2018-2019年高三理科数学(新课标)二轮复习专题整合高频突破习题专题八 选修4系列 专题训练23 及答案

专题能力训练23 不等式选讲(选修4—5)
能力突破训练
1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.
2.已知函数f(x)=|x-1|+|x+3|,x∈R.
(1)解不等式f(x)≤5;
(2)若不等式t2+3t>f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.
3.设函数f(x)=+|x-a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
4.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4].
(1)求m的值;
(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.
5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.
(1)若a=1,求A;
(2)若A=R,求a的取值范围.
7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.
(1)当a=3时,解不等式f(x)≤4;
(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.
思维提升训练
8.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.
(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;
(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.
9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;
(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.
10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
参考答案
专题能力训练23不等式选讲(选修4—5)
能力突破训练
1.证明因为|x-1|<,|y-2|<,
所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|
≤2|x-1|+|y-2|<2=a.
2.解(1)原不等式等价于
得-x<-3或-3≤x≤1或1<x,
因此不等式的解集为
(2)∵f(x)=|x-1|+|x+3|≥|x-1-(x+3)|=4,要使t2+3t>f(x)在x∈R上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,∴t2+3t>[f(x)]min=4⇒t2+3t-4>0⇒t<-4或t>1.
3.(1)证明由a>0,有f(x)=+|x-a|+a≥2.故f(x)≥2.
(2)解f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3<a<
当0<a≤3时,f(3)=6-a+,
由f(3)<5,得<a≤3.
综上,a的取值范围是
4.解(1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,
∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.
∵其解集为[0,4],m=3.
(2)由(1)知a+b=3.
(方法一:利用基本不等式)
∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2,当且仅当a=b=时取等号,∴a2+b2的最小值为
(方法二:消元法求二次函数的最值)
∵a+b=3,∴b=3-a,
∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2,∴a2+b2的最小值为
5.(1)解f(x)=
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
当-<x<时,f(x)<2;
当x时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.
所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.
(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,
从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1
=(a2-1)(1-b2)<0.
因此|a+b|<|1+ab|.
6.解(1)当x时,2x-1+x+3≥2x+4,解得x≥2.
当-3<x<时,1-2x+x+3≥2x+4,解得-3<x≤0.
当x≤-3时,1-2x-x-3≥2x+4,解得x≤-3.
综上,原不等式的解集A={x|x≤0或x≥2}.
(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.
当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1, 得x≥a+1或x,
所以a+1≤-2或a+1,得a≤-2.
综上,a的取值范围为a≤-2.
7.解(1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|=
如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4),
故不等式f(x)≤4的解集为(0,2).
(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.
由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,
当且仅当(2x-1)(x-a)≤0时取等号,
故有(2x-1)(x-a)≤0.
当a=时,可得x=,故x的取值范围为;
当a>时,可得x≤a,故x的取值范围为;
当a<时,可得a≤x,故x的取值范围为
思维提升训练
8.解(1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0),
g(x)≤|x-1|+b⇔-b≤|x-1|+|x-2|.
|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,
当且仅当1≤x≤2时等号成立.
故实数b的取值范围是[-1,+∞).
(2)当a=1时,g(x)=
当0<x<1时,g(x)=+x-2>2-2=0;
当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立;
故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.
9.解(1)∵a=2,
∴f(x)=|x-3|-|x-2|=
∴f(x)≤-等价于解得x<3或x≥3,∴不等式的解集为
(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,
∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a
∴实数a的取值范围是
10.解(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,
f(x)=
作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.
由图象可知,不等式f(x)≥3的解集为
(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;
若a<1,则f(x)=
f(x)的最小值为1-a;
若a>1,则f(x)=
f(x)的最小值为a-1.
故对于∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
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