｇ 必然 含 有 圈 ， 么我 们 打 掉 其 中一 个 圈 ， 那 上 的一 条 边 ， 面数 减 少 一 个 ， 的 条 数 也 减 少 一 条 ， 样 则 边 这 便 有 ＋（ Ｆ一１ 一（ ） Ｅ一１ ＝Ｖ＋Ｆ—Ｅ： ） ． 如此继 续下去 ， 次图 中的顶点数 、 每 面数 和 边 数 总 是 保持如下关系 ：
Ｖ（ 一 １ 即 Ｅ ＝Ｖ 一 １ Ｇ） ， ．
Ｇ ， … ， Ｇ ， Ｇ 公共 的外 界 面 ，
故 Ｆ＝ ＋（ ２ ） Ｆ —１ ＋… ＋（ 一１ ＝ Ｆ —１ ＋（ ３ ） ） ＋ ＋… ＋ 一（ 一１ ． ） 即 ＋ ＋… ＋ ＝Ｆ＋（３—１ ， ｏ ）
为 了证 明 方便 。 们 给 出 如下 引理 ． 我 引理
证明
—
Ｑ ② ⑧
若 Ｇ是 树 ， Ｅ＝Ｖ一１Ｅ， 分 别 表 示 树 Ｇ 的 则 （
对 用 归 纳法 ． Ｖ＝１ ， Ｋ。 当 时 Ｇ ，且 ｓ＝０： 又
边数和顶点数） ．
１假 设 对 少 于 个 顶 点 的所 有 树 都成 立 ， 设 Ｇ是 有 ． 并
本 文 主 要 给 出 这 个 公 式 的 另 一 证 明 方 法 和 这 一 公 式
数 为 ｇ， 有 ＋Ｆ—Ｅ一 ：１ ｏ则 ． 证 明 设 平 面 图 Ｇ 的连 通 分 支 分 别 为 Ｇ ， ：… ， 。 ， Ｇ Ｇ 由 于 Ｇ ，：… ， 是连 通 的 平面 图 ， 根据 定 理 １若 Ｇ， Ｇ 都 则 ， 设 Ｇ（ １２ … ，） ，， ｃ 的顶 点数 为 边数 Ｅ， ｃ ， 面数 为 ， 就有
着 以下 关 系式 ： ＋，一Ｅ：２ ． 事 实 上 ． 拉 公 式 不 仅 限 于 凸 多 面 体 ， 平 面 连 通 图 欧 在 中也 有 欧 拉 公 式 ， 即任 何 一 个 连 通 平 面 图 Ｇ 的顶 点 数 ，
这 样 经 过 有 限 步 之 后 ，就 得 到 了图 Ｇ 的一 棵 生 成 树 ， 这 时 ， 点数 ＝Ｖ， 数 ＝１ 而 边 数 ＝Ｖ一１ 于 是得 ＝ ． 顶 面 ， ． ２
证毕．
３ Ｅ ｌ 公 式 的推 广 ． ｕｅ ｒ 利 用 定 理 ｌ 我 们 便 很 容 易 推 得 下 面 结论 ： ， 定 理 ２ （ ｕｅ 公 式 的 推 广 ） 平 面 图 Ｇ 的连 通 分 支 Ｅ ｌｒ 设
边 数 Ｅ和 面数 Ｆ之 间也 存 在 着 关 系 式 ： ＋Ｆ—Ｅ＝２ ．
究
。
镪 镰
謦， 曩１ ． Ｊ ．
◎赵 希 武 刘 海 波 （ 内蒙 古 师 范 大 学计 算机 与信 息 工程 学院
００２ ） １０ ２
【 要 】 文 通 过 对 凸 多 面 体 的 Ｅ ｌｒ 式 与平 面 连 摘 本 ｕｅ 公
通 图 中 Ｅ ｌｒ 式 的对 照分 析 ． 出平 面 图的 Ｅ ｌ 公 式另 ｕｅ 公 给 ｕｅ ｒ
组念 等 译 ． 京 ： 学 出版 社 ，９ ７ 北 科 １８．
下 面 给 出 Ｅ ｌｒ 式 的一 个 新 的证 明 方 法 ． ｕ 公 ｅ
证 明 设 ＋，一Ｅ＝ 这 里 我 们 只 要 证 明 恒 不 变 ， ．
［ ］胡 美琛 ， 伟 德 编 著 ． 合 与 图． 京 ： 民邮 电 出 ２ 邱 组 北 人
公 式 ， 个 公 式 是 由瑞 士 数 学 家 欧 拉 （ ｕｅ） １５ 这 Ｅ ｌｒ在 ７ ０年 写 信 给 他 的好 友 哥 德 巴赫 （ ｏｄ ａｈ 时 提 出 来 的 ． ｕ ｒ 出 Ｇ ｌｂｃ ） Ｅｌ 指 ｅ 任 何 一 个 凸多 面 体 的顶 点 数 、 数 Ｅ和 面 数 Ｆ之 间 存 在 棱