2017-2018学年北师大版数学必修5教学课件：第一章 数列 1.3.1.2

1 ������������
,{ |������������ |}仍是等比数列.
②
������������ ������������
仍为等比数列,且公比为 1 .
)
������ ������2
【做一做3】已知数列{an}为等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5的值等于( A.5 B.10 C.15 D.20 答案:A
������1 + ������1 ������ + ������1 ������2 = 168, 由已知,得 ������1 ������-������1 ������4 = 42, ������1 (1 + ������ + ������2 ) = 168, ① ∴ ������1 ������(1-������3 ) = 42. ② ∵1-q3=(1-q)(1+q+q2),
探究一
探究二
探究三
探究四Leabharlann 思想方法探究一 等比数列与指数函数的关系
【例1】 已知数列{an}的图像是函数f(x)=k· ax(a>0,且a≠1)图像上
一群孤立的点,且点
2,
2 2 和 4, 9 81 是其中的两个点.
(1)求{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的增减性. 分析:先根据两点坐标求出f(x)的解析式即得通项公式,再通过通 项公式判断增减性.
解析:①中a1=4>0,0<q= 2 <1,是递减数列;②中各项不变,是常数 1 列;③中a1>0,q=4>1,是递增数列;④中a1=-4,q= 2 ,是递增数列.故只 有①是递减数列. 答案:①
1
2.等比中项 (1)如果在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么称 G为 a,b的等比中项. (2)如果G是a与b的等比中项,那么G2=ab,即G=± ������������. 【做一做2】已知等差数列{an}满足a1=-8,a2=-6.若将a1,a4,a5都加 上同一个数,所得的三个数成等比数列,则所加的这个数 为 . 解析:∵d=a2-a1=-6-(-8)=2, ∴a4=-8+3×2=-2,a5=-8+4×2=0,设所加的这个数为x, 则(-2+x)2=(-8+x)×(0+x),解得x=-1, 经验证:x=-1符合题意, ∴x=-1. 答案:-1
)
A.an=3
1 3
n
1 ������ B.an=-2· 3
C.an= · 4n
答案:D
D.an=-3· 5n
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究二
等比中项的应用
【例2】 等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项. 分析:根据已知条件,可得到关于首项a1和公比q的方程组,求出a1 和q后问题可解. 解:设该等比数列的公比为q,首项为a1.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
解:(1)由已知得 解得 于是 ������ = 2, ������ =
1 3
������· ������2 = , ������· ������4 =
1
2 9 2 , 81
������ = - 3 舍去 .
1 ������ 故{an}的通项公式是 an=2·3 . 1 ������ 1 ������ +1 (2)因为 an=2·3 ,所以 an+1=2· 3 . ������������+1 1 于是 ������ = 3<1,且 an>0,因此数列{an}是递减数列. ������
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. 2 (1)如果数列{an}是等比数列,那么 {������是等比数列 .( ) ������ } (2)如果数列{lg an}是等差数列,那么{an}是等比数列. ( ) (3)如果数列{an}是等比数列,那么{nan}是等比数列. ( ) (4)若数列{an}是等比数列,则{lg an}是等差数列. ( ) (5)在等比数列{an}中,若am· an=aq· ap(m,n,q,p∈N+),则m+n=p+q一定 成立. ( ) 答案:(1) (2) (3)× (4)× (5)×
第2课时 等比数列的性质及应用
学 习 目 标 1.理解等比数列的函数特性. 2.掌握等比中项的定义,能应用等比中项 解决有关问题. 3.掌握等比数列的性质,并能灵活应用.
思 维 脉 络
1.等比数列的函数特性 (1)等比数列与指数函数的关系
������ ������
等比数列{an}的通项公式 an=a1qn-1= 1· qn,当 q>0,且 q≠1 时,y=qx 是一 个指数函数.设 c= 1,则 an=c· qn,等比数列{an}可以看成是一个指数 型函数 y=c· qx(c≠0,x∈N+,q>0,且 q≠1).因此,从图像上看,等比数列{an} 各项所对应的点是函数 y=c· qx 图像上的一群孤立的点.
(2)等比数列的单调性
a1 q的 范围 {an}的增减性 a1>0 0<q<1 q=1 减 非增非减 a1<0 q>1 0<q<1 q=1 增 增 非增非减 q>1 减
������ ������
【做一做1】下列数列是递减数列的是
1 1
.(填序号)
1
①4,2,1,2 , 4,…;②2,2,2,2,…;③1,4,16,64,…;④-4,-2,-1,-2,….
3.等比数列的常用性质 (1)在等比数列中,下标成等差数列的项构成等比数列. (2)如果数列{an}是等比数列,c是不等于0的常数,那么数列
{c· an},{|an|},
(3)等比数列{an}中的任何两项可以互相表示为 an=amqn-m. (4)在等比数列{an}中,当 p+q=r+s=2k(p,q,r,s,k∈N+) 2 时,ap· aq=ar· as=������������ . (5)若{an},{bn}均为等比数列,公比分别为 q1,q2,则: ①{an· bn}仍为等比数列,且公比为 q1· q2;
1 ������ f(x)=2· , 3
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟等比数列与指数函数有密切的联系,等比数列的图像是 函数f(x)=c· qx图像上一群孤立的点,其单调性与函数f(x)=c· qx的单调 性一致.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1 下列数列中,是递减数列的是(